Formulat bazë të planimetrisë. Si të gjeni zonën e formave gjeometrike

Zonat e figurave gjeometrike janë vlera numerike që karakterizojnë madhësinë e tyre në hapësirën dydimensionale. Kjo vlerë mund të matet në njësi sistemore dhe jo-sistemore. Kështu, për shembull, një njësi jashtë sistemit të sipërfaqes është njëqind, një hektar. Ky është rasti nëse sipërfaqja e matur është një copë tokë. Njësia e sistemit të sipërfaqes është katrori i gjatësisë. Në sistemin SI, është zakon të konsiderohet se njësia e sipërfaqes së një sipërfaqe të sheshtë është një metër katror. Në CGS, njësia e sipërfaqes shprehet në centimetra katrorë.

Gjeometria dhe formulat e zonës janë të lidhura pazgjidhshmërisht. Kjo lidhje qëndron në faktin se llogaritja e sipërfaqeve të figurave të sheshta bazohet pikërisht në aplikimin e tyre. Për shumë figura, rrjedhin disa opsione, sipas të cilave llogariten madhësitë e tyre katrore. Bazuar në të dhënat nga deklarata e problemit, ne mund të përcaktojmë mënyrën më të thjeshtë për ta zgjidhur atë. Kjo lehtëson llogaritjen dhe zvogëlon në minimum probabilitetin e gabimeve të llogaritjes. Për ta bërë këtë, merrni parasysh zonën kryesore të figurave në gjeometri.

Formulat për gjetjen e sipërfaqes së çdo trekëndëshi paraqiten në disa mënyra:

1) Sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet nga baza a dhe lartësia h. Baza është ana e figurës në të cilën është ulur lartësia. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është:

2) Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet saktësisht në të njëjtën mënyrë nëse hipotenuza konsiderohet bazë. Nëse, megjithatë, këmba merret si bazë, atëherë zona e trekëndëshit kënddrejtë do të jetë e barabartë me produktin e këmbëve të përgjysmuara.

Formulat për llogaritjen e sipërfaqes së çdo trekëndëshi nuk mbarojnë këtu. Një shprehje tjetër përmban brinjët a,b dhe funksionin sinusoidal të këndit γ ndërmjet a dhe b. Vlera e sinusit gjendet në tabela. Mund të gjendet gjithashtu duke përdorur një kalkulator. Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është:

Sipas kësaj barazie, mund të siguroheni gjithashtu që zona e një trekëndëshi kënddrejtë të përcaktohet përmes gjatësisë së këmbëve. Sepse këndi γ është një kënd i drejtë, kështu që sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet pa shumëzuar me funksionin sinus.

3) Konsideroni një rast të veçantë - një trekëndësh të rregullt, në të cilin brinja a njihet me kusht ose gjatësia e tij mund të gjendet gjatë zgjidhjes. Asgjë më shumë nuk dihet për figurën në problemin e gjeometrisë. Atëherë si të gjeni zonën në këtë gjendje? Në këtë rast, zbatohet formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt:

Drejtkëndësh

Si të gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe të përdorni përmasat e brinjëve që kanë një kulm të përbashkët? Shprehja për llogaritjen është:

Nëse dëshironi të përdorni gjatësitë e diagonaleve për të llogaritur sipërfaqen e një drejtkëndëshi, atëherë ju nevojitet funksioni sinus i këndit të formuar kur ato kryqëzohen. Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi është:

Sheshi

Sipërfaqja e një katrori përcaktohet si fuqia e dytë e gjatësisë së anës:

Vërtetimi rrjedh nga përkufizimi se një drejtkëndësh quhet katror. Të gjitha anët që formojnë një katror kanë të njëjtat dimensione. Prandaj, llogaritja e sipërfaqes së një drejtkëndëshi të tillë reduktohet në shumëzimin e njërit me tjetrin, d.m.th., në fuqinë e dytë të anës. Dhe formula për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori do të marrë formën e dëshiruar.

Sipërfaqja e një katrori mund të gjendet në një mënyrë tjetër, për shembull, nëse përdorni një diagonale:

Si të llogarisni sipërfaqen e një figure që formohet nga një pjesë e një rrafshi të kufizuar nga një rreth? Për të llogaritur sipërfaqen, formulat janë:

Paralelogrami

Për një paralelogram, formula përmban dimensionet lineare të anës, lartësisë dhe operacionin matematik - shumëzimin. Nëse lartësia është e panjohur, atëherë si të gjeni zonën e paralelogramit? Ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur. Kërkohet një vlerë e caktuar, e cila do të merret nga funksioni trigonometrik i këndit të formuar nga brinjët ngjitur, si dhe gjatësia e tyre.

Formulat për sipërfaqen e një paralelogrami janë:

Rombi

Si të gjeni sipërfaqen e një katërkëndëshi të quajtur romb? Zona e një rombi përcaktohet duke përdorur operacione të thjeshta matematikore me diagonale. Vërtetimi mbështetet në faktin se segmentet diagonale në d1 dhe d2 kryqëzohen në kënde të drejta. Tabela e sinuseve tregon se për një kënd të drejtë, ky funksion është i barabartë me një. Prandaj, zona e një rombi llogaritet si më poshtë:

Zona e një rombi mund të gjendet edhe në një mënyrë tjetër. Gjithashtu nuk është e vështirë të vërtetohet kjo, duke qenë se anët e saj janë të njëjta në gjatësi. Pastaj zëvendësoni produktin e tyre në një shprehje të ngjashme për një paralelogram. Në fund të fundit, një rast i veçantë i kësaj figure të veçantë është një romb. Këtu γ është këndi i brendshëm i rombit. Zona e një rombi përcaktohet si më poshtë:

Trapez

Si të gjeni sipërfaqen e një trapezi përmes bazave (a dhe b), nëse gjatësitë e tyre tregohen në problem? Këtu, pa një vlerë të njohur të gjatësisë së lartësisë h, nuk do të jetë e mundur të llogaritet sipërfaqja e një trapezi të tillë. Sepse kjo vlerë përmban shprehjen për llogaritjen:

Madhësia katrore e një trapezi drejtkëndor gjithashtu mund të llogaritet në të njëjtën mënyrë. Në të njëjtën kohë, merret parasysh se në një trapezoid drejtkëndor kombinohen konceptet e lartësisë dhe anës. Prandaj, për një trapez drejtkëndor, duhet të specifikoni gjatësinë e anës në vend të lartësisë.

Cilindri dhe paralelipiped

Konsideroni se çfarë nevojitet për të llogaritur sipërfaqen e të gjithë cilindrit. Zona e kësaj figure është një palë rrathësh, të quajtur baza dhe një sipërfaqe anësore. Rrathët që formojnë rrathë kanë gjatësi rrezesh të barabarta me r. Për sipërfaqen e një cilindri, bëhet llogaritja e mëposhtme:

Si të gjeni sipërfaqen e një paralelipipedi që përbëhet nga tre palë faqe? Matjet e tij janë në përputhje me një palë të veçantë. Fytyrat që janë përballë kanë të njëjtat parametra. Së pari gjeni S(1), S(2), S(3) - dimensionet katrore të fytyrave të pabarabarta. Pastaj sipërfaqja e paralelepipedit:

Unazë

Dy rrathë me një qendër të përbashkët formojnë një unazë. Ata gjithashtu kufizojnë zonën e unazës. Në këtë rast, të dyja formulat e llogaritjes marrin parasysh dimensionet e secilit rreth. E para, e cila llogarit sipërfaqen e unazës, përmban rreze R më të mëdha dhe r më të vogla. Më shpesh ato quhen të jashtme dhe të brendshme. Në shprehjen e dytë, sipërfaqja e unazës llogaritet duke përdorur diametrat më të mëdhenj D dhe d më të vegjël. Kështu, zona e unazës sipas rrezeve të njohura llogaritet si më poshtë:

Zona e unazës, duke përdorur gjatësinë e diametrave, përcaktohet si më poshtë:

Shumëkëndëshi

Si të gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi, forma e të cilit nuk është e saktë? Nuk ka asnjë formulë të përgjithshme për sipërfaqen e figurave të tilla. Por nëse vizatohet në një plan koordinativ, për shembull, mund të jetë letër me kuadrate, atëherë si ta gjejmë sipërfaqen në këtë rast? Këtu ata përdorin një metodë që nuk kërkon matjen e përafërt të figurës. Ata e bëjnë këtë: nëse gjejnë pika që bien në cepin e qelizës ose kanë koordinata me numra të plotë, atëherë merren parasysh vetëm ato. Për të zbuluar më pas se cila është zona, përdorni formulën e provuar nga Pick. Është e nevojshme të shtoni numrin e pikave të vendosura brenda polivijës me gjysmën e pikave që shtrihen në të dhe të zbrisni një, d.m.th. llogaritet në këtë mënyrë:

ku C, D - numri i pikave të vendosura brenda dhe në të gjithë polilinën, përkatësisht.

Të gjitha formulat për sipërfaqen e figurave të planit

Zona e një trapezoidi izoscelular

1. Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelular për sa i përket brinjëve dhe këndit

a - baza e poshtme

b - baza e sipërme

c - anët e barabarta

α - këndi në bazën e poshtme

Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelor për sa i përket anëve, (S):

Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelor për sa i përket anëve dhe këndit, (S):

2. Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelular për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar

R- rrezja e rrethit të brendashkruar

D- diametri i rrethit të brendashkruar

O - qendër rrethi e brendashkruar

H- lartësia e trapezit

α, β - kënde trapezoide

Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelular për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar, (S):

FAIR, për një rreth të brendashkruar në një trapezoid izoscelular:

3. Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelular për sa i përket diagonaleve dhe këndit ndërmjet tyre

d-diagonal i një trapezi

α,β- kënde ndërmjet diagonaleve

Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelor për sa i përket diagonaleve dhe këndit ndërmjet tyre, (S):

4. Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelular përmes vijës së mesit, anës anësore dhe këndit në bazë

c- anë

m- vija e mesme e trapezit

α, β - kënde në bazë

Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelor për sa i përket vijës së mesit, anës anësore dhe këndit në bazë,

(S):

5. Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelular për sa i përket bazave dhe lartësisë

a - baza e poshtme

b - baza e sipërme

h - lartësia e trapezit

Formula për sipërfaqen e një trapezi izoscelor për sa i përket bazave dhe lartësisë, (S):

Zona e një trekëndëshi të dhënë një brinjë dhe dy kënde, formula.

a, b, c - anët e trekëndëshit

α, β, γ - kënde të kundërta

Sipërfaqja e një trekëndëshi nëpër një anë dhe dy kënde (S):

Formula për sipërfaqen e një shumëkëndëshi të rregullt

a - anë shumëkëndëshi

n - numri i anëve

Zona e një shumëkëndëshi të rregullt, (S):

Formula (heroniane) për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket gjysmëperimetrit (S):

Sipërfaqja e një trekëndëshi barabrinjës është:

Formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi barabrinjës.

a - brinja e trekëndëshit

h - lartësia

Si të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh?

b - baza e trekëndëshit

a - anët e barabarta

h - lartësia

3. Formula për sipërfaqen e një trapezi në terma të katër anëve

a - baza e poshtme

b - baza e sipërme

c, d - anët

Rrezja e rrethit të rrethuar të trapezit në anët dhe diagonalet

a - anët e trapezit

c - baza e poshtme

b - baza e sipërme

d - diagonale

h - lartësia

Formula për rrezen e rrethit të rrethuar të një trapezi, (R)

gjeni rrezen e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi dykëndësh përgjatë brinjëve

Duke ditur brinjët e një trekëndëshi dykëndësh, mund të përdorni formulën për të gjetur rrezen e rrethit të rrethuar rreth këtij trekëndëshi.

a, b - anët e trekëndëshit

Rrezja e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi dykëndësh (R):

Rrezja e një rrethi të brendashkruar në një gjashtëkëndësh

a - ana e gjashtëkëndëshit

Rrezja e një rrethi të brendashkruar në një gjashtëkëndësh, (r):

Rrezja e një rrethi të brendashkruar në një romb

r - rrezja e rrethit të brendashkruar

a - anë e rombit

D, d - diagonale

h - lartësia e diamantit

Rrezja e një rrethi të brendashkruar në një trapezoid izoscelular

c - baza e poshtme

b - baza e sipërme

a - anët

h - lartësia

Rrezja e një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh kënddrejtë

a, b - këmbët e trekëndëshit

c - hipotenuzë

Rrezja e një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh dykëndësh

a, b - anët e trekëndëshit

Vërtetoni se sipërfaqja e katërkëndëshit të brendashkruar është

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

ku p është gjysmëperimetri dhe a, b, c dhe d janë brinjët e katërkëndëshit.

Vërtetoni se sipërfaqja e një katërkëndëshi të gdhendur në një rreth është

1/2 (ab + cb) sin α, ku a, b, c dhe d janë brinjët e katërkëndëshit dhe α është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Lexoni më shumë në FB.ru:

Sipërfaqja e një katërkëndëshi arbitrar (Fig. 1.13) mund të shprehet në terma të brinjëve të tij a, b, c dhe shumës së një çifti këndesh të kundërta:

ku p është gjysmëperimetri i katërkëndëshit.

Sipërfaqja e një katërkëndëshi të gdhendur në një rreth () (Fig. 1.14, a) llogaritet duke përdorur formulën Brahmagupta

dhe përshkruar (Fig. 1.14, b) () - sipas formulës

Nëse katërkëndëshi është i gdhendur dhe i përshkruar në të njëjtën kohë (Fig. 1.14, c), atëherë formula bëhet mjaft e thjeshtë:

Formula e kulmit

Për të vlerësuar sipërfaqen e një shumëkëndëshi në letër me kuadrate, mjafton të llogarisim sa qeliza mbulon ky poligon (marrim sipërfaqen e një qelize si njësi). Më saktësisht, nëse S është zona e shumëkëndëshit, është numri i qelizave që shtrihen tërësisht brenda poligonit dhe është numri i qelizave që kanë të paktën një pikë të përbashkët me brendësinë e shumëkëndëshit.

Më poshtë do të shqyrtojmë vetëm poligone të tillë, të gjitha kulmet e të cilëve shtrihen në nyjet e letrës me kuadrate - në ato ku kryqëzohen vijat e rrjetës. Rezulton se për poligone të tillë, mund të specifikoni formulën e mëposhtme:

ku është zona, r është numri i nyjeve që shtrihen rreptësisht brenda poligonit.

Kjo formulë quhet "Formula e pikut" sipas matematikanit që e zbuloi atë në 1899.

Çfarë është një zonë?

Zona - një karakteristikë e një figure të mbyllur gjeometrike (rrethi, katrori, trekëndëshi, etj.), që tregon madhësinë e saj. Sipërfaqja matet në centimetra katrorë, metra, etj. Shënohet me shkronjë S(katror).

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi?

S= a h

Ku a- gjatësia e bazës, hështë lartësia e trekëndëshit të tërhequr në bazë.

Për më tepër, baza nuk duhet të jetë në fund. Kjo do të bëjë gjithashtu.

Nëse trekëndëshi i mpirë, atëherë lartësia bie në vazhdimin e bazës:

Nëse trekëndëshi drejtkëndëshe, atëherë baza dhe lartësia janë këmbët e tij:

2. Një formulë tjetër, jo më pak e dobishme, por që për disa arsye harrohet gjithmonë:

S= a b siνα

Ku a Dhe b dy brinjë të një trekëndëshi siναështë sinusi i këndit ndërmjet këtyre brinjëve.

Kushti kryesor është që këndi të merret midis dy anëve të njohura.

3. Formula për sipërfaqen në tre anët (formula e Heronit):

S=

Ku a, b Dhe Me janë brinjët e trekëndëshit, dhe R - gjysmëperimetri. fq = (a+b+c)/2.

4. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar:

S=

Ku a, b Dhe Me janë brinjët e trekëndëshit, dhe R- rrezja e rrethit të rrethuar.

5. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar:

S= p r

Ku R - gjysmëperimetri i një trekëndëshi, dhe r- rrezja e rrethit të brendashkruar.

Si të gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi?

1. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është mjaft e thjeshtë:

S=a b

Asnjë truke.

Si të gjeni sipërfaqen e një katrori?

1. Meqenëse një katror është një drejtkëndësh me të gjitha anët e barabarta, e njëjta formulë vlen për të:

S=a a = a2

2. Gjithashtu, sipërfaqja e një katrori mund të gjendet përmes diagonales së tij:

S= d 2

Si të gjeni sipërfaqen e një paralelogrami?

1. Sipërfaqja e një paralelogrami gjendet me formulën:

S=a h

Kjo për faktin se nëse preni një trekëndësh kënddrejtë prej tij në të djathtë dhe e lidhni në të majtë, ju merrni një drejtkëndësh:

2. Gjithashtu, zona e një paralelogrami mund të gjendet përmes këndit midis dy anëve:

S=a b siνα

Si të gjeni sipërfaqen e një rombi?

Një romb është në thelb një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta. Prandaj, të njëjtat formula të zonës zbatohen për të.

1. Zona e rombit për nga lartësia:

S=a h

Për të zgjidhur problemet në gjeometri, duhet të dini formula - të tilla si zona e një trekëndëshi ose zona e një paralelogrami - si dhe truket e thjeshta, për të cilat do të flasim.

Së pari, le të mësojmë formulat për zonat e figurave. Ne i kemi mbledhur ato posaçërisht në një tryezë të përshtatshme. Printoni, mësoni dhe aplikoni!

Sigurisht, jo të gjitha formulat e gjeometrisë janë në tabelën tonë. Për shembull, për zgjidhjen e problemeve në gjeometri dhe stereometri në pjesën e dytë të provimit të profilit në matematikë, përdoren edhe formula të tjera për sipërfaqen e një trekëndëshi. Ne patjetër do t'ju tregojmë për to.

Por, çka nëse nuk duhet të gjesh zonën e një trapezi ose trekëndëshi, por zonën e ndonjë figure komplekse? Ka mënyra universale! Ne do t'i tregojmë duke përdorur shembuj nga banka e detyrave FIPI.

1. Si të gjeni sipërfaqen e një figure jo standarde? Për shembull, një katërkëndësh arbitrar? Një teknikë e thjeshtë - le ta ndajmë këtë shifër në ato për të cilat të gjithë dimë dhe të gjejmë zonën e saj - si shuma e sipërfaqeve të këtyre figurave.

Ndani këtë katërkëndësh me një vijë horizontale në dy trekëndësha me një bazë të përbashkët të barabartë me . Lartësitë e këtyre trekëndëshave janë të barabarta me dhe . Atëherë sipërfaqja e katërkëndëshit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të dy trekëndëshave: .

Përgjigje:.

2. Në disa raste, zona e figurës mund të përfaqësohet si diferenca e çdo zone.

Nuk është aq e lehtë për të llogaritur se çfarë është baza dhe lartësia në këtë trekëndësh! Por mund të themi se sipërfaqja e tij është e barabartë me diferencën midis sipërfaqeve të një katrori me brinjë dhe tre trekëndësha kënddrejtë. I shihni në foto? Ne marrim:.

Përgjigje:.

3. Ndonjëherë në një detyrë është e nevojshme të gjendet zona jo e të gjithë figurës, por e pjesës së saj. Zakonisht po flasim për sipërfaqen e një sektori - pjesë e një rrethi. Gjeni sipërfaqen e një sektori të një rrethi me rreze, gjatësia e harkut të të cilit është e barabartë me .

Në këtë foto ne shohim një pjesë të një rrethi. Sipërfaqja e të gjithë rrethit është e barabartë me , pasi . Mbetet për të zbuluar se cila pjesë e rrethit përshkruhet. Meqenëse gjatësia e të gjithë rrethit është (që), dhe gjatësia e harkut të këtij sektori është e barabartë, prandaj, gjatësia e harkut është disa herë më e vogël se gjatësia e të gjithë rrethit. Këndi në të cilin mbështetet ky hark është gjithashtu herë më i vogël se një rreth i plotë (d.m.th., gradë). Kjo do të thotë që zona e sektorit do të jetë disa herë më e vogël se sipërfaqja e të gjithë rrethit.