Ако индикаторите са еднакви, но причините са различни. Урок "Умножение и деление на степени"

Всяка аритметична операция понякога става твърде тромава за писане и те се опитват да я опростят. Някога такъв беше случаят с операцията за добавяне. Хората трябваше да извършват многократно добавяне на един и същи тип, например, за да изчислят цената на сто персийски килима, чиято цена е 3 златни монети за всеки. 3+3+3+…+3 = 300. Поради неговата тромава природа беше решено нотацията да се съкрати до 3 * 100 = 300. Всъщност нотацията „три пъти по сто“ означава, че трябва да вземете една сто три и ги съберете. Умножението се улови и спечели обща популярност. Но светът не стои неподвижен и през Средновековието възниква необходимостта от многократно умножение от същия тип. Спомням си една стара индианска гатанка за мъдрец, който поискал житни зърна в следните количества като награда за свършената работа: за първото поле на шахматната дъска искал едно зърно, за второто - две, за третото - четири, за петата - осем и т.н. Така се появи първото умножение на степените, тъй като броят на зърната беше равен на две на степен на числото на клетката. Например в последната клетка ще има 2*2*2*...*2 = 2^63 зърна, което се равнява на число с дължина 18 знака, което всъщност е смисълът на загадката.

Операцията на степенуване се улови доста бързо и бързо се появи необходимостта от извършване на събиране, изваждане, деление и умножение на степени. Последното си струва да се разгледа по-подробно. Формулите за добавяне на степени са прости и лесни за запомняне. Освен това е много лесно да се разбере откъде идват, ако степенната операция се замени с умножение. Но първо трябва да разберете някои основни термини. Изразът a^b (да се чете „a на степен b“) означава, че числото a трябва да се умножи по себе си b пъти, като „a“ се нарича основа на степента, а „b“ е показателят на степента. Ако основите на градусите са еднакви, тогава формулите се извеждат съвсем просто. Конкретен пример: намерете стойността на израза 2^3 * 2^4. За да знаете какво трябва да се случи, трябва да намерите отговора на компютъра, преди да започнете решението. Въвеждането на този израз в който и да е онлайн калкулатор, търсачка, въвеждането на „умножаване на степени с различни основи и еднакви“ или математически пакет, резултатът ще бъде 128. Сега нека напишем този израз: 2^3 = 2*2*2, и 2^4 = 2 *2*2*2. Оказва се, че 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Оказва се, че произведението на степени с еднаква основа е равно на основата, повдигната на степен, равна на сумата от двете предишни степени.

Може би си мислите, че това е случайност, но не: всеки друг пример може само да потвърди това правило. Така най-общо формулата изглежда така: a^n * a^m = a^(n+m) . Има и правило, че всяко число на нулева степен е равно на единица. Тук трябва да запомним правилото за отрицателните степени: a^(-n) = 1 / a^n. Тоест, ако 2^3 = 8, тогава 2^(-3) = 1/8. Използвайки това правило, можете да докажете валидността на равенството a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) може да се намали и остава едно. От тук се извлича правилото, че частното на степените с еднакви основи е равно на тази основа на степен, равна на частното на делителя и делителя: a^n: a^m = a^(n-m) . Пример: опростете израза 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Умножението е комутативна операция, следователно първо трябва да добавите степените на умножение: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. След това трябва да се справите с деленето на отрицателна степен. Необходимо е да извадите показателя на делителя от показателя на дивидента: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Оказва се, че операцията за деление на отрицателна степен е идентична с операцията за умножение с подобен положителен показател. Така че крайният отговор е 8.

Има примери, при които се извършва неканонично умножение на мощности. Умножаването на степени с различни основи често е много по-трудно, а понякога дори невъзможно. Трябва да се дадат някои примери за различни възможни техники. Пример: опростете израза 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно е, че има умножение на степени с различни основи. Но трябва да се отбележи, че всички бази са различни степени на три. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Използвайки правилото (a^n) ^m = a^(n*m) , трябва да пренапишете израза в по-удобна форма: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Отговор: 3^11. В случаите, когато има различни бази, правилото a^n * b^n = (a*b) ^n работи при равни показатели. Например 3^3 * 7^3 = 21^3. В противен случай, когато основите и показателите са различни, не може да се извърши пълно умножение. Понякога можете частично да опростите или да прибегнете до помощта на компютърните технологии.

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Понятието степен по математика се въвежда в 7 клас в часа по алгебра. И впоследствие, през целия курс на изучаване на математиката, това понятие се използва активно в различните му форми. Градусите са доста трудна тема, изискваща запомняне на стойности и способност за правилно и бързо броене. За да работят със степените по-бързо и по-добре, математиците измислиха свойства на степени. Те помагат да се намалят големите изчисления, преобразуват до известна степен огромен пример в едно число. Няма толкова много свойства и всички те са лесни за запомняне и прилагане на практика. Ето защо в статията се разглеждат основните свойства на степента, както и къде се прилагат.

Свойства на степен

Ще разгледаме 12 свойства на степени, включително свойства на степени с еднакви основи, и ще дадем пример за всяко свойство. Всяко от тези свойства ще ви помогне да решавате по-бързо проблеми със степените и също така ще ви предпази от множество изчислителни грешки.

1-ви имот.

Много хора много често забравят за това свойство и правят грешки, представяйки число на нулева степен като нула.

2-ри имот.

3-ти имот.

Трябва да се помни, че това свойство може да се използва само при умножаване на числа, то не работи със сума! И не трябва да забравяме, че това и следващите свойства се отнасят само за степени с еднакви бази.

4-ти имот.

Ако число в знаменателя се повдигне до отрицателна степен, тогава при изваждане степента на знаменателя се взема в скоби, за да се промени правилно знакът при по-нататъшни изчисления.

Свойството работи само при деление, не важи при изваждане!

5-ти имот.

6-ти имот.

Това свойство може да се приложи и в обратна посока. Единица, разделена на число до известна степен, е това число на минус степен.

7-ми имот.

Това свойство не може да се приложи към сбор и разлика! Повишаването на сбор или разлика на степен използва формули за съкратено умножение, а не свойства на степен.

8-ми имот.

9-ти имот.

Това свойство работи за всяка дробна степен с числител, равен на едно, формулата ще бъде същата, само силата на корена ще се променя в зависимост от знаменателя на степента.

Това свойство също често се използва в обратна посока. Коренът на всяка степен на число може да бъде представен като това число на степен едно, разделено на степента на корена. Това свойство е много полезно в случаите, когато коренът на число не може да бъде извлечен.

10-ти имот.

Това свойство работи не само с квадратни корени и втора степен. Ако степента на корена и степента, до която този корен е повдигнат, съвпадат, тогава отговорът ще бъде радикален израз.

11-ти имот.

Трябва да можете да видите това свойство навреме, когато го решавате, за да си спестите огромни изчисления.

12-ти имот.

Всяко от тези свойства ще ви срещне повече от веднъж в задачи, може да бъде дадено в чист вид или да изисква някои трансформации и използване на други формули. Следователно, за да вземете правилното решение, не е достатъчно да знаете само свойствата; трябва да практикувате и да включите други математически знания.

Приложение на степени и техните свойства

Те се използват активно в алгебрата и геометрията. Степените по математика имат отделно, важно място. С тяхна помощ се решават експоненциални уравнения и неравенства, а уравненията и примерите, свързани с други клонове на математиката, често са усложнени със степени. Степените помагат да се избегнат големи и дълги изчисления; степените са по-лесни за съкращаване и изчисляване. Но за да работите с големи мощности или със степени на големи числа, трябва да знаете не само свойствата на степента, но и да работите компетентно с бази, да можете да ги разширявате, за да улесните задачата си. За удобство трябва да знаете и значението на числата, повдигнати на степен. Това ще намали времето ви при решаване, елиминирайки необходимостта от дълги изчисления.

Концепцията за степен играе специална роля в логаритмите. Тъй като логаритъмът по същество е степен на число.

Формулите за съкратено умножение са друг пример за използване на степени. Свойствата на степените не могат да се използват в тях, те се разширяват по специални правила, но във всяка формула за съкратено умножение неизменно има степени.

Степените се използват активно и във физиката и компютърните науки. Всички преобразувания в системата SI се извършват с помощта на мощности и в бъдеще при решаване на проблеми се използват свойствата на мощността. В компютърните науки правомощията на две се използват активно за удобство на броенето и опростяване на възприемането на числата. Допълнителни изчисления за преобразуване на мерни единици или изчисления на проблеми, точно както във физиката, се извършват с помощта на свойствата на градусите.

Градусите също са много полезни в астрономията, където рядко виждате използването на свойствата на градусите, но самите градуси се използват активно за съкращаване на обозначенията на различни количества и разстояния.

Градусите се използват и в ежедневието, когато се изчисляват площи, обеми и разстояния.

Степените се използват за записване на много големи и много малки количества във всяка област на науката.

Показателни уравнения и неравенства

Свойствата на степените заемат специално място именно в експоненциалните уравнения и неравенства. Тези задачи са много често срещани, както в училищните курсове, така и на изпитите. Всички те се решават чрез прилагане на свойствата на степента. Неизвестното винаги се намира в самата степен, така че знаейки всички свойства, решаването на такова уравнение или неравенство не е трудно.

В последния видео урок научихме, че степента на определена основа е израз, който представлява произведението на основата сама по себе си, взето в количество, равно на степента. Нека сега да проучим някои от най-важните свойства и действия на степените.

Например, нека умножим две различни степени с една и съща основа:

Нека представим тази работа в нейната цялост:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

След като изчислим стойността на този израз, получаваме числото 32. От друга страна, както се вижда от същия пример, 32 може да бъде представено като произведение на същата основа (две), взето 5 пъти. И наистина, ако го преброите, тогава:

Така можем уверено да заключим, че:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Това правило работи успешно за всякакви показатели и всякакви причини. Това свойство на степенното умножение следва от правилото, че значението на изразите се запазва по време на трансформации в продукт. За всяка основа a произведението на два израза (a)x и (a)y е равно на a(x + y). С други думи, когато се създават изрази с една и съща основа, полученият моном има обща степен, образувана чрез събиране на степените на първия и втория израз.

Представеното правило работи чудесно и при умножаване на няколко израза. Основното условие е всички да имат еднакви бази. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Невъзможно е да се добавят степени и дори да се извършват каквито и да било съвместни действия, базирани на мощност, с два елемента на израз, ако основите им са различни.
Както показва нашето видео, поради сходството на процесите на умножение и деление, правилата за добавяне на степени в продукт се пренасят перфектно в процедурата за деление. Помислете за този пример:

Нека трансформираме израза термин по член в неговата пълна форма и редуцираме същите елементи в дивидент и делител:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Крайният резултат от този пример не е толкова интересен, защото още в процеса на решаването му става ясно, че стойността на израза е равна на квадрат две. И това е две, което се получава чрез изваждане на степента на втория израз от степента на първия.

За да се определи степента на частното, е необходимо да се извади степента на делителя от степента на делителя. Правилото работи с една и съща основа за всички негови стойности и за всички естествени сили. Под формата на абстракция имаме:

(a) x / (a) y = (a) x - y

От правилото за деление на еднакви основи със степени следва определението за нулева степен. Очевидно следният израз изглежда така:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

От друга страна, ако направим разделянето по по-визуален начин, получаваме:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

При намаляване на всички видими елементи на дроб винаги се получава изразът 1/1, тоест единица. Следователно, общоприето е, че всяка основа, повдигната на нулева степен, е равна на единица:

Независимо от стойността на a.

Въпреки това би било абсурдно, ако 0 (което все още дава 0 за всяко умножение) по някакъв начин е равно на едно, така че израз от формата (0) 0 (нула на нулева степен) просто няма смисъл и формулата ( а) 0 = 1 добавете условие: „ако a не е равно на 0.“

Да решим упражнението. Нека намерим стойността на израза:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Тъй като основата е една и съща навсякъде и равна на 34, крайната стойност ще има същата основа със степен (според горните правила):

С други думи:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Отговор: изразът е равен на едно.