Cómo representar una expresión como un monomio. Reducir un monomio a su forma estándar, ejemplos, soluciones.

Monomio es una expresión que es el producto de dos o más factores, cada uno de los cuales es un número expresado por una letra, dígitos o potencia (con un exponente entero no negativo):

2a, a 3 X, 4a B C, -7X

Dado que el producto de factores idénticos se puede escribir como una potencia, una única potencia (con un exponente entero no negativo) también es un monomio:

(-4) 3 , X 5 ,

Dado que un número (entero o fracción), expresado por una letra o números, se puede escribir como el producto de este número por uno, cualquier número individual también puede considerarse como un monomio:

X, 16, -a,

Forma estándar de monomio

Forma estándar de monomio es un monomio que tiene un solo factor numérico, el cual debe escribirse en primer lugar. Todas las variables están en orden alfabético y están contenidas en un monomio sólo una vez.

Los números, variables y potencias de variables también pertenecen a monomios de forma estándar:

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomios de forma estándar.

El factor numérico de un monomio de forma estándar se llama coeficiente del monomio. Los coeficientes monomios iguales a 1 y -1 normalmente no se escriben.

Si un monomio de forma estándar no tiene factor numérico, entonces se supone que el coeficiente del monomio es igual a 1:

X 3 = 1 X 3

Si un monomio de forma estándar no tiene un factor numérico y está precedido por un signo menos, entonces se supone que el coeficiente del monomio es igual a -1:

-X 3 = -1 · X 3

Reducir un monomio a su forma estándar

Para llevar un monomio a su forma estándar es necesario:

1. Multiplica factores numéricos si hay varios. Eleva un factor numérico a una potencia si tiene exponente. Pon el factor numérico primero.
2. Multiplica todas las mismas variables para que cada variable aparezca solo una vez en el monomio.
3. Organice las variables después del factor numérico en orden alfabético.

Ejemplo. Presente el monomio en forma estándar:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; segundo) 6 antes de Cristo· 0,5 ab 3

Solución:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
segundo) 6 antes de Cristo· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 C = 3ab 4 C

Potencia de un monomio

Potencia de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras incluidas en él.

Si un monomio es un número, es decir, no contiene variables, entonces su grado se considera igual a cero. Por ejemplo:

5, -7, 21 son monomios de grado cero.

Por lo tanto, para encontrar el grado de un monomio, es necesario determinar el exponente de cada una de las letras incluidas en él y sumar estos exponentes. Si no se especifica el exponente de una letra, entonces es igual a uno.

Ejemplos:

Cómo estás X el exponente no está especificado, lo que significa que es igual a 1. El monomio no contiene otras variables, lo que significa que su grado es igual a 1.

Un monomio contiene solo una variable elevada a la segunda potencia, lo que significa que el grado de este monomio es 2.

3) ab 3 C 2 d

Índice a es igual a 1, exponente b- 3, indicador C- 2, indicador d- 1. El grado de este monomio es igual a la suma de estos indicadores.

I. Las expresiones que se componen de números, variables y sus potencias utilizando la acción de la multiplicación se llaman monomios.

Ejemplos de monomios:

A) a; b) ab; V) 12; GRAMO)-3c; d) 2a 2 ∙(-3.5b) 3 ; mi)-123,45xy5z; y) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3).

II. Este tipo de monomio, cuando primero viene el factor numérico (coeficiente), seguido de las variables con sus potencias, se llama tipo de monomio estándar.

Así, los monomios dados arriba, bajo las letras a B C), GRAMO) Y mi) escrito en forma estándar, y los monomios debajo de las letras d) Y y) es necesario llevarlo a una forma estándar, es decir, a una forma en la que el factor numérico viene primero, seguido de los factores alfabéticos con sus exponentes, y los factores alfabéticos están en orden alfabético. Presentemos monomios. d) Y y) a la vista estándar.

d) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85,75a 2 segundo 3 ;

y) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3c 3 .

III.La suma de los exponentes de todas las variables incluidas en un monomio se llama grado del monomio.

Ejemplos.¿Qué grado tienen los monomios? a) -g)?

a) a. Primero;

b) ab. Segundo: A en primer grado y b a la primera potencia - la suma de indicadores 1+1=2 ;

V) 12. Cero, ya que no existen factores de letras;

GRAMO) -3c. Primero;

d) -85,75a 2 segundo 3 . Quinto. Hemos reducido este monomio a su forma estándar, tenemos A hasta el segundo grado y b en el tercero. Sumemos los indicadores: 2+3=5 ;

mi) -123.45xy 5 z. Séptimo. Sumamos los exponentes de los factores de letras: 1+5+1=7 ;

y) -60a 3c 3 . Sexto, ya que la suma de los exponentes de los factores de las letras 3+3=6 .

IV. Los monomios que tienen la misma parte de letras se llaman monomios semejantes.

Ejemplo. Indique monomios similares entre los monomios dados 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4.1a 3 aC; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x 2 años.

Presentemos monomios. 1), 4) Y 5) a la vista estándar. Entonces la línea de datos de monomios se verá así:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3 aC; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 aC; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x 2 años.

Semejantes serán aquellas que tengan la misma parte de letras, es decir. 1) y 3); 2) y 4); 5) y 6).

1) 3a 2 b 2 c y 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4.1a 3 aC y 4) 98,7a 3 aC;

5) 10a 4 x y 6) -2.3a 4x.

Observamos que cualquier monomio puede ser llevar a forma estándar. En este artículo entenderemos cómo se llama llevar un monomio a su forma estándar, qué acciones permiten llevar a cabo este proceso y consideraremos soluciones a ejemplos con explicaciones detalladas.

Navegación de páginas.

¿Qué significa reducir un monomio a su forma estándar?

Es conveniente trabajar con monomios cuando están escritos en forma estándar. Sin embargo, muy a menudo los monomios se especifican en una forma diferente a la estándar. En estos casos, siempre se puede pasar del monomio original a un monomio de la forma estándar realizando transformaciones de identidad. El proceso de llevar a cabo tales transformaciones se llama reducir un monomio a una forma estándar.

Resumamos los argumentos anteriores. Reducir el monomio a la forma estándar.- Esto significa realizar transformaciones idénticas con él para que adopte una forma estándar.

¿Cómo llevar un monomio a su forma estándar?

Es hora de descubrir cómo reducir monomios a su forma estándar.

Como se sabe por la definición, los monomios de forma no estándar son productos de números, variables y sus potencias, y posiblemente repetidos. Y un monomio de forma estándar puede contener en su notación solo un número y variables no repetidas o sus potencias. ¿Ahora queda por entender cómo llevar los productos del primer tipo al tipo del segundo?

Para hacer esto necesitas usar lo siguiente la regla para reducir un monomio a su forma estándar que consta de dos pasos:

• Primero se realiza una agrupación de factores numéricos, así como de variables idénticas y sus potencias;
• En segundo lugar, se calcula y aplica el producto de los números.

Como resultado de la aplicación de la regla establecida, cualquier monomio se reducirá a una forma estándar.

Ejemplos, soluciones

Ya solo queda aprender a aplicar la regla del párrafo anterior a la hora de resolver ejemplos.

Ejemplo.

Reducir el monomio 3 x 2 x 2 a la forma estándar.

Solución.

Agrupemos factores numéricos y factores con variable x. Después de agrupar, el monomio original tomará la forma (3·2)·(x·x 2) . El producto de los números del primer paréntesis es igual a 6, y la regla para multiplicar potencias con las mismas bases permite representar la expresión del segundo paréntesis como x 1 +2=x 3. Como resultado, obtenemos un polinomio de la forma estándar 6 x 3.

Aquí hay un breve resumen de la solución: 3x2x2 =(3 2) (xx2)=6x3.

Respuesta:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Entonces, para llevar un monomio a una forma estándar, debes poder agrupar factores, multiplicar números y trabajar con potencias.

Para consolidar el material, resolvamos un ejemplo más.

Ejemplo.

Presente el monomio en forma estándar e indique su coeficiente.

Solución.

El monomio original tiene un único factor numérico en su notación −1, movámoslo al principio. Después de esto agruparemos los factores por separado con la variable a, por separado con la variable b, y no hay nada con qué agrupar la variable m, lo dejaremos como está, tenemos . Después de realizar operaciones con potencias entre paréntesis, el monomio tomará la forma estándar que necesitamos, de la cual podemos ver el coeficiente del monomio igual a −1. Menos uno se puede reemplazar con un signo menos: .

El concepto de monomio.

Definición de monomio: Un monomio es una expresión algebraica que usa solo multiplicación.

Forma estándar de monomio

¿Cuál es la forma estándar de un monomio? Un monomio se escribe en forma estándar, si tiene un factor numérico en primer lugar y este factor se llama coeficiente del monomio, en el monomio solo hay uno, las letras del monomio están ordenadas en orden alfabético y cada letra aparece solo una vez.

Un ejemplo de monomio en forma estándar:

aquí en primer lugar está el número, el coeficiente del monomio, y este número es solo uno en nuestro monomio, cada letra aparece una sola vez y las letras están ordenadas en orden alfabético, en este caso es el alfabeto latino.

Otro ejemplo de monomio en forma estándar:

cada letra aparece solo una vez, están ordenadas en orden alfabético latino, pero ¿dónde está el coeficiente del monomio, es decir? ¿Cuál es el factor numérico que debería ir primero? Aquí es igual a uno: 1adm.

¿Puede el coeficiente de un monomio ser negativo? Sí, tal vez, ejemplo: -5a.

¿Puede el coeficiente de un monomio ser fraccionario? Sí, tal vez, ejemplo: 5.2a.

Si un monomio consta únicamente de un número, es decir no tiene letras, ¿cómo puedo llevarlo al formato estándar? Cualquier monomio que sea un número ya está en forma estándar, por ejemplo: el número 5 es un monomio en forma estándar.

Reducir monomios a forma estándar

¿Cómo llevar un monomio a su forma estándar? Veamos ejemplos.

Sea el monomio 2a4b; debemos llevarlo a su forma estándar. Multiplicamos sus dos factores numéricos y obtenemos 8ab. Ahora el monomio está escrito en forma estándar, es decir tiene un solo factor numérico, escrito en primer lugar, cada letra del monomio aparece solo una vez y estas letras están ordenadas alfabéticamente. Entonces 2a4b = 8ab.

Dado: monomio 2a4a, lleve el monomio a su forma estándar. Multiplicamos los números 2 y 4, reemplazando el producto aa por la segunda potencia de a 2. Obtenemos: 8a 2 . Esta es la forma estándar de este monomio. Entonces 2a4a = 8a 2 .

Monomios similares

¿Qué son los monomios semejantes? Si los monomios difieren sólo en coeficientes o son iguales, entonces se llaman similares.

Ejemplo de monomios semejantes: 5a y 2a. Estos monomios difieren sólo en coeficientes, lo que significa que son similares.

¿Son similares los monomios 5abc y 10cba? Llevemos el segundo monomio a su forma estándar y obtengamos 10abc. Ahora podemos ver que los monomios 5abc y 10abc difieren sólo en sus coeficientes, lo que significa que son similares.

Suma de monomios

¿Cuál es la suma de los monomios? Sólo podemos sumar monomios semejantes. Veamos un ejemplo de suma de monomios. ¿Cuál es la suma de los monomios 5a y 2a? La suma de estos monomios será un monomio semejante a ellos, cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los términos. Entonces, la suma de los monomios es 5a + 2a = 7a.

Más ejemplos de suma de monomios:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 segundo 3 do 4 + 3a 2 segundo 3 do 4 = 5a 2 segundo 3 do 4

De nuevo. Solo puedes sumar monomios similares; la suma se reduce a sumar sus coeficientes.

Restar monomios

¿Cuál es la diferencia entre los monomios? Sólo podemos restar monomios semejantes. Veamos un ejemplo de resta de monomios. ¿Cuál es la diferencia entre los monomios 5a y 2a? La diferencia de estos monomios será un monomio similar a ellos, cuyo coeficiente es igual a la diferencia de los coeficientes de estos monomios. Entonces, la diferencia de monomios es 5a - 2a = 3a.

Más ejemplos de resta de monomios:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 segundo 3 do 4 - 3a 2 segundo 3 do 4 = 2a 2 segundo 3 do 4

Multiplicando monomios

¿Cuál es el producto de monomios? Veamos un ejemplo:

aquellos. el producto de monomios es igual a un monomio cuyos factores están formados por los factores de los monomios originales.

Otro ejemplo:

2a 2 segundo 3 * a 5 segundo 9 = 2a 7 segundo 12 .

¿Cómo se produjo este resultado? Cada factor contiene "a" elevado a la potencia: en el primero - "a" elevado a 2, y en el segundo - "a" elevado a 5. Esto significa que el producto contendrá "a" elevado a la potencia de 7, porque al multiplicar letras idénticas, los exponentes de sus potencias se suman:

Un 2 * un 5 = un 7 .

Lo mismo se aplica al factor "b".

El coeficiente del primer factor es dos y el segundo es uno, por lo que el resultado es 2 * 1 = 2.

Así se calculó el resultado: 2a 7 b 12.

De estos ejemplos queda claro que los coeficientes de los monomios se multiplican y letras idénticas se reemplazan por las sumas de sus potencias en el producto.