Ирина 25 правилни и неправилни дроби. Правилни и неправилни дроби

Делят се на правилни и неправилни.

Правилни дроби

Правилна дробе обикновена дроб, в която числителят е по-малък от знаменателя.

За да разберете дали една дроб е правилна, трябва да сравните нейните членове един с друг. Дробните членове се сравняват в съответствие с правилото за сравняване на естествени числа.

Пример.Помислете за фракцията:

7

8

Пример:

8	= 1	1
7		7

Правила за превод и допълнителни примери можете да намерите в темата Преобразуване на неправилна дроб в смесено число. Можете също да използвате онлайн калкулатор, за да конвертирате неправилна дроб в смесено число.

Сравняване на правилни и неправилни дроби

Всяка неправилна обикновена дроб е по-голяма от правилната дроб, тъй като правилната дроб винаги е по-малка от едно, а неправилната дроб е по-голяма или равна на едно.

Пример:

3	>	99
2		100

Правила за сравнение и допълнителни примери можете да намерите в темата Сравнение на обикновени дроби. Освен това, за да сравнявате дроби или да проверявате сравненията, можете да използвате

Обикновените дроби се делят на \textit (правилни) и \textit (неправилни) дроби. Това разделение се основава на сравнение на числителя и знаменателя.

Правилни дроби

Правилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-малък от знаменателя, т.е. $ млн

Пример 1

Например дробите $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ са правилни , така че как във всеки от тях числителят е по-малък от знаменателя, което отговаря на определението за правилна дроб.

Има определение за правилна дроб, което се основава на сравняването на дробта с единица.

правилно, ако е по-малко от едно:

Пример 2

Например обикновената дроб $\frac(6)(13)$ е правилна, защото условието $\frac(6)(13) е изпълнено

Неправилни дроби

Неправилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. $m\ge n$.

Пример 3

Например дробите $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ са неправилни , така че как във всеки от тях числителят е по-голям или равен на знаменателя, което отговаря на определението за неправилна дроб.

Нека дадем дефиниция на неправилна дроб, която се основава на сравнението й с единица.

Обикновената дроб $\frac(m)(n)$ е грешно, ако е равно на или по-голямо от едно:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Пример 4

Например обикновената дроб $\frac(21)(4)$ е неправилна, защото условието $\frac(21)(4) >1$ е изпълнено;

обикновената дроб $\frac(8)(8)$ е неправилна, защото условието $\frac(8)(8)=1$ е изпълнено.

Нека разгледаме по-отблизо понятието неправилна дроб.

Нека вземем за пример неправилната дроб $\frac(7)(7)$. Значението на тази фракция е да се вземат седем дяла от обект, който се разделя на седем равни части. Така от седемте налични дяла може да се състави целият обект. Тези. неправилната дроб $\frac(7)(7)$ описва целия обект и $\frac(7)(7)=1$. И така, неправилните дроби, в които числителят е равен на знаменателя, описват един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естественото число $1$.

$\frac(5)(2)$ -- съвсем очевидно е, че от тези пет втори части можете да направите $2$ цели обекти (един цял обект ще бъде съставен от $2$ части и за да съставите два цели обекта, трябват $2+2=4$ споделяния) и остава едно второ споделяне. Тоест, неправилната дроб $\frac(5)(2)$ описва $2$ от обект и $\frac(1)(2)$ дела на този обект.

$\frac(21)(7)$ -- от двадесет и една седми части можете да направите $3$ цели обекта ($3$ обекта с $7$ дялове във всеки). Тези. дробта $\frac(21)(7)$ описва $3$ цели обекти.

От разгледаните примери можем да направим следното заключение: неправилна дроб може да бъде заменена с естествено число, ако числителят се дели на знаменателя (например $\frac(7)(7)=1$ и $\frac (21)(7)=3$) или сумата от естествено число и правилна дроб, ако числителят не се дели напълно на знаменателя (например $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Ето защо такива дроби се наричат грешно.

Определение 1

Процесът на представяне на неправилна дроб като сума от естествено число и правилна дроб (например $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) се нарича отделяне на цялата част от неправилна дроб.

При работа с неправилни дроби има тясна връзка между тях и смесените числа.

Неправилната дроб често се записва като смесено число - число, което се състои от цяло число и дробна част.

За да напишете неправилна дроб като смесено число, трябва да разделите числителя на знаменателя с остатък. Частното ще бъде цялата част от смесеното число, остатъкът ще бъде числителят на дробната част, а делителят ще бъде знаменателят на дробната част.

Пример 5

Запишете неправилната дроб $\frac(37)(12)$ като смесено число.

Решение.

Разделете числителя на знаменателя с остатък:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (остатък\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Отговор.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

За да напишете смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цялата част на числото, да добавите числителя на дробната част към получения продукт и да запишете получената сума в числителя на дробта. Знаменателят на неправилната дроб ще бъде равен на знаменателя на дробната част на смесеното число.

Пример 6

Запишете смесеното число $5\frac(3)(7)$ като неправилна дроб.

Решение.

Отговор.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Събиране на смесени числа и правилни дроби

Събиране на смесени числа$a\frac(b)(c)$ и правилна дроб$\frac(d)(e)$ се извършва чрез добавяне към дадена дроб на дробната част от дадено смесено число:

Пример 7

Добавете правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$.

Решение.

Нека използваме формулата за събиране на смесено число и правилна дроб:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ляво(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\дясно)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Чрез разделяне на числото \textit(5) можем да определим, че дробта $\frac(10)(15)$ е редуцируема. Нека извършим редукцията и намерим резултата от добавянето:

И така, резултатът от събирането на правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$ е $3\frac(2)(3)$.

Отговор:$3\frac(2)(3)$

Събиране на смесени числа и неправилни дроби

Събиране на неправилни дроби и смесени числасе свежда до добавяне на две смесени числа, за което е достатъчно да се изолира цялата част от неправилната дроб.

Пример 8

Изчислете сумата от смесеното число $6\frac(2)(15)$ и неправилната дроб $\frac(13)(5)$.

Решение.

Първо, нека извлечем цялата част от неправилната дроб $\frac(13)(5)$:

Отговор:$8\frac(11)(15)$.

Баницата се разрязва на 8 равни части (фиг. 122, а) и 3 части се поставят в чиния.

На него имаше пита (фиг. 122, b). Ако поставите всичките 8 части, тогава на чинията ще има пай, тоест целият пай (фиг. 122, в).

Ориз. 122

Значи = 1.

Нека вземем друг подобен пай и го нарежем на 8 равни части (фиг. 123, а). Ако поставите например 11 парчета в чиния, тогава ще има пай (фиг. 123, b).

Ориз. 123

В дроб числителят е по-малък от знаменателя. Такива дроби се наричат ​​правилни. В дроб числителят е равен на знаменателя, а в дроб числителят е по-голям от знаменателя. Такива дроби се наричат ​​неправилни.

Ориз. 124

Например,< 1, = 1, > 1.

Въпроси за самопроверка

• Каква дроб се нарича правилна?
• Каква дроб се нарича неправилна дроб?
• Може ли правилната дроб да бъде по-голяма от 1?
• Неправилната дроб винаги ли е по-голяма от 1?
• Коя дроб е по-голяма, ако едната е правилна, а другата е неправилна?

Правете упражненията

974. Дължината на отсечката AB е 8 см. Начертайте отсечка, чиято дължина е равна на:

975. Маркирайте точки на лъча с координати:

Вземете дължината на 12 клетки от тетрадка като един сегмент.

976. Напишете:

• а) всички правилни дроби със знаменател 6;
• б) всички неправилни дроби с числител 5.

977. При какви стойности е дроб:

978. Машина може да изкопае канавка с дължина 1 м за 6 мин. Колко дълго може да изкопае канавка машина за 1 мин.; 5 минути; 7 минути; 11 минути?

979. Един килограм боя може да покрие 5 m2 повърхност. Колко боя ще е необходима за боядисване на 3 м2; 6 м2; 13 m2 повърхност?

980. Строителният екип построи фермата за 48 дни. По план това време беше необходимо. Колко дни бяха дадени за изграждане на фермата според плана?

981. Стругарят завъртя 135 детайла на струг за 3 часа, изпълнявайки дневната норма. Колко части трябва да е обърнал за един работен ден (8 часа) според нормата? Колко части ще изработи за един работен ден, ако работи при същата производителност?

982. Стругарят стругова на струг 135 детайла, изпълнявайки дневната норма. Каква е дневната му нужда?

983. Концертът на младите музиканти продължи този път вместо предвидените 3 часа, тъй като публиката поиска да повтори някои от любимите си изпълнения. Колко време продължи концертът? Колко минути продължи бисът?

984. Пресметнете устно:

985. Колко минути за един час? Каква част от час е 1 минута? 7 минути; 15 минути?

986. Колко пъти кинтал е по-голям от килограм? Каква част от центнер е един килограм? Колко стотинки са по-големи от килограм?

987. Колко минути

988. Съберете числата 40 и числата 60. От числото 72 извадете числата 81.

989. Половината от числото е 18. Намерете това число. Една трета от числото е 27. Намерете това число. Три четвърти от число е 60. Намерете това число.

990. Коя част от четириъгълника ABCD (фиг. 125) е защрихована? Коя част остана небоядисана?

Ориз. 125

991. Изразете в грамове:

• а) 3 кг 400 г;
• б) 2 кг 30 г;
• в) 15 кг.

992. Подредете дробите във възходящ ред:

Подредете същите дроби в низходящ ред.

993. Назовете четири дроби, които са по-малки от

994. Назовете 5 дроби, които са по-големи от .

995. Начертайте квадрат със страна 4 см. Покажете на чертежа: квадрат, квадрат. Намерете лицата на тези части от квадрата и обяснете резултата.

996. През първия ден екипът събра 5 тона 400 кг картофи, а през втория – с 1 тон 200 кг по-малко от първия. На третия ден екипът събра 2 пъти повече картофи, отколкото на втория. Колко картофа е събрала бригадата през тези три дни?

997. Създайте проблем, като използвате уравнението:

• а) (y+ 6) - 2 = 15;
• b) 2(a - 5) = 24;
• в) 3(25 + b) + 15 = 135.

998. В първия вагон имаше един човек, а във втория b души. На спирката от първата кола слязоха около един човек, а от втората - d души. Какво е значението на следните изрази:

• a + b;
• а - в;
• c + d;
• b - d;
• (a + b) - (c + d);
• (a - c) + (b - d)?

Обясни защо

(a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d)

за a > c, b > d.

Проверете това равенство с a = 45, b = 39, c = 14, d = 12.

Използвайки полученото равенство, изчислете стойността на израза:

• а) (548 + 897) - (148 + 227);
• б) (391 + 199) - (181 + 79).

999. Измислете пет дроби, чийто числител е с 3 по-малък от знаменателя. Запишете пет дроби, чийто числител е 3 пъти по-голям от знаменателя.

1000. При какви стойности на x дробта ще бъде неправилна?

1001. Фермерът планирал да събере 12 тона зеленчуци от нивата, но събрал това количество. Колко тона зеленчуци е набрал фермерът?

1002. Туристът е изминал 18 км през първия ден, толкова е разстоянието, което трябва да измине през втория ден. Колко километра трябва да измине един турист за тези два дни?

1003. Товарен влак тръгна от Санкт Петербург за Москва със скорост 48 км/ч, а час след това бърз влак тръгна от Москва за Санкт Петербург със скорост 82 км/ч. Намерете разстоянието между влаковете:

• а) 1 час след заминаването на бързия влак;
• б) 3 часа след тръгването на товарния влак;
• в) 5 часа след тръгването на бързия влак.

Разстоянието от Москва до Санкт Петербург е 650 км.

1004. Намерете значението на израза:

• а) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• б) (2 254 175 + 94 447) : 414 - 1329;
• в) (123 - 93): (12 - 9);
• г) (62 + Z2)2.