Математичні моделі систем масового обслуговування на вирішення економічних завдань. · Перед початком роботи слід переконатися у відсутності видимих ​​пошкоджень апаратури та проводів

Малюнок 0 - 2 Потоки подій (а) та найпростіший потік (б)

10.5.2.1. Стаціонарність

Потік називається стаціонарним , якщо ймовірність попадання тієї чи іншої кількості подій на елементарну ділянку часу довжиною τ (

Малюнок 0-2 , а)залежить тільки від довжини ділянки та не залежить від того, де саме на осі t розташована ця ділянка.

Стаціонарність потоку означає його однорідність за часом; ймовірнісні характеристики такого потоку не змінюються в залежності від часу. Зокрема так звана інтенсивність (або «щільність») потоку подій середня кількість подій в одиницю часу для стаціонарного потоку повинна залишатися постійною. Це, зрозуміло, значить, що фактичне число подій, які у одиницю часу, постійно, потік може мати місцеві згущення і розрідження. Важливо, що з стаціонарного потоку ці згущення і розрідження не носять закономірного характеру, а середнє число подій, які потрапляють на одиничний ділянку часу, залишається незмінним для аналізованого періоду.

На практиці часто зустрічаються потоки подій, які (принаймні на обмеженій ділянці часу) можуть розглядатися як стаціонарні. Наприклад, потік викликів, що надходять на телефонну станцію, скажімо, на інтервалі від 12 до 13 години може вважатися стаціонарним. Той самий потік протягом цілої доби вже не буде стаціонарним (вночі інтенсивність потоку викликів набагато менша, ніж удень). Зауважимо, що так само і з більшістю фізичних процесів, які ми називаємо «стаціонарними» насправді вони стаціонарні тільки на обмеженій ділянці часу, а поширення цієї ділянки до нескінченності лише зручний прийом, що застосовується з метою спрощення.

10.5.2.2. Відсутність післядії

Потік подій називається потоком без післядії , якщо для будь-яких ділянок часу, що не перетинаються, кількість подій, що потрапляють на одну з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на іншу (або інші, якщо розглядається більше двох ділянок).

У таких потоках події, що утворюють потік, з'являються у послідовні моменти часу незалежно один від одного. Наприклад, потік пасажирів, що входять на станцію метро, ​​можна вважати потоком без післядії, тому що причини, що зумовили надходження окремого пасажира саме в даний момент, а не в інший, як правило, не пов'язані з аналогічними причинами для інших пасажирів. Якщо така залежність утворюється, умова відсутності післядії виявляється порушеною.

Розглянемо, наприклад, потік вантажних поїздів, що йдуть залізничною гілкою. Якщо за умовами безпеки вони не можуть слідувати один за одним частіше, ніж через інтервал часу t 0 , то між подіями в потоці є залежність і умова відсутності післядії порушується. Однак, якщо інтервал t 0 малий у порівнянні із середнім інтервалом між поїздами, то таке порушення несуттєве.

Малюнок 0 - 3 Розподіл Пуассона

Розглянемо осі t найпростіший потік подій з інтенсивністю? (Малюнок 0-2 б) . Нас цікавитиме випадковий інтервал часу Т між сусідніми подіями у цьому потоці; знайдемо його закон розподілу. Спочатку знайдемо функцію розподілу:

F(t) = P(T ( 0-2)

тобто ймовірність того, що величина Т матиме значення менше, ніжt. Відкладемо від початку інтервалу Т (точки t 0) відрізок t і знайдемо ймовірність того, що інтервал Т буде менше t . Для цього потрібно, щоб на ділянку довжини t, що примикає до точки t 0 , потрапила хоча б одна подія потоку. Обчислимо ймовірність цього F (t) через ймовірність протилежної події (на ділянку t не потрапить жодної події потоку):

F(t) = 1 - Р 0

Ймовірність Р 0знайдемо за формулою (1), вважаючиm = 0:

звідки функція розподілу величини Т буде:

(0-3)

Щоб знайти щільність розподілу f (t) випадкової величини Т,необхідно продиференціювати вираз (0-1) заt:

0-4)

Закон розподілу із щільністю (0‑4) називається показовим (або експоненційним ). Розмір λ називається параметром показового закону.

Малюнок 0 - 4 Експонентний розподіл

Знайдемо числові характеристики випадкової величини Т- математичне очікування (середнє значення) M [t] = mt , та дисперсію D t . Маємо

( 0-5)

(інтегруючи частинами).

Дисперсія величини Т становить:

(0-6)

Витягуючи квадратний корінь з дисперсії, знайдемо середнє квадратичне відхилення випадкової величини Т.

Отже, для показового розподілу математичне очікування та середнє квадратичне відхилення рівні один одному і обернені до параметра λ, де λ. інтенсивність потоку.

В.о., поява m подій у заданий проміжок часу відповідає пуассонівському розподілу, а ймовірність того, що часові інтервали між подіями будуть меншими за деякий наперед заданий номер, відповідає експоненційному розподілу. Все це лише різні описи того самого стохастичного процесу.

Приклад СМО-1 .

Як приклад розглянемо банківську систему, що працює в реальному масштабі часу та обслуговує велику кількість клієнтів. У години пік запити від касирів банку, які працюють із клієнтами, утворюють пуасонівський потік і надходять у середньому по два в 1 с (λ = 2). Потік складається із заявок, що надходять з інтенсивністю 2 заявки на секунду.

Розрахуємо ймовірність Р ( m) появи m повідомлень в 1 с. Оскільки λ = 2, то з попередньої формули маємо

Підставляючи m = 0, 1, 2, 3, отримаємо такі величини (з точністю до чотирьохдесяткових знаків):

Малюнок 0 – 5 Приклад найпростішого потоку

Можливо надходження і більше 9 повідомлень в 1 с, але ймовірність цього дуже мала (близько 0,000046).

Отриманий розподіл може бути представлений у вигляді гістограми (показана на малюнку).

Приклад СМО-2.

Прилад (сервер), що обробляє три повідомлення 1с.

Нехай є обладнання, яке може обробляти три повідомлення на 1 с (µ=3). Надходить у середньому два повідомлення в 1с, причому відповідно c розподілом Пуассона. Яка частина цих повідомлень оброблятиметься відразу після надходження?

Імовірність того, що швидкість надходження буде меншою або дорівнює 3 с визначається виразом

Якщо система може обробляти максимум 3 повідомлення в 1 с, то ймовірність того, що вона не буде перевантажена, дорівнює

Іншими словами, 85,71% повідомлень обслуговуватимуться негайно, а 14,29% з деякою затримкою. Як бачимо, затримка в обробці одного повідомлення на час більше часу обробки 3 повідомлень буде зустрічатися рідко. Час обробки 1 повідомлення становить середньому 1/3 з. Отже, затримка більше 1с буде рідкісним явищем, що є цілком прийнятним для більшості систем.

Приклад СМО- 3

· Якщо касир банку зайнятий протягом 80% свого робочого дня, а решта часу він витрачає очікування клієнтів, його можна як пристрій з коефіцієнтом використання 0,8.

· Якщо канал зв'язку використовується для передачі 8-бітових символів зі швидкістю 2400 біт/с, тобто передається максимум 2400/8 символів в 1 с, і ми будуємо систему, в якій сумарний обсяг даних становить 12000 символів, що посилаються від різних пристроїв через канал зв'язку за хвилину найбільшого навантаження (включаючи синхронізацію, символи кінця повідомлень, керуючі тощо), то коефіцієнт використання обладнання каналу зв'язку протягом цієї хвилини дорівнює

· Якщо механізм доступу до файлу в годину найбільшого навантаження здійснює 9000 звернень до файлу, а час одного звернення дорівнює в середньому 300 мс, коефіцієнт використання обладнання механізму доступу в годину найбільшого навантаження становить

Поняття коефіцієнта використання устаткування використовуватиметься досить часто. Чим ближче коефіцієнт використання обладнання до 100%, тим більша затримка і довша черга.

Використовуючи попередню формулу, можна скласти таблиці значень функції Пуассона, якими можна визначити ймовірність надходженняm або більше повідомлень у цей час. Наприклад, якщо в середньому надходить 3,1 повідомлення на секунду [т. е. λ = 3,1], то ймовірність надходження 5 і більше повідомлень у цю секунду дорівнює 0,2018 (дляm = 5 у таблиці). Або в аналітичному вигляді

Використовуючи цей вираз, спеціаліст із системного аналізу може розрахувати ймовірність того, що система не забезпечить заданий критерій навантаження.

Часто початкові розрахунки можуть бути здійснені для значень завантаження обладнання

ρ ≤ 0,9

Ці значення можна одержати за допомогою таблиць Пуассона.

Нехай знову середня швидкість надходження повідомлень λ = 3,1 повідомлення/с. З таблиць випливає, що ймовірність надходження 6 або більше повідомлень в 1 дорівнює 0,0943. Отже, це число можна взяти як критерій навантаження щодо початкових розрахунків.

10.6.2. Завдання проектування

При випадковому характері надходження повідомлень у пристрій останнє витрачає частину часу обробку чи обслуговування кожного повідомлення, у результаті утворюються черги. Черга в банку очікує на звільнення касира та його комп'ютера (терміналу). Черга повідомлень у вхідному буфері ЕОМ очікує на обробку процесором. Черга вимог до масивів даних чекає на звільнення каналів і т. д. Черги можуть утворюватися у всіх вузьких місцях системи.

Чим більший коефіцієнт використання обладнання, тим довші черги, що виникають. Як показано нижче, можна спроектувати задовільно працюючу систему з коефіцієнтом використання ρ =0,7 але коефіцієнт, що перевищує ρ > 0,9, може призвести до погіршення якості обслуговування. Іншими словами, якщо канал пересилання масиву даних має завантаження 20%, навряд чи виникне черга. Якщо ж завантаження; складає 0,9, то, як правило, утворюватимуться черги, іноді дуже великі.

Коефіцієнт використання обладнання дорівнює відношенню навантаження на обладнання до максимального навантаження, яке може витримати це обладнання, або дорівнює відношенню часу зайнятості обладнання до загального часу його функціонування.

При проектуванні системи зазвичай проводиться оцінка коефіцієнта використання різних видів устаткування; відповідні приклади будуть наведені у наступних розділах. Знання цих коефіцієнтів дозволяє розрахувати черги до відповідного обладнання.

· Яка довжина черги?

· Скільки часу на неї витрачатиметься?

На питання такого типу можна відповісти за допомогою теорії черг.

10.6.3. Системи масового обслуговування, їх класи та основні характеристики

Для СМО потоки подій це потоки заявок, потоки «обслуговування» заявок і т. д. Якщо ці потоки не є пуассонівськими (марківський процес), математичний опис процесів, що відбуваються в СМО, стає незрівнянно складнішим і потребує більш громіздкого апарату, доведення якого до аналітичних формул вдається лише у найпростіших випадках.

Однак, апарат «марківської» теорії масового обслуговування може стати в нагоді і в тому випадку, коли процес, що протікає в СМО, відмінний від марковського з його допомогою характеристики ефективності СМО можуть бути оцінені приблизно. Слід зазначити, що що складніше СМО, що більше у ній каналів обслуговування, то точніше виявляються наближені формули, отримані з допомогою марківської теорії. Крім того, у ряді випадків для прийняття обґрунтованих рішень з управління роботою СМО зовсім не потрібно точного знання всіх її характеристик часто досить наближеного, орієнтовного.

СМО класифікуються на системи з:

· Відмовами (З втратами). У таких системах заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує «відмову», залишає СМО і надалі обслуговування не бере участі.

· Чеканням (З чергою). У таких системах заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, стає в чергу і чекає, доки не звільниться один із каналів. Коли канал звільняється, одна із заявок, що стоять у черзі, приймається до обслуговування.

Обслуговування (дисципліна черги) у системі з очікуванням може бути

· Упорядкованим (заявки обслуговуються у порядку надходження),

· невпорядкованим(заявки обслуговуються у випадковому порядку) або

· Стиковим (Першою з черги вибирається остання заявка).

· Пріоритетним

o зі статичним пріоритетом

o з динамічним пріоритетом

(в останньому випадку пріорі ет може, наприклад, збільшуватися з тривалістю очікування заявки).

Системи з чергою поділяються на системи

· з необмеженим очікуванням та

· з обмеженим очікуванням.

У системах з необмеженим очікуванням кожна заявка, яка надійшла в момент, коли немає вільних каналів, стає в чергу і «терпляче» чекає на звільнення каналу, який прийме її до обслуговування. Будь-яку заявку, що надійшла до СМО, рано чи пізно буде обслуговано.

У системах з обмеженим очікуванням перебування заявки у черзі накладаються ті чи інші обмеження. Ці обмеження можуть стосуватися

· довжини черги (числа заявок, що одночасно перебувають у черзі система з обмеженою довжиною черги),

· часу перебування заявки у черзі (після якогось терміну перебування у черзі заявка залишає чергу і йде система з обмеженим часом очікування),

· загального часу перебування заявки до СМО

і т.д.

Залежно від типу СМО в оцінці її ефективності можуть застосовуватися ті чи інші величини (показники ефективності). Наприклад, для СМО з відмовами однією з найважливіших характеристик її продуктивності є так звана абсолютна пропускна спроможністьсередня кількість заявок, яку може обслужити система за одиницю часу.

Поряд з абсолютною часто розглядається відносна пропускна спроможністьСМО середня частка заявок, що надійшли, обслуговується системою (ставлення середньої кількості заявок, що обслуговуються системою в одиницю часу, до середньої кількості заявок, що надходять за цей час).

Крім абсолютної та відносної пропускної здібностей при аналізі СМО з відмовами нас можуть, залежно від завдання дослідження, цікавити й інші характеристики, наприклад:

· середня кількість зайнятих каналів;

· середній відносний час простою системи в цілому та окремого каналу

і т.д.

СМО з очікуванням мають дещо інші характеристики. Очевидно, для СМО з необмеженим очікуванням як абсолютна, так і відносна пропускна здатність втрачають сенс, оскільки кожна заявка, що надійшла, раночи пізно буде обслужена. Для таких СМО важливими характеристиками є:

· середня кількість заявок у черзі;

· середня кількість заявок у системі (у черзі та під обслуговуванням);

· середній час очікування заявки у черзі;

· середній час перебування заявки у системі (у черзі та під обслуговуванням);

а також інші характеристики очікування.

Для СМО з обмеженим очікуванням інтерес представляють обидві групи показників: як абсолютна і відносна пропускну здатність, і показники очікування.

Для аналізу процесу, що протікає в СМО, суттєво знати основні параметри системи: кількість каналів п,інтенсивність потоку заявокλ , продуктивність кожного каналу (середня кількість заявок μ, що обслуговується каналом за одиницю часу), умови утворення черги (обмеження, якщо вони є).

Залежно від значень цих параметрів виражаються характеристики ефективності СМО.

10.6.4. Формули розрахунку характеристик СМО для випадку обслуговування з одним приладом

Малюнок 0 - 6 Модель системи масового обслуговування з чергою

Такі черги можуть створюватися повідомленнями на вході процесора, що очікують початку обробки. Вони можуть бути під час роботи абонентських пунктів, підключених до многопунктовому каналу зв'язку. Аналогічно утворюються черги з автомобілів на заправних станціях. Однак за наявності більше одного входу на обслуговування ми маємо чергу з багатьма приладами та аналіз ускладнюється.

Розглянемо випадок найпростішого потоку заявок обслуговування.

Призначення теорії черг полягає в наближеному визначенні середнього розміру черги, а також середнього часу, що витрачається повідомленнями на очікування в чергах. Бажано також оцінити, як часто черга перевищує певну довжину. Ці відомості дозволять нам обчислити, наприклад, необхідний обсяг буферної пам'яті для зберігання черг повідомлень та відповідних програм, необхідну кількість ліній зв'язку, необхідні розміри буферів для концентраторів і т.д. З'явиться можливість оцінювати час відповіді.

Кожна з характеристик змінюється залежно від засобів, що використовуються.

Розглянемо чергу з одним приладом обслуговування. При проектуванні обчислювальної системи більшість черг такого типу розраховується за наведеними формулами.коефіцієнт варіації часу обслуговування

Формула Хінчина-Полачека використовується для обчислення довжин черг під час проектування інформаційних систем. Вона застосовується у разі експоненційного розподілу часу надходження за будь-якого розподілу часу обслуговування і дисципліни управління, аби вибір чергового повідомлення обслуговування не залежав від часу обслуговування.

При проектуванні систем трапляються такі ситуації виникнення черг, коли дисципліна управління, безперечно, залежить від часу обслуговування. Наприклад, у деяких випадках ми можемо вибрати короткі повідомлення для першочергового обслуговування, щоб отримати менший середній час обслуговування. При керуванні лінією зв'язку можна присвоїти вхідним повідомленням більший пріоритет, ніж вихідним, бо перші коротші. У таких випадках вже необхідно використовувати не рівняння Хінчина

Більшість значень часу обслуговування в інформаційних системах лежить десь між цими двома випадками. Часи обслуговування, рівні постійній величині, трапляються рідко. Навіть час доступу до жорсткого диска непостійно через різне положення масивів з даними на поверхні. Одним із прикладів, що ілюструють випадок постійного часу обслуговування може бути заняття лінії зв'язку для передачі повідомлень фіксованої довжини.

З іншого боку, розкид часу обслуговування негаразд великий, як у разі довільного чи експоненційного його розподілу, тобто.,σ s рідко досягає значеньt s. Цей випадок іноді вважають "найгіршим і тому користуються формулами, що належать до експоненційного розподілу часів обслуговування. Такий розрахунок може дати дещо завищені розміри черг та часів очікування в них, але ця помилка, принаймні, не є небезпечною.

Експоненційний розподіл часів обслуговування, звичайно, не найгірший випадок, з яким доводиться мати справу насправді. Однак, якщо часи обслуговування, отримані при розрахунку черг, виявляються розподіленими гірше, ніж часи з експоненційним розподілом, це часто є застережливим сигналом для розробника. Якщо стандартне відхилення більше середнього значення, зазвичай виникає необхідність у корекції розрахунків.

Розглянемо наступний приклад. Є шість типів повідомлень з часом обслуговування 15, 20, 25, 30, 35 та 300. Кількість повідомлень кожного типу однакова. Стандартне відхилення зазначених часів дещо вище за їхнє середнє. Значення останнього часу обслуговування набагато більше від інших. Це призведе до того, що повідомлення будуть перебувати в черзі значно довше, ніж коли б часи обслуговування були одного порядку. У такому разі при проектуванні доцільно вжити заходів для зменшення довжини черги. Наприклад, якщо ці цифри пов'язані з довжинами повідомлень, то, можливо, дуже довгі повідомлення варто розділити на частини.

10.6.6. Приклад розрахунку

При проектуванні банківської системи бажано знати кількість клієнтів, яким доведеться чекати у черзі до одного касира за години пік.

Час відповіді системи та її стандартне відхилення розраховані з урахуванням часу введення даних з АРМу, друку та оформлення документа.

Дії касира були прохронометровані. Час обслуговування ts дорівнює загальному часу, що витрачається касиром на клієнта. Коефіцієнт використання касира ρ пропорційний часу його зайнятості. Якщо число клієнтів у години пік, то для касира дорівнює

Припустимо, що в години пік приходить 30 клієнтів на годину. У середньому касир витрачає 1,5 хвилини на клієнта. Тоді

ρ = (1,5 * 30) / 60 = 0,75

тобто касир використовується на 75%.

Число людей у ​​черзі можна швидко оцінити за допомогою графіків. З них випливає, що якщо ρ = 0,75, то середня кількість nq людейу черзі у каси лежить між 1,88 і 3,0 залежно від стандартного відхилення для t s .

Припустимо, що вимір стандартного відхилення для ts дало величину 0,5 хв. Тоді

σ s = 0,33 t s

З графіка першому малюнку знаходимо, що nq = 2,0, т. е. у середньому у каси чекатиму два клієнта.

Загальний час, протягом якого клієнт стоїть біля каси, може бути знайдено як

t ∑ = t q + t s = 2,5 хв + 1,5 хв = 4хв

де t s обчислюється за допомогою формули Хінчина-Полачека.

10.6.7. Чинник посилення

Аналізуючи криві, зображені на малюнках, бачимо, що, коли устаткування, обслуговуюче чергу, використовується більш ніж 80%, криві починають зростати з загрозливою швидкістю. Цей факт дуже важливий під час проектування систем передачі. Якщо ми проектуємо систему, в якій обладнання використовується більш ніж на 80%, то незначне збільшення трафіку може призвести до різкого спаду продуктивності системи або змусити її працювати в аварійному режимі.

Збільшення вхідного трафіку на невелику кількість х%. призводить до збільшення розмірів черги приблизно на

Якщо коефіцієнт використання устаткування дорівнює 50%, це збільшення дорівнює 4ts % для експоненційного закону розподілу часу обслуговування. Але якщо коефіцієнт використання обладнання дорівнює 90%, то збільшення розміру черги дорівнює 100ts%, що у 25 разів більше. Незначне збільшення навантаження при 90% використання обладнання призводить до 25-кратного збільшення розмірів черги в порівнянні з випадком 50% використання обладнання.

Аналогічно час перебування у черзі збільшується на

При експоненційно розподіленому часі обслуговування ця величина має значення 4 t s 2 для коефіцієнта використання обладнання, що дорівнює 50%, і 100 t s 2 для коефіцієнта 90%, тобто знову в 25 разів гірше.

Крім того, для малих коефіцієнтів використання обладнання вплив змін σs на розмір черги незначний. Однак для великих коефіцієнтів зміна σ s сильно позначається розмірі черги. Тому при проектуванні систем з високим коефіцієнтом використання обладнання бажано отримати точні відомості про параметрσ s. Неточність припущення щодо експоненційності розподілу tsнайбільш відчутна при великих значеннях? Більше того, якщо раптом час обслуговування зросте, що можливо в каналах зв'язку під час передачі довгих повідомлень, то у разі великого утворюється значна черга.

Розглянутий у попередній лекції марківський випадковий процес з дискретними станами та безперервним часом має місце у системах масового обслуговування (СМО).

Системи масового обслуговування – це такі системи, в які у випадкові моменти часу надходять заявки на обслуговування, при цьому заявки, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування.

Прикладами систем масового обслуговування можуть бути:

• розрахунково-касові вузли у банках, на підприємствах;
• персональні комп'ютери, які обслуговують заявки, що надходять, або вимоги на вирішення тих чи інших завдань;
• станції технічного обслуговування автомобілів; АЗС;
• аудиторські фірми;
• відділи податкових інспекцій, що займаються прийманням та перевіркою поточної звітності підприємств;
• телефонні станції тощо.

	Вузли	Вимоги
Лікарня	Санітари	Пацієнти
Виробництво
Аеропорт	Виходи на злітно-посадкові смуги Пункти реєстрації	Пасажири

Розглянемо схему роботи СМО (рис. 1). Система складається з генератора заявок, диспетчера та вузла обслуговування, вузла обліку відмов (термінатора, знищувача заявок). Вузол обслуговування у випадку може мати кілька каналів обслуговування.

Мал. 1

1. Генератор заявок - Об'єкт, що породжує заявки: вулиця, цех із встановленими агрегатами. На вхід надходить потік заявок(Потік покупців у магазин, потік агрегатів, що зламалися (машин, верстатів) на ремонт, потік відвідувачів у гардероб, потік машин на АЗС і т. д.).
2. Диспетчер – людина або пристрій, який знає, що робити із заявкою. Вузол, що регулює та направляє заявки до каналів обслуговування. Диспетчер:

• приймає заявки;
• формує чергу, якщо всі канали зайняті;
• спрямовує їх до каналів обслуговування, якщо є вільні;
• дає заявкам відмову (з різних причин);
• приймає інформацію від вузла обслуговування про вільні канали;
• стежить за часом роботи системи.

1. Черга - Накопичувач заявок. Черга може бути відсутня.
2. Вузол обслуговування складається із кінцевого числа каналів обслуговування. Кожен канал має 3 стани: вільний, зайнятий, не працює. Якщо всі канали зайняті, можна придумати стратегію, кому передавати заявку.
3. Відмова від обслуговування настає, якщо всі канали зайняті (деякі навіть можуть працювати).

Крім цих основних елементів СМО в деяких джерелах виділяються також такі складові:

термінатор – знищувач трансактів;

склад – накопичувач ресурсів та готової продукції;

рахунок бухгалтерського обліку – до виконання операцій типу «проводка»;

менеджер – розпорядник ресурсів;

Класифікація СМО

Перший поділ (за наявності черг):

• СМО із відмовими;
• СМО із чергою.

У СМО з відмовамизаявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО і надалі не обслуговується.

У СМО з чергоюзаявка, що прийшла в момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає на можливість бути обслуженою.

СМО із чергамиподіляються на різні види залежно від того, як організовано чергу, – обмежена або не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування, дисципліни обслуговування.

Отже, наприклад, розглядаються такі СМО:

• СМО з нетерплячими заявками (довжина черги та час обслуговування обмежений);
• СМО з обслуговуванням з пріоритетом, тобто деякі заявки обслуговуються позачергово і т.д.

Типи обмеження черги можуть бути комбінованими.

Інша класифікація поділяє СМО за джерелом заявок. Породжувати заявки (вимоги) може сама система або якесь зовнішнє середовище, що існує незалежно від системи.

Природно, потік заявок, породжений системою, залежатиме від системи та її стану.

Крім цього СМО діляться на відкритіСМО та замкнутіСМО.

У відкритій СМО характеристики потоку заявок не залежить від того, в якому стані сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутій СМО – залежать. Наприклад, якщо один робітник обслуговує групу верстатів, іноді потребують налагодження, то інтенсивність потоку «вимог» з боку верстатів залежить від того, скільки на них вже справно і чекає налагодження.

Приклад замкнутої системи: видача касиром зарплати для підприємства.

За кількістю каналів СМО поділяються на:

• одноканальні;
• багатоканальні.

Характеристики системи масового обслуговування

Основними характеристиками системи масового обслуговування будь-якого виду є:

• вхідний потік вимог чи заявок на обслуговування;
• дисципліна черги;
• Механізм обслуговування.

Вхідний потік вимог

Для опису вхідного потоку потрібно задати ймовірнісний закон, що визначає послідовність моментів надходження вимог на обслуговування,та вказати кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. У цьому, зазвичай, оперують поняттям «імовірнісний розподіл моментів надходження вимог». Тут можуть діяти як поодинокі, і групові вимоги (кількість таких вимог у кожному черговому вступі). У разі зазвичай йдеться про систему обслуговування з паралельно-груповим обслуговуванням.

А і– час надходження між вимогами – незалежні однаково розподілені випадкові величини;

E(A)- Середнє (МО) час надходження;

λ=1/E(A)- Інтенсивність надходження вимог;

Характеристики вхідного потоку:

1. Імовірнісний закон, визначальний послідовність моментів надходження вимог обслуговування.
2. Кількість вимог у кожному черговому надходженні для групових потоків.

Дисципліна черги

Черга - Сукупність вимог, що очікують обслуговування.

Черга має ім'я.

Дисципліна черги визначає принцип, відповідно до якого вимоги, що надходять на вхід обслуговуючої системи, підключаються з черги до процедури обслуговування. Найчастіше використовуються дисципліни черги, що визначаються такими правилами:

• першим прийшов – перший обслуговуєшся;

First in First out (FIFO)

найпоширеніший тип черги.

Яка структура даних підійде для опису такої черги? Масив поганий (обмежений). Можна використовувати структуру типу СПИСОК.

Список має початок та кінець. Список складається із записів. Запис – це осередок списку. Заявка надходить до кінця списку, а вибирається обслуговування з початку списку. Запис складається з характеристики заявки та посилання (покажчик, за ким стоїть). Крім цього, якщо черга з обмеженням на час очікування, то ще має бути вказано граничний час очікування.

Ви, як програмісти, повинні вміти робити списки двосторонні, односторонні.

Дії зі списком:

• вставити у хвіст;
• взяти із початку;
• видалити зі списку після закінчення часу очікування.
• прийшов останнім - обслуговуєшся першим LIFO (обойма для патронів, глухий кут на залізничній станції, зайшов у набитий вагон).

Структура відома як СТЕК. Може бути описаний структурою масив чи список;

• випадковий відбір заявок;
• відбір заявок за критерієм пріоритетності

Кожна заявка характеризується також рівнем пріоритету і під час вступу міститься над хвіст черги, а кінець своєї пріоритетної групи. Диспетчер здійснює сортування за пріоритетом.

Характеристики черги

• обмеженнячасу очікуваннямоменту настання обслуговування (має місце черга з обмеженим часом очікування обслуговування, що асоціюється з поняттям «допустима довжина черги»);
• довжина черги.

Механізм обслуговування

Механізм обслуговування визначається характеристиками самої процедури обслуговування та структурою обслуговуючої системи. До характеристик процедури обслуговування належать:

• кількість каналів обслуговування ( N);
• тривалість процедури обслуговування (імовірнісний розподіл часу обслуговування вимог);
• кількість вимог, що задовольняються внаслідок виконання кожної такої процедури (для групових заявок);
• можливість виходу з ладу обслуговуючого каналу;
• структура обслуговуючої системи

Для аналітичного опису характеристик процедури обслуговування оперують поняттям «імовірнісне розподілення часу обслуговування вимог».

S i- Час обслуговування i-го вимоги;

E(S)- Середній час обслуговування;

μ=1/E(S)- Швидкість обслуговування вимог.

Слід зазначити, що час обслуговування заявки залежить від характеру самої заявки чи вимог клієнта та стану і можливостей обслуговуючої системи. У ряді випадків доводиться також враховувати ймовірність виходу з ладу обслуговуючого каналупісля закінчення деякого обмеженого інтервалу часу. Цю характеристику можна моделювати як потік відмов, що надходить до СМО та має пріоритет перед усіма іншими заявками.

Коефіцієнт використання СМО

N·μ - швидкість обслуговування в системі, коли зайняті всі пристрої обслуговування.

ρ=λ/( Nμ) – називається коефіцієнтом використання СМО показує, наскільки задіяні ресурси системи.

Структура обслуговуючої системи

Структура обслуговуючої системи визначається кількістю та взаємним розташуванням каналів обслуговування (механізмів, приладів тощо). Насамперед слід підкреслити, що система обслуговування може мати не один канал обслуговування, а кілька; система такого роду здатна обслуговувати одночасно кілька вимог. У цьому випадку всі канали обслуговування пропонують ті самі послуги, і, отже, можна стверджувати, що має місце паралельне обслуговування .

приклад. Каси у магазині.

Система обслуговування може складатися з декількох різнотипних каналів обслуговування, через які має пройти кожна вимога, що обслуговується, тобто в обслуговуючій системі процедури обслуговування вимог реалізуються послідовно . Механізм обслуговування визначає характеристики вихідного (обслуговуваного) потоку вимог.

приклад. Медична коміссія.

Комбіноване обслуговування - Обслуговування вкладів в ощадкасі: спочатку контролер, потім касир. Як правило, 2 контролери на одного касира.

Отже, функціональні можливості будь-якої системи масового обслуговування визначаються такими основними факторами :

• імовірнісним розподілом моментів надходжень заявок на обслуговування (поодиноких чи групових);
• потужністю джерела вимог;
• імовірнісним розподілом часу тривалості обслуговування;
• конфігурацією обслуговуючої системи (паралельне, послідовне або паралельно-послідовне обслуговування);
• кількістю та продуктивністю обслуговуючих каналів;
• дисципліною черги.

Основні критерії ефективності функціонування СМО

В якості основних критеріїв ефективності функціонування систем масового обслуговування в залежності від характеру розв'язуваної задачі можуть виступати:

• ймовірність негайного обслуговування заявки, що надійшла (Р обсл = До обс / До пост);
• ймовірність відмови в обслуговуванні заявки, що надійшла (P отк = До отк / До пост);

Вочевидь, що Р обсл + P отк =1.

Потоки, затримки, сервіс. Формула Поллачека-Хінчина

Затримка – один із критеріїв обслуговування СМО, час проведений заявкою в очікуванні обслуговування.

D i– затримка у черзі вимоги i;

W i = D i + S i– час перебування у системі вимоги i.

(з ймовірністю 1) – середня затримка вимоги в черзі, що встановилася;

(з ймовірністю 1) - середній час знаходження вимоги в СМО (waiting).

Q(t) -кількість вимог у черзі на момент часу t;

L(t)– кількість вимог у системі в момент часу t(Q(t)плюс кількість вимог, що знаходяться на обслуговуванні на момент часу t.

Тоді показники (якщо існують)

(з ймовірністю 1) – середнє за часом кількість вимог у черзі;

(з ймовірністю 1) – середня кількість часу, що встановилася серед часу, в системі.

Зауважимо, що ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Qі Lу системі масового обслуговування.

Якщо згадати, що ρ= λ/( Nμ), то видно, що якщо інтенсивність надходження заявок більша, ніж Nμ, то ρ>1 і природно, що система не зможе впоратися з таким потоком заявок, а отже, не можна говорити про величини d, w, Qі L.

До найбільш загальних та необхідних результатів для систем масового обслуговування відносяться рівняння збереження

Слід звернути увагу на те, що згадані вище критерії оцінки роботи системи можуть бути аналітично обчислені для систем масового обслуговування M/M/N(N>1), т. е. систем з Марківськими потоками заявок та обслуговування. Для М/G/ l за будь-якого розподілу Gта для деяких інших систем. Взагалі, розподіл часу між надходженнями, розподіл часу обслуговування або обох цих величин має бути експоненціальним (або різновидом експоненційного розподілу Ерланга k-го порядку), щоб аналітичне рішення стало можливим.

Крім цього можна також говорити про такі характеристики, як:

• абсолютна пропускна здатність системи - А = Р обсл *λ;
• відносна пропускна здатність системи –

Ще один цікавий (і наочний) приклад аналітичного рішення – обчислення середньої затримки, що встановилася, в черзі для системи масового обслуговування M/G/ 1 за формулою:

.

У Росії ця формула відома як формула Поллачека – Хінчина, там ця формула пов'язується з ім'ям Росса (Ross).

Таким чином, якщо E(S)має більше значення, тоді перевантаження (у даному випадку вимірюється як d) буде більшою; чого й слід було чекати. За формулою можна знайти і менш очевидний факт: перевантаження також збільшується, коли мінливість розподілу часу обслуговування зростає, навіть якщо середній час обслуговування залишається незмінним. Інтуїтивно це можна пояснити так: дисперсія випадкової величини часу обслуговування може прийняти велике значення (оскільки вона має бути позитивною), тобто єдиний пристрій обслуговування буде зайнятий тривалий час, що призведе до збільшення черги.

Предметом теорії масового обслуговуванняє встановлення залежності між факторами, що визначають функціональні можливості системи масового обслуговування, та ефективністю її функціонування. У більшості випадків усі параметри, що описують системи масового обслуговування, є випадковими величинами або функціями, тому ці системи належать до стохастичних систем.

Випадковий характер потоку заявок (вимог), а також, у випадку, і тривалості обслуговування призводить до того, що у системі масового обслуговування відбувається випадковий процес. За характером випадкового процесу , що відбувається в системі масового обслуговування (СМО), розрізняють системи марківські та немарківські . У марківських системах вхідний потік вимог і потік обслуговуваних вимог (заявок) є пуассонівськими. Пуассонівські потоки дозволяють легко описати та побудувати математичну модель системи масового обслуговування. Ці моделі мають досить прості рішення, тому більшість відомих додатків теорії масового обслуговування використовують марківську схему. У разі немарківських процесів завдання дослідження систем масового обслуговування значно ускладнюються та вимагають застосування статистичного моделювання, чисельних методів з використанням ЕОМ.

Великий клас систем, які складно вивчити аналітичними способами, але добре вивчаються методами статистичного моделювання, зводиться до систем масового обслуговування (СМО).

У СМО мається на увазі, що є типові шляхи(канали обслуговування), якими у процесі обробки проходять заявки. Прийнято говорити, що заявки обслуговуютьсяканалами. Канали можуть бути різними за призначенням, характеристиками, можуть поєднуватися в різних комбінаціях; заявки можуть перебувати у чергах та чекати на обслуговування. Частина заявок може бути обслугована каналами, а частини можуть відмовити у цьому. Важливо, що заявки, з погляду системи, абстрактні: те, що хоче обслужитися, тобто пройти певний шлях у системі. Канали також є абстракцією: це те, що обслуговує заявки.

Заявки можуть надходити нерівномірно, канали можуть обслуговувати різні заявки за різний час і так далі, кількість заявок завжди дуже велика. Все це робить такі системи складними для вивчення та управління, і простежити всі причинно-наслідкові зв'язки в них неможливо. Тому прийнято уявлення про те, що обслуговування у складних системах має випадковий характер.

Прикладами СМО (див. табл. 30.1) можуть бути: автобусний маршрут і перевезення пасажирів; виробничий конвеєр з обробки деталей; ескадрилья літаків, що влітає на чужу територію і «обслуговується» зенітками ППО; ствол та ріжок автомата, які «обслуговують» патрони; електричні заряди, що переміщаються в деякому пристрої і т.д.

Таблиця 30.1. Приклади систем масового обслуговування

Заявки Канали Автобусний маршрут та перевезення пасажирів Пасажири Автобуси Виробничий конвеєр з обробки деталей Деталі, вузли Верстати, склади Ескадрилья літаків, що влітає на чужу територію і «обслуговується» зенітками ППО Літаки Зенітні знаряддя, радари, стрілки, снаряди Стовбур та ріжок автомата, які «обслуговують» патрони Стовбур, ріжок Електричні заряди, що переміщаються в деякому пристрої Каскади технічного пристрою

Але всі ці системи об'єднані в один клас СМО, оскільки підхід до вивчення єдиний. Він полягає в тому, що, по-перше, за допомогою генератора випадкових чисел розігруються випадкові числа, які імітують ВИПАДКОВІ моменти появи заявок та час їхнього обслуговування в каналах. Але разом ці випадкові числа, звісно, ​​підпорядковані статистичнимзакономірностей.

Наприклад, нехай сказано: "заявки в середньому приходять у кількості 5 штук на годину". Це означає, що часи між приходом двох сусідніх заявок є випадковими, наприклад: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, як показано на рис. 30.1, але в сумі вони дають у середньому 1 (зверніть увагу, що в прикладі це не точно 1, а 1.1 - зате в іншу годину ця сума, наприклад, може бути рівною 0.9); і тільки за досить великий чассереднє цих чисел стане близьким до однієї години.

Результат (наприклад, пропускна спроможність системи), звичайно, теж буде випадковою величиною окремих проміжках часу. Але виміряна великому проміжку часу, ця величина буде, у середньому, відповідати точному решению. Тобто для характеристики СМО цікавляться відповідями у статистичному значенні.

Отже, систему випробовують випадковими вхідними сигналами, підпорядкованими заданому статистичного закону, а як результат приймають статистичні показники, усереднені за часом розгляду або за кількістю дослідів. Раніше, в лекції 21(Див. Мал. 21.1), ми вже розробили схему для такого статистичного експерименту (див. рис. 30.2).

По-друге, всі моделі СМО збираються типово з невеликого набору елементів (канал, джерело заявок, черга, заявка, дисципліна обслуговування, стек, кільце і так далі), що дозволяє імітувати ці завдання типовимчином. Для цього модель системи збирають із конструктора таких елементів. Неважливо, яка саме система вивчається, важливо, що схема системи збирається з тих самих елементів. Зрозуміло, структура схеми завжди буде різною.

Перелічимо деякі основні поняття СМО.

Канали – те, що обслуговує; бувають гарячі (починають обслуговувати заявку в момент її надходження до каналу) та холодні (каналу для початку обслуговування потрібен час на підготовку). Джерела заявок – породжують заявки у випадкові моменти часу, згідно з заданим користувачем статистичним законом. Заявки, вони ж клієнти, входять у систему (породжуються джерелами заявок), проходять її елементи (обслуговуються), залишають її обслуженими чи незадоволеними. Бувають нетерплячі заявки – такі, яким набридло чекати чи перебувати у системі та які залишають із власної волі СМО. Заявки утворюють потоки – потік заявок на вході системи, потік обслужених заявок, потік відмовлених заявок. Потік характеризується кількістю заявок певного сорту, що спостерігається у деякому місці СМО за одиницю часу (година, доба, місяць), тобто потік є статистична величина.

Черги характеризуються правилами стояння у черзі (дисципліною обслуговування), кількістю місць у черзі (скільки клієнтів максимум може бути у черзі), структурою черги (зв'язок між місцями у черзі). Бувають обмежені та необмежені черги. Перелічимо найважливіші дисципліни обслуговування. FIFO (First In, First Out – першим прийшов, першим пішов): якщо заявка першою прийшла в чергу, то вона першою піде на обслуговування. LIFO (Last In, First Out – останнім прийшов, першим пішов): якщо заявка останньої прийшла в чергу, то вона першою піде на обслуговування (приклад – патрони в ріжку автомата). SF (Short Forward - короткі вперед): в першу чергу обслуговуються заявки з черги, які мають менший час обслуговування.

Дамо яскравий приклад, який показує, як правильний вибір тієї чи іншої дисципліни обслуговування дозволяє отримати відчутну економію часу.

Нехай є два магазини. У магазині № 1 обслуговування здійснюється у порядку черги, тобто тут реалізовано дисципліну обслуговування FIFO (див. рис. 30.3).

Час обслуговування tобслуг. на рис. 30.3 показує, скільки часу продавець витратить обслуговування одного покупця. Зрозуміло, що при купівлі штучного товару продавець витратить менше часу на обслуговування, ніж при купівлі, скажімо, сипких продуктів, які потребують додаткових маніпуляцій (набрати, зважити, вирахувати ціну тощо). Час очікування tочік. показує, за який час черговий покупець буде обслужений продавцем.

У магазині № 2 реалізовано дисципліну SF (див. рис. 30.4), що означає, що штучний товар можна купити позачергово, оскільки час обслуговування tобслуг. такої покупки невелика.

Як видно з обох малюнків, останній (п'ятий) покупець має намір придбати штучний товар, тому час його обслуговування невеликий – 0.5 хвилин. Якщо цей покупець прийде до магазину №1, він буде змушений вистояти в черзі цілих 8 хвилин, тоді як у магазині №2 його обслужать відразу ж, поза чергою. Таким чином, середній час обслуговування кожного з покупців у магазині з дисципліною обслуговування FIFO становитиме 4 хвилини, а у магазині з дисципліною обслуговування КВ – лише 2.8 хвилини. А загальна користь, економія часу становитиме: (1 – 2.8/4) · 100% = 30 відсотків! Отже, 30% заощадженого для суспільства часу – і це лише за рахунок правильного вибору дисципліни обслуговування.

Спеціаліст з систем повинен добре розуміти ресурси продуктивності та ефективності проектованих ним систем, приховані в оптимізації параметрів, структур та дисциплін обслуговування. Моделювання допомагає виявити ці приховані резерви.

При аналізі результатів моделювання важливо також вказати інтереси та рівень їх виконання. Розрізняють інтереси клієнта та інтереси власника системи. Зауважимо, що ці інтереси збігаються не завжди.

Судити про результати роботи СМО можна за показниками. Найбільш популярні з них:

можливість обслуговування клієнта системою;

пропускна спроможність системи;

можливість відмови клієнту в обслуговуванні;

ймовірність зайнятості кожного з каналу та всіх разом;

середній час зайнятості кожного каналу;

можливість зайнятості всіх каналів;

середня кількість зайнятих каналів;

ймовірність простою кожного каналу;

можливість простою всієї системи;

середня кількість заявок, що стоять у черзі;

середній час очікування заявки у черзі;

середній час обслуговування заявки;

середній час перебування заявки у системі.

Судити про якість отриманої системи необхідно за сукупністю значень показників. При аналізі результатів моделювання (показників) важливо звертати увагу на інтереси клієнта та інтереси власника системи, тобто мінімізувати або максимізувати треба той чи інший показник, а також на ступінь їх виконання. Зауважимо, що найчастіше інтереси клієнта та власника між собою не збігаються або збігаються не завжди. Показники будемо позначати далі H = { h 1 , h 2 , …} .

Параметрами СМО можуть бути: інтенсивність потоку заявок, інтенсивність потоку обслуговування, середній час, протягом якого заявка готова чекати на обслуговування в черзі, кількість каналів обслуговування, дисципліна обслуговування тощо. Параметри – це те, що впливає на показники системи. Параметри будемо позначати далі як R = { r 1 , r 2 , …} .

приклад. Автозаправна станція (АЗС).

1. Постановка задачі. На рис. 30.5 наведено план АЗС. Розглянемо метод моделювання СМО на її прикладі та план її дослідження. Водії, проїжджаючи дорогою повз АЗС дорогою, можуть захотіти заправити свій автомобіль. Бажають обслужитися (заправити машину бензином) не всі автомобілісти поспіль; припустимо, що з усього потоку машин на заправку в середньому заїжджає 5 машин на годину.

На АЗС дві однакові стовпчики, статистична продуктивність кожної з яких відома. Перша колонка в середньому обслуговує 1 машину за годину, друга в середньому - 3 машини за годину. Власник АЗС заасфальтував для машин місце, де вони можуть очікувати на обслуговування. Якщо колонки зайняті, то цьому місці можуть очікувати обслуговування інші машини, але з більше двох одночасно. Чергу вважатимемо спільною. Як тільки одна з колонок звільниться, перша машина з черги може зайняти її місце на колонці (при цьому друга машина просувається на перше місце в черзі). Якщо з'являється третя машина, а всі місця (їх два) в черзі зайняті, їй відмовляють в обслуговуванні, оскільки стояти на дорозі заборонено (див. дорожні знаки біля АЗС). Така машина їде геть із системи назавжди і як потенційний клієнт є втраченою для власника АЗС. Можна ускладнити завдання, розглянувши касу (ще один канал обслуговування, куди треба потрапити після обслуговування в одній з колонок) і черга до неї і таке інше. Але в найпростішому варіанті очевидно, що шляхи руху потоків заявок СМО можна зобразити у вигляді еквівалентної схеми, а додавши значення та позначення характеристик кожного елемента СМО, отримуємо остаточно схему, зображену на рис. 30.6.

2. Метод дослідження СМО. Застосуємо в прикладі принцип послідовної проведення заявок (докладно про принципи моделювання див. лекцію 32). Його ідея полягає в тому, що заявку проводять через усю систему від входу до виходу, і лише після цього беруться за моделювання наступної заявки.

Для наочності побудуємо тимчасову діаграму роботи СМО, відбиваючи кожної лінійці (вісь часу t) стан окремого елемента системи. Тимчасових лінійок проводиться стільки, скільки є різних місць у СМО, потоків. У нашому прикладі їх 7 (потік заявок, потік очікування на першому місці в черзі, потік очікування на другому місці в черзі, потік обслуговування в каналі 1, потік обслуговування в каналі 2, обслуговуваний потік системою заявок, потік відмовлених заявок).

Для створення часу приходу заявок використовуємо формулу обчислення інтервалу між моментами приходу двох випадкових подій (див. лекцію 28):

У цій формулі величина потоку λ має бути задана (до цього вона має бути визначена експериментально на об'єкті як статистичне середнє), r- випадкове рівномірно розподілене число від 0 до 1 із ГСЧ або таблиці, В якій випадкові числа потрібно брати поспіль (не вибираючи спеціально).

Завдання. Згенеруйте потік із 10 випадкових подій з інтенсивністю появи подій 5 шт/год.

Рішення завдання. Візьмемо випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі від 0 до 1 (див. таблицю), та обчислимо їх натуральні логарифми (див. табл. 30.2).

Таблиця 30.2. Фрагмент таблиці випадкових чисел та їх логарифмів

r рр ln(r рр )

Формула пуассонівського потоку визначає відстань між двома випадковими подіями наступним чином: t= -Ln (r рр) / λ . Тоді, враховуючи, що λ = 5 маємо відстані між двома випадковими сусідніми подіями: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 години. Тобто події наступають: перше – у момент часу t= 0 , друге - у момент часу t= 0.68 , третє - на момент часу t= 0.89 , четверте - на момент часу t= 1.20 , п'яте - на момент часу t= 1.32 тощо. Події - надходження заявок відобразимо на першій лінійці (див. рис. 30.7).

Мал. 30.7. Тимчасова діаграма роботи СМО

Береться перша заявка і, оскільки в цей момент вільні канали, встановлюється на обслуговування в перший канал. Заявка 1 переноситься на лінійку "1 канал".

Час обслуговування в каналі теж випадковий і обчислюється за аналогічною формулою:

де роль інтенсивності грає величина потоку обслуговування μ 1 або μ 2 залежно від того, який канал обслуговує заявку. Знаходимо на діаграмі момент закінчення обслуговування, відкладаючи згенерований час обслуговування від початку обслуговування, і опускаємо заявку на лінійку «Обслужені».

Заявка пройшла до СМО весь шлях. Тепер можна, згідно з принципом послідовного проведення заявок, також проімітувати шлях другої заявки.

Якщо в якийсь момент виявиться, що обидва канали зайняті, слід встановити заявку в чергу. На рис. 30.7 це заявка з номером 3. Зауважимо, що за умовами завдання у черзі на відміну від каналів заявки знаходяться не випадковий час, а очікують, коли звільниться якийсь із каналів. Після звільнення каналу заявка піднімається на лінійку відповідного каналу і організується її обслуговування.

Якщо всі місця в черзі в момент, коли прийде чергова заявка, будуть зайняті, заявку слід відправити на лінійку «Відмовлені». На рис. 30.7 – це заявка з номером 6.

Процедуру імітації обслуговування заявок продовжують деякий час спостереження Tн. Чим більший цей час, тим точніше надалі будуть результати моделювання. Реально для простих систем вибирають Tн, що дорівнює 50-100 і більше годин, хоча іноді краще міряти цю величину кількістю розглянутих заявок.

Аналітичне дослідження систем масового обслуговування (СМО) є підходом, альтернативним імітаційному моделюванню, і полягає в отриманні формул для розрахунку вихідних параметрів СМО з наступною підстановкою значень аргументів ці формули в кожному окремому експерименті.

У моделях СМО розглядають такі об'єкти:

1) заявки на обслуговування (транзакти);

2) обслуговуючі апарати (ОА), чи прилади.

Практичне завдання теорії масового обслуговування пов'язані з дослідженням операцій цими об'єктами і з окремих елементів, куди впливають випадкові чинники.

Як приклад завдань, що розглядаються в теорії масового обслуговування, можна навести: узгодження пропускної спроможності джерела сполучення з каналом передачі даних, аналіз оптимального потоку міського транспорту, розрахунок ємності залу очікування для пасажирів в аеропорту та ін.

Заявка може бути або у стані обслуговування, або у стані очікування обслуговування.

Обслуговуючий прилад може бути зайнятий обслуговуванням, або вільний.

Стан СМО характеризується сукупністю станів обслуговуючих приладів та заявок. Зміна станів у СМО називається – подія.

Моделі СМО використовуються для дослідження процесів, що відбуваються в системі, при подачі на входи потоків заявок. Ці процеси є послідовністю подій.

Найважливіші вихідні параметри СМО

Продуктивність

Пропускна здатність

Ймовірність відмови в обслуговуванні

Середній час обслуговування;

Коефіцієнт завантаження обладнання (ОА).

Заявками може бути замовлення виробництва виробів, завдання, розв'язувані в обчислювальної системі, клієнти у банках, вантажі, що надходять транспортування та інших. Вочевидь, що параметри заявок, що у систему, є випадковими величинами і під час дослідження чи проектуванні може бути відомі лише їх закони розподілу.

У зв'язку з цим аналіз функціонування на системному рівні, як правило, має статистичний характер. Як математичний апарат моделювання зручно прийняти теорію масового обслуговування, а як моделі систем на цьому рівні використовувати системи масового обслуговування.

Найпростіші моделі СМО

У найпростішому випадку СМО є деяким пристроєм, званим обслуговуючим апаратом (ОА), з чергами заявок на входах.

М о д о л о б с л у ж і в а н і я с т к а з а м і (рис.5.1)

Мал. 5.1. Модель СМО з відмовами:

0 – джерело заявок;

1 - обслуговуючий прилад;

а- Вхідний потік заявок на обслуговування;

в- Вихідний потік обслужених заявок;

з- Вихідний потік необслужених заявок.

У цій моделі відсутній накопичувач заявок на вході ОА. Якщо заявка приходить від джерела 0 в момент часу, коли ОА зайнятий обслуговуванням попередньої заявки, то заявка, що знову прийшла, виходить із системи (оскільки їй відмовлено в обслуговуванні) і втрачається (потік з).

М о д о л о б с л у ж і в а н і я с о ж д а н ня м (рис. 5.2)

Мал. 5.2. Модель СМО з очікуванням

(N- 1) – кількість заявок, яка може поміститися у накопичувачі

У цій моделі є накопичувач заявок на вході ОА. Якщо заявка приходить від джерела 0 в момент часу, коли ОА зайнятий обслуговуванням попередньої заявки, то заявка, що знову прийшла, потрапляє в накопичувач, де необмежено довго чекає, поки звільниться ОА.

М о д о л о б л о в і в а н і я з о г р а н і ч е н ним у часі

про жи д а ння (рис. 5.3)

Мал. 5.4. Багатоканальна модель СМО з відмовами:

n– кількість однакових обслуговуючих апаратів (приладів)

У цій моделі є не один ОА, а кілька. Заявки, якщо це спеціально не обумовлено, можуть надходити до будь-якого вільного обслуговування ОА. Накопичувача немає, тому ця модель включає властивості моделі, показаної на рис. 5.1: відмова в обслуговуванні заявки означає її безповоротну втрату (це відбувається лише в тому випадку, якщо у момент приходу цієї заявки УсеОА зайняті).

час життєда ння (рис. 5.5)

Мал. 5.6. Багатоканальна модель СМО з очікуванням та відновленням ОА:

e- Обслуговуючі апарати, що вийшли з ладу;

f– відновлені обслуговуючі апарати

Ця модель має властивості моделей, представлених на рис. 5.2 і 5.4, а також властивостями, що дозволяють враховувати можливі випадкові відмови ОА, які в цьому випадку надходять у ремонтний блок 2, де перебувають протягом випадкових проміжків часу, що витрачаються на їх відновлення, а потім знову повертаються в обслуговуючий блок 1.

М н о го к а н а ль н я м о д е л ь ь ь С зг р а н і ч е н ним

в часи м ож д е н ня і восстання в л е н ня м ОА (рис. 5.7)

Мал. 5.7. Багатоканальна модель СМО з обмеженим часом очікування та відновленням ОА

Ця модель є досить складною, оскільки одночасно враховує властивості двох не найпростіших моделей (рис. 5.5 та 5.6).

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://allbest.ru

ВСТУП

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1 Системи масового обслуговування з відмовами

1.2 Моделювання систем масового обслуговування

1.3 Найпростіша СМО з відмовами

1.4 Одноканальна СМО з відмовами

1.5 Багатоканальна СМО з відмовами

1.6 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

1.7 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

1.8 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

1.9 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

1.10 Алгоритм моделювання СМО

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

ГЛАВА 3. ПРАВИЛА ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Останнім часом у різних областях практики виникла потреба у вирішенні різних ймовірнісних завдань, що з роботою про систем масового обслуговування (СМО).

Прикладами таких систем можуть бути: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, стоянки таксі, перукарні тощо.

Темою даного курсового проекту якраз і є вирішення такого завдання.

Однак, у запропонованій задачі буде досліджено СМО, в якій розглядаються 2 потоки заявок, один з яких має пріоритет.

Також аналізовані процеси є немарківськими, т.к. важливий чинник часу.

Тому вирішення цього завдання побудовано не так на аналітичному описі системи, але в статистичному моделюванні.

Метою курсової є моделювання виробничого процесу з урахуванням уявлення основного устаткування як системи масового обслуговування.

Для досягнення мети було поставлено такі завдання: - проаналізувати особливості управління виробничим процесом; - розглянути організацію виробничого процесу у часі; - навести основні варіанти скорочення тривалості виробничого циклу;

Провести аналіз методів управління виробничим процесом для підприємства;

Розглянути особливості моделювання виробничого процесу з використанням теорії СМО;

Розробити модель виробничого процесу та оцінити основні характеристики СМО, навести перспективи її подальшої програмної реалізації.

Закріплення теоретичних знань та здобуття навичок їх практичного застосування;

Звіт містить вступ, три розділи, висновок, список використаної літератури, додатки.

У другому розділі розглядаються теоретичні матеріали системи масового обслуговування. А в третій обчислюємо завдання систем масового обслуговування.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1 Системи масового обслуговуванняcвідмовами

Системою масового обслуговування (СМО) називається будь-яка система, призначена обслуговування будь-яких заявок (вимог), які у неї у випадкові моменти часу. Будь-який пристрій, який безпосередньо займається обслуговуванням заявок, називається каналом обслуговування (або приладом). СМО бувають як одно-, і багатоканальними.

Розрізняють СМО з відмовами та СМО з чергою. У СМО з відмовами заявка, яка настала у момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО, а надалі в процесі її роботи не бере участі. У СМО із чергою заявка, яка прийшла в момент зайнятості всіх каналів, не залишає СМО, а стає в чергу і чекає, доки не звільниться якийсь канал. Число місць у черзі т може бути як обмеженим, так і необмеженим. При т=0 СМО з чергою перетворюється на СМО з відмовами. Черга може мати обмеження не лише за кількістю заявок, що стоять у ній (довжині черги), а й за часом очікування (такі СМО називаються “системами з нетерплячими клієнтами”).

Аналітичне дослідження СМО є найпростішим, якщо всі потоки подій, що переводять її зі стану в стан, - найпростіші (стаціонарні пуассонівські). Це означає, що інтервали часу між подіями потоків мають показовий розподіл з параметром, рівним інтенсивності відповідного потоку. Для СМО це припущення означає, що як потік заявок, і потік обслуговування - найпростіші. Під потоком обслуговування розуміється потік заявок, що обслуговуються одна за одною безперервно зайнятим каналом. Цей потік виявляється найпростішим, тільки якщо час обслуговування заявки tобсл є випадковою величиною, що має показовий розподіл. Параметр цього розподілу м є величина, обернена до середнього часу обслуговування:

Замість фрази "потік обслуговування - найпростіший" часто говорять "час обслуговування - показовий". Будь-яка СМО, в якій всі потоки найпростіші, називається найпростішою СМО.

Якщо всі потоки подій найпростіші, то процес, що протікає в СМО, являє собою випадковий марківський процес з дискретними станами і безперервним часом. За виконання деяких умов цього процесу існує фінальний стаціонарний режим, у якому як ймовірності станів, і інші характеристики процесу залежать від часу.

Моделі СМО зручні для опису окремих підсистем сучасних обчислювальних систем, таких як підсистема процесор - основна пам'ять, канал введення-виведення тощо.

Обчислювальна система загалом є сукупність взаємозалежних підсистем, взаємодія яких має імовірнісний характер. Заявка на вирішення деякої задачі, що надходить в обчислювальну систему, проходить послідовність етапів рахунку, звернення до зовнішніх пристроїв і пристроїв введення-виведення.

Після виконання деякої послідовності таких етапів, число та тривалість яких залежить від трудомісткості програми, заявка вважається обслуженою та залишає обчислювальну систему.

Таким чином, обчислювальну систему в цілому можна представляти сукупністю СМО, кожна з яких відображає функціонування окремого пристрою або групи однотипних пристроїв, що входять до складу системи.

Завдання теорії масового обслуговування - це знаходження вірогідностей різних станів СМО, а також встановлення залежності між заданими параметрами (числом каналів п, інтенсивністю потоку заявок л, розподілом часу обслуговування і т. д.) і характеристиками ефективності роботи СМО. Як такі характеристики можуть розглядатися, наприклад, такі:

Середня кількість заявок А, що обслуговується СМО в одиницю часу, або абсолютна пропускна спроможність СМО;

ймовірність обслуговування заявки Q, що надійшла, або відносна пропускна здатність СМО; Q = А/л;

Можливість відмови Ротк, тобто. ймовірність того, що заявка, що надійшла, не буде обслужена і отримає відмову; Ротк = 1 - Q;

Середня кількість заявок до СМО (обслуговуються або чекають у черзі);

Середня кількість заявок у черзі;

Середній час перебування заявки до СМО (у черзі чи під обслуговуванням);

Середній час перебування заявки у черзі;

Середня кількість зайнятих каналів.

У випадку всі ці показники залежить від часу. Але багато СМО працюють у незмінних умовах досить довгий час, і тому для них встигає встановити режим, близький до стаціонарного.

Ми тут усюди, не обговорюючи цього щоразу спеціально, обчислюватимемо фінальні ймовірності станів та фінальні характеристики ефективності СМО, які стосуються граничного стаціонарного режиму її роботи.

СМО називається відкритою, якщо інтенсивність потоку заявок, що надходить на неї, не залежить від стану самої СМО.

Для будь-якої відкритої СМО у граничному стаціонарному режимі середній час перебування заявки в системі виражається через середню кількість заявок у системі за допомогою формули Літтла:

де л – інтенсивність потоку заявок.

Аналогічна формула (названа також формулою Літтла) пов'язує середній час перебування заявки у черзі та середня кількість заявок у черзі:

Формули Літтла дуже корисні, тому що дозволяють обчислювати не обидві характеристики ефективності (середній час перебування та середня кількість заявок), а лише якусь одну з них.

Спеціально підкреслимо, що формули (1) та (2) справедливі для будь-якої відкритої СМО (одноканальної, багатоканальної, за будь-яких видів потоків заявок та потоків обслуговування); єдина вимога до потоків заявок та обслуговування – щоб вони були стаціонарними.

Аналогічно універсальне значення для відкритих СМО має формула, що виражає середню кількість зайнятих каналів через абсолютну пропускну здатність А:

де – інтенсивність потоку обслуговування.

Дуже багато завдань теорії масового обслуговування, що стосуються найпростіших СМО, вирішуються за допомогою схеми загибелі та розмноження.

Фінальні ймовірності станів виражаються формулами:

Список характеристик систем масового обслуговування можна так:

· середній час обслуговування;

· Середній час очікування в черзі;

· Середній час перебування в СМО;

· Середня довжина черги;

· Середня кількість заявок у СМО;

· Кількість каналів обслуговування;

· Інтенсивність вхідного потоку заявок;

· Інтенсивність обслуговування;

· Інтенсивність навантаження;

· Коефіцієнт навантаження;

· Відносна пропускна здатність;

· Абсолютна пропускна здатність;

· Частка часу простою СМО;

· Частка обслужених заявок;

· Частина втрачених заявок;

· Середня кількість зайнятих каналів;

· Середня кількість вільних каналів;

· Коефіцієнт завантаження каналів;

· Середній час простою каналів.

1 . 2 Моделювання систем масового обслуговування

Переходи СМО з одного стану до іншого відбуваються під впливом цілком певних подій - надходження заявок та їх обслуговування. Послідовність появи подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу, формує так званий потік подій. Прикладами таких потоків у комерційній діяльності є потоки різної природи - товарів, грошей, документів, транспорту, клієнтів, покупців, телефонних дзвінків, переговорів. Поведінка системи зазвичай визначається одним, а одночасно кількома потоками подій. Наприклад, обслуговування покупців у магазині визначається потоком покупців та потоком обслуговування; у цих потоках випадковими є моменти появи покупців, час очікування у черзі та час, що витрачається обслуговування кожного покупця.

При цьому основною характерною рисою потоків є розподіл ймовірності часу між сусідніми подіями. Існують різні потоки, що відрізняються своїми характеристиками.

Потік подій називається регулярним, якщо в ньому події йдуть одна за одною через заздалегідь задані і певні проміжки часу. Такий потік є ідеальним і дуже рідко трапляється на практиці. Найчастіше зустрічаються нерегулярні потоки, що не володіють властивістю регулярності.

Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання будь-якої кількості подій на проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і не залежить від того, наскільки далеко розташований цей проміжок від початку відліку часу. Стаціонарність потоку означає незалежність від часу його ймовірнісних характеристик, зокрема інтенсивність такого потоку є середнє число подій в одиницю часу і залишається величиною постійної. Насправді зазвичай потоки можуть вважатися стаціонарними лише з деякому обмеженому проміжку часу. Зазвичай потік покупців, наприклад, у магазині суттєво змінюється протягом робочого дня. Однак можна виділити певні часові інтервали, всередині яких цей потік можна розглядати як стаціонарний, що має постійну інтенсивність.

Потік подій називається потоком без наслідки, якщо кількість подій, що потрапляють на один із довільно вибраних проміжків часу, не залежить від кількості подій, що потрапили на інший, також довільно вибраний проміжок за умови, що ці проміжки не перетинаються між собою. У потоці без наслідку події виникають у послідовні моменти часу незалежно друг від друга. Наприклад, потік покупців, що входять до магазину, можна вважати потоком без наслідків тому, що причини, що зумовили прихід кожного з них, не пов'язані з аналогічними причинами для інших покупців.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на дуже малий відрізок часу одразу двох або більше подій зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю попадання лише однієї події. В простому потоці події відбуваються поодинці, а не по два або більше разів. Якщо потік одночасно має властивості стаціонарності, ординарності та відсутність наслідку, то такий потік називається найпростішим (або пуассонівським) потоком подій. Математичний опис впливу такого потоку на системи виявляється найпростішим. Тому, найпростіший потік грає серед інших існуючих потоків особливу роль.

Розглянемо на осі часу певний проміжок часу t. Припустимо, ймовірність попадання випадкової події цей проміжок p, а повне число можливих подій - п. За наявності властивості ординарності потоку подій ймовірність р має бути досить малою величиною, а я - досить великим числом, оскільки розглядаються масові явища.

У цих умовах для обчислення ймовірності попадання на проміжок часу t деякої кількості подій т можна скористатися формулою Пуассона:

Pm, n= am_e-a; (m=0,n),

де величина а = пр - середня кількість подій, що потрапляють на проміжок часу t, яке можна визначити через інтенсивність потоку подій X наступним чином: a = л ф

Розмір інтенсивності потоку X є середнє число подій в одиницю часу. Між п і л, р і ф є наступний зв'язок:

n = л t; p= ф/t

де t- весь проміжок часу, на якому розглядається дія потоку подій.

Необхідно визначити розподіл інтервалу часу Т між подіями у такому потоці. Оскільки це випадкова величина, то знайдемо її функцію розподілу. Як відомо з теорії ймовірностей, інтегральна функція розподілу F(t) є ймовірність того, що величина T буде меншою за час t.

F(t)=P(T

За умовою протягом часу T не має відбутися жодної події, а на інтервалі часу t має з'явитися хоча б одна подія. Ця можливість обчислюється з допомогою ймовірності протилежного події на проміжку часу (0; t), куди потрапило жодної події, тобто. m = 0, тоді

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

Для малих?t можна отримати наближену формулу, що отримується заміною функції e-Xt, тільки двома членами розкладання в ряд за ступенями?t, тоді ймовірність попадання на малий проміжок часу?t хоча б однієї події становить

P(T

Щільність розподілу проміжку часу між двома послідовними подіями отримаємо, продиференціювавши F(t) за часом,

f(t)= л e-л t, t?0

Користуючись отриманою функцією щільності розподілу, можна одержати числові характеристики випадкової величини Т: математичне очікування М(Т), дисперсію D(T) та середнє відхилення у(Т).

М(Т) = л??0 t * e-лt * dt = 1 / л; D(T)=1/ л2; у (T) = 1 / л.

Звідси можна зробити такий висновок: середній інтервал часу Т між будь-якими двома сусідніми подіями в найпростішому потоці в середньому дорівнює 1/л, та його середнє квадратичне відхилення також дорівнює 1/л, л де - інтенсивність потоку, тобто. середня кількість подій, що відбуваються в одиницю часу. Закон розподілу випадкової величини, що має такі властивості М(Т) = Т, називається показовим (або експоненціальним), а величина л є параметром цього показового закону. Таким чином, для найпростішого потоку математичне очікування інтервалу часу між сусідніми подіями дорівнює його середньоквадратичному відхиленню. У цьому випадку ймовірність того, що кількість заявок, що надходять на обслуговування за проміжок часу t, дорівнює до визначається за законом Пуассона:

Pk(t)=(лt)k/k! *e-л t,

де л - інтенсивність надходження потоку заявок, середня кількість подій у СМО за одиницю часу, наприклад [чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т. / Рік].

Для такого потоку заявок час між двома сусідніми заявками Т розподілено експоненційно із щільністю ймовірності:

ѓ(t)= л e-л t.

Випадковий час очікування у черзі початку обслуговування t теж можна вважати розподіленим експоненційно:

? (tоч) = V * e-v tоч,

де v - інтенсивність потоку проходу черги, що визначається середнім числом заявок, що проходять обслуговування в одиницю часу:

v=1/Точ,

де Точ середній час очікування обслуговування у черзі.

Вихідний потік заявок пов'язаний з потоком обслуговування в каналі, де тривалість обслуговування tобс теж випадковою величиною і підпорядковується в багатьох випадках показовому закону розподілу з щільністю ймовірності:

?(t обс)=µ*е µ t обс,

де - інтенсивність потоку обслуговування, тобто. середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу:

µ=1/ t обс[чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т./рік] ,

де t обс – середній час обслуговування заявок.

Важливою характеристикою СМО, що поєднує показники л і µ є інтенсивність навантаження: с= л/ µ, яка показує ступінь узгодження вхідного і вихідного потоків заявок каналу обслуговування і визначає стійкість системи масового обслуговування.

Крім поняття найпростішого потоку подій, часто доводиться користуватися поняттями потоків інших типів. Потік подій називається потоком Пальма, коли в цьому потоці проміжки часу між послідовними подіями T1, T2, ..., Тk ..., Тn є незалежними, однаково розподіленими, випадковими величинами, але на відміну від найпростішого потоку не обов'язково розподіленими за показовим законом. Найпростіший потік є окремим випадком потоку Пальма.

Важливим окремим випадком потоку Пальма є так званий потік Ерланга.

Цей потік виходить «проріджування» найпростішого потоку. Таке «проріджування» здійснюється шляхом відбору за певним правилом подій із найпростішого потоку.

Наприклад, умовившись враховувати тільки кожну другу подію з тих, що утворюють найпростіший потік, ми отримаємо потік Ерланга другого порядку. Якщо брати лише кожну третю подію, то утворюється потік Ерланга третього порядку тощо.

Можна отримати потоки Ерланга будь-якого порядку. Очевидно, найпростішим потіком є ​​потік Ерланга першого порядку.

Будь-яке дослідження системи масового обслуговування починається з вивчення того, що необхідно обслуговувати, отже, з вивчення вхідного потоку заявок та його характеристик.

Оскільки моменти часу t і інтервали часу надходження заявок ф, потім тривалість операцій обслуговування t обс і час очікування в черзі tоч, а також довжина черги lоч - випадкові величини, то, отже, характеристики стану СМО мають імовірнісний характер, а для їх опису слід застосовувати методи та моделі теорії масового обслуговування.

Перераховані вище характеристики до, ф, л, Lоч, Точ, v, tобс, µ, р, Рk є найбільш загальними для СМО, які зазвичай лише деякою частиною цільової функції, оскільки необхідно враховувати ще й показники комерційної діяльності.

1 . 3 Найпростіша СМО з відмовами

На n-канальну СМО з відмовами надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю л; час обслуговування – показовий з параметром. Стани СМО нумеруються за кількістю заявок, що перебувають у СМО (через відсутність черги воно збігається з кількістю зайнятих каналів):

S0 - СМО вільна;

S1 - зайнятий один канал, інші вільні;

...;

S k- зайнято kканалів, інші вільні (1 kn);

…;

S n- зайняті всі nканалів.

Фінальні ймовірності станів виражаються формулами Ерланга:

де с = л/м.

Характеристики ефективності:

A=(1-p n); Q = 1-p n; Pотк = p n; =(1-p n).

При великих значеннях пймовірності станів (1*) зручно обчислювати через табульовані функції:

(розподіл Пуассона) та

,

з яких першу можна виразити через другу:

Користуючись цими функціями, формули Ерланга (1*) можна переписати як

.

1.4 Одноканальна СМО з відмовами

Проведемо аналіз простої одноканальної СМО з відмовими в обслуговуванні, на яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю л, а обслуговування відбувається під дією пуассонівського потоку з інтенсивністю м.м.

Роботу одноканальної СМО n=1 можна подати у вигляді розміченого графа станів (3.1).

Переходи СМО з одного стану S0 до іншого S1 відбуваються під дією вхідного потоку заявок з інтенсивністю л, а зворотний перехід - під дією потоку обслуговування з інтенсивністю м.

Запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей стану за викладеними вище правилами:

Звідки отримаємо диференціальне рівняння визначення ймовірності р0(t) стану S0:

Це рівняння можна вирішити за початкових умов у припущенні, що система у момент t=0 перебувала у стані S0, тоді р0(0)=1, р1(0)=0.

У цьому випадку рішення диференціального рівняння дозволяє визначити ймовірність того, що канал вільний і не зайнятий обслуговуванням:

Тоді неважко отримати вираз для ймовірності визначення ймовірності зайнятості каналу:

Імовірність р0(t) зменшується з плином часу та в межі при t>? прагне величини

а ймовірність р1(t) у той самий час збільшується від 0, прагнучи межі при t>? до величини

Ці межі ймовірностей можуть бути отримані безпосередньо з рівнянь Колмогорова за умови

Функції р0(t) і р1(t) визначають перехідний процес в одноканальній СМО і описують процес експоненційного наближення СМО до свого граничного стану з постійною часу характерною для системи, що розглядається.

З достатньої практики точністю вважатимуться, що перехідний процес у СМО закінчується протягом часу, одно 3ф.

Імовірність р0(t) визначає відносну пропускну здатність СМО, яка визначає частку обслуговуваних заявок по відношенню до повного числа заявок, що надходять, в одиницю часу.

Дійсно, р0(t) є ймовірність того, що заявка, яка прийшла в момент t, буде прийнята до обслуговування. Усього в одиницю часу приходить у середньому л заявок і їх обслуговується лр0 заявок.

Тоді частка заявок, що обслуговуються, по відношенню до всього потоку заявок визначаться величиною

У межі при t>? практично вже при t>3ф значення відносної пропускної здатності дорівнюватиме

Абсолютна пропускна здатність, що визначає кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу в межі при t>?, дорівнює:

Відповідно частка заявок, які отримали відмову, становить у цих самих граничних умовах:

а загальна кількість необслуговуваних заявок дорівнює

Прикладами одноканальних СМО з відмовами в обслуговуванні є стіл замовлень у магазині, диспетчерська автотранспортного підприємства, контора складу, офіс управління комерційної фірми, з якими встановлюється зв'язок по телефону.

1.5 Багатоканальна СМО з відмовами

У комерційній діяльності прикладами багатоканальних СМО є офіси комерційних підприємств з кількома телефонними каналами, безкоштовна довідкова служба з наявності в авто магазинах найдешевших автомобілів у Москві має 7 телефонних номерів, а додзвонитися та отримати довідку, як відомо, дуже важко.

Отже, авто магазини втрачають клієнтів, можливість збільшити кількість проданих автомобілів та виручку від продажів, товарообіг, прибуток.

Туристичні фірми з продажу путівок мають два, три, чотири та більше каналів, як, наприклад, фірма Express-Line.

Розглянемо багатоканальну СМО з відмовами в обслуговуванні на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю л.

Потік обслуговування в кожному каналі має інтенсивність м. За кількістю заявок СМО визначаються її стани Sk, представлені у вигляді розміченого графа:

S0 - всі канали вільні k = 0,

S1 - зайнятий лише один канал, k=1,

S2 - зайняті лише два канали, k=2,

Sk - зайняті до каналів,

Sn - зайняті всі n каналів, k = n.

Стани багатоканальної СМО змінюються стрибкоподібно у випадкові моменти часу. Перехід з одного стану, наприклад S0 S1, відбувається під впливом вхідного потоку заявок з інтенсивністю л, а назад - під впливом потоку обслуговування заявок з інтенсивністю м.

Для переходу системи зі стану Skв Sk-1 байдуже, який саме з каналів звільнитися, тому потік подій, що переводить СМО, має інтенсивність kм, отже, потік подій, що переводить систему з Snв Sn-1, має інтенсивність nм.

Так формулюється класичне завдання Ерланга, названа на ім'я датського інженера - математика-засновника теорії масового обслуговування.

Випадковий процес, що протікає в СМО, є окремим випадком процесу «народження- загибелі» і описується системою диференціальних рівнянь Ерланга, які дозволяють отримати вирази для граничних ймовірностей стану аналізованої системи, звані формулами Ерланга:

.

Обчисливши всі можливості станів n - канальної СМО з відмовами р0 , р1, р2, …, рk, …, рn, можна визначити властивості системи обслуговування.

Імовірність відмови в обслуговуванні визначається ймовірністю того, що заявка на обслуговування, що надійшла, знайде всі n каналів зайнятими, система перебуватиме в стані Sn:

k=n.

У системах з відмовами події відмови та обслуговування становлять повну групу подій, тому:

Ротк+Робс=1

На цій підставі відносна пропускна здатність визначається за формулою

Q = Pобс = 1-Ротк = 1-Рn

Абсолютну пропускну здатність СМО можна визначити за формулою

А = л * Робс

Імовірність обслуговування, або частка обслужених заявок, визначає відносну пропускну здатність СМО, яка може бути визначена і за іншою формулою:

З цього виразу можна визначити середню кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, або, що саме, середня кількість зайнятих обслуговуванням каналів

Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням визначаться ставленням середньої кількості зайнятих каналів до їх загального числа

Імовірність зайнятості каналів обслуговуванням, яка враховує середній час зайнятості tзан і простою tпр каналів, визначається так:

З цього виразу можна визначити середній час простою каналів

Середній час перебування заявки в системі в режимі, що встановився, визначаться формулою Літтла.

Тсмо = nз/л.

1.6 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

У комерційній діяльності найчастіше зустрічаються СМО з очікуванням (чергою).

Розглянемо просту одноканальну СМО з обмеженою чергою, у якій кількість місць у черзі т - фіксована величина. Отже, заявка, що надійшла в той момент, коли всі місця в черзі зайняті, не приймається до обслуговування, не встає в чергу і залишає систему.

Граф цієї СМО подано на рис. 3.4 та збігається з графом рис. 2.1 описує процес «народження - загибелі», з тією відмінністю, що за наявності тільки одного каналу.

Розмічений граф процесу «народження – загибелі» обслуговування всі інтенсивності потоків обслуговування рівні

Стану СМО можна представити так:

S0 - канал обслуговування вільний,

S, - канал обслуговування зайнятий, але черги немає,

S2-канал обслуговування зайнятий, у черзі стоїть одна заявка,

S3-канал обслуговування зайнятий, у черзі стоять дві заявки,

Sm+1 - канал обслуговування зайнятий, у черзі всі місця зайняті, будь-яка наступна заявка отримує відмову.

Для опису випадкового процесу СМО можна скористатися викладеними раніше правилами та формулами. Напишемо вирази, що визначають граничні ймовірності станів:

Вираз для р0 можна в даному випадку записати простіше, користуючись тим, що в знаменнику стоїть геометрична прогресія щодо р, тоді після відповідних перетворень отримуємо:

с= (1- з)

Ця формула справедлива всім р, відмінних від 1, якщо р = 1, то р0 = 1/(т + 2), проте інші ймовірності також дорівнюють 1/(т + 2).

Якщо припустити т = 0, ми переходимо від розгляду одноканальної СМО з очікуванням до вже розглянутої одноканальної СМО з відмовами в обслуговуванні.

Справді, вираз для граничної ймовірності р0 у разі т = 0 має вигляд:

pо = м/(л+м)

І у разі л = м має величину р0 = 1/2.

Визначимо основні характеристики одноканальної СМО з очікуванням: відносну та абсолютну пропускну здатність, ймовірність відмови, а також середню довжину черги та середній час очікування заявки у черзі.

Заявка отримує відмову, якщо вона надходить у момент часу, коли СМО вже перебуває в стані Sm+1 і, отже, всі місця в черзі та зайняті та один канал обслуговує

Тому ймовірність відмови визначається ймовірністю появою

Стан Sm+1:

Pотк = pm+1 = сm+1 * p0

Відносна пропускна здатність, або частка заявок, що обслуговуються, що надходять в одиницю часу, визначається виразом

Q = 1 - pотк = 1 - см + 1 * p0

абсолютна пропускна здатність дорівнює:

Середня кількість заявок, що полягають у черзі на обслуговування, визначається математичним очікуванням випадкової величини до - числа заявок, що стоять у черзі.

випадкова величина приймає наступні тільки цілі значення:

1 - у черзі стоїть одна заявка,

2 - у черзі дві заявки,

т-в черзі всі місця зайняті

Імовірності цих значень визначаються відповідними ймовірностями станів, починаючи зі стану S2. Закон розподілу дискретної випадкової величини до зображується так:

Таблиця 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює:

Lоч = 1 * p2 +2 * p3 + ... + m * pm +1

У випадку при p ?1 цю суму можна перетворити, користуючись моделями геометричної прогресії, до зручнішого виду:

Lоч = p2* 1-pm * (m-m*p+1)* p0

В окремому випадку при р = 1, коли всі ймовірності pk виявляються рівними, можна скористатися виразом для суми членів числового ряду

1+2+3+ m = m(m+1)

Тоді отримаємо формулу

L"оч= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p = 1).

Застосовуючи аналогічні міркування та перетворення, можна показати, що середній час очікування обслуговування заявки а черги визначається формулами Літтла

Точ = Lоч / А (при р? 1) і Т1оч = L"оч / А (при р = 1).

Такий результат, коли виявляється, що Точ ~ 1/ л, може здатися дивним: зі збільшенням інтенсивності потоку заявок начебто має зростати довжина черги та зменшується середній час очікування. Однак слід мати на увазі, що, по-перше, величина Lоч є функцією від л і м і, по-друге, розглянута СМО має обмежену довжину черги не більше mзаявок.

Заявка, що надійшла до СМО в момент часу, коли всі канали зайняті, отримує відмову, і, отже, час її «очікування» в СМО дорівнює нулю. Це призводить у загальному випадку (при р? 1) до зменшення Точростом л, оскільки частка таких заявок із зростанням л збільшується.

Якщо відмовитися від обмеження довжину черги, тобто. спрямувати m->>?, то випадки р< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

При досить великому до ймовірності pk прагне до нуля. Тому відносна пропускна здатність буде Q = 1, а абсолютна пропускна здатність стане рівною А - л Q - л отже, обслуговуються всі заявки, причому середня довжина черги виявиться рівною:

Lоч = p2 1-p

а середній час очікування за формулою Літтла

Точ = Lоч/А

У межі р<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Граничні ймовірності станів тому неможливо визначити: при Q= 1 вони дорівнюють нулю. Фактично СМО не виконує своїх функцій, оскільки вона не в змозі обслужити всі заявки, що надходять.

Неважко визначити, що частка заявок, що обслуговуються, і абсолютна пропускна здатність відповідно становлять у середньому з ним, проте необмежене збільшення черги, а отже, і часу очікування в ній призводить до того, що через деякий час заявки починають накопичуватися в черзі на необмежено довгий час.

Як одну з характеристик СМО використовують середній час Тсмо перебування заявки СМО, що включає середній час перебування в черзі і середній час обслуговування. Ця величина обчислюється за формулами Літтла: якщо довжина черги обмежена - середня кількість заявок, що знаходяться в черзі, дорівнює:

Lсмо= m+1 ;2

Тсмо = Lсмо;при p?1

А тоді середній час перебування заявки в системі масового обслуговування (як у черзі, так і під обслуговуванням) дорівнює:

Тсмо = m+1 при p? 1 2м

1.7 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

У комерційній діяльності як одноканальна СМО з необмеженим очікуванням є, наприклад, комерційний директор, оскільки він, як правило, змушений виконувати обслуговування заявок різної природи: документи, телефонні переговори, зустрічі та бесіди з підлеглими, представниками податкової інспекції, міліції, товарознавцями, маркетологами, постачальниками продукції і на вирішення завдань у товарно-фінансовій сфері з високим ступенем фінансової відповідальності, що пов'язано з обов'язковим виконанням запитів, які очікують іноді нетерпляче виконання своїх вимог, а помилки неправильного обслуговування, як правило, є економічно дуже відчутними. марківська відмова обслуговування модель

У той самий час товари, завезені на продаж (обслуговування), перебуваючи складі, утворюють чергу обслуговування (продаж).

Довжина черги становить кількість товарів, призначених для продажу. У цій ситуації продавці виступають у ролі каналів, які обслуговують товари.

Якщо кількість товарів, призначених для продажу, велика, то в цьому випадку ми маємо справу з типовим випадком СМО з очікуванням.

Розглянемо найпростішу одноканальну СМО з очікуванням обслуговування, на яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю л та інтенсивністю обслуговування?

Причому заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий обслуговуванням, ставиться в чергу та чекає на обслуговування.

Розмічений граф станів такої системи наведено на рис. 3.5

Кількість можливих станів її нескінченно:

Канал вільний, черги немає, ;

Канал зайнятий обслуговуванням, черги немає, ;

Канал зайнятий, одна заявка у черзі, ;

Канал зайнятий, заявка у черзі.

Моделі оцінки ймовірності станів СМО з необмеженою чергою можна отримати з формул, виділених для СМО з необмеженою чергою, шляхом переходу до межі при m>?:

Слід зауважити, що для СМО з обмеженою довжиною черги у формулі

має місце геометрична прогресія з першим членом 1 та знаменником.

Така послідовність є сумою нескінченного числа членів при.

Ця сума сходиться, якщо прогресія, що нескінченно зменшується при, що визначає режим роботи СМО, що з'явився, з при чергу при з часом може зростати до нескінченності.

Оскільки в аналізованій СМО обмеження на довжину черги відсутня, то будь-яка заявка може бути обслужена, тому, отже, відносна пропускна здатність, відповідно, а абсолютна пропускна здатність

Імовірність перебування у черзі k заявок дорівнює:

Середня кількість заявок у черзі -

Середня кількість заявок у системі -

Середній час перебування заявки у системі -

Середній час перебування заявки з системою -

Якщо в одноканальній СМО з очікуванням інтенсивність надходження заявок більша за інтенсивність обслуговування, то черга буде постійно збільшуватися. У зв'язку з цим найбільший інтерес представляє аналіз стійких СМО, що працюють у стаціонарному режимі.

1.8 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо багатоканальну СМО, на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю, а інтенсивність обслуговування кожного каналу становить максимально можливе число місць у черзі обмежене величиною m. Дискретні стани СМО визначаються кількістю заявок, які надійшли до системи, які можна записати.

Всі канали вільні;

Зайнятий лише один канал (будь-який), ;

Зайняті лише два канали (будь-яких), ;

Зайняті всі канали, .

Поки СМО перебуває у будь-якому з цих станів, черги немає. Після того, як зайняті всі канали обслуговування, наступні заявки утворюють чергу, тим самим, визначаючи подальший стан системи:

Зайняті всі канали і одна заявка стоїть у черзі,

Зайняті всі канали і дві заявки стоять у черзі,

Зайняті всі канали і всі місця в черзі,

Перехід СМО в стан з великими номерами визначається потоком заявок, що надходять, з інтенсивністю, тоді як за умовою в обслуговуванні цих заявок беруть участь однакових каналів з інтенсивністю потоку обслуговування рівного для кожного каналу. При цьому повна інтенсивність потоку обслуговування зростає з підключенням нових каналів аж до такого стану, коли всі канали n виявляться зайнятими. З появою черги інтенсивність обслуговування більше збільшується, оскільки вона досягла максимального значення, рівного.

Запишемо вирази для граничних ймовірностей станів:

Вираз можна перетворити, використовуючи формулу геометричної прогресії для суми членів зі знаменником:

Освіта черги можливе, коли заявка, що знову надійшла, застане в системі не менше вимог, тобто. коли у системі буде перебувати вимог.

Ці події незалежні, тому ймовірність того, що всі канали зайняті, дорівнює сумі відповідних ймовірностей

Тому ймовірність утворення черги дорівнює:

Імовірність відмови в обслуговуванні настає тоді, коли всі канали і всі місця в черзі зайняті:

Відносна пропускна здатність дорівнюватиме:

Абсолютна пропускна спроможність -

Середня кількість зайнятих каналів -

Середня кількість каналів, що простоюють -

Коефіцієнт зайнятості (використання) каналів -

Коефіцієнт простою каналів -

Середня кількість заявок, що знаходяться у чергах -

Якщо ця формула набуває іншого вигляду -

Середній час очікування у черзі визначається формулами Літтла -

Середній час перебування заявки в СМО, як і для одноканальної СМО, більший за середній час очікування в черзі на середній час обслуговування, рівний, оскільки заявка завжди обслуговується лише одним каналом:

1.9 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

Розглянемо багатоканальну СМО з очікуванням та необмеженою довжиною черги, на яку надходить потік заявок з інтенсивністю та яка має інтенсивність обслуговування кожного каналу.

Розмічений граф станів представлений на рис 3.7. Він має нескінченну кількість станів:

S - всі канали вільні, k = 0;

S - зайнятий один канал, інші вільні, k = 1;

S - зайняті два канали, інші вільні, k = 2;

S - зайняті всі n каналів, k = n, черги немає;

S - зайняті всі n каналів, одна заявка у черзі, k=n+1,

S - зайняті всі n каналів, r заявок у черзі, k=n+r,

Ймовірність станів отримаємо з формул для багатоканальної СМО з обмеженою чергою при переході до межі при m.

Слід зазначити, що сума геометричної прогресії у виразі для p розходиться при рівні завантаження p/n>1, черга нескінченно зростатиме, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Черги немає

Оскільки відмови в обслуговуванні в таких системах не може бути, то характеристики пропускної спроможності дорівнюють:

середня кількість заявок у черзі -

середній час очікування у черзі -

середня кількість заявок до СМО -

Імовірність того, що СМО перебуває в стані, коли немає заявок і не зайнято жодного каналу, визначається виразом

Ця ймовірність визначає середню частку простою каналу обслуговування. Імовірність зайнятості обслуговуванням заявок -

На цій підставі можна визначити ймовірність, або час зайнятості всіх каналів обслуговуванням

Якщо всі канали вже зайняті обслуговуванням, то ймовірність стану визначається виразом

Імовірність опинитися у черзі дорівнює ймовірності застати всі канали вже зайнятими обслуговуванням

Середня кількість заявок, що перебувають у черзі та чекають на обслуговування, дорівнює:

Середній час очікування заявки у черзі за формулою Літтла:

та в системі

середня кількість зайнятих каналів обслуговуванням:

середня кількість вільних каналів:

коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням:

Важливо зауважити, що параметр характеризує ступінь узгодження вхідного потоку, наприклад, покупців у магазині з інтенсивністю потоку обслуговування. Якщо ж в системі будуть зростати середня довжина черги і середній час очікування покупцями початку обслуговування і, отже, СМО працюватиме нестійко.

1.10 Алгоритм моделювання СМО

Розглянута в задачі СМО є СМО з:

Двоканальне обслуговування;

Двоканальний вхідний поток (має 2 входи, на один з яких надходять випадковий потік Заявок I, на інший вхід - потік Заявок II).

Визначення часів надходження та обслуговування заявок:

· Часи надходження та обслуговування заявок генеруються випадково із заданим показовим законом розподілу;

· Інтенсивності надходження та обслуговування заявок задані;

Функціонування аналізованої СМО:

Кожен канал обслуговує у кожний момент часу одну заявку;

Якщо в момент надходження нової заявки вільний хоча б один канал, то заявка надходить на обслуговування;

Якщо відсутні Заявки, то система простоює.

Дисципліна обслуговування:

Пріоритет Заявок I: якщо система зайнята (обидва канали обслуговують заявки), причому один із каналів зайнятий Заявкою II, Заявка I витісняють Заявку II; Заявка II залишає систему необслуженої;

Якщо на момент надходження Заявки II обидва канали зайняті, Заявка II не обслуговується;

Якщо на момент надходження Заявки I обидва канали обслуговують Заявки I, Заявка I, що надійшла, залишає систему необслуженою;

Завдання моделювання: знаючи параметри вхідних потоків заявок промоделювати поведінку системи та обчислити її основні характеристики її ефективності. Змінюючи величину Т від менших значень до більших (інтервал часу, протягом якого відбувається випадковий процес надходження заявок 1-го і 2-го потоку до СМО на обслуговування), можна знайти зміни критерію ефективності функціонування та вибрати оптимальний.

Критерії ефективності функціонування СМО:

· ймовірність відмови;

· Відносна пропускна здатність;

· Абсолютна пропускна здатність;

Принцип моделювання:

Вводимо початкові умови: загальний час роботи системи, значення інтенсивності потоків заявок; кількість реалізацій роботи системи;

Генеруємо моменти часу, в які прибувають заявки, послідовність приходу Заявок I Заявок II, час обслуговування кожної заявки, що прийшла;

Вважаємо, скільки заявок було обслужено, а скільки одержало відмову;

Розраховуємо критерій ефективності СМО;

РОЗДІЛ2 . ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Малюнок 1. Залежність ОПСС від часу

PROGRAM CAN_SMO;

CHANNAL = (FREE, CLAIM1, CLAIM2);

INTENSITY = слово;

STATISTICS = слово;

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL; (Канали)

T_, t, tc1, tc2: TIME; (Час)

l1, l2, n1, n2: INTENSITY; (Інтенсивності)

served1, not_served1,

served2, not_served2,

S: STATISTICS; (Статистика)

M,N:INTEGER;(число реалізацій)

FUNCTION W(t: TIME; l: INTENSITY) : boolean;(Визначає чи з'явилася заявка)

Begin (за інтенсивністю потоку l)

if random< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

FUNCTION F(t: TIME; n: INTENSITY) : TIME;(Визначає скільки оброблятиметься заявка)

Begin (за інтенсивністю обслуговування заявок n)

F:= t +round(60/(n));

Рисунок 2. Залежність ОППС від часу

WRITELN("ВВЕДІТЬ ЧИСЛО РЕАЛІЗАЦІЙ РОБОТИ СМО");

writeln(M, "-а реалізація");

CHANNAL1: = FREE; CHANNAL2: = FREE;

l1: = 3; l2: = 1; n1: = 2; n2: = 1;

served1:= 0; not_served1: = 0;

served2: = 0; not_served2: = 0;

write("Введіть час дослідження СМО - Т: "); readln(_T_);

if CHANNAL1 = CLAIM1 the inc (served1) else inc (served2);

CHANNAL1: = FREE;

writeln("Канал1 виконав заявку");

if CHANNAL2 = CLAIM1 the inc (served1) else inc (served2);

CHANNAL2: = FREE;

writeln("Канал2 виконав заявку");

Рисунок 3. Графік залежності ймовірності відмови у системі від часу

writeln("Надійшла заявка1");

якщо CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1: = CLAIM1; tc1:= F(t,n1); writeln("Канал1 прийняв заявку1"); end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2: = CLAIM1; tc2:= F(t,n1); writeln("Канал2 прийняв заявку1"); end

else if CHANNAL1 = CLAIM2 then

begin CHANNAL1: = CLAIM1; tc1:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Канал1 прийняв заявку1 замість заявки2"); end

else if CHANNAL2 = CLAIM2 then

begin CHANNAL2: = CLAIM1; tc2:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Канал2 прийняв заявку1 замість заявки2"); end

else begin inc(not_served1); writeln("заявка1 не обслужена"); end;

Рисунок 4. Залежність кількості заявок від часу

writeln("Надійшла заявка2");

якщо CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1: = CLAIM2; tc1:= F(t,n2); writeln("Канал1 прийняв заявку2");end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2: = CLAIM2; tc2:= F(t,n2); writeln("Канал2 прийняв заявку2");end

else begin inc(not_served2); writeln("заявка2 не обслужена"); end;

S: = served1 + not_served1 + served2 + not_served2;

writeln("час роботи СМО",_T_);

writeln("обслужено каналом1: ",served1);

writeln("обслужено каналом2:",served2);

writeln("Поступило заявок: ",S);

writeln("Обслужено заявок: ",served1+served2);

writeln("Не обслужено заявок: ",not_served1+not_served2);

(writeln("Інтенсивність надходження заявок до системи: ",(served1+served2)/_T_:2:3);)

writeln("Абсолютна пропускна здатність системи: ",(served1+served2)/T:2:3);

writeln("Вірогідність відмови: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("Відносна пропускна здатність системи: ",(served1+served2)/S:2:3);

writeln("моделювання закінчено");

Таблиця 2. Результати роботи СМО

Характеристики роботи СМО

Час роботи СМО

Надійшло заявок

Обслужено заявок

Чи не обслужено заявок

Абсолютна пропускна спроможність системи

Відносна пропускна спроможність системи

РОЗДІЛ 3.ПРАВИЛА ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ

Загальне положення

· До роботи в комп'ютерному класі допускаються особи, ознайомлені з інструкцією з техніки безпеки та правил поведінки.

· У разі порушення інструкції студент усувається від роботи та допускається до заняття лише за письмовим дозволом викладача.

· Робота студентів у комп'ютерному класі дозволяється лише у присутності викладача (інженера, лаборанта).

· Пам'ятайте, що кожен студент відповідає за стан свого робочого місця та збереження розміщеного на ньому обладнання.

Перед початком роботи:

· Перед початком роботи слід переконатися у відсутності видимих ​​пошкоджень апаратури та проводів. Комп'ютери та периферійні пристрої повинні знаходитись на столах у стійкому положенні.

· Учням категорично забороняється проникати всередину пристроїв. Вмикати пристрої можна лише за дозволом викладача.

Під час роботи в комп'ютерному класі забороняється:

1. Входити та виходити з класу без дозволу вчителя.

2. Запізнюватися на урок.

3. Входити в клас у брудному та мокрому взутті, курному одязі, в холодну пору року у верхньому одязі.

4. Працювати на комп'ютері вологими руками.

5. Класти робоче місце сторонні предмети.

6. Вставати під час роботи, повертатися на всі боки, розмовляти з сусідом.

7. Вмикати та вимикати апаратуру без дозволу вчителя.

8. Порушувати порядок включення та вимкнення апаратури.

9. Торкатися клавіатури та миші при вимкненому комп'ютері, пересувати меблі та апаратуру.

10. Торкатися екрану дисплея, кабелів, з'єднувальних проводів, роз'ємів, штепселів та розеток.

11. Підходити до робочого місця вчителя без дозволу

Головна загроза здоров'ю людини під час роботи з ПК - це загроза ураження електричним струмом. Тому забороняється:

1. Працювати на апаратурі, яка має видимі дефекти. Відкривати системний блок.

2. Приєднувати або від'єднувати кабелі, торкатися роз'ємів з'єднувальних кабелів, проводів і розеток, пристроїв заземлення.

3. Торкатися екрана та тильного боку монітора, клавіатури.

4. Намагатися самостійно усувати несправності у роботі апаратури.

5. Працювати у вологому одязі та вологими руками

6. Виконувати вимоги викладача та лаборанта; Дотримуватися тиші та порядку;

7. Перебуваючи у мережі працювати лише під своїм ім'ям та паролем;

8. Дотримуватися режиму роботи (згідно з Санітарними правилами і нормами);

9. Початок та закінчення роботи проводити лише за дозволом викладача.

10. При різкому погіршенні самопочуття (появі різі в очах, різкому погіршенні видимості, неможливості сфокусувати погляд або навести його на різкість, поява болю в пальцях і кистях рук, посилення серцебиття) негайно покинути робоче місце, повідомити про викладача, що відбувся;

11. Дотримуватись чистоти робочого місця.

12. Закінчення роботи провести з дозволу викладача.

13. Здати виконану роботу.

14. Завершити всі активні програми та коректно вимкнути комп'ютер.

15. Упорядкувати робоче місце.

16. Черговому перевірити готовність кабінету до наступного заняття.

При експлуатації обладнання необхідно остерігатися: - ураження електричним струмом;

- механічних ушкоджень, травм

У разі виникнення аварійних ситуацій:

1. При виявленні іскріння, появі запаху гару або виявлення інших неполадок слід негайно припинити роботу та повідомити про це вчителя.

2. При ураженні когось електрострумом необхідно: припинити роботу та відійти на безпечну відстань; відключити напругу (на розподільчому щитку кабінету); повідомити вчителя; приступити до надання першої допомоги та викликати лікаря.

3. Під час пожежі необхідно: припинити роботу та розпочати евакуацію; повідомити вчителя та викликати пожежну охорону (за тел. 01); відключити напругу (на розподільчому щитку кабінету); розпочати гасіння пожежі вогнегасником (водою гасити забороняється).

Подібні документи

Математична теорія масового обслуговування як розділ теорії випадкових процесів. Системи масового обслуговування заявок, що надходять через час. Відкрита марківська мережа, її немарківський випадок, знаходження стаціонарних імовірностей.

курсова робота , доданий 07.09.2009


Поняття системи масового обслуговування, її сутність та особливості. Теорія масового обслуговування як один із розділів теорії ймовірностей, що розглядаються питання. Поняття та характеристика випадкового процесу, його види та моделі. Обслуговування з очікуванням.

курсова робота , доданий 15.02.2009


Оптимізація керування потоком заявок у мережах масового обслуговування. Методи встановлення залежностей між характером вимог, числом каналів обслуговування, їх продуктивністю та ефективністю. Теорія графів; рівняння Колмогoрова, потоки подій.

контрольна робота , доданий 01.07.2015


Теорія масового обслуговування – область прикладної математики, що аналізує процеси у системах виробництва, у яких однорідні події повторюються багаторазово. Визначення властивостей системи масового обслуговування при постійних параметрах.

курсова робота , доданий 08.01.2009


Визначення випадкового процесу та його характеристики. Основні поняття теорії масового обслуговування. Концепція марковського випадкового процесу. Потоки подій. Рівняння Колмогорова. Граничні ймовірності станів. Процеси загибелі та розмноження.

реферат, доданий 08.01.2013


Стаціонарний розподіл імовірностей. Побудова математичних моделей, графів переходів. Отримання рівняння рівноваги систем масового обслуговування з різною кількістю приладів, вимогами різних типів та обмеженими чергами на приладах.

дипломна робота , доданий 23.12.2012


Аналіз ефективності найпростіших систем масового обслуговування, розрахунок їх технічних та економічних показників. Порівняння ефективності системи з відмовами із відповідною змішаною системою. Переваги початку системи зі змішаними властивостями.

курсова робота , доданий 25.02.2012


Складання імітаційної моделі та розрахунок показників ефективності системи масового обслуговування за заданими параметрами. Порівняння показників ефективності з одержаними шляхом чисельного розв'язання рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів системи.

курсова робота , доданий 17.12.2009


Приклади процесів розмноження та загибелі у разі найпростіших систем масового обслуговування. Математичне очікування системи масового обслуговування. Додатковий потік та нескінченна кількість приладів. Система з обмеженням на час перебування заявки.

курсова робота , доданий 26.01.2014


Деякі математичні питання теорії обслуговування складних систем. Організація обслуговування за обмеженої інформації про надійність системи. Алгоритми безвідмовної роботи системи та перебування часу планової запобіжної профілактики систем.