Математически модели на най-простите системи за масово обслужване. Функциите p0(t) и p1(t) определят преходния процес в едноканален QS и описват процеса на QS, експоненциално приближаващ граничното си състояние с характерна времева константа d

23 октомври 2013 г. в 14:22 ч

Squeak: Моделиране на системи за опашка

• програмиране,
• ООП,
• Паралелно програмиране

В Habré има много малко информация за такъв език за програмиране като Squeak. Ще се опитам да говоря за това в контекста на моделирането на системи за масово обслужване. Ще покажа как да напиша прост клас, да опиша структурата му и да го използвам в програма, която ще обслужва заявки през няколко канала.

Няколко думи за Squeak

Squeak е отворена, междуплатформена реализация на езика за програмиране Smalltalk-80 с динамично писане и събирач на отпадъци. Интерфейсът е доста специфичен, но доста удобен за отстраняване на грешки и анализ. Squeak напълно отговаря на концепцията на OOP. Всичко е съставено от обекти, дори структури ако-тогава-иначе, за, докатореализирани с тяхна помощ. Целият синтаксис се свежда до изпращане на съобщение до обекта във формата:

<объект> <сообщение>

Всеки метод винаги връща обект и към него може да бъде изпратено ново съобщение.
Squeak често се използва за моделиране на процеси, но може да се използва и като инструмент за създаване на мултимедийни приложения и различни образователни платформи.

Системи за масово обслужване

Системите за опашка (QS) съдържат един или повече канали, които обработват приложения от няколко източника. Времето за обслужване на всяка заявка може да бъде фиксирано или произволно, както и интервалите между тяхното пристигане. Това може да бъде телефонна централа, пералня, касиери в магазин, машинописно бюро и т.н. Изглежда по следния начин:

QS включва няколко източника, които влизат в общата опашка и се изпращат за обслужване, когато каналите за обработка се освободят. В зависимост от специфичните характеристики на реалните системи, моделът може да съдържа различен брой източници на заявки и канали за обслужване и да има различни ограничения върху дължината на опашката и свързаната с тях възможност за загуба на заявки (откази).

При моделирането на QS обикновено се решават задачите за оценка на средната и максималната дължина на опашката, честотата на отказ на услуга, средното натоварване на канала и определянето на техния брой. В зависимост от задачата моделът включва програмни блокове за събиране, натрупване и обработка на необходимите статистически данни за поведението на процесите. Най-често използваните модели на потока от събития в QS анализа са регулярни и Poisson. Регулярните се характеризират с еднакво време между настъпването на събитията, докато поасоновите са случайни.

Малко математика

За поток на Поасон, броят на събитията хпопадащи в интервала на дължина τ (тау) в съседство с точката T, разпределени по закона на Поасон:
където a (t, τ)- средният брой събития, настъпили в интервала от време τ .
Средният брой събития, случващи се за единица време, е равен на λ(t). Следователно средният брой събития за интервал от време τ , съседен на момент от време T, ще бъде равно на:

време Tмежду две събития λ(t) = const = λразпределени съгласно закона:
Плътност на разпределение на случайна величина Tизглежда като:
За получаване на псевдослучайни поасонови последователности от времеви интервали t iреши уравнението:
където r iе произволно число, равномерно разпределено в интервала.
В нашия случай това дава израза:

Чрез генериране на произволни числа можете да напишете цели томове. Тук, за да генерираме цели числа, равномерно разпределени в интервала, използваме следния алгоритъм:
където R i- друго произволно цяло число;
Р- някое голямо просто число (напр. 2311);
Q- цяло число - горната граница на интервала, например 2 21 = 2097152;
рем- операцията за получаване на остатъка от деленето на цели числа.

Първоначална стойност R0обикновено се задава произволно, например, като се използват показанията на таймера:
Общо време секунди
За да получим числа, равномерно разпределени в интервала, използваме езиковия оператор:

Ранд клас

За да получим случайни числа, равномерно разпределени в интервала, създаваме клас - генератор на реални числа:

Float variableWordSubclass: #Rand "име на клас" instanceVariableNames: "" "променливи на екземпляр" classVariableNames: "R" "променливи на клас" poolDictionaries: "" "общи речници" категория: "Пример" "име на категория"
Методи:

"Инициализация" init R:= Time totalSeconds.next "Следващо псевдослучайно число" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
За да зададете първоначалното състояние на сензора, изпратете съобщение Rand инициал.
За да получите друго произволно число, изпратете Ранд следващ.

Програма за обработка на заявления

И така, като прост пример, нека направим следното. Да предположим, че трябва да симулираме поддържането на редовен поток от заявки от един източник със случаен интервал от време между заявките. Има два канала с различна производителност, които позволяват обслужване на приложения съответно за 2 и 7 единици време. Необходимо е да се регистрира броя на заявките, обслужени от всеки канал в интервал от 100 времеви единици.

Скърцащ код

„Деклариране на временни променливи“ | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority опашка продължи r | "Първоначални настройки на променлива" Rand инициал. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. продължи:=вярно. sysPriority:= Приоритет на активния процес на процесора. Опашка "Текущ приоритет":= Семафор нов. "Claim Queue Model" "Creating Process - Channel Model 1" s1:= s1 + 1. proc1 suspend."Suspend process pending service termination" ].proc1:= nil."Remove reference to process 1" ]priority: (sysPriority + 1)) резюме. „Новият приоритет е по-голям от фоновия“ „Създаване на процес – модел на канал 2“ .proc2:= nil.] приоритет: (sysPriority + 1)) възобновяване. „Продължаващо описание на основния процес и изходния модел“ whileTrue: [ r:= (Rand next * 10) закръглено. (r = 0) ifTrue: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . „Изпращане на заявка“ „Превключване на процеса на обслужване“ (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. „Времето на модела тиктака“ ]. „Показване на състоянието на брояча на заявки“ PopUpMenu информира: „proc1: „,(s1 printString),“, proc2: „,(s2 printString). продължи:= невярно.

При стартиране виждаме, че процес 1 успя да обработи 31 заявки, а процес 2 само 11:

Класификация, основни понятия, елементи на модела, изчисляване на основните характеристики.

При решаване на проблемите на рационалната организация на търговията, потребителското обслужване, складирането и др. много полезна е интерпретацията на дейностите на производствената структура като системи за масово обслужване, т.е. система, в която, от една страна, непрекъснато възникват заявки за извършване на каквато и да е работа, а от друга страна, тези заявки непрекъснато се удовлетворяват.

Всеки SMO ​​включва четири елемента: входящ поток, опашка, сървър, изходящ поток.

изискване(клиент, приложение) в QS е всяка индивидуална заявка за изпълнение на всяка работа.

Обслужванее изпълнението на работа за задоволяване на входящото търсене. Обектът, който изпълнява поддръжката на изискванията, се нарича сервизно устройство (устройство) или сервизен канал.

Времето за обслужване е периодът, през който е изпълнено изискването за обслужване, т.е. периодът от началото на услугата до нейното завършване. Периодът от момента на влизане на заявка в системата до началото на услугата се нарича време за изчакване на услугата. Времето за изчакване за обслужване, заедно с времето за обслужване, е времето на престой на изискването в системата.

SMO се класифицират според различни критерии..

1. Според броя на обслужващите канали QS се делят на едноканални и многоканални.

2. В зависимост от условията на изчакване изискването за стартиране на услугата разграничава QS със загуби (откази) и QS с изчакване.

AT QS със загуба на търсене, получени в момента, когато всички устройства са заети с поддръжка, се отхвърлят, те се губят за тази система и нямат ефект върху по-нататъшния процес на поддръжка. Класическият пример за неизправна система е телефонната централа - заявка за връзка се отказва, ако повикваният е зает.

За система с повреди основната характеристика на ефективността на функциониране е вероятността от повреда или средната част на заявките, които остават необслужени.

AT CMO с чакащо търсене, получен в момента, когато всички устройства са заети с обслужване, не напуска системата, а се нарежда на опашка и чака докато някой от каналите се освободи. При освобождаване на следващото устройство едно от приложенията в опашката веднага се приема за обслужване.

За QS с изчакване основните характеристики са математическите очаквания на дължината на опашката и времето на изчакване.

Пример за система за изчакване и вижте е процесът на възстановяване на телевизори в сервиз.

Има системи, които се намират между тези две групи ( смесени ООП). Те се характеризират с наличието на някои междинни условия: ограниченията могат да бъдат ограничения на времето за изчакване за начало на услугата, на дължината на опашката и др.

Като характеристики на ефективността, вероятността от повреда може да се използва както в системи със загуби (или характеристики на времето за изчакване), така и в системи с изчакване.

3. Според дисциплината на обслужване QS се разделят на системи с приоритет на обслужване и системи без приоритет на обслужване.

Заявките могат да се обслужват в реда, в който са получени, на случаен принцип или въз основа на установени приоритети.

4. QS може да бъде еднофазен и многофазен.

AT монофазнисистеми, изискванията се обслужват от канали от същия тип (например работници от една и съща професия), без да се прехвърлят от един канал в друг, в многофазенсистеми такива трансфери са възможни.

5. Според местоположението на източника на изисквания СК се делят на отворени (когато източникът на изискването е извън системата) и затворени (когато източникът е в самата система).

Да се затворенвключват системи, в които входящият поток от изисквания е ограничен. Например, бригадир, чиято задача е да настрои машините в цеха, трябва периодично да ги обслужва. Всяка настроена машина се превръща в потенциален източник на изисквания за настройка в бъдеще. В такива системи общият брой на циркулиращите искове е краен и най-често постоянен.

Ако източникът на доставка има безкраен брой изисквания, тогава се извикват системите отворен. Примери за такива системи са магазини, билетни каси на гари, пристанища и др. За тези системи входящият поток от заявки може да се счита за неограничен.

Методите и моделите за изследване на QS могат условно да се разделят на аналитични и статистически (симулационно моделиране на процеси на масово обслужване).

Аналитичните методи позволяват да се получат характеристиките на системата като някои функции на параметрите на нейното функциониране. Това дава възможност да се извърши качествен анализ на влиянието на отделните фактори върху ефективността на QS.

За съжаление, само доста ограничен набор от проблеми в теорията на масовото обслужване могат да бъдат решени аналитично. Въпреки продължаващото развитие на аналитичните методи, в много реални случаи аналитично решение или е невъзможно да се получи, или получените зависимости се оказват толкова сложни, че анализът им се превръща в самостоятелна трудна задача. Следователно, за да можем да приложим аналитични методи за решаване, трябва да прибягваме до различни опростяващи допускания, което до известна степен се компенсира от възможността за прилагане на качествен анализ на крайните зависимости (в този случай, разбира се, необходимо е направените предположения да не изкривяват реалната картина на процеса).

Понастоящем теоретично най-развитите и удобни в практическите приложения са методите за решаване на такива проблеми с опашката, при които потокът от изисквания е най-прост ( Поасон).

За най-простия поток честотата на получаване на изисквания в системата се подчинява на закона на Поасон, т.е. вероятността за пристигане във време t, равно на k изисквания, се дава по формулата:

където λ е параметърът на потока (виж по-долу).

Най-простият поток има три основни свойства: обикновен, стационарен и без последействие.

Обикновеностпоток означава практическата невъзможност за едновременно получаване на две или повече изисквания. Например, вероятността няколко машини от група машини, обслужвани от екип от майстори да се повредят едновременно, е доста малка.

СтационаренНаречен поток, за които математическото очакване на броя на рекламациите, постъпващи в системата за единица време (означено с λ), не се променя във времето. По този начин вероятността определен брой искове да влязат в системата през даден интервал от време Δt зависи от неговата стойност и не зависи от произхода му на времевата ос.

Без последействиеозначава, че броят на клиентите, влизащи в системата преди време t, не определя колко клиенти ще влязат в системата за време t + Δt.

Например, ако в момента се случи скъсване на нишка на стан и то се елиминира от тъкача, то това не определя дали в следващия момент ще се появи ново скъсване на този стан или не, още повече че не засягат вероятността от повреда на други машини.

Важна характеристика на QS е времето за обслужване на изискванията в системата. Времето на обслужване по правило е случайна променлива и следователно може да се опише със закон за разпределение. Експоненциалният закон е получил най-голямо разпространение в теорията и особено в практическите приложения. За този закон функцията на разпределение на вероятностите има формата:

F(t) \u003d 1 - e -μt,

тези. вероятността времето за обслужване да не надвишава определена стойност t се определя по формулата (1 - e -μt), където μ е параметърът на експоненциалния закон на времето за обслужване на изискванията в системата - реципрочната стойност на средната време за обслужване, т.е. .

Разгледайте аналитичните QS модели с очаквания(най-разпространеният QS, при който заявките, получени в момента, когато всички обслужващи звена са заети, се нареждат на опашка и се обслужват, когато обслужващите звена се освободят).

Задачите с опашки са типични в производствени условия, например при организиране на настройка и ремонтни работи, по време на поддръжка на много машини и др.

Общата постановка на проблема е следната.

Системата се състои от n обслужващи канала. Всеки от тях може да обслужва само една заявка наведнъж. Системата получава най-простия (поасонов) поток от изисквания с параметър λ. Ако в момента на пристигането на следващата заявка в системата вече има най-малко n заявки в услуга (т.е. всички канали са заети), тогава тази заявка влиза в опашката и чака услугата да започне.

Времето за обслужване на всяко изискване t около е случайна променлива, която се подчинява на експоненциалния закон на разпределение с параметър μ.

Както беше отбелязано по-горе, QS с очакване може да се раздели на две големи групи: затворени и отворени.

Характеристиките на функционирането на всеки от тези два типа системи налагат своя нюанс върху използвания математически апарат. Изчисляването на характеристиките на работата на QS от различни типове може да се извърши въз основа на изчисляването на вероятностите на състоянията на QS (формули на Erlang).

Тъй като системата е затворена, към формулировката на проблема трябва да се добави условие: потокът от входящи заявки е ограничен, т.е. системата за масово обслужване не може да има повече от m заявки едновременно (m е броят на обслужваните обекти).

Като основни критерии, характеризиращи качеството на функциониране на разглежданата система, ще изберем: 1) съотношението на средната дължина на опашката към най-големия брой изисквания, които са едновременно в обслужващата система - коефициентът на престой на обслужвания обект; 2) съотношението на средния брой неактивни обслужващи канали към общия им брой е коефициентът на неактивност на обслужвания канал.

Помислете за изчисляването на необходимите вероятностни характеристики (показатели за ефективност) на затворена QS.

1. Вероятността в системата да има k изисквания, при условие че техният брой не надвишава броя на сервизните устройства n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

където

λ е честотата (интензивността) на получаване на изисквания в системата от един източник;

Средна продължителност на обслужване на едно изискване;

m - възможно най-големият брой изисквания, които се намират в обслужващата система едновременно;

n е броят на сервизните устройства;

P 0 - вероятността всички сервизни устройства да са свободни.

2. Вероятността в системата да има k изисквания, при условие че техният брой е по-голям от броя на обслужващите устройства:

P k = α k P 0, (n ≤ k ≤ m),

където

3. Вероятността всички сървъри да са свободни се определя от условието

Следователно,

4. Среден брой заявки, чакащи за стартиране на услугата (средна дължина на опашката):

5. Коефициент на престой при търсене в очакване на услуга:

6. Вероятността всички обслужващи устройства да са заети:

7. Средният брой изисквания в сервизната система (обслужени и чакащи услуга):

8. Съотношението на общото време на престой на изискванията за обслужване и изчакване за обслужване:

9. Средно време на престой на иск в опашка за обслужване:

10. Среден брой свободни служители:

11. Коефициент на престой на сервизните превозни средства:

12. Вероятността броят на клиентите, които чакат да бъдат обслужени, да е по-голям от някакво число B (вероятността да има повече от B клиенти в опашката за обслужване):

В много области на икономиката, финансите, производството и ежедневието важна роля играят системи, които реализират многократно изпълнение на задачи от един и същи тип. Такива системи се наричат системи за опашка ( CMO ). Примери за SMOs са: банки от различен тип, застрахователни организации, данъчни инспекции, одиторски услуги, различни комуникационни системи, товаро-разтоварни комплекси, бензиностанции, различни предприятия и организации в сектора на услугите.

3.1.1 Обща информация за системите за масово обслужване

Всеки QS е проектиран да обслужва (изпълнява) определен поток от приложения (изисквания), които пристигат на входа на системата в по-голямата си част не редовно, а в произволни моменти. Обслужването на приложения също продължава не постоянно, предварително определено време, а произволно, което зависи от много случайни, понякога неизвестни за нас причини. След обслужване на заявката каналът се освобождава и е готов да приеме следваща заявка. Случайният характер на потока от приложения и времето на тяхното обслужване води до неравномерно натоварване на QS. В някои интервали от време заявките могат да се натрупват на входа на QS, което води до претоварване на QS, докато в някои други интервали от време, със свободни канали (сервизни устройства), няма да има заявки на входа на QS, което води до недостатъчно натоварване на QS, т.е. да задейства каналите си. Приложенията, които се натрупват на входа на QS, или „попадат“ в опашката, или поради някаква причина невъзможността за по-нататъшно оставане в опашката оставят QS необслужен.

Фигура 3.1 показва диаграма на QS.

Основните елементи (характеристики) на системите за масово обслужване са:

Сервизен възел (блок),

поток от приложения,

Завъртетечакане за обслужване (дисциплина на опашка).

Сервизен блокпроектиран да извършва действия в съответствие с изискванията на входящата система приложения.

Ориз. 3.1 Схема на системата за масово обслужване

Вторият компонент на системите за масово обслужване е входът поток на приложението.Приложенията влизат в системата произволно. Обикновено се приема, че входният поток се подчинява на определен вероятностен закон за продължителността на интервалите между две последователно пристигащи заявки, а законът за разпределение се счита за непроменен за известно достатъчно дълго време. Източникът на приложения е неограничен.

Третият компонент е дисциплина на опашката. Тази характеристика описва реда на обслужване на заявките, пристигащи на входа на системата. Тъй като обслужващият блок обикновено има ограничен капацитет и заявките пристигат нередовно, периодично се създава опашка от заявки, които чакат услуга, а понякога обслужващата система не работи в очакване на заявки.

Основната характеристика на процесите на опашка е случайността. В този случай има две взаимодействащи страни: обслужван и обслужващ. Случайното поведение на поне една от страните води до случайния характер на протичането на процеса на обслужване като цяло. Източниците на случайност във взаимодействието на тези две страни са случайни събития от два вида.

1. Появата на заявление (изискване) за услуга. Причината за случайността на това събитие често е масовият характер на нуждата от услуга.

2. Край на услугата на следващата заявка. Причините за случайността на това събитие са както случайността на стартиране на услугата, така и произволната продължителност на самата услуга.

Тези случайни събития представляват система от два потока в QS: входен поток от заявки за услуги и изходен поток от обслужвани заявки.

Резултатът от взаимодействието на тези потоци от случайни събития е броят на приложенията в QS в момента, който обикновено се нарича състоянието на системата.

Всяка QS, в зависимост от своите параметри на естеството на потока от приложения, броя на каналите за обслужване и тяхната производителност, от правилата за организиране на работа, има определена ефективност на функциониране (капацитет), което му позволява успешно да се справя с поток от приложения.

Специална област на приложната математика теория на масатауслуга (TMO)– занимава се с анализ на процесите в системите за масово обслужване. Предмет на изучаване на теорията на масовото обслужване е QS.

Целта на теорията на масовото обслужване е да разработи препоръки за рационално изграждане на QS, рационална организация на тяхната работа и регулиране на потока от приложения, за да се осигури висока ефективност на QS. За постигането на тази цел се поставят задачите на теорията на масовото обслужване, които се състоят в установяване на зависимостите на ефективността на функциониране на СМО от нейната организация.

Задачите на теорията на масовото обслужване са от оптимизационен характер и в крайна сметка са насочени към определяне на такъв вариант на системата, който ще осигури минимум общи разходи от чакане за обслужване, загуба на време и ресурси за обслужване и от празен обслужващ блок . Познаването на тези характеристики предоставя на мениджъра информация за разработване на насочено въздействие върху тези характеристики за управление на ефективността на процесите на опашка.

Като характеристики на ефективността на функционирането на QS обикновено се избират следните три основни групи (обикновено средни) показатели:

Индикатори за ефективността на използването на QS:

Абсолютната производителност на QS е средният брой заявки, които QS може да обслужи за единица време.

Относителната пропускателна способност на QS е съотношението на средния брой приложения, обслужени от QS за единица време, към средния брой приложения, получени през същото време.

Средната продължителност на периода на заетост на SMO.

Степен на използване на QS - средният дял от времето, през което QS е зает с обслужване на приложения и др.

Индикатори за качество на услугата на приложението:

Средно време за изчакване на приложение на опашката.

Средно време на престой на приложение в CMO.

Вероятност заявката да бъде отказана услуга без изчакване.

Вероятността входяща заявка да бъде незабавно приета за обслужване.

Законът за разпределение на времето, през което приложението стои в опашката.

Законът за разпределение на времето, прекарано от приложението в QS.

Средният брой приложения в опашката.

Средният брой приложения в QS и др.

Индикаторите за ефективност на двойката "QS - потребител", където "потребител" означава целия набор от приложения или някои от тях

работа или ефективност на системата за масово обслужване са както следва.

За CMO с неуспехи:

За CMO с неограничено чаканекакто абсолютната, така и относителната пропускателна способност губят значението си, тъй като всяка входяща заявка ще бъде обслужена рано или късно. За такъв QS важни показатели са:

За CMO смесен типизползват се и двете групи показатели: и относителни, и абсолютна честотна лентаи характеристики на очакванията.

В зависимост от целта на операцията на опашката, всеки от горните индикатори (или набор от индикатори) може да бъде избран като критерий за ефективност.

аналитичен модел QS е набор от уравнения или формули, които позволяват да се определят вероятностите от състояния на системата в хода на нейната работа и да се изчислят показателите за ефективност въз основа на известни характеристики на входящия поток и каналите за обслужване.

Няма общ аналитичен модел за произволна QS. Разработени са аналитични модели за ограничен брой специални случаи на QS. Аналитичните модели, които повече или по-малко точно представят реални системи, като правило са сложни и трудни за разглеждане.

Аналитичното моделиране на QS е значително улеснено, ако процесите, протичащи в QS, са марковски (потоците от заявки са прости, времето за обслужване е експоненциално разпределено). В този случай всички процеси в QS могат да бъдат описани с обикновени диференциални уравнения, а в граничния случай, за стационарни състояния, с линейни алгебрични уравнения и след тяхното решаване да се определят избраните показатели за ефективност.

Нека разгледаме примери за някои QS.

2.5.1. Многоканален QS с повреди

Пример 2.5. Трима пътни инспектори проверяват пътните листи на шофьорите на камиони. Ако поне един инспектор е свободен, преминаващият камион се спира. Ако всички инспектори са заети, камионът минава без спиране. Потокът от камиони е най-простият, времето за проверка е произволно с експоненциално разпределение.

Такава ситуация може да бъде симулирана чрез триканален QS с откази (без опашка). Системата е отворена, с хомогенни приложения, монофазна, с абсолютно надеждни канали.

Описание на състоянията:

Всички инспектори са безплатни;

Един инспектор е зает;

Двама инспектори са заети;

Трима инспектори са заети.

Графиката на състоянията на системата е показана на фиг. 2.11.

Ориз. 2.11.

На графиката: - интензивността на потока от товарни автомобили; - интензивността на проверките на документи от един пътен инспектор.

Симулацията се провежда, за да се определи частта от автомобилите, които няма да бъдат тествани.

Решение

Желаната част от вероятността е вероятността за наемане на работа и на тримата инспектори. Тъй като графиката на състоянието представлява типична схема на "смърт и размножаване", ще намерим с помощта на зависимости (2.2).

Пропускателната способност на този пост от инспектори по движението може да се характеризира относителна производителност:

Пример 2.6. За приемане и обработка на донесенията от разузнавателната група към разузнавателния отдел на сдружението е назначена група от трима офицери. Очакваната скорост на докладване е 15 доклада на час. Средното време за обработка на един доклад от един служител е . Всеки офицер може да получава доклади от всяка разузнавателна група. Освободеният служител обработва последния от получените доклади. Входящите отчети трябва да бъдат обработени с вероятност най-малко 95%.

Определете дали назначената група от трима офицери е достатъчна за изпълнение на възложената задача.

Решение

Група офицери работи като CMO с повреди, състояща се от три канала.

Потокът от доклади с интензивност може да се счита за най-простият, тъй като е съвкупност от няколко разузнавателни групи. Интензивност на поддръжката . Законът за разпределение е неизвестен, но това не е съществено, тъй като е показано, че за системи с повреди той може да бъде произволен.

Описанието на състоянията и графиката на състоянието на QS ще бъдат подобни на тези, дадени в Пример 2.5.

Тъй като графиката на състоянието е схема "смърт и размножаване", за нея има готови изрази за граничните вероятности на състоянието:

Отношението се нарича намалена интензивност на потока от приложения. Неговият физически смисъл е следният: стойността е средният брой заявки, идващи към QS за средното време за обслужване на една заявка.

В примера .

В разглежданата QS повреда възниква, когато и трите канала са заети, т.е. Тогава:

защото вероятност за повредапри обработката на отчетите е повече от 34% (), тогава е необходимо да се увеличи персоналът на групата. Нека удвоим състава на групата, т.е. QS вече ще има шест канала и изчислим:

По този начин само група от шест служители ще могат да обработват входящи доклади с вероятност от 95%.

2.5.2. Многоканален QS с изчакване

Пример 2.7. Във форсиращия участък има 15 еднотипни прелезни съоръжения. Потокът от превозни средства, пристигащи на прелеза, е средно 1 единица/мин, средното време за преминаване на една единица техника е 10 минути (като се вземе предвид връщането на прелезното съоръжение).

Оценете основните характеристики на пресичането, включително вероятността за незабавно пресичане веднага след пристигането на част от оборудването.

Решение

Абсолютна честотна лента, т.е. всичко, което идва на прелеза, почти веднага се пресича.

Среден брой действащи прелезни съоръжения:

Коефициенти на използване на пресичане и престой:

Разработена е и програма за решаване на примера. Времевите интервали за пристигане на техниката на прелеза, времето на преминаване се приемат разпределени по експоненциален закон.

Степента на използване на ферибота след 50 рейса е практически еднаква: .

ВЪВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМИ ЗА ОБСЛУЖВАНЕ НА ОПАШКА

1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване

1.2 Моделиране на системи за масово обслужване

1.3 QS графики на състоянието

1.4 Стохастични процеси

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСВАЩИ СИСТЕМИ ЗА ОПАК

2.1 Уравнения на Колмогоров

2.2 Процесите на "раждане - смърт"

2.3 Икономическо и математическо формулиране на проблемите с масовото обслужване

Глава III. МОДЕЛИ НА СИСТЕМИ ЗА ОПАКОВКА

3.1 Едноканален QS с отказ на обслужване

3.2 Многоканален QS с отказ на услуга

3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване

3.4 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

3.5 Едноканален QS с неограничена опашка

3.6 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката

3.7 Многоканален QS с неограничена опашка

3.8 Анализ на системата за опашки в супермаркети

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Въведение

В момента се появи голямо количество литература, която е пряко посветена на теорията на масовото обслужване, развитието на нейните математически аспекти, както и различни области на нейното приложение - военна, медицинска, транспортна, търговска, авиационна и др.

Теорията на опашките се основава на теорията на вероятностите и математическата статистика. Първоначалното развитие на теорията за масовото обслужване се свързва с името на датския учен А.К. Ерланг (1878-1929), с неговите трудове в областта на проектирането и експлоатацията на телефонни централи.

Теорията на опашките е област от приложната математика, която се занимава с анализ на процеси в системите за производство, услуги и контрол, в които хомогенни събития се повтарят много пъти, например в предприятия за потребителски услуги; в системи за приемане, обработка и предаване на информация; автоматични производствени линии и др. Голям принос за развитието на тази теория направиха руските математици А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцел и др.

Предметът на теорията на опашките е да се установят връзки между естеството на потока от заявки, броя на каналите за обслужване, производителността на един канал и ефективната услуга, за да се намерят най-добрите начини за контролиране на тези процеси. Задачите на теорията на масовото обслужване са от оптимизационен характер и в крайна сметка включват икономическия аспект за определяне на такъв вариант на системата, който ще осигури минимум общи разходи от чакане за обслужване, загуба на време и ресурси за обслужване и от престой. на обслужващи канали.

В търговските дейности приложението на теорията на опашките все още не е намерило желаното разпространение.

Това се дължи главно на трудността при поставяне на цели, необходимостта от задълбочено разбиране на съдържанието на търговските дейности, както и надеждни и точни инструменти, които позволяват изчисляване на различни варианти за последствията от управленските решения в търговските дейности.

Глава аз . Задаване на задачи за опашка

1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване

Природата на опашките в различни области е много фина и сложна. Търговската дейност е свързана с извършването на много операции на етапите на движение, например маса от стоки от сферата на производство към сферата на потребление. Такива операции са товарене на стоки, транспортиране, разтоварване, съхранение, обработка, пакетиране, продажба. В допълнение към тези основни операции, процесът на движение на стоките е съпроводен от голям брой предварителни, подготвителни, съпътстващи, паралелни и последващи операции с платежни документи, контейнери, пари, автомобили, клиенти и др.

Изброените фрагменти от търговската дейност се характеризират с масово получаване на стоки, пари, посетители в произволно време, след това тяхното последователно обслужване (удовлетворяване на изисквания, заявки, заявки) чрез извършване на подходящи операции, времето за изпълнение на които също е произволно. Всичко това създава неравномерност в работата, генерира подтоварвания, престои и претоварвания в търговските операции. Опашките създават много проблеми, например посетителите в кафенета, столове, ресторанти или шофьори на автомобили в стокови депа, чакащи за разтоварване, товарене или документация. В тази връзка има задачи за анализ на съществуващите възможности за извършване на целия набор от операции, например в търговския етаж на супермаркет, ресторант или в цехове за производство на собствени продукти, за да се оцени тяхната работа, да се идентифицират слаби звена и резерви и в крайна сметка да разработят препоръки, насочени към повишаване на ефективността на търговските дейности.

Освен това възникват други задачи, свързани със създаването, организирането и планирането на нова икономична, рационална възможност за извършване на много операции в рамките на търговския етаж, сладкарския цех, всички нива на обслужване на ресторант, кафене, столова, планов отдел, счетоводен отдел, отдел персонал и др.

Задачите на организацията на опашката възникват в почти всички сфери на човешката дейност, например обслужване на купувачи в магазини от продавачи, обслужване на посетители в заведения за обществено хранене, обслужване на клиенти в предприятия за потребителски услуги, осигуряване на телефонни разговори на телефонна централа, предоставяне на медицинска помощ на пациенти в клиника и др. Във всички горепосочени примери е необходимо да се задоволят нуждите на голям брой потребители.

Изброените задачи могат да бъдат успешно решени с помощта на специално създадени за тези цели методи и модели на теорията на масовото обслужване (QMT). Тази теория обяснява, че е необходимо да се обслужва някого или нещо, което се дефинира от понятието „заявка (изискване) за услуга“, а операциите по обслужване се извършват от някой или нещо, наречено канали за обслужване (възли). Ролята на приложения в търговската дейност играят стоки, посетители, пари, одитори, документи, а ролята на обслужващи канали играят продавачи, администратори, готвачи, сладкари, сервитьори, касиери, мърчандайзери, товарачи, търговско оборудване и др. Важно е да се отбележи, че в един вариант, например, готвачът в процеса на приготвяне на ястия е обслужващ канал, а в друг той действа като заявка за услуга, например към ръководителя на производството за получаване на стоки.

Поради масовия характер на получаване на услуги, приложенията формират потоци, които се наричат ​​входящи преди извършване на обслужващи операции и след евентуално изчакване за започване на услугата, т.е. престой в опашката, потоците на услугата на формата в каналите и след това се формира изходящ поток от заявки. Като цяло наборът от елементи на входящия поток от заявки, опашката, каналите за обслужване и изходящия поток от заявки образува най-простата едноканална система за опашка - QS.

Системата е набор от взаимосвързани и. целенасочено взаимодействащи си части (елементи). Примери за такива прости QS в търговските дейности са местата за получаване и обработка на стоки, центрове за сетълмент с клиенти в магазини, кафенета, столове, работни места на икономист, счетоводител, търговец, готвач при дистрибуция и др.

Сервизната процедура се счита за завършена, когато заявката за услуга напусне системата. Продължителността на интервала от време, необходим за реализиране на сервизната процедура, зависи главно от естеството на заявката за услуга, състоянието на самата сервизна система и сервизния канал.

Всъщност продължителността на престоя на купувача в супермаркета зависи, от една страна, от личните качества на купувача, неговите искания, от гамата стоки, които той ще закупи, и от друга страна, от формата на организацията на обслужването и придружителите, което може значително да повлияе на времето, прекарано от купувача в супермаркета, и интензивността на обслужването. Например, касиер-контрольорите, овладяващи "слепия" метод на работа на касов апарат, позволиха да се увеличи пропускателната способност на възлите за сетълмент с 1,3 пъти и да се спести време, изразходвано за сетълменти с клиенти на всяка каса с повече от 1,5 часа на ден . Въвеждането на единен възел за сетълмент в супермаркета дава осезаеми ползи за купувача. Така че, ако при традиционната форма на сетълмент времето за обслужване на един клиент е средно 1,5 минути, тогава с въвеждането на един възел за сетълмент - 67 секунди. От тях 44 секунди се изразходват за извършване на покупка в секцията и 23 секунди се изразходват директно за плащания за покупки. Ако купувачът направи няколко покупки в различни раздели, тогава загубата на време се намалява чрез закупуване на две покупки с 1,4 пъти, три - с 1,9, пет - с 2,9 пъти.

Под обслужване на заявки имаме предвид процеса на задоволяване на потребност. Услугата е различна по своята същност. Във всички примери обаче получените заявки трябва да се обслужват от някакво устройство. В някои случаи услугата се извършва от един човек (обслужване на клиенти от един продавач, в някои случаи от група хора (обслужване на пациенти от лекарска комисия в поликлиника), а в някои случаи с технически средства (продажба на газирана вода). набор от инструменти, които обслужват приложенията, се нарича канал за обслужване.

Ако обслужващите канали са в състояние да задоволят едни и същи заявки, тогава обслужващите канали се наричат ​​хомогенни. Набор от хомогенни канали за обслужване се нарича система за обслужване.

Системата за опашка получава голям брой заявки в произволни моменти, чиято продължителност на услугата също е случайна променлива. Последователното пристигане на клиенти в системата за опашка се нарича входящ поток от клиенти, а последователността от клиенти, напускащи системата за опашка, се нарича изходящ поток.