Роль логічних і комбінаторних завдань у досягненні метапредметних результатів під час навчання школярів математики.

Фрагмент експериментального робочого зошита

з розвитку евристичних умінь уч-ся 5 класу

Заняття №11 – 12.

Вчимося прийомів:«Розбиття цілого на частини», розбиття на підзавдання, математичне комбінування.

Усна розминка:

1. Літак долає відстань від Києва до Одеси за 1 годину 10 хв. На дорогу витрачає 70 хв без зміни початкової швидкості. Як це пояснити?

2. Росло 5 верб. На кожній вербі по 5 гілок. На кожній гілці по 5 менших гілок. А на кожній з тих гілочок по 5 груш. Скільки груш росло на дереві?

3. Колесо має 18 спиць. Скільки проміжків між ними?

Математична довідка:

Розкласти на підзавдання - означає виділити в завданні простіші завдання чи складові фігури, які необхідно вирішити або розглянути їх властивості, відносини для знаходження рішення складного завдання

Помічник

Опис кроків міркувань, дій

Зразок дій

Приклад 1. Скільки одиниць зустрінеться, якщо записати усі натуральні числа від 1 до 200?

Рішення: проаналізуємо умову: числа від 1 до 200 діляться на однозначні, двозначні та тризначні, причому цифра 1 може стояти будь-де і повторюватися. Отже маємо такі підзавдання:

1. Скільки двоцифрових чисел мають 1?

2. Скільки двоцифрових чисел мають 1 на першому місці?

Це числа від 10 до 19 включно, тобто 10

3. Скільки двоцифрових чисел мають 1 на другому місці?

з другого по дев'ятий десятки такі числа зустрічаються по одному, тобто 9

4. Скільки одиниць до 200 у тризначних числах першому місці?

5. Скільки одиниць у другій сотні на другому місці?

6. Скільки одиниць у трицифрових числах на третьому місці?

7. Обчислення:

1+10+9+100+10+10=140

Приклад 2. Знайти площу стіни "старовинної вежі": (Рис. 1)

Мал. 1 1 м

4 м

5 м

Рішення: Розглянемо цю фігуру та визначимо, з яких відомих фігур вона складається?

1 прямокутник і 5 квадратів, причому 2 із цих квадратів з фігури вирізані.

Висновок: площа фігури складається із суми площі прямокутника та суми площ трьох квадратів без площі двох квадратів усередині.

Є такі прості підзавдання:

1) знайти площу прямокутника

Запиши дії самостійно!

2) знайти площу квадрата

3) знайти площу вежі (подумай як)

Подумай як можна розбити на фігури "вежу" в інший спосіб.

Спробуй скласти план рішення та вирішити.

Звір результати у двох способах.

Алгоритм-орієнтир

1. Визнач мету завдання.

2. Проаналізуй умови відповідно до поставленої мети.

3. Визнач, чи можна розбити умову на частини.

4. Якщо умова не розбивається, спробуй розбити на частини об'єкт у завданні.

5. Чи можна розділити вимоги завдання (запитання)?

6. Розглянь частини, які вони мають властивості, або зв'язки, відносини відповідно до завдання.

7. Продумай дії щодо вирішення кожної виділеної частини (виділеної простий у завдання)

8. Склади план розв'язання задачі за виділеними підзавданнями.

Виконай самостійно :

1. У книзі пронумеровані сторінки з першої по сто сімдесят другу. Скільки цифр було надруковано за нумерації сторінок?

2. Для нумерації сторінок книги довелося надрукувати 2001 року цифру. Скільки сторінок у цій книзі?

3. Знайти площу затемненої частини фігури, якщо АВ = АС = 12 (див. мал. 2)

Мал. 2

А З|із|

4. Петя розрізав дріт на шматочки і склав фігуру (рис.3). Чи міг би Петя скласти з цього дроту фігуру (рис. 4)? (Розбив на підзавдання)

рис.3 рис. 4

1 см 1см | 1см | 1 см 1см | 3 см 3 см 3 см

2 см

5. Квадрат розрізали на 4 рівні частини та склали з них 2 квадрати. Як це зробили?

Обміркуй на дозвіллі:

Спробуй намалювати два квадрати так, щоб усі левенята виявилися "замкненими в клітинах".

Роль логічних та комбінаторних завдань у досягненні метапредметних результатів при навчанні школярів математики

Козловська Н.А., учитель математики

МАНОУ "Гімназія №2",

м. Маріїнськ Кемеровської обл.

Сучасна школа має готувати своїх учнів до життя у новому світі. Реалізація федерального державного освітнього стандарту вимагає і нових підходів до навчання учнів, використання таких методів та прийомів, які формують у школярів навички самостійного добування знань, уміння висувати гіпотези, робити висновки та робити висновки.

Завдання вчителя – допомогти учням освоїти універсальні способи дії, об'єктивно оцінити свої можливості, здібності, інтереси та схильності. "Потрібно, щоб діти, наскільки можна, вчилися самостійно, а вчитель керував цим самостійним процесом і давав йому матеріал" - слова К.Д. Ушинського відбивають суть уроку сучасного типу. Вимоги федерального державного освітнього стандарту не є абсолютно новим для практикуючих вчителів. І все ж у багатьох педагогів вони викликали тривогу та невпевненість у своїх силах. Як спроектувати урок, який би формував не лише предметні, а й метапредметні результати? Які із запропонованих у підручнику завдань доцільно відібрати для уроку? Які методи та прийоми роботи будуть ефективними? Які форми організації діяльності учнів варто застосовувати? І, нарешті, потрібно зовсім відмовитися від прийнятих у традиційній методиці викладання форм роботи з учнями? Це далеко не всі питання, які сьогодні ставить вчитель, який реалізує ФГОС ТОВ.

У матеріалах стандарту особистісні, метапредметні та предметні досягнення учнів виступають результатом освіти. Якщо розуміння особистісних та предметних результатів у вчителів є, то метапредметмі результати, їх формування та діагностування у учнів ще належить освоювати 1 . Під метапредметними результатами розуміються універсальні способи діяльності учнів – пізнавальні, комунікативні – та способи регулювання своєї діяльності, включаючи планування, контроль та корекцію. Освоюються універсальні способи діяльності учнями з урахуванням одного, кількох чи всіх навчальних предметів і застосовуються як і рамках освітнього процесу, і під час вирішення проблем у реальних життєвих ситуаціях.

Вивчення математики в основній школі спрямоване на досягнення наступних цілей у метапредметному напрямі:

формування уявлень про математику як частини загальнолюдської культури, про значущість математики у розвитку цивілізації та сучасного суспільства;

розвиток уявлень про математику як форму опису та метод пізнання дійсності, створення умов для набуття початкового досвіду математичного моделювання;

формування загальних методів інтелектуальної діяльності, притаманних математики і є основою пізнавальної культури, значимої різноманітних сфер людської діяльності.

Оцінка метапредметних результатів описана як оцінка запланованих результатів, представлених у розділах: «Регулятивні навчальні дії», «Комунікативні навчальні дії», «Пізнавальні навчальні дії».

Досягнення метапредметних результатів забезпечується рахунок основних компонентів освітнього процесу, тобто всіх навчальних предметів, базисного плану і застосовуються учнями як і рамках освітнього процесу, і під час вирішення проблем у реальних життєвих ситуаціях.

Основним об'єктом оцінки метапредметних результатів є сформованість низки регулятивних, комунікативних і пізнавальних універсальних процесів, тобто. таких розумових дій учнів, які спрямовані на аналіз та управління своєю пізнавальною діяльністю. Інакше кажучи, основний зміст оцінки метапредметних результатів у шкільництві будується навколо поняття «уміння вчитися». Однією з напрямів застосування умінь у математиці є посилення прикладної спрямованості, т. е. поява цілого пласта завдань практичної спрямованості. Такі завдання з'явилися в підсумкових КІМах з математики (ЄДІ, ОДЕ), це завдання на використання набутих математичних знань у повсякденному житті. Такі завдання дозволяють розвивати метапредметні компетенції, показують зв'язок математики з життям, що зумовлює посилення мотивації до вивчення даного предмета 2 .

У Федеральному державному освітньому стандарті основної загальної освіти містяться вимоги до метапредметних результатів навчання 3 .

Відповідно до цього документа, метапредметні результати освоєння основної освітньої програми основної загальної освіти повинні відображати 4:

Вміння самостійно визначати цілі свого навчання, ставити та формулювати для себе нові завдання у навчанні та пізнавальній діяльності, розвивати мотиви та інтереси своєї пізнавальної діяльності;

Вміння самостійно планувати шляхи досягнення цілей, у тому числі альтернативні, усвідомлено вибирати найефективніші способи вирішення навчальних та пізнавальних завдань;

Вміння співвідносити свої дії з планованими результатами, здійснювати контроль своєї діяльності в процесі досягнення результату, визначати способи дій у рамках запропонованих умов та вимог, коригувати свої дії відповідно до ситуації, що змінюється;

Вміння оцінювати правильність виконання навчальної задачі, власні можливості її розв'язання;

Володіння основами самоконтролю, самооцінки, прийняття рішень та здійснення усвідомленого вибору навчальної та пізнавальної діяльності;

Вміння визначати поняття, створювати узагальнення, встановлювати аналогії, класифікувати, самостійно вибирати підстави та критерії для класифікації, встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, будувати логічне міркування, висновок (індуктивне, дедуктивне та за аналогією) та робити висновки;

Вміння створювати, застосовувати та перетворювати знаки та символи, моделі та схеми для вирішення навчальних та пізнавальних завдань;

Змістове читання;

Вміння організовувати навчальну співпрацю та спільну діяльність з учителем та однолітками; працювати індивідуально та у групі: знаходити загальне рішення та вирішувати конфлікти на основі узгодження позицій та обліку інтересів; формулювати, аргументувати та відстоювати свою думку;

Вміння усвідомлено використовувати мовні засоби відповідно до завдання комунікації для вираження своїх почуттів, думок та потреб, планування та регулювання своєї діяльності; володіння усною та письмовою мовою, монологічною контекстною мовою;

Формування та розвиток компетентності у сфері використання інформаційно-комунікаційних технологій;

Формування та розвиток екологічного мислення, вміння застосовувати його у пізнавальній, комунікативній, соціальній практиці та професійній орієнтації.

Протягом усіх років навчання у школі ми багато вирішуємо різноманітних завдань, у тому числі комбінаторних та логічних. Щоб успішно вирішувати завдання такого виду, треба вміти виділяти їх загальні ознаки, помічати закономірності, висувати гіпотези, перевіряти їх, будувати ланцюжки міркувань, робити висновки.

Логічні завдання від звичайних відрізняються тим, що вимагають обчислень, а вирішуються з допомогою міркувань. Найчастіше ці завдання мають цікавий характері не вимагають великого запасу математичних знань, тому вони залучають навіть тих учнів, які дуже люблять математику.

При навчанні математики останнім часом зростає роль комбінаторних завдань, оскільки саме в них закладаються можливості не тільки для розвитку алгоритмічного та логічного мислення учнів, а й для підготовки учнів до вирішення проблем, що виникають у повсякденному житті.

Оцінку метапредметних результатів можна проводити під час різних процедур: вирішення завдань творчого та пошукового характеру, підсумкові перевірочні роботи, комплексні роботи на міжпредметній основі та інші.

Наведу приклади таких завдань.

Вміння самостійно планувати шляхи досягнення цілей, у тому числі альтернативні, усвідомлено обирати найбільш ефективні способи вирішення навчальних та пізнавальних завдань.

Завдання 1 5 .Складіть алгоритм знаходження площі трикутника (див. рис.). Знайти площу трикутника. Що можна сказати про кількість способів розв'язання цієї задачі.

Вірне рішення.

Доповнити цей трикутник до прямокутника, побудувавши на кожній його стороні прямокутний трикутник;

2. Знайти площі цих трикутників та обчислити їх суму;

3. Знайти площу прямокутника;

4. Знайти різницю площ, що вийшли. Це і є потрібна площа.

Відповідь: 6 см 2; цей спосіб не єдиний.

Коментар . Тут можна перевірити вміння ставити цілі, створювати алгоритм на вирішення навчальних математичних проблем учнем самостійно.

Вміння бачити математичне завдання у контексті проблемної ситуації в інших дисциплінах, у навколишньому житті

Завдання 1 6 .У три пакети розклали карамель, але до неї потрапили кілька ірисок. З якого пакета більше шансів вийняти навмання іриску і з якого менше?

Відповідь: із зеленого пакету – більше шансів, із червоного – менше шансів.

Коментар: перевіряється оволодіння навичкою смислового читання тексту математичного змісту, вміння аналізувати, встановлювати зв'язки та залежності між об'єктами, вміння будувати логічний ланцюжок міркувань та вибирати правильну відповідь.

Завдання 2 7 .Чашка, яка коштувала 90 рублів, продається з 10% знижкою. Купуючи 10 таких чашок покупець віддав касиру 1000 рублів. Скільки рублів здачі він має отримати?

Рішення (можливі інші варіанти рішення)

90: 100 = 0,9 (крб) - на 1%

0,9  10 = 9 (руб) – на 10%

90 - 9 = 81 (руб) - вартість чашки зі знижкою

81  10 = 810 (руб) – вартість 10 чашок

1000 - 810 = 190 (руб) - здавання з покупки

Відповідь: 190 руб.

Коментар: перевіряється оволодіння навичкою смислового читання тексту математичного змісту, вміння встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, будувати логічний ланцюжок міркувань

Завдання 3.Печиво запакували в пачки по 250 г. Пачки склали в ящик у 4 шари. Кожен шар має 5 рядів, по 6 пачок у кожному. Чи витримає скриньку, якщо максимальна маса, на яку вона розрахована, дорівнює 32 кг?

5  6 = 30 (п) – печива в одному шарі

30  4 = 120 (п) – печива у 4 шарах

120  250 = 30000 (г) – печива

30000 г = 30 кг - маса всього печива

Відповідь: витримає

Коментар . Перевіряється здатність зіставляти отриманий результат і питання.

Завдання 4.Вантажопідйомність пасажирського ліфта у житловому будинку, як правило, близько 400 кг. Чи зможе такий ліфт підняти всіх членів вашої родини? Поясни.

Відповідь. Завдання вирішити не можна: невідомо, скільки членів сім'ї та яка вага кожного.

Коментар. Перевіряється дія аналізу – здатності зробити висновок у заданій ситуації (відсутність однієї умови не дає можливість розв'язання), алгоритмізувати (прикидати) перебіг рішення, пояснювати можливість розв'язання навчальної задачі.

Вміння співвідносити свої дії з запланованими результатами, здійснювати контроль своєї діяльності у процесі досягнення результату.

Завдання 1 8 .Гральний кубик кидають двічі. Скільки елементарних наслідків досвіду сприяють події «А = сума очок дорівнює 5»?

Сума очок може дорівнювати 5 у чотирьох випадках: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Коментар. Перевіряється готовність контролювати процес і результат виконання навчальної задачі: «Сума очок може дорівнювати 5»

Завдання 2. Скільки існує трицифрових чисел, сума цифр яких дорівнює двом?

Рішення: 200, 110, 101

Відповідь: 3 числа

Коментар. Перевіряється готовність контролювати процес та результат виконання навчального завдання: «Сума цифр дорівнює 2»

Вміння знаходити в різних джерелах інформацію, необхідну для математичних проблем, та подавати її у зрозумілій формі; приймати рішення в умовах неповної та надмірної, точної та ймовірнісної інформації

Завдання 1 9 .Михайло вирішив відвідати Парк атракціонів. Відомості про квитки на атракціони представлені в таблиці. Деякі квитки дозволяють відвідати одразу два атракціони.

Номер квитка	Відвідувані атракціони	Вартість (руб.)
	Американські гірки
	Кімната страху, американські гірки
	Автодром, американські гірки
	Колесо огляду
	Колесо огляду, автодром
	Автодром

Користуючись таблицею, підберіть набір квитків так, щоб Михайло відвідав усі чотири атракціони: колесо огляду, кімнату страху, американські гірки, автодром, а сумарна вартість квитків не перевищувала 800 рублів. У відповіді вкажіть рівно один набір номерів квитків без пробілів, ком та інших додаткових символів

Квитка тільки на кімнату страху немає, тому необхідно придбати другий квиток, внаслідок чого перший та третій квитки не потрібні. Залишається взяти або четвертий і шостий (750 рублів) або просто п'ятий (700 рублів).

Відповідь: 246 або 25

Коментар . Перевіряється вміння учнів працювати з інформацією, поданої як таблиці, вміння приймати рішення за умов надлишкової інформації.

Завдання 2.Рахунок, отриманий кілька років тому у магазині, зберігся не повністю. Відновіть рахунок. 10

Рахунок
Назва	Кількість предметів	Ціна	Вартість
Олівці

Коментар . Перевіряється вміння учня працювати з інформацією, поданої як таблиці, вміння приймати рішення за умов неповної інформації.

Вірна відповідь:

Рахунок
Назва	Кількість предметів	Ціна	Вартість
Олівці

Завдання 3 11 .Від будинку до дачі можна доїхати автобусом, електричкою або маршрутним таксі. У таблиці показано час, який потрібно витратити на кожну ділянку колії. Який найменший час знадобиться на дорогу? Відповідь дайте у годиннику.

Автобусом	Від будинку до автобусної станції – 15 хв.	Автобус у дорозі: 2 год 15 хв.	Від зупинки автобуса до дачі пішки 5 хв.
Електричкою	Від будинку до станції залізниці – 25 хв.	Електричка в дорозі: 1 год 45 хв.	Від станції до дачі пішки 20 хв.
Маршрутним таксі	Від будинку до зупинки маршрутного таксі – 25 хв.	Маршрутне таксі у дорозі: 1 год 35 хв.	Від зупинки маршрутного таксі до дачі пішки 40 хвилин

При поїздці автобусом потрібно часу 15 хв. + 2 год. 15 хв. + 5 хв. = 2 год. 35 хв.

При поїздці електричкою потрібно часу 25 хв. + 1 год. 45 хв. + 20 хв. = 2 год. 30 хв. = 2,5 год.

При поїздці маршрутним таксі потрібно часу 25 хв. + 1 год. 35 хв. + 40 хв. = 2 год. 40 хв.

Коментар . Перевіряється розуміння інформації, поданої у вигляді таблиці, її «читання» та аналіз для відповіді на запитання задачі

Вміння розуміти та використовувати математичні засоби наочності (графіки, діаграми, таблиці, схеми та ін.) для ілюстрації, інтерпретації, аргументації

Завдання 1 12 .Андрій та Іван змагалися у 50-метровому басейні на дистанції 100 м. Графіки їхніх запливів показані на малюнку. По горизонтальній осі відкладено час, а по вертикальній – відстань плавця від старту. Хто швидше проплив першу половину дистанції? У відповіді запишіть, на скільки секунд він проплив першу половину дистанції.

Рішення.

З графіка видно, що Андрій швидше проплив першу половину дистанції за 40 секунд, а Іван за 60 секунд. Таким чином, Андрій проплив першу половину дистанції на 60 - 40 = 20 с швидше.

Коментар. Перевіряється вміння розуміти математичні засоби наочності, «читати» та використовувати інформацію, подану у вигляді графіка

Завдання 2 13 .У таблиці наведено нормативи з бігу на лижах на 1 км для 10 класу.

	хлопчики				дівчатка
Позначка
Час (мін. та сек.)

Яку відмітку отримає дівчинка, яка пробігла на лижах 1 км за 6 хвилин 15 секунд?

Час пробігу дистанції в 1 км (для дівчаток) можна поділити на наступні категорії:

1) 6 хвилин і менше – отримання оцінки «5»;

2) від 6 хвилин до 6 хвилин 30 секунд – отримання оцінки «4»;

3) від 6 хвилин 30 секунд до 7 хвилин 10 секунд – отримання оцінки «3»;

4) 7 хвилин 10 секунд і більше – отримання оцінки «незадовільно».

Значення 6 хвилин 15 секунд відноситься до другого та відповідає отриманню оцінки «4».

Коментар. Перевіряється вміння учня працювати з інформацією, поданою у вигляді таблиці

Завдання 3. На діаграмі показано розподіл площ океанів. Виберіть океан із найменшою площею.

Рішення. Північний Льодовитий океан

Коментар. Перевіряється вміння отримувати інформацію з діаграм, порівнювати величини, знаходити найбільше та найменше значення.

Завдання 4 14. Квартира складається з кімнати, кухні, коридору та санвузла. Кухня має розміри 3 м на 3,5 м, санвузол – 1 на 1,5 м, довжина коридору – 5,5 м. Знайдіть площу кімнати. Відповідь запишіть у квадратних метрах.

Знайдемо площу всієї квартири: S квар = 4,5  7 = 31,5 м 2

Знайдемо площу кухні: 3,5  3 = 10,5 м 2

Знайдемо площу с/в та коридору: (1,5 + 5,5)  1 = 7 м 2

Площа кімнати: 31,5 – 10,5 – 7 = 14 м 2

Периметр багатокутника

Відповіді до стор.

1. 1) Виміряй сторони багатокутників і знайди периметр кожного з них у сантиметрах.

1) 3+4+4+1=12 (см)
2) 3+3+4=10 (см)
3) 2 + 5 + 5 + 3 = 15 (см)

2) Згадай, як, використовуючи циркуль, знаходили довжину ламаної. Розкажи, як можна знайти периметр багатокутника, не впізнаючи довжину кожної його сторін. Знайди цим способом периметр трикутника.

На прямій треба відкласти відрізки, рівні довжинам сторін багатокутника, та виміряти загальну довжину відрізків. Це буде периметр прямокутника.

2. Слава зігнув шматок дроту так, що вийшов трикутник зі сторонами завдовжки 8 см, 3 см і 6 см. Якою довжиною був цей шматок дроту? Чому дорівнює периметр трикутника?

8 + 3 + 6 = 17 (см) - Довжина шматка дроту дорівнює довжині периметра трикутника.

3. Порівняй вирази.
1) Суму чисел 8 та 9 та різницю чисел 20 та 1.

8 + 9 < 20 — 1

2) Різниця чисел 16 та 8 та різниця чисел 16 та 10

16 — 8 > 16 — 10

4. У Діми дві монети: 5 нар. та 2 р. Він купив зошит за 3р. Скільки карбованців у нього залишилося?
Юля та Слава склали з цього завдання різні висловлювання.
Юля: Слава:
(5 + 2) — 3 (5 — 3) + 2
Поясни, як міркував кожен із них.

Юля знайшла кількість грошей, яка була у Діми (5+2), а потім відняла з неї ціну зошита.
Слава знайшов здачу після покупки зошита (5 - 3), а потім склав здачу і гроші, що залишилися у Діми.

ЗАВДАННЯ НА ПОЛЯХ:

Набери 13:

13 = 3 + 7 + 3
13 = 4 + 6 + 2 +1 і т.д.