Разделете кръста на фигури от 5 клетки. Задачи за изрязване.docx - задачи за изрязване

1. Един квадрат съдържа 16 клетки. Разделете квадрата на две равни части, така че линията на изрязване да минава по страните на клетките. (Начините за разрязване на квадрат на две части ще се считат за различни, ако частите на квадрата, получени с един метод на разрязване, не са равни на частите, получени с друг метод.) Колко решения има задачата?
2. Правоъгълник 3x4 съдържа 12 клетки. Намерете пет начина за разрязване на правоъгълник на две равни части, така че линията на рязане да минава по страните на клетките (методите на рязане се считат за различни, ако частите, получени чрез един метод на рязане, не са равни на частите, получени чрез друг метод).
3. Правоъгълникът 3X5 съдържа 15 клетки и централната клетка е премахната. Намерете пет начина да разрежете останалата фигура на две равни части, така че линията на рязане да минава покрай страните на клетките.
4. Квадрат 6x6 е разделен на 36 еднакви квадрата. Намерете пет начина да разрежете квадрат на две равни части, така че линията на срязване да минава покрай страните на квадратите. Забележка: задачата има повече от 200 решения.
5. Разделете квадрата 4x4 на четири равни части, така че линията на рязане да минава покрай страните на клетките. Колко различни начина на рязане можете да намерите?
6. Разделете фигурата (фиг. 5) на три равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите.

7. Разделете фигурата (фиг. 6) на четири равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите.

8. Разделете фигурата (фиг. 7) на четири равни части, така че линиите на разреза да минават по страните на квадратите. Намерете възможно най-много решения.

9. Разделете квадрата 5x5 с централния квадрат, изрязан на четири равни части.

10. Нарежете фигурите, показани на фиг. 8, на две равни части по линията на мрежата, като всяка част трябва да има кръг.

11. Фигурите, показани на фиг. 9, трябва да бъдат разрязани по линията на мрежата на четири равни части, така че да има кръг във всяка част. Как да го направим?

12. Разрежете фигурата, показана на фиг. 10, по линията на мрежата на четири равни части и ги сгънете в квадрат, така че кръговете и звездите да са симетрични спрямо всички оси на симетрия на квадрата.

13. Изрежете този квадрат (фиг. 11) по протежение на страните на клетките, така че всички части да са с еднакъв размер и форма и всяка да съдържа един кръг и звездичка.

14. Нарежете карирания хартиен квадрат 6×6, показан на фигура 12, на четири равни части, така че всяка от тях да съдържа три цветни квадрата.

10. Квадратният лист карирана хартия е разделен на по-малки квадрати чрез сегменти, минаващи по страните на клетките. Докажете, че сборът от дължините на тези отсечки се дели на 4. (Дължината на страната на клетката е 1).

Решение: Нека Q е квадратен лист хартия, L(Q) е сумата от дължините на тези страни на клетките, които лежат вътре в него. Тогава L(Q) се дели на 4, тъй като всички разглеждани страни са разделени на четири страни, получени една от друга чрез завъртания на 90 0 и 180 0 спрямо центъра на квадрата.

Ако квадратът Q е разделен на квадрати Q 1 , …, Q n , тогава сумата от дължините на разделителните сегменти е равна на

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Ясно е, че това число се дели на 4, тъй като числата L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) се делят на 4.

4. Инварианти

11. Дадена шахматна дъска. Разрешено е да пребоядисате в различен цвят всички клетки на всеки хоризонтал или вертикал наведнъж. Може ли това да доведе до дъска с точно една черна клетка?

Решение: Прерисуването на хоризонтална или вертикална линия, съдържаща k черни и 8-k бели клетки, ще доведе до 8-k черни и k бели клетки. Следователно броят на черните клетки ще се промени на (8-k)-k=8-2k, т.е. за четно число. Тъй като равенството на броя на черните клетки е запазено, не можем да получим една черна клетка от оригиналните 32 черни клетки.

12. Дадена шахматна дъска. Разрешено е да пребоядисате в различен цвят едновременно всички клетки, разположени в квадрат 2 х 2. Може ли на дъската да остане точно една черна клетка?

Решение: Преоцветяването на квадрат 2 x 2, съдържащ k черни и 4-k бели клетки, ще доведе до 4-k черни и k бели клетки. Следователно броят на черните клетки ще се промени на (4-k)-k=4-2k, т.е. за четно число. Тъй като равенството на броя на черните клетки е запазено, не можем да получим една черна клетка от оригиналните 32 черни клетки.

13. Докажете, че изпъкнал многоъгълник не може да бъде разрязан на краен брой неизпъкнали четириъгълници.

Решение: Да предположим, че изпъкнал многоъгълник M е разрязан на неизпъкнали четириъгълници M 1 ,…, M n . На всеки многоъгълник N присвояваме число f(N), равно на разликата между сумата от неговите вътрешни ъгли, по-малки от 180, и сумата от ъглите, допълващи неговите ъгли до 360, по-големи от 180. Сравнете числата A=f(M) и B=f(M 1)+...+ f(M n). Разгледайте за това всички точки, които са върховете на четириъгълниците M 1 ..., M n . Те могат да бъдат разделени на четири вида.

1. Върхове на многоъгълник M. Тези точки допринасят еднакво за A и B.

2. Точки от страните на многоъгълника M или M 1. Приносът на всяка такава точка към B на

180 повече, отколкото в А.

3. Вътрешни точки на многоъгълника, в които се срещат ъглите на четириъгълника,

по-малко от 180. Приносът на всяка такава точка към B е с 360 повече, отколкото към A.

4. Вътрешни точки на многоъгълника M, в които се събират ъглите на четириъгълниците и един от тях е по-голям от 180. Такива точки дават нулев принос на A и B.

В резултат на това получаваме А<В. С другой стороны, А>0 и B=0. Неравенството A > 0 е очевидно и за доказване на равенството B=0 е достатъчно да се провери, че ако N е неизпъкнал четириъгълник, то f(N)=0. Нека ъглите N са a>b>c>d. Всеки неизпъкнал четириъгълник има точно един ъгъл, по-голям от 180, така че f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Получава се противоречие, така че изпъкнал многоъгълник не може да бъде разделен на краен брой неизпъкнали четириъгълници.

14. В центъра на всяка клетка на шахматната дъска има чип. Чиповете бяха пренаредени така, че разстоянията по двойки между тях да не намаляват. Докажете, че в действителност разстоянията по двойки не са се променили.

Решение: Ако поне едно от разстоянията между чиповете се увеличи, тогава сумата от всички разстояния по двойки между чиповете също ще се увеличи, но сумата от всички разстояния по двойки между чиповете не се променя с никаква пермутация.

15. Квадратното поле е разделено на 100 еднакви квадратни секции, 9 от които са обрасли с бурени. Известно е, че плевелите за една година се простират до онези и само онези парцели, в които поне два съседни (т.е. имащи обща страна) парцели вече са обрасли с плевели. Докажете, че полето никога няма да бъде напълно обрасло с плевели.

Решение: Лесно е да се провери дали дължината на границата на цялата плевелна площ (или няколко зони) няма да се увеличи. В началния момент не надвишава 4*9=36, следователно в крайния момент не може да бъде равно на 40.

Следователно полето никога няма да бъде напълно обрасло с плевели.

16. Даден е изпъкнал 2m-ъгълник А 1 …А 2 m. В него е взета точка P, която не лежи на нито един от диагоналите. Докажете, че точка Р принадлежи на четен брой триъгълници с върхове в точки А 1 ,…, А 2 m .

Решение: Диагоналите разделят многоъгълника на няколко части. Ще се обадим съседнитези от тях, които имат обща страна. Ясно е, че човек може да стигне от всяка вътрешна точка на многоъгълника до всяка друга точка, преминавайки всеки път само от съседната част към съседната. Частта от равнината, която лежи извън многоъгълника, също може да се счита за една от тези части. Броят на разглежданите триъгълници за точките на тази част е равен на нула, така че е достатъчно да се докаже, че при преминаване от съседна част към съседна част се запазва четността на броя на триъгълниците.

Нека общата страна на две съседни части лежи върху диагонала (или страната) PQ. Тогава на всички разглеждани триъгълници, с изключение на триъгълниците със страна PQ, и двете части принадлежат или не принадлежат. Следователно, когато се движите от една част към друга, броят на триъгълниците се променя с k 1 -k 2 , където k 1 е броят на върховете на полигона, лежащи от едната страна на PQ. Тъй като k 1 +k 2 =2m-2, тогава числото k 1 -k 2 е четно.

4. Спомагателно оцветяване в шахматен ред

17. Във всяко квадратче на дъската 5 x 5 има бръмбар. В даден момент всички бръмбари пълзят върху съседни (хоризонтално или вертикално) клетки. Това задължително ли оставя празна клетка?

Решение: Тъй като общият брой клетки на шахматна дъска 5 x 5 е нечетен, не може да има равен брой черни и бели клетки. Нека има повече черни клетки за категоричност. Тогава има по-малко бръмбари, които седят на белите клетки, отколкото на черните клетки. Следователно поне една от черните клетки остава празна, тъй като само бръмбари, седнали на бели клетки, пълзят върху черните клетки.

19. Докажете, че дъска от 10 х 10 квадрата не може да бъде нарязана на Т-образни фигури, състоящи се от четири квадрата.

Решение: Да приемем, че дъската от 10 х 10 квадрата е разделена на такива фигури. Всяка фигура съдържа 1 или 3 черни клетки, т.е. винаги нечетно число. Самите фигури трябва да са 100/4 = 25 броя. Следователно те съдържат нечетен брой черни клетки и общо има 100/2=50 черни клетки. Получи се противоречие.

5. Проблеми с оцветяването

20. Самолетът е боядисан в два цвята. Докажете, че има две точки от един и същи цвят, разстоянието между които е точно 1.

Решение: Да разгледаме правилен триъгълник със страна 1.

препис

1 М. А. Екимова, Г. П. Кукин МЦНМО Москва, 2002 г.

2 UDC BBK E45 E45 Екимова М. А., Кукин Г. П. Проблеми с рязане. М.: МЦНМО, стр.: ил. Серия: "Тайните на преподаването на математика". Тази книга е първата книга от поредицата "Тайните на преподаването на математика", предназначена да представи и обобщи натрупания опит в областта на обучението по математика. Тази колекция е една от частите на курса "Развитие на логиката в 5-7 клас". Към всички проблеми, дадени в книгата, са дадени решения или инструкции. Книгата се препоръчва за извънкласна работа по математика. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.

3 Въведение Понастоящем традиционният възглед за състава на предметите, изучавани от учениците, се преразглежда и усъвършенства. В училищната програма се въвеждат различни нови предмети. Един от тези предмети е логиката. Изучаването на логиката допринася за разбирането на красотата и елегантността на разсъжденията, способността за разсъждение, творческото развитие на индивида, естетическото възпитание на човека. Всеки културен човек трябва да е запознат с логически проблеми, пъзели, игри, които са известни от няколко века или дори хилядолетия в много страни по света. Развитието на изобретателността, изобретателността и независимостта на мисленето е необходимо за всеки човек, ако иска да успее и да постигне хармония в живота. Нашият опит показва, че систематичното изучаване на формална логика или фрагменти от математическа логика трябва да се отложи за горните класове на средното училище. В същото време е необходимо да се развие логическото мислене възможно най-рано. Всъщност при изучаването на учебните предмети разсъждението и доказателството се появяват едва в 7 клас (когато започва системният курс по геометрия). За много ученици резкият преход (нямаше разсъждения станаха много разсъждения) е непоносимо труден. В хода на развитието на логиката за 5-7 клас е напълно възможно да научите учениците да разсъждават, доказват и намират модели. Например, когато решавате математически пъзели, трябва не само да познаете (изберете) няколко отговора, но и да докажете, че е получен пълен списък с възможни отговори. Доста е добър за 5 клас. Но в процеса на преподаване на логика в 5-7 клас на средните училища учителите са изправени пред определени трудности: липсата на учебници, дидактически материали, наръчници и визуални материали. Всичко това трябва да бъде съставено, написано и нарисувано от самия учител. Една от целите на този сборник е да улесни учителя при подготовката и провеждането на часовете. Ще дадем някои препоръки за провеждане на уроци преди работа с колекцията.

4 4 Въведение Желателно е да започнете да преподавате логика на учениците от пети клас, а може би и по-рано. Логиката трябва да се преподава в спокоен, почти импровизационен стил. Тази привидна лекота всъщност изисква много сериозна подготовка от учителя. Недопустимо е например да се коригира интересна и забавна задача от дебела ръкописна тетрадка, както понякога правят учителите. Препоръчваме да провеждате занятия в нестандартна форма. В уроците е необходимо да се използва възможно най-много нагледен материал: различни карти, снимки, набори от фигури, илюстрации за решаване на задачи, диаграми. Не трябва да се занимавате с по-малки ученици по една и съща тема дълго време. Когато анализирате дадена тема, трябва да се опитате да подчертаете основните логически етапи и да постигнете разбиране (а не запаметяване) на тези точки. Необходимо е непрекъснато връщане към покрития материал. Това може да стане на самостоятелна работа, отборни състезания (по време на уроци), тестове в края на тримесечието, устни и писмени олимпиади, матбой (в извънучебно време). Също така е необходимо да се използват забавни и комични задачи в класната стая, понякога е полезно да се промени посоката на дейност. Тази колекция е една от частите на курса "Развитие на логиката в 5-7 клас" "Задачи за рязане". Тази част е тествана в уроците по логика в 5-7 клас на училището-лицей 74 в Омск. Много учени обичат да решават проблеми от древни времена. Решения на много прости проблеми с рязане са намерени от древните гърци и китайци, но първият систематичен трактат по тази тема е написан от Абул-Веф, известният персийски астроном от 10 век, който е живял в Багдад. Геометрите сериозно се занимават с решаването на проблемите с разрязването на фигури на най-малък брой части и след това съставянето на една или друга нова фигура от тях едва в началото на 20 век. Един от основателите на този завладяващ клон на геометрията е известният компилатор на пъзели Хенри

5 Въведение 5 Е. Дудени. Особено голям брой съществуващи фигури, които са били рекорди, са счупени от експерт в Австралийското патентно ведомство Хари Линдгрен. Той е водещ производител на фигури. Днес любителите на пъзелите обичат да решават проблеми с рязане, преди всичко защото няма универсален метод за решаване на такива проблеми и всеки, който се заеме с тяхното решение, може напълно да демонстрира своята изобретателност, интуиция и способност за творческо мислене. Тъй като тук не се изискват задълбочени познания по геометрия, аматьорите понякога дори могат да надминат професионалните математици. В същото време задачите за нарязване не са несериозни или безполезни, те не са далеч от сериозни математически проблеми. От проблемите с разрязването се роди теоремата на Боай-Гервин, че всеки два многоъгълника с еднакъв размер са еднакво съставени (обратното е очевидно), а след това третият проблем на Хилберт: вярно ли е подобно твърдение за полиедри? Задачите за рязане помагат на учениците да формират геометрични изображения възможно най-рано върху различни материали. При решаването на такива проблеми има усещане за красота, законност и ред в природата. Сборникът "Задачи за изрязване" е разделен на два раздела. Когато решават задачи от първия раздел, учениците няма да се нуждаят от познания по основи на планиметрията, но ще се нуждаят от изобретателност, геометрично въображение и доста проста геометрична информация, която е известна на всички. Вторият раздел са задачи по избор. Те включват задачи, чието решаване ще изисква познаване на основна геометрична информация за фигурите, техните свойства и характеристики, познаване на някои теореми. Всеки раздел е разделен на параграфи, в които се опитахме да комбинираме задачи по една тема, а те от своя страна са разделени на уроци, съдържащи хомогенни задачи по ред на нарастване на трудността. Първият раздел съдържа осем параграфа. 1. Задачи на каре. Този раздел съдържа задачи, при които изрязването на фигури (предимно квадрати и правоъгълници) върви по страните на клетките. Параграфът съдържа 4 урока, препоръчваме ги за изучаване от ученици от 5. клас.

6 6 Въведение 2. Пентомино. Този параграф съдържа задачи, свързани с фигури пентомино, така че за тези уроци е препоръчително да раздадете комплекти от тези фигури на децата. Тук има два урока, препоръчваме ги за изучаване от ученици от 5-6 клас. 3. Трудни задачи за рязане. Тук са събрани задачи за изрязване на форми с по-сложна форма, например с граници, които са дъги, и по-сложни задачи за изрязване. В този параграф има два урока, препоръчваме те да бъдат преподавани в 7. клас. 4. Разделяне на равнината. Тук са събрани задачи, в които трябва да намерите плътни прегради на правоъгълници в правоъгълни плочки, задачи за компилиране на паркети, задачи за най-плътно опаковане на фигури в правоъгълник или квадрат. Препоръчваме ви да изучавате този параграф в 6-7 клас. 5. Танграм. Тук са събрани задачи, свързани с древния китайски пъзел "Танграм". За този урок е желателно да имате този пъзел, поне от картон. Този раздел се препоръчва за изучаване в 5. клас. 6. Задачи за рязане в пространството. Тук учениците се запознават с развитието на куб, триъгълна пирамида, правят се паралели и се показват разлики между фигури на равнина и триизмерни тела, което означава разлики в решаването на задачи. Параграфът съдържа един урок, който препоръчваме за изучаване от ученици от 6. клас. 7. Задачи за оцветяване. Показва как оцветяването на фигура помага за решаването на проблем. Не е трудно да се докаже, че решението на проблема с разрязването на фигура на части е възможно, достатъчно е да се осигури някакъв начин за разрязване. Но да се докаже, че рязането е невъзможно е по-трудно. Оцветяването на фигурата ни помага да направим това. В този параграф има три урока. Препоръчваме ги за изучаване от ученици от 7. клас. 8. Задачи с оцветяване в условието. Тук са събрани задачи, в които трябва да оцветите фигура по определен начин, да отговорите на въпроса: колко цвята са необходими за такова оцветяване (най-малкото или най-голямото число) и т.н. В параграфа има седем урока. Препоръчваме ги за изучаване от ученици от 7. клас. Вторият раздел включва задачи, които могат да се решават в допълнителните часове. Съдържа три параграфа.

7 Въведение 7 9. Трансформация на фигури. Съдържа задачи, в които една фигура се нарязва на части, от които се съставя друга фигура. В този параграф има три урока, първият се занимава с "преобразуването" на различни фигури (тук са събрани доста лесни задачи), а вторият урок се занимава с геометрията на преобразуването на квадрат. 10. Различни задачи за изрязване. Това включва различни задачи за рязане, които се решават по различни методи. В този раздел има три урока. 11. Площта на фигурите. В този раздел има два урока. В първия урок се разглеждат проблеми, при решаването на които е необходимо да се разрежат фигурите на части и след това да се докаже, че фигурите са еднакво съставени, във втория урок проблеми, при решението на които е необходимо да се използват свойствата на площите на фигурите.

8 Раздел 1 1. Задачи върху карирана хартия Урок 1.1 Тема: Задачи за изрязване върху карирана хартия. Цел: Развиване на комбинаторни умения (разглеждане на различни начини за конструиране на линия на изрязване на фигури, правилата, които позволяват да не се губят решения при конструирането на тази линия), развиване на идеи за симетрия. Решаваме задачи в урока, задача 1.5 за къщата Квадратът съдържа 16 клетки. Разделете квадрата на две равни части, така че линията на изрязване да минава по страните на клетките. (Начините за разрязване на квадрат на две части ще се считат за различни, ако частите на квадрата, получени с един метод на разрязване, не са равни на частите, получени с друг метод.) Колко решения има задачата? Инструкция. Намирането на няколко решения на този проблем не е толкова трудно. На фиг. 1 са показани някои от тях, а решенията b) и c) са еднакви, тъй като получените в тях фигури могат да се комбинират чрез суперпозиция (ако завъртите квадрат c) на 90 градуса). Ориз. 1 Но да намерите всички решения и да не загубите нито едно решение вече е по-трудно. Имайте предвид, че прекъснатата линия, разделяща квадрата на две равни части, е симетрична спрямо центъра на квадрата. Това наблюдение ни позволява да стъпим

9 Урок по стъпка за начертаване на полилиния от двата края. Например, ако началото на полилинията е в точка А, то нейният край ще бъде в точка В (фиг. 2). Уверете се, че за този проблем началото и краят на полилинията могат да бъдат начертани по два начина, показани на фиг. 2. Когато построявате прекъсната линия, за да не загубите решение, можете да следвате това правило. Ако следващата връзка на полилинията може да бъде начертана по два начина, тогава първо трябва да подготвите втори подобен чертеж и да извършите тази стъпка на единия чертеж по първия начин, а на другия по втория начин (фиг. 3 показва две продължение на фиг. 2 (а)). По същия начин трябва да действате, когато няма два, а три метода (фиг. 4 показва три продължения на фиг. 2 (b)). Посочената процедура помага да се намерят всички решения. Ориз. 2 Фиг. 3 Оризов правоъгълник 3 4 съдържа 12 клетки. Намерете пет начина да разрежете правоъгълник на две равни части, така че линията на рязане да минава по страните на клетките (методите на рязане се считат за различни, ако частите, получени с един метод на рязане, не са равни на частите, получени с друг метод) Правоъгълник 3 5 съдържа 15 клетки и една централна клетка е премахната. Намерете пет начина да изрежете останалата фигура

10 10 1. Задачите върху карирана хартия са разделени на две равни части, така че линията на разреза да минава по страните на клетките Квадрат 6 6 е разделен на 36 еднакви квадрата. Намерете пет начина да разрежете квадрат на две равни части, така че линията на срязване да минава по страните на квадратите. Задача 1.4 има над 200 решения. Намерете поне 15 от тях. Урок 1.2 Тема: Задачи за изрязване върху карирана хартия. Цел: Продължете да развивате идеи за симетрия, подготовка за темата "Пентамино" (разглеждане на различни фигури, които могат да бъдат изградени от пет клетки). Задачи Може ли квадрат от 5 5 клетки да се разреже на две равни части, така че линията на срязване да минава покрай страните на клетките? Обосновете отговора си. Разделете квадрат 4 4 ​​на четири равни части, така че линията на изрязване да минава по страните на клетките. Колко различни начина на рязане можете да намерите? 1.8. Разделете фигурата (фиг. 5) на три равни части, така че линията на разреза да минава по страните на квадратите. Ориз. 5 Фиг. Фиг. 6 Разделете фигурата (фиг. 6) на четири равни части, така че линията на срязване да минава по страните на квадратите. Разделете фигурата (фиг. 7) на четири равни части, така че линиите на среза да минават по страните на квадратите. квадрати. Намерете възможно най-много решения.

11 Урок Разделете квадрат от 5 5 клетки с изрязана централна клетка на четири равни части. Урок 1.3 Тема: Рязане на задачи върху карирана хартия. Цел: Продължете да развивате идеи за симетрия (аксиална, централна). Задачи Изрежете фигурите, показани на фиг. 8, на две равни части по линиите на мрежата, като във всяка от частите трябва да има кръг. Ориз. 8 Фигура Фигурите, показани на фиг. 9, е необходимо да се изрежат по линиите на мрежата на четири равни части, така че във всяка част да има кръг. Как да го направим? Изрежете фигурата, показана на фиг. 10, по линиите на мрежата на четири равни части и ги сгънете в квадрат, така че кръговете и звездите да са разположени симетрично спрямо всички оси на симетрия на квадрата. Ориз. 10

12 12 1. Задачи върху карирана хартия Разрежете този квадрат (фиг. 11) по дължината на клетките, така че всички части да са с еднакъв размер и форма и всяка да съдържа по едно кръгче и звездичка. 12 на четири еднакви части, така че всяка от тях да съдържа три запълнени клетки. Урок 1.4 11 Фиг. 12 Тема: Задачи за изрязване върху карирана хартия. Цел: Научете се да разрязвате правоъгълник на две равни части, от които можете да добавите квадрат, друг правоъгълник. Научете се да определяте от кои правоъгълници, като ги режете, можете да направите квадрат. Задачи Допълнителни задачи 1.23, 1.24 (тези задачи могат да бъдат разгледани в началото на урока за загрявка) Разрежете правоъгълника 4 9 клетки по страните на клетките на две равни части, така че след това да могат да се сгънат в квадрат Може правоъгълник 4 8 клетки да бъдат разрязани на две части по страните на клетките, така че да могат да образуват квадрат? От правоъгълник с 10 7 клетки се изрязва правоъгълник с 1 6 клетки, както е показано на фиг. 13. Разрежете получената фигура на две части, така че да могат да се сгънат на квадрат От правоъгълник с 8 9 клетки се изрязват запълнени фигури, както е показано на фиг. 14. Разрежете получената фигура на две равни части, така че да можете да добавите правоъгълник от 6 10 от тях.

13 Урок Фиг. 13 Ориз Върху карирана хартия е начертан квадрат с 5 клетки. Покажете как да го разрежете по страните на клетките на 7 различни правоъгълника Нарежете квадрата на 5 правоъгълника по страните на клетките, така че всичките десет числа, изразяващи дължините на страните на правоъгълниците, да са различни цели числа Разделете фигурите, показани на фиг. . 15, на две равни части. (Можете да режете не само по клетъчните линии, но и по техните диагонали.) Фиг. 15

14 14 2. Пентомино Изрежете фигурите, показани на фиг. 16, на четири равни части. 2. Пентомино Фиг. 16 Урок 2.1 Тема: Пентомино. Цел: Развитие на комбинаторните умения на учениците. Задачи Фигури домино, тромино, тетрамино (играта с такива фигури се нарича тетрис), пентомино са съставени от две, три, четири, пет квадрата, така че всеки квадрат да има обща страна с поне един квадрат. От два еднакви квадрата може да се направи само една фигура на домино (виж фиг. 17). Тримино фигурите могат да бъдат получени от една домино фигура, като към нея се прикрепи друг квадрат по различни начини. Ще получите две фигури тромино (фиг. 18). Ориз. 17 Ориз Направете всякакви фигури тетрамино (от гръцката дума "тетра" четири). Колко получиха? (Формите, получени чрез завъртане или симетрично показване от други, не се считат за нови).

15 Урок Направете всички възможни фигури на пентомино (от гръцкото "пента" пет). Колко получиха? 2.3. Съставете фигурите, показани на фиг. 19, от фигурки пентомино. Колко решения има задачата за всяка фигура? Фигура Сгънете правоъгълник 3 5 от парчета пентомино. Колко различни решения ще получите? 2.5. Съставете фигурите, показани на фиг. 20, от фигурки пентомино. Ориз. 20

16 16 2. Пентомино Урок 2.2 Тема: Пентомино. Цел: Развитие на идеи за симетрия. Задачи В задача 2.2 съставихме всички възможни парчета пентомино. Вижте ги на фиг. 21. Фиг. 21 Фигура 1 има следното свойство. Ако се изреже от хартия и се огъне по права линия a (фиг. 22), тогава една част от фигурата ще съвпадне с другата. Казва се, че фигурата е симетрична спрямо правата ос на симетрия. Фигура 12 също има ос на симетрия, дори две от тях са прави b и c, докато фигура 2 няма оси на симетрия. Фигура Колко оси на симетрия има всяка фигура пентомино? 2.7. От всичките 12 фигури пентомино сгънете правоъгълник. Несиметричните части могат да се обръщат. Сгънете правоъгълник 6 10 от дванадесет фигури пентомино и така, че всеки елемент да докосва едната страна на този правоъгълник.

Урок 17 Изрежете правоъгълника, показан на фиг. 23 (a), по вътрешните линии на две такива части, от които е възможно да се сгъне фигура с три квадратни дупки с размер на една клетка (фиг. 23 (b)). От фигурите на пентомино сгънете квадрат 8 8 с изрязан в средата квадрат 2 2. Намерете няколко решения Дванадесет пентомино са положени в правоъгълник Възстановете границите на фигурите (фиг. 24), ако всяка звезда попада точно в едно пентомино. Ориз. 24 Фигура Дванадесет парчета пентомино са подредени в кутия от 12 10, както е показано на фиг. 25. Опитайте се да поставите друг комплект пентомино върху оставащото свободно поле.

18 18 3. Трудни задачи за рязане 3. Трудни задачи за рязане Урок 3.1 Тема: Задачи за рязане на фигури с по-сложна форма с граници, които са дъги. Цел: Да научите как да изрязвате фигури с по-сложна форма с граници, които са дъги, и да направите квадрат от получените части. Задачи На фиг. 26 показва 4 фигури. С един разрез разделете всяка от тях на две части и оформете от тях квадрат. Карираната хартия ще ви улесни при решаването на проблема. Ориз Нарязвайки квадрата 6 6 на части, добавете фигурите, показани на фиг. 27. Фиг. 27

19 урок 28 е показана част от крепостната стена. Един от камъните има толкова странна форма, че ако го извадите от стената и го поставите по друг начин, стената ще стане равна. Нарисувайте този камък За какво ще се използва повече боя: за рисуване на квадрат или този необичаен пръстен (фиг. 29)? Ориз. 28 Ориз Нарежете вазата, показана на фиг. 30, на три части, от които може да се сгъне ромб. Ориз. 30 Фиг. 31 Фиг. 32 Урок 3.2 Тема: По-сложни задачи за рязане. Цел: Упражнение за решаване на по-сложни проблеми с рязане. Решаваме задачи в урока, задача 3.12 за дома. Нарежете фигурата (фиг. 31) с два прави разреза на такива части, от които можете да добавите квадрат 32 фигура на четири равни части, от които би било възможно да се добави квадрат Изрежете буквата E, показана на фиг. 33, на пет части и ги сгънете на квадрат. Не обръщайте частите с главата надолу

20 20 4. Разрешава се разделяне на равнината. Възможно ли е да се мине с четири части, ако позволите частите да бъдат обърнати с главата надолу? 3.9. Кръстът, съставен от пет квадрата, трябва да бъде нарязан на такива части, от които би било възможно да се направи един кръст с еднакъв размер (т.е. еднаква по площ) квадрат.Дадени са две шахматни дъски: обикновена, в 64 клетки, а друга в 36 клетки. Необходимо е всяка от тях да се разреже на две части, така че от всичките четири получени части да се направи нова шахматна дъска от клетки.Кебеларът разполага с част от шахматна дъска от 7 7 клетки, изработена от ценен махагон. Той иска без хабене на материал и плъзгане Фиг. 33 разреза само по краищата на клетките, нарежете дъската на 6 части, така че да направят три нови квадрата, всички с различни размери. Как да го направим? Възможно ли е да се реши задача 3.11, ако броят на частите трябва да бъде 5, а общата дължина на разрезите е 17? 4. Деление на равнина Урок 4.1 Тема: Плътни прегради на правоъгълници. Цел: Да научите как да изграждате плътни прегради от правоъгълници с правоъгълни плочки. Отговорете на въпроса при какви условия правоъгълникът допуска такова разделяне на равнината. В урока се решават задачи (а). Задачи 4.5 (б), 4.6, 4.7 може да оставите вкъщи. Да предположим, че имаме неограничен запас от 2 1 правоъгълни плочки и искаме да ги използваме, за да оформим правоъгълен под и нито една две плочки не трябва да се припокриват Поставете 2 1 плочки на пода в стая 5 6. Ясно е, че ако подът в правоъгълна стая p q е покрит с плочки 2 1, тогава p q е четен (тъй като площта се дели на 2). И обратно: ако p q е четен, тогава подът може да бъде поставен с плочки 2 1.

21 Урок Наистина, в този случай едно от числата p или q трябва да е четно. Ако, например, p = 2r, тогава подът може да бъде разположен, както е показано на фиг. 34. Но в такива паркети има линии на счупване, които пресичат цялата „стая“ от стена до стена, но не пресичат плочките. Но в практиката се използват паркети без такива линии – масивни паркети. Фиг Подредете плочки 2 1 масивен паркет на стаята Опитайте се да намерите непрекъсната облицовка 2 1 а) правоъгълник 4 6; б) квадрат Поставете плочки 2 1 масивен паркет а) стаи 5 8; б) стаи 6 8. Естествено възниква въпросът за кои p и q правоъгълникът p q допуска непрекъснато разделяне на плочки 2 1? Вече знаем необходимите условия: 1) p q се дели на 2, 2) (p, q) (6, 6) и (p, q) (4, 6). Може да се провери и още едно условие: 3) p 5, q 5. Оказва се, че и тези три условия се оказват достатъчни. Плочки с други размери Поставете плочки 3 2 без празнини а) правоъгълник 11 18; б) правоъгълник Очертайте без пропуски, ако е възможно, квадрат с плочки Възможно ли е, като вземете квадрат от карирана хартия с размери 5 5 клетки, да изрежете 1 клетка от него, така че останалите да нарежете на плочи от 1 3 клетки? Урок 4.2 Тема: Паркети.

22 22 4. Разделяне на равнината Цел: Да научите как да покривате равнината с различни фигури (освен това паркетите могат да бъдат с прекъснати линии или плътни) или да докажете, че това е невъзможно. Проблеми Един от най-важните въпроси в теорията за разделяне на равнина е: „Каква форма трябва да бъде една плочка, така че нейните копия да могат да покриват равнината без празнини и двойни покрития?“ Доста очевидни форми веднага идват на ум. Може да се докаже, че има само три правилни многоъгълника, които могат да покрият равнината. Това е равностранен триъгълник, квадрат и шестоъгълник (виж фиг. 35). Има безкраен брой неправилни многоъгълници, които могат да покрият равнината. Фиг. Разделете произволен тъп триъгълник на четири равни и подобни триъгълника. В задача 4.8 разделяме триъгълника на четири еднакви и подобни триъгълника. Всеки от четирите получени триъгълника може на свой ред да бъде разделен на четири равни и подобни триъгълника и т.н. Ако се движим в обратна посока, тоест съберем четири равни тъпоъгълни триъгълника, така че да получим един подобен на тях триъгълник, но четири пъти по-голям и т.н., тогава такива триъгълници могат да облицоват равнината. Равнината може да бъде покрита с други фигури, например трапецовидни, успоредници Покрийте равнината със същите фигури, показани на фиг. 36.

23 Урок Облицовайте равнината със същите "скоби", показани на фиг. 37. Фиг. 36 Ориз Има четири квадрата със страна 1, осем със страна 2, дванадесет със страна 3. Можете ли да направите един голям квадрат от тях? Възможно ли е да се сгъне квадрат с произволен размер от дървените плочки, посочени на фиг. 38 вида, като използвате плочки и от двата вида? Урок 4.3 Тема: Проблеми на най-плътното опаковане. Ориз. 38 Цел: Да се ​​формира концепцията за оптималното решение. Задачи Какъв най-голям брой ленти с размер 1 5 клетки могат да бъдат изрязани от кариран квадрат 8 8 клетки? Майсторът има лист квадратна тенекия. дм. Майсторът иска да изреже от него възможно най-много правоъгълни заготовки от 3 5 квадратни метра. дм. Помогнете му Възможно ли е правоъгълникът на клетката да се нареже на правоъгълници с размер 5 7 без остатък? Ако е възможно, как? Ако не, защо не? На лист карирана хартия маркирайте разрезите с размера на клетките, с помощта на които можете да получите толкова цели фигури, колкото е показано на фиг. 39. Фигурите, изобразени на фиг. 39 (b, d), може да се обърне.

24 24 5. Танграм Райс Танграм Урок 5.1 Тема: Танграм. Цел: Да запознае учениците с китайския пъзел "Tangram". Практикувайте геометрични изследвания, дизайн. Развивайте комбинаторни умения. Говорейки за проблеми с рязане, не можем да не споменем древния китайски пъзел "Tangram", възникнал в Китай преди 4 хиляди години. В Китай се нарича "chi tao tu", тоест умствен пъзел от седем части. Насоки. За провеждане на този урок е желателно да има раздавателни материали: пъзел (който учениците сами могат да направят), рисунки на фигури, които трябва да бъдат сгънати. Фигура Направете пъзел сами: прехвърлете квадрат, разделен на седем части (фиг. 40) върху плътна хартия и го изрежете. Използвайки всичките седем части на пъзела, направете фигурите, показани на фиг. 41.

25 Урок Фиг. 41 Фиг. 42 Насоки. На децата могат да се дадат рисунки на фигури а), б) в пълен размер. И така ученикът може да реши проблема, като постави части от пъзелите върху чертежа на фигурата и по този начин избере правилните части, което опростява задачата. И рисунки на фигури

26 26 6. Задачи за разрязване в пространството в), г) могат да бъдат дадени в по-малък мащаб; следователно тези задачи ще бъдат по-трудни за решаване. На фиг. Дадени са още 42 фигури за самостоятелно съставяне Опитайте се да измислите своя собствена фигура, като използвате всичките седем части на танграма В танграма, сред седемте му части, вече има триъгълници с различни размери. Но от неговите части все още можете да добавите различни триъгълници. Сгънете триъгълник с помощта на четири части на танграм: а) един голям триъгълник, два малки триъгълника и квадрат; б) един голям триъгълник, два малки триъгълника и успоредник; в) един голям триъгълник, един среден триъгълник и два малки триъгълника Можете ли да направите триъгълник, като използвате само две части на танграм? Три части? Пет части? Шест части? Всичките седем части на танграма? 5.6. Очевидно е, че квадратът е направен от всичките седем части на танграма. Възможно ли е или невъзможно да се направи квадрат от две части? От три? От четири? 5.7. Какви различни части от танграм могат да се използват за направата на правоъгълник? Какви други изпъкнали многоъгълници могат да бъдат направени? 6. Задачи за разрязване в пространство Урок 6.1 Тема: Задачи за разрязване в пространство. Цел: Развийте пространственото въображение. Научете се да изграждате размахване на триъгълна пирамида, куб, определете кои размахвания са неправилни. Практикувайте решаването на задачи за разрязване на тела в пространството (решението на такива задачи се различава от решаването на задачи за разрязване на фигури в равнина). Задачи Пинокио ​​имаше хартия, залепена от едната страна с полиетилен. Той направи парчето, показано на фиг. 43, за да залепите торбички за мляко (триъгълни пирамиди) от него. А лисицата Алиса може да направи друга заготовка. Какво?

27 Lesson Rice Cat Basilio също получи тази хартия, но той иска да лепи кубчета (кефирени торбички). Той направи заготовките, показани на фиг. 44. И лисицата Алиса казва, че някои могат да бъдат изхвърлени веднага, защото не са добри. тя права ли е Пирамидата на Хеопс има квадрат в основата, а страничните й стени са равни равнобедрени триъгълници. Пинокио ​​се изкачи и измери ъгъла на ръба на върха (AMD, на фиг. 45). Оказа се 100. А лисицата Алиса казва, че е прегряла на слънце, защото това не може да бъде. тя права ли е 6.4. Какъв е минималният брой плоски разфасовки, необходими за разделяне на куб на 64 малки кубчета? След всяко разрязване е позволено да размествате частите на куба както желаете.Дървеният куб беше боядисан отвън с бяла боя, след което всеки от ръбовете му Фиг. 45 се разделя на 5 равни части, след което се разрязва, така че се получават малки кубчета, в които ръбът е 5 пъти по-малък от този на оригиналния куб. Колко малки кубчета има? Колко кубчета имат три боядисани страни? Два ръба? Един ръб? Колко небоядисани кубчета са останали? 6.6. Динята беше разрязана на 4 части и изядена. Получиха се 5 кори. Може ли това да е?

28 28 7. Задачи за оцветяване 6.7. Какъв е максималният брой парчета, на които може да се нареже една палачинка с три прави разреза? Колко парчета могат да се получат с три разфасовки от един хляб? 7. Задачи за оцветяване Урок 7.1 Тема: Оцветяването помага за решаване на задачи. Цел: Да научите как да докажете, че някои задачи за рязане нямат решения, като използвате добре подбрано оцветяване (например оцветяване в шахматна дъска), като по този начин подобрите логическата култура на учениците. Проблеми Не е трудно да се докаже, че решението на задачата за разрязване на фигура на части е възможно: достатъчно е да се осигури някакъв метод за рязане. Намирането на всички решения, тоест всички начини за рязане, вече е по-трудно. И да се докаже, че рязането е невъзможно също е доста трудно. В някои случаи оцветяването на фигурата ни помага да направим това.Взехме квадрат от карирана хартия с размери 8 8, отрязахме две клетки от него (долу вляво и горе вдясно). Възможно ли е да покриете напълно получената фигура с правоъгълници "домино" 1 2? 7.2. На шахматната дъска има фигура „камила“, която при всяко движение се мести с три клетки вертикално и една хоризонтално или три хоризонтално и една вертикално. Може ли "камила", след като направи няколко хода, да влезе в клетка, съседна на първоначалната й страна? 7.3. Във всяка клетка на квадрата 5 5 има бръмбар. По команда всеки бръмбар пропълзя върху една от съседните клетки отстрани. Може ли тогава да се окаже, че точно един бръмбар отново ще седи във всяка клетка? Ами ако оригиналният квадрат имаше размери 6 6? 7.4. Възможно ли е да се изреже квадрат от карирана хартия 4x4 на един пиедестал, един квадрат, една колона и един зигзаг (фиг. 46)?

М. А. Екимова, Г. П. Кукин МЦНМО Москва, 2002 г. UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Екимова М. А., Кукин Г. П. Проблеми с рязане. М.: МЦНМО, 2002. 120 с.: ил. Серия: "Тайните на преподаването на математика". Това

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, И.В. Yashchenko КАКВО ДА БЪДЕ ВИЗУАЛНАТА ГЕОМЕТРИЯ В 5 6 КЛАС Резултатите от GIA и USE по математика показват, че основният проблем на геометричния

Задачи върху решетки В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов l са цели числа, тогава и само тогава генерира същата решетка,

IV Яковлев Материали по математика MathUs.ru Разрези Геометричните фигури се наричат ​​равни, ако могат да се наслагват една върху друга, така че напълно да съвпадат. 1. Нарежете всяка форма на

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Ръководство за подготовка за GIA Задачи за избор на правилните твърдения 2015 1 ВЪВЕДЕНИЕ Това ръководство е предназначено за подготовка за решаване на геометрични задачи на GIA по математика.

Тест 448 Вертикални ъгли 1. Ако ъглите не са вертикални, значи не са равни. 2. Еднаквите ъгли са вертикални само ако са централно симетрични. 3. Ако ъглите са равни и обединението им има

I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Примери и конструкции 1. (Всеруски, 2018, ШЭ, 5.2) Момичето замени всяка буква в името си с нейния номер в руската азбука. Резултатът е числото 2011533.

ЛЕКЦИЯ 24 РАВНИНСКИ ГРАФИКИ 1. Формула на Ойлер за равнинни графики Определение 44: Равнинната графика е изображение на графика в равнина без самопресичане. Забележка Графиката не е същата като плоската

Средно (пълно) общо образование М. И. Башмаков Математика 11 клас Сборник задачи 3-то издание УДК 372.851(075.3) LBC 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 клас. Сборник задачи: вторичен (пълен)

В.А. Смирнов 1. Разпознаване на фигури 1. Какъв многостен се нарича куб? 2. Колко върхове, ръбове, лица има един куб? 3. Начертайте куб на карирана хартия. 4. Какъв многостен се нарича паралелепипед?

В.А. Смирнов, И.В. Ященко ФИГУРИ В ПРОСТРАНСТВОТО Наръчник за подготовка за Единния държавен изпит 2013 ВЪВЕДЕНИЕ Това ръководство е предназначено да подготви за решаване на геометрични задачи на Единния държавен изпит по математика. Неговите цели са:

1 се научават да използват геометричния език и геометричната символика, за да опишат обектите на света; провеждайте прости разсъждения и обосновки в процеса на решаване на предвидените проблеми

МАТЕМАТИКА 5.1-5.3 клас (технологичен профил) Банка от задачи модул „Геометрия“ „Триъгълници и четириъгълници. Прави линии и кръгове. Симетрия. Полиедри” Необходима е основна теоретична информация

Задачи за Третия градски открит турнир на младите математици в Минск 2016 (младша лига, 5-7 клас) 10-12 март 2016 г. Предварителни заявки, посочващи образователната институция, ръководителя, неговия телефонен номер

Общинска бюджетна предучилищна образователна институция "Детска градина 30" на Централния район на Барнаул

1 Екстремното правило Игор Жук (Алфа, 1(4), 1999) Да започнем със следните три проблема: Проблем1. На безкраен лист карирана хартия във всяка клетка е написано естествено число. Знае се

Знанието е най-доброто притежание. Всеки се стреми към него, то не идва от само себе си. Abu-r-Raykhan al-buruni "Концепцията за площта на многоъгълник" Геометрия 8 клас 1 ХАРАКТЕРИСТИКА НА ПОЛИНОМИ Затворена полилиния,

Обяснителна бележка 1. Обща характеристика на курса Тази програма е съставена в съответствие с изискванията на Федералния държавен образователен стандарт за основно общо образование и е предназначена

Майсторски клас „Геометрия и стереометрия на Единния държавен изпит по математика, част 1. Октомври 2017 г. За решаване на задачи са необходими знания за геометричните фигури и техните свойства, изчисляване на площите на плоски фигури, обеми

Общинско бюджетно учебно заведение "СОУ 2" Приложение 3.20. Работна програма за курса "Визуална геометрия" 5-6 клас Разработчици: Овчинникова Н.В.,

Тема 1. Паритет 1. На масата има 13 зъбни колела, свързани в затворена верига. Могат ли всички предавки да се въртят едновременно? 2. Може ли права линия, която не съдържа върхове, да образува затворена полилиния с 13

Анализ на задачите от третата част на задачите 1 2 Електронно училище Знаник Анализ на задачите от третата част на задачите 4 клас 6 7 8 9 10 A B A C D Задача 6 Вътре в тунела има контролни точки на всеки 10 m.

IX Всеруска смяна "Млад математик". ВДК "Орленце". VI Турнир по математически игри. Математическа игра "Дуел". Младша лига. Решения. 08.09.2013 г. 1. Еднакъв брой ученици учат в две групи

Интересни задачи с кубчета Задача 1. Номерирайте 8 върха на куба с редни номера (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), така че сумата от числата на всяка от шестте му страни да е еднаква ( Фиг. 1а).

Банка задачи по математика 6 клас "Многоъгълници и многостени" 1. Многостенът е затворена повърхнина, съставена от: успоредници на многоъгълници и триъгълници на многоъгълници на многоъгълници

ДЪРЖАВЕН КОМИТЕТ НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ПО ВИСШЕТО ОБРАЗОВАНИЕ НОВОСИБИРСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Задочно училище МАТЕМАТИЧЕСКИ КАТЕДЕР ПАРАЛЕЛЕН ДИЗАЙН Клас 0, задача 3. Новосибирск

Работната програма на предмета "Светът на знаците и числата" 5 клас 1. Планирани резултати от развитието на предмета "Светът на знаците и числата" овладяване на геометричния език, използвайки го за описание

Извънкласен урок по нагледна геометрия в 7. клас. Тема: „Геометрия на ножицата. Задачи за изрязване и сгъване на форми"

ТЯХ. СМИРНОВ, В.А. СМИРНОВ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРОВЕРЕНА ХАРТИЯ Учебник за образователни институции Москва 2009 ПРЕДГОВОР Предложеното ръководство съдържа петдесет и шест задачи за конструиране и

РАБОТНА ТЕТРАДКА 2 ТРАНСФОРМАЦИИ 1 Понятие за трансформация Пример 1. Трансформация на концентрични окръжности една в друга. Кръг c 1 се преобразува в своя концентричен кръг c 2, както е показано

Есенен интензивен физико-математически курс "100 часа" ПОЛИОМИН Игри и пъзели с карирани фигури Хозин Михаил Анатолиевич Дзержинск, 29 октомври 2 ноември 2016 г. КАКВО Е ПОЛИМОНО? Всеки знае домино

7 фигури са начертани точка по точка, както е показано на снимките по-долу. C A G B F Покажете как да използвате тези елементи, за да направите фигурите на фигурите по-долу D E A) (точки 0 точки) B) (точки 0 точки) C) (3 точки

USE 2010. Математика. Задача B9. Работна тетрадка Смирнов V.A. (под редакцията на А. Л. Семенов и И. В. Ященко) М .: Издателство МЦНМО; 2010 г., 48 стр. Работна тетрадка по математика на USE 2010 г. Серия Математика

1) IDm2014_006 отговори на състезателния кръг 2) Ръководител на отбора Пояркова Олга Сергеевна 3) Технически изпълнител (координатор) № 4) URL на уеб страницата с отговорите на състезателния кръг (ако има такива) № 5) Таблица

10.1 (технологичен профил), 10.2 (профилно ниво) 2018-2019 учебна година Примерна банка от задачи за подготовка за тестване по математика, раздел "Геометрия" (учебник Атанасян Л.С., профилно ниво)

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов Правилни, полуправилни и звездовидни полиедри Москва МЦНМО Издателство 010

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И НАУЧЕН ЦЕНТЪР Математика Клас 0 ПАРАЛЕЛЕН ДИЗАЙН Новосибирск I. Дизайн

2016 2017 учебна година 5 клас 51 Подредете скоби и знаци за действие в записа 2 2 2 2 2 така, че да се окаже 24 52 Аня лъже във вторник, сряда и четвъртък и казва истината през всички останали дни от седмицата

Тема 16. Полиедри 1. Призма и нейните елементи: Призма е многостен, две страни на който са равни многоъгълници, разположени в успоредни равнини, а останалите лица са успоредници.

Геометрия към геометрия. PDA, Геометрия, Трети урок (Максимов Д.В.) 28 юни 2017 г. Визуална геометрия Куб 3x3x3 се състои от 13 бели и 14 тъмни кубчета. На коя снимка е? Показано по-долу

7 клас 7.1. Може ли да се окаже, че 1000 участници в олимпиадата ще решат правилно тази задача и сред тях ще има 43 повече момчета, отколкото момичета? 7.2. Лада и Лера познаха по естествено число. Ако

Комитет на администрацията на Змеиногорския район на Алтайския край по въпросите на образованието и младежта Общинска бюджетна образователна институция „Змеиногорско средно училище с напреднали

Приемен изпит във вечерната математическа школа към Факултета по компютърни науки на Московския държавен университет на името на М. В. Ломоносов (29 септември 2018 г.) 8-9 клас 1. Отборите „Математици“, „Физици“ и „Програмисти“ играха футбол

Общинска бюджетна образователна институция на град Абакан "Средно училище 11" ПРОГРАМА за извънкласни дейности на кръга "Млад математик" за 1-4 клас Извънкласна програма

Тема I. Паритетна задача 1. Квадратната таблица 25 25 е оцветена в 25 цвята, така че всеки ред и всяка колона съдържа всички цветове. Докажете, че ако подредбата на цветовете е симетрична по отношение на

1. Комплекти. Операции върху множества 1. Вярно ли е, че за произволни множества A, B е изпълнено равенството A \ (A \ B) A B? 2. Вярно ли е, че за всякакви множества A, B равенството (A \ B) (B \ A)

Код на раздела Изисквания (умения), проверявани чрез задания за финална работа Отворена банка със задачи по предмета "Математика" за ученици от четвърти клас Задачи 4. ПРОСТРАНСТВЕНИ ОТНОШЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕН

Изображение на полиедри Фигура, подобна на нейната проекция върху определена равнина, се приема като изображение на фигура. Избрано е изображение, което дава правилна представа за формата на фигурата, е

Задачи за 5 клас Сайтът за начална математика на Дмитрий Гушчин www.mathnet.spb.ru в кутия 5. Кой печели, ако играе най-добре? 2. В квадрат 5 5 са ​​начертани линии, които го разделят на

Отдел по образованието на администрацията на Красногвардейски район Общинска образователна институция "Калиновска гимназия" Одобрявам: Директор на MBOU "Калиновска гимназия" Белоусова

Дванадесета общоруска олимпиада по геометрия. И. Ф. Шаригина Четиринадесета устна олимпиада по геометрия Москва, 17 април 2016 г. Решения на задачи 8 9 клас 1. (А. Блинков) В шестоъгълник са равни

Задачи G -11.5.16. S страна = P основна. * H формула за намиране на страничната повърхност на призмата Г -11.5.17. S страна = 1 P основен. * h формула за намиране на странична повърхност 2 на пирамидата 6. Разни задачи Г-10.6.1.

VIII отборно-личен турнир "Математически многобой" 27 ноември 2015 г., Москва Геометрия (решения) Юношеска лига 1. Дадени са кръг и хордата му. В краищата на хордата към окръжността са начертани допирателни

1. На карирана хартия е нарисувана фигура. Разделете го на 4 равни
части по линиите на карирана хартия. Намерете всички възможни фигури, за които
можете да изрежете тази фигура според условието на проблема.
Решение.
2. От квадрат 5 5 изрежете централната клетка. Нарежете полученото
фигура на две равни части по два начина.
Решение.

3. Разделете правоъгълника 3×4 на две равни части. Намерете как можете
повече начини. Можете да режете само по страната на квадрат 1 × 1 и методи
се считат за различни, ако получените цифри не са равни за всяка
начин.
Решение.
4. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на 2 равни части.
Решение.
5. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на 2 равни части.

Решение.
6. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на две равни части
линии на мрежата, като във всяка от частите трябва да има кръг.
Решение.
7. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на четири равни части

Решение.

8. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на четири равни части
по линиите на мрежата, като във всяка от частите трябва да има кръг.
Решение.
9. Изрежете този квадрат по страните на клетките, така че всички части
да са с еднакъв размер и форма и всеки да съдържа по един
чаша и кръст.
Решение.

10. Изрежете фигурата, показана на фигурата, по линията на мрежата
четири равни части и ги сгънете на квадрат, така че кръговете и кръстовете
разположени симетрично спрямо всички оси на симетрия на квадрата.
Решение.
11. Разрежете квадрата 6  6 клетки, показан на фигурата, на четири
еднакви части, така че всяка от тях да съдържа три запълнени клетки.

Решение.
12. Възможно ли е да разрежете квадрат на четири части, така че всяка част
е бил в контакт с останалите три (частите са в контакт, ако имат общ
гранична зона)?
Решение.
13. Възможно ли е да се разреже правоъгълник от 9 4 клетки на две равни части по

тогава как да го направя?
Решение Площта на такъв квадрат е 36 клетки, т.е. страната му е 6
клетки. Методът на рязане е показан на фигурата.

14. Възможно ли е да се разреже правоъгълник от 5 10 клетки на две равни части по
страните на клетките, така че да могат да образуват квадрат? Ако отговорът е да,
тогава как да го направя?
Решение Площта на такъв квадрат е 50 клетки, т.е. неговата страна е
повече от 7, но по-малко от 8 цели клетки. Така че, за да изрежете такъв правоъгълник
по необходимия начин отстрани на клетките е невъзможно.
15. Имаше 9 листа хартия. Някои от тях бяха разрязани на три части. Обща сума
станаха 15 листа. Колко листа хартия бяха изрязани?
Решение Изрежете 3 листа: 3 ∙ 3 + 6 = 15.