Yukarıdaki örnek, analiz için kullanılan değerlerin rastgele nedenlere bağlı olduğu sonucuna varmamızı sağlar, bu nedenle bu tür değişkenlere denir. rastgele. Çoğu durumda, ilk satırda rastgele değişken X'in çeşitli gözlenen değerlerinin kaydedildiği tablolarda özetlenen gözlemlerin veya deneylerin bir sonucu olarak ortaya çıkarlar ve ikincisinde - karşılık gelen frekanslar. Bu nedenle, bu tablo denir rastgele değişken X'in ampirik dağılımı veya varyasyon serisi. Varyasyon serileri için ortalama değeri, varyansı ve standart sapmayı bulduk.

sürekli, eğer değerleri tamamen bir sayısal aralığı dolduruyorsa.

Rastgele değişken denir ayrık, tüm değerleri numaralandırılabiliyorsa (özellikle sonlu sayıda değer alıyorsa).

İki not edilmelidir karakteristik özellikler ayrık bir rastgele değişkenin dağılım tabloları:

Tablonun ikinci satırındaki tüm sayılar pozitiftir;

Toplamları bire eşittir.

Yapılan çalışmalar doğrultusunda gözlem sayısındaki artışla ampirik dağılımın tablo şeklinde verilen teorik dağılıma yaklaştığı varsayılabilir.

Kesikli bir rastgele değişkenin önemli bir özelliği matematiksel beklentisidir.

matematiksel beklenti ayrık rasgele değişken X, , , …, . olasılıkları ile , , …, değerleri alarak bir sayı olarak adlandırılır:

Matematiksel beklenti aynı zamanda ortalama olarak da adlandırılır.

Rastgele bir değişkenin diğer önemli özellikleri arasında varyans (8) ve standart sapma (9) bulunur.

nerede: değerin matematiksel beklentisi x.

. (9)

Bilginin grafiksel sunumu tablodan çok daha açıktır, bu nedenle MS Excel elektronik tablolarının içlerine yerleştirilen verileri çeşitli çizelgeler, grafikler ve histogramlar şeklinde sunma yeteneği çok sık kullanılır. Bu nedenle, tabloya ek olarak, rastgele bir değişkenin dağılımı da kullanılarak gösterilmiştir. dağıtım poligonu. Bunu yapmak için, koordinat düzleminde , , ... koordinatlarına sahip noktalar oluşturulur ve düz parçalarla bağlanır.

MS Excel kullanarak bir dağıtım dikdörtgeni elde etmek için şunları yapmalısınız:

1. Araç çubuğunda "Ekle" ® "Alan Grafiği" sekmesini seçin.

2. MS Excel sayfasında görünen grafik alanını farenin sağ tuşu ile etkinleştirin ve içerik menüsündeki “Veri Seç” komutunu kullanın.

Pirinç. 6. Bir veri kaynağı seçme

İlk olarak, grafik için veri aralığını tanımlayalım. Bunu yapmak için, "Veri Kaynağı Seç" iletişim kutusunun uygun alanına C6:I6 aralığını girin (Satır1, Şekil 7 olarak adlandırılan frekans değerlerini içerir).

Pirinç. 7. 1. satırı ekleyin

Bir dizinin adını değiştirmek için, "Efsane öğeleri (dizi)" alanını değiştirmek için düğmeyi seçin (bkz. Şekil 7) ve adlandırın .

X eksenine etiket eklemek için "Yatay eksen etiketleri (kategoriler)" alanında "Düzenle" butonunu kullanın.
(Şekil 8) ve serinin değerlerini belirtin ($C$6:$I$6 aralığı).

Pirinç. 8. "Veri kaynağını seçin" iletişim kutusunun son görünümü

Veri Kaynağı Seç iletişim kutusunda bir düğme seçme
(Şekil 8) rastgele bir değişkenin dağılımının gerekli poligonunu elde etmenizi sağlayacaktır (Şekil 9).

Pirinç. 9. Rastgele bir değişkenin çokgen dağılımı

Alınan grafik bilgilerinin tasarımında bazı değişiklikler yapalım:

Bir x ekseni etiketi ekleyin;

Y ekseninin etiketini düzenleyin;

- "Dağılım Poligonu" grafiği için bir başlık ekleyelim.

Bunu yapmak için, araç çubuğu alanındaki “Grafiklerle çalış” sekmesini, “Düzen” sekmesini ve beliren araç çubuğunda ilgili düğmeleri seçin: “Grafik adı”, “Eksen adları” (Şek. 10).

Pirinç. 10. Rastgele bir değişkenin dağılımının çokgeninin son şekli

Rastgele değişken Bir deney sonucunda önceden bilinmeyen bir veya başka bir değer alabilen bir miktar denir. Rastgele değişkenler süreksiz (ayrık) ve sürekli tip. Süreksiz niceliklerin olası değerleri önceden sıralanabilir. Sürekli niceliklerin olası değerleri önceden sayılamaz ve sürekli olarak belirli bir boşluğu doldurur.

Ayrık rastgele değişkenlere bir örnek:

1) Üç yazı turasında armanın görünme sayısı. (olası değerler 0;1;2;3)

2) Aynı deneyde armanın görülme sıklığı. (olası değerler)

3) Beş öğeden oluşan bir aygıttaki başarısız öğelerin sayısı. (Olası değerler 0;1;2;3;4;5)

Sürekli rastgele değişkenlere örnekler:

1) Ateşlendiğinde çarpma noktasının apsisi (ordinatı).

2) Darbe noktasından hedefin merkezine olan mesafe.

3) Cihazın arızasız çalışma süresi (radyo tüpleri).

Rastgele değişkenler büyük harflerle ve olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. Örneğin, X, üç atışla isabet sayısıdır; olası değerler: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Olası X 1 , X 2 , … , Xn değerlerine sahip süreksiz bir rastgele değişken X düşünün. Bu değerlerin her biri mümkündür, ancak kesin değildir ve X'in değeri, her birini bir olasılıkla alabilir. Deney sonucunda, X miktarı bu değerlerden birini alacaktır, yani uyumsuz olayların tam grubundan biri oluşacaktır.

Bu olayların olasılıklarını karşılık gelen indekslerle birlikte p harfleriyle gösterelim:

Uyumsuz olaylar tam bir grup oluşturduğundan,

yani, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Bu toplam olasılık, bir şekilde bireysel değerler arasında dağıtılır. Bu dağılımı belirtirsek, yani olayların her birinin tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtirsek, bir rastgele değişken olasılık bakış açısından tamamen tanımlanacaktır. (Bu, rastgele değişkenlerin dağılım yasasını oluşturacaktır.)

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası Rastgele bir değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılık arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkiye denir. (Rastgele bir değişken hakkında, belirli bir dağıtım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz)

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını belirtmenin en basit şekli, rastgele bir değişkenin olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur.

Tablo 1.

rastgele değişkenler. dağıtım poligonu

Rastgele değişkenler: ayrık ve sürekli.

Stokastik bir deney yaparken, bu deneyin olası sonuçları olan bir temel olaylar alanı oluşur. Temel olayların bu uzayında rastgele değer X, her temel olaya bir sayı atanan bir yasa (kural) verilirse. Böylece, rasgele değişken X, temel olayların uzayında tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

■ Rastgele değer- önceden dikkate alınamayan rastgele nedenlere bağlı olarak, her test sırasında bir veya başka bir sayısal değer alan (hangisi olduğu önceden bilinmeyen) bir değer. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleri ile gösterilir ve rastgele bir değişkenin olası değerleri küçük harflerle gösterilir. Böylece, bir zar atıldığında, x sayısıyla ilişkili bir olay meydana gelir, burada x, atılan puanların sayısıdır. Nokta sayısı rastgele bir değerdir ve 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları bu değerin olası değerleridir. Bir silahtan ateşlendiğinde bir merminin uçacağı mesafe de rastgele bir değişkendir (görüş kurulumuna, rüzgarın gücüne ve yönüne, sıcaklığa ve diğer faktörlere bağlıdır) ve bunun olası değerleridir. miktar belirli bir aralığa aittir (a; b).

■ Ayrık rastgele değişken- belirli olasılıklarla ayrı, izole olası değerler alan rastgele bir değişken. Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir.

■ Sürekli rastgele değişken bazı sonlu veya sonsuz aralıklardan tüm değerleri alabilen rastgele bir değişkendir. Sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Örneğin, bir zar atılırken düşen puan sayısı, bir kontrol çalışması için puan ayrı rastgele değişkenlerdir; bir silahtan ateş ederken bir merminin uçtuğu mesafe, eğitim materyalinin özümsenme süresinin göstergesinin ölçüm hatası, bir kişinin boyu ve ağırlığı sürekli rastgele değişkenlerdir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası– rastgele bir değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasındaki yazışmalar, yani. her olası x i değeri, rastgele değişkenin bu değeri alabileceği olasılık pi ile ilişkilidir. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası tablo şeklinde (tablo şeklinde), analitik (formül şeklinde) ve grafiksel olarak verilebilir.

Kesikli bir rastgele değişken X, sırasıyla p 1 , p 2 , …, p n olasılıklarıyla x 1 , x 2 , …, x n değerlerini alsın, yani. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . Bu miktarın dağıtım yasasının tablo şeklinde atanmasıyla, tablonun ilk satırı olası x 1, x 2, ..., x n değerlerini ve ikincisi - olasılıklarını içerir.

X	x 1	x 2	…	x n
p	p1	p2	…	p n

Testin bir sonucu olarak, ayrık rasgele değişken X olası değerlerden yalnızca birini alır, bu nedenle X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n olayları ikili uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturur ve bu nedenle, bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Kesikli bir rasgele değişkenin dağılım yasası. Çokgen (çokgen) dağılımı.

Bildiğiniz gibi rastgele değişken, duruma göre belirli değerler alabilen bir değişkendir. Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z) ve değerleriyle - karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (ayrık) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Kesikli bir rastgele değişken, yalnızca sıfır olmayan belirli olasılıklarla yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesi alan bir rastgele değişkendir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini karşılık gelen olasılıklarıyla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım yasası aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1. Dağıtım yasası tablodan verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) her x değeri için X rasgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) dağılım fonksiyonunu kullanarak, yani. F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3. Dağıtım yasası grafiksel olarak belirtilebilir - bir dağıtım poligonu (çokgen) ile (görev 3'e bakın).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birden fazla sayıyı bilmek yeterlidir. Rastgele bir değişkenin "ortalama değeri" anlamına gelen bir sayı veya bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı olabilir. Bu tür sayılara rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri:

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi (ortalama değer) M(X)=Σ x ben p i .
Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı D(X)= M 2 veya D(X) = M(X 2)− 2 . X–M(X) farkına rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması denir.
Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ
Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).

· Varyasyon serilerinin gösteriminin netliği için grafik gösterimleri büyük önem taşımaktadır. Grafiksel olarak, bir varyasyon serisi bir çokgen, bir histogram ve bir kümülat olarak görüntülenebilir.

· Bir dağıtım poligonu (kelimenin tam anlamıyla, bir dağıtım poligonu), dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulmuş kesik çizgi olarak adlandırılır. Özelliğin değeri, ordinat boyunca karşılık gelen frekanslar (veya göreceli frekanslar) apsis üzerinde çizilir. Noktalar (veya ) doğru parçaları ile birleştirilir ve bir dağıtım poligonu elde edilir. Çoğu zaman, çokgenler ayrık varyasyon serilerini görüntülemek için kullanılır, ancak aralık serileri için de kullanılabilirler. Bu durumda, bu aralıkların orta noktalarına karşılık gelen noktalar apsis ekseninde çizilir.

X ben	x 1	x2	…	X n
Pi	P1	P2	…	P n

Böyle bir tablo denir yakın dağıtım rastgele değişkenler.

Dağılım serisine daha görsel bir form vermek için grafik temsiline başvururlar: rastgele bir değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir. (Açıklık olması açısından, elde edilen noktalar doğru parçalarıyla birleştirilmiştir.)

Şekil 1 - dağıtım poligonu

Böyle bir rakam denir dağıtım poligonu. Dağıtım poligonu, dağıtım serisi gibi, rastgele değişkeni tamamen karakterize eder; dağıtım yasasının bir biçimidir.

Örnek:

A olayının görünebileceği veya görünmeyebileceği bir deney yapılır A olayının olasılığı = 0.3. Rastgele bir X değişkeni dikkate alınır - bu deneyde A olayının oluşum sayısı. X dağılımının bir dizisini ve bir çokgenini oluşturmak gerekir.

Tablo 2.

X ben
Pi	0,7	0,3

Şekil 2 - Dağıtım işlevi

dağıtım işlevi rastgele bir değişkenin evrensel bir özelliğidir. Tüm rastgele değişkenler için mevcuttur: hem süreksiz hem de süreksiz. Dağılım işlevi, olasılıksal bir bakış açısıyla rastgele bir değişkeni tamamen karakterize eder, yani dağıtım yasasının biçimlerinden biridir.

Bu olasılık dağılımını ölçmek için X=x olayının olasılığını değil, X olayının olasılığını kullanmak uygundur.

Dağılım fonksiyonu F(x) bazen integral dağılım fonksiyonu veya integral dağılım yasası olarak da adlandırılır.

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun özellikleri

1. Dağılım fonksiyonu F(x) argümanının azalmayan bir fonksiyonudur, yani ;

2. Eksi sonsuzda:

3. Artı sonsuzda:

Şekil 3 - dağıtım fonksiyonunun grafiği

Dağıtım fonksiyonu grafiği genel durumda, değerleri 0'dan başlayıp 1'e ulaşan, azalmayan bir fonksiyonun grafiğidir.

Bir rastgele değişkenin dağılım serisini bilerek, bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturmak mümkündür.

Örnek:

önceki örneğin koşulları için, rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturun.

X dağıtım fonksiyonunu oluşturalım:

Şekil 4 - dağıtım fonksiyonu X

dağıtım işlevi Herhangi bir süreksiz ayrık rasgele değişkenin, her zaman, rasgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda sıçramaları meydana gelen ve bu değerlerin olasılıklarına eşit olan süreksiz bir adım fonksiyonu vardır. Dağılım fonksiyonundaki tüm atlamaların toplamı 1'dir..

Rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı arttıkça ve aralarındaki aralıklar azaldıkça, atlama sayısı artar ve atlamaların kendileri küçülür:

Şekil 5

Adım eğrisi daha düzgün hale gelir:

Şekil 6

Rastgele bir değişken kademeli olarak sürekli bir değere yaklaşır ve dağılım işlevi sürekli bir işleve yaklaşır. Olası değerleri sürekli olarak belirli bir boşluğu dolduran, ancak dağıtım fonksiyonunun her yerde sürekli olmadığı rastgele değişkenler de vardır. Ve bazı noktalarda kırılıyor. Bu tür rastgele değişkenlere karışık denir.

Şekil 7

Görev 14. Nakit piyangoda 1.000.000 rublelik 1 kazanç, her biri 100.000 rublelik 10 kazanç oynanır. ve 1000 rublelik 100 kazanç. toplam bilet sayısı 10000 ile. Rastgele kazançların dağıtım yasasını bulun X bir piyango biletinin sahibi için.

Çözüm. için olası değerler X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Olasılıkları sırasıyla eşittir: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Bu nedenle, ödemenin dağıtım yasası X aşağıdaki tablodan verilebilir:

Görev 15. Ayrık rassal değişken X dağıtım kanunu tarafından verilen:

Bir dağıtım poligonu oluşturun.

Çözüm. Dikdörtgen bir koordinat sistemi oluşturuyoruz ve apsis ekseni boyunca olası değerleri çizeceğiz x ben, ve y ekseni boyunca - karşılık gelen olasılıklar ben. Puan oluşturalım M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0.4) ve M 4 (8; 0.3). Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirerek istenen dağıtım poligonunu elde ederiz.

§2. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Rastgele bir değişken, tamamen dağıtım yasası ile karakterize edilir. Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri kullanılarak ortalama bir açıklaması elde edilebilir.

2.1. Beklenen değer. Dağılım.

Rastgele bir değişken sırasıyla olasılıklı değerler alsın.

Tanım. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların ürünlerinin toplamıdır:

Matematiksel beklentinin özellikleri.

Rastgele bir değişkenin ortalama değer etrafındaki dağılımı, varyans ve standart sapma ile karakterize edilir.

Bir rastgele değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma karesinin matematiksel beklentisidir:

Hesaplamalar için aşağıdaki formül kullanılır

Dispersiyon özellikleri.

2. , karşılıklı bağımsız rasgele değişkenler nerede.

3. Standart sapma.

Görev 16. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun Z = X+ 2Y, eğer rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri biliniyorsa X ve Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanıyoruz. Sonra şunu elde ederiz:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Görev 17. Rastgele bir değişkenin varyansı X 3'e eşittir. Rastgele değişkenlerin varyansını bulun: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Çözüm. Dağılımın 3, 4 ve 2 özelliklerini uygulayalım. Sahibiz:

a) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Görev 18. Bağımsız bir rastgele değişken verildiğinde Y bir zar atılarak atılan puan sayısıdır. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını, matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun Y.

Çözüm. Rastgele değişken dağıtım tablosu Yşuna benziyor:

O zamanlar M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.