Mutlak ve bağıl ölçüm hataları. Mutlak ölçüm hatası

Ölçüm hatası- bir miktarın ölçülen değerinin gerçek değerinden sapmasının değerlendirilmesi. Ölçüm hatası, ölçüm doğruluğunun bir özelliğidir (ölçü).

Herhangi bir miktarın gerçek değerini mutlak doğrulukla bulmak imkansız olduğundan, ölçülen değerin gerçek değerden sapma büyüklüğünü belirtmek de imkansızdır. (Bu sapmaya genellikle ölçüm hatası denir. Bazı kaynaklarda, örneğin Büyük Sovyet Ansiklopedisi'nde, terimler ölçüm hatası ve ölçüm hatası eşanlamlı olarak kullanılır, ancak RMG 29-99'a göre terim ölçüm hatası daha az başarılı olduğu için önerilmez). Bu sapmanın büyüklüğünü ancak örneğin istatistiksel yöntemler kullanarak tahmin etmek mümkündür. Pratikte gerçek değer yerine kullanırız. gerçek değer x d, yani deneysel olarak elde edilen ve gerçek değere o kadar yakın olan fiziksel bir niceliğin değeri, set ölçüm görevinde onun yerine kullanılabilecek kadar yakın. Böyle bir değer genellikle bir dizi ölçüm sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesiyle elde edilen ortalama değer olarak hesaplanır. Elde edilen bu değer kesin değil, sadece en olası olanıdır. Bu nedenle, ölçümlerde doğruluklarının ne olduğunu belirtmek gerekir. Bunu yapmak için, elde edilen sonuçla birlikte ölçüm hatası belirtilir. Örneğin, giriş T=2.8±0.1 c. miktarın gerçek değeri anlamına gelir T aralığında yatıyor 2,7 snönceki 2,9 sn belirli bir olasılıkla

2004 yılında, uluslararası düzeyde, ölçüm yapma koşullarını belirleyen ve devlet standartlarını karşılaştırmak için yeni kurallar belirleyen yeni bir belge kabul edildi. "Hata" kavramının modası geçmiş, bunun yerine "ölçüm belirsizliği" kavramı getirilmiştir, ancak GOST R 50.2.038-2004, bu terimin kullanılmasına izin vermektedir. hata Rusya'da kullanılan belgeler için.

Aşağıdaki hata türleri vardır:

mutlak hata;

göreli hata

azaltılmış hata;

ana hata

Ek hata

· Sistematik hata;

Rastgele hata

Alet hatası

· metodik hata;

· kişisel hata;

· statik hata;

dinamik hata.

Ölçüm hataları aşağıdaki kriterlere göre sınıflandırılır.

· Matematiksel ifade yöntemine göre hatalar mutlak hatalar ve bağıl hatalar olarak ikiye ayrılır.

· Zamandaki değişikliklerin ve giriş değerinin etkileşimine göre, hatalar statik hatalar ve dinamik hatalar olarak ikiye ayrılır.

Hata oluşumunun doğası gereği sistematik hatalar ve rastgele hatalar olarak ikiye ayrılır.

· Hatanın etki eden değerlere bağımlılığının doğasına göre, hatalar temel ve ek olarak ikiye ayrılır.

· Hatanın giriş değerine bağımlılığının doğasına göre, hatalar toplamsal ve çarpımsal olarak ayrılır.

Mutlak hataölçme işlemi sırasında elde edilen miktarın değeri ile verilen miktarın gerçek (gerçek) değeri arasındaki fark olarak hesaplanan değerdir. Mutlak hata aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

AQ n =Q n /Q 0 , burada AQ n mutlak hatadır; Qn- ölçüm sürecinde elde edilen belirli bir miktarın değeri; Q0- karşılaştırma temeli olarak alınan aynı miktarın değeri (gerçek değer).

Mutlak ölçüm hatasıölçünün nominal değeri olan sayı ile ölçünün ürettiği miktarın gerçek (fiili) değeri arasındaki fark olarak hesaplanan değerdir.

göreli hataölçümün doğruluk derecesini yansıtan bir sayıdır. Göreceli hata, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

∆Q mutlak hata olduğunda; Q0ölçülen miktarın gerçek (gerçek) değeridir. Göreceli hata yüzde olarak ifade edilir.

Azaltılmış hata mutlak hata değerinin normalleştirme değerine oranı olarak hesaplanan değerdir.

Normalleştirme değeri aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bir nominal değeri onaylanan ölçü aletleri için bu nominal değer normalleştirme değeri olarak alınır;

· Sıfır değerinin ölçüm skalasının kenarında veya skala dışında yer aldığı ölçüm aletleri için normalleştirme değeri, ölçüm aralığından nihai değere eşit olarak alınır. İstisna, önemli ölçüde eşit olmayan bir ölçüm ölçeğine sahip ölçüm cihazlarıdır;

· Sıfır işaretinin ölçüm aralığı içinde bulunduğu ölçüm cihazları için normalleştirme değeri, ölçüm aralığının nihai sayısal değerlerinin toplamına eşit olarak alınır;

Düz olmayan bir ölçeğe sahip ölçüm cihazları (ölçüm cihazları) için normalleştirme değeri, ölçüm ölçeğinin tüm uzunluğuna veya ölçüm aralığına karşılık gelen bölümünün uzunluğuna eşit olarak alınır. Mutlak hata daha sonra uzunluk birimlerinde ifade edilir.

Ölçüm hatası, araçsal hata, metodolojik hata ve okuma hatasını içerir. Ayrıca, ölçüm ölçeğinin bölme kesirlerinin belirlenmesindeki yanlışlık nedeniyle okuma hatası ortaya çıkmaktadır.

Alet hatası- hata ölçüm aletlerinin fonksiyonel parçalarının imalat sürecinde yapılan hatalardan kaynaklanan hatadır.

metodolojik hata aşağıdaki nedenlerden dolayı bir hatadır:

· Ölçüm aletinin dayandığı fiziksel sürecin bir modelinin oluşturulmasındaki yanlışlık;

Ölçü aletlerinin yanlış kullanımı.

öznel hata- bu, ölçüm cihazının operatörünün düşük yeterlilik derecesinden ve ayrıca insan görsel organlarının hatasından kaynaklanan bir hatadır, yani. insan faktörü, öznel hatanın nedenidir.

Zamandaki değişikliklerin etkileşimindeki hatalar ve giriş değeri, statik ve dinamik hatalara ayrılır.

Statik hata- bu, sabit (zamanda değişmeyen) bir değerin ölçülmesi sürecinde oluşan hatadır.

Dinamik hata- bu, sayısal değeri sabit olmayan (zamana göre değişken) bir miktarı ölçerken oluşan hata ile statik bir hata (ölçülen miktarın değerindeki hata) arasındaki fark olarak hesaplanan bir hatadır. zaman içinde belirli bir nokta).

Hatanın etkileyen niceliklere bağımlılığının doğasına göre, hatalar temel ve ek olarak ayrılır.

Temel hataölçüm cihazının normal çalışma koşullarında (etkilenen büyüklüklerin normal değerlerinde) elde edilen hatadır.

Ek hata etkileyen büyüklüklerin değerleri normal değerlerine karşılık gelmediğinde veya etkileyen büyüklük normal değerler alanının sınırlarını aştığında oluşan hatadır.

Normal koşullar etkileyen niceliklerin tüm değerlerinin normal olduğu veya normal değerler aralığının sınırlarının ötesine geçmediği koşullardır.

Çalışma şartları- bunlar, etkileyen miktarlardaki değişimin daha geniş bir aralığa sahip olduğu koşullardır (etkileyenlerin değerleri, çalışma değer aralığının sınırlarını aşmaz).

Etkileyen miktarın çalışma değerleri aralığı ek hatanın değerlerinin normalleştirildiği değer aralığıdır.

Hatanın giriş değerine bağımlılığının doğasına göre, hatalar toplamsal ve çarpımsal olarak ayrılır.

katkı maddesi hatası- bu, sayısal değerlerin toplamından kaynaklanan ve ölçülen miktarın değerine bağlı olmayan, modülo (mutlak) alınan hatadır.

çarpım hatası- bu, ölçülen miktarın değerlerinde bir değişiklikle birlikte değişen bir hatadır.

Mutlak toplamsal hatanın değerinin, ölçülen miktarın değeri ve ölçüm cihazının hassasiyeti ile ilgili olmadığına dikkat edilmelidir. Mutlak katkı hataları, tüm ölçüm aralığında değişmez.

Mutlak toplam hatanın değeri, ölçüm cihazı tarafından ölçülebilen miktarın minimum değerini belirler.

Çarpımsal hataların değerleri, ölçülen miktarın değerlerindeki değişikliklerle orantılı olarak değişir. Çarpımsal hataların değerleri de ölçüm cihazının hassasiyeti ile orantılıdır.Çarpımsal hata, etkileyen büyüklüklerin enstrüman elemanlarının parametrik özellikleri üzerindeki etkisinden dolayı ortaya çıkar.

Ölçüm işlemi sırasında meydana gelebilecek hatalar, oluşma şekillerine göre sınıflandırılır. tahsis:

sistematik hatalar;

rastgele hatalar.

Büyük hatalar ve ıskalamalar da ölçüm sürecinde görünebilir.

Sistematik hata- bu, aynı değerin tekrarlanan ölçümleriyle doğal olarak değişmeyen veya değişmeyen ölçüm sonucunun tüm hatasının bir bileşenidir. Genellikle, sistematik bir hata olası yollarla (örneğin, oluşma olasılığını azaltan ölçüm yöntemleri kullanılarak) ortadan kaldırılmaya çalışılır, ancak sistematik bir hata dışlanamıyorsa, ölçümlerin başlamasından önce hesaplanır ve uygun şekilde yapılır. ölçüm sonucunda düzeltmeler yapılır. Sistematik hatayı normalleştirme sürecinde, kabul edilebilir değerlerinin sınırları belirlenir. Sistematik hata, ölçüm cihazlarının ölçümlerinin doğruluğunu belirler (metrolojik özellik). Bazı durumlarda sistematik hatalar deneysel olarak belirlenebilir. Ölçüm sonucu daha sonra bir düzeltme yapılarak rafine edilebilir.

Sistematik hataları ortadan kaldırma yöntemleri dört türe ayrılır:

ölçümlerin başlamasından önce hataların nedenlerinin ve kaynaklarının ortadan kaldırılması;

· İkame yöntemleri, işaretlerdeki hataların telafisi, karşıtlıklar, simetrik gözlemler ile halihazırda başlamış olan ölçüm sürecindeki hataların ortadan kaldırılması;

Değişiklik yapılarak ölçüm sonuçlarının düzeltilmesi (hesaplamalarla hataların giderilmesi);

Sistematik hatanın giderilememesi durumunda sınırlarının belirlenmesi.

Ölçümlere başlamadan önce hataların nedenlerinin ve kaynaklarının ortadan kaldırılması. Bu yöntem en iyi seçenektir, çünkü kullanımı sonraki ölçüm sürecini basitleştirir (önceden başlatılmış bir ölçüm sürecindeki hataları ortadan kaldırmaya veya elde edilen sonucu değiştirmeye gerek yoktur).

Halihazırda başlamış bir ölçüm sürecindeki sistematik hataları ortadan kaldırmak için çeşitli yöntemler kullanılır.

Değişiklik Yöntemi sistematik hata bilgisine ve bunun değişiminin mevcut kalıplarına dayanır. Bu yöntemi kullanırken, sistematik hatalarla elde edilen ölçüm sonucu, bu hatalara eşit büyüklükte ancak zıt işaretli düzeltmelere tabidir.

ikame yöntemiölçülen değerin, ölçülen nesnenin bulunduğu koşullara yerleştirilmiş bir ölçü ile değiştirilmesi gerçeğinden oluşur. İkame yöntemi, aşağıdaki elektriksel parametreler ölçülürken kullanılır: direnç, kapasitans ve endüktans.

İmza hatası telafi yöntemi büyüklüğü bilinmeyen hatanın ölçüm sonuçlarına zıt işaretli olarak dahil edilmesi için ölçümlerin iki kez yapılmasından ibarettir.

Kontrast yöntemi işaret telafisi yöntemine benzer. Bu yöntem, ölçümlerin, birinci ölçümdeki hatanın kaynağının ikinci ölçümün sonucu üzerinde ters etkiye sahip olacak şekilde iki kez yapılmasından oluşur.

rastgele hata- bu, aynı değerde tekrarlanan ölçümler yapılırken rastgele, düzensiz olarak değişen ölçüm sonucu hatasının bir bileşenidir. Rastgele bir hatanın ortaya çıkması öngörülemez ve tahmin edilemez. Rastgele hata tamamen ortadan kaldırılamaz; her zaman nihai ölçüm sonuçlarını bir dereceye kadar bozar. Ancak tekrarlanan ölçümler alarak ölçüm sonucunu daha doğru hale getirebilirsiniz. Rastgele bir hatanın nedeni, örneğin, ölçüm sürecini etkileyen dış faktörlerdeki rastgele bir değişiklik olabilir. Yeterince yüksek doğruluk derecesine sahip çoklu ölçümler sırasında rastgele bir hata, sonuçların dağılmasına neden olur.

Iskalar ve gaflar verilen ölçüm koşulları altında beklenen sistematik ve rastgele hatalardan çok daha yüksek olan hatalardır. Ölçüm sürecindeki büyük hatalar, ölçüm cihazının teknik bir arızası ve dış koşullardaki beklenmeyen değişiklikler nedeniyle kaymalar ve büyük hatalar ortaya çıkabilir.

Bazı rasgele değişkenlere izin verin aölçülen n kez aynı koşullar altında. Ölçüm sonuçları bir set verdi nçeşitli sayılar

Mutlak hata- boyutsal değer. Arasında n mutlak hataların değerleri mutlaka hem pozitif hem de negatif olarak karşılanır.

Miktarın en olası değeri için a genellikle al ortalamaölçüm sonuçlarının anlamı

.

Ölçüm sayısı ne kadar büyük olursa, ortalama değer gerçek değere o kadar yakın olur.

Mutlak hatai

.

göreli hatai inci boyuta miktar denir

Göreceli hata boyutsuz bir niceliktir. Genellikle, bağıl hata yüzde olarak ifade edilir, bunun için ben%100 ile çarp. Göreceli hatanın değeri, ölçüm doğruluğunu karakterize eder.

Ortalama mutlak hataşöyle tanımlanır:

.

D niceliklerinin mutlak değerlerini (modüllerini) toplama ihtiyacını vurguluyoruz. ve ben . Aksi takdirde, aynı sıfır sonucu elde edilecektir.

Ortalama bağıl hata miktar denir

.

Çok sayıda ölçüm için.

Göreceli hata, ölçülen miktarın birimi başına hatanın değeri olarak kabul edilebilir.

Ölçümlerin doğruluğu, ölçüm sonuçlarının hatalarının karşılaştırılması temelinde değerlendirilir. Bu nedenle, ölçüm hataları öyle bir biçimde ifade edilir ki, doğruluğu değerlendirmek için, ölçülen nesnelerin boyutlarını karşılaştırmadan veya bu boyutları yaklaşık olarak bilmeden sadece sonuçların hatalarını karşılaştırmak yeterli olacaktır. Açıyı ölçmenin mutlak hatasının açının değerine bağlı olmadığı ve uzunluk ölçmenin mutlak hatasının uzunluk değerine bağlı olduğu pratikten bilinmektedir. Uzunluk değeri ne kadar büyük olursa, bu yöntem ve ölçüm koşulları için mutlak hata o kadar büyük olur. Bu nedenle, sonucun mutlak hatasına göre açı ölçümünün doğruluğunu yargılamak mümkündür, ancak uzunluk ölçümünün doğruluğunu yargılamak imkansızdır. Hatanın bağıl biçimde ifadesi, belirli durumlarda açısal ve doğrusal ölçümlerin doğruluğunu karşılaştırmayı mümkün kılar.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Rastgele hata.

Rastgele hata aynı niceliğin tekrarlanan ölçümleriyle rastgele değişen ölçüm hatasının bileşeni olarak adlandırılır.

Aynı sabit, değişmeyen niceliğin tekrarlanan ölçümleri aynı özenle ve aynı koşullar altında yapıldığında, ölçüm sonuçları alırız - bazıları birbirinden farklıdır ve bazıları çakışır. Ölçüm sonuçlarındaki bu tür farklılıklar, bunlarda rastgele hata bileşenlerinin varlığını gösterir.

Rastgele hata, her biri tek başına ölçüm sonucu üzerinde algılanamaz bir etkiye sahip olan birçok kaynağın eşzamanlı eyleminden kaynaklanır, ancak tüm kaynakların toplam etkisi oldukça güçlü olabilir.

Rastgele hatalar, herhangi bir ölçümün kaçınılmaz bir sonucudur ve şunlardan kaynaklanır:

a) alet ve aletler ölçeğinde yanlış okumalar;

b) tekrarlanan ölçümler için aynı olmayan koşullar;

c) kontrol edilemeyen dış koşullarda (sıcaklık, basınç, kuvvet alanı vb.) rastgele değişiklikler;

d) nedenleri bizim için bilinmeyen ölçümler üzerindeki diğer tüm etkiler. Rastgele hatanın büyüklüğü, deneyin tekrar tekrar yapılması ve sonuçların uygun matematiksel olarak işlenmesiyle en aza indirilebilir.

Rastgele hata, belirli bir ölçüm eylemi için tahmin edilemeyen farklı mutlak değerler alabilir. Bu hata eşit olarak hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Rastgele hatalar bir deneyde her zaman mevcuttur. Sistematik hataların olmaması durumunda, tekrarlanan ölçümlerin gerçek değer etrafında dağılmasına neden olurlar.

Bir kronometre yardımıyla sarkacın salınım periyodunu ölçtüğümüzü ve ölçümün birçok kez tekrarlandığını varsayalım. Kronometreyi başlatma ve durdurma hataları, referans değerinde bir hata, sarkacın küçük düzensiz hareketi - tüm bunlar tekrarlanan ölçümlerin sonuçlarında bir saçılıma neden olur ve bu nedenle rastgele hatalar olarak sınıflandırılabilir.

Başka hata yoksa, bazı sonuçlar biraz fazla tahmin edilirken, diğerleri biraz hafife alınacaktır. Ancak buna ek olarak, saat de gerideyse, tüm sonuçlar hafife alınacaktır. Bu zaten sistematik bir hatadır.

Bazı faktörler aynı anda hem sistematik hem de rastgele hatalara neden olabilir. Böylece, kronometreyi açıp kapatarak, sarkacın hareketine göre saati başlatma ve durdurma anlarında küçük düzensiz bir yayılma oluşturabilir ve böylece rastgele bir hata oluşturabiliriz. Ancak buna ek olarak, kronometreyi her açmak için acele edersek ve biraz geç kapatırsak, bu sistematik bir hataya yol açacaktır.

Rastgele hatalara, alet ölçeğinin bölümleri okunurken, bina temelinin sarsılması, hafif hava hareketinin etkisi vb. sırasındaki bir paralaks hatası neden olur.

Bireysel ölçümlerin rastgele hatalarını hariç tutmak imkansız olsa da, rastgele olayların matematiksel teorisi, bu hataların nihai ölçüm sonucu üzerindeki etkisini azaltmayı mümkün kılar. Bunun için bir değil birkaç ölçüm yapılması gerektiği ve elde etmek istediğimiz hata değeri ne kadar küçükse o kadar çok ölçüm yapılması gerektiği aşağıda gösterilecektir.

Rastgele hataların meydana gelmesinin kaçınılmaz ve kaçınılmaz olması nedeniyle, herhangi bir ölçüm sürecinin ana görevi hataları en aza indirmektir.

Hatalar teorisi, deneyimle teyit edilen iki ana varsayıma dayanmaktadır:

1. Çok sayıda ölçümle, aynı büyüklükte, ancak farklı bir işarette rastgele hatalar, yani. sonucu artırma ve azaltma yönündeki hatalar oldukça yaygındır.

2. Büyük mutlak hatalar küçük olanlardan daha az yaygındır, bu nedenle değeri arttıkça hata olasılığı azalır.

Rastgele değişkenlerin davranışı, olasılık teorisinin konusu olan istatistiksel düzenliliklerle tanımlanır. Olasılığın istatistiksel tanımı ben gelişmeler i tavır mı

nerede n- toplam deney sayısı, ben- olayın gerçekleştiği deneylerin sayısı i olmuş. Bu durumda, toplam deney sayısı çok büyük olmalıdır ( n®¥). Çok sayıda ölçümle, rastgele hatalar, ana özellikleri aşağıdaki olan normal bir dağılıma (Gauss dağılımı) uyar:

1. Ölçülen değerin değerinin gerçek değerden sapması ne kadar büyük olursa, böyle bir sonucun olasılığı o kadar az olur.

2. Gerçek değerden her iki yönde sapmalar eşit derecede olasıdır.

Yukarıdaki varsayımlardan, rastgele hataların etkisini azaltmak için bu miktarı birkaç kez ölçmek gerekir. Diyelim ki bir x değerini ölçüyoruz. Üretelim nölçümler: x 1 , x 2 , ... x n- aynı yöntemle ve aynı özenle. sayı olması beklenebilir. dn oldukça dar bir aralıkta yer alan elde edilen sonuçlar xönceki x + dx, orantılı olmalıdır:

Alınan aralığın değeri dx;

Toplam ölçüm sayısı n.

olasılık dw(x) bazı değer x aralığında yatıyor xönceki x+dx, aşağıdaki gibi tanımlanır :

(ölçü sayısı ile n ®¥).

İşlev f(X) dağılım fonksiyonu veya olasılık yoğunluğu olarak adlandırılır.

Hata teorisinin bir varsayımı olarak, doğrudan ölçümlerin sonuçlarının ve çok sayıda rastgele hatalarının normal dağılım yasasına uyduğu varsayılır.

Gauss tarafından bulunan sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu x aşağıdaki forma sahiptir:

, nerede bayan - dağıtım parametreleri .

Normal dağılımın m parametresi, ortalama değere eşittir á xñ rastgele bir bilinen dağılım fonksiyonu için integral tarafından belirlenen rastgele bir değişken

.

Böylece, m değeri, ölçülen x niceliğinin en olası değeridir, yani. onun en iyi tahmini.

Normal dağılımın s 2 parametresi, genellikle aşağıdaki integral ile belirlenen rastgele değişkenin D varyansına eşittir.

.

Varyansın kareköküne rastgele değişkenin standart sapması denir..

Rastgele değişken ásñ'in ortalama sapması (hatası), aşağıdaki gibi dağılım fonksiyonu kullanılarak belirlenir.

Gauss dağılım fonksiyonundan hesaplanan ortalama ölçüm hatası ásñ, standart sapma s değeriyle aşağıdaki gibi ilişkilidir:

< s > = 0.8s.

s ve m parametreleri aşağıdaki gibi ilişkilidir:

.

Bu ifade, normal bir dağılım eğrisi varsa standart sapma s'yi bulmanızı sağlar.

Gauss fonksiyonunun grafiği şekillerde gösterilmiştir. İşlev f(x) noktasında çizilen koordinata göre simetriktir x= m; noktasında maksimumdan geçer x= m ve m ±s noktalarında bir bükülme vardır. Bu nedenle, dağılım, dağılım fonksiyonunun genişliğini karakterize eder veya rastgele bir değişkenin değerlerinin gerçek değerine göre ne kadar geniş dağıldığını gösterir. Ölçümler ne kadar doğru olursa, bireysel ölçümlerin sonuçları da gerçek değere o kadar yakın olur, yani. s değeri daha azdır. Şekil A işlevi gösterir f(x) üç değer için .

Bir eğri ile sınırlanmış bir şeklin alanı f(x) ve noktalardan çizilen dikey çizgiler x 1 ve x 2 (Şekil B) , sayısal olarak ölçüm sonucunun D aralığına denk gelme olasılığına eşittir x = x 1 - x 2 , güven düzeyi olarak adlandırılır. Tüm eğrinin altındaki alan f(x), rastgele bir değişkenin 0 ile ¥ aralığına düşme olasılığına eşittir, yani.

,

çünkü belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.

Normal dağılımı kullanarak, hata teorisi iki ana problemi ortaya çıkarır ve çözer. Birincisi, ölçümlerin doğruluğunun bir değerlendirmesidir. İkincisi, ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasının doğruluğunun bir değerlendirmesidir.5. Güven aralığı. Öğrenci katsayısı.

Olasılık teorisi, bilinen bir olasılıkla aralığın boyutunu belirlemenizi sağlar. w bireysel ölçümlerin sonuçlarıdır. Bu olasılık denir güven seviyesi, ve karşılık gelen aralık (<x>±D x)w aranan güven aralığı. Güven düzeyi, aynı zamanda, güven aralığına giren sonuçların göreli oranına da eşittir.

ölçüm sayısı ise n yeterince büyükse, güven olasılığı toplam sayının oranını ifade eder nölçülen değerin güven aralığı içinde olduğu ölçümler. Her bir güven seviyesi w güven aralığına karşılık gelir w 2 %80. Güven aralığı ne kadar genişse, o aralıkta sonuç alma olasılığı o kadar yüksektir. Olasılık teorisinde, güven aralığının değeri, güven olasılığı ve ölçüm sayısı arasında nicel bir ilişki kurulur.

Güven aralığı olarak ortalama hataya karşılık gelen aralığı seçersek, yani D bir = AD añ, o zaman yeterince büyük sayıda ölçüm için güven olasılığına karşılık gelir w%60. Ölçüm sayısı azaldıkça, böyle bir güven aralığına karşılık gelen güven olasılığı (á añ ± AD añ) azalır.

Bu nedenle, rastgele bir değişkenin güven aralığını tahmin etmek için ortalama hata değeri kullanılabilir. añ .

Rastgele bir hatanın büyüklüğünü karakterize etmek için, güven aralığının büyüklüğü ve güven olasılığının büyüklüğü olmak üzere iki sayı ayarlamak gerekir. . Karşılık gelen güven olasılığı olmadan yalnızca hatanın büyüklüğünü belirtmek büyük ölçüde anlamsızdır.

Ortalama ölçüm hatası ásñ biliniyorsa, güven aralığı (<x> ±asñ) w, güven olasılığı ile belirlenir w= 0,57.

Standart sapma s biliniyorsa ölçüm sonuçlarının dağılımı, belirtilen aralık forma sahiptir (<x>± tw s) w, nerede tw- Gauss dağılımına göre hesaplanan ve güven olasılığının değerine bağlı katsayı.

En sık kullanılan büyüklükler D x tablo 1'de gösterilmiştir.

Sayfa 1

Mutlak belirleme hatası 0 01 μg fosforu geçmez. Bu yöntem tarafımızca nitrik, asetik, hidroklorik ve sülfürik asitler ve asetondaki fosforu ön buharlaştırma ile belirlemek için kullanılmıştır.

Mutlak belirleme hatası 0 2 - 0 3 mg'dır.

Önerilen yöntemle çinko-manganez ferritlerde çinko tayinindeki mutlak hata % 0 2 rel'i geçmez.

C2 - C4 hidrokarbonlarının belirlenmesindeki mutlak hata, gazdaki içerikleri % 0 2 - %50 olduğunda, sırasıyla % 0 01 - % 0'dır.

Burada Ay, a'nın tanımındaki Evet hatasından kaynaklanan r/ tanımındaki mutlak hatadır. Örneğin, bir sayının karesinin göreli hatası, sayının kendisinin belirlenmesindeki hatanın iki katıdır ve sayının küp kökü altındaki göreli hatası, sayının belirlenmesindeki hatanın sadece üçte biridir.

Tv ve Ts'nin sırasıyla restore edilmiş ve gerçek kazanın zamanı olduğu TV - Ts'nin başlangıç ​​zamanının belirlenmesinde mutlak hataların karşılaştırılması için bir ölçü seçerken daha karmaşık hususlar gereklidir. Benzeşim yoluyla, burada, kirliliğin geçişi sırasında bir kaza kaydeden izleme noktalarına gerçek bir deşarjdan kirlilik zirvesine ulaşmak için ortalama süreyi kullanabiliriz Tsm. Kazaların gücünün belirlenmesinin güvenilirliğinin hesaplanması, sırasıyla Mv ve Ms'nin geri yüklenen ve gerçek güçler olduğu nispi hata MV - Ms / Mv'nin hesaplanmasına dayanır. Son olarak, bir acil durum tahliyesinin süresinin belirlenmesindeki göreceli hata, rv - rs / re değeri ile karakterize edilir, burada rv ve rs, sırasıyla kazaların yeniden oluşturulmuş ve gerçek süreleridir.

Tv ve Ts'nin sırasıyla restore edilmiş ve gerçek kazanın zamanı olduğu TV - Ts'nin başlangıç ​​zamanının belirlenmesinde mutlak hataların karşılaştırılması için bir ölçü seçerken daha karmaşık hususlar gereklidir. Benzeşim yoluyla, burada, kirliliğin geçişi sırasında bir kaza kaydeden izleme noktalarına gerçek bir deşarjdan kirlilik zirvesine ulaşmak için ortalama süreyi kullanabiliriz Tsm. Kazaların gücünün belirlenmesinin güvenilirliğinin hesaplanması, Mv ve Ms'nin sırasıyla geri yüklenen ve gerçek güçler olduğu göreceli hata Mv - Ms / Ms'nin hesaplanmasına dayanır. Son olarak, bir acil durum tahliyesinin süresinin belirlenmesindeki göreceli hata, rv - rs / rs değeri ile karakterize edilir; burada rv ve rs, sırasıyla kazaların yeniden oluşturulmuş ve gerçek süreleridir.

Aynı mutlak ölçüm hatası ile, yöntemin artan duyarlılığı ile ax miktarının belirlenmesindeki mutlak hata azalmaktadır.

Hatalar rastgele değil sistematik hatalara dayandığından, vantuzların belirlenmesindeki nihai mutlak hata, teorik olarak gerekli hava miktarının %10'una ulaşabilir. Yalnızca kabul edilemez derecede gevşek fırınlarda (A 0 25) genel olarak kabul edilen yöntem az çok tatmin edici sonuçlar verir. Tarif edilenler, yoğun fırınların hava dengesini azaltırken genellikle negatif emme değerleri alan ayarlayıcılar tarafından iyi bilinmektedir.

Pet değerinin belirlenmesindeki hatanın analizi, 4 bileşenden oluştuğunu gösterdi: matrisin kütlesini belirlemedeki mutlak hata, numune kapasitesi, tartım ve numunenin etrafındaki numunenin kütlesindeki dalgalanmalardan kaynaklanan bağıl hata. denge değeri.

GKhP-3 gaz analizörü kullanılarak gazların seçimi, hacimlerinin sayılması ve analizine ilişkin tüm kurallara tabi olarak, CO2 ve O2 içeriğinin belirlenmesindeki toplam mutlak hata, gerçek değerlerinin %0 2 - 0 %4'ünü geçmemelidir.

Tablodan. 1 - 3, farklı kaynaklardan alınan başlangıç ​​maddeleri için kullandığımız verilerin, bu miktarları belirlerken mutlak hatalar içinde yer alan nispeten küçük farklılıklara sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Rastgele hatalar mutlak veya göreli olabilir. Ölçülen değerin boyutuna sahip olan rastgele hataya mutlak belirleme hatası denir. Tüm bireysel ölçümlerin mutlak hatalarının aritmetik ortalaması, analiz yönteminin mutlak hatası olarak adlandırılır.

İzin verilen sapma veya güven aralığının değeri keyfi olarak ayarlanmaz, ancak belirli ölçüm verilerinden ve kullanılan aletlerin özelliklerinden hesaplanır. Tek bir ölçümün sonucunun bir miktarın gerçek değerinden sapmasına, mutlak belirleme hatası veya basitçe hata denir. Mutlak hatanın ölçülen değere oranı, genellikle yüzde olarak ifade edilen bağıl hata olarak adlandırılır. Tek bir ölçümün hatasını bilmek bağımsız bir öneme sahip değildir ve herhangi bir ciddi deneyde, deneyin hatasının hesaplandığı birkaç paralel ölçüm yapılmalıdır. Ölçüm hataları, oluşum nedenlerine bağlı olarak üç türe ayrılır.

Fiziksel bir niceliğin gerçek değerini kesinlikle tam olarak belirlemek pratik olarak imkansızdır, çünkü herhangi bir ölçüm işlemi bir dizi hatayla veya aksi halde hatalarla ilişkilidir. Hataların nedenleri çok farklı olabilir. Bunların oluşumu, incelenen nesnenin fiziksel özelliklerinden dolayı, ölçüm cihazının imalatındaki ve ayarlanmasındaki yanlışlıklar nedeniyle olabilir (örneğin, homojen olmayan kalınlıktaki bir telin çapını ölçerken, sonuç rasgele seçime bağlıdır. ölçüm alanı), rastgele nedenler vb.

Deneycinin görevi, sonuç üzerindeki etkilerini azaltmak ve ayrıca sonucun gerçeğe ne kadar yakın olduğunu belirtmektir.

Mutlak ve göreli hata kavramları vardır.

Altında mutlak hataölçüm, ölçüm sonucu ile ölçülen miktarın gerçek değeri arasındaki farkı anlayacaktır:

∆x ben =x ben -x ve (2)

burada ∆x i, i-inci ölçümün mutlak hatasıdır, x ben _, i-inci ölçümün sonucudur, x i, ölçülen değerin gerçek değeridir.

Herhangi bir fiziksel ölçümün sonucu genellikle şu şekilde yazılır:

ölçülen büyüklüğün gerçek değere en yakın aritmetik ortalama değeri nerede (x ve ≈'nin geçerliliği aşağıda gösterilecektir), mutlak ölçüm hatasıdır.

Eşitlik (3), ölçülen değerin gerçek değeri [ - , + ] aralığında olacak şekilde anlaşılmalıdır.

Mutlak hata boyutsal bir değerdir, ölçülen değerle aynı boyuta sahiptir.

Mutlak hata, yapılan ölçümlerin doğruluğunu tam olarak karakterize etmez. Gerçekten de, 1 m ve 5 mm uzunluğundaki ± 1 mm segmentlerde aynı mutlak hatayla ölçüm yaparsak, ölçüm doğruluğu kıyaslanamaz olacaktır. Bu nedenle mutlak ölçüm hatası ile birlikte bağıl hata hesaplanır.

göreli hataölçümler, mutlak hatanın ölçülen değere oranıdır:

Göreceli hata boyutsuz bir niceliktir. Yüzde olarak ifade edilir:

Yukarıdaki örnekte, göreli hatalar %0,1 ve %20'dir. Mutlak değerler aynı olmasına rağmen, birbirlerinden belirgin şekilde farklıdırlar. Göreceli hata, doğruluk hakkında bilgi verir

Ölçüm hataları

Tezahürün doğasına ve hatanın ortaya çıkma nedenlerine göre, şartlı olarak aşağıdaki sınıflara ayrılabilir: araçsal, sistematik, rastgele ve özlüyor (büyük hatalar).

Kayıplar, cihazın arızalanmasından veya metodolojinin veya deneysel koşulların ihlalinden kaynaklanır veya öznel niteliktedir. Uygulamada, diğerlerinden keskin bir şekilde farklı sonuçlar olarak tanımlanırlar. Görünümlerini ortadan kaldırmak için, cihazlarla çalışırken doğruluk ve titizliği gözlemlemek gerekir. Eksik içeren sonuçlar değerlendirme dışı bırakılmalıdır (atılır).

enstrümantal hatalar. Ölçüm cihazı servis edilebilir ve ayarlanmışsa, cihaz tipine göre belirlenen sınırlı doğrulukta ölçümler yapılabilir. İşaret aletinin alet hatasının, ölçeğinin en küçük bölümünün yarısına eşit olduğu kabul edilir. Dijital okumalı cihazlarda, cihaz hatası, cihaz ölçeğindeki en küçük bir basamağın değerine eşittir.

Sistematik hatalar, aynı yöntemle ve aynı ölçü aletleri kullanılarak yapılan tüm ölçüm serileri için büyüklüğü ve işareti sabit olan hatalardır.

Ölçümler yapılırken, yalnızca sistematik hataları hesaba katmak değil, aynı zamanda bunların ortadan kaldırılmasını sağlamak da önemlidir.

Sistematik hatalar şartlı olarak dört gruba ayrılır:

1) doğası bilinen ve büyüklükleri oldukça doğru bir şekilde belirlenebilen hatalar. Böyle bir hata, örneğin, havadaki ölçülen kütlede sıcaklığa, neme, hava basıncına vb. bağlı bir değişikliktir;

2) doğası bilinen, ancak hatanın büyüklüğü bilinmeyen hatalar. Bu tür hatalar, ölçüm cihazının neden olduğu hataları içerir: cihazın kendi arızası, terazinin sıfır değerine uymaması, bu cihazın doğruluk sınıfı;

3) varlığından şüphelenilmeyen, ancak büyüklükleri genellikle önemli olabilen hatalar. Bu tür hatalar en sık karmaşık ölçümlerde ortaya çıkar. Böyle bir hatanın basit bir örneği, içinde boşluk bulunan bazı numunelerin yoğunluğunun ölçülmesidir;

4) ölçüm nesnesinin kendisinin özelliklerinden kaynaklanan hatalar. Örneğin, bir metalin elektriksel iletkenliğini ölçerken, ikincisinden bir parça tel alınır. Malzemede herhangi bir kusur varsa hatalar oluşabilir - bir çatlak, telin kalınlaşması veya direncini değiştiren homojensizlik.

Rastgele hatalar, aynı miktarın tekrarlanan ölçümleri için aynı koşullar altında işaret ve büyüklükte rastgele değişen hatalardır.

Benzer bilgiler.

Mutlak ölçüm hatasıölçüm sonucu arasındaki fark tarafından belirlenen değer olarak adlandırılır. x ve ölçülen miktarın gerçek değeri x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Mutlak ölçüm hatasının ölçüm sonucuna oranına eşit olan δ değerine bağıl hata denir:

Örnek 2.1.π sayısının yaklaşık değeri 3.14'tür. O zaman hatası 0.00159'dur. Mutlak hata 0,0016'ya eşit ve bağıl hata 0,0016/3,14 = 0,00051 = %0,051 olarak kabul edilebilir.

Önemli sayılar. a değerinin mutlak hatası, a sayısının son basamağının bir birimini geçmiyorsa, sayının tüm işaretlerinin doğru olduğunu söylerler. Yaklaşık sayılar, yalnızca doğru işaretler korunarak yazılmalıdır. Örneğin, 52400 sayısının mutlak hatası 100'e eşitse, bu sayı örneğin 524·10 2 veya 0,524·10 5 olarak yazılmalıdır. Kaç tane gerçek anlamlı basamak içerdiğini belirterek yaklaşık bir sayının hatasını tahmin edebilirsiniz. Önemli basamakları sayarken, sayının sol tarafındaki sıfırlar sayılmaz.

Örneğin, 0.0283 sayısının üç geçerli anlamlı basamağı ve 2.5400'ün beş geçerli anlamlı basamağı vardır.

Sayı Yuvarlama Kuralları. Yaklaşık sayı fazladan (veya yanlış) karakterler içeriyorsa, yuvarlanmalıdır. Yuvarlama sırasında, son anlamlı basamağın biriminin yarısını aşmayan ek bir hata oluşur ( d) yuvarlatılmış sayı. Yuvarlama sırasında yalnızca doğru işaretler korunur; fazladan karakterler atılır ve atılan ilk rakam şundan büyük veya ona eşitse d/2, daha sonra saklanan son basamak bir artırılır.

Tam sayılardaki fazladan rakamlar sıfırlarla değiştirilir ve ondalık kesirlerde bunlar atılır (fazladan sıfırların yanı sıra). Örneğin, ölçüm hatası 0.001 mm ise, 1.07005 sonucu 1.070'e yuvarlanır. Sıfır değiştirilen ve atılan hanelerden ilki 5'ten küçükse, kalan haneler değiştirilmez. Örneğin, ölçüm hassasiyeti 50 olan 148935 sayısının yuvarlaması 148900'dür. Sıfırlarla değiştirilecek veya atılacak ilk basamak 5 ise ve ardından basamak veya sıfır gelmiyorsa, en yakın çift sayıya yuvarlama yapılır. sayı. Örneğin, 123.50 sayısı 124'e yuvarlanır. Sıfırlarla değiştirilecek veya atılacak ilk rakam 5'ten büyük veya 5'e eşitse, ancak arkasından anlamlı bir rakam geliyorsa, kalan son rakam bir artırılır. Örneğin, 6783.6 sayısı 6784'e yuvarlanır.

Örnek 2.2. 1284'ü 1300'e yuvarlarken, mutlak hata 1300 - 1284 = 16'dır ve 1280'e yuvarlarken mutlak hata 1280 - 1284 = 4'tür.

Örnek 2.3. 197'yi 200'e yuvarlarken mutlak hata 200 - 197 = 3'tür. Göreceli hata 3/197 ≈ 0,01523 veya yaklaşık 3/200 ≈ %1,5'tir.

Örnek 2.4. Satıcı karpuzu terazide tartıyor. Ağırlık setinde en küçüğü 50 gr.Tartı 3600 gr verdi Bu sayı yaklaşıktır. Karpuzun tam ağırlığı bilinmiyor. Ancak mutlak hata 50 g'ı geçmez, bağıl hata 50/3600 = %1,4'ü geçmez.

Sorunun çözümünde hatalar bilgisayar

Üç tür hata genellikle ana hata kaynakları olarak kabul edilir. Bunlar sözde kesme hataları, yuvarlama hataları ve yayılma hatalarıdır. Örneğin, doğrusal olmayan denklemlerin köklerini bulmak için yinelemeli yöntemler kullanıldığında, kesin bir çözüm veren doğrudan yöntemlerin aksine sonuçlar yaklaşıktır.

kesme hataları

Bu tür bir hata, sorunun kendisinde bulunan hatayla ilişkilidir. İlk verilerin tanımındaki yanlışlıktan kaynaklanıyor olabilir. Örneğin, problem durumunda herhangi bir boyut belirtilirse, o zaman pratikte gerçek nesneler için bu boyutlar her zaman bir doğrulukla bilinir. Aynısı diğer fiziksel parametreler için de geçerlidir. Bu aynı zamanda hesaplama formüllerinin ve bunlara dahil edilen sayısal katsayıların yanlışlığını da içerir.

Yayılma hataları

Bu tür bir hata, sorunu çözmek için bir veya başka bir yöntemin kullanılmasıyla ilişkilidir. Hesaplamalar sırasında kaçınılmaz olarak bir birikim veya başka bir deyişle hata yayılımı meydana gelir. Orijinal verilerin kendilerinin doğru olmamasına ek olarak, çarpıldığında, eklendiğinde vs. yeni bir hata ortaya çıkar. Hatanın birikimi, hesaplamada kullanılan aritmetik işlemlerin niteliğine ve sayısına bağlıdır.

Yuvarlama hataları

Bu tür bir hata, bir sayının gerçek değerinin bilgisayar tarafından her zaman doğru bir şekilde saklanmamasından kaynaklanmaktadır. Gerçek bir sayı bilgisayarın belleğine kaydedildiğinde, bir sayının hesap makinesinde görüntülenmesiyle aynı şekilde mantis ve üs olarak yazılır.