Оптимальне значення цільової функції називається. Тести для поточного контролю знань

Розділимо третій рядок на ключовий елемент, що дорівнює 5, отримаємо третій рядок нової таблиці.

Базовим стовпцям відповідають поодинокі стовпці.

Розрахунок інших значень таблиці:

«БП – Базовий План»:

; ;

«х1»: ; ;

«х5»: ; .

Значення індексного рядка невід'ємні, отже отримуємо оптимальне рішення: ; .

Відповідь:максимальний прибуток від виготовленої продукції, рівну 160/3 од., забезпечує випуск лише продукції другого типу у кількості 80/9 одиниць.

Завдання №2

Дано завдання нелінійного програмування. Знайти максимум та мінімум цільової функції графоаналітичним методом. Скласти функцію Лагранжа і показати, що у точках екстремуму виконуються достатні умови мінімуму (максимуму).

Т.к. остання цифра шифру дорівнює 8, то А = 2; В=5.

Т.к. передостання цифра шифру дорівнює 1, слід вибрати завдання № 1.

Рішення:

1) Накреслимо область, яку задає система нерівностей.

Ця область – трикутник АВС із координатами вершин: А(0; 2); В(4; 6) та С(16/3; 14/3).

Рівні цільової функції є кола з центром у точці (2; 5). Квадрати радіусів будуть значеннями цільової функції. Тоді малюнку видно, що мінімальне значення цільової функції досягається у точці Н, максимальне – або у точці А, або у точці З.

Значення цільової функції у точці А: ;

Значення цільової функції у точці З: ;

Значить, найбільше значення функції досягається в точці А (0; 2) і 13.

Знайдемо координати точки Н.

Для цього розглянемо систему:

ó

ó

Пряма є дотичною до кола, якщо рівняння має єдине рішення. Квадратне рівняння має єдине рішення, якщо дискримінант дорівнює 0.

Тоді ; ; - Мінімальне значення функції.

2) Складемо функцію Лагранжа для знаходження мінімального рішення:

При x 1 =2.5; x 2 =4.5 отримаємо:

ó

Система має рішення за , тобто. достатні умови екстремуму виконуються.

Складемо функцію Лагранжа для знаходження максимального рішення:

Достатні умови екстремуму:

При x 1 =0; x 2 =2 отримаємо:

ó ó

Система також має рішення, тобто. достатні умови екстремуму виконуються.

Відповідь:мінімум цільової функції досягається при ; ; максимум цільової функції досягається при ; .

Завдання №3

Двом підприємствам виділяються кошти у кількості dодиниць. При виділенні першому підприємству на рік xодиниць коштів воно забезпечує дохід k 1 xодиниць, а при виділенні другому підприємству yодиниць коштів, воно забезпечує дохід k 1 yодиниць. Залишок коштів до кінця року для першого підприємства дорівнює nx, а для другого my. Як розподілити всі кошти протягом 4-х років, щоби загальний дохід був найбільшим? Завдання вирішити шляхом динамічного програмування.

i=8, k=1.

A=2200; k 1 =6; k 2 = 1; n=0.2; m=0.5.

Рішення:

Весь період тривалістю 4 роки розбиваємо на 4 етапи, кожен із яких дорівнює одному року. Пронумеруємо етапи, починаючи з першого року. Нехай Х k та Y k – кошти, виділені відповідно підприємствам А та В на k – тому етапі. Тоді сума Х k + Y k = а k є загальною кількістю коштів, що використовуються на k - тому етапі і залишилися від попереднього етапу k - 1. На першому етапі використовуються всі виділені кошти та а 1 = 2200 од. дохід, який буде отримано на k – тому етапі, при виділенні Х k та Y k одиниць становитиме 6Х k + 1Y k . нехай максимальний дохід, отриманий останніх етапах починаючи з k – того етапу становить f k (а k) од. запишемо функціональне рівняння Беллмана, що виражає принцип оптимальності: яке б не було початковий стан і початкове рішення наступне рішення має бути оптимальним по відношенню до стану, що отримується в результаті початкового стану:

Для кожного етапу потрібно вибрати значення Х k , а значення Y k=аk- хk. З огляду на це знайдемо дохід на k – тому етапі:

Функціональне рівняння Беллмана матиме вигляд:

Розглянемо всі етапи, починаючи з останнього.

(бо максимум лінійної функції досягається в кінці відрізка при х 4 = а 4);

Побудуємо на площині безліч допустимих розв'язків системи лінійних нерівностей та геометрично знайдемо мінімальне значення цільової функції.

Будуємо в системі координат х 1 ох 2 прямі

Знаходимо напівплощини, що визначаються системою. Так як нерівності системи виконується для будь-якої точки з відповідної напівплощини, їх достатньо перевірити для будь-якої однієї точки. Використовуємо точку (0; 0). Підставимо її координати у першу нерівність системи. Т.к. , то нерівність визначає напівплощину, що не містить точку (0; 0). Аналогічно визначаємо інші напівплощини. Знаходимо безліч допустимих рішень як загальну частину отриманих напівплощин - це заштрихована область.

Будуємо вектор та перпендикулярно до нього пряму нульового рівня.

Переміщуючи пряму (5) у напрямку вектора і бачимо, що область максимальна точка буде в точці А перетину прямий (3) і прямий (2). Знаходимо розв'язання системи рівнянь:

Отже, отримали точку (13; 11) і.

Переміщуючи пряму (5) у напрямку вектора і бачимо, що область мінімальна точка буде в точці В перетину прямий (1) і прямий (4). Знаходимо розв'язання системи рівнянь:

Отже, отримали точку (6; 6) і.

2. Меблева фірма виробляє комбіновані шафи та комп'ютерні столики. Їх виробництво обмежене наявністю сировини (високоякісних дощок, фурнітури) і часом роботи верстатів, що їх обробляють. Для кожної шафи потрібно 5 м2 дощок, для столу – 2 м2. На одну шафу витрачається фурнітури на 10 $, на один столик також на 8 $. Фірма може отримувати від своїх постачальників до 600 м2 дощок на місяць та фурнітури на 2000 $. Для кожної шафи потрібно 7 годин роботи верстатів, для столу – 3 години. На місяць можна використовувати всього 840 годин роботи верстатів.

Скільки комбінованих шаф та комп'ютерних столиків фірмі слід випускати на місяць для отримання максимального прибутку, якщо одна шафа приносить 100 $ прибутку, а кожен стіл - 50 $?

• 1. Скласти математичну модель завдання та вирішити її симплексним методом.
• 2. Скласти математичну модель двоїстої задачі, записати її рішення, виходячи з рішення вихідної.
• 3. Встановити ступінь дефіцитності використовуваних ресурсів та обґрунтувати рентабельність оптимального плану.
• 4. Дослідити можливості подальшого збільшення випуску продукції залежно від використання кожного виду ресурсів.
• 5. Оцінити доцільність запровадження нового виду продукції - книжкових полиць, якщо виготовлення однієї полиці витрачається 1 м 2 дошок і фурнітури на 5$,і потрібно витратити 0,25 години роботи верстатів і прибуток від однієї полиці становить 20$.
• 1. Побудуємо математичну модель для цієї задачі:

Позначимо через x 1 – обсяг виробництва шаф, а х 2 – обсяг виробництва столиків. Складемо систему обмежень та функцію мети:

Завдання вирішуємо симплекс-метод. Запишемо її в канонічному вигляді:

Запишемо ці завдання у вигляді таблиці:

Таблиця 1

Т.к. тепер все дельта більше нуля, то подальше збільшення значення функції мети f неможливе, і ми отримали оптимальний план.

Вступ

Сучасний етап розвитку людства відрізняється тим, що зміну століття енергетики приходить століття інформатики. Відбувається інтенсивне впровадження нових технологій у всі сфери людської діяльності. Постає реальна проблема переходу в інформаційне суспільство, для якого пріоритетним має стати розвиток освіти. Змінюється і структура знань у суспільстві. Все більшого значення для практичного життя набувають фундаментальних знань, що сприяють творчому розвитку особистості. Важлива і конструктивність знань, що набувають, вміння їх структурувати відповідно до поставленої мети. За підсумками знань формуються нові інформаційні ресурси суспільства. Формування та отримання нових знань має базуватись на суворій методології системного підходу, в рамках якого окреме місце посідає модельний підхід. Можливості модельного підходу вкрай різноманітні як за формальними моделями, що використовуються, так і за способами реалізації методів моделювання. Фізичне моделювання дозволяє отримати достовірні результати досить простих систем.

В даний час не можна назвати область людської діяльності, в якій тією чи іншою мірою не використовувалися б методи моделювання. Особливо це стосується сфери управління різними системами, де основними є процеси прийняття рішень на основі інформації, що отримується.

1. Постановка задачі

мінімум цільова функція

Розв'язати задачу знаходження мінімуму цільової функції системи обмежень, заданої багатокутником рішень відповідно до варіантом №16 завдання. Багатокутник рішень представлений малюнку 1:

Малюнок 1 - Багатокутник розв'язання задачі

Система обмежень та цільова функція задачі представлені нижче:

Необхідно вирішити задачу, використовуючи такі методи:

Графічний метод розв'язання задач ЛП;

Алгебраїчний метод розв'язання задач ЛП;

Симплекс-метод розв'язання задач ЛП;

Спосіб відшукання припустимого вирішення завдань ЛП;

Розв'язання двоїстої задачі ЛП;

Метод «гілок та кордонів» вирішення цілих задач ЛП;

Метод Гоморі вирішення цілих задач ЛП;

Метод Балаша розв'язання булевських завдань ЛП.

Порівняти результати рішення різними методами зробити відповідні висновки щодо роботи.

2. Графічне розв'язання задачі лінійного програмування

Графічний метод розв'язання задач лінійного програмування застосовується у випадках, коли кількість невідомих вбирається у трьох. Зручний для якісного дослідження властивостей рішень та застосовується спільно з іншими методами (алгебраїчним, гілок та кордонів тощо). Ідея методу полягає в графічному розв'язанні системи лінійних нерівностей.

Мал. 2 Графічне розв'язання задачі ЛП

Точка мінімуму

Рівняння прямої через дві точки A1 і A2:

АВ: (0; 1); (3;3)

НД: (3;3); (4;1)

CD: (4; 1); (3;0)

EА: (1; 0); (0;1)

ЦФ: (0; 1); (5;2)

при обмеженнях:

Розв'язання задачі лінійного програмування алгебраїчним симплекс-методом

Застосування методу алгебри вирішення задачі вимагає узагальнення подання задачі ЛП. Вихідну систему обмежень, задану як нерівностей перетворюють до стандартної формі записи, коли обмеження задані як рівностей. Перетворення системи обмежень до стандартного виду включає такі етапи:

Перетворити нерівності в такий спосіб, щоб зліва перебували змінні і вільні члени, а праворуч - 0 тобто. щоб ліва частина була більшою або рівною нулю;

Ввести додаткові змінні, число яких дорівнює числу нерівностей у системі обмежень;

Ввівши додаткові обмеження на невід'ємність доданих змінних, замініть знаки нерівностей на знаки суворої рівності.

При вирішенні завдання ЛП методом алгебри додається умова: цільова функція повинна прагнути до мінімуму. Якщо ця умова не виконується, необхідно відповідним чином перетворити цільову функцію (помножити на -1) та вирішувати задачу мінімізації. Після того, як рішення знайдено, підставити значення змінних у вихідну функцію та порахувати її значення.

Розв'язання задачі при використанні методу алгебри вважається оптимальним, коли значення всіх, базисних змінних - неотрицательно, і коефіцієнти при вільних змінних у рівнянні цільової функції також неотрицательны. Якщо ці умови не виконуються, необхідно перетворити систему нерівностей, висловлюючи одні змінні через інші (змінюючи вільні та базисні змінні), домогтися виконання вищенаведених обмежень. Значення всіх вільних змінних вважається рівним нулю.

Алгебраїчний метод розв'язання задач лінійного програмування одна із найефективніших методів під час вирішення завдань невеликий розмірності вручну т.к. не вимагає великої кількості арифметичних обчислень. Машинна реалізація цього складніше, ніж, наприклад, для симплекс-метода, т.к. Алгоритм рішення алгебраїчним методом є певною мірою евристичним і ефективність рішення багато в чому залежить від особистого досвіду.

Вільних змінних

св.пер. - Дод. набір

Умови не негативності виконані, отже, знайдено оптимальне рішення.

3. Розв'язання задачі лінійного програмування з використанням симплекс-таблиці

Рішення: Наведемо завдання до стандартного виду для вирішення за допомогою симплекс-таблиці.

Усі рівняння системи наведемо до виду:

Будуємо симплекс-таблицю:

У верхній кут кожної клітини таблиці вписуємо коефіцієнти із системи рівнянь;

Вибираємо максимальний позитивний елемент у рядку F, крім цього буде генеральний стовпець;

Для того, щоб знайти генеральний елемент, будуємо відношення для всіх позитивних. 3/3; 9/1; - мінімальне співвідношення у рядку x3. Отже – генеральний рядок і = 3 – генеральний елемент.

Знаходимо =1/=1/3. Вносимо у нижній кут клітини, де знаходиться генеральний елемент;

У всі незаповнені нижні кути генерального рядка вносимо добуток значення у верхньому куті клітини;

Виділяємо верхні кути генерального рядка;

У всі нижні кути генерального стовпця заносимо добуток значення у верхньому кутку на - і виділяємо отримані значення;

Інші клітини таблиці заповнюються як твори відповідних виділених елементів;

Потім будуємо нову таблицю, в якій позначення клітин елементів генерального стовпця та рядки змінюються місцями (x2 та x3);

У верхній кут колишніх генеральних рядків і стовпців записуються значення, які раніше були в нижньому кутку;

У верхній кут інших клітин записується сума значень верхнього та нижнього кута цих клітин у попередній таблиці

4. Розв'язання задачі лінійного програмування шляхом відшукання допустимого рішення

Нехай дана система лінійних рівнянь алгебри:

Можна припустити, що все, інакше множимо відповідне рівняння на -1.

Вводимо допоміжні змінні:

Вводимо також допоміжну функцію

Мінімізуватимемо систему при обмеженнях (2) та умовах.

ПРАВИЛО ВІДшукАННЯ ДОПУСТИМОГО РІШЕННЯ: Для відшукання допустимого рішення системи (1) мінімізуємо форму (3) при обмеженнях (2), як вільні невідомі беремо xj, як базисні.

При вирішенні задачі симплекс-метод можуть виникнути два випадки:

min f=0, тоді все i повинні бути рівними нулю. А значення xj, що виходять, будуть становити допустиме рішення системи (1).

min f>0, тобто. вихідна система немає допустимого рішення.

Вихідна система:

Використовується умова завдання попередньої теми.

Внесемо додаткові змінні:

Знайдено припустиме рішення вихідної задачі: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Грунтуючись на отриманому допустимому рішенні, знайдемо оптимальне рішення вихідної задачі, користуючись симплекс-методом. Для цього побудуємо нову симплекс-таблицю з отриманої таблиці, видаливши рядок і рядок з цільовою функцією допоміжної задачі:

Аналізуючи побудовану симплекс-таблицю, бачимо, що оптимальне рішення для вихідної задачі вже знайдено (елементи у рядку, що відповідає цільовій функції, негативні). Таким чином, допустиме рішення, знайдене при вирішенні допоміжного завдання, збігається з оптимальним рішенням вихідного завдання:

6. Подвійне завдання лінійного програмування

Вихідна система обмежень та цільова функція задачі показані на малюнку нижче.

при обмеженнях:

Рішення: Наведемо систему обмежень до стандартного вигляду:

Завдання, двоїсте даної мати вигляд:

Розв'язання двоїстої задачі виконуватиметься простим симплекс-методом.

Перетворимо цільову функцію так, щоб вирішувалося завдання мінімізації, та запишемо систему обмежень у стандартній формі для вирішення симплекс-методом.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 + y3 + y4 + y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Побудуємо вихідну симплекс-таблицю на вирішення двоїстої завдання ЛП.

Другий крок симплекс-методу

Отже, на третьому кроці симплекс-метода знайдено оптимальне рішення задачі мінімізації з наступними результатами: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Для того, щоб знайти значення цільової функції двоїстої задачі, підставимо знайдені значення базисних та вільних змінних у функцію максимізації:

Фmax = - Фmin = 3 * (-11 / 8) + 9 (-7 / 8) + 3 * 0 + 0 = -12

Так як значення цільової функції прямої та двоїстої задач збігаються, рішення прямої задачі знайдено і дорівнює 12.

Fmin = Фmax = -12

7. Розв'язання задачі цілісного лінійного програмування методом «гілок та кордонів»

Перетворюємо вихідне завдання таким чином, щоб не виконувалася умова цілісності при вирішенні звичайними методами.

Вихідний багатокутник розв'язання задачі цілісного програмування.

Для перетвореного багатокутника рішень збудуємо нову систему обмежень.

Запишемо систему обмежень як рівностей, на вирішення алгебраїчним методом.

В результаті рішення знайдено оптимальний план задачі: х1 = 9/4, х2 = 5/2, F = -41/4. Це рішення не відповідає умові цілісності, поставленої в задачі. Розіб'ємо вихідний багатокутник рішень на дві області, виключивши з нього область 3

Змінений багатокутник розв'язання задачі

Складемо нові системи обмежень для областей багатокутника рішень, що утворилися. Ліва область є чотирикутником (трапецією). Система обмежень для лівої області багатокутника рішень представлена ​​нижче.

Система обмежень для лівої області

Права область є точку З.

Система обмежень для правої галузі рішень представлена ​​нижче.

Нові системи обмежень являють собою дві допоміжні завдання, які необхідно вирішити незалежно одна від одної. Розв'яжемо задачу цілого програмування для лівої області багатокутника рішень.

В результаті рішення знайдено оптимальний план задачі: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Цей план задовольняє умові цілісності змінних у задачі і може бути прийнятий як оптимальний опорний план для вихідної задачі цілісного лінійного програмування. Проводити рішення для правої галузі рішень немає сенсу. На малюнку нижче представлений хід вирішення цілої задачі лінійного програмування у вигляді дерева.

Хід вирішення цілої задачі лінійного програмування методом Гоморі.

Багато практичних додатках представляє великий інтерес завдання цілісного програмування, у якій дана система лінійних нерівностей і лінійна форма

Потрібно знайти ціле рішення системи (1), яке мінімізує цільову функцію F, причому, всі коефіцієнти - цілі.

Один із методів розв'язання задачі цілісного програмування запропонований Гоморі. Ідея методу полягає у використанні методів безперервного лінійного програмування, зокрема симплекс-метода.

1) Визначається за допомогою симплекс-метода розв'язання задачі (1), (2), у якої знято вимогу цілісності розв'язання; якщо рішення виявляється цілою, то шукане рішення цілісної задачі буде також знайдено;

2) В іншому випадку, якщо деяка координата - не ціла, отримане рішення задачі перевіряється на можливість існування цілого рішення (наявність цілих точок у допустимому багатограннику):

якщо в будь-якому рядку з дробовим вільним членом, всі інші коефіцієнти виявляться цілими, то в допустимому багатограннику немає цілих, точок і завдання цілісного програмування рішення не має;

В іншому випадку вводиться додаткове лінійне обмеження, яке відсікає від допустимого багатогранника частину, безперспективну для пошуку розв'язання задачі цілісного програмування;

3) Для побудови додаткового лінійного обмеження, вибираємо l-ту рядок з дрібним вільним членом і записуємо додаткове обмеження

де і - відповідно дробові частини коефіцієнтів та вільного

члена. Введемо до обмеження (3) допоміжну змінну:

Визначимо коефіцієнти та, що входять в обмеження (4):

де і - найближчі цілі знизу для та відповідно.

Гоморі довів, що кінцева кількість подібних кроків призводить до такого завдання лінійного програмування, вирішення якого буде цілим і, отже, шуканим.

Рішення: Наведемо систему лінійних обмежень та функцію мети до канонічної форми:

Визначимо оптимальне рішення системи лінійних обмежень, тимчасово відкинувши умову цілісності. Використовуємо для цього симплекс-метод. Нижче послідовно в таблицях представлені вихідне рішення задачі, і наведено перетворення вихідної таблиці з метою отримання оптимального рішення задачі:

Вирішення булевських завдань ЛП методом Балаша.

Скласти самостійно варіант для задачі цілочисельного лінійного програмування з булевськими змінними з урахуванням наступних правил: завдання використовується не менше 5 змінних, не менше 4 обмежень, коефіцієнти обмежень і цільової функції вибираються довільно, але таким чином, щоб система обмежень була спільна. Завдання полягає в тому, щоб вирішити ЗЦЛП з булевськими змінними, використовуючи алгоритм Балаша та визначити зниження трудомісткості обчислень щодо вирішення задачі методом повного перебору.

Виконання обмежень

Значення F

Фільтруюче обмеження:

Визначення зниження трудомісткості обчислень

Розв'язання задачі методом повного перебору становить 6*25=192 обчислені вирази. Розв'язання задачі методом Балаша становить 3*6+(25-3)=47 обчислених виразів. Разом зниження трудомісткості обчислень стосовно вирішення задачі методом повного перебору становить.

Висновок

Процес проектування інформаційних систем, що реалізують нову інформаційну технологію, постійно вдосконалюється. У центрі уваги інженерів-системотехніків виявляються все більш складні системи, що ускладнює використання фізичних моделей та підвищує значущість математичних моделей та машинного моделювання систем. Машинне моделювання стало ефективним інструментом дослідження та проектування складних систем. Актуальність математичних моделей безперервно зростає через їх гнучкість, адекватність реальним процесам, невисоку вартість реалізації з урахуванням сучасних ПЕОМ. Все більші можливості надаються користувачеві, тобто фахівця з моделювання систем засобами обчислювальної техніки. Особливо ефективним є застосування моделювання на ранніх етапах проектування автоматизованих систем, коли ціна помилкових рішень найбільша.

Сучасні обчислювальні засоби дозволили суттєво збільшити складність використовуваних моделей при вивченні систем, з'явилася можливість побудови комбінованих, аналітико-імітаційних моделей, що враховують усе різноманіття факторів, що мають місце в реальних системах, тобто використання моделей, адекватніших досліджуваним явищам.

Література:

1. Лященко І.М. Лінійне та нелінійне програмування / І.М.Лященко, Є.А.Карагодова, Н.В.Чернікова, Н.З.Шор. – К.: «Вища школа», 1975, 372 с.

2. Методичні вказівки для виконання курсового проекту з дисципліни «Прикладна математика» для студентів спеціальності «Комп'ютерні системи та мережі» денної та заочної форм навчання / Упоряд.: І.А.Балакірєва, А.В.Скатков- Севастополь: Вид-во СевНТУ , 2003. – 15 с.

3. Методичні вказівки щодо вивчення дисципліни «Прикладна математика», розділ «Методи глобального пошуку та одновимірної мінімізації» / Упоряд. А.В.Скатков, І.А.Балакірєва, Л.А.Литвинова - Севастополь: Вид-во ПівнГТУ, 2000. - 31с.

4. Методичні вказівки для вивчення дисципліни «Прикладна математика» для студентів спеціальності «Комп'ютерні системи та мережі» Розділ «Рішення завдань цілочисельного лінійного програмування» денної та заочної форм навчання / Упоряд.: І.А.Балакірєва, А.В.Скатков – Севастополь : Вид-во СевНТУ, 2000. – 13 с.

5. Акуліч І.Л. Математичне програмування в прикладах та задачах:

6. Навч. посібник для студентом економ. спец. вузів.-М.: Вищ. шк., 1986. - 319с., іл.

7. Андронов С.А. Методи оптимального проектування: Текст лекцій / СПбГУАП. СПб., 2001. 169 с.: іл.

Подібні документи

Алгоритм розв'язання задач лінійного програмування симплекс-методом. Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування. Розв'язання задачі лінійного програмування в Excel. Знаходження прибутку та оптимального плану випуску продукції.

курсова робота , доданий 21.03.2012


Графічний розв'язок задач. Складання математичної моделі. Визначення максимального значення цільової функції. Рішення симплексним методом зі штучним базисом канонічного завдання лінійного програмування. Перевіряє оптимальність рішення.

контрольна робота , доданий 05.04.2016


Теоретична основа лінійного програмування. Завдання лінійного програмування, методи розв'язання. Аналіз раціонального рішення. Вирішення одноіндексної задачі лінійного програмування. Постановка задачі та введення даних. Побудова моделі та етапи рішення.

курсова робота , доданий 09.12.2008


Побудова математичної моделі. Вибір, обґрунтування та опис методу рішень прямого завдання лінійного програмування симплекс-методом, з використанням симплексної таблиці. Складання та розв'язання двоїстої задачі. Аналіз моделі на чутливість.

курсова робота , доданий 31.10.2014


Побудови математичної моделі з метою отримання максимального прибутку підприємства, графічне вирішення задачі. Вирішення задачі за допомогою надбудови SOLVER. Аналіз змін запасів ресурсів. Визначення меж зміни коефіцієнтів цільової функції.

курсова робота , доданий 17.12.2014


Математичне програмування. Лінійне програмування. Завдання лінійного програмування. Графічний метод розв'язання задачі лінійного програмування. Економічна постановка задачі лінійного програмування. Побудова математичної моделі.

курсова робота , доданий 13.10.2008


Розв'язання задачі лінійного програмування графічним методом, його перевірка у MS Excel. Аналіз внутрішньої структури розв'язання задачі у програмі. Оптимізація плану виробництва. Розв'язання задачі симплекс-методом. Багатоканальна система масового обслуговування.

контрольна робота , доданий 02.05.2012


Розв'язання задачі лінійного програмування симплекс-методом: постановка задачі, побудова економіко-математичної моделі. Вирішення транспортної задачі методом потенціалів: побудова вихідного опорного плану, визначення його оптимального значення.

контрольна робота , доданий 11.04.2012


Постановка задач нелінійного програмування. Визначення стаціонарних точок та їх типу. Побудова ліній рівнів, тривимірного графіка цільової функції та обмеження. Графічне та аналітичне рішення задачі. Посібник користувача та схема алгоритму.

курсова робота , доданий 17.12.2012


Аналіз розв'язання задачі лінійного програмування. Симплексний метод із використанням симплекс-таблиць. Моделювання та розв'язання завдань ЛП на ЕОМ. Економічна інтерпретація оптимального розв'язання задачі. Математичне формулювання транспортного завдання.

Якщо задачі лінійного програмування є лише дві змінні, її можна вирішити графічним методом.

Розглянемо задачу лінійного програмування з двома змінними та :
(1.1) ;
(1.2)
Тут є довільні числа. Завдання може бути як на знайдення максимуму (max), так і на знайдення мінімуму (min). У системі обмежень можуть бути як знаки, і знаки.

Побудова області допустимих рішень

Графічний метод розв'язання задачі (1) наступний.
Спочатку ми проводимо осі координат і вибираємо масштаб. Кожна з нерівностей системи обмежень (1.2) визначає напівплощину, обмежену відповідною прямою.

Так, перша нерівність
(1.2.1)
визначає напівплощину, обмежену прямою . З одного боку від цієї прямої, а з іншого боку. На самій прямій. Щоб дізнатися, з якого боку виконується нерівність (1.2.1), ми вибираємо довільну точку, що не лежить на прямій. Далі підставляємо координати цієї точки (1.2.1). Якщо нерівність виконується, то напівплощина містить вибрану точку. Якщо нерівність не виконується, напівплощина розташована з іншого боку (не містить обрану точку). Заштриховуємо напівплощину, на яку виконується нерівність (1.2.1).

Те саме виконуємо для інших нерівностей системи (1.2). Так ми отримаємо заштрихованих напівплощин. Точки області допустимих рішень задовольняють всі нерівності (1.2). Тому, графічно, область допустимих рішень (ОДР) є перетином всіх побудованих напівплощин. Заштриховуємо ОДР. Вона є опуклим багатокутником, грані якого належать побудованим прямим. Також ОДР може бути необмеженою опуклою фігурою, відрізком, променем чи прямою.

Може виникнути і такий випадок, що напівплощини не містять загальних точок. Тоді областю допустимих рішень є безліч. Таке завдання рішень немає.

Можна спростити метод. Можна не заштрихувати кожну напівплощину, а спочатку збудувати всі прямі
(2)
Далі вибрати довільну точку, що не належить жодній із цих прямих. Підставити координати цієї точки у систему нерівностей (1.2). Якщо всі нерівності виконуються, то область допустимих рішень обмежена побудованими прямими і включає обрану точку. Заштриховуємо область допустимих рішень за межами прямих так, щоб воно включало обрану точку.

Якщо хоча б одна нерівність не виконується, вибираємо іншу точку. І так далі, доки не буде знайдено одну точку, координати якої задовольняють системі (1.2).

Знаходження екстремуму цільової функції

Отже, маємо заштриховану область допустимих рішень (ОДР). Вона обмежена ламаною, що складається з відрізків та променів, що належать побудованим прямим (2). ОДР завжди є опуклим безліччю. Воно може бути як обмеженою безліччю, так і не обмеженою вздовж деяких напрямків.

Тепер ми можемо шукати екстремум цільової функції
(1.1) .

Для цього вибираємо будь-яке число і будуємо пряму
(3) .
Для зручності подальшого викладу вважаємо, що ця пряма проходить через ОДР. На цій прямій цільова функція постійна і рівна. така пряма називається лінією рівня функції. Ця пряма розбиває площину на дві напівплощини. На одній півплощині
.
На іншій напівплощині
.
Тобто з одного боку від прямої (3) цільова функція зростає. І що далі ми відсунемо крапку від прямої (3), то більше значення буде . З іншого боку від прямої (3) цільова функція зменшується. І що далі ми відсунемо точку від прямої (3) в іншу сторону, тим менше буде значення . Якщо ми проведемо пряму, паралельну до прямої (3), то нова пряма також буде лінією рівня цільової функції, але з іншим значенням .

Таким чином, щоб знайти максимальне значення цільової функції, треба провести пряму, паралельну прямій (3), максимально віддалену від неї у бік зростання значень і проходить хоча б через одну точку ОДР. Щоб знайти мінімальне значення цільової функції, треба провести пряму, паралельну прямій (3) і максимально віддалену від неї у бік зменшення значень, і проходить хоча б через одну точку ОДР.

Якщо ОДР необмежена, може виникнути випадок, коли таку пряму провести не можна. Тобто як би ми не видаляли пряму від лінії рівня (3) у бік зростання (зменшення), то пряма завжди проходитиме через ОДР. В цьому випадку може бути як завгодно великим (малим). Тому максимального (мінімального) значення немає. Завдання рішень немає.

Розглянемо випадок, коли крайня пряма, паралельна довільному прямому виду (3), проходить через одну вершину багатокутника ОДР. З графіка визначаємо координати цієї вершини. Тоді максимальне (мінімальне) значення цільової функції визначається за такою формулою:
.
Розв'язанням задачі є
.

Також може зустрітися випадок, коли пряма паралельна до однієї з граней ОДР. Тоді пряма проходить через дві вершини багатокутника ОДР. Визначаємо координати цих вершин. Для визначення максимального (мінімального) значення цільової функції можна використовувати координати будь-якої з цих вершин:
.
Завдання має безліч рішень. Рішенням є будь-яка точка, розташована на відрізку між точками та , включаючи самі точки та .

Приклад розв'язання задачі лінійного програмування графічним методом

Умова задачі

Фірма випускає сукні двох моделей А та В. При цьому використовується тканина трьох видів. На виготовлення однієї сукні моделі А потрібно 2 м тканини першого виду, 1 м тканини другого виду, 2 м тканини третього виду. На виготовлення однієї сукні моделі потрібно 3 м тканини першого виду, 1 м тканини другого виду, 2 м тканини третього виду. Запаси тканини першого виду становлять 21 м, другого виду – 10 м, третього виду – 16 м. Випуск одного виробу типу А приносить дохід 400 ден. од., одного виробу типу В – 300 ден. од.

Скласти план виробництва, що забезпечує фірмі максимальний дохід. Завдання вирішити графічним способом.

Рішення

Нехай змінні та означають кількість вироблених суконь моделей А та В, відповідно. Тоді кількість витраченої тканини першого виду становитиме:
(м)
Кількість витраченої тканини другого виду становитиме:
(м)
Кількість витраченої тканини третього виду складе:
(м)
Оскільки вироблена кількість суконь не може бути негативною, то
та .
Дохід від вироблених суконь складе:
(Ден. од.)

Тоді економіко-математична модель завдання має вигляд:

Вирішуємо графічним способом.
Проводимо осі координат і .

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 7) та (10,5; 0).

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 10) та (10; 0).

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 8) та (8; 0).

Заштрихуємо область, щоб точка (2; 2) потрапила до заштрихованої частини. Отримуємо чотирикутник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 4) та (3; 0).

Далі помічаємо, оскільки коефіцієнти при і цільової функції позитивні (400 і 300), вона зростає зі збільшенням і . Проводимо пряму, паралельну до прямої (П1.1), максимально віддалену від неї у бік зростання , і проходить хоча б через одну точку чотирикутника OABC. Така пряма проходить через точку C. З побудови визначаємо її координати.
.

Рішення завдання: ;

Відповідь

.
Тобто для отримання найбільшого доходу необхідно виготовити 8 суконь моделі А. Дохід при цьому складе 3200 ден. од.

Приклад 2

Умова задачі

Розв'язати задачу лінійного програмування графічним методом.

Рішення

Вирішуємо графічним способом.
Проводимо осі координат і .

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 6) та (6; 0).

Будуємо пряму.
Звідси.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (3; 0) та (7; 2).

Будуємо пряму.
Будуємо пряму (вісь абсцис).

Область допустимих рішень (ОДР) обмежена побудованими прямими. Щоб дізнатися, з якого боку, зауважуємо, що точка належить ОДР, оскільки задовольняє системі нерівностей:

Заштриховуємо область за межами побудованих прямих, щоб точка (4; 1) потрапила до заштрихованої частини. Отримуємо трикутник ABC.

Будуємо довільну лінію рівня цільової функції, наприклад,
.
При .
При .
Проводимо пряму лінію рівня через точки (0; 6) та (4; 0).
Оскільки цільова функція збільшується при збільшенні , то проводимо пряму, паралельну лінії рівня і максимально віддалену від неї у бік зростання , і проходить хоча б через одну точку трикутника АВС. Така пряма проходить через точку C. З побудови визначаємо її координати.
.

Рішення завдання: ;

Відповідь

Приклад відсутності рішення

Умова задачі

Розв'язати графічно завдання лінійного програмування. Знайти максимальне та мінімальне значення цільової функції.

Рішення

Розв'язуємо задачу графічним методом.
Проводимо осі координат і .

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 8) та (2,667; 0).

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 3) та (6; 0).

Будуємо пряму.
При .
При .
Проводимо пряму через точки (3; 0) та (6; 3).

Прямі є осями координат.

Область допустимих рішень (ОДР) обмежена побудованими прямими та осями координат. Щоб дізнатися, з якого боку, зауважуємо, що точка належить ОДР, оскільки задовольняє системі нерівностей:

Заштрихуємо область, щоб точка (3; 3) потрапила до заштрихованої частини. Отримуємо необмежену область, обмежену ламаною ABCDE.

Будуємо довільну лінію рівня цільової функції, наприклад,
(П3.1) .
При .
При .
Проводимо пряму через точки (0; 7) та (7; 0).
Оскільки коефіцієнти при позитивні, то зростає при збільшенні і .

Щоб знайти максимум, потрібно провести паралельну пряму, максимально віддалену у бік зростання і проходить хоча б через одну точку області ABCDE. Однак, оскільки область необмежена з боку великих значень і, то таку пряму провести не можна. Яку б пряму ми провели, завжди знайдуться точки області, більш віддалені убік збільшення і . Тому максимуму немає. можна зробити як завгодно великий.

Шукаємо мінімум. Проводимо пряму, паралельну до прямої (П3.1) і максимально віддалену від неї у бік спадання , і проходить хоча б через одну точку області ABCDE. Така пряма проходить через точку C. З побудови визначаємо її координати.
.
Мінімальне значення цільової функції:

Відповідь

Максимального значення немає.
Мінімальне значення
.