Рівняння множинної регресії в натуральному та стандартизованому вигляді. Стандартизовані коефіцієнти регресії
Коефіцієнти рівняння регресії, як і будь-які абсолютні показники, не можуть бути використані в порівняльному аналізі, якщо одиниці виміру відповідних змінних різні. Наприклад, якщо y - Витрати сім'ї на харчування, х 1 - Розмір сім'ї, а х 2 – загальний дохід сім'ї, і ми визначаємо залежність типу = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 і b 2 > b 1 то це не означає, що x 2 сильніше впливає на y чим х 1 , т. до. b 2 - Це зміна витрат сім'ї при зміні доходів на 1 руб., А b 1 - Зміна витрат при зміні розміру сім'ї на 1 особу.
Порівняність коефіцієнтів рівняння регресії досягається при розгляді стандартизованого рівняння регресії:
y 0 = 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + … + m x m 0 + е,
де y 0 та x 0 k – стандартизовані значення змінних y і x k :
S y та S– стандартні відхилення змінних y і x k ,
k (k=) – -коефіцієнти рівняння регресії (але не параметри рівняння регресії, на відміну від наведених раніше позначень). -коефіцієнти показують, на яку частину свого стандартного відхилення (S y) зміниться залежна змінна y , якщо незалежна змінна x k зміниться величину свого стандартного відхилення (S). Оцінки параметрів рівняння регресії в абсолютних показниках (b k) та β-коефіцієнти пов'язані співвідношенням:
-коефіцієнти рівняння регресії в стандартизованому масштабі створюють реальне уявлення про вплив незалежних змінних на показник, що моделюється. Якщо величина -коефіцієнта для будь-якої змінної перевищує значення відповідного -коефіцієнта для іншої змінної, то вплив першої змінної на зміну результативного показника слід визнати суттєвішим. Слід пам'ятати, що стандартизоване рівняння регресії з центрування змінних немає вільного члена по побудові.
Для простої регресії -коефіцієнт збігається з коефіцієнтом парної кореляції, що дозволяє надати коефіцієнту парної кореляції значеннєве значення.
При аналізі впливу показників, включених до рівняння регресії, на ознаку, що моделюється, нарівні з -коефіцієнтами використовуються також коефіцієнти еластичності. Наприклад, показник середньої еластичності розраховується за формулою
і показує, наскільки відсотків у середньому зміниться залежна змінна, якщо середнє значення відповідної незалежної змінної зміниться однією відсоток (за інших рівних умов).
2.2.9. Дискретні змінні у регресійному аналізі
Як правило, змінні в регресійних моделях мають безперервні сфери зміни. Проте теорія не накладає жодних обмежень характер таких змінних. Досить часто виникає необхідність враховувати у регресійному аналізі вплив якісних ознак та залежність таких від різних факторів. У цьому випадку виникає необхідність вводити в регресійну модель дискретні змінні. Дискретні змінні можуть бути як незалежними, і залежними. Розглянемо ці випадки окремо. Спочатку розглянемо випадок дискретних незалежних змінних.
Фіктивні змінні у регресійному аналізі
Щоб включити в регресію як незалежні змінні якісні ознаки, їх треба оцифрувати. Одним із методів їх оцифрування є використання фіктивних змінних. Назва не зовсім вдала - ніякі вони не фіктивні, просто для цих цілей зручніше використовувати змінні, що приймають лише два значення - нуль або одиниця. Ось їх і назвали фіктивними. Зазвичай якісна змінна може набувати кількох значень-рівнів. Наприклад, стать - чоловіча, жіноча; кваліфікація – висока, середня, низька; сезонність - I, II, III і IV квартали і т. д. Існує правило, згідно з яким для оцифрування таких змінних потрібно вводити кількість фіктивних змінних, числом менше на одиницю, ніж число рівнів показника, що моделюється. Це необхідно для того, щоб такі змінні не були б лінійно залежними.
У наших прикладах: стать - одна змінна, рівна 1 для чоловіків і 0 - для жінок. Кваліфікації має три рівні, отже, потрібні дві фіктивні змінні: наприклад, z 1 = 1 високого рівня, 0 – інших; z 2 = 1 для середнього рівня, 0 – для інших. Третю аналогічну змінну вводити не можна, тому що в цьому випадку вони виявилися б лінійно залежними (z 1 + z 2 + z 3 = 1), визначник матриці (X T X) звернувся б в нуль і знайти зворотну матрицю (X T X) -1 удалося б. Як відомо, оцінки параметрів рівняння регресії визначаються із співвідношення: T X) -1 X T Y).
p align="justify"> Коефіцієнти при фіктивних змінних показують, наскільки значення залежної змінної відрізняється при аналізованому рівні в порівнянні з відсутнім рівнем. Наприклад, якби моделювався рівень зарплати залежно від кількох ознак та рівня кваліфікації, то коефіцієнт при z 1 показав би, наскільки зарплата у фахівців з високим рівнем кваліфікації відрізняється від зарплати у фахівця з низьким рівнем кваліфікації за інших рівних умов, а коефіцієнт при z 2 – аналогічний зміст для фахівців із середнім рівнем кваліфікації. У випадку сезонності довелося б вводити три фіктивних змінних (якщо розглядаються квартальні дані) і коефіцієнти при них показали б, наскільки величина залежної змінної відрізняється для відповідного кварталу від рівня залежної змінної для кварталу, який не був введений при їх оцифруванні.
Фіктивні змінні також вводяться для моделювання структурних змін в динаміці показників, що вивчаються при аналізі часових рядів.
приклад 4.Стандартизоване рівняння регресії та фіктивні змінні
Розглянемо приклад використання стандартизованих коефіцієнтів та фіктивних змінних на прикладі аналізу ринку двокімнатних квартир на основі рівняння множинної регресії при наступному наборі змінних:
PRICE – ціна;
TOTSP – загальна площа;
LIVSP – житлова площа;
KITSP – площа кухні;
DIST – відстань до центру міста;
WALK – дорівнює 1, якщо до станції метро можна дійти пішки та дорівнює 0, якщо треба скористатися громадським транспортом;
BRICK - рівна 1, якщо будинок цегляний і дорівнює 0, якщо панельний;
FLOOR - дорівнює 1, якщо квартира не на першому і не на останньому поверсі і дорівнює 0 інакше;
TEL – дорівнює 1, якщо у квартирі є телефон і дорівнює 1, якщо ні;
BAL - дорівнює 1, якщо є балкон і дорівнює 0, якщо немає балкона.
Розрахунки проведено за допомогою ППП STATISTICA (рис. 2.23). Наявність -коефіцієнтів дозволяє впорядкувати змінні за рівнем їхнього впливу на залежну змінну. Проведемо короткий аналіз результатів розрахунків.
На основі статистики Фішера робимо висновок про значущість рівняння регресії (р-level< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Рисунок 2.24 – Звіт про ринок квартир на основі ППП STATISTICA
Коефіцієнт множинної детермінації дорівнює 52%, отже, включені до регресії змінні зумовлюють зміну ціни на 52%, інші 48% зміни ціни квартири залежить від неврахованих чинників. У тому числі й від випадкових вагань ціни.
Кожен із коефіцієнтів при змінній показує, наскільки зміниться ціна квартири (за інших рівних умов), якщо ця змінна зміниться на одиницю. Так, наприклад, за зміни загальної площі на 1 кв. м ціна квартири в середньому зміниться на 0,791 у.о., а при віддаленні квартири від центру міста на 1 км. і т. д. Фіктивні змінні (останні 5) показують, на скільки в середньому зміниться ціна квартири, якщо перейти з одного рівня цієї змінної на інший. Так, наприклад, якщо цегляний будинок, то квартира в ньому в середньому на 3,104 у. е. дорожче, ніж така ж у панельному будинку, а наявність телефону у квартирі піднімає її ціну в середньому на 1,493 у. е. і т. п.
На основі -коефіцієнтів можна зробити такі висновки. Найбільшим -коефіцієнтом, рівним 0,514, є коефіцієнт при змінній «загальна площа», отже в першу чергу ціна квартири формується під впливом її загальної площі. Наступним фактором за ступенем впливу на зміну ціни квартири є відстань до центру міста, потім матеріал, з якого збудовано будинок, потім площу кухні тощо.
Сторінка 1
Стандартизовані коефіцієнти регресії показують, наскільки сигм зміниться в середньому результат, якщо відповідний фактор х зміниться на одну сигму при незмінному середньому рівні інших факторів. З огляду на те, що це змінні задані як центровані і нормовані, стандартизовані коефіцієнти рефесії Д можна порівняти між собою. Порівнюючи їх один з одним, можна ранжувати фактори за силою їхнього впливу на результат. У цьому основне достоїнство стандартизованих коефіцієнтів рефесії на відміну коефіцієнтів чистої рефесії, які незрівнянні між собою.
Узгодженість приватної кореляції та стандартизованих коефіцієнтів регресії найбільш чітко видно зі зіставлення їх формул при двофакгорному аналізі.
Узгодженість приватної кореляції та стандартизованих коефіцієнтів регресії найбільш чітко видно зі зіставлення їх формул при двофакторному аналізі.
Для визначення значень оцінок at стандартизованих коефіцієнтів регресії а (найчастіше знаходять застосування такі методи вирішення системи нормальних рівнянь: метод визначників, метод квадратного кореня і матричний метод. Останнім часом для вирішення завдань регресійного аналізу широко застосовується матричний метод. Тут же розглянемо рішення системи нормальних рівнянь. рівнянь методом визначників.
Іншими словами, у двофакторному аналізі приватні коефіцієнти кореляції - це стандартизовані коефіцієнти регресії, помножені на корінь квадратний цз співвідношення часток залишкових дисперсій фактора, що фіксується на фактор і на результат.
Існує й інша можливість оцінки ролі групувальних ознак, їхньої значущості для класифікації: на основі стандартизованих коефіцієнтів регресії або коефіцієнтів роздільної детермінації (див. гл.
Як очевидно з табл. 18, компоненти дослідженої композиції розподілилися по абсолютній величині коефіцієнтів регресії (Ь5) з їхньою квадратною помилкою (5'г) в ряд від окису вуглецю та органічних кислот до альдегідів та парів олії. При обчисленні стандартизованих коефіцієнтів регресії (р) виявилося, що з урахуванням діапазону коливань концентрацій на перший план ло значимості у формуванні токсичності суміші в цілому виходять кетони і окис вуглецю, а органічні кислоти залишаються на 3 місці.
Коефіцієнти умовно-чистої регресії bf є іменованими числами, вираженими в різних одиницях виміру, і тому незрівнянні один з одним. Для перетворення в порівняні відносні показники застосовується те саме перетворення, що й отримання коефіцієнта парної кореляції. Отриману величину називають стандартизованим коефіцієнтом регресії або коефіцієнтом.
Коефіцієнти умовно-чистої регресії А; є іменованими числами, вираженими у різних одиницях виміру, і тому незрівнянні друг з одним. Для перетворення в порівняні відносні показники застосовується те саме перетворення, що й отримання коефіцієнта парної кореляції. Отриману величину називають стандартизованим коефіцієнтом регресії або коефіцієнтом.
У процесі розробки нормативів чисельності збираються вихідні дані про облікову чисельність управлінського персоналу та значення факторів по відібраним базовим підприємствам. Далі відбираються суттєві чинники кожної функції з урахуванням кореляційного аналізу, з значення коефіцієнтів кореляції. Вибираються фактори з найбільшим значенням парного коефіцієнта кореляції з функцією та стандартизованого коефіцієнта регресії.
Результати перерахованих вище обчислень дозволяють розташувати у порядку зменшення коефіцієнти регресії, відповідні досліджуваної суміші, і тим самим кількісно оцінити рівень їх небезпеки. Однак, отриманий таким шляхом коефіцієнт регресії не враховує діапазону можливих коливань кожного компонента у складі суміші. В результаті продукти деструкції, що мають високі коефіцієнти регресії, але коливаються в малому діапазоні концентрацій, можуть вплинути на сумарний токсичний ефект менший вплив, ніж інгредієнти з відносно малими Ь, вміст яких у складі суміші змінюється в ширших межах. Тому доцільно проводити додаткову операцію - розрахунок про стандартизованих коефіцієнтів регресії р (Дж.
Сторінки: 1
Завдання.
- Для заданого набору даних побудуйте лінійну модель множинної регресії. Оцініть точність та адекватність побудованого рівняння регресії.
- Дайте економічну інтерпретацію параметрів моделі.
- Розрахуйте стандартизовані коефіцієнти моделі та запишіть рівняння регресії у стандартизованому вигляді. Чи вірно твердження, що ціна блага впливає на обсяг пропозиції блага, ніж заробітна плата співробітників?
- Для отриманої моделі (у природній формі) перевірте виконання умови гомоскедастичності залишків, застосувавши тест Голдфельда-Квандта.
- Перевірте отриману модель на наявність автокореляції залишків за допомогою тесту Дарбіна-Уотсона.
- Перевірте, чи адекватне припущення про однорідність вихідних даних у регресійному значенні. Чи можна об'єднати дві вибірки (за першими 8 та рештою 8 спостережень) в одну і розглядати єдину модель регресії Y по X?
1. Оцінка рівняння регресії. Визначимо вектор оцінок коефіцієнтів регресії за допомогою сервісу «Рівняння множинної регресії». Згідно з методом найменших квадратів, вектор sвиходить з виразу: s = (X T X) -1 X T Y
Матриця X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Матриця Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
Матриця X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Помножуємо матриці, (X T X)
Знаходимо зворотну матрицю (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
Вектор оцінок коефіцієнтів регресії дорівнює
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Рівняння регресії (оцінка рівняння регресії)
Y = 0.18 + 0.00297X 1 + 0.00347X 2
2. Матриця парних коефіцієнтів кореляції R. Число спостережень n = 14. Число незалежних змінних у моделі дорівнює 2, а число регресорів з урахуванням одиничного вектора дорівнює числу невідомих коефіцієнтів. З урахуванням ознаки Y, розмірність матриці стає рівною 4. Матриця, незалежних змінних Х має розмірність (14 х 4).
Матриця, складена з Y та X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Транспонована матриця.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Матриця A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Отримана матриця має таку відповідність:
| ∑n | ∑y | ∑x 1 | ∑x 2 |
| ∑y | ∑y 2 | ∑x 1 y | ∑x 2 y |
| ∑x 1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x 2 x 1 |
| ∑x 2 | ∑yx 2 | ∑x 1 x 2 | ∑x 2 2 |
Знайдемо парні коефіцієнти кореляції.
| Ознаки x та y | ∑(x i ) | ∑(y i ) | ∑(x i y i ) | |||
| Для y та x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Для y та x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Для x 1 та x 2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Ознаки x та y | ||||
| Для y та x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Для y та x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Для x 1 та x 2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Матриця парних коефіцієнтів кореляції R:
| - | y | x 1 | x 2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x 2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Для відбору найбільш значимих факторів x i враховуються такі умови:
- зв'язок між результативною ознакою та факторною має бути вищим міжфакторного зв'язку;
- зв'язок між факторами має бути не більше 0.7. Якщо матриці є межфакторный коефіцієнт кореляції r xjxi > 0.7, то даної моделі множинної регресії існує мультиколлинеарность.;
- за високого міжфакторного зв'язку ознаки відбираються фактори з меншим коефіцієнтом кореляції між ними.
У разі всі парні коефіцієнти кореляції |r| Модель регресії у стандартному масштабі Модель регресії у стандартному масштабі передбачає, що всі значення досліджуваних ознак перетворюються на стандарти (стандартизовані значення) за формулами:
де х ji - значення змінної х ji в i-му спостереженні.
Таким чином, початок відліку кожної стандартизованої змінної поєднується з її середнім значенням, а як одиниця зміни приймається її середнє квадратичне відхилення S.
Якщо зв'язок між змінними в природному масштабі лінійний, то зміна початку відліку та одиниці виміру цієї властивості не порушать, тож і стандартизовані змінні будуть пов'язані лінійним співвідношенням:
t y = ∑β j t xj
Для оцінки β-коефіцієнтів застосуємо МНК. При цьому система нормальних рівнянь матиме вигляд:
r x1y = β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y = r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy = r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Для наших даних (беремо із матриці парних коефіцієнтів кореляції):
0.558 = β 1 + 0.508β 2
0.984 = 0.508β 1 + β 2
Дану систему лінійних рівнянь розв'язуємо методом Гаусса: 1 = 0.0789; β 2 = 0.944;
Стандартизована форма рівняння регресії має вигляд:
y 0 = 0.0789x1 + 0.944x2
Знайдені з даної системи β-коефіцієнти дозволяють визначити значення коефіцієнтів у регресії у природному масштабі за формулами:
Стандартизовані окремі коефіцієнти регресії. Стандартизовані приватні коефіцієнти регресії - β-коефіцієнти (β j) показують, яку частину свого середнього квадратичного відхилення S(у) зміниться ознака-результат yзі зміною відповідного фактора х j на величину свого середнього квадратичного відхилення (S хj) за незмінного впливу інших факторів (що входять до рівняння).
По максимальному j можна судити, який фактор сильніше впливає на результат Y.
За коефіцієнтами еластичності та β-коефіцієнтами можуть бути зроблені протилежні висновки. Причини цього: а) варіація одного фактора дуже велика; б) різноспрямований вплив чинників результат.
Коефіцієнт β j може також інтерпретуватися як показник прямого (безпосереднього) впливу j-ого фактора (xj) на результат (y) У множинні регресії j-ий фактор надає як пряме, а й опосередковане (опосередковане) впливом геть результат (тобто. вплив через інші чинники моделі).
Непрямий вплив вимірюється величиною: ∑β i r xj,xi , де m - Число факторів в моделі. Повний вплив j-огофактора на результат дорівнює сумі прямого та непрямого впливів вимірює коефіцієнт лінійної парної кореляції даного фактора та результату - r xj,y.
Так для нашого прикладу безпосередній вплив фактора x 1 на результат Y у рівнянні регресії вимірюється j і становить 0.0789; непрямий (опосередкований) вплив даного фактора на результат визначається як:
r x1x2 β 2 = 0.508 * 0.944 = 0.4796
В економетриці часто використовується інший підхід до визначення параметрів множинної регресії (2.13) з виключеним коефіцієнтом:
Розділимо обидві частини рівняння на стандартне відхилення змінної, що пояснюється. S Yі представимо його у вигляді:
Розділимо та помножимо кожне доданок на стандартне відхилення відповідної факторної змінної, щоб перейти до стандартизованих (центрованих та нормованих) змінних:
де нові змінні позначені як
.
Усі стандартизовані змінні мають нульову середню величину та однакову дисперсію, рівну одиниці.
Рівняння регресії у стандартизованій формі має вигляд:
де 
- Стандартизовані коефіцієнти регресії.
Стандартизовані коефіцієнти регресії 
відрізняються від коефіцієнтів 
нормальної, природної форми тим, що й величина залежить масштабу виміру пояснюваної і пояснюють змінних моделі. Крім того, між ними існує простий взаємозв'язок:
, (3.2)
яка дає інший спосіб обчислення коефіцієнтів 
за відомими значеннями 
, зручніший у випадку, наприклад, двофакторної регресійної моделі.
5.2. Нормальна система рівнянь МНК у стандартизованих
змінних
Виявляється, що з обчислення коефіцієнтів стандартизованої регресії треба зазначити лише парні коефіцієнти лінійної кореляції. Щоб показати як це робиться, виключимо з нормальної системи рівнянь МНК невідому 
за допомогою першого рівняння. Помножуючи перше рівняння на ( 
) і складаючи його почленно з другим рівнянням, отримаємо:
Замінюючи позначеннями дисперсії та підступів вираження у дужках
перепишемо друге рівняння у зручному для подальшого спрощення вигляді:
Розділимо обидві частини цього рівняння на стандартне відхилення змінних S Yі ` S X 1 , а кожен доданок розділимо і помножимо на стандартне відхилення змінної, що відповідає номеру доданку:
Вводячи характеристики лінійного статистичного зв'язку:
та стандартизовані коефіцієнти регресії
,
отримуємо:
Після аналогічних перетворень решти рівнянь, нормальна система лінійних рівнянь МНК (2.12) приймає наступний, більш простий вид:
(3.3)
5.3. Параметри стандартизованої регресії
Стандартизовані коефіцієнти регресії в окремому випадку моделі з двома факторами визначаються з наступної системи рівнянь:
(3.4)
Вирішуючи цю систему рівнянь, знаходимо:
, (3.5)
. (3.6)
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів парної кореляції в рівняння (3.4) та (3.5), отримаємо 
і 
. Потім за допомогою формул (3.2) неважко обчислити оцінки коефіцієнтів 
і 
, а потім, при необхідності, обчислити оцінку 
за формулою 
6. Можливості економічного аналізу на основі багатофакторної моделі
6.1. Коефіцієнти стандартизованої регресії
Стандартизовані коефіцієнти регресії показують, наскільки стандартних відхилень 
зміниться в середньому змінна змінна Yякщо відповідна пояснювальна змінна Х i
зміниться на величину 
одного її стандартного відхилення за збереження постійним значень середнього рівня решти чинників.
З огляду на те, що у стандартизованій регресії всі змінні задані як центровані та нормовані випадкові величини, коефіцієнти 
можна порівняти між собою. Порівнюючи їх один з одним, можна ранжувати відповідні фактори Х iза силою впливу на змінну, що пояснюється Y. У цьому полягає основна перевага стандартизованих коефіцієнтів регресії від коефіцієнтів 
регресії у природній формі, які незрівнянні між собою.
Ця особливість стандартизованих коефіцієнтів регресії дозволяє використовувати при відсіванні найменш значимих факторів Х iз близькими до нуля значеннями їх вибіркових оцінок 
. Рішення про виключення їх із модельного рівняння лінійної регресії приймається після перевірки статистичних гіпотез про рівність нуля його середньої величини.
Бета-коефіцієнт рівний 0,074 (табл. 3.2.1) показує, що якщо реальна заробітна плата зміниться на величину свого середньоквадратичного відхилення (х1), то коефіцієнт природного приросту населення зміниться в середньому на 0,074 у. Бета-коефіцієнт рівний 0,02 показує, що й загальний коефіцієнт шлюбності зміниться на величину свого среднеквадратичного відхилення (на σх2), то коефіцієнт природного приросту населення зміниться загалом на 0,02 σу. Аналогічно, зміна кількості злочинів на 1000 осіб на величину свого середньоквадратичного відхилення (на σх3) призведе до зміни результативної ознаки в середньому на 0,366 σу, а зміна у введенні кв.м житлових приміщень на людину на рік на величину свого середньоквадратичного відхилення (на σх веде до зміни результативної ознаки в середньому на 1,32 у.
Коефіцієнт еластичності показує, наскільки відсотків у середньому змінюється y із зміною ознаки-фактора на 1%. З аналізу рядів динаміки відомо, що значення 1% приросту результативної ознаки негативно, оскільки у всіх одиницях сукупності спостерігається природне зменшення населення. Тому приріст фактично означає скорочення втрат. Отже, негативні коефіцієнти еластичності у разі відбивають те, що із збільшенням кожного з факторних ознак на 1%, коефіцієнт природних втрат скоротиться на відповідне число відсотків. При збільшенні реальної зарплати на 1%, коефіцієнт природних втрат скоротиться на 0,219%, зі збільшенням загального коефіцієнта шлюбності на 1% - скоротиться на 0,156%. Збільшення кількості злочинів на 1000 осіб населення на 1% характеризується скороченням природних втрат населення на 0,564. Звичайно, це не означає, що збільшуючи злочинність можна поправити демографічну ситуацію. Отримані результати свідчать, що чим більше людей зберігається на 1000 населення, тим більше злочинів припадає на цю тисячу. Збільшення введення кв. житла на особу на рік на 1% веде до скорочення природних втрат на 0,482%
Аналіз коефіцієнтів еластичності і бета-коэффициентов показує, що максимальне впливом геть коефіцієнт природного приросту населення надає чинник введення кв.м житла душу населення, оскільки йому відповідає найбільше значення бета – коефіцієнта (1,32). Однак це не означає, що найбільші можливості у зміні коефіцієнта природного приросту населення пов'язані зі зміною даного з розглянутих факторів. Отриманий результат відбиває те, що попит над ринком житла відповідає пропозиції, тобто що більше природний приріст населення, то більше вписувалося потреба цього населення житло і тим більше його будують.
Другий за величиною бета-коефіцієнт (0,366) відповідає показнику кількості злочинів на 1000 осіб. Звичайно, це не означає, що, збільшуючи злочинність, можна виправити демографічну ситуацію. Отримані результати свідчать, що чим більше людей зберігається на 1000 населення, тим більше злочинів припадає на цю тисячу.
Найбільша з ознак бета-коефіцієнт (0,074), що залишилися, відповідає показнику реальної заробітної плати. Найбільші можливості у зміні коефіцієнта природного приросту населення пов'язані зі зміною даного із розглянутих факторів. Показник загального коефіцієнта шлюбності поступається цьому плані реальної заробітної плати у зв'язку з тим, що природне зменшення населення Росії обумовлена, передусім, високої смертністю населення, скоротити темпи зростання якої можливо швидше матеріальним забезпеченням, ніж збільшенням фактів одруження.
3.3 Комбіноване угруповання областей за величиною реальної заробітної плати та загальним коефіцієнтом шлюбності
Комбіноване або багатовимірне угруповання – це угруповання за двома або декількома ознаками. Цінність цього угруповання у тому, що вона показує як вплив кожного з чинників результат, а й вплив їх поєднання.
Визначимо вплив величини реальної заробітної плати та загального коефіцієнта шлюбності на коефіцієнт народжуваності на 1000 осіб населення.
Виділимо типові групи за наміченими ознаками. Для цього побудуємо та проаналізуємо ранжований та інтервальний ряди за факторною ознакою (величина заробітної плати), визначимо кількість груп та величину інтервалу; потім усередині кожної групи побудуємо ранжований та інтервальний ряди за другою ознакою (шлюбності) і також встановимо число груп та інтервал. Порядок проведення цієї роботи подано у розділі 2, тому, опускаючи розрахунки, наведемо результати. Для величини реальної заробітної плати виділено 3 типові групи, для загального коефіцієнта шлюбності – 2 групи.
Складемо макет комбінаційної таблиці, в якій передбачимо підрозділ сукупності на групи та підгрупи, а також графи для запису числа областей та коефіцієнта народжуваності на 1000 осіб населення. За виділеними групами та підгрупами підрахуємо коефіцієнти народжуваності (табл.3.3.1)
Таблиця 3.3.1
Вплив величини реальної заробітної плати та загального коефіцієнта шлюбності на коефіцієнт народжуваності.
Проаналізуємо отримані дані залежності коефіцієнта народжуваності від реальної заробітної плати та коефіцієнта шлюбності. Оскільки вивчається одна ознака – коефіцієнт народжуваності, то дані про нього запишемо до шахової комбінаційної таблиці наступної форми (табл. 3.3.2)
Комбінована угруповання дозволяє оцінити ступінь впливу коефіцієнт народжуваності кожного чинника окремо та його взаємодія.
Таблиця 3.3.2
Залежність коефіцієнта народжуваності від реальної заробітної плати та коефіцієнта шлюбності
Вивчимо спочатку впливом геть коефіцієнт народжуваності величини реальної зарплати при фіксованому значенні іншого групувального ознаки – коефіцієнта шлюбності. Так, при коефіцієнті шлюбності від 13,2 до 25,625 середній коефіцієнт народжуваності підвищується в міру збільшення заробітної плати з 9,04 у 1-ій групі до 9,16 у 2-й групі та 9,56 у 3-й групі; збільшення коефіцієнта народжуваності від заробітної плати в 3-й групі в порівнянні з 1-ї становить: 9,56-9,04 = 0,52 чол на 1000 населення. При коефіцієнті шлюбності 25,625-38,05 збільшення від тієї ж величини заробітної плати дорівнює: 10,27-9,49 = 0,78 чол на 1000 населення. Надбавка від взаємодії факторів дорівнює: 0,78-0,52 = 0,26 чол на 1000 населення. З цього випливає цілком природний висновок: збільшення добробуту мотивує, а вірніше дозволяє з упевненістю у завтрашньому дні реалізувати бажання людини одружитися і створити сім'ю з дітьми. У цьому вся проявляється взаємодія чинників.
Так само оцінимо вплив на коефіцієнт народжуваності коефіцієнта шлюбності при фіксованому рівні зарплати. Для цього порівняємо коефіцієнт народжуваності за групами «а» та «б» у межах кожної групи за величиною реальної заробітної плати. Збільшення коефіцієнта народжуваності зі зростанням коефіцієнта шлюбності до 25,625-38,05 на 1000 населення проти групою «а» становить: 1-ї групі за величиною зарплати 5707,9 – 6808,7 крб. на місяць - 9,49-9,04 = 0,45 чол на 1000 населення, у 2-й групі - 10,01-9,16 = 0,85 чол на 1000 населення та в 3-й - 10,27- 9,56 = 0,71 чол на 1000 населення. Як бачимо, рішення народження дитини залежить від сімейного стану, тобто. має місце взаємодія факторів, що дає збільшення 0,26 чол на 1000 населення.
При спільному збільшенні обох факторів коефіцієнт народжуваності збільшується з 9,04 у підгрупі 1а до 10,27 чол на 1000 населення в підгрупі 3б.
Представники Європейської економічної комісії ООН нещодавно заявили, що вік набрання першого шлюбу в європейських країнах збільшився на п'ять років. Хлопці та дівчата вважають за краще одружуватися і виходити заміж після 30. Росіяни ж не наважуються зв'язати себе узами шлюбу раніше 24-26 років. Також загальною для Європи та Росії стала тенденція до скорочення кількості шлюбних спілок. Молоді люди все частіше воліють кар'єру та особисту свободу. Вітчизняні експерти вбачають у цих процесах ознаки глибокої кризи традиційної сім'ї. На їхню думку, вона доживає буквально останніх днів. Соціологи стверджують, що приватне життя зараз переживає період розбудови. Сім'я у звичному розумінні цього слова, яка живе за схемою "мама-тато-діти", поступово відходить у минуле. У приватному житті росіяни все частіше експериментують, винаходячи все нові й нові форми сім'ї, які відповідали б запитам часу. "Зараз людина частіше змінює роботу, професію, інтереси, місце проживання, - розповів "Новим звісткам" директор Центру демографії та екології людини Анатолій Вишневський. - Також часто вона змінює і подружжя, що ще 20 років тому вважалося неприйнятним".
Соціологи відзначають, що з причин зростання розлучень у Росії – низький рівень життя населення. «За статистикою, у Росії приблизно на 10–15 % більше розлучень, ніж у Європі, – повідомив «Г» Гонтмахер (науковий керівник центру соціальних досліджень та інновацій). – Але причини розлучень у нас та у них різні. Наша першість продиктована в основному тим, що на житті росіян все більш позначаються економічні проблеми. Подружжя частіше свариться, якщо у них обмежені житлові умови. Молодим людям не завжди вдається жити самотужки. Крім того, у регіонах багато чоловіків п'ють, не працюють і не можуть забезпечити сім'ю. Це теж спричиняє розлучення».
Висновок
У цій роботі проведено статистико-економічний аналіз впливу рівня життя населення на процеси природного приросту.
Аналіз рядів динаміки показав, що за останні 10 років спостерігається зростання реальної заробітної плати та величини прожиткового мінімуму. У цілому нині за ці 10 років результативний ознака – коефіцієнт природного приросту - є стаціонарним. Стабільність процесів зміни відібраних ознак така, що побудова прогнозу можлива лише для величини реальної заробітної плати і коефіцієнта смертності. Згідно з побудованим трендом з параболі до 2010 року прогнозна величина середньої реальної заробітної плати становитиме 17473,5 руб., а коефіцієнт смертності знизиться до 12,75 осіб на 1000.
Аналітичне угруповання показало пряму залежність між показниками: зі зростанням величини заробітної плати покращується показники природного приросту.
Однак сім'я із двох працівників із середньостатистичною заробітною платою може забезпечити мінімальний рівень споживання 2 дітям – у нижчій типовій групі, 3 дітям – у середній та вищій типових групах. Враховуючи, що двоє дітей «підмінюють» у майбутньому життя своїх батьків, незначний приріст населення можливий лише в середній та вищій типових групах і за умови низького в порівнянні з народжуваністю рівня смертності. Потенціал народжуваності, який несе в собі заробітна плата в Росії, є низьким для поліпшення демографічної ситуації в країні. Це таки виявляє необхідність введеного демографічного нацпроекту в Росії. Збільшення зарплати більш сприятливо впливає показник смертності, ніж на народжуваність.
Побудова кореляційно-регресійної моделі виявила, що одночасний вплив факторних ознак (заробітної плати, коефіцієнта шлюбності, рівня злочинності та введення житла) на результативний (природний приріст), спостерігається із середньою силою зв'язку. Варіація коефіцієнта природного приросту населення на 44,9% характеризується впливом відібраних чинників, а 55,1% – іншими неврахованими та випадковими причинами. Найбільші можливості зміні коефіцієнта природного приросту населення пов'язані з зміною величини реальної зарплати.
Комбіноване угруповання підтвердило те, що збільшення добробуту мотивує, а вірніше дозволяє з упевненістю у завтрашньому дні реалізувати бажання людини одружитися та створити сім'ю з дітьми.
І, нарешті, треба дати оцінку ефективності вирішення проблеми демографії в нашій країні. Загалом, позитивний та ефективний вплив матеріальних стимулів на процес природного руху населення доведено. Інша річ, що є комплекс соціально-психологічних проблем (алкоголізм, насильство, самогубства), які невблаганно скорочують чисельність нашого населення. Їх основна причина – ставлення людини до самої себе та оточуючих. Але ці проблеми не під силу вирішити державі поодинці, на допомогу самій собі у проблемі вимирання має прийти громадянське суспільство, формуючи моральні цінності, орієнтовані створення благополучної сім'ї.
А держава може і має робити все, щоби підвищити рівень і якість життя в країні. Не можна сказати, що наша держава нехтує цими обов'язками. Воно робить все можливе, відшукуючи та пробуючи різні шляхи виходу з демографічної кризи.
Список використаної літератури
1) Борисів Є.Ф. Економічна теорія: учеб.-2-е вид., перераб. та дод. - М.: ТК Велбі, Вид-во Проспект, 2005. - 544с.
2) Бєлоусова С. аналіз рівня бідності.// Економіст.-2006, №10.-с.67
3) Давидова Л. А. Теорія статистики. Навчальний посібник. Москва. Проспект. 2005. 155 стор;
4) Демографія: Підручник / За заг. ред. Н.А. Волгін. М.: Вид-во РАГС, 2003 - 384 с.
5) Єфімова Є. П. Соціальна статистика. Москва. Фінанси та статистика. 2003. 559стор.;
6) Єфімова Є. П., Рябцев В.М. Загальна теорія статистики. Навчальне видання. Москва. Фінанси та статистика. 1991. 304 стор;
7) Зінченко О.П. Практикум із загальної теорії статистики та с/г статистики. Москва. Фінанси та статистика. 1988. 328 стор;
8) Кадомцева С. Соціальна політика та населення.// Економіст.-2006, №7.-с.49
9) Козирєв В.М. Основи сучасної економіки: Підручник. -2-ге вид., перераб. та дод. -М.: Фінанси та статистика, 2001.-432с.
10) Конигіна Н. Бринцева Г. Демограф Анатолій Вишневський про те, що змушує росіянина обирати між дітьми та комфортом.// Російська газета.-2006, 7листопада - № 249 -с. 7
11) Назарова Н.Г. Курс соціальної статистики Москва. Фінстатінформ. 2000. 770 стор;
13) Основи демографії: Навчальний посібник/Н.В. Звєрєва, І.М. Веселкова, В.В. Елізаров.-М.: Вищ. Шк., 2004.-374 с.: іл.
14) Послання Президента Російської Федерації Федеральним Зборам Російської Федерації від 26 квітня 2007 року.
15) Райсберг Б.А., Лозовський Л.Ш., Стародубцева Є.Б. Сучасний економічний словник. -4-е вид., Перероб. та дод. -М.: ІНФРА-М, 2005.-480с.
16) Рудакова Р.П, Букін Л.Л., Гаврилов В.І. Практикум зі статистики. -СПб.: Пітер, 2007.-288стор.
17) Сайт федеральної служби статистики www.gks.ru
18) Шайкін Д.М. Перспективна оцінка чисельності населення Росії у середньостроковому периоде.// Питання статистики.-2007, №4 –с.47
СИСТЕМА ПОКАЗНИКІВ (КЛЮЧ ДО ФІШОК)
1-середньомісячна номінальна заробітна плата у 2006 році (у рублях)
2-індекси споживчих цін на всі види товарів та платні послуги у 2006 році у відсотках до грудня минулого року
3- середньомісячна реальна заробітна плата у 2006 році (у рублях)
4 – чисельність населення на початок 2006 року
5 – чисельність населення на кінець 2006 року
6 – середньорічна чисельність населення у 2006 році
7 – кількість народжених за 2006 рік, людина
8 – кількість померлих за 2006 рік, людина
9 – коефіцієнт народжуваності у 2006 році на 1000 осіб населення
10-коефіцієнт смертності в 2006 році на 1000 осіб населення
11 - коефіцієнт природного приросту в 2006 році на 1000 осіб населення
12 - величина прожиткового мінімуму за 2006 рік (у рублях)
13 – кількість злочинів, скоєних на 1000 осіб населення
14 – введення кв.м житла на особу за рік
15 - загальний коефіцієнт шлюбності на 1000 осіб населення
Додаток 1
Таблиця
Реальна вести, крб.
Додаток 2
Розмір прожиткового мінімуму, крб.
Додаток 3
