Какъв е възелът на взаимно простите числа. Най-голям общ делител

Естествените числа a и b се наричат взаимно приме, ако техният най-голям общ делител е 1 (gcd(a ; b ) = 1). С други думи, ако числата a и b нямат общи делители, различни от 1, тогава те са взаимно прости.

Примери за двойки взаимно прости числа: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т.н. Можете да посочите няколко взаимно прости числа, например числата 7, 9, 16 са взаимно прости.

Често взаимно простите числа се обозначават по следния начин: (a, b) = 1. Например (23, 30) = 1. Този запис е, така да се каже, съкращение за обозначаването на най-големия общ делител на две числа (НОД (23, 30) \u003d 1) и казва, че техният най-голям общ делител е 1.

Две съседни естествени числа винаги ще бъдат взаимно прости.Например 15 и 16 са двойка взаимно прости числа, точно както 16 и 17. Това е лесно за разбиране, ако вземем предвид „правилото“, че ако две естествени числа a и b се делят на едно и също естествено число, по-голямо от 1 ( n > 1), то разликата им също трябва да се дели на това число n (тук имаме предвид, че a, b и разликата им се делят на цяло число, т.е. те са кратни на числото n). Но ако a и b са две съседни числа (нека a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

От определението за взаимно прости числа и прости числа следва също, че различните прости числа винаги са взаимно прости. В крайна сметка единствените делители на всяко просто число са самото себе си и 1.

Свойства на взаимно простите числа

• Най-малкото общо кратно (LCM) на двойка взаимно прости числа е равно на техния продукт.Например (3, 8) = 1 (което означава относително просто), така че техният LCM е 3 × 8 = 24 (LCM (3, 8) = 24). Наистина, няма да намерите по-малко число от 24, което да е кратно както на 3, така и на 8.
• Ако числата a и b са взаимно прости и числото c е кратно както на a, така и на b, тогава това число също ще бъде кратно на произведението на ab. Това може да се запише по следния начин: ако c a и c b , то c ab . Например, (3, 10) = 1, числото 60 е кратно както на 3, така и на 10 и също е кратно на 30 (3 × 10).
• Ако числата a и b са взаимно прости и числото c се приеме като кратно на b (c b ), тогава произведението ac също ще бъде кратно на b (ac b ). Например, (2, 17) = 1, нека c = 34. Числото 34 е кратно на b = 17, тогава ac ​​= 2 × 34 = 68. Проверете: 68 ÷ 17 = 4, т.е. то се дели, което означава, че 68 е кратно на 17.

Обикновено има повече имоти от изброените тук. Освен това свойствата на относително простите числа се формулират по различни начини. Понякога се изисква и доказване на тези свойства (в този случай не се дават доказателства).

Най-големият общ делител на взаимно прости числа винаги е единица.

Примери за възли на относително прости числа.

НОД на числата 11 и 7

Числата 11 и 7 са взаимно прости и в същото време прости.

Числата 11 и 7 нямат други общи делители освен 1.

gcd(11, 7) = 1

НОД на числата 11 и 15

Числата 11 и 15 са относително прости. В този случай 11 е просто число, а 15 е съставно число.

Делителите на 11 са 1 и 11.

Делителите на 15 са 1, 3, 5, 15.

Както можете да видите, единственият общ множител на числата 11 и 15 е числото 1. Следователно единицата е НОД на числата 11 и 15:

gcd(11, 15) = 1

НОД на числата 10 и 21

Числата 10 и 21 са относително прости. В този случай и числото 10, и числото 21 са съставни.

Факторите на 10 са 1, 2, 5, 10.

Факторите на числото 21 са 1, 3, 7, 21.

Както можете да видите, единственият общ множител на числата 10 и 21 е числото 1. Следователно единицата е НОД на числата 10 и 21:

gcd(21, 10) = 1

НОД на числата 16 и 23

Числата 16 и 23 са взаимно прости. В този случай 23 е просто число, а 16 е съставно число.

Задача: Намерете НОД и НОК на числата по най-удобния начин:

а) 12 и 40; б) 9 и 40; в) 12 и 72.

За задачата се дават 5 минути.

Какъв е най-добрият начин за изпълнение на всяко упражнение?

Разбивка на слайда.

а) По-удобно е да се решава чрез метода на разлагане на прости множители

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

НОД(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

б) Числата 9 и 40 имат ли общи делители? (е, 1.)

Как се наричат ​​тези числа? ? (Копрости.)

Какъв е НОД на тези числа ? (gcd(9;40) = 1)

Какъв е LCM на тези числа ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

в) Какво можете да кажете за числата 12 и 72? ? (72 делено на 12) Какво правило знаем? (ако едно число се дели на друго, тогава GCD = най-малкото число, а LCM - най-голямото)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Проверете данните, които сте получили със стандарта, който лежи на масата на учителя.

FO: Оценяват се според критериите, записани в стандартния лист. Поставяне на отметка до критерия.

7 отметки - високо ниво

6-4 отметки - средно ниво

1-3 отметки - ниско ниво

Физминутка

Бързо стана, усмихна се,

Издърпан по-високо.

Е, изправете рамене

Повдигнете, спуснете.

Завийте надясно, завийте наляво

Докоснете ръцете си с коленете.

Седни, стани, седни, стани

И хукнаха на място.

Въпрос на учителя: Къде вече използваме знанията си за GCD и LCM числа?

При решаване на проблеми.

Пред тях на масата на учителя има „лайка от задачи“, състояща се от 21 листенца.

Червено венчелистче - задачи от ниво C.

Жълто венчелистче - задачи от ниво B.

Зелено листенце - задачи от А ниво.

	Маша купи яйца за Мечето в магазина. По пътя към гората тя разбрала, че броят на яйцата се дели на 2,3,5,10 и 15. Колко яйца е купила Маша?
	От 210 бордо, 126 бели, 294 червени рози са събрани букети, като във всеки букет е равен броят на розите от един и същи цвят. Какъв е най-големият брой букети, направени от тези рози и колко рози от всеки цвят има в един букет?
	Лист от картон има формата на правоъгълник, чиято дължина е 48 см, а ширината е 40 см. Този лист трябва да бъде нарязан без отпадъци на равни квадрати. Кои са най-големите квадрати, които могат да се получат от този лист и колко?
	Колко войници маршируват на плаца, ако маршируват в строй от 12 души в редица и се престроят в колона от 18 души в редица?
	От пристанищния град започват три туристически разходки с корабче, първото от които е с продължителност 15 дни, второто - 20 и третото - 12 дни. Връщайки се в пристанището, корабите в същия ден отново тръгват на пътешествие. И по трите направления днес от пристанището тръгнаха моторни кораби. След колко дни ще плават заедно за първи път?Колко пътувания ще направи всеки кораб?
	Камината в стаята трябва да бъде поставена с довършителни плочки във формата на квадрат. Колко плочки са необходими за 195 ͯ 156 cm камина и какви са най-големите размери на плочките?
	Стъпката на Володя е 75 см, а на Катя - 60 см. На какво минимално разстояние ще направят и двамата цяло число крачки?
	За новогодишните подаръци купихме 180 ябълки, 90 портокала и 900 сладки. Всички деца получиха еднакви подаръци. Какъв е най-големият брой еднакви подаръци, съставени от тези плодове и сладки?
	Градински парцел с размери 54 ͯ 48 m около периметъра трябва да бъде ограден, за това трябва да се поставят бетонни стълбове на равни интервали. Колко стълба трябва да се донесат за обекта и на какво максимално разстояние един от друг ще стоят стълбовете?
	Намерете: LCM(360;252).
	За новогодишните подаръци са закупени 78 шоколадови блокчета, 156 меденки, 52 пакета бисквити, 104 портокала и 130 ябълки. Какъв е най-големият брой еднакви подаръци, които можете да съберете?
	Необходимо е да се направи кутия с квадратно дъно за подреждане на кутии с размери 16 ͯ 20 cm. Каква трябва да бъде най-късата страна на квадратното дъно, за да се поберат кутиите наравно с кутията?
	Изчислете GCD(720,216), LCM(720,216).
	Какво е съотношението на LCM (308.264) към GCM (308.264)?
	За аранжирането на елхата са закупени ядки, сладки и меденки – общо 760 бр. Те взеха 80 повече ядки, отколкото сладкиши, и 120 по-малко меденки, отколкото ядки. Какъв е най-големият брой еднакви подаръци за деца, които могат да бъдат направени от този запас?
	Намерете LCM(84,160,96),
	Намерете частното на LCM(24, 2004), делено на НОД на същите числа.
	Намерете най-малкото естествено число, кратно на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Намерете НОД (56, 72).
	На масата има книги, чийто брой е по-малък от 100. Колко са книгите, ако се знае, че могат да се свържат в пакети по 3, 4 и 5 броя?
	Магазинът донесе по-малко от 600, но повече от 500 чинии. Когато започнаха да ги подреждат на десетки, тогава 3 чинии не бяха достатъчни, за да достигнат пълния брой десетки, а когато започнаха да ги подреждат на десетки (по 12 чинии), тогава останаха 7 чинии. Колко чинии донесохте в магазина?

FD:Преобладаващият брой венчелистчета в червено показва високо ниво на асимилация, жълто - средно ниво на асимилация и зелено - ниско ниво на асимилация.