V. Варіаційні ряди, середні величини, варіабельність ознаки

Варіаційний ряд- Це ряд числових значень ознаки.

Основні характеристики варіаційного ряду: v - варіанти, р - частота її народження.

Види варіаційного ряду:

за частотою народження варіанти: простий - варіанти зустрічається один раз, зважений - варіанти зустрічається два і більше разів;

за розташуванням варіанти: ранжований – варіанти розташовані у порядку спадання та зростання, неранжований – варіанти записані без певного порядку;

по об'єднанню варіант групи: згрупований – варіанти об'єднані групи, несгрупированный – варіанти необ'єднані групи;

за величиною варіанти: безперервний - варіанти виражені цілим і дробовим числом, дискретний - варіанти виражені цілим числом, складний - варіанти представлені відносною або середньою величиною.

Варіаційний ряд складається та оформляється з метою розрахунку середніх величин.

Форма запису варіаційного ряду:

8. Середні величини, види, методика розрахунку, застосування у охороні здоров'я

Середні величини- Сукупна узагальнююча характеристика кількісних ознак. Застосування середніх величин:

1. Для характеристики організації роботи лікувально-профілактичних установ та оцінки їх діяльності:

а) у поліклініці: показники навантаження лікарів, середня кількість відвідувань, середня кількість мешканців на ділянці;

б) у стаціонарі: середня кількість днів роботи ліжка на рік; середня тривалість перебування у стаціонарі;

в) у центрі гігієни, епідеміології та громадського здоров'я: середня площа (або кубатура) на 1 особу, середні норми харчування (білки, жири, вуглеводи, вітаміни, мінеральні солі, калорії), санітарні норми та нормативи тощо;

2. Для характеристики фізичного розвитку (основних антропометричних ознак морфологічних та функціональних);

3. Для визначення медико-фізіологічних показників організму в нормі та патології у клінічних та експериментальних дослідженнях.

4. У спеціальних наукових дослідженнях.

Відмінність середніх величин від показників:

1. Коефіцієнти характеризують альтернативну ознаку, що зустрічається тільки в деякій частині статистичного колективу, який може мати місце або не мати місце.

Середні величини охоплюють ознаки, властиві всім членам колективу, але по-різному (вага, зростання, дні лікування лікарні).

2. Коефіцієнти застосовуються для вимірювання якісних ознак. Середні величини – для кількісних ознак, що варіюють.

Види середніх величин:

середня арифметична, її характеристики – середнє квадратичне відхилення та середня помилка

мода та медіана. Мода (Мо)– відповідає величині ознаки, що найчастіше зустрічається у цій сукупності. Медіана (Ме)– величина ознаки, що займає серединне значення у цій сукупності. Вона ділить ряд на 2 рівні частини за кількістю спостережень. Середня арифметична величина (М)- На відміну від моди та медіани спирається на всі зроблені спостереження, тому є важливою характеристикою для всього розподілу.

інші види середніх величин, що застосовуються у спеціальних дослідженнях: середня квадратична, кубічна, гармонійна, геометрична, прогресивна.

Середня арифметичнахарактеризує середній рівень статистичної сукупності.

Для простого ряду, де

∑v – сума варіант,

n – кількість спостережень.

для виваженого ряду, де

∑vр – сума творів кожної варіанти на частоту її народження

n – кількість спостережень.

Середнє квадратичне відхиленнясередньої арифметичної або сигма (σ) характеризує різноманітність ознаки

- для простого ряду

Σd 2 – сума квадратів різниці середньої арифметичної та кожної варіанти (d = │M-V│)

n – кількість спостережень

- для зваженого ряду

∑d 2 p – сума творів квадратів різниці середньої арифметичної та кожної варіанти на частоту її народження,

n – кількість спостережень.

Про рівень різноманітності можна судити за величиною коефіцієнта варіації
. Більше 20% – сильна різноманітність, 10-20% – середня різноманітність, менше 10% – слабка різноманітність.

Якщо до середньої арифметичної величини додати і відібрати від неї одну сигму (М ± 1σ), то при нормальному розподілі в цих межах перебуватиме не менше 68,3% всіх варіантів (спостережень), що вважається нормою для явища, що вивчається. Якщо до 2 ± 2σ, то в цих межах буде перебувати 95,5% всіх спостережень, а якщо до М ± 3σ, то в цих межах буде 99,7% всіх спостережень. Таким чином, середнє квадратичне відхилення є стандартним відхиленням, що дозволяє передбачити ймовірність появи такого значення ознаки, що вивчається, яке знаходиться в межах заданих меж.

Середня помилка середньої арифметичноїабо помилка репрезентативності. Для простого, зваженого рядів та за правилом моментів:

.

Для розрахунку середніх величин необхідно: однорідність матеріалу, достатньо спостережень. Якщо число спостережень менше 30, у формулах розрахунку і m використовують n-1.

При оцінці отриманого результату за розміром середньої помилки користуються довірчим коефіцієнтом, які дає можливість визначити вірогідність правильної відповіді, тобто він вказує на те, що отримана величина помилки вибірки буде не більшою за дійсну помилку, допущену внаслідок суцільного спостереження. Отже, зі збільшенням довірчої ймовірності збільшується ширина довірчого інтервалу, що, у свою чергу, підвищує довірливість судження, опорність отриманого результату.

Варіаційний ряд - ряд, в якому зіставлені (за ступенем зростання або спадання) варіантита відповідні їм частоти

‚Варіанти – окремі кількісні вирази ознаки. Позначаються латинською літерою V . Класичне розуміння терміну "варіанту" передбачає, що варіантом називається кожне унікальне значення ознаки, без урахування кількості повторів.

Наприклад, у варіаційному ряді показників систолічного артеріального тиску, виміряного у десяти пацієнтів:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

варіантами є лише 6 значень:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

Частота – число, що показує, скільки разів повторюється варіанта. Позначається латинською літерою P . Сума всіх частот (яка, зрозуміло, дорівнює числу всіх досліджуваних) позначається як n.

У прикладі частоти прийматимуть такі значения:
• для варіанти 110 частота Р = 1 (значення 110 зустрічається в одного пацієнта),
• для варіанти 120 частота Р = 2 (значення 120 зустрічається у двох пацієнтів),
• для варіанти 130 частота Р = 3 (значення 130 зустрічається у трьох пацієнтів),
• для варіанти 140 частота Р = 2 (значення 140 зустрічається у двох пацієнтів),
• для варіанти 160 частота Р = 1 (значення 160 зустрічається в одного пацієнта),
• для варіанти 170 частота Р = 1 (значення 170 зустрічається в одного пацієнта),

Види варіаційних рядів:

1. простий- це ряд, у якому кожна варіанта зустрічається лише з одного разу (всі частоти у своїй рівні 1);
2. зважений- Ряд, в якому одна або кілька варіант зустрічаються неодноразово.

Варіаційний ряд служить для опису великих масивів чисел, саме у цій формі спочатку видаються зібрані дані більшості медичних досліджень. Для того, щоб охарактеризувати варіаційний ряд, розраховуються спеціальні показники, у тому числі середні величини, показники варіабельності (так званої дисперсії), показники репрезентативності вибіркових даних.

Показники варіаційного ряду

1) Середня арифметична - це узагальнюючий показник, що характеризує розмір ознаки, що вивчається. Середня арифметична позначається як M , являє собою найпоширеніший вид середньої. Середня арифметична розраховується як відношення суми значень показників всіх одиниць спостереження до всіх досліджуваних. Методика розрахунку середньої арифметичної відрізняється для простого та виваженого варіаційного ряду.

Формула для розрахунку простий середньої арифметичної:

Формула для розрахунку зваженої середньої арифметичної:

M = Σ(V * P) / n

2) Мода – ще одна середня величина варіаційного ряду, що відповідає найбільш часто повторюваному варіанті. Або, якщо висловитися інакше, це варіанта, якій відповідає максимальна частота. Позначається як Мо . Мода розраховується тільки для зважених рядів, тому що в простих рядах жодна з варіантів не повторюється і всі частоти рівні одиниці.

Наприклад, у варіаційному ряді значень частоти серцевих скорочень:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

значення моди становить 86, оскільки ця варіанта зустрічається 3 разу, отже її частота - найбільша.

​

3) Медіана – значення варіанти, що ділить варіаційний ряд навпіл: по обидва боки від неї перебуває рівну кількість варіант. Медіана також, як і середня арифметична та мода, відноситься до середніх величин. Позначається як Me

4) Середнє квадратичне відхилення (синоніми: стандартне відхилення, сигмальне відхилення, сигма) - міра варіабельності варіаційного ряду. Є інтегральним показником, що поєднує усі випадки відхилення варіант від середньої. Фактично відповідає на запитання: наскільки далеко і як часто варіанти поширюються від середньої арифметичної. Позначається грецькою літерою σ ("Сігма").

При чисельності сукупності понад 30 одиниць стандартне відхилення розраховується за такою формулою:

Для малих сукупностей – 30 одиниць спостереження та менше – стандартне відхилення розраховується за іншою формулою:

Метод угруповань дозволяє також виміряти варіацію(мінливість, коливання) ознак. При відносно малому числі одиниць сукупності варіація вимірюється з урахуванням ранжованого низки одиниць, що утворюють сукупність. Ряд називається ранжованим,якщо одиниці розташовані за зростанням (зменшенням) ознаки.

Однак ранжировані ряди досить малопоказові тоді, коли потрібна порівняльна характеристика варіації. Крім того, в багатьох випадках доводиться мати справу зі статистичними сукупностями, що складаються з великої кількості одиниць, які важко уявити у вигляді конкретного ряду. У зв'язку з цим для первинного загального ознайомлення зі статистичними даними і особливо полегшення вивчення варіації ознак досліджувані явища і процеси зазвичай об'єднують у групи, а результати угруповання оформляють як групових таблиць.

Якщо груповий таблиці є лише дві графи - групи за виділеним ознакою (варіанти) і чисельності груп (частоти чи частоти), вона називається поряд розподілу.

Ряд розподілу -найпростіший різновид структурного угруповання за однією ознакою, відображена в груповій таблиці з двома графами, в яких містяться варіанти та частоти ознаки. У багатьох випадках з такого структурного угруповання, тобто. із складання рядів розподілу, починається вивчення вихідного статистичного матеріалу.

Структурне угруповання у вигляді ряду розподілу може бути перетворено на справжнє структурне угруповання, якщо виділені групи будуть охарактеризовані не тільки частотами, а й іншими статистичними показниками. Головне призначення рядів розподілу – вивчення варіації ознак. Теорію рядів розподілу детально розробляє математична статистика.

Ряди розподілу ділять на атрибутивні(угруповання за атрибутивними ознаками, наприклад розподіл населення за статтю, національністю, сімейним станом тощо) і варіаційні(Угруповання за кількісними ознаками).

Варіаційний рядявляє собою групову таблицю, яка містить дві графи: угруповання одиниць за однією кількісною ознакою та чисельність одиниць у кожній групі. Інтервали у варіаційному ряду утворюються зазвичай рівні та закриті. Варіаційним рядом є наступне угруповання населення Росії за величиною середньодушових грошових доходів (табл. 3.10).

Таблиця 3.10

Розподіл чисельності населення Росії за величиною середньодушових доходів у 2004-2009 роках.

Групи населення за величиною середньодушових грошових доходів, руб./міс.	Чисельність населення групи, в % до результату
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Понад 25 000,0
Все населення

Варіаційні ряди у свою чергу поділяються на дискретні та інтервальні. Дискретніваріаційні ряди поєднують варіанти дискретних ознак, що змінюються у вузьких межах. Прикладом дискретного варіаційного ряду може бути розподіл російських сімей за кількістю наявних дітей.

Інтервальніваріаційні ряди поєднують варіанти або безперервних ознак або змінюються в широких межах дискретних ознак. Інтервальним є варіаційний ряд розподілу населення Росії за величиною середньодушових грошових доходів.

Дискретні варіаційні ряди практично застосовуються не надто часто. Тим часом складання їх нескладно, оскільки склад груп визначається конкретними варіантами, якими реально мають досліджувані групувальні ознаки.

Найбільш поширені інтервальні варіаційні ряди. При їх складанні виникає складне питання про кількість груп, а також величину інтервалів, які повинні бути встановлені.

Принципи вирішення цього питання викладено у розділі про методологію побудови статистичних угруповань (див. параграф 3.3).

Варіаційні ряди являють собою засіб згортання або стиснення різноманітної інформації в компактну форму, за ними можна скласти досить чітке судження про характер варіації, вивчити відмінності ознак явищ, що входять досліджувану сукупність. Але найважливіше значення варіаційних рядів у тому, що у основі обчислюються особливі узагальнюючі характеристики варіації (див. главу 7).

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності непостійні, більш-менш різняться між собою.

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в сукупності, що вивчається, називають варіантамизначень. Недостатність середньої величини для повної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається.

Наявність варіації обумовлено впливом значної частини чинників формування рівня ознаки. Ці чинники діють з різною силою й у різних напрямах. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Завдання статистичного вивчення варіації:

• 1) вивчення характеру та ступеня варіації ознак у окремих одиниць сукупності;
• 2) визначення ролі окремих чинників чи його груп у варіації тих чи інших ознак сукупності.

У статистиці застосовуються спеціальні методи дослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, здопомогою яких вимірюється варіація.

Дослідження варіацій має важливе значення. Вимірювання варіацій необхідне під час проведення вибіркового спостереження, кореляційному та дисперсійному аналізі тощо. Єрмолаєв О.Ю. Математична статистика для психологів: Підручник [Текст]/О.Ю. Єрмолаєв. – М.: Вид-во Флінта Московського психолого-соціального інституту, 2012. – 335с.

За рівнем варіації можна будувати висновки про однорідності сукупності, про стійкість окремих значень ознак і типовості середньої. На основі розробляються показники тісноти зв'язку між ознаками, показники оцінки точності вибіркового спостереження.

Розрізняють варіацію у просторі та варіацію у часі.

Під варіацією у просторі розуміють коливання значень ознаки в одиниць сукупності, що представляють окремі території. Під варіацією у часі мають на увазі зміну значень ознаки у різні періоди часу.

Для вивчення варіації у лавах розподілу проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому чи спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.

Найпростішими ознаками варіації є мінімум та максимум- Найменше та найбільше значення ознаки в сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення (fi). Частоти зручно замінювати частостями – wi. Частина - відносний показник частоти, що може бути виражений у частках одиниці чи відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числом спостережень. Виражається формулою:

де Хmax, Хmin - максимальне та мінімальне значення ознаки в сукупності; n – число груп.

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє відхилення квадратичне. До відносних показників коливання відносять коефіцієнт осциляції, відносне лінійне відхилення, коефіцієнт варіації.

Приклад знаходження варіаційного ряду

Завдання.За цією вибіркою:

• а) Знайти варіаційний ряд;
• б) побудувати функцію розподілу;

№ = 42. Елементи вибірки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Рішення.

• а) побудова ранжованого варіаційного ряду:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• б) побудова дискретного варіаційного ряду.

Обчислимо число груп у варіаційному ряді, користуючись формулою Стерджесса:

Приймемо число груп, рівним 7.

Знаючи число груп, розрахуємо величину інтервалу:

Для зручності побудови таблиці приймемо число груп рівним 8 інтервал складе 1.

Мал. 1 Обсяг продажу магазином товару за певний проміжок часу

(Визначення варіаційного ряду; складові варіаційного ряду; три форми варіаційного ряду; доцільність побудови інтервального ряду; висновки, які можна зробити по побудованому ряду)

Варіаційним рядом називається послідовність всіх елементів вибірки, розміщених у неубутньому порядку. Поодинокі елементи повторюються

Варіаційні – це лави, побудовані за кількісним ознакою.

Варіаційні ряди розподілу складаються з двох елементів: варіантів та частот:

Варіанти – це числові значення кількісної ознаки у варіаційному ряду розподілу. Вони можуть бути позитивними та негативними, абсолютними та відносними. При групуванні підприємств за результатами господарську діяльність варіанти позитивні – це прибуток, а негативні числа – це збиток.

Частоти – це чисельності окремих варіантів чи кожної групи варіаційного низки, тобто. це числа, що показують, як часто зустрічаються ті чи інші варіанти у розподілі. Сума всіх частот називається обсягом сукупності та визначається числом елементів усієї сукупності.

Частини – це частоти, виражені як відносних величин (частках одиниць чи відсотках). Сума частостей дорівнює одиниці або 100%. Заміна частот частостями дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числом спостережень.

Виділяють три форми варіаційного ряду:ранжований ряд, дискретний ряд та інтервальний ряд.

Ранжований ряд - це розподіл окремих одиниць сукупності в порядку зростання або зменшення досліджуваної ознаки. Ранжування дозволяє легко розділити кількісні дані по групам, відразу виявити найменше та найбільше значення ознаки, виділити значення, які найчастіше повторюються.

Інші форми варіаційного ряду - групові таблиці, складені характером варіації значень досліджуваного ознаки. За характером варіації розрізняють дискретні (перервні) та безперервні ознаки.

Дискретний ряд - це такий варіаційний ряд, основою побудови якого покладено ознаки з перервним зміною (дискретні ознаки). До останніх можна віднести тарифний розряд, кількість дітей у сім'ї, кількість працівників для підприємства тощо. Ці ознаки можуть набувати лише кінцеве число певних значень.

Дискретний варіаційний ряд представляє таблицю, що складається із двох граф. У першій графі вказується конкретне значення ознаки, тоді як у другий - число одиниць сукупності з певним значенням ознаки.

Якщо ознака має безперервну зміну (розмір доходу, стаж роботи, вартість основних фондів підприємства тощо., які у певних межах можуть приймати будь-які значення), для цього ознаки потрібно будувати інтервальний варіаційний ряд.

Групова таблиця також має дві графи. У першій вказується значення ознаки в інтервалі від - до (варіанти), у другій - число одиниць, що входять в інтервал (частота).

Частота (частота повторення) - число повторень окремого варіанта значень ознаки, що позначається fi , а сума частот, що дорівнює обсягу досліджуваної сукупності, позначається

Де k – число варіантів значень ознаки

Дуже часто таблиця доповнюється графою, в якій підраховуються накопичені частоти S, які показують, скільки одиниць сукупності має значення ознаки не більше, ніж дане значення.

Дискретний варіаційний ряд розподілу - це ряд, в якому групи складені за ознакою, що змінюється дискретно і приймає лише цілі значення.

Інтервальний варіаційний ряд розподілу – це ряд, у якому групувальна ознака, що становить основу угруповання, може набувати певному інтервалі будь-які значення, зокрема і дробові.

Інтервальним варіаційним рядом називається впорядкована сукупність інтервалів варіювання значень випадкової величини з відповідними частотами або частотами влучень у кожен із них значень величини.

Інтервальний ряд розподілу доцільно будувати, передусім, при безперервній варіації ознаки, і навіть, якщо дискретна варіація проявляється у межах, тобто. Число варіантів дискретного ознаки досить велике.

Щодо цього ряду вже можна зробити кілька висновків. Наприклад, середній елемент варіаційного ряду (медіана) може бути оцінкою найімовірнішого результату виміру. Перший та останній елемент варіаційного ряду (тобто мінімальний та максимальний елемент вибірки) показують розкид елементів вибірки. Іноді якщо перший або останній елемент сильно відрізняються від інших елементів вибірки, їх виключають з результатів вимірювань, вважаючи, що ці значення отримані в результаті якогось грубого збою, наприклад, техніки.