Оптималната стойност на целевата функция се нарича. Тестове за текущ контрол на знанията

Разделяме третия ред на ключовия елемент, равен на 5, получаваме третия ред на новата таблица.

Базовите колони съответстват на единични колони.

Изчисляване на останалите стойности на таблицата:

"BP - Основен план":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Стойностите на индексния ред са неотрицателни, следователно получаваме оптималното решение: , ; .

Отговор:максималната печалба от продажбата на произведени продукти, равна на 160/3 единици, се осигурява от освобождаването само на продукти от втори тип в размер на 80/9 единици.

Задача номер 2

Дадена е задачата на нелинейното програмиране. Намерете максимума и минимума на целевата функция с помощта на графично-аналитичен метод. Съставете функцията на Лагранж и покажете, че достатъчните условия за минимум (максимум) са изпълнени в точките на екстремума.

защото последната цифра на шифъра е 8, тогава A=2; B=5.

защото предпоследната цифра на шифъра е 1, тогава трябва да изберете задача номер 1.

Решение:

1) Нека начертаем областта, която определя системата от неравенства.

Тази област е триъгълник ABC с координати на върховете: A(0; 2); B(4; 6) и C(16/3; 14/3).

Целевите функционални нива са кръгове с център в точката (2; 5). Квадратите на радиусите ще бъдат стойностите на целевата функция. Тогава фигурата показва, че минималната стойност на целевата функция се достига в точка H, максималната стойност е или в точка A, или в точка C.

Стойността на целевата функция в точка А: ;

Стойността на целевата функция в точка C: ;

Това означава, че максималната стойност на функцията се достига в точката A(0; 2) и е равна на 13.

Нека намерим координатите на точка H.

За да направите това, помислете за системата:

ó

ó

Една права е допирателна към окръжност, ако уравнението има единствено решение. Квадратно уравнение има уникално решение, ако дискриминантът е 0.

Тогава ; ; - минималната стойност на функцията.

2) Съставете функцията на Лагранж, за да намерите минималното решение:

При х 1 =2.5; х 2 =4.5 получаваме:

ó

Системата има решение за , т.е. са изпълнени достатъчни екстремални условия.

Съставяме функцията на Лагранж за намиране на максималното решение:

Достатъчни условия за екстремум:

При х 1 =0; х 2 =2 получаваме:

ó ó

Системата има и решение, т.е. са изпълнени достатъчни екстремални условия.

Отговор:минимумът на целевата функция се достига при ; ; максималната целева функция се достига, когато ; .

Задача номер 3

На две предприятия са отпуснати средства в размер дединици. При разпределение на първото предприятие за една година хпарични единици осигурява доход к 1 хединици, а когато се разпределят към второто предприятие гпарични единици, той осигурява доход к 1 гединици. Салдото на средствата в края на годината за първото предприятие е равно на nx, а за второто моя. Как да разпределим всички средства в рамките на 4 години, така че общият приход да е най-голям? Решете проблема чрез динамично програмиране.

i=8, k=1.

А=2200; k 1 =6; k2=1; п=0,2; m=0,5.

Решение:

Целият период от 4 години е разделен на 4 етапа, всеки от които е равен на една година. Нека номерираме етапите, започвайки от първата година. Нека X k и Y k са средствата, разпределени съответно на предприятия A и B на k-тия етап. Тогава сумата X k + Y k =a k е общата сума на средствата, използвани на k - този етап и оставащи от предишния етап k - 1. на първия етап се използват всички разпределени средства и a 1 =2200 единици. доходът, който ще бъде получен на k - този етап, когато се разпределят X k и Y k единици, ще бъде 6X k + 1Y k . нека максималният доход, получен на последните етапи, започвайки от k - този етап е f k (a k) единици. Нека напишем функционалното уравнение на Белман, изразяващо принципа на оптималност: каквото и да е първоначалното състояние и първоначалното решение, последващото решение трябва да бъде оптимално по отношение на състоянието, получено в резултат на първоначалното състояние:

За всеки етап трябва да изберете стойността X k и стойността Y k=ак- Хк. Имайки това предвид, ще намерим доход на k-тия етап:

Функционалното уравнение на Белман ще изглежда така:

Обмислете всички етапи, като започнете с последния.

(тъй като максимумът на линейната функция се достига в края на сегмента при x 4 = a 4);

Конструираме на равнината набор от възможни решения на системата от линейни неравенства и геометрично намираме минималната стойност на целевата функция.

Изграждаме в координатната система x 1 oh 2 линии

Намираме полуравнините, определени от системата. Тъй като неравенствата на системата са изпълнени за всяка точка от съответната полуравнина, достатъчно е да ги проверим за всяка една точка. Използваме точката (0;0). Нека заместим координатите му в първото неравенство на системата. защото , тогава неравенството определя полуравнина, която не съдържа точката (0;0). По същия начин дефинираме останалите полуравнини. Множеството от допустимите решения намираме като обща част на получените полуравнини - това е защрихованата област.

Изграждаме вектор и линия на нулево ниво, перпендикулярна на него.

Като преместим линията (5) по посока на вектора, виждаме, че максималната точка на областта ще бъде в точката А на пресечната точка на линията (3) и линията (2). Намираме решението на системата от уравнения:

И така, разбрахме точката (13;11) и.

Като преместим линията (5) по посока на вектора, виждаме, че минималната точка на областта ще бъде в точката B на пресечната точка на линията (1) и линията (4). Намираме решението на системата от уравнения:

И така, получихме точката (6;6) и.

2. Мебелна фирма произвежда комбинирани шкафове и компютърни маси. Производството им е ограничено от наличието на суровини (висококачествени плоскости, обков) и времето на работа на машините, които ги обработват. За всеки шкаф са необходими 5 м2 дъски, за маса - 2 м2. Фитинги за $10 се харчат за един шкаф и $8 за една маса. Компанията може да получи от своите доставчици до 600 m2 дъски на месец и аксесоари за $2000. За всеки шкаф са необходими 7 часа машинна работа, за маса - 3 часа. Възможно е да се използват само 840 часа работа на машината на месец.

Колко комбинирани шкафове и компютърни маси трябва да произвежда една фирма на месец, за да увеличи максимално печалбата, ако един шкаф носи $100, а всяка маса прави $50?

• 1. Съставете математически модел на задачата и я решете по симплексния метод.
• 2. Съставете математически модел на двойствената задача, запишете нейното решение въз основа на решението на първоначалната.
• 3. Определете степента на недостиг на използваните ресурси и обосновете рентабилността на оптималния план.
• 4. Проучете възможностите за допълнително увеличаване на продукцията, в зависимост от използването на всеки тип ресурс.
• 5. Оценете осъществимостта на въвеждането на нов тип продукт - рафтове за книги, ако 1 m 2 дъски и аксесоари за $ 5 се изразходват за производството на един рафт и са необходими 0,25 часа работа на машината и печалбата от продажбата на един рафт е $20.
• 1. Нека изградим математически модел за този проблем:

Означаваме с x 1 - обема на производство на шкафове и x 2 - обема на производство на маси. Нека съставим система от ограничения и целева функция:

Решаваме задачата с помощта на симплексния метод. Нека го напишем в канонична форма:

Нека напишем данните за задачата под формата на таблица:

маса 1

защото сега всички делти са по-големи от нула, тогава по-нататъшното увеличаване на стойността на целевата функция f е невъзможно и сме получили оптимален план.

Въведение

Съвременният етап на развитие на човечеството се отличава с това, че векът на енергията се заменя с ерата на информатиката. Налице е интензивно въвеждане на нови технологии във всички сфери на човешката дейност. Съществува реален проблем на прехода към информационното общество, за което развитието на образованието трябва да стане приоритет. Структурата на знанието в обществото също се променя. Фундаменталните знания, които допринасят за творческото развитие на индивида, стават все по-важни за практическия живот. Важна е и конструктивността на придобитите знания, способността да се структурират в съответствие с целта. На базата на знанието се формират нови информационни ресурси на обществото. Формирането и придобиването на нови знания трябва да се основава на строга методология на системния подход, в рамките на който отделно място заема моделният подход. Възможностите на подхода за моделиране са изключително разнообразни както по отношение на използваните формални модели, така и по отношение на начините за реализиране на методите за моделиране. Физическото моделиране дава възможност да се получат надеждни резултати за сравнително прости системи.

Понастоящем е невъзможно да се назове област на човешката дейност, в която в една или друга степен няма да се използват методи за моделиране. Това важи особено за управлението на различни системи, където основните са процесите на вземане на решения въз основа на получената информация.

1. Постановка на проблема

минимална целева функция

Решете задачата за намиране на минимума на целевата функция за системата от ограничения, зададена от полигона за решение в съответствие с опция № 16 на задачата. Полигонът за вземане на решения е показан на фигура 1:

Фигура 1 - Многоъгълник на решенията на проблема

Системата от ограничения и целевата функция на проблема са представени по-долу:

Необходимо е да се реши проблемът, като се използват следните методи:

Графичен метод за решаване на задачи на ЛП;

Алгебричен метод за решаване на задачи на ЛП;

Симплексен метод за решаване на задачи на ЛП;

Метод за намиране на осъществимо решение на проблеми с LP;

Решаване на двойствения LP проблем;

Методът на "клоновете и границите" за решаване на цели задачи на ЛП;

Методът на Гомори за решаване на цели LP задачи;

Метод на Балаш за решаване на булеви LP задачи.

Сравнете резултатите от решението по различни методи, за да направите подходящите заключения за работата.

2. Графично решение на задачата за линейно програмиране

Графичният метод за решаване на проблеми с линейно програмиране се използва в случаите, когато броят на неизвестните не надвишава три. Той е удобен за качествено изследване на свойствата на разтворите и се използва заедно с други методи (алгебрични, разклонени и обвързани и др.). Идеята на метода се основава на графичното решение на система от линейни неравенства.

Ориз. 2 Графично решение на задачата LP

Ниска точка

Уравнение на права линия, минаваща през две точки A1 и A2:

AB: (0;1); (3;3)

Слънце: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

с ограничения:

Решаване на задача от линейно програмиране по алгебричния симплекс метод

Прилагането на алгебричния метод за решаване на задачата изисква обобщение на представянето на задачата на ЛП. Оригиналната система от ограничения, дадена под формата на неравенства, се преобразува в стандартната нотация, когато ограниченията са дадени под формата на равенства. Преобразуването на система от ограничения в стандартна форма включва следните стъпки:

Трансформирайте неравенствата по такъв начин, че променливите и свободните членове да са отляво, а 0 отдясно, т.е. че лявата страна е по-голяма или равна на нула;

Въведете допълнителни променливи, чийто брой е равен на броя на неравенствата в системата от ограничения;

Въвеждайки допълнителни ограничения върху неотрицателността на добавените променливи, заменете знаците за неравенство със строги знаци за равенство.

При решаването на проблема с LP по алгебричния метод се добавя условие: целевата функция трябва да клони към минимум. Ако това условие не е изпълнено, е необходимо целевата функция да се преобразува по подходящ начин (умножена по -1) и да се реши задачата за минимизиране. След като бъде намерено решението, заменете стойностите на променливите в оригиналната функция и изчислете нейната стойност.

Решението на проблема с помощта на алгебричния метод се счита за оптимално, когато стойностите на всички основни променливи са неотрицателни, а коефициентите за свободни променливи в уравнението на целевата функция също са неотрицателни. Ако тези условия не са изпълнени, е необходимо да се трансформира системата от неравенства, като се изразят някои променливи чрез други (промяна на свободни и основни променливи), за да се постигнат горните ограничения. Стойността на всички свободни променливи се приема за нула.

Алгебричният метод за решаване на проблеми на линейното програмиране е един от най-ефективните методи за ръчно решаване на проблеми с малки размери. не изисква голям брой аритметични изчисления. Машинното изпълнение на този метод е по-сложно, отколкото например при симплексния метод, т.к алгоритъмът за решаване на алгебричния метод е до известна степен евристичен и ефективността на решението до голяма степен зависи от личния опит.

свободни променливи

св. платно - добавям. комплект

Условията за неотрицателност са изпълнени, следователно е намерено оптималното решение.

3. Решаване на задача от линейно програмиране с помощта на симплексна таблица

Решение: Нека приведем проблема в стандартна форма за решаване с помощта на симплексна таблица.

Ние свеждаме всички уравнения на системата до формата:

Изграждаме симплексна таблица:

В горния ъгъл на всяка клетка от таблицата въвеждаме коефициентите от системата уравнения;

Избираме максималния положителен елемент в ред F, с изключение на това, че това ще бъде общата колона;

За да намерим общия елемент, изграждаме връзка за всички положителни. 3/3; 9/1;- минимално съотношение в ред x3. Оттук - общ низ и =3 - общ елемент.

Намираме =1/=1/3. Внасяме долния ъгъл на клетката, където се намира общият елемент;

Във всички незапълнени долни ъгли на общата линия въвеждаме произведението на стойността в горния ъгъл на клетката с;

Изберете горните ъгли на общата линия;

Във всички долни ъгли на общата колона въвеждаме произведението на стойността в горния ъгъл по - и избираме получените стойности;

Останалите клетки от таблицата се попълват като произведение на съответните избрани елементи;

След това изграждаме нова таблица, в която обозначенията на клетките на елементите на общата колона и ред са обърнати (x2 и x3);

В горния ъгъл на предишния общ ред и колона са записани стойностите, които преди това са били в долния ъгъл;

Сумата от стойностите на горния и долния ъгъл на тези клетки в предишната таблица се записва в горния ъгъл на останалите клетки

4. Решаване на проблема с линейното програмиране чрез намиране на осъществимо решение

Нека е дадена система от линейни алгебрични уравнения:

Можем да приемем, че всичко, в противен случай умножаваме съответното уравнение по -1.

Въвеждаме спомагателни променливи:

Въвеждаме и спомагателна функция

Ние ще минимизираме системата при ограничения (2) и условия.

ПРАВИЛО ЗА НАМИРАНЕ НА ВЪЗМОЖНО РЕШЕНИЕ: За да намерим изпълнимо решение на система (1), минимизираме формата (3) при ограничения (2), като свободни неизвестни приемаме xj като основни.

При решаване на задача по симплексния метод могат да възникнат два случая:

min f=0, тогава всички i трябва да са равни на нула. И получените стойности xj ще бъдат възможно решение на системата (1).

min f>0, т.е. оригиналната система няма валидно решение.

Изходна система:

Използва се условието на задачата от предната тема.

Нека добавим допълнителни променливи:

Намерено е допустимо решение на изходната задача: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Въз основа на полученото възможно решение намираме оптималното решение на първоначалния проблем, използвайки симплексния метод. За да направим това, ще изградим нова симплексна таблица от таблицата, получена по-горе, като изтрием реда и реда с целевата функция на спомагателната задача:

Анализирайки построената симплексна таблица, виждаме, че оптималното решение на първоначалната задача вече е намерено (елементите в реда, съответстващ на целевата функция, са отрицателни). По този начин възможното решение, намерено при решаването на спомагателния проблем, съвпада с оптималното решение на първоначалния проблем:

6. Двойственият проблем на линейното програмиране

Първоначалната система от ограничения и целевата функция на проблема са показани на фигурата по-долу.

с ограничения:

Решение: Привеждаме системата от ограничения към стандартната форма:

Двойната задача на тази ще изглежда така:

Двойствената задача ще бъде решена по симплексния метод.

Нека трансформираме целевата функция, така че задачата за минимизиране да бъде решена и да запишем системата от ограничения в стандартната форма за решаване чрез симплексния метод.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Нека да изградим първоначалната симплексна таблица за решаване на двойния LP проблем.

Втората стъпка на симплексния метод

И така, на третата стъпка на симплексния метод беше намерено оптималното решение на задачата за минимизиране със следните резултати: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. За да се намери стойността на целевата функция на двойния проблем, ние заместваме намерените стойности на основните и свободните променливи във функцията за максимизиране:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Тъй като стойността на целевата функция на директната и двойната задачи е една и съща, решението на директната задача е намерено и е равно на 12.

Fmin \u003d Fmax \u003d -12

7. Решаване на задачата за целочислено линейно програмиране с помощта на метода „клонове и граници“.

Нека трансформираме първоначалния проблем по такъв начин, че условието за цяло число да не е изпълнено при решаване с конвенционални методи.

Първоначалният многоъгълник от решения на целочислен програмен проблем.

Нека конструираме нова система от ограничения за трансформирания многоъгълник на решение.

Записваме системата от ограничения под формата на равенства, за решаване по алгебричен метод.

В резултат на решението беше намерен оптималният план на задачата: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Това решение не отговаря на условието за интегралност, зададено в задачата. Разделяме полигона на оригиналното решение на две области, като изключваме област 3 от нея

Променен полигон от решения на проблеми

Нека съставим нови системи от ограничения за формираните области на многоъгълника на решението. Лявата област е четириъгълник (трапец). Системата за ограничения за лявата област на многоъгълника на решението е представена по-долу.

Ограничителна система за лявата зона

Дясната област представлява точка С.

Системата от ограничения за областта на правилното решение е представена по-долу.

Новите ограничителни системи са два допълнителни проблема, които трябва да бъдат решени независимо един от друг. Нека решим проблема с целочисленото програмиране за лявата област на многоъгълника на решението.

В резултат на решението беше намерен оптималният план на задачата: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Този план удовлетворява условието за целочислени променливи в проблема и може да се приеме като оптимален референтен план за първоначалния целочислен проблем с линейно програмиране. Няма смисъл да се изпълнява решението за правилния регион на решение. Фигурата по-долу показва напредъка на решаването на задача за целочислено линейно програмиране под формата на дърво.

Курсът на решаване на задача с целочислено линейно програмиране по метода на Гомори.

В много практически приложения проблемът с целочисленото програмиране е от голям интерес, в който са дадени система от линейни неравенства и линейна форма

Изисква се да се намери целочислено решение на система (1), което минимизира целевата функция F, като всички коефициенти са цели числа.

Един от методите за решаване на проблема с целочисленото програмиране е предложен от Гомори. Идеята на метода е да се използват методи за непрекъснато линейно програмиране, по-специално симплексния метод.

1) Чрез симплексния метод се определя решението на задача (1), (2), за което отпада изискването решението да е цяло число; ако решението се окаже цяло число, тогава ще бъде намерено и желаното решение на целочислената задача;

2) В противен случай, ако дадена координата не е цяло число, полученото решение на задачата се проверява за възможността за съществуване на цяло число (наличие на цели точки в допустим полиедър):

ако във всеки ред с дробен свободен член всички други коефициенти се окажат цели числа, тогава няма цели числа, точки в допустим полиедър и проблемът с целочисленото програмиране няма решение;

В противен случай се въвежда допълнително линейно ограничение, което отрязва от допустимия полиедър част, неперспективна за намиране на решение на целочислена програмна задача;

3) За да конструирате допълнително линейно ограничение, изберете l-тия ред с дробен свободен член и запишете допълнителното ограничение

където и са съответно дробните части на коефициентите и свободните

член. Нека въведем спомагателна променлива в ограничението (3):

Нека определим коефициентите и включени в ограничението (4):

където и са най-близките по-ниски цели числа за и, съответно.

Гомори доказа, че краен брой такива стъпки води до проблем с линейно програмиране, чието решение е цяло число и следователно желаното.

Решение: Редуцираме системата от линейни ограничения и целевата функция до каноничната форма:

Нека определим оптималното решение на системата от линейни ограничения, като временно отхвърлим условието за цяло число. За това използваме симплексния метод. Таблиците по-долу представят последователно първоначалното решение на задачата и са дадени трансформациите на оригиналната таблица, за да се получи оптималното решение на задачата:

Решаване на булеви ЛП задачи по метода на Балаш.

Съставете самостоятелно вариант за задачата на целочисленото линейно програмиране с булеви променливи, като вземете предвид следните правила: задачата използва най-малко 5 променливи, най-малко 4 ограничения, коефициентите на ограниченията и целевата функция се избират произволно, но в такъв начин, по който системата от ограничения е съвместима. Задачата е да се реши ZCLP с булеви променливи с помощта на алгоритъма на Balash и да се определи намаляването на изчислителната сложност във връзка с решаването на проблема чрез изчерпателно търсене.

Изпълнение на ограниченията

F стойност

Ограничение на филтъра:

Изчисляване Намаляване Определяне

Решението на задачата чрез метода на изчерпателно търсене е 6*25=192 изчислени израза. Решението на задачата по метода на Балаш е 3*6+(25-3)=47 изчислени израза. Общото намаляване на сложността на изчисленията във връзка с решаването на проблема чрез метода на изчерпателно търсене е.

Заключение

Процесът на проектиране на информационни системи, които прилагат нови информационни технологии, непрекъснато се подобрява. Все по-сложните системи стават център на вниманието на системните инженери, което затруднява използването на физически модели и увеличава значението на математическите модели и компютърната симулация на системите. Машинното моделиране се превърна в ефективен инструмент за изследване и проектиране на сложни системи. Уместността на математическите модели непрекъснато нараства поради тяхната гъвкавост, адекватност към реални процеси, ниска цена на внедряване на базата на съвременни персонални компютри. Все повече и повече възможности се предоставят на потребителя, т.е. специалиста по моделиране на системи с помощта на компютърни технологии. Използването на моделиране е особено ефективно в ранните етапи на проектиране на автоматизирани системи, когато цената на грешните решения е най-значителна.

Съвременните изчислителни инструменти позволиха значително да се увеличи сложността на моделите, използвани при изследването на системите, стана възможно да се изградят комбинирани, аналитични и симулационни модели, които отчитат цялото разнообразие от фактори, които се извършват в реалните системи, т.е. използването на модели, които са по-адекватни на изследваните явления.

Литература:

1. Ляшченко И.Н. Линейно и нелинейно програмиране / И. Н. Лященко, Е. А. Карагодова, Н. В. Черникова, Н. З. Шор. - К .: "Висше училище", 1975, 372 с.

2. Насоки за изпълнение на курсовия проект по дисциплината "Приложна математика" за студенти от специалност "Компютърни системи и мрежи" редовна и задочна форма на обучение / Съставител: И. А. Балакирева, А. В. Скатков - Севастопол: Издателство SevNTU, 2003. - 15 с.

3. Насоки за изучаване на дисциплината "Приложна математика", раздел "Методи за глобално търсене и едномерна минимизация" / Comp. А. В. Скатков, И. А. Балакирева, Л. А. Литвинова - Севастопол: Издателство СевГТУ, 2000. - 31с.

4. Насоки за изучаване на дисциплината "Приложна математика" за студенти от специалност "Компютърни системи и мрежи" Раздел "Решаване на задачи за целочислено линейно програмиране" на редовна и задочна форма на обучение / Съставител: И. А. Балакирева, А. В. Скатков - Севастопол : Издателство SevNTU, 2000. - 13 с.

5. Акулич И.Л. Математическо програмиране в примери и задачи:

6. Proc. надбавка за студентска икономика. специалист. университети.-М.: Висш. училище, 1986.- 319с., ил.

7. Андронов С.А. Оптимални методи за проектиране: Текст на лекцията / SPbGUAP. СПб., 2001. 169 с.: ил.

Подобни документи

Алгоритъм за решаване на задачи от линейното програмиране по симплексния метод. Построяване на математически модел на задача от линейно програмиране. Решаване на задача от линейно програмиране в Excel. Намиране на печалба и оптимален производствен план.

курсова работа, добавена на 21.03.2012 г


Графично решаване на проблеми. Изготвяне на математически модел. Определяне на максималната стойност на целевата функция. Решение чрез симплекс метод с изкуствена основа на задача на канонично линейно програмиране. Проверка на оптималността на решението.

тест, добавен на 04/05/2016


Теоретични основи на линейното програмиране. Проблеми на линейното програмиране, методи за решаване. Анализ на оптималното решение. Решение на задача с едноиндексно линейно програмиране. Постановка на проблема и въвеждане на данни. Изграждане на модел и стъпки за решение.

курсова работа, добавена на 12/09/2008


Изграждане на математически модел. Избор, обосновка и описание на метода за решаване на директната задача на линейното програмиране чрез симплексния метод, като се използва симплексна таблица. Постановка и решение на двойна задача. Анализ на модела за чувствителност.

курсова работа, добавена на 31.10.2014 г


Изграждане на математически модел с цел максимизиране на печалбата на предприятието, графично решение на задачата. Решаване на проблеми с помощта на добавката SOLVER. Анализ на промените в ресурсните запаси. Определяне на границите на изменение на коефициентите на целевата функция.

курсова работа, добавена на 17.12.2014 г


Математическо програмиране. Линейно програмиране. Проблеми на линейното програмиране. Графичен метод за решаване на задача от линейно програмиране. Икономическа формулировка на проблема за линейното програмиране. Изграждане на математически модел.

курсова работа, добавена на 13.10.2008 г


Решаване на задача от линейно програмиране по графичен метод, проверката й в MS Excel. Анализ на вътрешната структура на решението на проблема в програмата. Оптимизиране на производствения план. Решение на задачата по симплексния метод. Многоканална система за масово обслужване.

тест, добавен на 05/02/2012


Решаване на задачата на линейното програмиране по симплексния метод: постановка на задачата, изграждане на икономико-математически модел. Решение на транспортния проблем по метода на потенциалите: изграждане на първоначалния опорен план, определяне на неговата оптимална стойност.

тест, добавен на 04/11/2012


Постановка на проблема за нелинейното програмиране. Определяне на стационарни точки и техния тип. Построяване на линии на ниво, тримерна графика на целевата функция и ограничения. Графично и аналитично решение на задачата. Ръководство за потребителя и схема на алгоритъм.

курсова работа, добавена на 17.12.2012 г


Анализ на решението на задача от линейното програмиране. Симплексен метод с използване на симплексни таблици. Моделиране и решаване на LP задачи на компютър. Икономическа интерпретация на оптималното решение на проблема. Математическа постановка на транспортната задача.

Ако има само две променливи в задача за линейно програмиране, тогава тя може да бъде решена графично.

Помислете за проблем с линейно програмиране с две променливи и:
(1.1) ;
(1.2)
Тук са произволни числа. Задачата може да бъде както намиране на максимума (max), така и намиране на минимума (min). В системата от ограничения могат да присъстват както знаци, така и знаци.

Изграждане на областта на осъществимите решения

Графичният метод за решаване на задача (1) е следният.
Първо начертаваме координатните оси и избираме мащаба. Всяко от неравенствата на ограничителната система (1.2) определя полуравнина, ограничена от съответната права.

Първото неравенство
(1.2.1)
дефинира полуравнина, ограничена от права. От едната страна на тази линия и от другата страна. На най-правата линия. За да разберем от коя страна е изпълнено неравенството (1.2.1), избираме произволна точка, която не лежи на правата. След това заместваме координатите на тази точка в (1.2.1). Ако неравенството е в сила, тогава полуравнината съдържа избраната точка. Ако неравенството не е изпълнено, тогава полуравнината се намира от другата страна (не съдържа избраната точка). Защриховаме полуравнината, за която е изпълнено неравенството (1.2.1).

Правим същото и за останалите неравенства от системата (1.2). Така че получаваме защрихованите полуравнини. Точките от областта на допустимите решения удовлетворяват всички неравенства (1.2). Следователно, графично, областта на възможните решения (ODD) е пресечната точка на всички построени полуравнини. Ние засенчваме ODR. Това е изпъкнал многоъгълник, чиито лица принадлежат на построените линии. Също така ODR може да бъде неограничена изпъкнала фигура, сегмент, лъч или права линия.

Може да възникне и случай, че полуравнините не съдържат общи точки. Тогава областта на допустимите решения е празното множество. Този проблем няма решения.

Можете да опростите метода. Не можете да засенчвате всяка полуравнина, но първо изградете всички линии
(2)
След това изберете произволна точка, която не принадлежи на нито една от тези линии. Заместете координатите на тази точка в системата от неравенства (1.2). Ако всички неравенства са изпълнени, тогава областта на допустимите решения е ограничена от построените линии и включва избраната точка. Засенчваме зоната на допустимите решения по границите на линиите, така че да включва избраната точка.

Ако поне едно неравенство не е изпълнено, тогава изберете друга точка. И така нататък, докато се намери една точка, чиито координати удовлетворяват системата (1.2).

Намиране на екстремума на целевата функция

И така, имаме защрихована област от възможни решения (ODD). Тя е ограничена от начупена линия, състояща се от сегменти и лъчи, принадлежащи на построените прави (2). ODR винаги е изпъкнало множество. То може да бъде или ограничено множество, или неограничено множество по някои посоки.

Сега можем да търсим екстремума на целевата функция
(1.1) .

За да направите това, изберете произволно число и изградете права линия
(3) .
За удобство на по-нататъшното представяне приемаме, че тази права линия минава през ODS. На тази права линия целевата функция е постоянна и равна на . такава права се нарича линия на нивото на функцията. Тази права разделя равнината на две полуравнини. На една половин равнина
.
На другата половина самолет
.
Тоест, от едната страна на правата линия (3), целевата функция нараства. И колкото повече отдалечаваме точката от линията (3), толкова по-голяма ще бъде стойността. От другата страна на правата (3) целевата функция намалява. И колкото повече отдалечаваме точката от линията (3) на другата страна, толкова по-малка ще бъде стойността. Ако начертаем линия, успоредна на линия (3), тогава новата линия също ще бъде линията на нивото на целевата функция, но с различна стойност.

По този начин, за да се намери максималната стойност на целевата функция, е необходимо да се начертае права линия, успоредна на правата (3), доколкото е възможно от нея в посока на нарастващи стойности на и минаваща през поне една точка от ODT. За да се намери минималната стойност на целевата функция, е необходимо да се начертае права линия, успоредна на правата (3) и доколкото е възможно от нея в посока на намаляване на стойностите на и минаваща през поне една точка на ОДТ.

Ако ODE е неограничен, тогава може да възникне случай, когато такава права линия не може да бъде начертана. Тоест, както и да премахнем правата от линията на нивото (3) в посока на нарастване (намаляване), правата винаги ще минава през ODR. В този случай тя може да бъде произволно голяма (малка). Следователно няма максимална (минимална) стойност. Проблемът няма решения.

Нека разгледаме случая, когато крайната линия, успоредна на произволна линия от формата (3), минава през един връх на ODD многоъгълника. От графиката определяме координатите на този връх. Тогава максималната (минималната) стойност на целевата функция се определя по формулата:
.
Решението на проблема е
.

Може да има и случай, когато правата линия е успоредна на една от страните на ODD. След това линията минава през два върха на многоъгълника ODD. Определяме координатите на тези върхове. За да определите максималната (минималната) стойност на целевата функция, можете да използвате координатите на всеки от тези върхове:
.
Проблемът има безкрайно много решения. Решението е всяка точка, разположена на отсечката между точките и , включително самите точки и .

Пример за решаване на задача с линейно програмиране по графичен метод

Задачата

Фирмата произвежда рокли от два модела А и Б. Използват се три вида плат. За изработката на един модел рокля А са необходими 2 м плат от първи тип, 1 м плат от втори вид, 2 м плат от трети вид. За производството на една рокля от модел B са необходими 3 m плат от първи тип, 1 m плат от втори тип, 2 m плат от трети тип. Запасите от плат от първи вид са 21 м, от втори вид - 10 м, от трети вид - 16 м. Пускането на един продукт от тип А носи доход от 400 den. единица, един продукт тип В - 300 ден. единици

Направете производствен план, който осигурява на компанията най-голям доход. Решете задачата графично.

Решение

Нека променливите и означават броя на произведените рокли на модели A и B, съответно. Тогава количеството използвана тъкан от първия тип ще бъде:
(м)
Количеството използвана тъкан от втория тип ще бъде:
(м)
Количеството използван плат от третия тип ще бъде:
(м)
Тъй като броят на произведените рокли не може да бъде отрицателен, тогава
и .
Приходите от произведените рокли ще бъдат:
(ден. единици)

Тогава икономико-математическият модел на задачата има вида:

Решаваме го графично.
Начертайте координатните оси и .

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 7) и (10.5; 0).

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 10) и (10; 0).

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 8) и (8; 0).

Засенчваме зоната, така че точката (2; 2) да попадне в защрихованата част. Получаваме четириъгълника OABC.

(P1.1) .
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 4) и (3; 0).

Освен това отбелязваме, че тъй като коефициентите за и на целевата функция са положителни (400 и 300), тогава тя нараства с увеличаване на и . Начертаваме права, успоредна на правата (A1.1), доколкото е възможно от нея в посока на нарастване и минаваща през поне една точка от четириъгълника OABC. Такава права минава през точка C. От конструкцията определяме нейните координати.
.

Решението на проблема: ;

Отговор

.
Тоест, за да получите най-голям доход, е необходимо да направите 8 рокли от модел А. Доходът в този случай ще бъде 3200 den. единици

Пример 2

Задачата

Решете задача на линейно програмиране с помощта на графичен метод.

Решение

Решаваме го графично.
Начертайте координатните оси и .

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 6) и (6; 0).

Изграждаме права линия.
Оттук.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (3; 0) и (7; 2).

Изграждаме права линия.
Изграждаме права линия (ос на абсцисата).

Областта на допустимите решения (DDR) е ограничена от построените прави. За да разберем от коя страна, забелязваме, че точката принадлежи на ODT, тъй като удовлетворява системата от неравенства:

Засенчваме зоната по границите на построените линии, така че точката (4; 1) да попадне в защрихованата част. Получаваме триъгълник ABC.

Конструираме произволна линия на ниво на целевата функция, например,
.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 6) и (4; 0).
Тъй като целевата функция нараства с нарастване на и , начертаваме права линия, успоредна на линията на нивото и доколкото е възможно от нея в посока на нарастване и минаваща през поне една точка от триъгълника ABC. Такава права минава през точка C. От конструкцията определяме нейните координати.
.

Решението на проблема: ;

Отговор

Пример без решение

Задачата

Решете графично задачата на линейното програмиране. Намерете максималната и минималната стойност на целевата функция.

Решение

Решаваме задачата графично.
Начертайте координатните оси и .

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 8) и (2.667; 0).

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 3) и (6; 0).

Изграждаме права линия.
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (3; 0) и (6; 3).

Правите и са координатните оси.

Областта на допустимите решения (ДПР) е ограничена от построените прави линии и координатни оси. За да разберем от коя страна, забелязваме, че точката принадлежи на ODT, тъй като удовлетворява системата от неравенства:

Засенчваме зоната, така че точката (3; 3) да попадне в защрихованата част. Получаваме неограничена площ, ограничена от начупената линия ABCDE.

Конструираме произволна линия на ниво на целевата функция, например,
(P3.1) .
В .
В .
Начертаваме права линия през точките (0; 7) и (7; 0).
Тъй като коефициентите при и са положителни, тогава нараства с увеличаване на и .

За да намерите максимума, трябва да начертаете успоредна права линия, доколкото е възможно в посока на нарастване и минаваща през поне една точка от областта ABCDE. Въпреки това, тъй като областта е неограничена от страната на големи стойности на и , такава права линия не може да бъде начертана. Каквато и права линия да начертаем, винаги ще има точки в региона, които са по-отдалечени в посока на нарастване и . Следователно няма максимум. можете да го направите толкова голям, колкото искате.

Търсим минимума. Начертаваме права, успоредна на правата (A3.1) и доколкото е възможно от нея в посока на намаляване и минаваща през поне една точка от областта ABCDE. Такава права минава през точка C. От конструкцията определяме нейните координати.
.
Минималната стойност на целевата функция:

Отговор

Няма максимална стойност.
Минимална стойност
.