Уравнение x2 y2. Решаване на уравнения с две променливи

1. Системи линейни уравнения с параметър

Системите от линейни уравнения с параметър се решават чрез същите основни методи като конвенционалните системи от уравнения: методът на заместване, методът на добавяне на уравнения и графичният метод. Познаването на графичната интерпретация на линейните системи улеснява отговора на въпроса за броя на корените и тяхното съществуване.

Пример 1

Намерете всички стойности за параметъра a, за които системата от уравнения няма решения.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Решение.

Нека да разгледаме няколко начина за решаване на този проблем.

1 начин.Използваме свойството: системата няма решения, ако отношението на коефициентите пред x е равно на отношението на коефициентите пред y, но не е равно на отношението на свободните членове (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Тогава имаме:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 или система

(и 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

От първото уравнение a 2 \u003d 4, следователно, като вземем предвид условието, че a ≠ 2, получаваме отговора.

Отговор: a = -2.

2 начина.Решаваме по метода на заместване.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

След като извадим общия множител y извън скобите в първото уравнение, получаваме:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Системата няма решения, ако първото уравнение няма решения, т.е

(и 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Очевидно е, че a = ±2, но като се вземе предвид второто условие, се дава само отговорът с минус.

Отговор:а = -2.

Пример 2

Намерете всички стойности за параметъра a, за които системата от уравнения има безкраен брой решения.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Решение.

По свойството, ако съотношението на коефициентите при x и y е еднакво и е равно на съотношението на свободните членове на системата, тогава тя има безкраен набор от решения (т.е. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Следователно 8/a = a/2 = 2/1. Решавайки всяко от получените уравнения, откриваме, че a \u003d 4 е отговорът в този пример.

Отговор:а = 4.

2. Системи рационални уравнения с параметър

Пример 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Решение.

Умножете първото уравнение на системата по 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Извадете второто уравнение от първото, получаваме 5|х| = 4 – а. Това уравнение ще има уникално решение за a = 4. В други случаи това уравнение ще има две решения (за a< 4) или ни одного (при а > 4).

Отговор: a = 4.

Пример 4

Намерете всички стойности на параметъра a, за които системата от уравнения има уникално решение.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Решение.

Ще решим тази система с помощта на графичния метод. И така, графиката на второто уравнение на системата е парабола, повдигната нагоре по оста Oy с един единичен сегмент. Първото уравнение дефинира набора от прави, успоредни на правата y = -x (снимка 1). Фигурата ясно показва, че системата има решение, ако правата линия y \u003d -x + a е допирателна към параболата в точката с координати (-0,5; 1,25). Замествайки тези координати в уравнението на права линия вместо x и y, намираме стойността на параметъра a:

1,25 = 0,5 + а;

Отговор: a = 0,75.

Пример 5

Използвайки метода на заместване, разберете при каква стойност на параметъра a системата има уникално решение.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Решение.

Изразете y от първото уравнение и го заместете във второто:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Привеждаме второто уравнение към формата kx = b, което ще има уникално решение за k ≠ 0. Имаме:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Квадратният трином a 2 + 3a + 2 може да бъде представен като произведение от скоби

(a + 2)(a + 1), а отляво изваждаме x извън скоби:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Очевидно a 2 + 3a не трябва да е равно на нула, следователно,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, което означава a ≠ 0 и ≠ -3.

Отговор: a ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6

Използвайки метода на графичното решение, определете при каква стойност на параметъра a системата има уникално решение.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Решение.

Въз основа на условието изграждаме окръжност с център в началото на координатите и радиус от 3 единични сегмента, именно тази окръжност задава първото уравнение на системата

x 2 + y 2 = 9. Второто уравнение на системата (y = |x| + a) е прекъсната линия. Като се използва фигура 2разглеждаме всички възможни случаи на неговото разположение спрямо кръга. Лесно се вижда, че a = 3.

Отговор: a = 3.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате системи от уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Инструкция

Метод на заместване. Изразете една променлива и я заместете в друго уравнение. Можете да изразите всяка променлива, която искате. Например изразете "y" от второто уравнение:
x-y=2 => y=x-2 След това включете всичко в първото уравнение:
2x+(x-2)=10 Преместете всичко без x в дясната страна и пребройте:
2x+x=10+2
3x=12 След това, за "x, разделете двете страни на уравнението на 3:
x = 4. И така, намерихте "x. Намерете „при. За да направите това, заместете "x" в уравнението, от което сте изразили "y:
у=х-2=4-2=2
y=2.

Направете проверка. За да направите това, заменете получените стойности в уравненията:
2*4+2=10
4-2=2
Неизвестен е намерен правилно!

Как да добавяте или изваждате уравнения Отървете се от всяка променлива наведнъж. В нашия случай това е по-лесно да се направи с "y.
Тъй като в уравнението "y има знак" +, а във второто "-", тогава можете да извършите операция за добавяне, т.е. Добавяме лявата страна отляво и дясната страна отдясно:
2x+y+(x-y)=10+2 Преобразуване:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Заместете "x" във всяко уравнение и намерете "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Чрез първия метод можете да проверите дали корените са намерени правилно.

Ако няма ясно дефинирани променливи, тогава е необходимо леко да се трансформират уравненията.
В първото уравнение имаме "2x", а във второто само "x". За да се намали x при добавяне или изваждане, умножете второто уравнение по 2:
x-y=2
2x-2y=4 След това извадете второто уравнение от първото уравнение:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
намерете y \u003d 2 "x чрез изразяване от всяко уравнение, т.е.
х=4

Подобни видеа

При решаване на диференциални уравнения аргументът x (или времето t във физическите проблеми) не винаги е изрично наличен. Независимо от това, това е опростен специален случай на задаване на диференциално уравнение, което често помага да се опрости търсенето на неговия интеграл.

Инструкция

Помислете за физичен проблем, който води до диференциално уравнение, в което липсва аргумент t. Това е задачата за вибрации с маса m, окачени на нишка с дължина r, разположена във вертикална равнина. Уравнението на движението на махалото е необходимо, ако първоначалното е било неподвижно и се е отклонило от равновесното състояние под ъгъл α. Силите трябва да се пренебрегнат (виж Фиг. 1а).

Решение. Математическо махало е материална точка, окачена на безтегловна и неразтеглива нишка в точка O. Върху точката действат две сили: гравитация G \u003d mg и напрежение на нишката N. И двете сили лежат във вертикална равнина. Следователно, за да решите задачата, можете да приложите уравнението на въртеливото движение на точка около хоризонталната ос, минаваща през точка O. Уравнението за въртеливото движение на тяло има формата, показана на фиг. 1б. В този случай I е инерционният момент на материалната точка; j е ъгълът на завъртане на нишката заедно с точката, броен от вертикалната ос обратно на часовниковата стрелка; M е моментът на силите, приложени към материалната точка.

Изчислете тези стойности. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Но M(N)=0, тъй като линията на действие на силата минава през точка O. M(G)=-mgrsinj. Знакът "-" означава, че моментът на сила е насочен в посока, обратна на движението. Заместете инерционния момент и момента на силата в уравнението на движението и получете уравнението, показано на фиг. 1s. Чрез намаляване на масата възниква връзка (виж фиг. 1d). Тук няма аргумент t.

Решаването на уравнения в цели числа е една от най-старите математически задачи. Още в началото на II хилядолетие пр.н.е. д. Вавилонците са знаели как да решават системи от такива уравнения с две променливи. Тази област на математиката достига най-големия си просперитет в древна Гърция. Основният източник за нас е "Аритметиката" на Диофант, която съдържа различни видове уравнения. В него Диофант (по неговото име и името на уравненията - Диофантови уравнения) предвижда редица методи за изследване на уравнения от 2-ра и 3-та степен, които се развиват едва през 19 век.

Най-простите диофантови уравнения ax + y = 1 (уравнение с две променливи, първа степен) x2 + y2 = z2 (уравнение с три променливи, втора степен)

Най-пълно са изучени алгебричните уравнения, чието решение е един от най-важните проблеми на алгебрата през 16-17 век.

До началото на 19 век трудовете на П. Ферма, Л. Ойлер, К. Гаус изследват диофантово уравнение от вида: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, където a, b, c , d, e, f са числа; x, y са неизвестни променливи.

Това е уравнение от 2-ра степен с две неизвестни.

К. Гаус изгражда обща теория на квадратичните форми, която е в основата на решаването на някои видове уравнения с две променливи (диофантови уравнения). Има голям брой специфични диофантови уравнения, които могат да бъдат решени с елементарни методи. /p>

теоретичен материал.

В тази част на работата ще бъдат описани основните математически понятия, ще бъдат дадени дефиниции на термини, ще бъде формулирана теоремата за разлагане с помощта на метода на неопределените коефициенти, които са били изучавани и взети предвид при решаване на уравнения с две променливи.

Дефиниция 1: Уравнение от формата ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, където a, b, c, d, e, f са числа; x, y неизвестни променливи се нарича уравнение от втора степен с две променливи.

В училищния курс по математика се изучава квадратното уравнение ax2 + inx + c \u003d 0, където a, b, c на числото x е променлива, с една променлива. Има много начини за решаване на такова уравнение:

1. Намиране на корени с помощта на дискриминанта;

2. Намиране на корени за четен коефициент в (според D1 =);

3. Намиране на корени по теоремата на Виета;

4. Намиране на корените чрез избиране на пълния квадрат на бинома.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че няма такива.

Определение 2: Коренът на уравнението е число, което, когато се замести в уравнението, образува истинско равенство.

Определение 3: Решението на уравнение с две променливи се нарича двойка числа (x, y), като се замени в уравнението, то се превръща в истинско равенство.

Процесът на търсене на решения на уравнение много често обикновено се състои в замяна на уравнението с еквивалентно уравнение, но по-просто като решение. Такива уравнения се наричат ​​еквивалентни.

Определение 4: Две уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако всяко решение на едното уравнение е решение на другото уравнение и обратно, и двете уравнения се разглеждат в една и съща област.

За решаване на уравнения с две променливи се използва теоремата за разширяването на уравнението в сума от пълни квадрати (по метода на неопределените коефициенти).

За уравнение от втори ред ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) има разлагане a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Нека формулираме условията, при които се извършва разширение (2) за уравнение (1) на две променливи.

Теорема: Ако коефициентите a, c, c на уравнение (1) удовлетворяват условията a0 и 4av - c20, тогава разширението (2) се определя по уникален начин.

С други думи, уравнение (1) с две променливи може да се редуцира до формата (2), като се използва методът на неопределените коефициенти, ако условията на теоремата са изпълнени.

Нека да разгледаме пример за това как се прилага методът на неопределените коефициенти.

МЕТОД #1. Решете уравнението по метода на неопределените коефициенти

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Нека проверим изпълнението на условията на теоремата, a=2, b=1, c=2, така че a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Условията на теоремата са изпълнени и могат да бъдат разширени с формула (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, въз основа на условията на теоремата и двете части на тъждеството са еквивалентни. Опростете дясната страна на самоличността.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Приравнете коефициентите за същите променливи с техните степени.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Вземете система от уравнения, решете я и намерете стойностите на коефициентите.

7. Заместете коефициентите в (2), тогава уравнението ще приеме формата

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

По този начин първоначалното уравнение е еквивалентно на уравнението

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), това уравнение е еквивалентно на система от две линейни уравнения.

Отговор: (-1; 1).

Ако обърнете внимание на вида на разлагането (3), можете да видите, че то е идентично по форма с избора на пълен квадрат от квадратно уравнение с една променлива: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Нека приложим този трик за решаване на уравнение с две променливи. Нека решим с помощта на избор на пълен квадрат квадратното уравнение с две променливи, вече решени с помощта на теоремата.

МЕТОД #2: Решете уравнението 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Решение: 1. Представяме 2x2 като сумата от два члена x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Групираме термините по такъв начин, че да можем да свием според формулата за пълен квадрат.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Изберете пълните квадратчета от изразите в скоби.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Това уравнение е еквивалентно на система от линейни уравнения.

Отговор: (-1;1).

Ако сравним резултатите, можем да видим, че уравнението, решено по метод № 1, използвайки теоремата и метода на неопределените коефициенти, и уравнението, решено по метод № 2, използвайки избора на пълен квадрат, имат едни и същи корени.

Заключение: Квадратно уравнение с две променливи може да бъде разширено в сбор от квадрати по два начина:

➢ Първият метод е методът на неопределените коефициенти, който се основава на теоремата и декомпозицията (2).

➢ Вторият начин е с помощта на идентични трансформации, които позволяват да се избират последователно пълни квадрати.

Разбира се, при решаване на задачи вторият метод е за предпочитане, тъй като не изисква запаметяване на разширение (2) и условия.

Този метод може да се приложи и към квадратни уравнения с три променливи. Изборът на пълния квадрат в такива уравнения е по-трудоемък. Ще направя този вид трансформация през следващата година.

Интересно е да се отбележи, че функция, която има формата f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f, се нарича квадратична функция на две променливи. Квадратните функции играят важна роля в различни клонове на математиката:

В математическото програмиране (квадратично програмиране)

В линейната алгебра и геометрия (квадратични форми)

В теорията на диференциалните уравнения (намаляване на линейно уравнение от втори ред до канонична форма).

Когато се решават тези различни задачи, всъщност трябва да се приложи процедурата за извличане на пълния квадрат от квадратно уравнение (една, две или повече променливи).

Правите, чиито уравнения се описват от квадратно уравнение на две променливи, се наричат ​​криви от втори ред.

Този кръг, елипса, хипербола.

При изобразяването на тези криви се използва и методът на последователно избиране на пълния квадрат.

Нека разгледаме как работи методът за последователно избиране на пълен квадрат на конкретни примери.

Практическа част.

Решете уравнения, като използвате метода на последователен избор на пълен квадрат.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Отговор: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Отговор: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Отговор: (-1; 1).

Решете уравнения:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(доведете до формата: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Отговор: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(доведете до формата: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Отговор: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(доведете до формата: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Отговор: (7; -7)

Заключение.

В тази научна работа са изследвани уравнения с две променливи от втора степен, разгледани са методи за тяхното решаване. Задачата е изпълнена, формулиран и описан е по-кратък метод за решение, базиран на избор на пълен квадрат и заместване на уравнението с еквивалентна система от уравнения, в резултат на което процедурата за намиране на корените на уравнение с две променливи е опростена.

Важен момент от работата е, че разглежданата техника се използва за решаване на различни математически задачи, свързани с квадратична функция, конструиране на криви от втори ред и намиране на най-голямата (най-малката) стойност на изразите.

По този начин техниката за разширяване на уравнение от втори ред с две променливи в сума от квадрати има най-много приложения в математиката.

Неопределени уравнения в естествени числа.

Държавно учебно заведение "Речишки окръжен лицей"

Подготвен от: .

Ръководител: .

Въведение

1. Решаване на уравнения по метода на разлагане на множители…………4

2. Решаване на уравнения с две променливи (дискриминантен метод)……………………………………………………………………….11

3. Метод на остатъка ................................................. ...................................13

4. Метод на "безкрайното спускане" ..................................... .... ..............15

5. Метод на вземане на проби……………………………………………………………...16

Заключение..................................................... ............................................18

Въведение

Аз съм Слава, уча в Районен лицей Речица, ученик в 10 клас.

Всичко започва с идея! Помолиха ме да реша уравнение с три неизвестни 29x + 30y + 31 z =366. Сега приемам това уравнение като задача - майтап, но за първи път си счупих главата. За мен това уравнение стана някак недефинирано, как да го реша, по какъв начин.

Под неопределени уравнениятрябва да разберем, че това са уравнения, съдържащи повече от едно неизвестно. Обикновено хората, които решават тези уравнения, търсят решения в цели числа.

Решаването на неопределени уравнения е много вълнуващо и информативно занимание, което допринася за формирането на изобретателността, наблюдателността, вниманието на учениците, както и за развитието на паметта и ориентацията, способността за логично мислене, анализиране, сравняване и обобщаване. Все още не съм намерил обща техника, но сега ще ви разкажа за някои методи за решаване на такива уравнения в естествени числа.

Тази тема не е напълно застъпена в съществуващите учебници по математика, а задачи се предлагат на олимпиади и централизирано тестване. Това ме заинтересува и увлече толкова много, че при решаването на различни уравнения и задачи събрах цяла колекция от собствени решения, които разделихме с учителя според методите и методите на решаване. И така, каква е целта ми на работа?

моя мишенаанализират решения на уравнения с няколко променливи върху множеството от естествени числа.

Като начало ще разгледаме практически задачи и след това ще преминем към решаване на уравнения.

Каква е дължината на страните на правоъгълник, ако неговият периметър е числено равен на неговата площ?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N и y€ N

P=S

2x+2y=xy font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Отговор: (4:4); (3:6); (6:3).

Намерете начини да платите 47 рубли, ако за това можете да използвате само банкноти от три и пет рубли.

Решение

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€З

Естествените стойности на x и y съответстват на K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Задача за шега

Докажете, че има решение на уравнението 29x+30y+31 z=336 в естествени числа.

Доказателство

Една високосна година има 366 дни и един месец има 29 дни, четири месеца имат 30 дни,

7 месеца - 31 дни.

Решението е три (1:4:7). Това означава, че има решение на уравнението в естествени числа.

1. Решаване на уравнения чрез разлагане на множители

1) Решете уравнението x2-y2=91 в естествени числа

Решение

(x-y)(x+y)=91

Решение 8 системи

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Отговор: ( 46:45):(10:3).

2) Решете уравнението x3 + 91 \u003d y3 в естествени числа

Решение

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Решение 8 системи

у-х=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

у-х=13

y2+xy+x2=7

няма решения в цели числа

у-х=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Останалите 4 системи нямат решения в цели числа. Условието е изпълнено от едно решение.

Отговор: (5:6).

3) Решете уравнението xy=x+y в естествени числа

Решение

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Решение 2 системи

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

х-1= -1

(0:0)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

х-1=1

(2:2)

Отговор: (2:2).

4) Решете уравнението 2x2+5xy-12y2=28 в естествени числа

Решение

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - естествени числа; (x+4y)€н

(x+4y)≥5

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

няма решения в естествени числа

Отговор: (8:5).

5) реши уравнението 2xy=x2+2y в естествени числа

Решение

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

х-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

х-1= -1

няма решения в естествени числа

Отговор: (2:2).

6) реши уравнението хприz-3 xy-2 xz+ yz+6 х-3 г-2 z= -4 в естествени числа

Решение

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Решение 6 системи

z -3= 1

х+1=1

у-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

х+1=-1

у-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

х+1=2

у-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

х+1=1

у-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

х +1 = 2

у-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

х +1= -1

y -2= -1

(-2:1:5)

Отговор: (1:3:4).

Помислете за по-сложно уравнение за мен.

7) Решете уравнението x2-4xy-5y2=1996 в естествени числа

Решение

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N, y € N; (x+y) € N; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

няма решения

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

няма решения

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

няма решения

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

няма решения

Отговор: x=832, y=166.

Нека заключим:при решаване на уравнения чрез факторизиране се използват формули за съкратено умножение, метод на групиране, метод на пълен квадратен избор .

2. Решаване на уравнения с две променливи (дискриминантен метод)

1) Решете уравнението 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 в естествени числа

Решение

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1.2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>=0

y=-1, x=1

Отговор:няма решения.

2) Решете уравнението 3(x2+xy+y2)=x+8y в естествени числа

Решение

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€н , y=1, 2, 3. Преминавайки през тези стойности, имаме (1:1).

Отговор: (1:1).

3) Решете уравнението x4-y4-20x2+28y2=107 в естествени числа

Решение

Въвеждаме замяна: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1.2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Уравнението изглежда така:

(a-a+4)(a+a-24)=1

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

няма решения в естествени числа;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 няма решения в естествени и цели числаОтговор: (4:3),(2:3).

3. Остатъчен метод

При решаване на уравнения по остатъчния метод много често се използват следните задачи:

А) Какви остатъци може да даде, когато се раздели на 3 и 4?

Много е просто, когато се дели на 3 или 4, точните квадрати могат да дадат два възможни остатъка: 0 или 1.

Б) Какви остатъци могат да дадат точни кубчета при деление на 7 и 9?

При деление на 7 могат да дадат остатъци: 0, 1, 6; и при деление на 9: 0, 1, 8.

1) Решете уравнението x2+y2=4 z-1 в естествени числа

Решение

x2+y2+1=4z

Помислете какви остатъци може да даде, когато се раздели на 4, лявата и дясната страна на това уравнение. Когато се разделят на 4, точните квадрати могат да дадат само два различни остатъка 0 и 1. Тогава x2 + y2 + 1, когато се раздели на 4, дават остатъци 1, 2, 3 и 4 z разделено без остатък.

Следователно това уравнение няма решения.

2) Решете уравнението 1!+2!+3!+ …+x!= y2 в естествени числа

Решение

а) X=1, 1!=1, след това y2=1, y=±1 (1:1)

б) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, т.е. y2= 9, y=±3 (3:3)

° С) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, т.е. y=±font-size:14.0pt;line-height:150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (няма), y2=33

д) x≥5, 5!+6!+…+x!, представете си 10 n , n € N

1!+2!+3! +5!+...+x!=33+10n

Число, завършващо на 3, означава, че не може да бъде квадрат на цяло число. Следователно x≥5 няма решения в естествени числа.

Отговор:(3:3) и (1:1).

3) Докажете, че няма решения в естествени числа

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Доказателство

Да приемем, че системата е разрешима z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - нечетно число

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2е четно число, y = 2 n , n € N

x2=8n3 +7, т.е x2е нечетно число и хстранно, x = 2 r+1, n € N

Заместител х И при в първото уравнение,

2(r 2 + r -2n 3 )=3

Не е възможно, тъй като лявата страна на уравнението се дели на две, а дясната не се дели, което означава, че предположението ни не е вярно, тоест системата няма решения в естествени числа.

4. Метод на безкрайно спускане

Решаваме по следната схема:

Да предположим, че уравнението има решение, ние изграждаме определен безкраен процес, докато според самия смисъл на проблема този процес трябва да завърши на четна стъпка.

1)Докажете, че уравнението 8x4+4y4+2 z4 = T4 няма решения в естествени числа

Доказателство

Да приемем, че уравнението има решение в цели числа, тогава следва това

t4 е четно число, тогава t също е четно

t=2t1, t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 е четен, тогава z =2 z 1, z 1 € Z

Заместител

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x е четно, т.е. x=2x, x1€ Z тогава

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Така x, y, z , T – четни числа, след това x1, y1, z1,t1 - дори. Тогава x, y, z, t и x1, y1, z 1, t 1 се делят на 2, т.е, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> иfont-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>.

И така, оказа се, че числото удовлетворява уравнението; са кратни на 2 и колкото и пъти да ги разделим на 2, винаги ще получим числа, кратни на 2. Единственото число, което отговаря на това условие, е нула. Но нулата не принадлежи към множеството от естествени числа.

5. Примерен метод

1) Намерете решения на уравнението font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Решение

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Решение 6 системи

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

x-p = -1

y=p-1, x=p-1

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= p2

x-p = p2

y=p2+p, x= p2+p

font-size:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= - p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Отговор:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Заключение

Обикновено решенията на неопределени уравнения се търсят в цели числа. Уравнения, в които се търсят само цели числа, се наричат ​​диофантинови.

Анализирах решенията на уравнения с повече от едно неизвестно, върху множеството от естествени числа. Такива уравнения са толкова разнообразни, че едва ли има някакъв начин, алгоритъм за решаването им. Решаването на такива уравнения изисква изобретателност и допринася за придобиване на умения за самостоятелна работа по математика.

Реших примерите с най-простите методи. Най-простата техника за решаване на такива уравнения е да изразим една променлива по отношение на останалите и получаваме израз, който ще изследваме, за да намерим тези променливи, за които той е естествен (цяло число).

В същото време понятията и факти, свързани с делимостта, като прости и съставни числа, знаци за делимост, относително прости числа и др.

Особено често се използва:

1) Ако дадено произведение се дели на просто число p, то поне един от неговите множители се дели на p.

2) Ако произведението се дели на някакво число си един от множителите е взаимнопрост с числото с, тогава вторият множител се дели на с.