Основні формули планіметрії. Як знайти площу геометричних фігур

Площі геометричних фігур - чисельні значення, що характеризують їх розмір у двовимірному просторі. Ця величина може вимірюватися в системних та позасистемних одиницях. Так, наприклад, позасистемна одиниця площі – сотка, гектар. Це в тому випадку, якщо поверхнею, що вимірювається, є ділянка землі. Системна ж одиниця площі – квадрат довжини. У системі СІ прийнято вважати, що одиниця площі плоскої поверхні це квадратний метр. У СГС одиниця площі виражається через квадратний сантиметр.

Геометрія та формули площ нерозривно пов'язані. Цей зв'язок полягає в тому, що обчислення площ плоских фігур ґрунтується саме на їхньому застосуванні. Для багатьох фігур виведено кілька варіантів, якими обчислюються їх квадратні розміри. Маючи дані з умови завдання, ми можемо визначити максимально простий спосіб вирішення. Тим самим полегшити розрахунок та звести ймовірність помилки обчислення до мінімуму. Для цього розглянемо основні площі фігур у геометрії.

Формули для знаходження площі будь-якого трикутника представлені кількома варіантами:

1) Площа трикутника розраховується на підставі a та висоті h. Підставою вважають бік фігури, яку опущена висота. Тоді площа трикутника:

2) Площа прямокутного трикутника розраховується так само, якщо гіпотенузу вважати основою. Якщо ж за основу прийняти катет, то площа прямокутного трикутника дорівнюватиме зменшеному вдвічі добутку катетів.

На цьому формули для обчислення площі будь-якого трикутника не закінчуються. Інший вираз містить сторони a,b та синусоїдальну функцію кута γ, укладеного між a та b. Значення синуса знаходиться за таблицями. Також його можна дізнатись за допомогою калькулятора. Тоді площа трикутника:

По даній рівності теж можна переконатися, що площа прямокутного трикутника визначається через довжини катетів. Т.к. кут - прямий, тому площа прямокутного трикутника розраховується без множення на функцію синуса.

3) Розглянемо окремий випадок – правильний трикутник, у якого сторона a відома за умовою або її довжина знайдеться при вирішенні. Про фігуру в задачі геометрії більше нічого не відомо. Тоді площу як знайти за цієї умови? У цьому випадку застосовується формула для площі правильного трикутника:

Прямокутник

Як знайти площу прямокутника і використовувати при цьому розміри сторін, що мають спільну вершину? Вираз для обчислення такий:

Якщо для обчислення площі прямокутника потрібно використовувати довжини діагоналей, тоді знадобиться функція синуса кута, утвореного при їх перетині. Така формула площі прямокутника має вигляд:

Квадрат

Площа квадрата визначають як другий ступінь довжини сторони:

Доказ випливає із визначення, згідно з яким квадратом називають прямокутник. У всіх сторін, що утворюють квадрат, однакові розміри. Тому обчислення площі такого прямокутника зводиться до перемноження однієї на іншу, тобто до другого ступеня сторони. І формула для обчислення площі квадрата набуде шуканого вигляду.

Площа квадрата можна знайти іншим способом, наприклад, якщо використовувати діагональ:

Як обчислити площу фігури, яка утворена частиною площини, обмеженою колом? Для розрахунку площі формули такі:

Паралелограм

Для паралелограма формула містить лінійні розміри сторони, висоти та математичну дію – множення. Якщо ж висота невідома, то як знайти площу паралелограма? Є ще один спосіб обчислення. Потрібне певне значення, яке набуде тригонометрична функція кута, утвореного суміжними сторонами, а також їх довжини.

Формули площі паралелограма такі:

Ромб

Як знайти площу чотирикутника, званого ромбом? Площа ромба визначається за допомогою простих математичних дій із діагоналями. Доказ спирається те що, що відрізки діагоналей в d1 і d2 перетинаються під прямим кутом. По таблиці синусів видно, що з прямого кута дана функція дорівнює одиниці. Тому площа ромба розраховується так:

Ще площа ромба можна знайти іншим способом. Довести це також неважко, якщо врахувати, що сторони його однакові за довжиною. Потім підставити їхній твір у схожий вираз для паралелограма. Адже окремим випадком саме цієї фігури є ромб. Тут γ – внутрішній кут ромба. Площу ромба визначають так:

Трапеція

Як знайти площу трапеції через основи (a та b), якщо в задачі вказано їх довжини? Тут без відомого значення довжини висоти h обчислити площу такої трапеції не вдасться. Т.к. цю величину містить вираз для обчислення:

Квадратний розмір прямокутної трапеції також можна обчислити таким самим способом. При цьому враховують, що у прямокутній трапеції поняття висоти та збоку об'єднані. Тому для прямокутної трапеції потрібно вказувати замість висоти довжину бокової сторони.

Циліндр та паралелепіпед

Розглянемо, що потрібно, щоб розрахувати поверхню всього циліндра. Площа цієї фігури складає пара кіл, званих основами, та бічна поверхня. Кола, що утворюють кола, мають довжини радіусів, рівні r. Для площі циліндра має місце таке обчислення:

Як знайти площу паралелепіпеда, що складається з трьох пар граней? Його виміри збігаються з конкретною парою. Грані протилежно мають однакові параметри. Спочатку знаходять S(1), S(2), S(3) - квадратні розміри нерівних граней. Потім вже площа поверхні паралелепіпеда:

Кільце

Два кола із загальним центром утворюють кільце. Вони ж обмежують площу кільця. При цьому обидві розрахункові формули враховують розміри кожного кола. Перша з них, що обчислює площу кільця, містить більший R і r менший радіуси. Найчастіше їх називають зовнішнім та внутрішнім. У другому виразі площа кільця розраховується через більший D і менший діаметри d. Таким чином, площа кільця за відомими радіусами розраховують так:

Площа кільця, з використанням довжин діаметрів, визначають так:

Багатокутник

Як знайти площу багатокутника, форма якого не є правильною? Загальної формули для площі таких постатей немає. Але якщо вона зображена на координатній площині, наприклад, це може бути картатий папір, тоді як знайти площу поверхні в цьому випадку? Тут застосовують спосіб, який вимагає приблизно виміряти фігуру. Поступають так: якщо знайшли точки, які потрапляють у куточок клітини або мають цілі координати, то враховують лише їх. Щоб з'ясувати, чому дорівнює площа, використовують формулу, доведену Піком. Необхідно скласти кількість точок, розташованих усередині ламаної лінії з половиною точок, що лежать на ній, і відняти одиницю, тобто обчислюється це таким чином:

де В,Г - кількість точок, розташованих усередині і по всій ламаною лінії відповідно.

Усі формули площі плоских фігур

Площа рівнобедреної трапеції

1. Формула площі рівнобедреної трапеції через сторони та кут

а - нижня основа

b - верхня основа

с - рівні бічні сторони

α - кут при нижній підставі

Формула площі рівнобедреної трапеції через сторони (S):

Формула площі рівнобедреної трапеції через сторони та кут, (S):

2. Формула площі рівнобедреної трапеції через радіус вписаного кола

R-радіус вписаного кола

D-діаметр вписаного кола

O-центр вписаного кола

H-висота трапеції

α, β - кути трапеції

Формула площі рівнобедреної трапеції через радіус вписаного кола, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписаного кола в рівнобедрену трапецію:

3. Формула площі рівнобедреної трапеції через діагоналі та кут між ними

d-діагональ трапеції

α,β- кути між діагоналями

Формула площі рівнобедреної трапеції через діагоналі та кут між ними, (S):

4. Формула площі рівнобедреної трапеції через середню лінію, бічну сторону та кут при підставі

c-бічна сторона

m-середня лінія трапеції

α, β - кути при основі

Формула площі рівнобедреної трапеції через середню лінію, бічну сторону та кут при підставі,

(S):

5. Формула площі рівнобедреної трапеції через основи та висоту

a - нижня основа

b - верхня основа

h - висота трапеції

Формула площі рівнобедреної трапеції через основи та висоту, (S):

Площа трикутника з обох боків і двох кутів, формула.

a, b, c-сторони трикутника

α, β, γ- протилежні кути

Площа трикутника через бік та два кути (S):

Формула площі правильного багатокутника

a - сторона багатокутника

n - кількість сторін

Площа правильного багатокутника, (S):

Формула (Герона) площі трикутника через півпериметр (S):

Площа рівностороннього трикутника дорівнює:

Формули розрахунку площі рівностороннього трикутника.

a - сторона трикутника

h – висота

Як обчислити площу рівнобедреного трикутника?

b - основа трикутника

a - рівні сторони

h – висота

3. Формула площі трапеції через чотири сторони

a - нижня основа

b - верхня основа

c, d - бічні сторони

Радіус описаного кола трапеції з боків та діагоналі

a - бічні сторони трапеції

c - нижня основа

b - верхня основа

d - діагональ

h - висота

Формула радіусу описаного кола трапеції, (R)

знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника по сторонах

Знаючи сторони рівнобедреного трикутника, можна за формулою знайти, радіус описаного кола біля цього трикутника.

a, b - сторони трикутника

Радіус описаного кола рівнобедреного трикутника (R):

Радіус вписаного кола в шестикутник

a - сторона шестикутника

Радіус вписаного кола в шестикутник (r):

Радіус вписаного кола в ромб

r - радіус вписаного кола

a - сторона ромба

D, d – діагоналі

h - висота ромба

Радіус вписаного кола в рівнобічну трапецію

с - нижня основа

b - верхня основа

a - бічні сторони

h - висота

Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник

a, b - катети трикутника

с - гіпотенуза

Радіус вписаного кола в рівнобедрений трикутник

a, b - сторони трикутника

Довести, що площа вписаного чотирикутника дорівнює

\/(р-а)(р-b) (р-с) (р-d),

де р – напівпериметр і а, b, с та d – сторони чотирикутника.

Довести, що площа вписаного в коло чотирикутника дорівнює

1/2 (ab + cb) · sin α де а, b, с і d - сторони чотирикутника і α - кут між сторонами а і b.

S = √[ a c d] sin ½ (α + β). - Читайте на FB.ru:

Площа довільного чотирикутника (рис. 1.13) можна виразити через його сторони а, b, c та суму пари протилежних кутів:

де р - Півпериметр чотирикутника.

Площа вписаного в коло чотирикутника () (рис. 1.14, а) обчислюється за формулою Брахмагупт

а описаного (рис. 1.14, б) () – за формулою

Якщо ж чотирикутник вписаний і описаний одночасно (рис. 1.14, в), то формула стає простою:

Формула Піка

Щоб оцінити площу багатокутника на папері, достатньо підрахувати, скільки клітин покриває цей багатокутник (площу клітини ми приймаємо за одиницю). Точніше, якщо S – площа багатокутника, - число клітин, які повністю лежать усередині багатокутника, і - число клітин, які мають із начинкою багатокутника хоч одну загальну точку.

Розглянемо нижче такі багатокутники, всі вершини яких лежать у вузлах картатого паперу – в таких, де перетинаються лінії сітки. Виявляється, що для таких багатокутників можна вказати таку формулу:

де - площа, r - число вузлів, що лежать строго всередині багатокутника.

Цю формулу називають "формула Піка" - на ім'я математика, що відкрив її в 1899 році.

Що таке майдан?

Площа - характеристика замкнутої геометричної фігури (коло, квадрат, трикутник і т.д.), що показує її розмір. Площа вимірюється у квадратних сантиметрах, метрах тощо. Позначається буквою S(Square).

Як знайти площу трикутника?

S = a · h

де a- Довжина підстави, h- Висота трикутника, проведена до основи.

Причому підстава не обов'язково має знаходитися знизу. То теж зійде.

Якщо трикутник тупокутний, то висота опускається на продовження основи:

Якщо трикутник прямокутний, то основою і висотою є його катети:

2. Інша формула, яка є не менш корисною, але яку чомусь завжди забувають:

S = a · b · sinα

де aі b– дві сторони трикутника, sinα– синус кута між цими сторонами.

Головна умова – кут береться між двома відомими сторонами.

3. Формула площі з трьох сторін (формула Герона):

S =

де a, bі з- Сторони трикутника, а р -напівпериметр. p = (a + b + c)/2.

4. Формула площі трикутника через радіус описаного кола:

S =

де a, bі з- Сторони трикутника, а R –радіус описаного кола.

5. Формула площі трикутника через радіус вписаного кола:

S = p · r

де р -напівпериметр трикутника, а r –радіус вписаного кола.

Як знайти площу прямокутника?

1. Площа прямокутника знаходиться досить просто:

S =a · b

Ніяких каверз.

Як знайти площу квадрата?

1. Оскільки квадрат є прямокутником, у якого всі сторони рівні, то до нього застосовується така сама формула:

S =a · a = a 2

2. Також площу квадрата можна знайти через його діагональ:

S = d 2

Як знайти площу паралелограма?

1. Площа паралелограма знаходиться за формулою:

S =a · h

Це пов'язано з тим, що якщо від нього відрізати прямокутний трикутник праворуч і приставити його зліва, вийде прямокутник:

2. Також площу паралелограма можна знайти через кут між двома сторонами:

S =a · b · sinα

Як знайти площу ромба?

Ромб за своєю суттю є паралелограм, у якого всі сторони рівні. Тому йому застосовуються самі формули площі.

1. Площа ромба через висоту:

S =a · h

Щоб розв'язати задачі з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.

Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх у зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть та застосовуйте!

Звичайно, не всі формули геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення задач з геометрії та стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.

А що робити, якщо треба знайти не площу трапеції чи трикутника, а площу якоїсь складної фігури? Є універсальні методи! Покажемо їх на прикладах із банку завдань ФІПД.

1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом - розіб'ємо цю фігуру на такі, про які ми знаємо, і знайдемо її площу - як суму площ цих постатей.

Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутники із загальною основою, що дорівнює . Висоти цих трикутників дорівнюють і . Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників: .

Відповідь: .

2. У деяких випадках площу фігури можна представити як різницю будь-яких площ.

Не так просто порахувати, чому рівні основа і висота в цьому трикутнику! Проте ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною і трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо: .

Відповідь: .

3. Іноді у завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай йдеться тут про площу сектора-частини кола. Знайдіть площу сектора кола радіусу, довжина дуги якого дорівнює.

На цьому малюнку ми бачимо частину кола. Площа всього кола дорівнює, оскільки. Залишається дізнатися, яку частину кола зображено. Оскільки довжина всього кола дорівнює (оскільки ), а довжина дуги даного сектора дорівнює , отже, довжина дуги в раз менша, ніж довжина всього кола. Кут, на який спирається ця дуга, також у раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.