Рівняння прямої у чотирьох видах. Загальне рівняння прямої

Канонічними рівняннями прямої в просторі називаються рівняння, що визначають пряму, що проходить через задану точку колінеарно напрямного вектору.

Нехай дана точка і напрямний вектор. Довільна точка лежить на прямій lтільки в тому випадку, якщо вектори та колінеарні, тобто для них виконується умова:

.

Наведені вище рівняння є канонічні рівняння прямої.

Числа m , nі pє проекціями напрямного вектора координатні осі. Оскільки вектор ненульовий, то всі числа m , nі pне можуть одночасно дорівнювати нулю. Але один або два з них можуть виявитися рівними нулю. В аналітичній геометрії допускається, наприклад, такий запис:

,

яка означає, що векторні проекції на осі Ойі Ozрівні нулю. Тому і вектор , і пряма, задана канонічними рівняннями, перпендикулярні до осей. Ойі Oz, Т. е. площині yOz .

приклад 1.Скласти рівняння прямої у просторі, перпендикулярній площині і проходить через точку перетину цієї площини з віссю Oz .

Рішення. Знайдемо точку перетину цієї площини з віссю Oz. Так як будь-яка точка, що лежить на осі Ozмає координати , то, вважаючи в заданому рівнянні площини x = y = 0 , отримаємо 4 z- 8 = 0 або z= 2. Отже, точка перетину даної площини з віссю Ozмає координати (0; 0; 2). Оскільки пряма перпендикулярна площині, вона паралельна вектору її нормалі . Тому напрямним вектором прямий може бути вектор нормалі заданої поверхні.

Тепер запишемо шукані рівняння прямої, що проходить через точку A= (0; 0; 2) у напрямку вектора:

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Пряма може бути задана двома точками, що на ній лежать і У цьому випадку напрямним вектором прямий може бути вектор . Тоді канонічні рівняння прямий набудуть вигляду

.

Наведені вище рівняння визначають пряму, що проходить через дві задані точки.

приклад 2.Скласти рівняння прямої у просторі, що проходить через точки і .

Рішення. Запишемо шукані рівняння прямої у вигляді, наведеному вище в теоретичній довідці:

.

Оскільки , то пряма перпендикулярна осі Ой .

Пряма як лінія перетину площин

Пряма у просторі може бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин і, тобто як безліч точок, що задовольняють системі двох лінійних рівнянь

Рівняння системи називаються також загальними рівняннями прямої у просторі.

приклад 3.Скласти канонічні рівняння прямої у просторі, заданій загальними рівняннями

Рішення. Щоб написати канонічні рівняння прямої або, що те саме, рівняння прямої, що проходить через дві дані точки, потрібно знайти координати будь-яких двох точок прямої. Ними можуть бути точки перетину прямої з якими-небудь двома координатними площинами, наприклад yOzі xOz .

Точка перетину пряма з площиною yOzмає абсцису x= 0. Тому, вважаючи в цій системі рівнянь x= 0 отримаємо систему з двома змінними:

Її рішення y = 2 , z= 6 разом з x= 0 визначає точку A(0; 2; 6) шуканої прямої. Вважаючи потім у заданій системі рівнянь y= 0 отримаємо систему

Її рішення x = -2 , z= 0 разом з y= 0 визначає точку B(-2; 0; 0) перетину прямої з площиною xOz .

Тепер запишемо рівняння прямої, що проходить через крапки A(0; 2; 6) та B (-2; 0; 0) :

,

або після поділу знаменників на -2:

,

Пряма, що проходить через точку K(x 0 ; y 0) і паралельна прямий y = kx + a знаходиться за формулою:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Де k – кутовий коефіцієнт прямий.

Альтернативна формула:
Пряма, що проходить через точку M 1 (x 1 ; y 1) і паралельна прямий Ax+By+C=0 представляється рівнянням

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку K( ;) паралельно прямий y = x + .

Приклад №1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (-2,1) і при цьому:
а) паралельно прямий 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно до прямої 2x+3y -7 = 0.
Рішення . Представимо рівняння з кутовим коефіцієнтом як y = kx + a . Для цього перенесемо всі значення крім y до правої частини: 3y = -2x + 7 . Потім розділимо праву частину коефіцієнт 3 . Отримаємо: y = -2/3x + 7/3
Знайдемо рівняння NK, що проходить через точку K(-2;1), паралельно прямий y = -2/3 x + 7/3
Підставляючи x 0 = -2, k = -2 / 3 , y 0 = 1 отримаємо:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
або
y = -2/3 x - 1/3 або 3y + 2x +1 = 0

Приклад №2. Написати рівняння прямої, паралельної прямої 2x + 5y = 0 і твірної разом з осями координат трикутник, площа якого дорівнює 5.
Рішення . Так як прямі паралельні, то рівняння прямої прямої 2x + 5y + C = 0. Площа прямокутного трикутника , де a і b його катети. Знайдемо точки перетину шуканої прямої з осями координат:
;
.
Отже, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Підставимо у формулу для площі: . Отримуємо два рішення: 2x + 5y + 10 = 0 та 2x + 5y – 10 = 0 .

Приклад №3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (-2; 5) і паралельна пряма 5x-7y-4=0 .
Рішення. Цю пряму можна уявити рівнянням y = 5 / 7 x - 4 / 7 (тут a = 5 / 7). Рівняння шуканої прямої є y – 5 = 5/7 (x – (-2)), тобто. 7(y-5)=5(x+2) або 5x-7y+45=0.

Приклад №4. Розв'язавши приклад 3 (A=5, B=-7) за формулою (2), знайдемо 5(x+2)-7(y-5)=0.

Приклад №5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 5) і паралельної прямої 7x+10=0.
Рішення. Тут A = 7, B = 0. Формула (2) дає 7(x+2)=0, тобто. x+2=0. Формула (1) не застосовується, оскільки дане рівняння не можна розв'язати щодо y (дана пряма паралельна осі ординат).

Нехай пряма проходить через точки М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Рівняння прямої, що проходить через точку М 1 має вигляд у- у 1 = k (х – х 1), (10.6)

де k - Поки невідомий коефіцієнт.

Оскільки пряма проходить через точку М 2 (х 2 у 2), то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння (10.6): у 2 -у 1 = k (Х 2 -х 1).

Звідси знаходимо Підставляючи знайдене значення k рівняння (10.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки М 1 і М 2:

Передбачається, що в цьому рівнянні х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Якщо х 1 = х 2 то пряма, що проходить через точки М 1 (х 1, у I) і М 2 (х 2, у 2) паралельна осі ординат. Її рівняння має вигляд х = х 1 .

Якщо у 2 = у I, то рівняння прямої може бути записано у вигляді у = у 1, пряма М 1 М 2 паралельна осі абсцис.

Рівняння прямої у відрізках

Нехай пряма перетинає вісь Ох у точці М 1 (а; 0), а вісь Оу – у точці М 2 (0; b). Рівняння набуде вигляду:
тобто.
. Це рівняння називається рівнянням прямої у відрізках, т.к. числа а та b вказують, які відрізки відсікає пряма на осях координат.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору

Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через задану точку Мо (х О; у о) перпендикулярно даному ненульовому вектору n = (А; В).

Візьмемо на прямий довільну точку М (х; у) і розглянемо вектор М 0 М (х - х 0; у - у о) (див. рис.1). Оскільки вектори n і М про М перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю: тобто

А (х - хо) + В (у - уо) = 0. (10.8)

Рівняння (10.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярний до прямої, називається нормальним нормальним вектором цієї прямої .

Рівняння (10.8) можна переписати як Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

де А і координати нормального вектора, С = -Ах про - Ву про - вільний член. Рівняння (10.9) є загальне рівняння прямої(Див. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонічні рівняння прямої

,

Де
- координати точки, якою проходить пряма, а
- Спрямовуючий вектор.

Криві другого порядку Окружність

Окружністю називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.

Канонічне рівняння кола радіусу R з центром у точці
:

Зокрема, якщо центр колу збігається з початком координат, то рівняння матиме вигляд:

Еліпс

Еліпсом називається безліч точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок і , які називаються фокусами, є постійна величина
більша, ніж відстань між фокусами
.

Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат посередині між фокусами має вигляд
г де a довжина великої півосі; b - Довжина малої півосі (рис. 2).

Лінії рівняння на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.

Визначення. Рівнянням лініїназивається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через незалежний параметр t.

Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В  0, С  0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А  0, С  0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А  0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлено у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1.

Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1  х 2 і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб
=k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити
, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожен ненульовий вектор ( 1 ,  2), компоненти якого задовольняють умові А 1 + В 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1A + (-1)B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0.

за х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то розділивши на –С, отримаємо:
або

, де

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямий з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

З = 1,
, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число
, Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcos + ysin - p = 0 –

нормальне рівняння прямої.

Знак  нормуючого множника треба вибирати так, щоб С< 0.

р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а  - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад.Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

приклад.Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рівняння прямої має вигляд:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не підходить за умовою завдання.

Разом:
або х + у - 4 = 0.

приклад.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рівняння прямої має вигляд:
де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 та А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 =  А, В 1 =  В. Якщо ще й 1 =  З, то прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 , у 0 ), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.

Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

.

Теорему доведено.

приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k = . Тоді y =
. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню:
звідки b = 17. Разом:
.

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналітична геометрія у просторі.

Рівняння лінії у просторі.

Рівняння прямої в просторі по точці та

напрямний вектор.

Візьмемо довільну пряму та вектор (m, n, p), паралельний даній прямий. Вектор називається напрямним векторомпрямий.

На прямій візьмемо дві довільні точки М 0 (x0, y0, z0) і M(x, y, z).

z

M 1

Позначимо радіус- вектори цих точок як і , очевидно, що - =
.

Т.к. вектори
і колінеарні, то вірне співвідношення
= t де t – деякий параметр.

Отже, можна записати: = + t.

Т.к. цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути подане в координатній формі:

Перетворивши цю систему і прирівнявши значення параметра t, отримуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

.

Визначення. Напрямними косинусамипрямий називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

;

.

Звідси отримаємо: m: n: p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтамипрямий. Т.к. - ненульовий вектор, тоm, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. І тут у рівнянні прямої слід прирівняти нулю відповідні чисельники.

Рівняння прямої у просторі, що проходить

через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координати цих точок повинні задовольняти отримане вище рівняння прямої:

.

Крім того, для точки М1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки у просторі.

Загальні рівняння прямої у просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0, де

- Нормаль площини; - радіус- вектор довільної точки площини.

Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки прямокутної системі координат, розташованої на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і вирішимо кілька прикладів щодо пройденого матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.

Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма буде відповідати рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.

У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).

Необхідно скласти канонічне рівняння прямої a, яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1, y 1) і M 2 (x 2, y 2).

Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2, y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.

Приклад 1

Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .

Рішення

Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.

Приклад 2

Скласти загальне рівняння прямої, яка проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) і M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.

Рішення

Для початку необхідно записати канонічний рівняння заданої прямої, яка проходить через задані дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.

Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівнянням виду x - x 1 = 0 .

Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.

Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через задані дві точки, набуває наступного вигляду y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.

Приклад 3

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .

Рішення

Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати такого значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) і M 2 (2 , 1) .

Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.

При підстановці отримуємо, що

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, що проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 23x - 13.

Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількості часу. Існує спосіб, у якому завдання вирішується буквально на дві дії.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Відповідь: y = 2 3 x - 1 3 .

Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими незбігаючими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.

Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .

Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.

Приклад 4

Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Рішення

Потрібно знайти канонічне рівняння. Оскільки йдеться про тривимірний простір, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

За умовою маємо, що x1 = 2, y1 = -3, z1 = 0, x2 = 1, y2 = -3, z2 = -5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter