Довірчий інтервал. Довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу за відомої дисперсії

Довірчий інтервал– граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде у цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірність γ з досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:

• довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
• довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення; довірчий інтервал для генеральної частки;

Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад). Нижче наведено відеоінструкцію, як заповнювати вихідні дані.

Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу вовни однією вівцю і межі, у яких укладена величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції посаді Московської Північної митниці було взято як випадкової повторної вибірки 20 проб продукту «А». В результаті перевірки встановлено середню вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте з ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту в усій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, дорівнювала 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний закон розподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0 ,99 інтервальну оцінку для математичного очікування цієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування абсолютної величини не більше, ніж на 2.

Класифікація довірчих інтервалів

По виду оцінюваного параметра:

За типом вибірки:

1. Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
2. Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;

Вибірка називається повторноюякщо відібраний об'єкт перед вибором наступного повертається в генеральну сукупність. Вибірка називається безповторноюякщо відібраний об'єкт у генеральну сукупність не повертається. Насправді зазвичай мають справу з безповторними вибірками.

Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому відборі

Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупності називається помилкою репрезентативності.
Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.

Формули середньої помилки вибірки
повторний відбір		безповторний відбір
для середньої	для частки	для середньої	для частки

Співвідношення між межею помилки вибірки (Δ), що гарантується з деякою ймовірністю Р(t),та середньою помилкою вибірки має вигляд: або Δ = t·μ, де t- Коефіцієнт довіри, що визначається залежно від рівня ймовірності Р(t) по таблиці інтегральної функції Лапласа.

Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору

Нехай випадкова величина (можна говорити про генеральну сукупність) розподілена за нормальним законом, для якого відома дисперсія D = 2 (> 0). З генеральної сукупності (на багатьох об'єктів якої визначено випадкова величина) робиться вибірка обсягу n. Вибірка x 1 , x 2 ,..., x n сприймається як сукупність n незалежних випадкових величин, розподілених як і (підхід, якому дано пояснення вище з тексту).

Раніше також обговорювалися та доведені такі рівності:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Досить просто довести (ми доказ опускаємо), що випадкова величина у разі також розподілена за нормальним законом.

Позначимо невідому величину M через a і підберемо за заданою надійністю число d > 0 так, щоб виконувалася умова:

P(- a< d) = (1)

Так як випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням M = M = a і дисперсією D = D /n = 2 /n, отримуємо:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Залишилося підібрати d таким, щоб виконувалася рівність

Для будь-якого можна по таблиці знайти таке число t, що (t) = / 2. Це число t іноді називають квантилем.

Тепер із рівності

визначимо значення d:

Остаточний результат отримаємо, подавши формулу (1) у вигляді:

Сенс останньої формули полягає в наступному: з надійністю довірчий інтервал

покриває невідомий параметр a = M генеральної сукупності. Можна сказати інакше: точкова оцінка визначає значення параметра M з точністю d = t / та надійністю.

Завдання. Нехай є генеральна сукупність з деякою характеристикою, розподіленою за нормальним законом із дисперсією, що дорівнює 6,25. Зроблено вибірку обсягу n = 27 та отримано середньовибіркове значення характеристики = 12. Знайти довірчий інтервал, що покриває невідоме математичне очікування досліджуваної характеристики генеральної сукупності з надійністю =0,99.

Рішення. Спочатку таблиці для функції Лапласа знайдемо значення t з рівності (t) = / 2 = 0,495. За отриманим значенням t = 2,58 визначимо точність оцінки (або половину довжини довірчого інтервалу) d: d = 2,52,58/1,24. Звідси одержуємо шуканий довірчий інтервал: (10,76; 13,24).

статистична гіпотеза генеральний варіаційний

Довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу при невідомій дисперсії

Нехай - випадкова величина, розподілена за нормальним законом із невідомим математичним очікуванням M, яке позначимо буквою a . Зробимо вибірку обсягу n. Визначимо середню вибіркову та виправлену вибіркову дисперсію s 2 за відомими формулами.

Випадкова величина

розподілена згідно із законом Стьюдента з n - 1 ступенями свободи.

Завдання полягає в тому, щоб за заданою надійністю і за числом ступенів свободи n - 1 знайти таке число t щоб виконувалася рівність

або еквівалентна рівність

Тут у дужках написана умова того, що значення невідомого параметра належить деякому проміжку, який і є довірчим інтервалом. Його межі залежать від надійності, а також параметрів вибірки і s.

Щоб визначити значення t за величиною, рівність (2) перетворюємо на вигляд:

Тепер по таблиці для випадкової величини t, розподіленої згідно із законом Стьюдента, за ймовірністю 1 - і числом ступенів свободи n - 1 знаходимо t. Формула (3) відповідає поставленої задачі.

Завдання. На контрольних випробуваннях 20 електроламп середня тривалість їх роботи дорівнювала 2000 годин при середньому квадратичному відхиленні (розрахованому як корінь квадратний з виправленої вибіркової дисперсії), що дорівнює 11 годин. Відомо, що тривалість роботи лампи є нормально розподіленою випадковою величиною. Визначити з надійністю 0,95 довірчий інтервал для математичного очікування цієї випадкової величини.

Рішення. Розмір 1 - у разі дорівнює 0,05. По таблиці розподілу Стьюдента, за числі ступенів свободи, що дорівнює 19, знаходимо: t = 2,093. Обчислимо тепер точність оцінки: 2,093121/=56,6. Звідси одержуємо шуканий довірчий інтервал: (1943,4; 2056,6).

Довірчий інтервал для математичного очікування - це такий обчислений за даними інтервал, який з певною ймовірністю містить математичне очікування генеральної сукупності. Природною оцінкою для математичного очікування є середнє арифметичне її спостережених значень. Тому далі протягом уроку ми користуватимемося термінами "середнє", "середнє значення". У завданнях розрахунку довірчого інтервалу найчастіше потрібна відповідь типу "Довірчий інтервал середнього числа [величина у конкретній задачі] знаходиться від [менше значення] до [більше значення]". З допомогою довірчого інтервалу можна оцінювати як середні значення, а й питому вагу тієї чи іншої ознаки генеральної сукупності. Середні значення, дисперсія, стандартне відхилення та похибка, через які ми будемо приходити до нових визначень та формул, розібрані на уроці Характеристики вибірки та генеральної сукупності .

Точкова та інтервальна оцінки середнього значення

Якщо середнє значення генеральної сукупності оцінюється числом (точкою), то оцінку невідомої середньої величини генеральної сукупності приймається конкретне середнє, яке розраховано за вибіркою спостережень. У разі значення середнього вибірки - випадкової величини - не збігається із середнім значенням генеральної сукупності. Тому, вказуючи середнє значення вибірки, одночасно потрібно вказувати помилку вибірки. В якості міри помилки вибірки використовується стандартна помилка, яка виражена в тих самих одиницях виміру, що і середнє. Тому найчастіше використовується наступний запис: .

Якщо оцінку середнього потрібно пов'язати з певною ймовірністю, то параметр генеральної сукупності, що цікавить, потрібно оцінювати не одним числом, а інтервалом. Довірчим інтервалом називають інтервал, у якому з певною ймовірністю Pперебуває значення оцінюваного показника генеральної сукупності. Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю P = 1 - α знаходиться випадкова величина , розраховується так:

,

α = 1 - P, який можна знайти у додатку до практично будь-якої книги зі статистики.

Насправді середнє значення генеральної сукупності і дисперсія невідомі, тому дисперсія генеральної сукупності замінюється дисперсією вибірки , а середнє генеральної сукупності - середнім значенням вибірки . Таким чином, довірчий інтервал у більшості випадків розраховується так:

.

Формулу довірчого інтервалу можна використовувати для оцінки середньої генеральної сукупності, якщо

• відоме стандартне відхилення генеральної сукупності;
• або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, але обсяг вибірки – більше 30.

Середнє значення вибірки є незміщеною оцінкою середньої генеральної сукупності. У свою чергу, дисперсія вибірки не є незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Для отримання незміщеної оцінки дисперсії генеральної сукупності у формулі дисперсії вибірки обсяг вибірки nслід замінити на n-1.

приклад 1.Зібрано інформацію зі 100 випадково обраних кафе в деякому місті про те, що середня кількість працівників у них становить 10,5 зі стандартним відхиленням 4,6. Визначити довірчий інтервал 95% від числа працівників кафе.

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Таким чином, довірчий інтервал 95% середньої кількості працівників кафе становив від 9,6 до 11,4.

приклад 2.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності з 64 спостережень обчислено такі сумарні величини:

сума значень у спостереженнях,

сума квадратів відхилення значень від середнього .

Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування.

обчислимо стандартне відхилення:

,

обчислимо середнє значення:

.

Підставляємо значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

Таким чином, довірчий інтервал 95% для математичного очікування цієї вибірки становив від 7,484 до 11,266.

приклад 3.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності зі 100 спостережень обчислено середнє значення 15,2 та стандартне відхилення 3,2. Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування, потім довірчий інтервал 99%. Якщо потужність вибірки та її варіація залишаються незмінними, а збільшується довірчий коефіцієнт, то довірчий інтервал звузиться чи розшириться?

Підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 95% для середньої даної вибірки становив від 14,57 до 15,82.

Знову підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,01 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 99% для середньої даної вибірки становив від 14,37 до 16,02.

Як бачимо, при збільшенні довірчого коефіцієнта збільшується також критичне значення стандартного нормального розподілу, а отже початкова і кінцева точки інтервалу розташовані далі від середнього, і таким чином довірчий інтервал для математичного очікування збільшується.

Точкова та інтервальна оцінки частки

Питому вагу деякої ознаки вибірки можна інтерпретувати як точкову оцінку частки pцієї ж ознаки в генеральній сукупності. Якщо ж цю величину потрібно пов'язати з ймовірністю, слід розрахувати довірчий інтервал частки pознаки у генеральній сукупності з ймовірністю P = 1 - α :

.

приклад 4.У деякому місті два кандидати Aі Bпретендують на посаду мера Випадково було опитано 200 жителів міста, з яких 46% відповіли, що голосуватимуть за кандидата A, 26% - за кандидата Bта 28% не знають, за кого голосуватимуть. Визначити довірчий інтервал 95% для частки жителів міста, які підтримують кандидата A.

Ви можете використовувати цю форму пошуку, щоб знайти потрібне завдання. Введіть слово, фразу із завдання чи її номер, якщо він вам відомий.

Шукати тільки у цьому розділі

Довірчі інтервали: список розв'язків задач

Довірчі інтервали: теорія та завдання

Загальні відомості про довірчі інтервали

Введемо коротко поняття довірчого інтервалу, який
1) оцінює деякий параметр числової вибірки безпосередньо за даними самої вибірки,
2) накриває значення цього параметра із ймовірністю γ.

Довірчим інтерваломдля параметра X(при ймовірності γ) називається інтервал виду , такий що , а значення обчислюються деяким чином на вибірці .

Зазвичай у прикладних задачах довірчу ймовірність беруть рівною γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Розглянемо деяку вибірку обсягу n, зроблену з генеральної сукупності, розподіленої, імовірно, за нормальним законом розподілу. Покажемо, за якими формулами є довірчі інтервали для параметрів розподілу- математичного очікування та дисперсії (середнього квадратичного відхилення).

Довірчий інтервал для математичного очікування

Випадок 1.Дисперсія розподілу відома і дорівнює. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вигляд:
tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням

Випадок 2Дисперсія розподілу невідома, за вибіркою обчислено точкову оцінку дисперсії. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вигляд:
де - вибіркове середнє, обчислене за вибіркою, параметр tвизначається з таблиці розподілу Стьюдента

приклад.За даними 7 вимірювань деякої величини знайдені середня результатів вимірювань, що дорівнює 30 і вибіркова дисперсія, що дорівнює 36. Знайдіть межі, в яких з надійністю 0,99 укладено справжнє значення вимірюваної величини.

Рішення.Знайдемо . Тоді довірчі межі для інтервалу, що містить справжнє значення вимірюваної величини, можна знайти за формулою:
, де – вибіркове середнє, – вибіркова дисперсія. Підставляємо всі величини та отримуємо:

Довірчий інтервал для дисперсії

Вважаємо, що взагалі кажучи, математичне очікування невідоме, а відома лише точкова незміщена оцінка дисперсії. Тоді довірчий інтервал має вигляд:
, де - Квантилі розподілу, що визначаються з таблиць.

приклад.За даними 7 випробувань знайдено значення оцінки для середньоквадратичного відхилення s=12. Знайти із ймовірністю 0,9 ширину довірчого інтервалу, побудованого для оцінки дисперсії.

Рішення.Довірчий інтервал для невідомої дисперсії генеральної сукупності можна знайти за такою формулою:

Підставляємо та отримуємо:


Тоді ширина довірчого інтервалу дорівнює 465,589-71,708 = 393,881.

Довірчий інтервал для ймовірності (частки)

Випадок 1.Нехай у задачі відомий обсяг вибірки та вибіркова частка (відносна частота) . Тоді довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) має вигляд:
, де параметр tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням.

Випадок 2Якщо в задачі додатково відомий загальний обсяг сукупності , з якої було зроблено вибірку, довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) можна знайти за скоригованою формулою:
.

приклад.Відомо, що знайти межі, в яких з ймовірністю укладено генеральну частку.

Рішення.Використовуємо формулу:

Знайдемо параметр із умови , отримаємо Підставляємо у формулу:

Інші приклади завдань математичної статистики ви знайдете на сторінці