Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan. Rregullimi i ndërsjellë i linjave

Le të jepet një drejtëz e dhënë nga një ekuacion linear dhe një pikë e dhënë nga koordinatat e tij (x0, y0) dhe jo e shtrirë në këtë drejtëz. Kërkohet të gjendet një pikë që do të ishte simetrike me një pikë të caktuar në lidhje me një vijë të drejtë të caktuar, domethënë, do të përkonte me të, nëse avioni është i përkulur mendërisht në gjysmë përgjatë kësaj vije të drejtë.

Udhëzim

1. Është e qartë se të dyja pikat - të dhëna dhe të dëshiruara - duhet të shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë dhe kjo vijë duhet të jetë pingul me atë të dhënë. Kështu, pjesa e parë e problemit është gjetja e ekuacionit të një drejtëze që do të ishte pingul me një vijë të caktuar dhe në të njëjtën kohë do të kalonte nëpër një pikë të caktuar.

2. Një vijë e drejtë mund të përcaktohet në dy mënyra. Ekuacioni kanonik i një drejtëze duket kështu: Ax + By + C = 0, ku A, B dhe C janë konstante. Gjithashtu, një vijë e drejtë mund të përcaktohet duke përdorur një funksion linear: y \u003d kx + b, ku k është eksponenti këndor, b është zhvendosja. Këto dy metoda janë të këmbyeshme dhe lejohet të lëvizë nga njëra në tjetrën. Nëse Ax + By + C = 0, atëherë y = – (Ax + C)/B. Me fjalë të tjera, në një funksion linear y = kx + b, eksponenti këndor k = -A/B dhe kompensimi b = -C/B. Për detyrën në fjalë, është më komode të arsyetosh në bazë të ekuacionit kanonik të një vije të drejtë.

3. Nëse dy drejtëza janë pingul me njëra-tjetrën, dhe ekuacioni i vijës së parë është Ax + By + C = 0, atëherë ekuacioni i vijës së dytë duhet të jetë Bx - Ay + D = 0, ku D është një konstante. Për të gjetur një vlerë të caktuar të D, është e nevojshme të dihet gjithashtu se në cilën pikë kalon vija pingule. Në këtë rast, kjo është pika (x0, y0) Për rrjedhojë, D duhet të plotësojë barazinë: Bx0 – Ay0 + D = 0, pra D = Ay0 – Bx0.

4. Më vonë, pasi të gjendet vija pingule, është e nevojshme të llogariten koordinatat e pikës së kryqëzimit të saj me atë të dhënë. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Zgjidhja e tij do të japë numrat (x1, y1) që shërbejnë si koordinata të pika e kryqëzimit të vijave.

5. Pika e dëshiruar duhet të shtrihet në vijën e zbuluar, dhe distanca e saj në pikën e kryqëzimit duhet të jetë e barabartë me distancën nga pika e kryqëzimit në pikën (x0, y0). Koordinatat e një pike simetrike me pikën (x0, y0) mund të gjenden kështu duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Por le ta bëjmë më të lehtë. Nëse pikat (x0, y0) dhe (x, y) janë në distancë të barabartë nga pika (x1, y1), dhe të tri pikat shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0 Rrjedhimisht, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Duke zëvendësuar këto vlera në ekuacionin e dytë të sistemit të parë dhe duke thjeshtuar shprehjet, është e lehtë të sigurohemi që ana e djathtë e tij të bëhet e njëjtë me anën e majtë. Përveç kësaj, nuk ka kuptim të shqyrtojmë më nga afër ekuacionin e parë, sepse dihet që pikat (x0, y0) dhe (x1, y1) e kënaqin atë, dhe pika (x, y) sigurisht që shtrihet në të njëjtën linjë. .

Formulimi i problemit. Gjeni koordinatat e një pike simetrike me një pikë në lidhje me aeroplanin.

Plani i zgjidhjes.

1. Gjejmë ekuacionin e drejtëzës që është pingul me një rrafsh të caktuar dhe kalon nëpër një pikë . Meqenëse drejtëza është pingul me rrafshin e dhënë, atëherë vektori i normales së rrafshit mund të merret si vektor i drejtimit të tij, d.m.th.

.

Prandaj, ekuacioni i një drejtëze do të jetë

.

2. Gjeni një pikë kryqëzimi i linjës dhe aeroplanët (shih problemin 13).

3. Pika është mesi i segmentit, ku pika është një pikë simetrike me një pikë , Kjo është arsyeja pse

Detyra 14. Gjeni një pikë simetrike me një pikë në lidhje me planin.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë pingul me një plan të caktuar do të jetë:

.

Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzës dhe rrafshit.

Ku - pika e prerjes së drejtëzës dhe rrafshit është mesi i segmentit, pra

Ato. .

Koordinatat e planit homogjen. Transformimet afine në aeroplan.

Le M X Dhe në

M(X, nëUnë (X, në, 1) në hapësirë ​​(Fig. 8).

Unë (X, në

Unë (X, në hu.

(hx, hy, h), h  0,

Koment

h(Për shembull, h

Në të vërtetë, duke marrë parasysh h

Koment

Shembulli 1

b) në cep (Fig. 9).

hapi 1.

hapi i 2-të. Rrotullimi i këndit 

matricën e transformimit përkatës.

hapi i 3-të. Transferimi në vektorin A(a, b)

matricën e transformimit përkatës.

Shembulli 3

 përgjatë boshtit x dhe

hapi 1.

matricën e transformimit përkatës.

hapi i 2-të.

hapi i 3-të.

më në fund merr

Koment

[R], [D], [M], [T],

Le M- pika arbitrare e rrafshit me koordinata X Dhe në llogaritur në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ drejtvizor. Koordinatat homogjene të kësaj pike janë çdo trefish i numrave njëkohësisht jozero x 1, x 2, x 3, të lidhur me numrat e dhënë x dhe y nga relacionet e mëposhtme:

Gjatë zgjidhjes së problemeve të grafikës kompjuterike, koordinatat homogjene zakonisht paraqiten si më poshtë: një pikë arbitrare M(X, në) aeroplanit i caktohet një pikë Unë (X, në, 1) në hapësirë ​​(Fig. 8).

Vini re se një pikë arbitrare në vijën që lidh origjinën, pika 0(0, 0, 0), me pikën Unë (X, në, 1) mund të jepet nga një trefish i numrave të formës (hx, hy, h).

Vektori me koordinata hx, hy është vektori i drejtimit të drejtëzës që lidh pikat 0 (0, 0, 0) dhe Unë (X, në, 1). Kjo drejtëzë pret rrafshin z = 1 në pikën (x, y, 1), e cila përcakton në mënyrë unike pikën (x, y) të planit koordinativ. hu.

Kështu, midis një pike arbitrare me koordinata (x, y) dhe një grupi trefishësh numrash të formës

(hx, hy, h), h  0,

krijohet një korrespondencë (një me një), e cila na lejon të konsiderojmë numrat hx, hy, h si koordinata të reja të kësaj pike.

Koment

Koordinatat homogjene të përdorura gjerësisht në gjeometrinë projektive bëjnë të mundur përshkrimin në mënyrë efektive të të ashtuquajturve elementë të papërshtatshëm (në thelb, ato në të cilat rrafshi projektues ndryshon nga rrafshi Euklidian i njohur për ne). Më shumë detaje rreth veçorive të reja të ofruara nga koordinatat homogjene të prezantuara diskutohen në pjesën e katërt të këtij kapitulli.

Në gjeometrinë projektive, për koordinatat homogjene, pranohet shënimi i mëposhtëm:

x: y: 1, ose, në përgjithësi, x 1: x 2: x 3

(kujtoni se këtu kërkohet absolutisht që numrat x 1, x 2, x 3 në të njëjtën kohë të mos zhduken).

Përdorimi i koordinatave homogjene rezulton i përshtatshëm edhe kur zgjidh problemet më të thjeshta.

Konsideroni, për shembull, çështjet që lidhen me shkallëzimin. Nëse pajisja e ekranit funksionon vetëm me numra të plotë (ose nëse është e nevojshme të punohet vetëm me numra të plotë), atëherë për një vlerë arbitrare h(Për shembull, h= 1) një pikë me koordinata homogjene

nuk mund të imagjinohet. Megjithatë, me një zgjedhje të arsyeshme të h, është e mundur të sigurohet që koordinatat e kësaj pike të jenë numra të plotë. Në veçanti, për h = 10, për shembullin në shqyrtim, kemi

Le të shqyrtojmë një rast tjetër. Në mënyrë që rezultatet e transformimit të mos çojnë në tejmbushje aritmetike, për një pikë me koordinata (80000 40000 1000) mund të merrni, për shembull, h=0.001. Si rezultat, marrim (80 40 1).

Shembujt e dhënë tregojnë dobinë e përdorimit të koordinatave homogjene në llogaritje. Sidoqoftë, qëllimi kryesor i futjes së koordinatave homogjene në grafikën kompjuterike është lehtësia e tyre e padyshimtë në aplikimin e transformimeve gjeometrike.

Me ndihmën e trefishave të koordinatave homogjene dhe matricave të rendit të tretë, mund të përshkruhet çdo transformim afinal i rrafshit.

Në të vërtetë, duke marrë parasysh h= 1, krahasoni dy hyrje: të shënuara me * dhe matricën e mëposhtme:

Është e lehtë të shihet se pas shumëzimit të shprehjeve në anën e djathtë të relacionit të fundit, marrim të dyja formulat (*) dhe barazinë e saktë numerike 1=1.

Koment

Ndonjëherë në literaturë përdoret një shënim tjetër - një shënim sipas kolonave:

Ky shënim është ekuivalent me shënimin e rreshtit të mësipërm (dhe merret prej tij me transpozim).

Elementet e një matrice arbitrare të një transformimi afinal nuk kanë një kuptim të qartë gjeometrik. Prandaj, për të zbatuar një hartë të veçantë, domethënë për të gjetur elementet e matricës përkatëse sipas një përshkrimi të caktuar gjeometrik, nevojiten teknika të veçanta. Zakonisht, ndërtimi i kësaj matrice, në përputhje me kompleksitetin e problemit në shqyrtim dhe me rastet e veçanta të përshkruara më sipër, ndahet në disa faza.

Në çdo fazë, kërkohet një matricë që korrespondon me një ose një tjetër nga rastet e mësipërme A, B, C ose D, të cilat kanë veti gjeometrike të përcaktuara mirë.

Le të shkruajmë matricat përkatëse të rendit të tretë.

A. Matrica e rrotullimit, (rotacion)

B. Matrica e Dilatimit

B. Matrica e reflektimit

D. Matrica e Transferimit (përkthim)

Shqyrtoni shembuj të transformimeve afinale të rrafshit.

Shembulli 1

Ndërtoni një matricë rrotullimi rreth pikës A (a,b) në cep (Fig. 9).

hapi 1. Transferimi në vektor - A (-a, -b) për të lidhur qendrën e rrotullimit me origjinën;

matricën e transformimit përkatës.

hapi i 2-të. Rrotullimi i këndit 

matricën e transformimit përkatës.

hapi i 3-të. Transferimi në vektorin A(a, b) për të kthyer qendrën e rrotullimit në pozicionin e saj të mëparshëm;

matricën e transformimit përkatës.

Ne i shumëzojmë matricat në të njëjtin rend siç janë shkruar:

Si rezultat, marrim se transformimi i dëshiruar (në shënimin e matricës) do të duket kështu:

Elementet e matricës që rezulton (veçanërisht në rreshtin e fundit) nuk janë të lehta për t'u mbajtur mend. Në të njëjtën kohë, secila prej tre matricave të shumëzuara mund të ndërtohet lehtësisht nga përshkrimi gjeometrik i hartës përkatëse.

Shembulli 3

Ndërtoni matricën e shtrirjes me faktorët e shtrirjes përgjatë boshtit x dhe përgjatë boshtit y dhe me qendër në pikën A(a, b).

hapi 1. Kalimi në vektorin -А(-а, -b) për të përshtatur qendrën e shtrirjes me origjinën;

matricën e transformimit përkatës.

hapi i 2-të. Shtrirja përgjatë boshteve të koordinatave me koeficientët përkatësisht  dhe ; matrica e transformimit ka formën

hapi i 3-të. Kaloni në vektorin A(a, b) për të kthyer qendrën e shtrirjes në pozicionin e saj të mëparshëm; matrica e transformimit përkatës është

Shumëzoni matricat në të njëjtin rend

më në fund merr

Koment

Argumentimi në mënyrë të ngjashme, pra, thyerja e transformimit të propozuar në faza të mbështetura nga matricat[R], [D], [M], [T], mund të ndërtohet matrica e çdo transformimi afinik nga përshkrimi i tij gjeometrik.

Zhvendosja zbatohet me mbledhje, dhe shkallëzimi dhe rrotullimi me shumëzim.

Transformimi i shkallës (zgjerimi) në lidhje me origjinën ka formën:

ose në formë matrice:

Ku Dx,Dy janë faktorët e shkallëzimit përgjatë akseve, dhe

- matrica e shkallëzimit.

Për D > 1, ndodh zgjerimi, për 0<=D<1- сжатие

Rrotulloni transformimin në lidhje me origjinën ka formën:

ose në formë matrice:

ku φ është këndi i rrotullimit, dhe

- matrica e rrotullimit.

Koment: Kolonat dhe rreshtat e matricës së rrotullimit janë vektorë njësi ortogonale reciprokisht. Në të vërtetë, katrorët e gjatësisë së vektorëve të rreshtave janë të barabartë me një:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 dhe (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

dhe prodhimi skalar i vektorëve të rreshtave është

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Meqë prodhimi skalar i vektorëve A · B = |A| ·| B| ·cosψ, ku | A| - gjatësia vektoriale A, |B| - gjatësia vektoriale B, dhe ψ është këndi më i vogël pozitiv ndërmjet tyre, atëherë nga barazia 0 e prodhimit skalar të dy vektorëve të rreshtit me gjatësi 1 del se këndi ndërmjet tyre është 90 ° .

Oh-oh-oh-oh-oh ... mirë, është e vogël, sikur ta lexoni fjalinë për veten tuaj =) Sidoqoftë, atëherë relaksimi do të ndihmojë, veçanërisht pasi sot bleva pajisje të përshtatshme. Prandaj, le të vazhdojmë në pjesën e parë, shpresoj se deri në fund të artikullit do të mbaj një humor të gëzuar.

Rregullimi i ndërsjellë i dy vijave të drejta

Rasti kur salla këndon së bashku në kor. Dy rreshta mund:

1) ndeshje;

2) të jetë paralel: ;

3) ose kryqëzohen në një pikë të vetme: .

Ndihmë për bedelët : ju lutem mbani mend shenjën matematikore të kryqëzimit , do të ndodhë shumë shpesh. Hyrja do të thotë që vija kryqëzohet me vijën në pikë.

Si të përcaktohet pozicioni relativ i dy rreshtave?

Le të fillojmë me rastin e parë:

Dy rreshta përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcionalë, domethënë ekziston një numër i tillë "lambda" që barazitë

Le të shqyrtojmë drejtëzat dhe të hartojmë tre ekuacione nga koeficientët përkatës: . Nga secili ekuacion rezulton se, pra, këto rreshta përkojnë.

Në të vërtetë, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit shumëzo me -1 (shenjat e ndryshimit), dhe të gjithë koeficientët e ekuacionit zvogëloni me 2, merrni të njëjtin ekuacion: .

Rasti i dytë kur linjat janë paralele:

Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre në variabla janë proporcionalë: , Por.

Si shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Ne kontrollojmë proporcionalitetin e koeficientëve përkatës për variablat:

Megjithatë, është e qartë se.

Dhe rasti i tretë, kur linjat kryqëzohen:

Dy drejtëza kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave NUK janë proporcionalë dmth NUK ka një vlerë të tillë "lambda" që të plotësohen barazitë

Pra, për vijat e drejta do të përpilojmë një sistem:

Nga ekuacioni i parë rrjedh se , dhe nga ekuacioni i dytë: , pra, sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koeficientët në variablat nuk janë proporcionalë.

Përfundim: vijat kryqëzohen

Në problemet praktike, mund të përdoret skema e zgjidhjeve që sapo kemi marrë në shqyrtim. Nga rruga, është shumë i ngjashëm me algoritmin për kontrollimin e vektorëve për kolinearitet, të cilin e kemi konsideruar në mësim. Koncepti i varësisë lineare (jo) të vektorëve. Baza vektoriale. Por ka një paketë më të civilizuar:

Shembulli 1

Gjeni pozicionin relativ të vijave:

Zgjidhje bazuar në studimin e vektorëve drejtues të drejtëzave:

a) Nga ekuacionet gjejmë vektorët e drejtimit të drejtëzave: .

, pra vektorët nuk janë kolinear dhe vijat ndërpriten.

Për çdo rast, unë do të vendos një gur me tregues në udhëkryq:

Pjesa tjetër kërcejnë mbi gurin dhe vazhdojnë, drejt në Kashchei të pavdekshëm =)

b) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Vijat kanë të njëjtin vektor drejtimi, që do të thotë se ato janë ose paralele ose të njëjta. Këtu përcaktori nuk është i nevojshëm.

Natyrisht, koeficientët e të panjohurave janë proporcionalë, ndërsa .

Le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë:

Kështu,

c) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Le të llogarisim përcaktorin, të përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve:
, pra, vektorët e drejtimit janë kolinearë. Linjat janë ose paralele ose përkojnë.

Faktori i proporcionalitetit "lambda" është i lehtë për t'u parë drejtpërdrejt nga raporti i vektorëve të drejtimit kolinear. Megjithatë, mund të gjendet edhe përmes koeficientëve të vetë ekuacioneve: .

Tani le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë. Të dy termat e lirë janë zero, kështu që:

Vlera që rezulton e plotëson këtë ekuacion (çdo numër në përgjithësi e plotëson atë).

Kështu, linjat përkojnë.

Përgjigju:

Shumë shpejt do të mësoni (ose madje keni mësuar tashmë) ta zgjidhni problemin e konsideruar fjalë për fjalë fjalë për fjalë në disa sekonda. Në këtë drejtim, nuk shoh asnjë arsye për të ofruar diçka për një zgjidhje të pavarur, është më mirë të vendosni një tullë më të rëndësishme në themelin gjeometrik:

Si të vizatoni një vijë paralele me një të dhënë?

Për injorancën e kësaj detyre më të thjeshtë, Bilbili grabitës ndëshkon ashpër.

Shembulli 2

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni . Shkruani një ekuacion për një drejtëz paralele që kalon nëpër pikë.

Zgjidhje: Shëno vijën e panjohur me shkronjën . Çfarë thotë gjendja për të? Linja kalon nëpër pikë. Dhe nëse vijat janë paralele, atëherë është e qartë se vektori drejtues i vijës "ce" është gjithashtu i përshtatshëm për ndërtimin e vijës "de".

Ne nxjerrim vektorin e drejtimit nga ekuacioni:

Përgjigju:

Gjeometria e shembullit duket e thjeshtë:

Verifikimi analitik përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1) Kontrollojmë që vijat të kenë të njëjtin vektor drejtimi (nëse ekuacioni i vijës nuk është thjeshtuar siç duhet, atëherë vektorët do të jenë kolinear).

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton.

Verifikimi analitik në shumicën e rasteve është i lehtë për t'u kryer gojarisht. Shikoni dy ekuacionet dhe shumë prej jush do të kuptojnë shpejt se si vijat janë paralele pa asnjë vizatim.

Shembujt për vetë-zgjidhje sot do të jenë krijues. Sepse ju ende duhet të konkurroni me Baba Yaga, dhe ajo, ju e dini, është një dashnore e të gjitha llojeve të gjëegjëzave.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në një pikë paralele me drejtëzën nëse

Ekziston një mënyrë racionale dhe jo shumë racionale për të zgjidhur. Rruga më e shkurtër është në fund të mësimit.

Bëmë një punë të vogël me vijat paralele dhe do t'u kthehemi më vonë. Rasti i rreshtave që përputhen është me pak interes, kështu që le të shqyrtojmë një problem që është i njohur për ju nga kurrikula shkollore:

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave?

Nëse drejt kryqëzohen në pikën , atëherë koordinatat e saj janë zgjidhja sistemet e ekuacioneve lineare

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave? Zgjidheni sistemin.

Këtu është për ju kuptimi gjeometrik i një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura janë dy drejtëza të kryqëzuara (më shpesh) në një rrafsh.

Shembulli 4

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave

Zgjidhje: Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur - grafike dhe analitike.

Mënyra grafike është thjesht të vizatoni linjat e dhëna dhe të zbuloni pikën e kryqëzimit direkt nga vizatimi:

Këtu është pika jonë: . Për të kontrolluar, duhet të zëvendësoni koordinatat e saj në çdo ekuacion të një vije të drejtë, ato duhet të përshtaten si atje ashtu edhe atje. Me fjalë të tjera, koordinatat e një pike janë zgjidhja e sistemit. Në fakt, ne konsideruam një mënyrë grafike për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare me dy ekuacione, dy të panjohura.

Metoda grafike, natyrisht, nuk është e keqe, por ka disavantazhe të dukshme. Jo, çështja nuk është se nxënësit e klasës së shtatë vendosin në këtë mënyrë, çështja është se do të duhet kohë për të bërë një vizatim të saktë dhe SAKTËS. Për më tepër, disa linja nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar, dhe vetë pika e kryqëzimit mund të jetë diku në mbretërinë e tridhjetë jashtë fletës së fletores.

Prandaj, është më e përshtatshme për të kërkuar pikën e kryqëzimit me metodën analitike. Le të zgjidhim sistemin:

Për zgjidhjen e sistemit është përdorur metoda e mbledhjes termike të ekuacioneve. Për të zhvilluar aftësitë përkatëse, vizitoni mësimin Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh?

Përgjigju:

Verifikimi është i parëndësishëm - koordinatat e pikës së kryqëzimit duhet të plotësojnë çdo ekuacion të sistemit.

Shembulli 5

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave nëse ato kryqëzohen.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Është i përshtatshëm për të ndarë problemin në disa faza. Analiza e gjendjes sugjeron që është e nevojshme:
1) Shkruani ekuacionin e një drejtëze.
2) Shkruani ekuacionin e një drejtëze.
3) Gjeni pozicionin relativ të vijave.
4) Nëse linjat kryqëzohen, atëherë gjeni pikën e kryqëzimit.

Zhvillimi i një algoritmi veprimi është tipik për shumë probleme gjeometrike, dhe unë do të fokusohem vazhdimisht në këtë.

Zgjidhja e plotë dhe përgjigja në fund të tutorialit:

Një palë këpucë nuk janë konsumuar ende, pasi arritëm në pjesën e dytë të mësimit:

Vija pingule. Distanca nga një pikë në një vijë.
Këndi ndërmjet vijave

Le të fillojmë me një detyrë tipike dhe shumë të rëndësishme. Në pjesën e parë, mësuam se si të ndërtojmë një vijë të drejtë paralele me atë të dhënë, dhe tani kasolle në këmbët e pulës do të kthehet 90 gradë:

Si të vizatoni një vijë pingul me një të dhënë?

Shembulli 6

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni . Shkruani një ekuacion për një drejtëz pingule që kalon nëpër një pikë.

Zgjidhje: Dihet me supozim se . Do të ishte mirë të gjeje vektorin e drejtimit të vijës së drejtë. Meqenëse vijat janë pingule, truku është i thjeshtë:

Nga ekuacioni “heqim” vektorin normal: , i cili do të jetë vektori drejtues i drejtëzës.

Ne hartojmë ekuacionin e një drejtëze me një pikë dhe një vektor drejtues:

Përgjigju:

Le të shpalosim skicën gjeometrike:

Hmmm... Qiell portokalli, det portokalli, deve portokalli.

Verifikimi analitik i zgjidhjes:

1) Nxjerr vektorët e drejtimit nga ekuacionet dhe me ndihmën produkt pikash i vektorëve arrijmë në përfundimin se drejtëzat janë vërtet pingule: .

Nga rruga, ju mund të përdorni vektorë normalë, është edhe më e lehtë.

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton .

Verifikimi, përsëri, është i lehtë për t'u kryer verbalisht.

Shembulli 7

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave pingule, nëse barazimi është i njohur dhe pika.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ka disa veprime në detyrë, kështu që është e përshtatshme të rregulloni zgjidhjen pikë për pikë.

Udhëtimi ynë emocionues vazhdon:

Largësia nga pika në vijë

Para nesh është një rrip i drejtë i lumit dhe detyra jonë është ta arrijmë atë në mënyrën më të shkurtër. Nuk ka pengesa, dhe rruga më optimale do të jetë lëvizja përgjatë pingulit. Kjo do të thotë, distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e segmentit pingul.

Distanca në gjeometri tradicionalisht shënohet me shkronjën greke "ro", për shembull: - distanca nga pika "em" në vijën e drejtë "de".

Largësia nga pika në vijë shprehet me formulën

Shembulli 8

Gjeni distancën nga një pikë në një vijë

Zgjidhje: gjithçka që ju nevojitet është të zëvendësoni me kujdes numrat në formulë dhe të bëni llogaritjet:

Përgjigju:

Le të ekzekutojmë vizatimin:

Distanca e gjetur nga pika në vijë është saktësisht gjatësia e segmentit të kuq. Nëse bëni një vizatim në letër me kuadrate në shkallën 1 njësi. \u003d 1 cm (2 qeliza), atëherë distanca mund të matet me një vizore të zakonshme.

Konsideroni një detyrë tjetër sipas të njëjtit vizatim:

Detyra është të gjejmë koordinatat e pikës, e cila është simetrike me pikën në lidhje me vijën. . Unë propozoj të kryeni veprimet vetë, megjithatë, unë do të përshkruaj algoritmin e zgjidhjes me rezultate të ndërmjetme:

1) Gjeni një drejtëz që është pingul me një drejtëz.

2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: .

Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.

3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të segmentit Gjej .

Nuk do të jetë e tepërt të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu e barabartë me 2.2 njësi.

Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por në kullë një mikrollogaritës ndihmon shumë, duke ju lejuar të numëroni fraksionet e zakonshme. Kam këshilluar shumë herë dhe do të rekomandoj përsëri.

Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?

Shembulli 9

Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele

Ky është një shembull tjetër për një zgjidhje të pavarur. Një sugjerim i vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për të zgjidhur. Debriefing në fund të mësimit, por më mirë përpiquni të merrni me mend vetë, mendoj se keni arritur ta shpërndani mirë zgjuarsinë tuaj.

Këndi midis dy vijave

Sido që të jetë këndi, atëherë bllokimi:


Në gjeometri, këndi ndërmjet dy vijave të drejta merret si kënd MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet të jetë këndi midis vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i saj "i gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i kuq.

Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.

Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi i "lëvizjes" së këndit është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull, nëse .

Pse e thashë këtë? Duket se mund t'ia dalësh me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se në formulat me të cilat do të gjejmë këndet, mund të merret lehtësisht një rezultat negativ dhe kjo nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatimin për një kënd negativ, është e domosdoshme të tregoni orientimin e tij (në drejtim të akrepave të orës) me një shigjetë.

Si të gjeni këndin midis dy vijave? Ekzistojnë dy formula pune:

Shembulli 10

Gjeni këndin midis vijave

Zgjidhje Dhe Metoda e parë

Konsideroni dy drejtëza të dhëna nga ekuacionet në formë të përgjithshme:

Nëse drejt jo pingul, Kjo i orientuar këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit - kjo është saktësisht produkt skalar vektorët e drejtimit të vijave të drejta:

Nëse , atëherë emëruesi i formulës zhduket, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingul. Prandaj u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e vijave në formulim.

Bazuar në sa më sipër, zgjidhja zyrtarizohet lehtësisht në dy hapa:

1) Llogaritni produktin skalar të vektorëve drejtues të drejtëzave:
pra vijat nuk janë pingule.

2) Këndin ndërmjet vijave e gjejmë me formulën:

Duke përdorur funksionin e kundërt, është e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e tangjentës së harkut (shih Fig. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare):

Përgjigju:

Në përgjigje, ne tregojmë vlerën e saktë, si dhe vlerën e përafërt (mundësisht si në gradë ashtu edhe në radianë), të llogaritur duke përdorur një kalkulator.

Epo, minus, pra minus, është në rregull. Këtu është një ilustrim gjeometrik:

Nuk është për t'u habitur që këndi doli të jetë me orientim negativ, sepse në gjendjen e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "përdredhja" e këndit filloi pikërisht prej saj.

Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat e drejta, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë , dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë .

Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të përcaktohet gjithmonë si një vijë e kryqëzimit të dy rrafsheve jo paralele. Nëse ekuacioni i një rrafshi është ekuacioni i rrafshit të dytë, atëherë ekuacioni i drejtëzës jepet si

Këtu jokolineare
. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme vijë e drejtë në hapësirë.

Ekuacionet kanonike të drejtëzës

Çdo vektor jozero që shtrihet në një drejtëz të caktuar ose paralel me të quhet vektor drejtues i kësaj drejtëze.

Nëse pika dihet
vijës dhe vektorit të drejtimit të saj
, atëherë ekuacionet kanonike të drejtëzës kanë formën:

. (9)

Ekuacionet parametrike të një drejtëze

Le të jepen ekuacionet kanonike të drejtëzës

.

Nga këtu marrim ekuacionet parametrike të drejtëzës:

(10)

Këto ekuacione janë të dobishme për gjetjen e pikës së kryqëzimit të një drejtëze dhe një rrafshi.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika
Dhe
duket si:

.

Këndi ndërmjet vijave

Këndi ndërmjet vijave

Dhe

është e barabartë me këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre. Prandaj, mund të llogaritet me formulën (4):

Gjendja e drejtëzave paralele:

.

Gjendja e pingulitetit të planeve:

Largësia e një pike nga një vijë e drejtë

P pikë e dhënë
dhe të drejtpërdrejtë

.

Nga ekuacionet kanonike të drejtëzës, pika njihet
, që i përket vijës dhe vektorit të drejtimit të saj
. Pastaj distanca e pikës
nga një drejtëz është e barabartë me lartësinë e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë Dhe
. Prandaj,

.

Gjendja e kryqëzimit të linjës

Dy drejtëza jo paralele

,

kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse

.

Rregullimi i ndërsjellë i vijës së drejtë dhe rrafshit.

Lëreni vijën e drejtë
dhe të sheshtë. Këndi ndërmjet tyre mund të gjendet me formulë

.

Problemi 73. Shkruani ekuacionet kanonike të drejtëzës

(11)

Zgjidhje. Për të shkruar ekuacionet kanonike të drejtëzës (9), është e nevojshme të dihet çdo pikë që i përket drejtëzës dhe vektorit drejtues të drejtëzës.

Le të gjejmë vektorin paralel me drejtëzën e dhënë. Meqenëse duhet të jetë pingul me vektorët normalë të këtyre planeve, d.m.th.

,
, Kjo

.

Nga ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës e kemi atë
,
. Pastaj

.

Që nga pika
çdo pikë e vijës, atëherë koordinatat e saj duhet të plotësojnë ekuacionet e vijës dhe njëra prej tyre mund të specifikohet, për shembull,
, gjejmë dy koordinatat e tjera nga sistemi (11):

Nga këtu,
.

Kështu, ekuacionet kanonike të vijës së dëshiruar kanë formën:

ose
.

Problemi 74.

Dhe
.

Zgjidhje. Nga ekuacionet kanonike të vijës së parë njihen koordinatat e pikës
që i përkasin vijës, dhe koordinatat e vektorit të drejtimit
. Nga ekuacionet kanonike të drejtëzës së dytë njihen edhe koordinatat e pikës
dhe koordinatat e vektorit të drejtimit
.

Distanca midis vijave paralele është e barabartë me distancën e një pike
nga rreshti i dytë. Kjo distancë llogaritet me formulë

.

Le të gjejmë koordinatat e vektorit
.

Llogaritni produktin e vektorit
:

.

Problemi 75. Gjeni një pikë pikë simetrike
relativisht i drejtë

.

Zgjidhje. Shkruajmë ekuacionin e rrafshit pingul me drejtëzën e dhënë dhe që kalon nëpër pikë . Si vektor i tij normal vektorin drejtues mund ta marrim si drejtëz. Pastaj
. Prandaj,

Le të gjejmë një pikë
pika e prerjes së drejtëzës së dhënë dhe planit P. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë ekuacionet parametrike të drejtëzës, duke përdorur ekuacionet (10), marrim

Prandaj,
.

Le
pikë simetrike me pikën
në lidhje me këtë linjë. Pastaj pika
pika e mesit
. Për të gjetur koordinatat e një pike ne përdorim formulat për koordinatat e mesit të segmentit:

,
,
.

Kështu që,
.

Problemi 76. Shkruani ekuacionin për një rrafsh që kalon nga një vijë e drejtë
Dhe

a) përmes një pike
;

b) pingul me rrafshin.

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionet e përgjithshme të kësaj drejtëze. Për ta bërë këtë, merrni parasysh dy barazi:

Kjo do të thotë që rrafshi i dëshiruar i përket një laps rrafsh me gjeneratorë dhe ekuacioni i tij mund të shkruhet në formën (8):

a) gjeni
Dhe nga kushti që avioni të kalojë nëpër pikë
, pra, koordinatat e tij duhet të plotësojnë ekuacionin e rrafshit. Zëvendësoni koordinatat e pikës
në ekuacionin e një rrezeje planesh:

Vlera e gjetur
e zëvendësojmë me ekuacionin (12). marrim ekuacionin e planit të dëshiruar:

b) gjeni
Dhe nga kushti që rrafshi i dëshiruar të jetë pingul me rrafshin. Vektori normal i një rrafshi të caktuar
, vektori normal i planit të dëshiruar (shih ekuacionin për një grup planesh (12).

Dy vektorë janë pingul nëse dhe vetëm nëse produkti i tyre me pika është zero. Prandaj,

Zëvendësoni vlerën e gjetur
në ekuacionin e një rreze rrafsh (12). Ne marrim ekuacionin e planit të dëshiruar:

Detyrat për zgjidhje të pavarur

Problemi 77. Sillni në formën kanonike ekuacionet e drejtëzave:

1)
2)

Problemi 78. Shkruani ekuacionet parametrike të drejtëzës
, Nëse:

1)
,
; 2)
,
.

Problemi 79. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër një pikë
pingul me vijën

Problemi 80. Shkruani ekuacionet e drejtëzës që kalon nëpër një pikë
pingul me rrafshin.

Problemi 81. Gjeni këndin midis rreshtave:

1)
Dhe
;

2)
Dhe

Problemi 82. Provoni drejtëzat paralele:

Dhe
.

Problemi 83. Vërtetoni pingulitetin e drejtëzave:

Dhe

Problemi 84. Llogaritni distancën e pikës
nga drejt:

1)
; 2)
.

Problemi 85. Llogaritni distancën midis drejtëzave paralele:

Dhe
.

Problemi 86. Në ekuacionet drejtvizore
përcaktoni parametrin në mënyrë që kjo drejtëzë të kryqëzohet me drejtëzën dhe të gjejë pikën e prerjes së tyre.

Problemi 87. Trego që është e drejtë
paralel me rrafshin
, dhe vija e drejtë
shtrihet në këtë aeroplan.

Problemi 88. Gjeni një pikë pikë simetrike në lidhje me aeroplanin
, Nëse:

1)
, ;

2)
, ;.

Problemi 89. Shkruani ekuacionin për një pingul të rënë nga një pikë
drejtpërdrejt
.

Problemi 90. Gjeni një pikë pikë simetrike
relativisht i drejtë
.

Detyra është të gjejmë koordinatat e pikës, e cila është simetrike me pikën në lidhje me vijën. . Unë propozoj të kryeni veprimet vetë, megjithatë, unë do të përshkruaj algoritmin e zgjidhjes me rezultate të ndërmjetme:

1) Gjeni një drejtëz që është pingul me një drejtëz.

2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: .

Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.

3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të segmentit Gjej .

Nuk do të jetë e tepërt të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu e barabartë me 2.2 njësi.

Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por në kullë një mikrollogaritës ndihmon shumë, duke ju lejuar të numëroni fraksionet e zakonshme. Kam këshilluar shumë herë dhe do të rekomandoj përsëri.

Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?

Shembulli 9

Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele

Ky është një shembull tjetër për një zgjidhje të pavarur. Një sugjerim i vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për të zgjidhur. Debriefing në fund të mësimit, por më mirë përpiquni të merrni me mend vetë, mendoj se keni arritur ta shpërndani mirë zgjuarsinë tuaj.

Këndi midis dy vijave

Sido që të jetë këndi, atëherë bllokimi:


Në gjeometri, këndi ndërmjet dy vijave të drejta merret si kënd MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet të jetë këndi midis vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i saj "i gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i kuq.

Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.

Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi i "lëvizjes" së këndit është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull, nëse .

Pse e thashë këtë? Duket se mund t'ia dalësh me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se në formulat me të cilat do të gjejmë këndet, mund të merret lehtësisht një rezultat negativ dhe kjo nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatimin për një kënd negativ, është e domosdoshme të tregoni orientimin e tij (në drejtim të akrepave të orës) me një shigjetë.

Si të gjeni këndin midis dy vijave? Ekzistojnë dy formula pune:

Shembulli 10

Gjeni këndin midis vijave

Zgjidhje Dhe Metoda e parë

Konsideroni dy drejtëza të dhëna nga ekuacionet në formë të përgjithshme:

Nëse drejt jo pingul, Kjo i orientuar këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit - kjo është saktësisht produkt skalar vektorët e drejtimit të vijave të drejta:

Nëse , atëherë emëruesi i formulës zhduket, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingul. Prandaj u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e vijave në formulim.

Bazuar në sa më sipër, zgjidhja zyrtarizohet lehtësisht në dy hapa:

1) Llogaritni produktin skalar të vektorëve drejtues të drejtëzave:

2) Këndin ndërmjet vijave e gjejmë me formulën:

Duke përdorur funksionin e kundërt, është e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e tangjentës së harkut (shih Fig. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare):

Përgjigju:

Në përgjigje, ne tregojmë vlerën e saktë, si dhe vlerën e përafërt (mundësisht si në gradë ashtu edhe në radianë), të llogaritur duke përdorur një kalkulator.

Epo, minus, pra minus, është në rregull. Këtu është një ilustrim gjeometrik:

Nuk është për t'u habitur që këndi doli të jetë me orientim negativ, sepse në gjendjen e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "përdredhja" e këndit filloi pikërisht prej saj.

Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat e drejta, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë , dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë .

Nuk do të fshihem, unë vetë zgjedh vijat e drejta në rendin që këndi të jetë pozitiv. Është më e bukur, por asgjë më shumë.

Për të kontrolluar zgjidhjen, mund të merrni një raportor dhe të matni këndin.

Metoda dy

Nëse vijat jepen me ekuacione me pjerrësi dhe jo pingul, Kjo i orientuar këndi midis tyre mund të gjendet duke përdorur formulën:

Kushti i pingulitetit të drejtëzave shprehet me barazinë, nga e cila, meqë ra fjala, rrjedh një marrëdhënie shumë e dobishme ndërmjet koeficientëve këndorë të drejtëzave: , që përdoret në disa problema.

Algoritmi i zgjidhjes është i ngjashëm me paragrafin e mëparshëm. Por së pari, le të rishkruajmë rreshtat tanë në formën e kërkuar:

Kështu, koeficientët e pjerrësisë:

1) Kontrolloni nëse vijat janë pingule:
pra vijat nuk janë pingule.

2) Ne përdorim formulën:

Përgjigju:

Metoda e dytë është e përshtatshme për t'u përdorur kur ekuacionet e vijave janë vendosur fillimisht me një pjerrësi. Duhet të theksohet se nëse të paktën një drejtëz është paralele me boshtin e ordinatave, atëherë formula nuk është fare e zbatueshme, pasi për linja të tilla të drejta pjerrësia nuk është e përcaktuar (shiko artikullin Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan).

Ekziston edhe një zgjidhje e tretë. Ideja është të llogaritet këndi midis vektorëve të drejtimit të vijave duke përdorur formulën e diskutuar në mësim Prodhimi me pika i vektorëve:

Këtu nuk po flasim për një kënd të orientuar, por "thjesht për një kënd", domethënë, rezultati me siguri do të jetë pozitiv. Kapja është se ju mund të merrni një kënd të mpirë (jo atë që ju nevojitet). Në këtë rast, do t'ju duhet të bëni një rezervë që këndi midis vijave të jetë një kënd më i vogël dhe të zbrisni kosinusin e harkut që rezulton nga radianët "pi" (180 gradë).

Ata që dëshirojnë mund ta zgjidhin problemin në një mënyrë të tretë. Por unë ende rekomandoj t'i përmbahemi qasjes së parë të orientuar nga këndi, sepse përdoret gjerësisht.

Shembulli 11

Gjeni këndin midis vijave.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Mundohuni ta zgjidhni atë në dy mënyra.

Disi përralla u shua gjatë rrugës .... Sepse nuk ka Kashchei të Pavdekshëm. Nuk jam unë, dhe jo veçanërisht steamed. Për të qenë i sinqertë, mendova se artikulli do të ishte shumë më i gjatë. Por gjithsesi, do të marr një kapelë të blerë së fundmi me syze dhe do të shkoj të notoj në ujin e liqenit të shtatorit. Lehtëson në mënyrë perfekte lodhjen dhe energjinë negative.

Shihemi se shpejti!

Dhe mbani mend, Baba Yaga nuk është anuluar =)

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 3:Zgjidhje : Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës :

Ne do të përpilojmë ekuacionin e drejtëzës së dëshiruar duke përdorur pikën dhe vektori i drejtimit . Meqenëse një nga koordinatat e vektorit të drejtimit është zero, ekuacioni rishkruani në formën:

Përgjigju :

Shembulli 5:Zgjidhje :
1) Ekuacioni i drejtë bëni dy pika :

2) Ekuacioni i drejtë bëni dy pika :

3) Koeficientët përkatës për variablat jashtë proporcionit: , pra vijat ndërpriten.
4) Gjeni një pikë :


shënim : këtu ekuacioni i parë i sistemit shumëzohet me 5, pastaj i dyti zbritet term për term nga ekuacioni i parë.
Përgjigju :