Sabit katsayılı yüksek mertebeden diferansiyel denklemler. İkinci mertebeden ve yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

Genellikle sadece bir söz diferansiyel denklemleröğrencileri rahatsız eder. Bu neden oluyor? Çoğu zaman, çünkü malzemenin temellerini incelerken, difurların daha fazla çalışmasının basitçe işkence haline gelmesi nedeniyle bilgide bir boşluk ortaya çıkar. Ne yapılacağı belli değil, nereden başlayacağınıza nasıl karar verilir?

Ancak biz size difurun göründüğü kadar zor olmadığını göstermeye çalışacağız.

Diferansiyel denklemler teorisinin temel kavramları

Okuldan, bilinmeyen x'i bulmamız gereken en basit denklemleri biliyoruz. Aslında diferansiyel denklemler onlardan sadece biraz farklı - bir değişken yerine X bir işlev bulmaları gerekiyor y(x) , bu denklemi bir kimliğe dönüştürecektir.

D diferansiyel denklemler büyük pratik öneme sahiptirler. Bu, çevremizdeki dünyayla hiçbir ilgisi olmayan soyut matematik değildir. Diferansiyel denklemler yardımıyla birçok gerçek doğal süreç tanımlanır. Örneğin, tel titreşimleri, bir harmonik osilatörün hareketi, mekanik problemlerinde diferansiyel denklemler aracılığıyla, bir cismin hızını ve ivmesini bulur. Ayrıca DU biyoloji, kimya, ekonomi ve diğer birçok bilimde yaygın olarak kullanılmaktadır.

diferansiyel denklem (DU) y(x) fonksiyonunun türevlerini, fonksiyonun kendisini, bağımsız değişkenleri ve diğer parametreleri çeşitli kombinasyonlarda içeren bir denklemdir.

Birçok diferansiyel denklem türü vardır: adi diferansiyel denklemler, lineer ve lineer olmayan, homojen ve homojen olmayan, birinci ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, kısmi diferansiyel denklemler vb.

Bir diferansiyel denklemin çözümü, onu bir kimliğe dönüştüren bir fonksiyondur. Uzaktan kumandanın genel ve özel çözümleri vardır.

Diferansiyel denklemin genel çözümü, denklemi bir özdeşliğe dönüştüren genel çözümler kümesidir. Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümü, başlangıçta belirtilen ek koşulları sağlayan bir çözümdür.

Bir diferansiyel denklemin mertebesi, içerdiği türevlerin en yüksek mertebesine göre belirlenir.

Adi diferansiyel denklemler

Adi diferansiyel denklemler bir bağımsız değişken içeren denklemlerdir.

Birinci mertebeden en basit adi diferansiyel denklemi düşünün. Şuna benziyor:

Bu denklem sadece sağ tarafını entegre ederek çözülebilir.

Bu tür denklemlere örnekler:

Ayrılabilir Değişken Denklemler

Genel olarak, bu tür bir denklem şöyle görünür:

İşte bir örnek:

Böyle bir denklemi çözerken, değişkenleri ayırmanız ve forma getirmeniz gerekir:

Bundan sonra, her iki parçayı da entegre etmek ve bir çözüm bulmak için kalır.

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler

Bu tür denklemler şu şekli alır:

Burada p(x) ve q(x) bağımsız değişkenin bazı fonksiyonlarıdır ve y=y(x) gerekli fonksiyondur. İşte böyle bir denklemin bir örneği:

Böyle bir denklemi çözerken, çoğu zaman keyfi bir sabitin varyasyon yöntemini kullanırlar veya istenen fonksiyonu diğer iki fonksiyonun y(x)=u(x)v(x) çarpımı olarak temsil ederler.

Bu tür denklemleri çözmek için belirli bir hazırlık gereklidir ve onları “bir hevesle” almak oldukça zor olacaktır.

Ayrılabilir değişkenlerle DE çözme örneği

Bu yüzden en basit uzaktan kumanda türlerini düşündük. Şimdi bunlardan birine bir göz atalım. Ayrılabilir değişkenleri olan bir denklem olsun.

İlk olarak, türevi daha tanıdık bir biçimde yeniden yazıyoruz:

Sonra değişkenleri ayıracağız, yani denklemin bir bölümünde tüm "oyunları", diğerinde - "x'leri" toplayacağız:

Şimdi her iki parçayı da entegre etmeye devam ediyor:

Bu denklemin genel çözümünü entegre eder ve elde ederiz:

Tabii ki, diferansiyel denklemleri çözmek bir tür sanattır. Bir denklemin hangi türe ait olduğunu anlayabilmeniz ve aynı zamanda onu şu veya bu forma getirmek için onunla hangi dönüşümleri yapmanız gerektiğini, sadece farklılaşma ve bütünleştirme yeteneğinden bahsetmeyi öğrenmeniz gerekir. DE'yi çözmede başarılı olmak (her şeyde olduğu gibi) pratik gerektirir. Ve şu anda diferansiyel denklemlerin nasıl çözüldüğünü anlamaya zamanınız yoksa veya Cauchy sorunu boğazınızda bir kemik gibi yükseldiyse veya bilmiyorsanız, yazarlarımızla iletişime geçin. Kısa sürede, size uygun olan her an detaylarını anlayabileceğiniz hazır ve detaylı bir çözüm sunacağız. Bu arada, "Diferansiyel denklemler nasıl çözülür" konulu bir video izlemenizi öneririz:

Hesaplama Teorisi homojen olmayan diferansiyel denklemler(DU) Bu yayında vermeyeceğiz, önceki derslerden sorunun cevabını bulmak için yeterli bilgiyi bulabilirsiniz. "Homojen olmayan bir diferansiyel denklem nasıl çözülür?" Homojen olmayan DE'nin derecesi burada büyük bir rol oynamaz, böyle bir DE'nin çözümünü hesaplamak için çok fazla yol yoktur. Örneklerdeki cevapları okumanızı kolaylaştırmak için, asıl vurgu sadece hesaplama tekniği ve son fonksiyonun türetilmesini kolaylaştıracak ipuçları üzerindedir.

örnek 1 Diferansiyel denklemi çöz
Çözüm: Verilen üçüncü mertebeden homojen diferansiyel denklem, ayrıca sadece ikinci ve üçüncü türevleri içerir ve bir fonksiyonu ve birinci türevi yoktur. Bu gibi durumlarda azaltma yöntemini kullan diferansiyel denklem. Bunun için bir parametre tanıtılır - ikinci türevi p parametresi ile gösteririz.

o zaman fonksiyonun üçüncü türevi

Orijinal homojen DE, forma basitleştirilecektir.

Diferansiyellerde yazıyoruz, o zaman ayrılmış bir değişken denklemine indirgemek ve entegre ederek çözümü bulun

Parametrenin fonksiyonun ikinci türevi olduğunu unutmayın.

bu nedenle, fonksiyonun formülünü bulmak için bulunan diferansiyel bağımlılığı iki kez entegre ederiz.

Fonksiyonda, eski C 1 , C 2 , C 3 keyfi değerlere eşittir.
Devre böyle görünüyor bir parametre tanıtarak homojen bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun. Aşağıdaki problemler daha zordur ve onlardan üçüncü mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceksiniz. Homojen ve homojen olmayan DE arasında hesaplamalar açısından bir miktar fark var, şimdi bunu göreceksiniz.

Örnek 2 Bulmak
Çözüm: Üçüncü siparişimiz var. Bu nedenle, çözümü, homojen olmayan denklemin homojen ve özel çözümlerinin iki çözümünün toplamı şeklinde aranmalıdır.

önce karar verelim

Gördüğünüz gibi sadece fonksiyonun ikinci ve üçüncü türevlerini içerir ve fonksiyonun kendisini içermez. Bu sıralama fark denklemler, bir parametrenin tanıtılması yöntemiyle çözülür; sırayla denklemin çözümünü bulmayı azaltır ve basitleştirir. Pratikte şöyle görünür: ikinci türevin belirli bir fonksiyona eşit olmasına izin verin, o zaman üçüncü türev resmi olarak gösterime sahip olacaktır.

3. dereceden kabul edilen homojen DE, birinci dereceden denkleme dönüştürülür

değişkenleri bölerek integrali buluruz
x*dp-p*dx=0;

3. mertebeden bir diferansiyel denklemin çözümü, dördüncü - 4 ve ayrıca benzetme yoluyla 3 sabite sahip olduğundan, bu tür problemlerde olanları numaralandırmanızı öneririz. Şimdi tanıtılan parametreye dönüyoruz: ikinci türev forma sahip olduğundan, fonksiyonun türevine bir bağımlılığımız olduğunda onu integral alırsak

ve tekrarlanan entegrasyon ile buluruz homojen bir fonksiyonun genel görünümü

Denklemin kısmi çözümü logaritma ile çarpılan bir değişken olarak yazın. Bu, DE'nin sağ (homojen olmayan) kısmının -1/x'e eşit olmasından ve eşdeğer bir gösterim elde etmek için

Çözüm formda aranmalıdır.

A katsayısını bulun, bunun için birinci ve ikinci derecelerin türevlerini hesaplıyoruz

Bulunan ifadeleri orijinal diferansiyel denklemde yerine koyarız ve katsayıları x'in aynı güçlerinde eşitleriz:

Çelik -1/2'ye eşittir ve şu şekle sahiptir:

diferansiyel denklemin genel çözümü bulunanların toplamı olarak yaz

burada C 1 , C 2 , C 3, Cauchy probleminden arıtılabilen keyfi sabitlerdir.

Örnek 3 Üçüncü dereceden DE integralini bulun
Çözüm: Homojen ve kısmi homojen olmayan bir denklemin çözümünün toplamı şeklinde üçüncü dereceden homojen olmayan bir DE'nin genel bir integralini arıyoruz. İlk olarak, herhangi bir denklem türü için başlıyoruz homojen diferansiyel denklemi analiz etmek

Şimdiye kadar bilinmeyen fonksiyonun sadece ikinci ve üçüncü türevlerini içerir. Bir değişken değişikliği (parametre) sunuyoruz: ikinci türevi belirtin

O zaman üçüncü türev

Aynı dönüşümler önceki görevde gerçekleştirildi. Bu izin verir üçüncü mertebeden bir diferansiyel denklemi formun birinci mertebeden bir denklemine indirgemek

Entegrasyon ile buluruz

Değişkenlerin değişimine göre bunun sadece ikinci türev olduğunu hatırlayın.

ve üçüncü mertebeden homojen bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak için iki kez entegre edilmesi gerekir.

Sağ tarafın tipine göre (homojen olmayan kısım =x+1 ), şeklinde denklemin kısmi çözümü aranır.

Kısmi çözümün hangi biçimde aranacağını bilmek Diferansiyel denklemler dersinin teorik bölümünde size öğretilmiş olmalıdır. Değilse, o zaman sadece böyle bir ifadenin ne tür bir fonksiyonun seçildiğini önerebiliriz, böylece denklemde yerine koyarken, en yüksek türevi veya daha küçük olanı içeren terim, denklemin homojen olmayan kısmı ile aynı sırada (benzer) olur.

Sanırım artık belirli bir çözümün biçiminin nereden geldiği sizin için daha açık. A, B katsayılarını bulun, bunun için fonksiyonun ikinci ve üçüncü türevlerini hesaplıyoruz

ve diferansiyel denklemde yerine koyun. Benzer terimleri grupladıktan sonra lineer denklemi elde ederiz.

bundan, değişkenin eşit güçleri için bir denklem sistemi oluşturmak

ve bilinmeyen çelikleri bulun. İkamelerinden sonra, bağımlılık ile ifade edilir.

diferansiyel denklemin genel çözümü homojen ve kısmi toplamına eşittir ve forma sahiptir

burada C 1 , C 2 , C3 isteğe bağlı sabitlerdir.

Örnek 4. R diferansiyel denklemi yemek
Çözüm: Toplam yoluyla bulacağımız çözüme sahibiz. Hesaplama şemasını biliyorsunuz, bu yüzden değerlendirmeye geçelim homojen diferansiyel denklem

Standart yönteme göre parametreyi girin
Orijinal diferansiyel denklem, değişkenleri bölerek bulduğumuz şekli alacaktır.

Parametrenin ikinci türevine eşit olduğunu unutmayın.
DE'yi entegre ederek, fonksiyonun ilk türevini elde ederiz.

yeniden entegrasyon homojen diferansiyel denklemin genel integralini buluyoruz

Formdaki denklemin kısmi bir çözümünü arıyoruz sağ taraf eşit olduğundan
A katsayısını bulalım - bunun için diferansiyel denklemde y* yerine koyarız ve katsayısını değişkenin aynı güçlerinde eşitleriz

Terimleri değiştirip grupladıktan sonra, bağımlılığı elde ederiz.

hangi çelik A=8/3'e eşittir.
Böylece yazabiliriz DE'nin kısmi çözümü

diferansiyel denklemin genel çözümü bulunan toplamına eşit

burada C 1 , C 2 , C3 isteğe bağlı sabitlerdir. Cauchy koşulu verilirse, çok kolay bir şekilde genişletilebilirler.

Pratik alıştırmalar, modüller veya testler için hazırlanırken materyalin sizin için faydalı olacağına inanıyorum. Cauchy problemi burada analiz edilmedi, ancak önceki derslerden genel olarak nasıl yapılacağını biliyorsunuz.

Daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

Yüksek mertebeden diferansiyel denklemlerin temel terminolojisi (DE VP).

Formun bir denklemi, burada n >1 (2)

yüksek mertebeden diferansiyel denklem olarak adlandırılır, yani n-inci sıra.

Uzaktan kumandanın tanım alanı, n inci sıra alandır.

Bu kurs aşağıdaki hava sahası kontrol türlerini ele alacaktır:

VP için Cauchy sorunu:

DU verelim,
ve başlangıç ​​koşulları n/a: sayılar .

Sürekli ve n kez türevlenebilir bir fonksiyon bulunması gerekir.
:

1)
üzerinde verilen DE'nin çözümüdür, yani
;

2) verilen başlangıç ​​koşullarını sağlıyor: .

İkinci dereceden bir DE için, problemin çözümünün geometrik yorumu şu şekildedir: noktasından geçen bir integral eğri aranır. (x 0 , y 0 ) ve eğimli bir çizgiye teğet k = y 0 ́ .

Varlık ve teklik teoremi(DE (2) için Cauchy probleminin çözümleri):

Eğer 1)
sürekli (toplu olarak (n+1) argümanlar) alanında
; 2)
sürekli (argüman kümesine göre
) içinde, sonra ! DE için verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan Cauchy probleminin çözümü n/s: .

Bölge, DE'nin teklik bölgesi olarak adlandırılır.

DP VP'nin genel çözümü (2) – n -parametrik işlev ,
, nerede
- aşağıdaki gereksinimleri karşılayan keyfi sabitler:

1)

– üzerinde DE (2) çözümü;

2) n/a benzersizlik bölgesinden !
:
verilen başlangıç ​​koşullarını sağlar.

Yorum.

Görüntüleme oranı
DE (2)'nin genel çözümünü örtük olarak belirleyen , denir ortak integral DU.

Özel çözüm DE (2), belirli bir değer için genel çözümünden elde edilir .

DP VP'nin entegrasyonu.

Daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, kural olarak, kesin analitik yöntemlerle çözülmez.

Sipariş indirimlerini kabul eden ve karelere indirgeyen belirli bir DSW tipini seçelim. Bu tür denklemleri ve sıralarını bir tabloda azaltmanın yollarını özetliyoruz.

DP VP, sırayla indirimlere izin verir

		Eski Sürüme Geçme Yöntemi
	DU eksik, eksik . Örneğin,	Vb. Sonrasında n tekrarlanan entegrasyon, diferansiyel denklemin genel çözümünü elde ederiz.
	Denklem eksik; açıkça istenen işlevi içermiyor ve onun ilk türevler. Örneğin,	ikame denklemin sırasını düşürür k birimler.
	eksik denklem; açıkça bir argüman içermiyor istenen fonksiyon. Örneğin,	ikame denklemin sırası bir azalır.
	Denklem tam türevlerdedir, tam ve eksik olabilir. Böyle bir denklem, denklemin sağ ve sol kısımlarının bazı fonksiyonların tam türevleri olduğu (*) ́= (*)́ formuna dönüştürülebilir.	Argümana göre denklemin sağ ve sol taraflarını entegre etmek denklemin sırasını birer birer düşürür.
		ikame denklemin sırasını bir azaltır.

Homojen bir fonksiyonun tanımı:

İşlev
değişkenlerde homojen denir
, eğer


fonksiyonun kapsamının herhangi bir noktasında
;

homojenlik sırasıdır.

Örneğin, 2. mertebeye göre homojen bir fonksiyondur.
, yani .

örnek 1:

DE'nin genel bir çözümünü bulun
.

3. dereceden DE, eksik, açıkça içermiyor
. Denklemi art arda üç kez entegre edin.

,

DE'nin genel çözümüdür.

Örnek 2:

DE için Cauchy problemini çözün
de

.

İkinci dereceden DE, eksik, açıkça içermiyor .

ikame
ve türevi
DE'nin sırasını bir azaltır.

. Birinci dereceden DE alındı ​​- Bernoulli denklemi. Bu denklemi çözmek için Bernoulli ikamesini uygularız:

,

ve denkleme takın.

Bu aşamada denklem için Cauchy problemini çözüyoruz.
:
.

ayrılabilir değişkenleri olan birinci dereceden bir denklemdir.

Başlangıç ​​koşullarını son eşitlikte yerine koyarız:

Cevap:
başlangıç ​​koşullarını sağlayan Cauchy probleminin çözümüdür.

Örnek 3:

DU'yu çöz.

– 2. sıradaki DE, eksik, değişkeni açıkça içermez ve bu nedenle, ikame veya
.

denklemi elde ederiz
(İzin Vermek
).

– Değişkenleri ayıran 1. dereceden DE. Onları paylaşalım.

DE'nin genel integralidir.

Örnek 4:

DU'yu çöz.

denklem
bir tam türev denklemidir. Yok canım,
.

Sol ve sağ kısımları 'ye göre entegre edelim, yani.
veya . Ayrılabilir değişkenlerle 1. dereceden DE alındı, yani.
DE'nin genel integralidir.

Örnek5:

Cauchy problemini çöz
.

4. dereceden DE, eksik, açıkça içermiyor
. Bu denklemin tam türevlerde olduğuna dikkat ederek,
veya
,
. Başlangıç ​​koşullarını bu denklemde yerine koyarız:
. Uzaktan kumandayı alalım
Birinci türden 3. sıra (tabloya bakın). Üç kez integral alalım ve her entegrasyondan sonra başlangıç ​​koşullarını denklemde yerine koyalım:

Cevap:
- orijinal DE'nin Cauchy probleminin çözümü.

Örnek 6:

Denklemi çözün.

– 2. mertebenin DE'si, tamamlanmış,
. ikame
denklemin sırasını düşürür. Bunu yapmak için denklemi forma indirgeriz.
, orijinal denklemin her iki tarafını da bölerek . Ve işlevi farklılaştırıyoruz p:

.

Vekil
ve
DU'da:
. Bu, 1. dereceden ayrılabilir bir değişken denklemidir.

Verilen
, DE'yi alırız veya
orijinal DE'nin genel çözümüdür.

Yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemler teorisi.

Temel terminoloji.

– NLDU sipariş, bir aralıkta sürekli fonksiyonlar nerede.

DE süreklilik aralığı (3) olarak adlandırılır.

inci dereceden bir (koşullu) diferansiyel operatörü tanıtalım

İşlev üzerinde hareket ettiğinde, şunu elde ederiz:

Yani, -. mertebeden lineer bir DE'nin sol tarafı.

Sonuç olarak, LDE yazılabilir

Doğrusal operatör özellikleri
:

1) - toplama özelliği

2)
– sayı – homojenlik özelliği

Bu fonksiyonların türevleri benzer özelliklere sahip olduğu için özellikler kolayca doğrulanır (türevlerin nihai toplamı sonlu sayıda türevin toplamına eşittir; sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir).

O.
lineer operatördür.

LDE için Cauchy sorununa bir çözümün varlığı ve benzersizliği sorusunu düşünün.
.

LDE'yi şuna göre çözelim:
: ,
, süreklilik aralığıdır.

Fonksiyon tanım alanında süreklidir , türevler
bölgede sürekli

Bu nedenle, Cauchy problemi LDE (3)'ün benzersiz bir çözümü olduğu ve yalnızca nokta seçimine bağlı olduğu benzersizlik alanı
, argümanların diğer tüm değerleri
fonksiyonlar
keyfi olarak alınabilir.

OLDU'nun genel teorisi.

süreklilik aralığıdır.

OLDDE çözümlerinin ana özellikleri:

1. Toplama özelliği

(
– OLDDE çözümü (4) açık )
(
) üzerinde OLDDE (4)'ün çözümüdür.

Kanıt:

OLDDE (4)'ün çözümü

OLDDE (4)'ün çözümü

O zamanlar

2. Homojenlik özelliği

( OLDDE (4)'ün çözümü ) (
(- sayısal alan))

üzerinde OLDDE (4)'ün çözümüdür.

Benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Toplamsallık ve homojenlik özelliklerine OLDE (4)'ün lineer özellikleri denir.

Sonuçlar:

(
– üzerinde OLDDE (4) çözümü )(

) üzerinde OLDDE (4)'ün çözümüdür.

3. ( , üzerinde OLDDE (4)'ün karmaşık değerli bir çözümüdür )(
OLDDE (4) üzerinde )'nin reel değerli çözümleridir.

Kanıt:

OLDDE (4)'ün çözümü on ise, o zaman denklemde yerine koyarken, onu bir özdeşliğe dönüştürür, yani.
.

Operatörün doğrusallığından dolayı son eşitliğin sol tarafı aşağıdaki gibi yazılabilir:
.

Bu demektir ki , yani OLDDE (4)'ün gerçek değerli çözümleri .

OLDDE çözümlerinin aşağıdaki özellikleri “kavramıyla ilgilidir. doğrusal bağımlılık”.

Sonlu bir fonksiyon sisteminin lineer bağımlılığını belirleme

Bir işlevler sistemi, varsa, doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılır. önemsiz sayı kümesi
öyle ki lineer kombinasyon
fonksiyonlar
bu sayılarla aynı şekilde sıfıra eşittir, yani.
.n , bu yanlış. Teorem ispatlandı. denklemlerdaha yüksekemirler(4 saat...

İkinci mertebeden ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler.
Sabit katsayılı ikinci mertebeden lineer DE.
Çözüm örnekleri.

İkinci mertebeden diferansiyel denklemlerin ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemlerin değerlendirilmesine geçiyoruz. Diferansiyel denklemin ne olduğu hakkında belirsiz bir fikriniz varsa (veya ne olduğunu anlamıyorsanız), o zaman dersle başlamanızı öneririm. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler. Çözüm örnekleri. Birinci mertebeden difürlerin birçok çözüm ilkesi ve temel kavramları otomatik olarak yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere genişletilir, bu nedenle ilk mertebeden denklemleri anlamak çok önemlidir.

Pek çok okuyucu, 2., 3. ve diğer siparişlerin DE'sinin ustalaşmak için çok zor ve erişilemez bir şey olduğu konusunda bir önyargıya sahip olabilir. Bu doğru değil . Daha yüksek dereceli dağınıkları çözmeyi öğrenmek, “sıradan” 1. derece DE'lerden çok daha zor değildir.. Ve bazı yerlerde, okul müfredatının materyalleri kararlarda aktif olarak kullanıldığından, daha da kolaydır.

En popüler ikinci dereceden diferansiyel denklemler. İkinci dereceden bir diferansiyel denkleme mutlaka ikinci türevi içerir ve içermez

Unutulmamalıdır ki, bebeklerin bir kısmı (hatta hepsi birden) denklemde eksik olabilir, babanın evde olması önemlidir. En ilkel ikinci dereceden diferansiyel denklem şöyle görünür:

Pratik görevlerde üçüncü mertebeden diferansiyel denklemler çok daha az yaygındır, Devlet Duması'ndaki öznel gözlemlerime göre, oyların yaklaşık% 3-4'ünü alacaklardı.

Üçüncü dereceden bir diferansiyel denkleme mutlakaüçüncü türevi içerir ve içermez daha yüksek siparişlerin türevleri:

Üçüncü mertebeden en basit diferansiyel denklem şöyle görünür: - baba evde, tüm çocuklar yürüyüşe çıkmış.

Benzer şekilde 4., 5. ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler tanımlanabilir. Pratik problemlerde, bu tür DE kaymaları son derece nadirdir, ancak ilgili örnekleri vermeye çalışacağım.

Pratik problemlerde önerilen yüksek mertebeden diferansiyel denklemler iki ana gruba ayrılabilir.

1) İlk grup - sözde alt mertebeden denklemler. Uçarak gelmek!

2) İkinci grup - sabit katsayılı yüksek mertebeden lineer denklemler. Hangisini hemen şimdi düşünmeye başlayacağız.

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
sabit katsayılı

Teoride ve pratikte, bu tür denklemlerin iki türü ayırt edilir - homojen denklem ve homojen olmayan denklem.

Sabit katsayılı ikinci mertebeden homojen DE aşağıdaki forma sahiptir:
, nerede ve sabitlerdir (sayılar) ve sağ tarafta - kesinlikle sıfır.

Gördüğünüz gibi, homojen denklemlerde özel bir zorluk yoktur, asıl mesele şudur: ikinci dereceden denklemi doğru çöz.

Bazen standart olmayan homojen denklemler vardır, örneğin formda bir denklem , burada ikinci türevde birlikten farklı (ve elbette sıfırdan farklı) bir sabit vardır. Çözüm algoritması hiç değişmez, sakince karakteristik denklemi oluşturmalı ve köklerini bulmalıdır. karakteristik denklem ise örneğin iki farklı gerçek köke sahip olacaktır: , o zaman genel çözüm olağan şekilde yazılabilir: .

Bazı durumlarda, durumdaki bir yazım hatası nedeniyle, "kötü" kökler ortaya çıkabilir, bunun gibi bir şey . Ne yapmalı, cevap şöyle yazılmalıdır:

"Kötü" eşlenik karmaşık kökler gibi sorun değil, genel çözüm:

Yani, her durumda genel bir çözüm var. Çünkü herhangi bir ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.

Son paragrafta, söz verdiğim gibi, kısaca şunları ele alacağız:

Yüksek Mertebeden Lineer Homojen Denklemler

Her şey çok ama çok benzer.

Üçüncü mertebeden lineer homojen denklem aşağıdaki forma sahiptir:
, sabitler nerede.
Bu denklem için ayrıca karakteristik bir denklem oluşturmanız ve köklerini bulmanız gerekir. Birçoğunun tahmin ettiği gibi karakteristik denklem şöyle görünür:
, ve o her neyse sahip tam olarak üç kök.

Örneğin, tüm kökler gerçek ve farklı olsun: , o zaman genel çözüm aşağıdaki gibi yazılabilir:

Köklerden biri gerçek ve diğer ikisi eşlenik kompleks ise, genel çözümü aşağıdaki gibi yazarız:

Özel bir durum, üç kökün de katları (aynı) olmasıdır. Yalnız bir baba ile 3. dereceden en basit homojen DE'yi düşünelim: . Karakteristik denklemin üç çakışık sıfır kökü vardır. Genel çözümü şu şekilde yazıyoruz:

karakteristik denklem ise örneğin, üç çoklu köke sahipse, sırasıyla genel çözüm şudur:

Örnek 9

Üçüncü dereceden homojen bir diferansiyel denklemi çözün

Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturur ve çözeriz:

, - bir gerçek kök ve iki eşlenik kompleks kök elde edilir.

Cevap: ortak karar

Benzer şekilde, sabit katsayılı doğrusal homojen dördüncü dereceden bir denklem düşünebiliriz: sabitler nerede.