L. 2-1 Konceptet bazë të algjebrës vektoriale. Veprime lineare në vektorë.

Zbërthimi i një vektori në terma të një baze.

Konceptet themelore të algjebrës vektoriale

Një vektor është bashkësia e të gjithë segmenteve të drejtuar që kanë të njëjtën gjatësi dhe drejtim
.

Vetitë:

Veprime lineare në vektorë

1.

Rregulli i paralelogramit:

ME umet dy vektorë Dhe i quajtur vektor , duke dalë nga origjina e tyre e përbashkët dhe duke qenë diagonale e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë Dhe si në anët.

Rregulli i shumëkëndëshit:

Për të ndërtuar shumën e çdo numri vektorësh, duhet të vendosni fillimin e vektorit të 2-të në fund të pjesës së parë, fillimin e të tretës në fund të të dytit, e kështu me radhë. Vektori që mbyll polivijën që rezulton është shuma. Fillimi i tij përkon me fillimin e të parit dhe mbarimi me fundin e të fundit.

Vetitë:

2.

Produkt vektorial për numër , quhet një vektor që plotëson kushtet:
.

Vetitë:

3.

ndryshim vektorët Dhe vektori i thirrjes e barabartë me shumën e vektorit dhe një vektor të kundërt me vektorin , d.m.th.
.

- ligji i elementit të kundërt (vektorit).

Zbërthimi i një vektori në terma të një baze

Shuma e vektorëve përcaktohet në një mënyrë unike
(por vetem ). Operacioni i kundërt, zbërthimi i një vektori në disa komponentë, është i paqartë: Për ta bërë atë të paqartë, është e nevojshme të tregohen drejtimet në të cilat ndodh zgjerimi i vektorit të konsideruar, ose, siç thonë ata, është e nevojshme të tregohet bazë.

Gjatë përcaktimit të bazës, kërkesa për moskoplanaritet dhe jokolinearitet të vektorëve është thelbësore. Për të kuptuar kuptimin e kësaj kërkese, është e nevojshme të merret parasysh koncepti i varësisë lineare dhe pavarësisë lineare të vektorëve.

Shprehje arbitrare e formës: , e quajtur kombinim linear vektorët
.

Një kombinim linear i disa vektorëve quhet i parëndësishëm nëse të gjithë koeficientët e tij janë të barabartë me zero.

Vektorët
thirrur varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i këtyre vektorëve të barabartë me zero:
(1), me kusht
. Nëse barazia (1) vlen vetëm për të gjithë
njëkohësisht i barabartë me zero, pastaj vektorë jozero
do i pavarur në mënyrë lineare.

Është e lehtë të provosh: çdo dy vektorë kolinearë janë të varur në mënyrë lineare dhe dy vektorë jokolinearë janë linearisht të pavarur.

Vërtetimin e nisim me pohimin e parë.

Lërini vektorët Dhe kolineare. Le të tregojmë se ato janë të varura në mënyrë lineare. Në të vërtetë, nëse ato janë kolineare, atëherë ato ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga një faktor numerik, d.m.th.
, prandaj
. Meqenëse kombinimi linear që rezulton është qartësisht jo i parëndësishëm dhe është i barabartë me "0", atëherë vektorët Dhe varur në mënyrë lineare.

Konsideroni tani dy vektorë jo-kolinearë Dhe . Le të vërtetojmë se ato janë linearisht të pavarura. Provën e ndërtojmë me kontradiktë.

Supozojmë se ato janë të varura në mënyrë lineare. Atëherë duhet të ekzistojë një kombinim linear jo i parëndësishëm
. Le të pretendojmë se
, Pastaj
. Barazia që rezulton do të thotë se vektorët Dhe janë kolineare, në kundërshtim me supozimin tonë fillestar.

Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetohet: çdo tre vektorë koplanarë janë linearisht të varur dhe dy vektorë jokoplanarë janë linearisht të pavarur.

Duke iu rikthyer konceptit të bazës dhe problemit të zgjerimit të një vektori në një bazë të caktuar, mund të themi se baza në rrafsh dhe në hapësirë ​​është formuar nga një grup vektorësh të pavarur linearisht. Një koncept i tillë i një baze është i përgjithshëm, pasi është i zbatueshëm për një hapësirë ​​të çdo numri dimensionesh.

Shprehje si:
, quhet zbërthimi i vektorit nga vektorët ,…,.

Nëse marrim parasysh një bazë në hapësirën tre-dimensionale, atëherë zbërthimi i vektorit bazë
do
, Ku
-koordinatat vektoriale.

Në problemin e zgjerimit të një vektori arbitrar në disa baza, pohimi i mëposhtëm është shumë i rëndësishëm: ndonjë vektormund të zbërthehet në mënyrë unike në bazën e dhënë
. Me fjalë të tjera, koordinatat
për çdo vektor në lidhje me bazën
është përcaktuar në mënyrë të qartë.

Futja e një baze në hapësirë ​​dhe në një plan bën të mundur caktimin e secilit vektor renditur trefish (çift) numrash - koordinatat e tij. Ky rezultat shumë i rëndësishëm, i cili bën të mundur vendosjen e një lidhjeje midis objekteve gjeometrike dhe numrave, bën të mundur përshkrimin dhe studimin analitik të pozicionit dhe lëvizjes së objekteve fizike.

Kombinimi i një pike dhe një baze quhet sistemi i koordinatave.

Nëse vektorët që formojnë bazën janë pingul njësi dhe në çift, atëherë sistemi i koordinatave quhet drejtkëndëshe, dhe bazën ortonormale.

L. 2-2 Prodhimi i vektorëve

Zbërthimi i një vektori në terma të një baze

Merrni parasysh vektorin
, dhënë nga koordinatat e tij:
.

- komponentet vektoriale në drejtimet e vektorëve bazë
.

Shprehja e formës
quhet zbërthimi i vektorit bazë
.

Në mënyrë të ngjashme, dikush mund të dekompozohet bazë
vektoriale
:

.

Kosinuset e këndeve të formuara nga vektori i konsideruar me vektorë bazë
thirrur kosinuset e drejtimit

;
;
.

Produkt skalar i vektorëve.

Produkti skalar i dy vektorëve Dhe quhet numri i barabartë me prodhimin e moduleve të këtyre vektorëve me kosinusin e këndit ndërmjet tyre

Produkti skalar i dy vektorëve mund të konsiderohet si prodhimi i modulit të njërit prej këtyre vektorëve dhe projeksioni ortogonal i vektorit tjetër në drejtimin e të parit.
.

Vetitë:

Nëse dihen koordinatat e vektorëve
Dhe
, pastaj, duke i zgjeruar vektorët për sa i përket bazës
:
Dhe
, Gjej

, sepse
,
, Kjo

.

.

Gjendja e pingulitetit të vektorëve:
.

Kushti i kolinearitetit për rektorët:
.

Prodhimi i kryqëzuar i vektorëve

ose

arti vektor për vektor një vektor i tillë quhet
, e cila plotëson kushtet:

Vetitë:

Vetitë algjebrike të konsideruara bëjnë të mundur gjetjen e një shprehje analitike për produktin kryq në terma të koordinatave të vektorëve përbërës në një bazë ortonormale.

E dhënë:
Dhe
.

sepse ,
,
,
,
,
,
, Kjo

. Kjo formulë mund të shkruhet më e shkurtër, në formën e një përcaktori të rendit të tretë:

.

Produkt i përzier i vektorëve

Produkt i përzier i tre vektorëve ,Dhe quhet një numër i barabartë me produktin vektorial
, shumëzuar në shkallë me vektorin .

Barazia e mëposhtme është e vërtetë:
, pra shkruhet produkti i përzier
.

Siç del nga përkufizimi, rezultati i produktit të përzier të tre vektorëve është një numër. Ky numër ka një kuptim të qartë gjeometrik:

Moduli i produktit të përzier
është e barabartë me vëllimin e paralelepipedit të ndërtuar mbi vektorë të reduktuar në një origjinë të përbashkët ,Dhe .

Karakteristikat e përziera të produktit:

Nëse vektorët ,,jepen në bazë ortonormale
koordinatat e tyre, llogaritja e produktit të përzier kryhet sipas formulës

.

Në të vërtetë, nëse
, Kjo

;
;
, Pastaj
.

Nëse vektorët ,,janë koplanare, atëherë prodhimi i vektorit
pingul me vektorin . Dhe anasjelltas, nëse
, atëherë vëllimi i paralelopipedit është zero, dhe kjo është e mundur vetëm nëse vektorët janë koplanarë (të varur në mënyrë lineare).

Kështu, tre vektorë janë koplanarë nëse dhe vetëm nëse produkti i tyre i përzier është zero.

Varësia lineare dhe pavarësia lineare e vektorëve.
Baza e vektorëve. Sistemi i koordinatave afine

Në audiencë ka një karrocë me çokollata dhe sot çdo vizitor do të marrë një çift të ëmbël - gjeometri analitike me algjebër lineare. Ky artikull do të prekë dy seksione të matematikës së lartë në të njëjtën kohë, dhe ne do të shohim se si ato shkojnë së bashku në një mbështjellës. Bëni një pushim, hani Twix! ... dreqin, mirë, duke argumentuar marrëzi. Edhe pse në rregull, nuk do të shënoj, në fund të fundit, duhet të ketë një qëndrim pozitiv për të studiuar.

Varësia lineare e vektorëve, pavarësia lineare e vektorëve, bazë vektoriale dhe termat e tjerë kanë jo vetëm një interpretim gjeometrik, por, mbi të gjitha, një kuptim algjebrik. Vetë koncepti i "vektorit" nga pikëpamja e algjebrës lineare është larg nga gjithmonë vektori "i zakonshëm" që mund të përshkruajmë në një plan ose në hapësirë. Nuk keni nevojë të kërkoni larg për prova, provoni të vizatoni një vektor të hapësirës pesë-dimensionale . Ose vektori i motit, të cilin sapo shkova në Gismeteo për: - temperaturën dhe presionin atmosferik, respektivisht. Shembulli, natyrisht, është i pasaktë nga pikëpamja e vetive të hapësirës vektoriale, por, megjithatë, askush nuk e ndalon formalizimin e këtyre parametrave si vektor. Fryma e vjeshtës...

Jo, nuk do t'ju mërzit me teorinë, hapësirat vektoriale lineare, detyra është që kuptojnë përkufizime dhe teorema. Termat e rinj (varësia lineare, pavarësia, kombinimi linear, baza, etj.) janë të zbatueshëm për të gjithë vektorët nga pikëpamja algjebrike, por shembujt do të jepen në mënyrë gjeometrike. Kështu, gjithçka është e thjeshtë, e arritshme dhe vizuale. Përveç problemeve të gjeometrisë analitike, do të shqyrtojmë edhe disa detyra tipike të algjebrës. Për të zotëruar materialin, këshillohet që të njiheni me mësimet Vektorë për dummies Dhe Si të llogarisim përcaktorin?

Varësia lineare dhe pavarësia e vektorëve të rrafshët.
Baza e planit dhe sistemi i koordinatave afine

Merrni parasysh planin e tavolinës së kompjuterit tuaj (vetëm një tavolinë, komodinë, dysheme, tavan, çfarëdo që ju pëlqen). Detyra do të përbëhet nga veprimet e mëposhtme:

1) Zgjidhni bazën e aeroplanit. Përafërsisht, tavolina ka një gjatësi dhe një gjerësi, kështu që është intuitivisht e qartë se kërkohen dy vektorë për të ndërtuar bazën. Është e qartë se një vektor nuk mjafton, tre vektorë janë shumë.

2) Bazuar në bazën e zgjedhur vendos sistemin e koordinatave(rrjeti i koordinatave) për të caktuar koordinatat për të gjithë artikujt në tabelë.

Mos u çuditni, fillimisht shpjegimet do të jenë në gishta. Për më tepër, në tuajën. Ju lutem vendosni gishti tregues i dorës së majtë në buzë të tavolinës në mënyrë që ai të shikojë monitorin. Ky do të jetë një vektor. Tani vendoseni gishti i vogël i dorës së djathtë në buzë të tryezës në të njëjtën mënyrë - në mënyrë që të drejtohet në ekranin e monitorit. Ky do të jetë një vektor. Buzëqeshni, dukeni shkëlqyeshëm! Çfarë mund të thuhet për vektorët? Vektorët e të dhënave kolineare, që do të thotë në mënyrë lineare të shprehura përmes njëri-tjetrit:
, mirë, ose anasjelltas: , ku është një numër jo zero.

Ju mund të shihni një foto të këtij veprimi në mësim. Vektorë për dummies, ku shpjegova rregullin e shumëzimit të një vektori me një numër.

A do të vendosin gishtat tuaj bazën në rrafshin e tryezës së kompjuterit? Është e qartë se jo. Vektorët kolinearë udhëtojnë mbrapa dhe me radhë vetëm drejtim, ndërsa një rrafsh ka një gjatësi dhe një gjerësi.

Vektorë të tillë quhen varur në mënyrë lineare.

Referenca: Fjalët "lineare", "lineare" tregojnë faktin se në ekuacionet, shprehjet matematikore nuk ka katrorë, kube, fuqi të tjera, logaritme, sinus, etj. Ekzistojnë vetëm shprehje dhe varësi lineare (shkalla e parë).

Dy vektorë të rrafshët varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse janë kolinear.

Kryqëzoni gishtat mbi tavolinë në mënyrë që të ketë ndonjë kënd midis tyre përveç 0 ose 180 gradë. Dy vektorë të rrafshëtnë mënyrë lineare Jo janë të varura nëse dhe vetëm nëse nuk janë kolineare. Pra, baza është marrë. Nuk ka nevojë të turpërohemi që baza doli të ishte "e zhdrejtë" me vektorë jo pingulë me gjatësi të ndryshme. Shumë shpejt do të shohim që jo vetëm një kënd prej 90 gradë është i përshtatshëm për ndërtimin e tij, dhe jo vetëm vektorë njësi me gjatësi të barabartë

Çdo vektor i rrafshët e vetmja mënyrë zgjeruar për sa i përket bazës:
, ku janë numrat realë . Numrat thirren koordinatat vektoriale në këtë bazë.

Ata gjithashtu thonë se vektorialeparaqitur në formë kombinim linear vektorët bazë. Dmth quhet shprehja zbërthimi i vektoritbazë ose kombinim linear vektorët bazë.

Për shembull, mund të thuhet se një vektor është zgjeruar në një bazë ortonormale të rrafshit, ose mund të thuhet se ai përfaqësohet si një kombinim linear vektorësh.

Le të formulojmë përkufizimi i bazës zyrtarisht: baza e avionitështë një çift vektorësh linearisht të pavarur (jokolinearë), , ku ndonjë vektori i rrafshët është një kombinim linear i vektorëve bazë.

Pika thelbësore e përkufizimit është fakti që vektorët janë marrë në një rend të caktuar. bazat Këto janë dy baza krejtësisht të ndryshme! Siç thonë ata, gishti i vogël i dorës së majtë nuk mund të zhvendoset në vendin e gishtit të vogël të dorës së djathtë.

Ne e kuptuam bazën, por nuk mjafton të vendosni rrjetin e koordinatave dhe të caktoni koordinata për secilin artikull në tavolinën e kompjuterit tuaj. Pse jo mjaftueshëm? Vektorët janë të lirë dhe enden në të gjithë rrafshin. Pra, si t'i caktoni koordinatat atyre pikave të vogla të pista tavoline të mbetura nga një fundjavë e egër? Nevojitet një pikënisje. Dhe një pikë e tillë referimi është një pikë e njohur për të gjithë - origjina e koordinatave. Kuptimi i sistemit të koordinatave:

Do të filloj me sistemin "shkollë". Tashmë në mësimin hyrës Vektorë për dummies Unë theksova disa nga ndryshimet midis një sistemi koordinativ drejtkëndor dhe një baze ortonormale. Këtu është fotografia standarde:

Kur flitet për sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë më së shpeshti nënkuptojnë origjinën, akset koordinative dhe shkallën përgjatë akseve. Provoni të shkruani "sistemi i koordinatave drejtkëndore" në motorin e kërkimit dhe do të shihni se shumë burime do t'ju tregojnë për boshtet e koordinatave të njohura nga klasa e 5-6-të dhe si të vizatoni pikat në një aeroplan.

Nga ana tjetër, krijohet përshtypja se një sistem koordinativ drejtkëndor mund të përcaktohet mirë në terma të një baze ortonormale. Dhe pothuajse është. Formulimi shkon kështu:

origjinën, Dhe ortonormale grup bazë Sistemi i koordinatave karteziane të avionit . Kjo do të thotë, një sistem koordinativ drejtkëndor patjetër përcaktohet nga një pikë e vetme dhe dy vektorë ortogonalë njësi. Kjo është arsyeja pse, ju shihni vizatimin që dhashë më lart - në problemet gjeometrike, të dy vektorët dhe boshtet e koordinatave vizatohen shpesh (por larg nga gjithmonë).

Mendoj se të gjithë e kuptojnë këtë me ndihmën e një pike (origjine) dhe një baze ortonormale ÇDO PIKË e avionit dhe NDONJË VEKTOR i aeroplanit mund të caktohen koordinatat. Në mënyrë figurative, "gjithçka në aeroplan mund të numërohet".

A duhet të jenë vektorët e koordinatave njësi? Jo, ato mund të kenë një gjatësi arbitrare jo zero. Konsideroni një pikë dhe dy vektorë ortogonalë me gjatësi arbitrare jo zero:

Një bazë e tillë quhet ortogonale. Origjina e koordinatave me vektorë përcakton rrjetin koordinativ, dhe çdo pikë e rrafshit, çdo vektor ka koordinatat e veta në bazën e dhënë. Për shembull, ose. Shqetësimi i dukshëm është se vektorët e koordinatave në përgjithësi kanë gjatësi të ndryshme përveç unitetit. Nëse gjatësitë janë të barabarta me një, atëherë fitohet baza e zakonshme ortonormale.

! shënim : në bazën ortogonale, si dhe më poshtë në bazat afinale të rrafshit dhe hapësirës konsiderohen njësitë përgjatë boshteve. KUSHTEZUESHME. Për shembull, një njësi përgjatë abshisës përmban 4 cm, një njësi përgjatë ordinatës përmban 2 cm. Ky informacion është i mjaftueshëm për të kthyer koordinatat "jo standarde" në "centimetrat tanë të zakonshëm" nëse është e nevojshme.

Dhe pyetja e dytë, e cila në fakt tashmë është përgjigjur - a është e nevojshme që këndi midis vektorëve bazë të jetë i barabartë me 90 gradë? Jo! Siç thotë përkufizimi, vektorët bazë duhet të jenë vetëm jo-kolineare. Prandaj, këndi mund të jetë çdo gjë përveç 0 dhe 180 gradë.

Një pikë në aeroplan thirrur origjinën, Dhe jokolineare vektorë, , vendosur sistemi i koordinatave afinale të avionit :

Ndonjëherë ky sistem koordinativ quhet i zhdrejtë sistemi. Pikat dhe vektorët tregohen si shembuj në vizatim:

Siç e kuptoni, sistemi i koordinatave afinale është edhe më pak i përshtatshëm, formulat për gjatësitë e vektorëve dhe segmenteve, të cilat i kemi shqyrtuar në pjesën e dytë të mësimit, nuk funksionojnë në të. Vektorë për dummies, shumë formula të shijshme që lidhen me prodhim skalar i vektorëve. Por rregullat për mbledhjen e vektorëve dhe shumëzimin e një vektori me një numër janë të vlefshme, formulat për ndarjen e një segmenti në këtë drejtim, si dhe disa lloje të tjera problemesh që do t'i shqyrtojmë së shpejti.

Dhe përfundimi është se rasti më i përshtatshëm i veçantë i një sistemi koordinativ afine është sistemi drejtkëndor Kartezian. Prandaj, ajo, e saja, më së shpeshti duhet të shihet. Megjithatë, gjithçka në këtë jetë është relative - ka shumë situata në të cilat është e përshtatshme të kesh një të zhdrejtë (ose ndonjë tjetër, për shembull, polare) sistemi i koordinatave. Po, dhe humanoidet sisteme të tilla mund të shijojnë =)

Le të kalojmë në pjesën praktike. Të gjitha problemet në këtë mësim janë të vlefshme si për një sistem koordinativ drejtkëndor ashtu edhe për rastin e përgjithshëm të afinës. Nuk ka asgjë të komplikuar këtu, i gjithë materiali është në dispozicion edhe për një nxënës shkolle.

Si të përcaktohet kolineariteti i vektorëve të rrafshët?

Gjë tipike. Në mënyrë që dy vektorë të rrafshët janë kolineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që koordinatat e tyre përkatëse të jenë proporcionale.Në thelb, ky është një përsosje koordinata pas koordinate e marrëdhënies së dukshme.

Shembulli 1

a) Kontrolloni nëse vektorët janë kolinear .
b) A formojnë vektorët një bazë? ?

Zgjidhja:
a) Gjeni nëse ekziston për vektorë koeficienti i proporcionalitetit, i tillë që të plotësohen barazitë:

Unë patjetër do t'ju tregoj për versionin "foppish" të aplikimit të këtij rregulli, i cili funksionon mjaft mirë në praktikë. Ideja është që menjëherë të hartohet një proporcion dhe të shihet nëse është e saktë:

Le të bëjmë një proporcion nga raportet e koordinatave përkatëse të vektorëve:

Ne shkurtojmë:
, kështu që koordinatat përkatëse janë proporcionale, prandaj,

Lidhja mund të bëhet dhe anasjelltas, ky është një opsion ekuivalent:

Për vetë-testim, mund të përdoret fakti që vektorët kolinearë shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit. Në këtë rast, ka barazi . Vlefshmëria e tyre mund të kontrollohet lehtësisht përmes operacioneve elementare me vektorë:

b) Dy vektorë të rrafshët formojnë bazën nëse nuk janë kolinearë (linearisht të pavarur). Ne shqyrtojmë vektorët për kolinearitet . Le të krijojmë një sistem:

Nga ekuacioni i parë rrjedh se , nga ekuacioni i dytë rrjedh se , që do të thotë, sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koordinatat përkatëse të vektorëve nuk janë proporcionale.

konkluzioni: vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.

Një version i thjeshtuar i zgjidhjes duket si ky:

Përbërja e proporcionit nga koordinatat përkatëse të vektorëve :
, pra, këta vektorë janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.

Zakonisht recensentët nuk e refuzojnë këtë opsion, por problem lind në rastet kur disa koordinata janë të barabarta me zero. Si kjo: . Ose si kjo: . Ose si kjo: . Si të punoni përmes proporcionit këtu? (Në të vërtetë, ju nuk mund të pjesëtoni me zero). Është për këtë arsye që unë e quajta zgjidhjen e thjeshtuar "foppish".

Përgjigje: a) , b) forma.

Një shembull i vogël krijues për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 2

Në cilën vlerë të parametrave vektorë do të jetë kolinear?

Në zgjidhjen e mostrës, parametri gjendet përmes proporcionit.

Ekziston një mënyrë elegante algjebrike për të kontrolluar vektorët për kolinearitet. Le të sistemojmë njohuritë tona dhe thjesht ta shtojmë atë si pikën e pestë:

Për dy vektorë të rrafshët, pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:

2) vektorët formojnë një bazë;
3) vektorët nuk janë kolinearë;

+ 5) përcaktorja, e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve, është jozero.

Përkatësisht, pohimet e mëposhtme të kundërta janë ekuivalente:
1) vektorët janë të varur në mënyrë lineare;
2) vektorët nuk përbëjnë bazë;
3) vektorët janë kolinearë;
4) vektorët mund të shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit;
+ 5) përcaktorja, e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve, është e barabartë me zero.

Shpresoj shumë, shumë që për momentin ju tashmë i kuptoni të gjitha termat dhe deklaratat që keni hasur.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në pikën e re, të pestë: dy vektorë të rrafshët janë kolineare nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e vektorëve të dhënë është e barabartë me zero:. Për të përdorur këtë veçori, natyrisht, duhet të jeni në gjendje gjeni përcaktorë.

Ne do të vendosim Shembulli 1 në mënyrën e dytë:

a) Njehsoni përcaktorin, të përbërë nga koordinatat e vektorëve :
, pra këta vektorë janë kolinearë.

b) Dy vektorë të rrafshët formojnë bazën nëse nuk janë kolinearë (linearisht të pavarur). Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat e vektorëve :
, prandaj vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.

Përgjigje: a) , b) forma.

Duket shumë më kompakte dhe më e bukur se zgjidhja me përmasa.

Me ndihmën e materialit të konsideruar, është e mundur të përcaktohet jo vetëm kolineariteti i vektorëve, por edhe të vërtetohet paralelizmi i segmenteve, vijave të drejta. Konsideroni disa probleme me forma specifike gjeometrike.

Shembulli 3

Janë dhënë kulmet e një katërkëndëshi. Vërtetoni se katërkëndëshi është paralelogram.

Dëshmi: Nuk ka nevojë të ndërtoni një vizatim në problem, pasi zgjidhja do të jetë thjesht analitike. Mos harroni përkufizimin e një paralelogrami:
Paralelogrami Quhet një katërkëndësh, në të cilin anët e kundërta janë paralele në çift.

Pra, është e nevojshme të vërtetohet:
1) paralelizmi i anëve të kundërta dhe;
2) paralelizmi i anëve të kundërta dhe .

Ne vërtetojmë:

1) Gjeni vektorët:

2) Gjeni vektorët:

Rezultati është i njëjti vektor ("sipas shkollës" - vektorë të barabartë). Kolineariteti është mjaft i dukshëm, por është më mirë të merret vendimi siç duhet, me rregullimin. Llogaritni përcaktorin e përbërë nga koordinatat e vektorëve:
, pra këta vektorë janë kolinearë, dhe .

konkluzioni: Brinjët e kundërta të një katërkëndëshi janë paralele në çift, pra është një paralelogram sipas përkufizimit. Q.E.D.

Më shumë figura të mira dhe të ndryshme:

Shembulli 4

Janë dhënë kulmet e një katërkëndëshi. Vërtetoni se katërkëndëshi është një trapez.

Për një formulim më rigoroz të provës, është më mirë, natyrisht, të merret përkufizimi i një trapezi, por mjafton vetëm të kujtojmë se si duket.

Kjo është një detyrë për një vendim të pavarur. Zgjidhja e plotë në fund të mësimit.

Dhe tani është koha për të lëvizur ngadalë nga avioni në hapësirë:

Si të përcaktohet kolineariteti i vektorëve të hapësirës?

Rregulli është shumë i ngjashëm. Që dy vektorë hapësinorë të jenë kolinear, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që koordinatat e tyre përkatëse të jenë proporcionale me.

Shembulli 5

Zbuloni nëse vektorët e mëposhtëm hapësinor janë kolinear:

A) ;
b)
V)

Zgjidhja:
a) Kontrolloni nëse ka një koeficient proporcionaliteti për koordinatat përkatëse të vektorëve:

Sistemi nuk ka zgjidhje, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinearë.

"Thjeshtuar" bëhet duke kontrolluar proporcionin. Në këtë rast:
– koordinatat përkatëse nuk janë proporcionale, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinearë.

Përgjigje: vektorët nuk janë kolinearë.

b-c) Këto janë pika për vendimmarrje të pavarur. Provojeni në dy mënyra.

Ekziston një metodë për kontrollimin e kolinearitetit të vektorëve hapësinorë dhe përmes një përcaktori të rendit të tretë, kjo metodë mbulohet në artikull Prodhimi i kryqëzuar i vektorëve.

Ngjashëm me rastin e planit, mjetet e konsideruara mund të përdoren për të studiuar paralelizmin e segmenteve dhe vijave hapësinore.

Mirësevini në seksionin e dytë:

Varësia lineare dhe pavarësia e vektorëve të hapësirës tredimensionale.
Baza hapësinore dhe sistemi i koordinatave afine

Shumë nga rregullsitë që kemi shqyrtuar në aeroplan do të vlejnë edhe për hapësirën. U përpoqa të minimizoja përmbledhjen e teorisë, pasi pjesa më e madhe e informacionit tashmë është përtypur. Megjithatë, ju rekomandoj që të lexoni me kujdes pjesën hyrëse, pasi do të shfaqen terma dhe koncepte të reja.

Tani, në vend të rrafshit të tabelës së kompjuterit, le të shqyrtojmë hapësirën tredimensionale. Së pari, le të krijojmë bazën e saj. Dikush është tani brenda, dikush është jashtë, por në çdo rast, ne nuk mund të largohemi nga tre dimensionet: gjerësia, gjatësia dhe lartësia. Prandaj, tre vektorë hapësinorë kërkohen për të ndërtuar bazën. Një ose dy vektorë nuk mjaftojnë, i katërti është i tepërt.

Dhe përsëri ne ngrohemi në gishta. Ju lutemi ngrini dorën lart dhe përhapeni në drejtime të ndryshme gishtin e madh, treguesin dhe gishtin e mesit. Këta do të jenë vektorë, duken në drejtime të ndryshme, kanë gjatësi të ndryshme dhe kanë kënde të ndryshme ndërmjet tyre. Urime, baza e hapësirës tre-dimensionale është gati! Nga rruga, ju nuk keni nevojë t'ua tregoni këtë mësuesve, pavarësisht se si i ktheni gishtat, por nuk mund të largoheni nga përkufizimet =)

Më pas, ne bëjmë një pyetje të rëndësishme, nëse tre vektorë përbëjnë bazën e një hapësire tredimensionale? Ju lutemi shtypni fort tre gishtat mbi tavolinën e kompjuterit. Cfare ndodhi? Tre vektorë janë të vendosur në të njëjtin rrafsh, dhe, përafërsisht, ne kemi humbur një nga matjet - lartësinë. Vektorë të tillë janë koplanare dhe, fare qartë, se baza e hapësirës tre-dimensionale nuk është krijuar.

Duhet të theksohet se vektorët koplanarë nuk duhet të shtrihen në të njëjtin rrafsh, ata mund të jenë në plane paralele (vetëm mos e bëni këtë me gishtat, vetëm Salvador Dali u largua kështu =)).

Përkufizimi: quhen vektorë koplanare nëse ekziston një rrafsh me të cilin ato janë paralele. Këtu është logjike të shtohet se nëse një plan i tillë nuk ekziston, atëherë vektorët nuk do të jenë koplanarë.

Tre vektorë koplanarë janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare, pra shprehen në mënyrë lineare nëpërmjet njëra-tjetrës. Për thjeshtësi, përsëri imagjinoni se ata shtrihen në të njëjtin plan. Së pari, vektorët nuk janë vetëm koplanarë, por mund të jenë edhe kolinearë, pastaj çdo vektor mund të shprehet përmes çdo vektori. Në rastin e dytë, nëse, për shembull, vektorët nuk janë kolinear, atëherë vektori i tretë shprehet përmes tyre në një mënyrë unike: (dhe pse është e lehtë të merret me mend nga materialet e seksionit të mëparshëm).

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: tre vektorë jokoplanarë janë gjithmonë të pavarur në mënyrë lineare dmth nuk shprehen në asnjë mënyrë nëpërmjet njëra-tjetrës. Dhe, padyshim, vetëm vektorë të tillë mund të formojnë bazën e një hapësire tre-dimensionale.

Përkufizimi: Baza e hapësirës tre-dimensionale quhet trefishi i vektorëve linearisht të pavarur (jokoplanarë), marrë në një rend të caktuar, ndërsa çdo vektor i hapësirës e vetmja mënyrë zgjerohet në bazën e dhënë , ku janë koordinatat e vektorit në bazën e dhënë

Si kujtesë, mund të thoni gjithashtu se një vektor përfaqësohet si kombinim linear vektorët bazë.

Koncepti i një sistemi koordinativ paraqitet saktësisht në të njëjtën mënyrë si për rastin e rrafshët, mjafton një pikë dhe çdo tre vektorë linearisht të pavarur:

origjinën, Dhe jokomplanare vektorë, marrë në një rend të caktuar, vendosur sistemi koordinativ afin i hapësirës tredimensionale :

Sigurisht, rrjeti i koordinatave është "i zhdrejtë" dhe i papërshtatshëm, por, megjithatë, sistemi koordinativ i ndërtuar na lejon të patjetër të përcaktojë koordinatat e çdo vektori dhe koordinatat e çdo pike në hapësirë. Ngjashëm me planin, në sistemin e koordinatave afinale të hapësirës, ​​disa formula që kam përmendur tashmë nuk do të funksionojnë.

Rasti i veçantë më i njohur dhe më i përshtatshëm i një sistemi koordinativ afine, siç mund të hamendësohet të gjithë, është sistem koordinativ hapësinor drejtkëndor:

pikë në hapësirë ​​të quajtur origjinën, Dhe ortonormale grup bazë Sistemi i koordinatave karteziane të hapësirës . foto e njohur:

Para se të vazhdojmë me detyra praktike, ne sistematizojmë përsëri informacionin:

Për tre vektorë hapësinorë, pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
1) vektorët janë linearisht të pavarur;
2) vektorët formojnë një bazë;
3) vektorët nuk janë koplanarë;
4) vektorët nuk mund të shprehen në mënyrë lineare me njëri-tjetrin;
5) përcaktori, i përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve, është i ndryshëm nga zero.

Deklaratat e kundërta, mendoj se janë të kuptueshme.

Varësia/pavarësia lineare e vektorëve të hapësirës tradicionalisht kontrollohet duke përdorur përcaktorin (pika 5). Detyrat praktike të mbetura do të jenë të një natyre të theksuar algjebrike. Është koha për të varur një shkop gjeometrik në një gozhdë dhe për të përdorur një shkop linear bejsbolli algjebër:

Tre vektorë hapësinorë janë koplanare nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e vektorëve të dhënë është e barabartë me zero: .

Unë tërheq vëmendjen tuaj për një nuancë të vogël teknike: koordinatat e vektorëve mund të shkruhen jo vetëm në kolona, ​​por edhe në rreshta (vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nga kjo - shikoni vetitë e përcaktuesve). Por është shumë më mirë në kolona, ​​pasi është më e dobishme për zgjidhjen e disa problemeve praktike.

Për ata lexues që kanë harruar pak metodat e llogaritjes së përcaktorëve, ose ndoshta janë të orientuar keq fare, unë rekomandoj një nga mësimet e mia më të vjetra: Si të llogarisim përcaktorin?

Shembulli 6

Kontrolloni nëse vektorët e mëposhtëm formojnë bazën e një hapësire tre-dimensionale:

Zgjidhje: Në fakt, e gjithë zgjidhja zbret në llogaritjen e përcaktorit.

a) Llogaritni përcaktorin, të përbërë nga koordinatat e vektorëve (përcaktori zgjerohet në rreshtin e parë):

, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur (jo koplanarë) dhe përbëjnë bazën e një hapësire tredimensionale.

Përgjigju: këta vektorë përbëjnë bazën

b) Kjo është një pikë për një vendim të pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Ekzistojnë gjithashtu detyra krijuese:

Shembulli 7

Në cilën vlerë të parametrit vektorët do të jenë koplanarë?

Zgjidhje: Vektorët janë koplanarë nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e vektorëve të dhënë është e barabartë me zero:

Në thelb, kërkohet të zgjidhet një ekuacion me një përcaktor. Ne fluturojmë në zero si qift në jerboas - është më e dobishme të hapim përcaktuesin në rreshtin e dytë dhe menjëherë të heqim qafe minuset:

Ne kryejmë thjeshtime të mëtejshme dhe e reduktojmë çështjen në ekuacionin linear më të thjeshtë:

Përgjigju: në

Është e lehtë të kontrollohet këtu, për këtë ju duhet të zëvendësoni vlerën që rezulton në përcaktuesin origjinal dhe të siguroheni që duke e rihapur atë.

Si përfundim, le të shqyrtojmë një problem tjetër tipik, i cili është më shumë i natyrës algjebrike dhe tradicionalisht përfshihet në rrjedhën e algjebrës lineare. Është aq e zakonshme sa meriton një temë të veçantë:

Vërtetoni se 3 vektorë përbëjnë bazën e një hapësire tredimensionale
dhe gjeni koordinatat e vektorit të 4-të në bazën e dhënë

Shembulli 8

Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë bazën e hapësirës tredimensionale dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë.

Zgjidhje: Le të merremi me gjendjen së pari. Sipas kushteve, jepen katër vektorë, dhe, siç mund ta shihni, ata tashmë kanë koordinata në një farë mase. Cila është baza - ne nuk jemi të interesuar. Dhe gjëja e mëposhtme është me interes: tre vektorë mund të formojnë një bazë të re. Dhe hapi i parë është plotësisht i njëjtë me zgjidhjen e Shembullit 6, është e nevojshme të kontrolloni nëse vektorët janë vërtet të pavarur linearisht:

Llogaritni përcaktorin e përbërë nga koordinatat e vektorëve:

, prandaj vektorët janë linearisht të pavarur dhe formojnë bazën e një hapësire tredimensionale.

! E rëndësishme : koordinatat vektoriale Domosdoshmërisht shkruani në kolona përcaktues, jo vargje. Përndryshe, do të ketë konfuzion në algoritmin e mëtejshëm të zgjidhjes.