Порядок обчислення у прикладах. Порядок виконання дій, правила, приклади

На цьому уроці докладно розглянуто порядок виконання арифметичних дій у виразах без дужок та з дужками. Учням надається можливість у ході виконання завдань визначити, чи залежить значення виразів від порядку виконання арифметичних дій, дізнатися чи відрізняється порядок арифметичних дій у виразах без дужок та з дужками, потренуватися у застосуванні вивченого правила, знайти та виправити помилки, допущені щодо порядку дій.

У житті ми постійно виконуємо якісь дії: гуляємо, вчимося, читаємо, пишемо, вважаємо, усміхаємося, сваримося і миримось. Ці дії ми виконуємо у різному порядку. Іноді їх можна поміняти місцями, інколи ж ні. Наприклад, збираючись вранці до школи, можна спочатку зробити зарядку, потім заправити ліжко, а навпаки. Але не можна спочатку піти до школи, а потім одягти одяг.

А чи в математиці обов'язково виконувати арифметичні дії в певному порядку?

Давайте перевіримо

Порівняємо вирази:
8-3+4 та 8-3+4

Бачимо, що обидва вирази абсолютно однакові.

Виконаємо дії в одному виразі зліва направо, а в іншому справа наліво. Числами можна встановити порядок виконання дій (рис. 1).

Мал. 1. Порядок дій

У першому виразі ми спочатку виконаємо дію віднімання, а потім до результату додамо число 4.

У другому виразі спочатку знайдемо значення суми, а потім з 8 віднімемо отриманий результат 7.

Бачимо, що значення виразів виходять різні.

Зробимо висновок: порядок виконання арифметичних дій міняти не можна.

Дізнаємося правило виконання арифметичних дій у виразах без дужок.

Якщо вираз без дужок входять лише додавання і віднімання чи лише множення і розподіл, то дії виконують у порядку, у якому написані.

Потренуємося.

Розглянемо вираз

У цьому виразі є лише дії додавання та віднімання. Ці дії називають діями першого ступеня.

Виконуємо дії ліворуч праворуч по порядку (рис. 2).

Мал. 2. Порядок дій

Розглянемо другий вираз

У цьому виразі є лише дії множення та поділу - це дії другого ступеня.

Виконуємо дії ліворуч праворуч по порядку (рис. 3).

Мал. 3. Порядок дій

У якому порядку виконуються арифметичні дії, якщо у виразі є не тільки дії додавання та віднімання, а й множення та поділу?

Якщо вираз без дужок входять як дії додавання і віднімання, а й множення і поділу, чи обидві цих дії, спочатку виконують по порядку (зліва направо) множення і поділ, та був додавання і віднімання.

Розглянемо вираз.

Розмірковуємо так. У цьому виразі є дії додавання та віднімання, множення та поділу. Діємо за правилом. Спочатку виконуємо по порядку (зліва направо) множення та поділ, а потім додавання та віднімання. Розставимо порядок дій.

Обчислимо значення виразу.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

У якому порядку виконуються арифметичні дії, якщо вираз має дужки?

Якщо у виразі є дужки, то спочатку обчислюють значення виразів у дужках.

Розглянемо вираз.

30 + 6 * (13 - 9)

Ми бачимо, що в цьому виразі є дія в дужках, отже, цю дію виконаємо першою, потім по порядку множення та додавання. Розставимо порядок дій.

30 + 6 * (13 - 9)

Обчислимо значення виразу.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Як потрібно міркувати, щоб правильно встановити порядок арифметичних дій у числовому виразі?

Перш ніж приступити до обчислень, треба розглянути вираз (з'ясувати, чи є в ньому дужки, які дії є) і тільки після цього виконувати дії в наступному порядку:

1. події, записані в дужках;

2. множення та розподіл;

3. додавання та віднімання.

Схема допоможе запам'ятати це нескладне правило (рис. 4).

Мал. 4. Порядок дій

Потренуємося.

Розглянемо вирази, встановимо порядок дій та виконаємо обчислення.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Діятимемо за правилом. У виразі 43 - (20 - 7) +15 є дії в дужках, а також дії додавання та віднімання. Встановимо порядок дій. Першим дією виконаємо дію в дужках, а потім по порядку зліва направо віднімання та додавання.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

У виразі 32 + 9 * (19 - 16) є дії у дужках, а також дії множення та додавання. За правилом першим виконаємо дію в дужках, потім множення (число 9 множимо на результат, отриманий при відніманні) і додавання.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

У виразі 2*9-18:3 відсутні дужки, зате є дії множення, поділу та віднімання. Діємо за правилом. Спочатку виконаємо зліва направо множення та розподіл, а потім від результату, отриманого при множенні, віднімемо результат, отриманий при розподілі. Тобто перша дія – множення, друга – розподіл, третя – віднімання.

2*9-18:3=18-6=12

Дізнаємось, чи правильно визначено порядок дій у наступних виразах.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Розмірковуємо так.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

У цьому виразі дужки відсутні, значить, спочатку виконуємо зліва направо множення або поділ, потім додавання або віднімання. У цьому вираженні перша дія - розподіл, друга - множення. Третя дія має бути додавання, четверте - віднімання. Висновок: порядок дій визначено правильно.

Знайдемо значення цього виразу.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продовжуємо міркувати.

У другому виразі є дужки, значить, спочатку виконуємо дію в дужках, потім зліва направо множення або поділ, додавання або віднімання. Перевіряємо: перша дія - у дужках, друга - поділ, третя - додавання. Висновок: порядок дій визначено неправильно. Виправимо помилки, знайдемо значення виразу.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

У цьому виразі також є дужки, отже, спочатку виконуємо дію в дужках, потім зліва направо множення або поділ, додавання або віднімання. Перевіряємо: перша дія - у дужках, друга - множення, третя - віднімання. Висновок: порядок дій визначено неправильно. Виправимо помилки, знайдемо значення виразу.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Виконаємо завдання.

Розставимо порядок дій у виразі, використовуючи вивчене правило (рис. 5).

Мал. 5. Порядок дій

Ми не бачимо числових значень, тому не зможемо знайти значення виразів, проте потренуємось застосовувати вивчене правило.

Діємо за алгоритмом.

У першому виразі є дужки, отже, перша дія в дужках. Потім зліва направо множення і поділ, потім зліва направо віднімання та додавання.

У другому виразі також є дужки, отже, першу дію виконуємо у дужках. Після цього ліворуч праворуч множення і розподіл, після цього - віднімання.

Перевіримо себе (рис. 6).

Мал. 6. Порядок дій

Сьогодні на уроці ми познайомилися з правилом порядку виконання дій у виразах без дужок та з дужками.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні поради для вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Сосновоборськ-субчества.ру ().
3. Openclass.ru().

Домашнє завдання

1. Визнач порядок дій у даних висловлюваннях. Знайди значення виразів.

2. Визнач, у якому вираженні такий порядок виконання дій:

1. множення; 2. розподіл;. 3. додавання; 4. віднімання; 5. додавання. Знайди значення цього виразу.

3. Склади три вирази, в яких такий порядок виконання дій:

1. множення; 2. додавання; 3. віднімання

1. додавання; 2. віднімання; 3. додавання

1. множення; 2. розподіл; 3. додавання

Знайди значення цих виразів.

Початкова школа добігає кінця, незабаром дитина зробить крок у поглиблений світ математики. Але вже цей період школяр стикається з труднощами науки. Виконуючи просте завдання, дитина плутається, втрачається, що в результаті призводить до негативної позначки за виконану роботу. Щоб уникнути подібних неприємностей, потрібно при вирішенні прикладів вміти орієнтуватися в порядку, за яким потрібно вирішувати приклад. Не правильно розподіливши дії, дитина не правильно виконує завдання. У статті розкриваються основні правила розв'язання прикладів, що містять у собі весь спектр математичних обчислень, включаючи дужки. Порядок дій у математиці 4 клас правила та приклади.

Перед виконанням завдання попросіть своє чадо пронумерувати дії, які він збирається виконати. Якщо виникли труднощі – допоможіть.

Деякі правила, яких необхідно дотримуватись при вирішенні прикладів без дужок:

Якщо в завданні необхідно виконати ряд дій, спочатку потрібно виконати поділ або множення, потім . Усі дії виконуються протягом листа. Інакше результат рішення буде не вірним.

Якщо в прикладі потрібно виконати, виконуємо по порядку, зліва направо.

27-5+15=37 (при вирішенні прикладу керуємося правилом. Спочатку виконуємо віднімання, потім – додавання).

Навчіть дитину завжди планувати і нумерувати дії, що виконуються.

Відповіді на кожну вирішену дію записуються над прикладом. Так дитині набагато легше буде орієнтуватися у діях.

Розглянемо ще один варіант, де необхідно розподілити дії по порядку:

Як бачимо, при рішенні дотримано правило, спочатку шукаємо твір, потім — різницю.

Це прості приклади, при вирішенні яких необхідна уважність. Багато дітей впадають у ступор побачивши завдання, у якому є як множення і розподіл, а й дужки. У школяра, який знає порядок виконання дій, виникають питання, які заважають виконати завдання.

Як говорилося у правилі, спочатку знайдемо твір чи приватне, а потім все інше. Але тут є дужки! Як вчинити у цьому випадку?

Рішення прикладів із дужками

Розберемо конкретний приклад:

• При виконанні цього завдання спочатку знайдемо значення виразу, укладеного в дужки.
• Почати слід з множення, далі – додавання.
• Після того, як вираз у дужках вирішено, приступаємо до дій поза ними.
• За правилами порядку дій наступним кроком буде множення.
• Завершальним етапом стане.

Як бачимо на наочному прикладі, всі події пронумеровані. Для закріплення теми запропонуйте дитині самостійно вирішити кілька прикладів:

Порядок, яким слід обчислювати значення висловлювання вже розставлений. Дитині залишиться лише виконати безпосередньо рішення.

Ускладнимо завдання. Нехай дитина знайде значення виразів самостійно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Привчіть дитину вирішувати всі завдання у чорновому варіанті. У такому разі, у школяра буде можливість виправити неправильне рішення чи помарок. У робочому зошит виправлення не допустимі. Виконуючи самостійно завдання, діти бачать свої помилки.

Батьки, у свою чергу, повинні звернути увагу на помилки, допомогти дитині розібратися та виправити їх. Не варто навантажувати мозок школяра більшими обсягами завдань. Такими діями ви відіб'єте прагнення дитини до знань. У всьому має бути почуття міри.

Робіть перерву. Дитина повинна відволікатися та відпочивати від занять. Головне пам'ятати, що не всі мають математичний склад розуму. Може, з вашої дитини виросте знаменитий філософ.

Коли ми працюємо з різними виразами, що включають цифри, літери та змінні, нам доводиться виконувати велику кількість арифметичних дій. Коли ми робимо перетворення або обчислюємо значення, дуже важливо дотримуватися правильної черговості цих дій. Інакше висловлюючись, арифметичні дії мають свій особливий порядок виконання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

У цій статті ми розповімо, які дії треба робити насамперед, а які після. Для початку розберемо кілька простих виразів, у яких є лише змінні чи числові значення, і навіть знаки поділу, множення, віднімання і складання. Потім візьмемо приклади з дужками і розглянемо, у порядку слід обчислювати їх. У третій частині ми наведемо потрібний порядок перетворень і обчислень у тих прикладах, які включають знаки коренів, ступенів та інших функцій.

Визначення 1

У разі виразів без дужок порядок дій визначається однозначно:

1. Усі дії виконуються зліва направо.
2. Насамперед ми виконуємо розподіл і множення, у другу – віднімання та додавання.

Сенс цих правил легко усвідомити. Традиційний порядок запису зліва направо визначає основну послідовність обчислень, а необхідність спочатку помножити чи розділити пояснюється суттю цих операцій.

Візьмемо для наочності кілька завдань. Ми використовували лише найпростіші числові вирази, щоб усі обчислення можна було провести в голові. Так можна швидше запам'ятати потрібний порядок та швидко перевірити результати.

Приклад 1

Умова:обчисліть, скільки буде 7 − 3 + 6 .

Рішення

У нашому виразі дужок немає, множення та розподіл також відсутні, тому виконуємо всі дії у вказаному порядку. Спочатку віднімаємо три із семи, потім додаємо до залишку шість і у підсумку отримуємо десять. Ось запис всього рішення:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Відповідь: 7 − 3 + 6 = 10 .

Приклад 2

Умова:в якому порядку потрібно виконувати обчислення у виразі 6: 2 · 8: 3?

Рішення

Щоб дати відповідь це питання, перечитаємо правило для висловлювань без дужок, сформульоване нами раніше. У нас тут є тільки множення та поділ, отже, ми зберігаємо записаний порядок обчислень і послідовно лікуємо зліва направо.

Відповідь:спочатку виконуємо розподіл шести на два, результат множимо на вісім і число, що вийшло в результаті, ділимо на три.

Приклад 3

Умова:підрахуйте, скільки буде 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Рішення

Спочатку визначимо правильний порядок дій, оскільки у нас тут є всі основні види арифметичних операцій - додавання, віднімання, множення, поділ. Насамперед нам треба розділити і помножити. Ці дії не мають пріоритету одна перед одною, тому виконуємо їх у написаному порядку праворуч наліво. Тобто 5 треба помножити на 6 і отримати 30 , потім розділити 30 на 3 і отримати 10 . Після цього ділимо 4 на 2 це 2 . Підставимо знайдені значення у вихідний вираз:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Тут вже немає ні поділу, ні множення, тому робимо обчислення, що залишилися, по порядку і отримуємо відповідь:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Відповідь:17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Поки порядок виконання дій не заучено твердо, можна ставити над знаками арифметичних дій цифри, що означають порядок обчислення. Наприклад, для завдання вище ми могли б записати так:

Якщо у нас є буквені вирази, то з ними ми чинимо так само: спочатку множимо і ділимо, потім складаємо та віднімаємо.

Що таке дії першого та другого ступеня

Іноді у довідниках всі арифметичні дії поділяють на дії першого та другого ступеня. Сформулюємо потрібне визначення.

До дій першого ступеня відносяться віднімання та додавання, другий – множення та розподіл.

Знаючи ці назви, ми можемо записати це правило щодо порядку дій так:

Визначення 2

У виразі, в якому немає дужок, спочатку треба виконати дії другого ступеня у напрямку зліва направо, потім дії першого ступеня (у тому самому напрямку).

Порядок обчислень у виразах із дужками

Дужки власними силами є знаком, який повідомляє нам необхідний порядок виконання дій. У такому разі потрібне правило можна записати так:

Визначення 3

Якщо у виразі є дужки, то насамперед виконується дія в них, після чого ми множимо і ділимо, а потім складаємо та віднімаємо у напрямку зліва направо.

Що стосується самого виразу в дужках, його можна розглядати як складову основного виразу. При підрахунку значення виразу в дужках ми зберігаємо той самий відомий нам порядок дій. Проілюструємо нашу думку прикладом.

Приклад 4

Умова:обчисліть, скільки буде 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2.

Рішення

У цьому виразі є дужки, тож почнемо з них. Насамперед обчислимо, скільки буде 7 − 2 · 3 . Тут нам треба помножити 2 на 3 і відняти результат від 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Вважаємо результат у других дужках. Там у нас всього одна дія: 6 − 4 = 2 .

Тепер нам потрібно підставити значення, що вийшло, в початковий вираз:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Почнемо з множення та поділу, потім виконаємо віднімання та отримаємо:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На цьому обчислення можна закінчити.

Відповідь: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6.

Не лякайтеся, якщо в умові у нас міститься вираз, в якому одні дужки укладають інші. Нам треба тільки застосовувати правило вище послідовно по відношенню до всіх виразів у дужках. Візьмемо таке завдання.

Приклад 5

Умова:обчисліть, скільки буде 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)).

Рішення

У нас є дужки у дужках. Починаємо з 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), а саме з 2 + 3 . Це буде 5 . Значення треба буде підставити у вираз та підрахувати, що 3 + 1 + 4 · 5 . Ми пам'ятаємо, що спочатку треба помножити, а потім скласти: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Підставивши знайдені значення у вихідний вираз, обчислимо відповідь: 4 + 24 = 28 .

Відповідь: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Інакше кажучи, при обчисленні значення виразу, що включає дужки в дужках, ми починаємо з внутрішніх дужок і просуваємося до зовнішніх.

Допустимо, нам треба знайти, скільки буде (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Починаємо з виразу у внутрішніх дужках. Оскільки 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , вихідний вираз можна записати як (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Знову звертаємось до внутрішніх дужок: 4 + 1 = 5 . Ми дійшли виразу (4 + 5 − 1) − 1 . Вважаємо 4 + 5 − 1 = 8 і в результаті отримуємо різницю 8 - 1 , результатом якої буде 7 .

Порядок обчислення у виразах зі ступенями, корінням, логарифмами та іншими функціями

Якщо у нас в умові стоїть вираз зі ступенем, коренем, логарифмом або тригонометричною функцією (синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом) або іншими функціями, то насамперед ми обчислюємо значення функції. Після цього ми діємо за правилами, зазначеними у попередніх пунктах. Інакше висловлюючись, функції за рівнем важливості прирівнюються до виразу, укладеному в дужки.

Розберемо приклад такого обчислення.

Приклад 6

Умова:знайдіть скільки буде (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Рішення

У нас є вираз зі ступенем, значення якого треба знайти насамперед. Вважаємо: 6 2 = 36 . Тепер підставимо результат у вираз, після чого він набуде вигляду (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Відповідь: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

В окремій статті, присвяченій обчисленню значень виразів, ми наводимо й інші, складніші приклади підрахунків у разі виразів з корінням, ступенем та ін. Рекомендуємо вам ознайомитися з нею.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у вищевикладених перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, присутню у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .

понеділок, 7 січня 2019 р.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Я вам уже розповідав, що , за допомогою якої шамани намагаються сортувати реальності. Як вони це роблять? Як фактично відбувається формування множини?

Давайте уважно розберемося з визначенням множини: "сукупність різних елементів, мислима як єдине ціле". А тепер відчуйте різницю між двома фразами: "можливе як єдине ціле" і "можливе як ціле". Перша фраза – це кінцевий результат, безліч. Друга фраза – це попередня підготовка до формування множини. У цьому етапі реальність розбивається деякі елементи ( " ціле " ) у тому числі потім буде сформовано безліч ( " єдине ціле " ). При цьому фактор, що дозволяє об'єднати "ціле" в "єдине ціле", уважно відстежується, інакше шамани нічого не вдадуть. Адже шамани заздалегідь знають, яка саме безліч хочуть нам продемонструвати.

Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

субота, 30 червня 2018 р.

Якщо математики що неспроможні звести поняття інших понять, отже вони нічого не розуміють у математиці. Відповідаю на: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Відповідь дуже проста: числами та одиницями виміру.

Це сьогодні все, що ми не візьмемо, належить якійсь множині (як запевняють нас математики). До речі, ви у дзеркалі бачили у себе на лобі список тих множин, до яких належите саме ви? І такого списку я не бачив. Скажу більше – жодна річ насправді не має бірочки зі списком множин, до яких ця річ належить. Безліч - це все вигадки шаманів. Як вони це роблять? Давайте заглянемо трохи в глиб історії і подивимося, як виглядали елементи множини до того, як математики-шамани розтягли їх по своїх множинах.

Давним-давно, коли про математику ще ніхто й не чув, а кільця були тільки в дерев і Сатурна, величезні стада диких елементів множин блукали фізичними полями (адже математичних полів шамани ще придумали). Виглядали вони приблизно так.

Так, не дивуйтеся, з точки зору математики всі елементи множин найбільше схожі на морських їжаків - з однієї точки, як голки, на всі боки стирчать одиниці вимірів. Для тих, хто , нагадую, що будь-яку одиницю виміру геометрично можна як відрізок довільної довжини, а число - як точку. Геометрично будь-яку величину можна як пучок відрізків, стирчать у різні боки з однієї точки. Ця точка – точка нуль. Малювати цей твір геометричного мистецтва я не буду (немає натхнення), але ви легко можете це уявити.

Які ж одиниці виміру утворюють елемент множини? Будь-які, що описують цей елемент з різних точок зору. Це й давні одиниці виміру, якими користувалися наші предки і про які давно забули. Це і сучасні одиниці виміру, якими ми користуємось зараз. Це і невідомі нам одиниці виміру, які вигадають наші нащадки і якими користуватимуться вони для опису реальності.

З геометрією ми розібралися - пропонована модель елементів множини має чітке геометричне уявлення. А як із фізикою? Одиниці виміру - і є прямий зв'язок математики з фізикою. Якщо шамани не визнають одиниці виміру як повноправний елемент математичних теорій – це їхні проблеми. Справжню науку математику без одиниць виміру особисто вже не уявляю. Ось чому на самому початку розповіді про теорію множин я говорив про неї як про кам'яний вік.

Але перейдемо до найцікавішого – до алгебри елементів множин. Алгебраїчно будь-який елемент множини являє собою твір (результат множення) різних величин. Виглядає це так.

Я навмисне не застосовував умовні позначення, прийняті в теорії множин, оскільки ми розглядаємо елемент множини в природному середовищі до виникнення теорії множин. Кожна пара літер у дужках позначає окрему величину, що складається з числа, позначеного буквою " n" та одиниці виміру, позначеної буквою " aІндекси біля літер вказують на те, що числа та одиниці виміру – різні. Один елемент множини може складатися з нескінченного числа величин (на скільки у нас і наших нащадків вистачить фантазії). Кожна дужка геометрично зображується окремим відрізком. У прикладі з морським їжаком одна дужка – це одна голка.

Як шамани формують множини з різних елементів? Фактично, за одиницями виміру чи за числами. Нічого не розуміючи в математиці, вони беруть різних морських їжаків і уважно їх розглядають у пошуках тієї єдиної голки, якою вони формують безліч. Якщо така голка є, значить цей елемент належить множині, якщо такої голки немає - це елемент не з цієї множини. Нам же шамани розповідають байки про розумові процеси та єдине ціле.

Як ви вже здогадалися, один і той же елемент може належати до різних множин. Далі я вам покажу, як формуються множини, підмножини та інша шаманська нісенітниця. Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

Якщо між собою порівняти функції додавання та віднімання з множенням і розподілом, то множення та поділ завжди розраховуються в першу чергу.

У прикладі такі дві функції, як додавання та віднімання, а також множення та поділ рівнозначні між собою. Черговість виконання визначається порядку черги зліва направо.

Слід пам'ятати той факт, що особливий пріоритет у прикладі мають дії, взяті в круглі дужки. Таким чином, навіть якщо за межами дужок стоїть множення, а в дужках додавання, слід спочатку скласти, а вже потім помножити.

Щоб розібратися у цій темі, можна розглянути всі випадки по черзі.

Відразу врахуємо, що наші вирази не мають дужок.

Отже, якщо у прикладі першу дію множення, а друге-поділ, то першим виконуємо множення.

Якщо на прикладі першу дію розподіл, а друге множення, то першим робимо розподіл.

У таких прикладах дії виконуються в порядку зліва направо, незалежно від того, які використовуються числа.

Якщо ж у прикладах крім множення і розподілу є додавання і віднімання, то множення і поділ робляться насамперед, та був додавання і віднімання.

У випадку зі складанням і відніманням також немає різниці, яка з цих дій робиться першою. Дотримується порядок зліва направо.

Розглянемо різні варіанти:

У цьому прикладі перша дія, яку необхідно зробити це множення, а потім уже додавання.

У цьому випадку ви спочатку множите значення, потім ділите, а тільки потім складаєте.

У цьому випадку ви повинні спочатку зробити всі дії в дужках, а потім тільки робити множення та поділ.

А так треба запам'ятати, що в будь-якій формулі спочатку виконуються дії як множення та розподіл, а потім лише віднімання та додавання.

Також з числами, які стоять у дужках, потрібно порахувати їх у дужках, а лише потім робити різні маніпуляції, пам'ятаючи послідовність описану вище.

Першими будуть такі дії: множення та розподіл.

Тільки потім виконуються складання та віднімання.

Однак якщо є дужка, то насамперед виконуватимуться дії, які перебувають у них. Навіть якщо це додавання та віднімання.

Наприклад:

У цьому прикладі спочатку виконаємо множення, то 4 на 5, потім до 20 додамо 4. Вийде 24.

Але якщо так: (4+5)*4, то спочатку виконаємо додавання, отримуємо 9. Потім 9 множимо на 4. Отримуємо 36.

Якщо в прикладі присутні всі 4 дії, то спочатку йде множення та розподіл, а потім додавання та віднімання.

Або в прикладі 3 різних події, то першим буде або множення (або розподіл), а потім або додавання (або віднімання).

Коли НІ СКОБОК.

Приклад: 4-2*5:10+8=11,

1 дія 2*5 (10);

2 дія 10:10 (1);

3 дія 4-1 (3);

4 дія 3+8 (11).

Всі 4 дії можна розділити на дві основні групи, в одній - додавання та віднімання, в іншій - множення та поділ. Першими буде та дія, яка перша за рахунком у прикладі, тобто найлівіша.

приклад: 60-7 +9 = 62, спочатку потрібно 60-7, потім те, що вийде (53) +9;

Приклад: 5*8:2=20, спочатку потрібно 5*8, потім те, що вийде (40):2.

Коли є дужки в прикладі, то спочатку виконуються дії які в дужці (відповідно до вищеперелічених правил), а потім інші як у звичайно.

Приклад: 2 + (9-8) * 10:2 = 7.

1 дія 9-8 (1);

2 дія 1 * 10 (10);

3 дія 10:2 (5);

4 дія 2+5 (7).

Залежить як записано вираз, розглянемо на найпростішому числовому виразі:

18 – 6:3 + 10х2 =

Спочатку виконуємо дії з розподілом та множенням, потім по черзі, зліва направо, з відніманням та додаванням: 18-2+20 = 36

Якщо це вираз зі дужками, тоді виконують дії в дужках, потім множення або розподіл і на закінчення додавання/віднімання, наприклад:

(18-6): 3 + 10 х 2 = 12:3 + 20 = 4 +20 = 24

Все правильно: спочатку виконують множення і розподіл, потім додавання і віднімання.

Якщо в прикладі немає дужок, то в першу чергу виконується множення і розподіл по порядку, а потім вже додавання і віднімання, те ж по порядку.

Якщо в прикладі лише множення та поділ, то дії виконуватимуться по порядку.

Якщо в прикладі тільки додавання та віднімання, то дії теж виконуватимуться по порядку.

У першу чергу виконуються дії в дужках за тими самими правилами, тобто спочатку множення та розподіл, і тільки потім додавання та віднімання.

22-(11+3Х2)+14=19

Порядок виконання арифметичних дій прописаний суворо, щоб не було різночитань при виконанні однотипних обчислень різними людьми. Насамперед виконуються множення і розподіл, потім додавання і віднімання, якщо дії одного порядку йдуть одна одною, всі вони виконуються порядку черги зліва направо.

Якщо під час запису математичного висловлювання використовуються дужки, то насамперед слід виконати дії вказані у дужках. Дужки допомагають змінити черговість при необхідності спершу виконати додавання або віднімання, а вже після множення та поділ.

Будь-які дужки можна розкрити і тоді порядок виконання знову буде правильним:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Найкраще відразу в прикладах:

• 1+2*3/4-5=?

У цьому випадку виконуємо спочатку множення, тому що воно стоїть лівіше ніж розподіл. Потім розподіл. Потім додавання, так через більш лівого розташування і в кінці віднімання.

• 1*3/(2+4)?

спочатку робимо обчислення в дужках, потім множення та розподіл.

• 1+2*(3-1*5)=?

Спочатку робимо дії в дужках: множення, потім віднімання. Після цього йде множення поза дужками та складання кв кінці.

Першочергово йде множення та розподіл. Якщо є у прикладі дужки, то на початку вважають дію у дужках. Який би знак там не був!

Тут слід пам'ятати кілька основних правил:

1. Якщо у прикладі відсутні дужки і є операції - лише додавання і віднімання, або лише множення і розподіл - у разі всі дії здійснюються порядку зліва праворуч.

Наприклад, 5+8-5=8(виконуємо все по порядку - до 5 додаємо 8, а потім забираємо 5)

1. Якщо в прикладі присутні змішані операції - і додавання, і віднімання, і множення, і поділ, то в першу чергу виконуємо операції множення і поділ, а потім тільки додавання або віднімання.

Наприклад, 5+8*3=29 (спочатку 8 множимо на 3, а потім додаємо 5)

1. Якщо у прикладі є дужки, спочатку виконуються дії в дужках.

Наприклад, 3*(5+8)=39 (спочатку 5+8, а потім множимо на 3)