Parça örnekleriyle belirli integral. İntegralleri çevrimiçi çözme

Önceden, çeşitli formüller ve kurallar tarafından yönlendirilen belirli bir fonksiyon için türevini buluyorduk. Türevin çok sayıda uygulaması vardır: hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); fonksiyonun grafiğine teğetin eğimi; türevi kullanarak monotonluk ve aşırılık fonksiyonunu inceleyebilirsiniz; Optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ancak bilinen bir hareket yasasından hızı bulma sorunuyla birlikte, ters bir sorun da vardır - hareket yasasını bilinen bir hızdan geri yükleme sorunu. Bu sorunlardan birini ele alalım.

örnek 1 Maddi bir nokta düz bir çizgi boyunca hareket eder, t zamanındaki hareketinin hızı v=gt formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.
Çözüm. s = s(t) istenen hareket yasası olsun. s"(t) = v(t) olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, sorunu çözmek için türevi gt'ye eşit olan bir s = s(t) işlevi seçmelisiniz. Bunu tahmin etmek kolaydır \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Gerçekten de
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \sağ)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Cevap: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Örneğin doğru, ancak eksik çözüldüğünü hemen not ediyoruz. \(s(t) = \frac(gt^2)(2)\) elde ettik. Aslında, problemin sonsuz sayıda çözümü vardır: C'nin keyfi bir sabit olduğu \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \) biçimindeki herhangi bir fonksiyon, bir hareket, çünkü \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \sağ)" = gt \)

Problemi daha spesifik hale getirmek için, ilk durumu düzeltmemiz gerekti: hareket noktasının koordinatını zamanın bir noktasında, örneğin t = 0'da belirtin. Diyelim ki, s(0) = s 0 , o zaman s(t) = (gt 2)/2 + C eşitliğini elde ederiz: s(0) = 0 + C, yani C = s 0 . Şimdi hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

Matematikte, karşılıklı olarak ters işlemlere farklı isimler atanır, özel gösterimlerle ortaya çıkar, örneğin: kare alma (x 2) ve karekök (\(\sqrt(x) \)), sinüs (sin x) ve arksinüs ( arcsin x) vb. Verilen bir fonksiyona göre türevi bulma işlemine denir. farklılaşma, ve ters işlem, yani belirli bir türev ile bir fonksiyon bulma süreci, - entegrasyon.

"Türev" teriminin kendisi "dünyasal bir şekilde" haklı gösterilebilir: y \u003d f (x) işlevi "dünyaya yeni bir işlev y" \u003d f "(x) üretir. Y \u003d f (x) işlevi “ebeveyn” gibi davranır, ancak matematikçiler elbette buna “ebeveyn” veya “üretici” demezler, bunun y işleviyle ilgili olduğunu söylüyorlar " = f" (x), birincil görüntü veya ters türev.

Tanım. Bir y = F(x) fonksiyonuna, eğer \(x \in X \) F"(x) = f(x) eşitliğini sağlıyorsa, X aralığında bir y = f(x) fonksiyonu için ters türev denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun doğal alanı olarak).

Örnekler verelim.
1) y \u003d x 2 işlevi, y \u003d 2x işlevi için bir ters türevdir, çünkü herhangi bir x için eşitlik (x 2) "\u003d 2x doğrudur
2) y \u003d x 3 işlevi, y \u003d 3x 2 işlevi için bir ters türevdir, çünkü herhangi bir x için eşitlik (x 3)" \u003d 3x 2 doğrudur
3) y \u003d sin (x) işlevi, y \u003d cos (x) işlevi için bir ters türevdir, çünkü herhangi bir x için eşitlik (sin (x)) "= cos (x) doğrudur

Ters türevler ve türevler bulunurken, sadece formüller değil, aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevleri hesaplamak için ilgili kurallarla doğrudan ilişkilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için ilgili kuralı oluşturur.

Kural 1 Bir toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşittir.

Sabit çarpanın türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için ilgili kuralı oluşturur.

Kural 2 F(x), f(x) için bir terstürev ise, o zaman kF(x) kf(x) için bir terstürevdir.

Teorem 1. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonunun terstürevi ise, o zaman y = f(kx + m) fonksiyonunun terstürevi \(y=\frac(1)(k)F) fonksiyonudur. (kx+m) \)

Teorem 2. Eğer y = F(x), bir X aralığında y = f(x) fonksiyonu için bir terstürev ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda terstürevi vardır ve bunların hepsi y = F(x) biçimindedir. + C.

Entegrasyon yöntemleri

Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

İkame entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani bir ikame) tanıtılmasından oluşur. Bu durumda, verilen integral, tablo şeklinde veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Yedekleri seçmek için genel yöntemler yoktur. İkameyi doğru bir şekilde belirleme yeteneği, uygulama ile elde edilir.
\(\textstyle \int F(x)dx \) integralini hesaplamamız gereksin. Bir \(x= \varphi(t) \) yerine koyalım, burada \(\varphi(t) \) sürekli türevi olan bir fonksiyondur.
Sonra \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ve belirsiz integral integral formülünün değişmezlik özelliğine dayanarak, ikame integral formülünü elde ederiz:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) gibi ifadelerin entegrasyonu

Eğer m tek, m > 0 ise, ikameyi sin x = t yapmak daha uygundur.
n tek, n ​​> 0 ise, ikameyi cos x = t yapmak daha uygundur.
n ve m çift ise, tg x = t ikamesini yapmak daha uygundur.

Parçalara göre entegrasyon

Parçalara göre entegrasyon - entegrasyon için aşağıdaki formülün uygulanması:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
veya:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (ters türevler) tablosu

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(yay) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugün derste parçalara göre nasıl entegre edileceğini öğreneceğiz. Parçalarla entegrasyon yöntemi, integral hesabın temel taşlarından biridir. Testte, sınavda, öğrenciye hemen hemen her zaman aşağıdaki türlerdeki integralleri çözmesi önerilir: en basit integral (makaleye bakın) veya değişkeni değiştirmek için bir integral (makaleye bakın) ya da integral sadece parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Her zaman olduğu gibi, eldeki olmalıdır: integral tablosu ve türev tablosu. Hala onlara sahip değilseniz, lütfen sitemin deposunu ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar. Tekrar etmekten yorulmayacağım - her şeyi yazdırmak daha iyidir. Tüm materyalleri tutarlı, basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım; bölümlere göre entegrasyonda belirli bir zorluk yok.

Parçalarla entegrasyon hangi sorunu çözer? Parçalarla entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer, tabloda olmayan bazı işlevleri entegre etmenize olanak tanır, iş işlevler ve bazı durumlarda - ve özel. Hatırladığımız gibi, uygun bir formül yok: . Ama şu var: bizzat parçalar tarafından entegrasyon formülüdür. Biliyorum, biliyorum, tek sensin - onunla bütün ders çalışacağız (zaten daha kolay).

Ve hemen stüdyodaki liste. Aşağıdaki türdeki integraller kısımlara göre alınır:

1) , , - logaritma, logaritma çarpı bir polinom.

2) ,bazı polinomlarla çarpılan üstel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda - bir polinomla çarpılan üstel bir fonksiyon gibi integralleri de içerir, ancak pratikte yüzde 97'dir, integralin altında güzel bir "e" harfi gösteriş yapar. ... makalenin lirik bir şey olduğu ortaya çıktı, oh evet ... bahar geldi.

3) , , bazı polinomlarla çarpılan trigonometrik fonksiyonlardır.

4) , - ters trigonometrik fonksiyonlar (“kemerler”), “kemerler”, bazı polinomlarla çarpılır.

Ayrıca, bazı kesirler parçalar halinde alınır, ilgili örnekleri de ayrıntılı olarak ele alacağız.

logaritma integralleri

örnek 1

Klasik. Zaman zaman, bu integral tablolarda bulunabilir, ancak öğretmenin ilkbaharda beriberi olduğu ve çok azarlayacağı için hazır bir cevap kullanmak istenmez. Söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde olmadığı için - parçalar halinde alınır. Karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözümü kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: Açıktır ki, bizim örneğimizde (ve ele alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin , ve bir şeyin ile gösterilmesi gerekir.

İncelenen türün integrallerinde her zaman logaritmayı gösteririz.

Teknik olarak, çözümün tasarımı aşağıdaki gibi uygulanır, sütuna yazıyoruz:

Yani, logaritmayı gösterdiğimiz için ve - kalan kısım integrand.

Sonraki adım: farkı bulun:

Diferansiyel, türev ile hemen hemen aynıdır, onu nasıl bulacağımızı daha önceki derslerde tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Fonksiyonu bulmak için integral almak gerekir. Sağ Taraf alt eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: .
Bu arada, küçük notlar içeren bir nihai çözüm örneği:

Çarpanı logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğu için üründeki tek an hemen yeniden düzenledim.

Gördüğünüz gibi, parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü esasen iki basit integrale indirdi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra formülün uygulanması, kalan integral altında mutlaka bir sadeleştirme yapılır - söz konusu örnekte, integrali "x" ile azalttık.

Bir kontrol yapalım. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integral elde edilir, bu da integralin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Doğrulama sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu tesadüf değil.

Parça formülü ile entegrasyon ve formül Bunlar birbirinin tersi olan iki kuraldır.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İntegrant, logaritma ve polinomun ürünüdür.
Biz karar veririz.

Kuralı uygulama prosedürünü bir kez daha ayrıntılı olarak anlatacağım, gelecekte örnekler daha kısaca yapılacak ve kendiniz çözmekte herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersin ilk iki örneğine geri dönmeniz gerekir. .

Daha önce de belirtildiği gibi, logaritmayı belirtmek gerekir (bir derecede olması önemli değildir). biz kalan kısım integrand.

Bir sütuna yazıyoruz:

Önce diferansiyeli buluruz:

Burada karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını kullanıyoruz. . Konunun ilk dersinde tesadüf değil Belirsiz integral. Çözüm örnekleriİntegrallerde ustalaşmak için türevleri "elinize almanız" gerektiğine odaklandım. Türevler bir kereden fazla yüzleşmek zorunda kalacak.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz, bunun için entegre ediyoruz Sağ Taraf alt eşitlik:

Entegrasyon için en basit tablo formülünü uyguladık

Artık formülü uygulamaya hazırsınız. . Bir "yıldız" ile açıyoruz ve çözümü sağ tarafa göre "tasarlıyoruz":

İntegralin altında, yine logaritma üzerinde bir polinomumuz var! Bu nedenle çözüm tekrar kesintiye uğrar ve ikinci kez parçalara göre entegrasyon kuralı uygulanır. Benzer durumlarda logaritmanın her zaman gösterildiğini unutmayın.

Bu noktada en basit integralleri ve türevleri sözlü olarak bulabilseydiniz iyi olurdu.

(1) İşaretlerde kafanız karışmasın! Çoğu zaman burada bir eksi kaybolur, ayrıca eksinin geçerli olduğuna dikkat edin. herkese parantez , ve bu parantezlerin doğru şekilde açılması gerekir.

(2) Parantezleri genişletin. Son integrali sadeleştiriyoruz.

(3) Son integrali alıyoruz.

(4) Cevabı “taramak”.

Entegrasyon kuralını parçalara göre iki kez (hatta üç kez) uygulama ihtiyacı nadir değildir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç örnek:

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek, değişken yönteminin değiştirilmesiyle (veya diferansiyel işaretin altına alınmasıyla) çözülür! Ve neden olmasın - parçalara ayırmayı deneyebilirsiniz, komik bir şey elde edersiniz.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Ancak bu integral, parçalarla (söz verilen kesir) entegre edilmiştir.

Bunlar, dersin sonunda kendi kendine çözme, çözümler ve cevaplar için örneklerdir.

Örnek 3,4'te integraller benzer gibi görünüyor, ancak çözüm yöntemleri farklı! Bu tam olarak integrallere hakim olmanın ana zorluğudur - integrali çözmek için yanlış yöntemi seçerseniz, gerçek bir bulmacada olduğu gibi saatlerce onunla uğraşabilirsiniz. Bu nedenle, çeşitli integralleri ne kadar çok çözerseniz, o kadar iyi, test ve sınav o kadar kolay olacaktır. Ek olarak, ikinci yılda diferansiyel denklemler olacak ve integral ve türev çözme deneyimi olmadan orada yapacak bir şey yok.

Logaritmalara göre, belki de fazlasıyla yeterli. Bir şeyler atıştırmak için, teknoloji öğrencilerinin kadın göğüslerine logaritma =) dediğini de hatırlıyorum. Bu arada, temel temel fonksiyonların grafiklerini ezbere bilmek yararlıdır: sinüs, kosinüs, yay tanjantı, üs, üçüncü, dördüncü derece polinomları, vb. Hayır, elbette, bir küre üzerinde prezervatif
Çekmeyeceğim ama artık bölümden çok şey hatırlayacaksınız Grafikler ve fonksiyonlar =).

Üs ile polinom çarpımının integralleri

Genel kural:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre ediyoruz:

İntegral ile ilgili herhangi bir sorununuz varsa, makaleye dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Yapılacak diğer tek şey cevabı "taramaktır":

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, cevap olarak en karlı seçeneği bırakın. ya da

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş kabul edilir. Bu bir hata olmayacak, cevabı basitleştirmek için öğretmenin isteyebileceği başka bir konu.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu bir kendin yap örneğidir. Bu integral parçalarla iki kez entegre edilir. İşaretlere özellikle dikkat edilmelidir - içlerinde kafa karıştırmak kolaydır, bunu da hatırlıyoruz - karmaşık bir işlev.

Katılımcı hakkında söylenecek fazla bir şey yok. Sadece üstel ve doğal logaritmanın karşılıklı olarak ters fonksiyonlar olduğunu ekleyebilirim, bu benim yüksek matematiğin eğlenceli grafikleri konusunda =) Dur-dur, merak etme, hoca ayık.

Bir polinomla çarpılan trigonometrik fonksiyonların integralleri

Genel kural: her zaman polinomu temsil eder

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre entegrasyon:

Hmmm... ve yorum yapacak bir şey yok.

Örnek 8

belirsiz integrali bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir

Örnek 9

belirsiz integrali bulun

Kesirli başka bir örnek. Önceki iki örnekte olduğu gibi, bir polinom ile gösterilir.

Parçalara göre entegrasyon:

İntegrali bulmakta zorluk çekiyorsanız veya yanlış anlıyorsanız, derse katılmanızı tavsiye ederim. trigonometrik fonksiyonların integralleri.

Örnek 10

belirsiz integrali bulun

Bu kendin yap örneğidir.

İpucu: Parçalarla entegrasyon yöntemini kullanmadan önce, iki trigonometrik fonksiyonun çarpımını tek bir fonksiyona dönüştüren bazı trigonometrik formüller uygulamalısınız. Formül, entegrasyon yönteminin daha uygun olduğu kısımlara göre uygulanması sırasında da kullanılabilir.

Belki de hepsi bu paragrafta. Nedense, Fizik ve Matematik Bölümü marşından bir satırı hatırladım “Ve dalgadan sonra sinüs grafiği dalgası apsis ekseni boyunca ilerliyor” ....

Ters trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Bir polinomla çarpılan ters trigonometrik fonksiyonların integralleri

Genel kural: her zaman ters trigonometrik fonksiyonu temsil eder.

Ters trigonometrik fonksiyonların arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkotanjant içerdiğini hatırlatırım. Kısa olması için onlara "kemerler" diyeceğim.