Në një mësim praktik, ne do të shqyrtojmë këtë rrugë dhe do të krahasojmë rezultatet e simulimit me një zgjidhje teorike. Shembuj të zgjidhjes së problemeve të sistemeve të radhës

Objekti matematik (abstrakt), elementet e të cilit janë (Fig. 2.1):

rrjedha hyrëse (në hyrje) e aplikacioneve (kërkesave) për shërbim;
pajisje shërbimi (kanale);
një radhë aplikacionesh në pritje të shërbimit;
rrjedha dalëse (dalëse) e kërkesave të shërbimit;
rrjedhën e kërkesave për kujdes pas ndërprerjes së shërbimit;
rrjedha e kërkesave të pashërbyera.

Aplikacion(kërkesë, kërkesë, thirrje, klient, mesazh, paketë) - një objekt që hyn në QS dhe kërkon shërbim në pajisje. Seti i aplikimeve të njëpasnjëshme të shpërndara në formë kohore rrjedha hyrëse e aplikacioneve.

Oriz. 2.1.

pajisje shërbimi(pajisja, pajisja, kanali, linja, vegla, makina, ruteri, etj.) - Elementi QS, qëllimi i të cilit është shërbimi i aplikacioneve.

Shërbimi- vonesa e kërkesës në pajisjen e shërbimit për disa kohë.

Kohëzgjatja e shërbimit- koha e vonesës (shërbimi) e aplikacionit në pajisje.

Pajisja e ruajtjes(buffer, buffer input, buffer output) - një grup vendesh për pritjen e aplikacioneve përpara pajisjes së shërbimit. Numri i vendeve të pritjes - kapaciteti i ruajtjes.

Një aplikim i marrë nga CMO mund të jetë në dy gjendje:

1) shërbimi(në pajisje);
2) pritjet(në akumulator), nëse të gjitha pajisjet janë të zëna me shërbimin e kërkesave të tjera.

Pretendimet në formularin e akumulatorit dhe shërbimit në pritje radhe aplikacionet. Numri i aplikacioneve në shërbimin në pritje të akumulatorit - gjatësia e radhës.

Disiplinë buferike(disiplina e radhës) - rregulli për futjen e aplikacioneve hyrëse në disk (bufer).

Disiplina e shërbimit- rregulli për zgjedhjen e kërkesave nga radha për shërbim në pajisje.

Një prioritet- e drejta parandaluese (për të kapur burime) për të hyrë në akumulator ose për të zgjedhur nga radha për servisim në aplikacionet e pajisjes të një klase në lidhje me aplikacionet e klasave të tjera.

Ka shumë sisteme të radhës që ndryshojnë në organizimin strukturor dhe funksional. Në të njëjtën kohë, zhvillimi i metodave analitike për llogaritjen e treguesve të performancës së QS në shumë raste përfshin një sërë kufizimesh dhe supozimesh që ngushtojnë grupin e QS-ve në studim. Kjo është arsyeja pse nuk ka një model të përgjithshëm analitik për një strukturë komplekse arbitrare QS.

Modeli analitik QS është një grup ekuacionesh ose formulash që lejojnë përcaktimin e probabiliteteve të gjendjeve të sistemit gjatë funksionimit të tij dhe treguesve të performancës bazuar në parametrat e njohur të fluksit hyrës dhe kanaleve të shërbimit, buffering dhe disiplinat e shërbimit.

Modelimi analitik i QS lehtësohet shumë nëse proceset që ndodhin në QS janë Markoviane (rrjedha e aplikacioneve është më e thjeshta, kohët e shërbimit shpërndahen në mënyrë eksponenciale). Në këtë rast, të gjitha proceset në QS mund të përshkruhen me ekuacione diferenciale të zakonshme, dhe në rastin kufizues - për gjendjet stacionare - me ekuacione algjebrike lineare dhe, pasi t'i zgjidhni ato me çdo metodë të disponueshme në paketat e programeve matematikore, të përcaktojnë treguesit e zgjedhur të performancës. .

Në sistemet IM, kur zbatohet QS, pranohen kufizimet dhe supozimet e mëposhtme:

aplikacioni i futur në sistem Menjëherë bie në shërbim nëse nuk ka kërkesa në radhë dhe pajisja është falas;
në pajisjen për mirëmbajtje në çdo kohë mund të jetë vetëm një aplikacion;
pas përfundimit të shërbimit të çdo kërkese në pajisje, zgjidhet kërkesa e radhës nga radha për servisim në çast, d.m.th. nuk bën kot nëse ka të paktën një aplikim në radhë;
marrja e aplikimeve në QS dhe kohëzgjatja e shërbimit të tyre nuk varen nga numri i aplikimeve tashmë në sistem, apo nga ndonjë faktor tjetër;
kohëzgjatja e kërkesave për servisim nuk varet nga intensiteti i kërkesave që hyjnë në sistem.

Le të ndalemi në disa elementë të QS në mënyrë më të detajuar.

Rrjedha hyrëse (në hyrje) e aplikacioneve. Rrjedha e ngjarjeve quhet një sekuencë ngjarjesh homogjene që vijojnë njëra pas tjetrës dhe ndodhin në disa, në përgjithësi, e rastit pika në kohë. Nëse ngjarja konsiston në paraqitjen e pretendimeve, kemi rrjedha e aplikimit. Për të përshkruar rrjedhën e aplikacioneve në rastin e përgjithshëm, është e nevojshme të vendosni intervalet kohore t = t k - t k-1 ndërmjet momenteve ngjitur t k _ k Dhe t k marrja e aplikacioneve me numra serial te - 1 dhe për të përkatësisht (për - 1, 2, ...; t 0 - 0 - momenti fillestar i kohës).

Karakteristika kryesore e rrjedhës së aplikimit është e saj Intensiteti X- numri mesatar i aplikacioneve që arrijnë në hyrjen QS për njësi të kohës. Vlera t = 1/X përcakton intervali mesatar kohor ndërmjet dy porosive të njëpasnjëshme.

Rrjedha quhet përcaktuese nëse intervalet kohore t te ndërmjet aplikacioneve ngjitur marrin disa vlera të njohura më parë. Nëse intervalet janë të njëjta (x deri në= t për të gjithë k = 1, 2, ...), atëherë thirret rryma e rregullt. Për një përshkrim të plotë të rrjedhës së rregullt të kërkesave, mjafton të vendosni intensitetin e rrjedhës X ose vlera e intervalit t = 1/X.

Një rrjedhë në të cilën intervale kohore x k ndërmjet aplikacioneve ngjitur janë ndryshore të rastësishme, të quajtura e rastit. Për një përshkrim të plotë të një fluksi të rastësishëm aplikimesh në rastin e përgjithshëm, është e nevojshme të vendosni ligjet e shpërndarjes F fc (x fc) për secilin nga intervalet kohore x k, k = 1,2,....

Transmetim i rastësishëm në të cilin të gjitha intervalet kohore x b x 2,... ndërmjet klientëve të njëpasnjëshëm ngjitur janë variabla të rastësishëm të pavarur të përshkruar nga funksionet e shpërndarjes FjCij), F 2 (x 2), ... respektivisht quhet rrjedhje me efekt i kufizuar.

Rrjedha e rastësishme quhet të përsëritura, nëse të gjitha intervalet kohore xb t 2 , ... shpërndahet ndërmjet aplikacioneve sipas të njëjtit ligj F(t). Ka shumë rryma të përsëritura. Çdo ligj i shpërndarjes gjeneron fluksin e vet të përsëritur. Rrjedhat e përsëritura njihen ndryshe si rrjedhat e Palmës.

Nëse intensiteti X dhe ligji i shpërndarjes F(t) i intervaleve ndërmjet kërkesave të njëpasnjëshme nuk ndryshon me kohën, atëherë rrjedha e kërkesave quhet stacionare Përndryshe, rrjedha e aplikimit është jo të palëvizshme.

Nëse në çdo moment të kohës t k vetëm një klient mund të shfaqet në hyrje të QS, atëherë thirret fluksi i klientëve e zakonshme. Nëse më shumë se një aplikacion mund të shfaqen në çdo kohë, atëherë rrjedha e aplikacioneve është e jashtëzakonshme, ose grupi.

Rrjedha e kërkesave quhet rrjedhë pa pasoja, nëse pranohen aplikime pavarësisht nga njëri-tjetri, d.m.th. momenti i marrjes së aplikimit të radhës nuk varet nga kur dhe sa aplikime janë pranuar para këtij momenti.

Një rrjedhë e zakonshme e palëvizshme pa efekte të mëvonshme quhet më e thjeshta.

Intervalet kohore t ndërmjet kërkesave në rrjedhën më të thjeshtë shpërndahen sipas eksponenciale (shembullore) ligji: me funksionin e shpërndarjes F(t) = 1 - e~ m; dendësia e shpërndarjes/(f) = Heh~"l, Ku X > 0 - parametri i shpërndarjes - intensiteti i rrjedhës së aplikacioneve.

Rrjedha më e thjeshtë quhet shpesh Poisson. Emri vjen nga fakti se për këtë rrjedhë probabiliteti P fc (At) i ndodhjes saktësisht për të kërkesat për një interval të caktuar kohor At është përcaktuar Ligji i Poisson:

Duhet të theksohet se rrjedha Poisson, ndryshe nga më e thjeshta, mund të jetë:

i palëvizshëm, nëse intensiteti X nuk ndryshon me kalimin e kohës;
jo të palëvizshme, nëse shpejtësia e rrjedhjes varet nga koha: X= >.(t).

Në të njëjtën kohë, rrjedha më e thjeshtë, sipas përkufizimit, është gjithmonë e palëvizshme.

Studimet analitike të modeleve të radhës kryhen shpesh nën supozimin e rrjedhës më të thjeshtë të kërkesave, e cila është për shkak të një numri karakteristikash të jashtëzakonshme të qenësishme në të.

1. Përmbledhje (unifikim) i flukseve. Rrjedha më e thjeshtë në teorinë QS është e ngjashme me ligjin e shpërndarjes normale në teorinë e probabilitetit: kalimi në kufirin për një rrjedhë që është shuma e flukseve me karakteristika arbitrare me një rritje të pafundme të numrit të termave dhe një ulje të intensitetit të tyre çon. në rrjedhën më të thjeshtë.

Shuma N prurjet e zakonshme stacionare të pavarura me intensitete x x x 2 ,..., XN formon rrjedhën më të thjeshtë me intensitet

X=Y,^i me kusht që flukset e shtuara të kenë më shumë ose

ndikim më pak po aq i vogël në rrjedhën totale. Në praktikë, rrjedha totale është afër më e thjeshta në N > 5. Pra kur përmbledhen flukset më të thjeshta të pavarura, rrjedha totale do të jetë më e thjeshta për çdo vlerë N.

2. Rrallimi probabilistik i rrjedhës. probabilistike(Por jo-përcaktues) rrallim rrjedha më e thjeshtë aplikacione, në të cilat çdo aplikacion në mënyrë të rastësishme me disa probabilitet R përjashtohet nga rrjedha pavarësisht nëse janë përjashtuar apo jo aplikacionet e tjera, çon në formimin rrjedha më e thjeshtë me intensitet X* = pX, Ku X- intensiteti i rrjedhës fillestare. Rrjedha e aplikimeve të përjashtuara me intensitet X** = (1 - p)X- Njësoj protozoar rrjedhin.
3. Efikasiteti. Nëse kanalet (pajisjet) shërbyese janë projektuar për rrjedhën më të thjeshtë të kërkesave me intensitet x, atëherë shërbimi i llojeve të tjera të prurjeve (me të njëjtin intensitet) do të sigurohet me jo më pak efikasitet.
4. Thjeshtësia. Supozimi i rrjedhës më të thjeshtë të aplikacioneve lejon që shumë modele matematikore të marrin në një formë të qartë varësinë e treguesve QS nga parametrat. Numri më i madh i rezultateve analitike është marrë për rrjedhën më të thjeshtë të kërkesave.

Analiza e modeleve me flukse aplikimi që janë të ndryshme nga ato më të thjeshtat zakonisht i ndërlikon llogaritjet matematikore dhe jo gjithmonë e lejon njeriun të marrë një zgjidhje të qartë analitike. Rrjedha "më e thjeshtë" mori emrin e saj pikërisht për shkak të kësaj veçorie.

Aplikacionet mund të kenë të drejta të ndryshme për të filluar shërbimin. Në këtë rast, aplikimet thuhet se janë heterogjene. Përparësitë e disa flukseve të aplikacioneve ndaj të tjerave në fillim të shërbimit përcaktohen nga prioritetet.

Një karakteristikë e rëndësishme e rrymës hyrëse është koeficienti i variacionit

ku t int - pritshmëria matematikore e gjatësisë së intervalit; O- devijimi standard i gjatësisë së intervalit x int (ndryshore e rastësishme) .

Për rrjedhën më të thjeshtë (a = -, m = -) kemi v = 1. Për shumicën

flukset reale 0

Kanalet e shërbimit (pajisjet). Karakteristika kryesore e kanalit është kohëzgjatja e shërbimit.

Kohëzgjatja e shërbimit- koha e kaluar nga aplikacioni në pajisje - në rastin e përgjithshëm, vlera është e rastësishme. Në rastin e një ngarkese jo uniforme të QS, kohëzgjatja e shërbimit për kërkesat e klasave të ndryshme mund të ndryshojnë nga ligjet e shpërndarjes ose vetëm nga vlerat mesatare. Në këtë rast, zakonisht supozohet se kohët e shërbimit për kërkesat e secilës klasë janë të pavarura.

Shpesh, praktikuesit supozojnë se kohëzgjatja e kërkesave të shërbimit shpërndahet ligji eksponencial gjë që thjeshton shumë llogaritjet analitike. Kjo për faktin se proceset që ndodhin në sistemet me një shpërndarje eksponenciale të intervaleve kohore janë Markov proceset:

ku c - intensiteti i shërbimit, këtu p = _--; t 0 bsl - matematikë-

kohë pritjeje për shërbimin.

Përveç shpërndarjes eksponenciale, ekzistojnë shpërndarjet Erlang /c, shpërndarjet hipereksponenciale, shpërndarjet trekëndore dhe disa të tjera. Kjo nuk duhet të na ngatërrojë, pasi tregohet se vlera e kriterit të efikasitetit të QS varet pak nga forma e ligjit të shpërndarjes së kohës së shërbimit.

Në studimin e QS, thelbi i shërbimit, cilësia e shërbimit, bie jashtë vëmendjes.

Kanalet mund të jenë absolutisht i besueshëm ato. mos dështoni. Përkundrazi, mund të pranohet në studim. Kanalet mund të kenë besueshmëria përfundimtare. Në këtë rast, modeli QS është shumë më i ndërlikuar.

Efikasiteti i QS varet jo vetëm nga parametrat e rrymave hyrëse dhe kanaleve të shërbimit, por edhe nga sekuenca në të cilën kryhen shërbime të kërkesave hyrëse, d.m.th. nga mënyrat për të menaxhuar fluksin e aplikacioneve kur ato hyjnë në sistem dhe dërgohen për shërbim.

Mënyrat për të menaxhuar rrjedhën e aplikacioneve përcaktohen nga disiplinat:

buffering;
shërbimi.

Disiplinat e buferimit dhe mirëmbajtjes mund të klasifikohen sipas kritereve të mëposhtme:

disponueshmëria e prioriteteve ndërmjet aplikacioneve të klasave të ndryshme;
një metodë për shtyrjen e aplikacioneve jashtë radhës (për disiplinat buferike) dhe caktimin e kërkesave të shërbimit (për disiplinat e shërbimit);
një rregull për parandalimin ose zgjedhjen e kërkesave për shërbime;
aftësia për të ndryshuar prioritetet.

Një variant i klasifikimit të disiplinave buffering (radhës) në përputhje me veçoritë e listuara është paraqitur në fig. 2.2.

Varet nga disponueshmëria ose mungesa e prioriteteve ndërmjet aplikimeve të klasave të ndryshme, të gjitha disiplinat buferike mund të ndahen në dy grupe: jo prioritare dhe prioritare.

Nga metoda e shtyrjes së aplikacioneve nga ruajtja mund të dallohen klasat e mëposhtme të disiplinave buffering:

pa bllokuar kërkesat - kërkesat që hynë në sistem dhe zbuluan se disku ishte mbushur plotësisht humbasin;
me zhvendosjen e aplikimit të kësaj klase, d.m.th. e njëjta klasë me aplikacionin e marrë;
me zhvendosjen e aplikacionit nga klasa me prioritet më të ulët;
me zhvendosjen e aplikacionit nga grupi i klasave me prioritet të ulët.

Oriz. 2.2.

Disiplinat buffering mund të përdorin sa vijon rregullat për përjashtimin e kërkesave nga akumulatori:

zhvendosje aksidentale;
përjashtimi i urdhrit të fundit, d.m.th. hyri në sistem më vonë se të gjithë;
duke grumbulluar një urdhër "të gjatë", d.m.th. të vendosura në akumulator më gjatë se të gjitha aplikacionet e marra më parë.

Në fig. 2.3 tregon klasifikimin e disiplinave për servisimin e aplikacioneve në përputhje me të njëjtat veçori si për disiplinat e bufferimit.

Ndonjëherë kapaciteti i ruajtjes në modele konsiderohet i pakufizuar, megjithëse në një sistem real është i kufizuar. Një supozim i tillë justifikohet kur probabiliteti i humbjes së një porosie në një sistem real për shkak të tejmbushjes së kapacitetit të ruajtjes është më pak se 10 _3. Në këtë rast, disiplina praktikisht nuk ka asnjë efekt në përmbushjen e kërkesave.

Varet nga disponueshmëria ose mungesa e prioriteteve ndërmjet kërkesave të klasave të ndryshme, të gjitha disiplinat e shërbimit, si dhe disiplinat buffering, mund të ndahen në dy grupe: ato jo prioritare dhe ato prioritare.

Nga si caktohen biletat e shërbimit Disiplinat e shërbimit mund të ndahen në disiplina:

modaliteti i vetëm;
mënyra e grupit;
mënyra e kombinuar.

Oriz. 2.3.

Në disiplinat e shërbimit modaliteti i vetëm shërbim çdo herë vetëm një i caktuar kërkesë, për të cilën radhët skanohen pas përfundimit të servisimit të kërkesës së mëparshme.

Në disiplinat e shërbimit modaliteti i grupit shërbim çdo herë caktohet një grup kërkesash një radhë, për të cilën radhët skanohen vetëm pasi të jenë servisuar të gjitha kërkesat nga grupi i caktuar më parë. Grupi i biletave të sapocaktuar mund të përfshijë të gjitha biletat e radhës së caktuar. Kërkesat e caktuara në grup përzgjedhur në mënyrë sekuenciale nga radha dhe shërbehen nga pajisja, pas së cilës grupi tjetër i aplikacioneve të një radhe tjetër caktohet për shërbim në përputhje me disiplinën e specifikuar të shërbimit.

Mënyra e kombinuar- një kombinim i mënyrave të vetme dhe grupore, kur një pjesë e radhëve të kërkesave përpunohet në modalitetin e vetëm, dhe pjesa tjetër - në modalitetin në grup.

Disiplinat e shërbimit mund të përdorin rregullat e mëposhtme të përzgjedhjes së kërkesave të shërbimit.

Jo prioritare(aplikacionet nuk kanë privilegje të shërbimit të hershëm - kapja e burimeve):

shërbimi i parë vjen i pari FIFO (së pari në - Së pari, i pari në - i pari jashtë)
shërbimi i kundërt- aplikacioni zgjidhet nga radha në modalitet LIFO (e fundit brenda - së pari doli, i fundit brenda, i pari jashtë)
shërbim i rastësishëm- aplikacioni zgjidhet nga radha në modalitet RAND (e rastit- rastësisht);
shërbim ciklik- aplikacionet zgjidhen në procesin e votimit ciklik të disqeve në sekuencën 1, 2, H ME H- numri i disqeve), pas së cilës përsëritet sekuenca e specifikuar;

Prioriteti(aplikacionet kanë privilegje për shërbimin e hershëm - kapjen e burimeve):

Me prioritetet relative- nëse gjatë servisimit aktual të një kërkese në sistem hyjnë kërkesa me prioritete më të larta, atëherë shërbimi i kërkesës aktuale edhe pa prioritet nuk ndërpritet dhe kërkesat e marra dërgohen në radhë; prioritetet relative luajnë një rol vetëm në fund të shërbimit aktual të aplikacionit kur një kërkesë e re shërbimi zgjidhet nga radha.
Me prioritetet absolute- me marrjen e një kërkese me prioritet të lartë ndërpritet shërbimi i kërkesës me prioritet të ulët dhe kërkesa e marrë dërgohet për servisim; një aplikacion i ndërprerë mund të kthehet në radhë ose të hiqet nga sistemi; nëse aplikacioni kthehet në radhë, atëherë shërbimi i tij i mëtejshëm mund të kryhet nga vendi i ndërprerë ose përsëri;
bashkë prioritete të përziera- kufizimet strikte të kohës së pritjes në radhë për shërbimin e aplikacioneve individuale kërkojnë caktimin e prioriteteve absolute për to; si rezultat, koha e pritjes për aplikimet me prioritete të ulëta mund të rezultojë e papranueshme e madhe, megjithëse aplikimet individuale kanë një diferencë kohore pritjeje; për të përmbushur kufizimet për të gjitha llojet e kërkesave, së bashku me prioritetet absolute, disa kërkesave mund t'u caktohen prioritete relative dhe pjesa tjetër mund të shërbehet në mënyrë jo prioritare;
Me prioritetet e alternuara- një analog i prioriteteve relative, përparësia merret parasysh vetëm në momentet e përfundimit të shërbimit aktual të një grupi kërkesash të një radhe dhe caktimit të një grupi të ri për shërbim;
mirëmbajtjen e planifikuar- pretendimet e klasave të ndryshme (të vendosura në depo të ndryshme) zgjidhen për shërbim sipas një orari të caktuar që specifikon sekuencën e votimit të radhëve të aplikacioneve, për shembull, në rastin e tre klasave të aplikacioneve (dyqane), orari mund të duket si (2, 1, 3, 3, 1, 2) ose (1, 2, 3, 3, 2, 1).

Në sistemet IM kompjuterike, si rregull, disiplina zbatohet si parazgjedhje FIFO. Sidoqoftë, ato kanë mjete që i ofrojnë përdoruesit mundësinë për të organizuar disiplinat e shërbimit që i nevojiten, përfshirë sipas orarit.

Aplikimet e marra nga CMO ndahen në klasa. Në QS, i cili është një model matematik abstrakt, aplikacionet i përkasin klasave të ndryshme në rast se ato ndryshojnë në sistemin real të simuluar nga të paktën një nga karakteristikat e mëposhtme:

kohëzgjatja e shërbimit;
prioritetet.

Nëse aplikacionet nuk ndryshojnë në kohëzgjatjen dhe prioritetet e shërbimit, ato mund të përfaqësohen nga aplikacione të së njëjtës klasë, duke përfshirë kur ato vijnë nga burime të ndryshme.

Për një përshkrim matematikor të disiplinave të shërbimit me përparësi të përziera, ne përdorim matrica e prioritetit, e cila është një matricë katrore Q = (q, ;), unë, j - 1,..., I, I - numri i klasave të aplikacioneve që hyjnë në sistem.

Elementi q(j matrica vendos prioritetin e kërkesave të klasës i në lidhje me aplikimet e klasës; dhe mund të marrë vlerat e mëposhtme:

0 - pa prioritet;
1 - prioritet relativ;
2 - prioritet absolut.

Elementet e matricës së prioritetit duhet të plotësojnë sa vijon Kërkesat:

q n= 0, pasi nuk mund të vendosen prioritete ndërmjet kërkesave të së njëjtës klasë;
Nëse q (j = 1 ose 2 pastaj q^ = 0, pasi që aplikacionet e klasës nëse i kanë përparësi ndaj kërkesave të klasës j, atëherë kjo e fundit nuk mund të ketë përparësi ndaj pretendimeve klasore i (i,j = 1, ..., unë).

Varet nga mundësi për të ndryshuar prioritetet Gjatë funksionimit të sistemit, disiplinat prioritare të bufferimit dhe servisimit ndahen në dy klasa:

1) me prioritetet statike, që nuk ndryshojnë me kalimin e kohës;
2) me prioritetet dinamike, e cila mund të ndryshojë gjatë funksionimit të sistemit në varësi të faktorëve të ndryshëm, për shembull, kur arrihet një vlerë e caktuar kritike e gjatësisë së radhës së aplikacioneve të një klase që nuk ka përparësi ose ka një prioritet të ulët, mund t'i jepet një vlerë më e lartë. prioritet.

Në sistemet kompjuterike IM, ekziston domosdoshmërisht një element (objekt) i vetëm përmes të cilit, dhe vetëm përmes tij, futen kërkesat në model. Si parazgjedhje, të gjitha aplikacionet e futura janë jo prioritare. Por ka mundësi për caktimin e prioriteteve në sekuencën 1, 2, ..., duke përfshirë edhe gjatë ekzekutimit të modelit, d.m.th. në dinamikë.

Transmetimi në daljeështë fluksi i kërkesave të servisuara që largohen nga QS. Në sistemet reale, aplikacionet kalojnë nëpër disa QS: komunikimi tranzit, tubacioni i prodhimit, etj. Në këtë rast, transmetimi dalës është transmetimi hyrës për QS-në e ardhshme.

Rrjedha hyrëse e QS-së së parë, pasi ka kaluar nëpër QS-të e mëvonshme, është e shtrembëruar dhe kjo e ndërlikon modelimin analitik. Megjithatë, duhet pasur parasysh se me rrymën më të thjeshtë të hyrjes dhe shërbimin eksponencial(ato. në sistemet Markov) rrjedha e daljes është gjithashtu më e thjeshta. Nëse koha e shërbimit ka një shpërndarje jo eksponenciale, atëherë rryma dalëse jo vetëm që nuk është e thjeshtë, por edhe jo e përsëritur.

Vini re se intervalet kohore ndërmjet kërkesave dalëse nuk janë të njëjta me intervalet e shërbimit. Në fund të fundit, mund të rezultojë që pas përfundimit të shërbimit tjetër, QS është boshe për ca kohë për shkak të mungesës së aplikacioneve. Në këtë rast, intervali i rrjedhës dalëse përbëhet nga koha e papunë e QS dhe intervali i shërbimit të kërkesës së parë që mbërriti pas kohës së ndërprerjes.

Në QS, përveç fluksit dalës të kërkesave të servisuara, mund të ketë rrjedha e kërkesave të pashërbyera. Nëse një QS e tillë merr një fluks të përsëritur dhe shërbimi është eksponencial, atëherë fluksi i klientëve të pashërbyer është gjithashtu i përsëritur.

Radhë falas në kanal. Në QS me shumë kanale, mund të krijohen radhë kanalesh falas. Numri i kanaleve falas është një vlerë e rastësishme. Studiuesit mund të jenë të interesuar për karakteristika të ndryshme të kësaj ndryshoreje të rastësishme. Në mënyrë tipike, ky është numri mesatar i kanaleve të zëna nga shërbimi për intervalin e anketimit dhe faktorët e ngarkesës së tyre.

Siç kemi theksuar më herët, në objektet reale, kërkesat shërbehen në mënyrë sekuenciale në disa QS.

Një grup i kufizuar QS-sh të ndërlidhura në mënyrë sekuenciale që përpunojnë aplikacionet që qarkullojnë në to quhet rrjeti i radhës (Semo) (Fig. 2.4, A).

Oriz. 2.4.

SEMO quhet gjithashtu QS shumëfazore.

Ne do të shqyrtojmë një shembull të ndërtimit të një QEMO IM më vonë.

Elementet kryesore të QS janë nyjet (U) dhe burimet (gjeneruesit) e kërkesave (G).

Nyjë rrjetet janë një sistem i radhës.

Burimi- një gjenerator i aplikacioneve që hyjnë në rrjet dhe që kërkojnë faza të caktuara të shërbimit në nyjet e rrjetit.

Një grafik përdoret për një imazh të thjeshtuar të QEMO.

Kont Semo- një grafik (digraf) i drejtuar, kulmet e të cilit korrespondojnë me nyjet QEM, dhe harqet paraqesin kalimet e aplikimeve ndërmjet nyjeve (Fig. 2.4, b).

Pra, ne kemi shqyrtuar konceptet bazë të QS. Por në zhvillimin e sistemeve kompjuterike për IM dhe përmirësimin e tyre, domosdoshmërisht përdoret gjithashtu potenciali i madh krijues që përmbahet aktualisht në modelimin analitik të QS.

Për një perceptim më të mirë të këtij potenciali krijues, si përafrim i parë, le të ndalemi në klasifikimin e modeleve QS.

Vizatim 0 - 2 Transmetimet e ngjarjeve (a) dhe transmetimi më i thjeshtë (b)

10.5.2.1. stacionariteti

Rrjedha quhet e palëvizshme , nëse probabiliteti për të goditur një ose një numër tjetër ngjarjesh në një periudhë elementare kohore gjatësia τ (

Figura 0-2 , A) varet vetëm nga gjatësia e seksionit dhe nuk varet se ku saktësisht në bosht t kjo zonë ndodhet.

Stacionariteti i rrjedhës nënkupton uniformitetin e tij në kohë; karakteristikat probabilistike të një rrjedhe të tillë nuk ndryshojnë me kalimin e kohës. Në veçanti, i ashtuquajturi intensitet (ose "densitet") i rrjedhës së ngjarjeve, numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës për një rrjedhë stacionare, duhet të mbetet konstant. Kjo, natyrisht, nuk do të thotë se numri aktual i ngjarjeve që shfaqen për njësi të kohës është konstant; rrjedha mund të ketë përqendrime lokale dhe rrallime. Është e rëndësishme që për një rrjedhë të palëvizshme këto përqendrime dhe rrallime të mos jenë të një natyre të rregullt dhe numri mesatar i ngjarjeve që bien në një interval të vetëm kohor të mbetet konstant për të gjithë periudhën në shqyrtim.

Në praktikë, shpesh ka rrjedha ngjarjesh që (të paktën për një periudhë të kufizuar kohore) mund të konsiderohen si të palëvizshme. Për shembull, fluksi i thirrjeve që vijnë në centralin telefonik, të themi, në intervalin nga 12 deri në 13 orë mund të konsiderohet i palëvizshëm. E njëjta rrjedhë nuk do të jetë më e palëvizshme për një ditë të tërë (natën, intensiteti i rrjedhës së thirrjeve është shumë më i vogël se gjatë ditës). Vini re se i njëjti është rasti me shumicën e proceseve fizike që ne i quajmë "stacionare" në fakt, ato janë të palëvizshme vetëm për një periudhë të kufizuar kohore, dhe zgjatja e kësaj periudhe deri në pafundësi është vetëm një truk i përshtatshëm që përdoret për thjeshtim.

10.5.2.2. Asnjë efekt pasues

Rrjedha e ngjarjeve quhet rrjedhë pa pasoja , nëse për ndonjë interval kohor jo të mbivendosur, numri i ngjarjeve që bien në njërën prej tyre nuk varet nga sa ngjarje kanë rënë në tjetrin (ose të tjerat, nëse merren parasysh më shumë se dy seksione).

Në rrjedhat e tilla, ngjarjet që formojnë rrjedhën shfaqen në pika të njëpasnjëshme në kohë të pavarura nga njëra-tjetra. Për shembull, fluksi i pasagjerëve që hyjnë në stacionin e metrosë mund të konsiderohet si një fluks pa pasoja, sepse arsyet që shkaktuan mbërritjen e një pasagjeri individual në këtë moment të caktuar, dhe jo në një tjetër, si rregull, nuk lidhen me arsye të ngjashme. për pasagjerët e tjerë. Nëse shfaqet një varësi e tillë, cenohet kushti për mungesën e një efekti të mëvonshëm.

Konsideroni, për shembull, rrjedhën e trenave të mallrave që shkojnë përgjatë një linje hekurudhore. Nëse, për arsye sigurie, ata nuk mund të ndjekin njëri-tjetrin më shpesh se në intervale kohore t0 , atëherë ekziston një varësi midis ngjarjeve në rrjedhë dhe cenohet kushti i mungesës së efektit të mëvonshëm. Megjithatë, nëse intervali t0 është i vogël në krahasim me intervalin mesatar ndërmjet trenave, atëherë një shkelje e tillë është e parëndësishme.

Vizatim 0 - 3 Shpërndarja Poisson

Konsideroni në bosht t rrjedha më e thjeshtë e ngjarjeve me intensitet λ. (Figura 0-2 b) . Ne do të jemi të interesuar për një interval kohor të rastësishëm T midis ngjarjeve ngjitur në këtë rrjedhë; gjeni ligjin e shpërndarjes së tij. Së pari, le të gjejmë funksionin e shpërndarjes:

F(t) = P(T ( 0-2)

dmth probabiliteti që vlera e T do të ketë një vlerë më të vogël set. Lini mënjanë nga fillimi i intervalit T (pika t0) segmenti t dhe gjeni probabilitetin që intervali T do të jetë më pak t . Për ta bërë këtë, është e nevojshme që për një seksion të gjatësisë t , ngjitur me një pikë t0 , të paktën një ngjarje në lidhje u godit. Le të llogarisim probabilitetin e kësaj F(t) përmes probabilitetit të ngjarjes së kundërt (për segment t asnjë ngjarje transmetimi nuk do të ndodhë):

F (t) \u003d 1 - P 0

Probabiliteti P 0 gjejmë me formulën (1), duke supozuarm = 0:

nga ku funksioni i shpërndarjes së vlerës T do të jetë:

(0-3)

Për të gjetur dendësinë e shpërndarjes f(t) ndryshore e rastësishme T,është e nevojshme të diferencohet shprehja (0-1) met:

0-4)

Ligji i shpërndarjes me dendësi (0-4) quhet eksponencial (ose eksponenciale ). Vlera λ quhet parametër ligj shembullor.

Figura 0 - 4 Shpërndarja eksponenciale

Gjeni karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme T- pritjet matematikore (vlera mesatare) M[t]=mt , dhe dispersioni D t. Ne kemi

( 0-5)

(integrimi sipas pjesëve).

Dispersioni i vlerës së T është:

(0-6)

Duke nxjerrë rrënjën katrore të variancës, gjejmë devijimin standard të ndryshores së rastit T.

Pra, për një shpërndarje eksponenciale, pritshmëria matematikore dhe devijimi standard janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe janë të anasjellta me parametrin λ, ku λ. intensiteti i rrjedhjes.

Kështu, pamja m Ngjarjet në një interval kohor të caktuar korrespondojnë me shpërndarjen Poisson, dhe probabiliteti që intervalet kohore ndërmjet ngjarjeve të jenë më të vogla se një numër i paracaktuar korrespondon me shpërndarjen eksponenciale. Të gjitha këto janë vetëm përshkrime të ndryshme të të njëjtit proces stokastik.

QS Shembull-1 .

Si shembull, merrni parasysh një sistem bankar në kohë reale që i shërben një numri të madh klientësh. Gjatë orëve të pikut, kërkesat nga arkëtarët e bankave që punojnë me klientët formojnë një fluks Poisson dhe arrijnë mesatarisht dy për 1 s (λ = 2) Rrjedha konsiston në kërkesat që vijnë me një shpejtësi prej 2 kërkesash për sekondë.

Llogaritni probabilitetin P ( m ) dukuritë m mesazhe në 1 s. Meqenëse λ = 2, nga formula e mëparshme kemi

Zëvendësimi i m = 0, 1, 2, 3, marrim vlerat e mëposhtme (deri në katërvendet dhjetore):

Figura 0 - 5 Shembulli më i thjeshtë i rrjedhës

Më shumë se 9 mesazhe në 1 s janë gjithashtu të mundshme, por probabiliteti për këtë është shumë i vogël (rreth 0.000046).

Shpërndarja që rezulton mund të përfaqësohet si një histogram (treguar në figurë).

Shembull i CMO-2.

Një pajisje (server) që përpunon tre mesazhe në 1s.

Le të ketë pajisje që mund të përpunojnë tre mesazhe në 1 s (µ=3). Mesatarisht, dy mesazhe merren në 1 dhe në përputhje c Shpërndarja Poisson. Sa pjesë e këtyre mesazheve do të përpunohen menjëherë pas marrjes?

Probabiliteti që shkalla e mbërritjes do të jetë më e vogël ose e barabartë me 3 s jepet nga

Nëse sistemi mund të përpunojë maksimum 3 mesazhe në 1 s, atëherë probabiliteti që ai të mos mbingarkohet është

Me fjalë të tjera, 85,71% e mesazheve do të shërbehen menjëherë dhe 14,29% me një vonesë. Siç mund ta shihni, një vonesë në përpunimin e një mesazhi për një kohë më të madhe se koha e përpunimit të 3 mesazheve do të ndodhë rrallë. Koha e përpunimit të 1 mesazhi është mesatarisht 1/3 s. Prandaj, një vonesë prej më shumë se 1s do të jetë e rrallë, gjë që është mjaft e pranueshme për shumicën e sistemeve.

Shembull CMO 3

· Nëse arkëtari i bankës është i zënë gjatë 80% të kohës së tij të punës dhe pjesën tjetër e kalon në pritje të klientëve, atëherë ai mund të konsiderohet si një pajisje me një faktor shfrytëzimi 0.8.

· Nëse kanali i komunikimit përdoret për të transmetuar simbole 8-bit me një shpejtësi prej 2400 bps, d.m.th. maksimumi 2400/8 simbole transmetohen në 1 s, dhe ne po ndërtojmë një sistem në të cilin sasia totale e të dhënave është 12000 simbole të dërguara. nga pajisje të ndryshme përmes kanalit për minutë të zënë (përfshirë sinkronizimin, karakteret e fundit të mesazhit, karakteret e kontrollit, etj.), atëherë shkalla e përdorimit të pajisjeve të kanalit të komunikimit gjatë kësaj minute është e barabartë me

· Nëse motori i aksesit të skedarëve me orë të zënë bën 9000 aksese skedarësh dhe koha për qasje është mesatarisht 300 ms, atëherë përdorimi i harduerit të motorit të aksesit në orë të zënë është

Koncepti i përdorimit të pajisjeve do të përdoret mjaft shpesh. Sa më afër të jetë 100% përdorimi i pajisjeve, aq më e madhe është vonesa dhe aq më e gjatë është radha.

Duke përdorur formulën e mëparshme, mund të përpiloni tabela të vlerave të funksionit Poisson, nga të cilat mund të përcaktoni probabilitetin e marrjesm ose më shumë mesazhe në një periudhë të caktuar kohore. Për shembull, nëse mesatarisht 3.1 mesazhe në sekondë [d.m.th. e. λ = 3.1], atëherë probabiliteti për të marrë 5 ose më shumë mesazhe në një sekondë të caktuar është 0.2018 (përm = 5 në tabelë). Ose në formë analitike

Duke përdorur këtë shprehje, analisti i sistemeve mund të llogarisë probabilitetin që sistemi të mos përmbushë një kriter të caktuar të ngarkesës.

Shpesh llogaritjet fillestare mund të bëhen për vlerat e ngarkesës së pajisjeve.

p ≤ 0,9

Këto vlera mund të merren duke përdorur tabelat Poisson.

Lëreni përsëri normën mesatare të mbërritjes së mesazhit λ = 3,1 mesazhe/s. Nga tabelat rezulton se probabiliteti për të marrë 6 ose më shumë mesazhe në 1 s është 0.0943. Prandaj, ky numër mund të merret si kriter i ngarkesës për llogaritjet fillestare.

10.6.2. Sfidat e Dizajnit

Me natyrën e rastësishme të mbërritjes së mesazheve në pajisje, kjo e fundit kalon një pjesë të kohës duke përpunuar ose servisuar çdo mesazh, duke rezultuar në formimin e radhëve. Radha në bankë pret lëshimin e arkëtarit dhe kompjuterit të tij (terminalit). Radha e mesazheve në buferin e hyrjes së kompjuterit pret të përpunohet nga procesori. Radha e kërkesave për grupe të dhënash është duke pritur për lëshimin e kanaleve, etj. Radhët mund të formohen në të gjitha fytet e ngushta të sistemit.

Sa më i lartë të jetë shkalla e përdorimit të pajisjeve, aq më të gjata janë radhët që rezultojnë. Siç do të tregohet më poshtë, është e mundur të projektohet një sistem që funksionon në mënyrë të kënaqshme me një faktor shfrytëzimi prej ρ = 0,7, por një faktor më i madh se ρ > 0,9 mund të rezultojë në cilësi të dobët të shërbimit. Me fjalë të tjera, nëse një lidhje e të dhënave me shumicë ka një ngarkesë prej 20%, nuk ka gjasa të ketë një radhë në të. Nëse ngarkohet; është 0.9, atëherë, si rregull, do të formohen radhë, ndonjëherë shumë të mëdha.

Koeficienti i përdorimit të pajisjeve është i barabartë me raportin e ngarkesës në pajisje me ngarkesën maksimale që mund të përballojë kjo pajisje, ose është i barabartë me raportin e kohës së zënë pajisja me kohën totale të funksionimit të saj.

Gjatë projektimit të një sistemi, është e zakonshme të vlerësohet faktori i përdorimit për lloje të ndryshme të pajisjeve; shembujt përkatës do të jepen në kapitujt e mëvonshëm. Njohja e këtyre koeficientëve ju lejon të llogaritni radhët për pajisjet përkatëse.

· Sa është gjatësia e radhës?

· Sa kohë do të duhet?

Pyetjeve të këtij lloji mund të përgjigjen duke përdorur teorinë e radhës.

10.6.3. Sistemet e radhës, klasat e tyre dhe karakteristikat kryesore

Për QS, flukset e ngjarjeve janë flukse kërkesash, flukse kërkesash "shërbimi", etj. Nëse këto flukse nuk janë Poisson (procesi Markov), përshkrimi matematik i proceseve që ndodhin në QS bëhet pakrahasueshëm më kompleks dhe kërkon një aparat më të rëndë, sjellja e tij në formula analitike është e mundur vetëm në rastet më të thjeshta.

Sidoqoftë, aparati i teorisë së radhës "Markovian" mund të jetë gjithashtu i dobishëm në rastin kur procesi që ndodh në QS është i ndryshëm nga ai Markov; me ndihmën e tij, karakteristikat e efikasitetit të QS mund të vlerësohen afërsisht. Duhet të theksohet se sa më komplekse të jetë QS, sa më shumë kanale shërbimi të përmbajë, aq më të sakta janë formulat e përafërta të marra duke përdorur teorinë e Markovit. Përveç kësaj, në një sërë rastesh, për të marrë vendime të informuara për menaxhimin e funksionimit të QS, nuk është aspak e nevojshme të kemi njohuri të sakta për të gjitha karakteristikat e tij, shpesh mjaft të përafërta, treguese.

QS klasifikohen në sisteme me:

dështimet (me humbje). Në sisteme të tilla, një kërkesë që vjen në momentin kur të gjitha kanalet janë të zëna merr një "refuzim", largohet nga QS dhe nuk merr pjesë në procesin e mëtejshëm të shërbimit.

ne pritje (me radhë). Në sisteme të tilla, një kërkesë që arrin kur të gjitha kanalet janë të zëna, qëndron në radhë dhe pret derisa njëri prej kanaleve të bëhet i lirë. Kur kanali është i lirë, një nga aplikacionet në radhë pranohet për shërbim.

Shërbimi (disiplina e radhës) në një sistem pritjeje mund të jetë

i rregullt (aplikimet dorëzohen sipas radhës së marrjes),

· i çrregullt(aplikacionet shërbehen në mënyrë të rastësishme) ose

rafte (aplikacioni i fundit zgjidhet i pari nga radha).

Prioriteti

o me prioritet statik

o me prioritet dinamik

(në rastin e fundit priori tet mund, për shembull, të rritet me kohën e pritjes për kërkesën).

Sistemet me radhë ndahen në sisteme

· me pritje të pakufizuar dhe

· me të kufizuar ne pritje.

Në sistemet me pritje të pakufizuar, çdo kërkesë që arrin në momentin kur nuk ka kanale të lira futet në radhë dhe pret me “durim” daljen e kanalit që do ta pranojë për shërbim. Çdo aplikim i marrë nga ZKM herët a vonë do të shërbehet.

Në sistemet me pritje të kufizuar, vendosen kufizime të caktuara për qëndrimin e aplikacionit në radhë. Këto kufizime mund të zbatohen

· gjatësia e radhës (numri i aplikacioneve njëkohësisht në sistemin e radhës me një gjatësi të kufizuar të radhës),

· koha që aplikacioni qëndron në radhë (pas një periudhe të caktuar qëndrimi në radhë, aplikacioni largohet nga radha dhe sistemi largohet me një kohë të kufizuar pritjeje),

· koha totale e kaluar nga aplikacioni në QS

etj.

Në varësi të llojit të QS, gjatë vlerësimit të efektivitetit të tij, mund të përdoren vlera të caktuara (treguesit e performancës). Për shembull, për një QS me dështime, një nga karakteristikat më të rëndësishme të produktivitetit të tij është e ashtuquajtura gjerësia e brezit absolut numri mesatar i kërkesave që sistemi mund të shërbejë për njësi të kohës.

Së bashku me absoluten shpesh konsiderohet xhiros relative CMO është përqindja mesatare e kërkesave hyrëse të shërbyera nga sistemi (raporti i numrit mesatar të kërkesave të shërbyera nga sistemi për njësi kohore me numrin mesatar të kërkesave të pranuara gjatë kësaj kohe).

Përveç xhiros absolute dhe relative në analizën e QS me dështime, ne, në varësi të detyrës së studimit, mund të jemi të interesuar për karakteristika të tjera, për shembull:

· numri mesatar i kanaleve të zëna;

· kohëzgjatja mesatare e ndërprerjes relative të sistemit në tërësi dhe një kanali individual

etj.

QS-të e pritura kanë karakteristika paksa të ndryshme. Natyrisht, për një QS me kohë pritjeje të pakufizuar, xhiroja absolute dhe relative humbasin kuptimin e tyre, pasi çdo pretendim arrin herët.ose më vonë do të shërbehet. Për një QS të tillë, karakteristikat e rëndësishme janë:

· numri mesatar i aplikacioneve në radhë;

· numri mesatar i aplikacioneve në sistem (në radhë dhe në shërbim);

· koha mesatare e pritjes për një aplikacion në radhë;

· koha mesatare e kaluar nga një aplikacion në sistem (në radhë dhe në shërbim);

si dhe karakteristika të tjera të pritshmërisë.

Për një QS me pritje të kufizuar, të dy grupet e karakteristikave janë me interes: xhiroja absolute dhe relative, dhe karakteristikat e pritjes.

Për të analizuar procesin që ndodh në QS, është thelbësore të njihen parametrat kryesorë të sistemit: numri i kanaleve P, intensiteti i rrjedhës së aplikimitλ , performanca e çdo kanali (numri mesatar i kërkesave μ të servisuara nga kanali për njësi të kohës), kushtet për formimin e radhës (kufizime, nëse ka).

Në varësi të vlerave të këtyre parametrave, shprehen karakteristikat e efikasitetit të funksionimit të QS.

10.6.4. Formulat për llogaritjen e karakteristikave QS për rastin e shërbimit me një pajisje

Figura 0 - 6 Modeli i një sistemi të radhës me një radhë

Radhë të tilla mund të krijohen nga mesazhet në hyrje të procesorit që presin të përpunohen. Ato mund të ndodhin gjatë funksionimit të stacioneve të pajtimtarëve të lidhur me një kanal komunikimi me shumë pika. Në mënyrë të ngjashme, në pikat e karburantit krijohen radhë makinash. Megjithatë, nëse ka më shumë se një hyrje në shërbim, kemi një radhë me shumë pajisje dhe analiza bëhet më e ndërlikuar.

Merrni parasysh rastin e rrjedhës më të thjeshtë të kërkesave për shërbime.

Qëllimi i teorisë së radhës së paraqitur këtu është të përafrojë madhësinë mesatare të radhës, si dhe kohën mesatare të kaluar nga mesazhet që presin në radhë. Është gjithashtu e dëshirueshme të vlerësohet se sa shpesh radha tejkalon një gjatësi të caktuar. Ky informacion do të na lejojë të llogarisim, për shembull, sasinë e nevojshme të memories buffer për ruajtjen e radhëve të mesazheve dhe programeve të lidhura, numrin e kërkuar të linjave të komunikimit, madhësitë e kërkuara të buferit për shpërndarësit, etj. Do të jetë e mundur të vlerësohet koha e përgjigjes.

Secila nga karakteristikat ndryshon në varësi të mjeteve të përdorura.

Konsideroni një radhë me një server të vetëm. Gjatë projektimit të një sistemi kompjuterik, shumica e radhëve të këtij lloji llogariten duke përdorur formulat e mësipërme. faktori i ndryshimit të kohës së shërbimit

Formula Khinchin-Polachek përdoret për të llogaritur gjatësinë e radhëve në hartimin e sistemeve të informacionit. Zbatohet në rastin e një shpërndarjeje eksponenciale të kohës së mbërritjes për çdo shpërndarje të kohës së shërbimit dhe çdo disiplinë kontrolli, për sa kohë që zgjedhja e mesazhit tjetër për shërbim nuk varet nga koha e shërbimit.

Gjatë projektimit të sistemeve, ka situata të tilla kur lindin radhë kur disiplina e kontrollit varet padyshim nga koha e shërbimit. Për shembull, në disa raste, ne mund të zgjedhim të përdorim fillimisht mesazhe më të shkurtra për shërbim në mënyrë që të kemi një kohë mesatare më të shpejtë të shërbimit. Kur menaxhoni një linjë komunikimi, është e mundur t'i caktoni një prioritet më të lartë mesazheve hyrëse sesa mesazheve të daljes, sepse të parët janë më të shkurtër. Në raste të tilla, nuk është më e nevojshme të përdoret ekuacioni Khinchin

Shumica e kohës së shërbimit në sistemet e informacionit shtrihen diku midis këtyre dy rasteve. Kohët e shërbimit që janë konstante janë të rralla. Edhe koha e hyrjes në hard disk nuk është konstante për shkak të pozicionit të ndryshëm të grupeve të të dhënave në sipërfaqe. Një shembull që ilustron rastin e kohës së shërbimit konstant është zënia e linjës së komunikimit për transmetimin e mesazheve me një gjatësi fikse.

Nga ana tjetër, përhapja e kohës së shërbimit nuk është aq e madhe sa në rastin e një shpërndarje arbitrare ose eksponenciale, d.m.th.σs rrallë arrin vlerat s. Ky rast ndonjëherë konsiderohet si "rasti më i keq" dhe për këtë arsye përdoren formula që i referohen shpërndarjes eksponenciale të kohërave të shërbimit.Një llogaritje e tillë mund të japë disi të mbivlerësuara madhësitë e radhëve dhe kohën e pritjes, por ky gabim të paktën nuk është i rrezikshëm.

Shpërndarja eksponenciale e kohës së shërbimit nuk është sigurisht rasti më i keq me të cilin duhet të përballemi në realitet. Megjithatë, nëse kohët e shërbimit të marra nga llogaritja e radhëve rezultojnë të shpërndahen më keq se kohët e shpërndara në mënyrë eksponenciale, ky është shpesh një sinjal paralajmërues për zhvilluesin. Nëse devijimi standard është më i madh se vlera mesatare, atëherë zakonisht ka nevojë të korrigjohen llogaritjet.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Ekzistojnë gjashtë lloje mesazhesh me kohë shërbimi 15, 20, 25, 30, 35 dhe 300. Numri i mesazheve për secilin lloj është i njëjtë. Devijimi standard i këtyre kohërave është disi më i lartë se mesatarja e tyre. Vlera e kohës së shërbimit të fundit është shumë më e madhe se të tjerat. Kjo do të bëjë që mesazhet të jenë në radhë shumë më të gjatë sesa nëse kohët e shërbimit ishin të të njëjtit rend. Në këtë rast, gjatë projektimit, këshillohet të merren masa për të zvogëluar gjatësinë e radhës. Për shembull, nëse këta numra janë të lidhur me gjatësinë e mesazheve, atëherë ndoshta mesazhet shumë të gjata duhet të ndahen në pjesë.

10.6.6. Shembull i llogaritjes

Gjatë projektimit të një sistemi bankar, është e dëshirueshme të dihet numri i klientëve që do të duhet të presin në radhë për një arkëtar gjatë orëve të pikut.

Koha e përgjigjes së sistemit dhe devijimi standard i tij llogariten duke marrë parasysh kohën e futjes së të dhënave nga stacioni i punës, printimit dhe përpunimit të dokumenteve.

Veprimet e arkëtarit ishin në kohë. Koha e shërbimit ts është e barabartë me kohën totale të shpenzuar nga arkëtari për klientin. Shkalla e shfrytëzimit të arkëtarit ρ është proporcionale me kohën e punësimit të tij. Nëse λ është numri i klientëve gjatë orëve të pikut, atëherë ρ për arkëtarin është

Le të themi se ka 30 klientë në orë gjatë orëve të pikut. Mesatarisht, një arkëtar shpenzon 1.5 minuta për klient. Pastaj

ρ = (1,5 * 30) / 60 = 0,75

dmth arka është përdorur me 75%.

Numri i njerëzve në radhë mund të vlerësohet shpejt duke përdorur grafikët. Prej tyre rrjedh se nëse ρ = 0,75, atëherë numri mesatar nq i njerëzvenë linjë në arkë qëndron ndërmjet 1.88 dhe 3.0 në varësi të devijimit standard për t s .

Supozojmë se matja e devijimit standard për ts dha një vlerë prej 0.5 min. Pastaj

σ s = 0,33 t s

Nga grafiku në figurën e parë, gjejmë se nq = 2.0, d.m.th., mesatarisht, dy klientë do të presin në arkë.

Koha totale që kalon një klient në arkë mund të gjendet si

t ∑ = t q + t s = 2,5 min + 1,5 min = 4 min

ku t s llogaritet duke përdorur formulën Khinchin-Polachek.

10.6.7. faktor fitimi

Duke analizuar kthesat në figura, shohim se kur pajisjet që shërbejnë në radhë përdoren më shumë se 80%, kthesat fillojnë të rriten me një ritëm alarmues. Ky fakt është shumë i rëndësishëm në projektimin e sistemeve të transmetimit të të dhënave. Nëse jemi duke projektuar një sistem me më shumë se 80% përdorim të harduerit, atëherë një rritje e lehtë e trafikut mund të çojë në një rënie drastike të performancës së sistemit ose edhe të shkaktojë rrëzimin e tij.

Një rritje e trafikut në hyrje me një numër të vogël prej x%. çon në një rritje të madhësisë së radhës përafërsisht

Nëse shkalla e përdorimit të pajisjeve është 50%, atëherë kjo rritje është e barabartë me 4ts% për shpërndarjen eksponenciale të kohës së shërbimit. Por nëse përdorimi i pajisjeve është 90%, atëherë rritja e madhësisë së radhës është 100ts%, që është 25 herë më shumë. Një rritje e lehtë e ngarkesës në 90% të përdorimit të pajisjeve çon në një rritje 25-fish të madhësive të radhës në krahasim me rastin e përdorimit të pajisjeve 50%.

Në mënyrë të ngjashme, koha e radhës rritet me

Me një kohë shërbimi të shpërndarë në mënyrë eksponenciale, kjo vlerë ka vlerën 4 t s2 për shfrytëzimin e pajisjeve të barabartë me 50% dhe 100 t s2 për një koeficient prej 90%, pra përsëri 25 herë më keq.

Përveç kësaj, për faktorët e përdorimit të pajisjeve të vogla, efekti i ndryshimeve në σs në madhësinë e radhës është i parëndësishëm. Megjithatë, për koeficientët e mëdhenj, ndryshimi σ s ndikon shumë në madhësinë e radhës. Prandaj, gjatë projektimit të sistemeve me përdorim të lartë të pajisjeve, është e dëshirueshme të merret informacion i saktë rreth parametritσ s. Pasaktësia e supozimit në lidhje me eksponencialitetin e shpërndarjes së tsështë më e dukshme në vlerat e mëdha të ρ. Për më tepër, nëse koha e shërbimit rritet papritmas, gjë që është e mundur në kanalet e komunikimit kur transmetohen mesazhe të gjata, atëherë në rastin e një ρ të madh, formohet një radhë e rëndësishme.

Shumë shpesh, kur analizohen sistemet ekonomike, duhet të zgjidhen të ashtuquajturat probleme të radhës që lindin në situatën e mëposhtme. Le të analizohet sistemi i mirëmbajtjes së makinës i përbërë nga një numër i caktuar stacionesh me kapacitete të ndryshme. Në çdo stacion (element sistemi), mund të ndodhin të paktën dy situata tipike:

numri i aplikimeve është shumë i lartë për këtë stacion, ka radhë dhe ju duhet të paguani për vonesat e shërbimit;
stacioni merr shumë pak kërkesa dhe tani është e nevojshme të merren parasysh humbjet e shkaktuara nga ndërprerja e stacionit.

Është e qartë se qëllimi i analizës së sistemit në këtë rast është të përcaktojë një lidhje midis humbjeve të të ardhurave për shkak të radhët dhe humbjet për shkak të vetem une stacionet.

Teoria e Radhës– një seksion i veçantë i teorisë së sistemeve është një seksion i teorisë së probabilitetit në të cilin sistemet e radhës studiohen duke përdorur modele matematikore.

Sistemi i radhës (QS)- ky është një model që përfshin: 1) një rrjedhë të rastësishme kërkesash, thirrjesh ose klientësh që kanë nevojë për shërbim; 2) algoritmi për zbatimin e këtij shërbimi; 3) kanale (pajisje) për mirëmbajtje.

Shembuj të CMO-ve janë tavolinat e parave, pikat e karburantit, aeroportet, shitësit, parukierët, mjekët, centralet telefonike dhe objekte të tjera që shërbejnë për aplikacione të caktuara.

Problemi i teorisë së radhës konsiston në zhvillimin e rekomandimeve për ndërtimin racional të QS dhe organizimin racional të punës së tyre për të siguruar efikasitet të lartë shërbimi me kosto optimale.

Tipari kryesor i problemeve të kësaj klase është varësia e qartë e rezultateve të analizës dhe rekomandimeve të marra nga dy faktorë të jashtëm: shpeshtësia e marrjes dhe kompleksiteti i porosive (dhe rrjedhimisht koha e ekzekutimit të tyre).

Tema e teorisë së radhës është vendosja e një marrëdhënieje midis natyrës së fluksit të aplikacioneve, performancës së një kanali të veçantë shërbimi, numrit të kanaleve dhe efikasitetit të shërbimit.

Si Karakteristikat e QS konsiderohen:

përqindja mesatare e aplikimeve që refuzohen dhe lënë sistemin pa shërbim;
koha mesatare e ndërprerjes së kanaleve individuale dhe sistemit në tërësi;
koha mesatare e pritjes në radhë;
probabiliteti që aplikacioni i marrë do të shërbehet menjëherë;
ligji i shpërndarjes së gjatësisë së radhës dhe të tjera.

Shtojmë se kërkesat (kërkesat) hyjnë në QS në mënyrë të rastësishme (në kohë të rastësishme), me pika kondensimi dhe rrallimi. Koha e shërbimit të çdo kërkese është gjithashtu e rastësishme, pas së cilës kanali i shërbimit lirohet dhe është gati për të përmbushur kërkesën tjetër. Çdo QS, në varësi të numrit të kanaleve dhe performancës së tyre, ka një kapacitet të caktuar. Rrjedha e SMO Ndoshta absolute(numri mesatar i aplikacioneve të shërbyera për njësi kohore) dhe i afërm(raporti mesatar i numrit të aplikacioneve të shërbyera ndaj numrit të paraqitur).

3.1 Modelet e sistemeve të radhës.

Çdo QS mund të karakterizohet nga shprehja: (a / b / c) : (d / e / f) , Ku

a - shpërndarja e fluksit hyrës të aplikacioneve;

b - shpërndarja e rrjedhës së prodhimit të aplikacioneve;

c – konfigurimi i mekanizmit të shërbimit;

d – disiplinë në radhë;

e – bllok pritjeje;

f është kapaciteti i burimit.

Tani le të hedhim një vështrim më të afërt në secilën veçori.

Rrjedha hyrëse e aplikacioneve- numri i aplikimeve të marra nga sistemi. Karakterizohet nga intensiteti i fluksit hyrës l.

Rrjedha dalëse e aplikacioneve– numri i aplikacioneve të shërbyera nga sistemi. Karakterizohet nga intensiteti i rrjedhës së daljes m.

konfigurimin e sistemit nënkupton numrin total të kanaleve dhe nyjeve të shërbimit. SMO mund të përmbajë:

një kanal shërbime (një pistë, një shitës);
një kanal shërbimi, duke përfshirë nyje të shumta serike(mensa, klinikë, transportues);
disa kanale të ngjashme shërbimet e lidhura paralelisht (pompat e benzinës, tavolina e informacionit, stacioni hekurudhor).

Kështu, mund të dallohen QS me një dhe shumë kanale.

Nga ana tjetër, nëse të gjitha kanalet e shërbimit në QS janë të zëna, atëherë aplikacioni i afruar mund të mbetet në radhë, ose mund të largohet nga sistemi (për shembull, një bankë kursimi dhe një central telefonik). Në këtë rast, ne po flasim për sisteme me radhë (në pritje) dhe sisteme me dështime.

Radheështë një grup aplikacionesh që kanë hyrë në sistem për shërbim dhe janë në pritje të shërbimit. Radha karakterizohet nga gjatësia e radhës dhe disiplina e saj.

Disiplina në radhëështë rregulli për servisimin e kërkesave nga radha. Llojet kryesore të radhëve përfshijnë si më poshtë:

PERPPO (i pari vjen, i pari shërbehet) është lloji më i zakonshëm;
POSPPO (ardhja e fundit - shërbimi i parë);
SOP (zgjedhja e rastësishme e aplikacioneve) - nga banka e të dhënave.
PR - shërbimi me përparësi.

Gjatësia e radhës Ndoshta

i pakufizuar - atëherë flitet për një sistem me pritshmëri të pastër;
e barabartë me zero - atëherë ata flasin për një sistem me dështime;
i kufizuar në gjatësi (sistemi i tipit të përzier).

blloku i pritjes– "kapaciteti" i sistemit - numri i përgjithshëm i aplikacioneve në sistem (në radhë dhe në shërbim). Kështu, e=c+d.

Kapaciteti i burimit që gjeneron kërkesat e shërbimit është numri maksimal i kërkesave që mund të hyjnë në QS. Për shembull, në një aeroport, kapaciteti i burimit është i kufizuar nga numri i të gjithë avionëve ekzistues, dhe kapaciteti burimor i një centrali telefonik është i barabartë me numrin e banorëve të Tokës, d.m.th. mund të konsiderohet i pakufizuar.

Numri i modeleve QS korrespondon me numrin e kombinimeve të mundshme të këtyre komponentëve.

3.2 Rrjedha hyrëse e kërkesave.

Me çdo shtrirje të kohës a, a+ T ], le të lidhim një ndryshore të rastësishme X, e barabartë me numrin e kërkesave të marra nga sistemi gjatë kohës T.

Rrjedha e kërkesave quhet stacionare, nëse ligji i shpërndarjes nuk varet nga pika fillestare e intervalit A, por varet vetëm nga gjatësia e intervalit të dhënë T. Për shembull, fluksi i aplikacioneve në centralin telefonik gjatë ditës ( T\u003d 24 orë) nuk mund të konsiderohet i palëvizshëm, por nga 13 në 14 orë ( T\u003d 60 minuta) - mundeni.

Rrjedha quhet asnjë pasojë, nëse historia e rrjedhës nuk ndikon në marrjen e kërkesave në të ardhmen, d.m.th. kërkesat janë të pavarura nga njëra-tjetra.

Rrjedha quhet e zakonshme, nëse jo më shumë se një kërkesë mund të hyjë në sistem në një periudhë shumë të shkurtër kohore. Për shembull, fluksi në parukeri është i zakonshëm, por jo në zyrën e gjendjes civile. Por nëse si ndryshore e rastësishme X merrni parasysh çiftet e aplikacioneve që hyjnë në zyrën e regjistrit, atëherë një rrjedhë e tillë do të jetë e zakonshme (d.m.th., ndonjëherë një rrjedhë e jashtëzakonshme mund të reduktohet në një të zakonshme).

Rrjedha quhet më e thjeshta, nëse është i palëvizshëm, pa efekt dhe i zakonshëm.

Teorema kryesore. Nëse rrjedha është më e thjeshta, atëherë r.v. X [a. një + T] shpërndahet sipas ligjit Poisson, d.m.th. .

Përfundimi 1. Rrjedha më e thjeshtë quhet edhe rrjedha Poisson.

Pasoja 2. M(X)= M(X [ a , a + T ] )= lT, d.m.th. gjatë T lT aplikacionet. Prandaj, për një njësi të kohës, sistemi merr mesatarisht l aplikacionet. Kjo vlerë quhet intensiteti rrymë hyrëse.

Konsideroni SHEMBULLIN .

Studio pranon mesatarisht 3 aplikime në ditë. Duke supozuar se rrjedha është më e thjeshta, gjeni probabilitetin që numri i kërkesave të jetë të paktën 5 brenda dy ditëve të ardhshme.

Zgjidhje.

Sipas detyrës, l=3, T=2 ditë, rrjedha e hyrjes Poisson, n ³5. gjatë zgjidhjes është e përshtatshme të prezantohet ngjarja e kundërt, e cila konsiston në faktin se gjatë kohës T do të pranohen më pak se 5 aplikime. Prandaj, sipas formulës Poisson, marrim

^

3.3 Statusi i sistemit. Matrica dhe grafiku i tranzicioneve.

Në një moment të rastësishëm në kohë, QS kalon nga një gjendje në tjetrën: numri i kanaleve të zëna, numri i kërkesave dhe radhëve, etj., ndryshojnë. Kështu, QS me n kanalet dhe gjatësia e radhës e barabartë me m, mund të jetë në një nga gjendjet e mëposhtme:

E 0 - të gjitha kanalet janë falas;

E 1 – një kanal është i zënë;

E n– të gjitha kanalet janë të zëna;

E n +1 – të gjitha kanalet janë të zëna dhe një kërkesë është në radhë;

E n + m– të gjitha kanalet dhe të gjitha vendet në radhë janë të zëna.

Një sistem i ngjashëm me dështime mund të jetë në shtete E 0 – E n .

Për një QS me pritshmëri të pastër, ekziston një grup i pafund gjendjesh. Kështu, shteti E n QS në kohë t është sasia n aplikacionet (kërkesat) që janë në sistem në një kohë të caktuar, d.m.th. n= n(t) - vlera e rastësishme, E n (t) janë rezultatet e kësaj ndryshoreje të rastësishme, dhe P n (t) është probabiliteti që sistemi të jetë në gjendje E n .

Tashmë jemi njohur me gjendjen e sistemit. Vini re se jo të gjitha gjendjet e sistemit janë ekuivalente. Gjendja e sistemit quhet burimi nëse sistemi mund të largohet nga kjo gjendje por nuk mund të kthehet në të. Gjendja e sistemit quhet i izoluar, nëse sistemi nuk mund të dalë ose të hyjë në këtë gjendje.

Për të vizualizuar gjendjet e sistemit, përdoren diagrame (të ashtuquajturat grafikë të tranzicionit), në të cilat shigjetat tregojnë kalimet e mundshme të sistemit nga një gjendje në tjetrën, si dhe probabilitetet e kalimeve të tilla.

Figura 3.1 - grafiku i tranzicionit

Komp.	E 0	E 1	E 2
E 0	P 0.0	P 0.1	P 0.2
E 1	P 1.0	R 1.1	R 1.2
E 2	R 2.0	R 2.2	R 2.2

Ndonjëherë është gjithashtu i përshtatshëm për të përdorur matricën e tranzicionit. Në këtë rast, kolona e parë nënkupton gjendjet fillestare të sistemit (aktual), dhe më pas jepen probabilitetet e kalimit nga këto gjendje në të tjerat.

Meqenëse sistemi do të kalojë domosdoshmërisht nga një

gjendjen në një tjetër, atëherë shuma e probabiliteteve në çdo rresht është gjithmonë e barabartë me një.

3.4 QS me një kanal.

3.4.1 QS me një kanal me dështime.

Ne do të shqyrtojmë sistemet që plotësojnë kërkesat:

(P/E/1):(–/1/¥) . Le të supozojmë gjithashtu se koha e shërbimit të një klienti nuk varet nga numri i klientëve që hyjnë në sistem. Këtu dhe më poshtë, "P" do të thotë që fluksi i hyrjes shpërndahet sipas ligjit Poisson, d.m.th. më e thjeshta, "E" do të thotë që fluksi i daljes shpërndahet në mënyrë eksponenciale. Gjithashtu këtu dhe më poshtë, formulat kryesore janë dhënë pa prova.

Për një sistem të tillë, dy gjendje janë të mundshme: E 0 - sistemi është falas dhe E 1 – sistemi është i zënë. Le të krijojmë një matricë tranzicioni. Le ta marrim Dtështë një sasi e pafundme kohe. Le të konsistojë ngjarja A në faktin se në sistem gjatë kohës Dt mori një kërkesë. Ngjarja B konsiston në faktin se gjatë kohës Dtështë plotësuar një kërkesë. Ngjarja A i , k- gjatë Dt sistemi do të largohet nga shteti E i në një gjendje E k. Sepse lështë intensiteti i rrjedhës hyrëse, pastaj gjatë kohës Dt hyn në sistem mesatarisht l*Dt Kërkesat. Kjo është, probabiliteti për të marrë një kërkesë P(A)=l* Dt, dhe probabilitetin e ngjarjes së kundërt Р(А)=1-l*Dt.P(B)=F(Dt)= P(b< D t)=1- e - m D t = m Dt- probabiliteti i servisimit të kërkesës në kohë Dt. Pastaj A 00 - aplikacioni nuk do të merret ose do të merret, por do të shërbehet. A 00 \u003d Ā + A * V. R 00 \u003d 1 - l*Dt. (Kemi marrë parasysh këtë (Dt) 2 është një vlerë pafundësisht e vogël)

A 01 - aplikacioni do të merret, por nuk do të shërbehet. A 01 = A * . R 01 = l*Dt.

Dhe 10 - aplikacioni do të shërbehet dhe nuk do të ketë të ri. A 10 \u003d B * a. R 10 = m*Dt.

Dhe 11 - aplikacioni nuk do të shërbehet ose do të arrijë një i ri që ende nuk është shërbyer. A 11 = +V * A. R 01 = 1- m*Dt.

Kështu, marrim matricën e tranzicionit:

Komp.	E 0	E 1
E 0	1-l * Dt	l * Dt
E 1	m * Dt	1-m * Dt

Mundësia e ndërprerjes dhe dështimit të sistemit.

Le të gjejmë tani probabilitetin që sistemi të jetë në gjendje E 0 në çdo moment në kohë t(ato. R 0 ( t) ). Grafiku i funksionit
treguar në figurën 3.2.

Asimptota e grafikut është një vijë e drejtë
.

Natyrisht, nga një pikë t,

Figura 3.2

Më në fund e marrim atë
Dhe
, Ku R 1 (t) është probabiliteti që në kohë t sistemi është i zënë (d.m.th. është në gjendje E 1 ).

Është e qartë se në fillim të operacionit QS, procesi në vazhdim nuk do të jetë i palëvizshëm: do të jetë një mënyrë "kalimtare", jo-stacionare. Pas njëfarë kohe (e cila varet nga intensiteti i flukseve hyrëse dhe dalëse), ky proces do të shuhet dhe sistemi do të kalojë në një gjendje të palëvizshme, të qëndrueshme operimi dhe karakteristikat probabilistike nuk do të varen më nga koha.

Mënyra stacionare e funksionimit dhe faktori i ngarkesës së sistemit.

Nëse probabiliteti që sistemi të jetë në gjendje E k, d.m.th. R k (t), nuk varet nga koha t, pastaj thonë se QS ka krijuar mënyrë stacionare puna. Në të njëjtën kohë, vlera
thirrur faktori i ngarkesës së sistemit(ose dendësia e reduktuar e rrjedhës së aplikimeve). Pastaj për probabilitetet R 0 (t) Dhe R 1 (t) marrim formulat e mëposhtme:
,
. Ju gjithashtu mund të konkludoni: sa më i madh të jetë faktori i ngarkesës së sistemit, aq më shumë ka gjasa që sistemi të dështojë (d.m.th., probabiliteti që sistemi të jetë i zënë).

Lavazhi ka një njësi për mirëmbajtje. Makinat arrijnë në një shpërndarje Poisson me një normë prej 5 makina/orë. Koha mesatare e shërbimit për një makinë është 10 minuta. Gjeni probabilitetin që një makinë që po afrohet do ta gjejë sistemin të zënë nëse QS është në gjendje të palëvizshme.

Zgjidhje. Sipas detyrës, l=5, m y =5/6. Duhet të gjejmë probabilitetin R 1 është probabiliteti i dështimit të sistemit.
.

3.4.2 QS me një kanal me gjatësi të pakufizuar në radhë.

Ne do të shqyrtojmë sistemet që plotësojnë kërkesat: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Sistemi mund të jetë në një nga shtetet E 0 , …, E k, … Analiza tregon se pas njëfarë kohe një sistem i tillë fillon të funksionojë në një gjendje stacionare nëse intensiteti i rrjedhës së daljes tejkalon intensitetin e rrjedhës hyrëse (d.m.th., faktori i ngarkesës së sistemit është më i vogël se një). Duke marrë parasysh këtë kusht, marrim sistemin e ekuacioneve

duke zgjidhur të cilat gjejmë se . Kështu, me kusht që y<1, получим
Së fundi,
Dhe
është probabiliteti që QS të jetë në gjendje E k në një moment të rastësishëm në kohë.

Karakteristikat mesatare të sistemit.

Për shkak të marrjes së pabarabartë të kërkesave në sistem dhe luhatjeve të kohës së shërbimit, në sistem krijohet një radhë. Për një sistem të tillë, mund të eksploroni:

n – numrin e kërkesave në QS (në radhë dhe në shërbim);
v – gjatësia e radhës;
w – koha e pritjes së fillimit të shërbimit;
w 0 është koha totale e kaluar në sistem.

Ne do të jemi të interesuar karakteristikat mesatare(d.m.th., ne marrim pritshmërinë matematikore të variablave të rastit të konsideruar dhe mbani mend se y<1).

është numri mesatar i aplikacioneve në sistem.

është gjatësia mesatare e radhës.

është koha mesatare e pritjes për fillimin e shërbimit, d.m.th. koha e pritjes në radhë.

- koha mesatare që aplikacioni kalon në sistem - në radhë dhe për shërbim.

Tek lavazhi ka nje bllok per servis dhe ka vend per rradhe. Makinat arrijnë në një shpërndarje Poisson me një normë prej 5 makina/orë. Koha mesatare e shërbimit për një makinë është 10 minuta. Gjeni të gjitha karakteristikat mesatare të QS.

Zgjidhje. l=5, m=60min/10min = 6. Faktori i ngarkesës y =5/6. Pastaj numri mesatar i makinave në sistem
, gjatësia mesatare e radhës
, koha mesatare e pritjes për fillimin e shërbimit
orë = 50 minuta, dhe në fund koha mesatare e kaluar në sistem
orë.

3.4.3 QS me një kanal të tipit miks.

Supozoni se gjatësia e radhës është m Kërkesat. Pastaj, për çdo s£ m, probabiliteti për të gjetur QS në gjendje E 1+ s, llogaritet me formulë
, d.m.th. një aplikim është duke u shërbyer dhe një tjetër s aplikacionet janë në radhë.

Probabiliteti i ndërprerjes së sistemit është
,

dhe probabiliteti i dështimit të sistemit është
.

Janë dhënë tre sisteme me një kanal për secilin l=5, m =6. Por sistemi i parë është me dështime, i dyti është me pritje të pastër dhe i treti është me një gjatësi të kufizuar në radhë, m=2. Gjeni dhe krahasoni probabilitetet e kohës së ndërprerjes së këtyre tre sistemeve.

Zgjidhje. Për të gjitha sistemet faktori i ngarkesës y=5/6. Për një sistem me dështime
. Për një sistem me pritshmëri të pastër
. Për një sistem me një gjatësi të kufizuar të radhës
. Përfundimi është i qartë: sa më shumë aplikacione të jenë në radhë, aq më pak probabiliteti i ndërprerjes së sistemit.

3.5 QS shumëkanalësh.

3.5.1 QS shumëkanale me dështime.

Ne do të shqyrtojmë sistemet (Р/Е/s):(-/s/¥) me supozimin se koha e shërbimit nuk varet nga fluksi i hyrjes dhe të gjitha linjat punojnë në mënyrë të pavarur. Sistemet me shumë kanale, përveç faktorit të ngarkesës, mund të karakterizohen edhe nga koeficienti
, Ku s– numri i kanaleve të shërbimit. Duke eksploruar QS me shumë kanale, marrim formulat e mëposhtme (formula Erlang) për probabilitetin që sistemi të jetë në gjendje E k në kohë të rastësishme:

, k=0, 1, …

funksioni i kostos.

Ashtu si me sistemet me një kanal, një rritje në faktorin e ngarkesës çon në një rritje të probabilitetit të dështimit të sistemit. Nga ana tjetër, një rritje në numrin e linjave të shërbimit çon në një rritje të probabilitetit të ndërprerjes së sistemit ose kanaleve individuale. Kështu, është e nevojshme të gjendet numri optimal i kanaleve të shërbimit për këtë QS. Numri mesatar i linjave të shërbimit falas mund të gjendet nga formula
. Le të prezantojmë C( s) – funksioni i kostos QS në varësi të Me 1 – kostoja e një refuzimi (gjobë për një aplikim të paplotësuar) dhe nga Me 2 - kostoja e ndërprerjes së një linje për njësi të kohës.

Për të gjetur opsionin optimal, duhet të gjeni (dhe kjo mund të bëhet) vlerën minimale të funksionit të kostos: ME(s) = me 1* l * fq s +c 2*, grafiku i të cilit është paraqitur në figurën 3.3:

Figura 3.3

Kërkimi për vlerën minimale të funksionit të kostos është që së pari të gjejmë vlerat e tij s =1, pastaj për s =2, pastaj për s =3, etj. derisa në një hap vlera e funksionit С( s) nuk do të jetë më i madh se ai i mëparshmi. Kjo do të thotë që funksioni ka arritur minimumin e tij dhe ka filluar të rritet. Përgjigja është numri i kanaleve të shërbimit (vlera s) për të cilat funksioni i kostos është minimal.

SHEMBULL .

Sa linja shërbimi duhet të përmbajnë QS me dështime, nëse l\u003d 2 reb / orë, m\u003d 1 reb / orë, dënimi për çdo dështim është 7 mijë rubla, kostoja e pushimit për një linjë është 2 mijë rubla. në orën një?

Zgjidhje. y = 2/1=2. Me 1 =7, Me 2 =2.

Le të supozojmë se QS ka dy kanale shërbimi, d.m.th. s =2. Pastaj
. Prandaj, C(2) = c 1 *l*fq 2 +c 2 *(2- y*(1-r 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Le të pretendojmë se s =3. Pastaj
, C(3) = c 1 *l*fq 3 +c 2 *
=5.79.

Le të supozojmë se janë katër kanale, d.m.th. s =4. Pastaj
,
, C(4) = c 1 *l*fq 4 +c 2 *
=5.71.

Le të supozojmë se QS ka pesë kanale shërbimi, d.m.th. s =5. Pastaj
, C(5) = 6.7 - më shumë se vlera e mëparshme. Prandaj, numri optimal i kanaleve të shërbimit është katër.

3.5.2 QS me shumë kanale me radhë.

Ne do të konsiderojmë sistemet (Р/Е/s):(d/d+s/¥) me supozimin se koha e shërbimit nuk varet nga rryma hyrëse dhe të gjitha linjat punojnë në mënyrë të pavarur. Ne do të themi se sistemi është i instaluar funksionimi i palëvizshëm, nëse numri mesatar i kërkesave hyrëse është më i vogël se numri mesatar i kërkesave të paraqitura në të gjitha linjat e sistemit, d.m.th. l

P(w>0) është probabiliteti për të pritur që shërbimi të fillojë,
.

Karakteristika e fundit lejon zgjidhjen e problemit të përcaktimit të numrit optimal të kanaleve të shërbimit në atë mënyrë që probabiliteti i pritjes për fillimin e shërbimit të jetë më i vogël se një numër i caktuar. Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritet probabiliteti i pritshmërisë në mënyrë të njëpasnjëshme për s =1, s =2, s=3 etj.

SHEMBULL .

SMO - një stacion ambulance i një mikrodistrikti të vogël. l= 3 thirrje në orë, dhe m= 4 thirrje në orë për një ekip. Sa ekuipazhe duhet të jenë në stacion në mënyrë që probabiliteti për të pritur një dalje të jetë më pak se 0.01?

Zgjidhje. Faktori i ngarkesës së sistemit y =0,75. Supozoni se ka dy ekipe në dispozicion. Le të gjejmë probabilitetin e pritjes për fillimin e shërbimit s =2.
,
.

Supozoni se janë tre brigada, d.m.th. s=3. Sipas formulave, ne e marrim atë R 0 =8/17, P(w>0)=0.04>0.01 .

Le të supozojmë se janë katër ekuipazhe në stacion, d.m.th. s=4. Atëherë e marrim atë R 0 =416/881, P(w>0)=0.0077<0.01 . Prandaj, në stacion duhet të ketë katër brigada.

3.6 Pyetje për vetëkontroll

Lënda dhe detyrat e teorisë së radhës.
QS, modelet dhe emërtimet e tyre.
Rrjedha e hyrjes së kërkesave. Intensiteti i rrymës hyrëse.
Gjendja e sistemit. Matrica dhe grafiku i tranzicioneve.
QS me një kanal me dështime.
QS me një kanal me radhë. Karakteristikat.
Mënyra stacionare e funksionimit. Faktori i ngarkesës së sistemit.
QS shumëkanalësh me dështime.
Optimizimi i funksionit të kostos.
QS shumëkanalësh me një radhë. Karakteristikat.

3.7 Ushtrime për punë të pavarur

Bar-rostiçeri në pikën e karburantit ka një banak. Makinat vijnë sipas një shpërndarjeje Poisson, me një mesatare prej 2 makinash për 5 minuta. Mesatarisht, 1.5 minuta mjafton për të përfunduar një porosi, megjithëse kohëzgjatja e shërbimit shpërndahet sipas një ligji eksponencial. Gjeni: a) probabilitetin që stalla të jetë boshe; b) performanca mesatare; c) probabiliteti që numri i makinave që vijnë të jetë të paktën 10.
Makina me rreze X ju lejon të ekzaminoni mesatarisht 7 persona në orë. Intensiteti i vizitorëve është 5 persona në orë. Duke supozuar funksionimin e palëvizshëm, përcaktoni karakteristikat mesatare.
Koha e shërbimit në QS i bindet një ligji eksponencial,
m = 7 kërkesa në orë. Gjeni probabilitetin që a) koha e shërbimit të jetë ndërmjet 3 dhe 30 minuta; b) kërkesa do të dorëzohet brenda një ore. Përdorni tabelën e vlerave të funksionit e X .
Ka një shtrat në portin e lumit, intensiteti i rrjedhës hyrëse është 5 anije në ditë. Intensiteti i operacioneve të ngarkim-shkarkimit është 6 anije në ditë. Duke pasur parasysh mënyrën e palëvizshme të funksionimit, përcaktoni të gjitha karakteristikat mesatare të sistemit.
l=3, m=2, dënimi për çdo dështim është 5, dhe kostoja e ndërprerjes për linjë është 2?
Cili është numri optimal i kanaleve të shërbimit që duhet të ketë një QS nëse l=3, m =1, dënimi për çdo dështim është 7, dhe kostoja e ndërprerjes për linjë është 3?
Cili është numri optimal i kanaleve të shërbimit që duhet të ketë një QS nëse l=4, m=2, dënimi për çdo dështim është 5, dhe kostoja e ndërprerjes për linjë është 1?
Përcaktoni numrin e pistave për avionët, me kusht që probabiliteti i pritjes të jetë më i vogël se 0,05. Në të njëjtën kohë, intensiteti i fluksit hyrës është 27 avionë në ditë, dhe intensiteti i shërbimit të tyre është 30 avionë në ditë.
Sa linja transportieri të pavarura ekuivalente duhet të ketë një punishte për të siguruar një ritëm pune në të cilin probabiliteti i pritjes për përpunimin e produkteve duhet të jetë më i vogël se 0.03 (çdo produkt prodhohet nga një linjë). Dihet se intensiteti i pranimit të porosive është 30 produkte në orë, dhe intensiteti i përpunimit të një produkti në një linjë është 36 produkte në orë.
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet sipas një ligji eksponencial me parametrin l=5. Gjeni funksionin e shpërndarjes, karakteristikat dhe probabilitetin e goditjes së r.v. X në rangun nga 0.17 në 0.28.
Numri mesatar i thirrjeve që arrijnë në PBX në një minutë është 3. Duke supozuar se fluksi është Poisson, gjeni probabilitetin që në 2 minuta të ketë: a) dy thirrje; b) më pak se dy thirrje; c) të paktën dy telefonata.
Ka 17 pjesë në një kuti, 4 prej të cilave janë me defekt. Montuesi tërheq 5 pjesë në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që a) të gjitha pjesët e nxjerra të jenë të cilësisë së lartë; b) ndër pjesët e nxjerra 3 të dëmtuara.
Sa kanale duhet të ketë një QS me dështime nëse l\u003d 2 reb / orë, m\u003d 1 reb / orë, dënimi për çdo dështim është 8 mijë rubla, kostoja e pushimit për një linjë është 2 mijë rubla. në orën një?

1. QS me një kanal me dështime.

Shembull. Lëreni një QS me një kanal me dështime të përfaqësojë një stacion shërbimi ditor (OD) për larjen e makinave. Aplikacionit - një makinë që mbërriti në një kohë kur posta është e zënë - i refuzohet shërbimi.

Shpejtësia e qarkullimit të automjetit = 1.0 (automjet në orë).

Koha mesatare e shërbimit është 1.8 orë.

Rrjedha e makinave dhe fluksi i shërbimit janë më të thjeshtat.

Kërkohet të përcaktohet në vlerat kufitare të gjendjes së qëndrueshme:

Gjerësia relative e brezit q;

Bandwidth absolut A ;

Probabilitetet e dështimit P hapur.

Duhet krahasuar aktuale Qarkullimi QS me nominale, që do të ishte nëse secila makinë do të shërbehej saktësisht 1.8 orë dhe makinat ndiqnin njëra pas tjetrës pa pushim.

2. QS me një kanal me pritje

Karakteristikë e sistemit

Ø SMO ka një kanal.

Ø Fluksi hyrës i kërkesave për shërbim është fluksi më i thjeshtë me intensitet.

Ø Intensiteti i fluksit të shërbimit është i barabartë me m (d.m.th., mesatarisht, një kanal vazhdimisht i zënë do të lëshojë m kërkesa të shërbimit).

Ø Kohëzgjatja e shërbimit është një ndryshore e rastësishme që i nënshtrohet një ligji të shpërndarjes eksponenciale.

Ø Rrjedha e shërbimit është rrjedha më e thjeshtë e ngjarjeve Poisson.

Ø Kërkesa e marrë në momentin kur kanali është i zënë, futet në radhë dhe pret shërbimin.

Grafiku i gjendjes

Shtetet QS kanë interpretimin e mëposhtëm:

S 0 - "kanali është falas";

S 1 - "kanali është i zënë" (nuk ka radhë);

S 2 - "kanali është i zënë" (një aplikacion është në radhë);

…………………………………………………….

sn- "kanali është i zënë" ( n-1 aplikacione janë në radhë);

SN- "kanali është i zënë" ( N- 1 aplikime janë në radhë).

Procesi i palëvizshëm në këtë sistem përshkruhet nga sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve algjebrike:

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve është:

3. QS me një kanal me një radhë të kufizuar.

Gjatësia e radhës :( N - 1)

Karakteristikat e sistemit:

1. Probabiliteti i refuzimit të shërbimit ndaj sistemit:

2. Produkti relativ i sistemit:

3. Produkti absolut i sistemit:

4. Numri mesatar i aplikacioneve në sistem:

5. Koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në sistem:

6. Kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të klientit (aplikacioni) në radhë:

7. Numri mesatar i aplikacioneve (klientëve) në radhë (gjatësia e radhës):

Shembull.

Një post i specializuar diagnostikues është një QS me një kanal.

Numri i parkingjeve për makinat që presin për diagnostikim është i kufizuar dhe i barabartë me 3 [( N- 1) = 3]. Nëse të gjitha parkingjet janë të zëna, d.m.th. janë tashmë tre makina në radhë, atëherë makina tjetër që mbërriti për diagnostikim nuk futet në radhën e shërbimit.

Fluksi i makinave që vijnë për diagnostikim shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it dhe ka një intensitet prej 0.85 (makina në orë).

Koha e diagnostikimit të makinës shpërndahet sipas ligjit eksponencial dhe është mesatarisht 1.05 orë.

4. QS me një kanal me pritje

nuk ka kufi për gjatësinë e radhës

Kushtet për funksionimin e QS mbeten të pandryshuara, duke marrë parasysh faktin se N .

Mënyra stacionare e funksionimit të një QS të tillë ekziston:

për këdo n= 0, 1, 2, ... dhe kur λ < μ .

Sistemi i ekuacioneve që përshkruajnë funksionimin e QS:

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve ka formën:

2. Kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të një klienti në sistem:

3. Numri mesatar i klientëve në radhën e shërbimit:

4. Kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të klientit në radhë:

Shembull.

Një post i specializuar diagnostikues është një QS me një kanal. Numri i parkingjeve për makinat që presin për diagnostifikim nuk është i kufizuar. Rrjedha e makinave që vijnë për diagnostikim shpërndahet sipas ligjit Poisson dhe ka një intensitet λ = 0,85 (makina në orë). Koha e diagnostikimit të makinës shpërndahet sipas ligjit eksponencial dhe është mesatarisht 1.05 orë.

Kërkohet të përcaktohen karakteristikat probabilistike të një posti diagnostikues që funksionon në një gjendje stacionare.

Si rezultat i zgjidhjes së problemit, është e nevojshme të përcaktohen vlerat përfundimtare të karakteristikave të mëposhtme probabilistike:

ü probabilitetet e gjendjeve të sistemit (posti diagnostik);

ü numrin mesatar të makinave në sistem (në shërbim dhe në radhë);

ü kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të makinës në sistem (në shërbim dhe në radhë);

ü numrin mesatar të makinave në radhën e shërbimit;

kohëzgjatja mesatare e kohës që kalon një makinë në një radhë.

1. Parametri i fluksit të shërbimit dhe intensiteti i reduktuar i rrjedhës së makinës:

μ = 0,952; ψ = 0,893.

2. Probabilitetet kufizuese të gjendjes së sistemit:

P 0 (t) përcakton proporcionin e kohës gjatë së cilës posti diagnostik është i detyruar të jetë joaktiv (boshe). Në shembull, kjo proporcion është 10.7%, pasi P 0 (t) = 0,107.

3. Numri mesatar i makinave në sistem

(në shërbim dhe në linjë):

4. Kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të një klienti në sistem

5. Numri mesatar i makinave në radhën e shërbimit:

6. Kohëzgjatja mesatare e qëndrimit të makinës në radhë:

7. Rezultati relativ i sistemit:

q= 1, d.m.th., çdo kërkesë që hyn në sistem do të shërbehet.

8. Gjerësia e brezit absolut:

Dizajni i prezantimit të materialit është paraqitur në skedarin "TMO"

Pyetje dhe detyra

(sipas Afanasiev M.Yu.)

Pyetja 1. Një punëtor mban tridhjetë tezgjah, duke u siguruar që ato të fillojnë pas një shkëputjeje të fillit. Modeli i një sistemi të tillë të radhës mund të karakterizohet si:

1) njëfazore me shumë kanale me një popullsi të kufizuar;

2) njëfazore me një kanal me një popullsi të pakufizuar;

3) shumëfazore me një kanal me një popullsi të kufizuar;

4) njëfazore me një kanal me një popullsi të kufizuar;

5) njëfazor shumëkanalësh me një popullsi të pakufizuar.

Pyetja 2. Në teorinë e radhës, për të përshkruar rrjedhën më të thjeshtë të kërkesave që arrijnë në hyrjen e sistemit, përdoret shpërndarja e probabilitetit:

1) normale;

2) eksponenciale;

3) Poisson;

4) binomi;

Pyetja 3. Në teorinë e radhës, supozohet se numri i klientëve në një popullsi është:

1) fikse ose e ndryshueshme;

2) e kufizuar ose e pakufizuar;

3) i njohur ose i panjohur;

4) rastësore ose përcaktuese;

5) asnjë nga sa më sipër nuk është e vërtetë.

Pyetja 4. Dy parametrat kryesorë që përcaktojnë konfigurimin e një sistemi të radhës janë:

1) norma e pranimit dhe tarifa e shërbimit;

2) rregulli i kohëzgjatjes së radhës dhe shërbimit;

3) shpërndarja e kohës ndërmjet aplikimeve dhe shpërndarjes së kohës së shërbimit;

4) numrin e kanaleve dhe numrin e fazave të shërbimit;

5) asnjë nga sa më sipër nuk është e vërtetë.

Pyetja 5. Në teorinë e radhës, një shpërndarje probabiliteti zakonisht përdoret për të përshkruar kohën e shpenzuar për kërkesat e shërbimit:

1) normale;

2) eksponenciale;

3) Poisson;

4) binomi;

5) asnjë nga sa më sipër nuk është e vërtetë.

Pyetja 6. Riparimi i kompjuterëve të prishur në Fakultetin Ekonomik kryhet nga tre specialistë që punojnë njëkohësisht dhe të pavarur nga njëri-tjetri. Modeli i një sistemi të tillë të radhës mund të karakterizohet si:

1) shumë kanale me një popullsi të kufizuar;

2) me një kanal me popullsi të pakufizuar;

3) një kanal me një popullsi të kufizuar;

4) me një kanal me një radhë të kufizuar;

5) shumëkanalësh me popullsi të pakufizuar.

Përgjigjet në pyetje: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

PLANIFIKIMI DHE MENAXHIMI I RRJETIVE

Sistemet e planifikimit dhe menaxhimit të rrjetit (SPU) janë një lloj i veçantë i sistemeve të menaxhimit të organizuar të krijuar për të rregulluar aktivitetet e prodhimit të ekipeve. Ashtu si në sistemet e tjera të kësaj klase, "objekti i kontrollit" në sistemet STC është një ekip interpretuesish që kanë burime të caktuara: njerëzore, materiale, financiare. Sidoqoftë, këto sisteme kanë një sërë veçorish, pasi baza e tyre metodologjike janë metodat e kërkimit të operacioneve, teoria e grafikëve të drejtuar dhe disa seksione të teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore. Një veti e nevojshme e sistemit të planifikimit dhe menaxhimit është gjithashtu aftësia për të vlerësuar gjendjen aktuale, për të parashikuar rrjedhën e mëtejshme të punës dhe kështu të ndikojë në rrjedhën e përgatitjes dhe prodhimit në mënyrë që i gjithë gama e punës të kryhet në kohë dhe me koston më të ulët. .

Aktualisht, modelet dhe metodat STC përdoren gjerësisht në planifikimin dhe zbatimin e punimeve të ndërtimit dhe instalimit, planifikimin e aktiviteteve tregtare, përpilimin e raporteve të kontabilitetit, zhvillimin e një plani tregtar dhe financiar, etj.

Gama e aplikimit të SPM është shumë e gjerë: nga detyrat që lidhen me aktivitetet e individëve, te projektet që përfshijnë qindra organizata dhe dhjetëra mijëra njerëz (për shembull, zhvillimi dhe krijimi i një kompleksi të madh territorial-industrial).

Për të hartuar një plan pune për zbatimin e projekteve të mëdha dhe komplekse, të përbërë nga mijëra studime dhe operacione të veçanta, është e nevojshme të përshkruhet duke përdorur një model matematikor. Një mjet i tillë për përshkrimin e projekteve (komplekseve) është një model rrjeti.

PREZANTIMI

KAPITULLI I. FORMULARI I PROBLEMEVE TË SHËRBIMIT TË RADIT

1.1 Koncepti i përgjithshëm i teorisë së radhës

1.2 Modelimi i sistemeve të radhës

1.3 Grafikët e gjendjes QS

1.4 Proceset stokastike

Kapitulli II. EKUACIONET QË PËRSHKRUAJNË SISTEME TË RESHTIMIT

2.1 Ekuacionet Kolmogorov

2.2 Proceset e "lindje-vdekjes"

2.3 Formulimi ekonomik dhe matematikor i problemave të radhës

Kapitulli III. MODELET E SISTEMEVE TË RADIT

3.1 QS me një kanal me refuzim të shërbimit

3.2 QS shumëkanale me refuzim shërbimi

3.3 Modeli i një sistemi shërbimi turistik shumëfazor

3.4 QS me një kanal me gjatësi të kufizuar të radhës

3.5 QS me një kanal me radhë të pakufizuar

3.6 QS shumëkanalesh me gjatësi të kufizuar të radhës

3.7 QS shumëkanalësh me radhë të pakufizuar

3.8 Analiza e sistemit të radhës së supermarketeve

PËRFUNDIM

Prezantimi

Aktualisht, është shfaqur një sasi e madhe literaturë që i kushtohet drejtpërdrejt teorisë së radhës, zhvillimit të aspekteve të saj matematikore, si dhe fushave të ndryshme të zbatimit të saj - ushtarake, mjekësore, transporti, tregtia, aviacioni, etj.

Teoria e radhës bazohet në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. Zhvillimi fillestar i teorisë së radhës lidhet me emrin e shkencëtarit danez A.K. Erlang (1878-1929), me veprat e tij në fushën e projektimit dhe funksionimit të centraleve telefonike.

Teoria e radhës është një fushë e matematikës së aplikuar që merret me analizën e proceseve në sistemet e prodhimit, shërbimit dhe kontrollit në të cilat ngjarjet homogjene përsëriten shumë herë, për shembull, në ndërmarrjet e shërbimeve të konsumatorit; në sistemet për marrjen, përpunimin dhe transmetimin e informacionit; linjat automatike të prodhimit etj. Një kontribut të madh në zhvillimin e kësaj teorie dhanë matematikanët rusë A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel dhe të tjerët.

Tema e teorisë së radhës është vendosja e marrëdhënieve midis natyrës së fluksit të kërkesave, numrit të kanaleve të shërbimit, performancës së një kanali të vetëm dhe shërbimit efikas në mënyrë që të gjenden mënyrat më të mira për të kontrolluar këto procese. Detyrat e teorisë së radhës janë të një natyre optimizimi dhe në fund përfshijnë aspektin ekonomik të përcaktimit të një varianti të tillë të sistemit, i cili do të sigurojë një minimum të kostove totale nga pritja e shërbimit, humbja e kohës dhe burimeve për shërbimin dhe nga koha e ndërprerjes. të kanaleve të shërbimit.

Në aktivitetet tregtare, aplikimi i teorisë së radhës nuk ka gjetur ende shpërndarjen e dëshiruar.

Kjo është kryesisht për shkak të vështirësisë së përcaktimit të qëllimeve, nevojës për një kuptim të thellë të përmbajtjes së aktiviteteve tregtare, si dhe mjeteve të besueshme dhe të sakta që lejojnë llogaritjen e opsioneve të ndryshme për pasojat e vendimeve menaxheriale në aktivitetet tregtare.

Kapitulli I . Vendosja e detyrave në radhë

1.1 Koncepti i përgjithshëm i teorisë së radhës

Natyra e radhës, në fusha të ndryshme, është shumë delikate dhe komplekse. Aktiviteti tregtar shoqërohet me kryerjen e shumë operacioneve në fazat e lëvizjes, për shembull, një masë mallrash nga sfera e prodhimit në sferën e konsumit. Operacione të tilla janë ngarkimi i mallrave, transporti, shkarkimi, magazinimi, përpunimi, paketimi, shitja. Krahas veprimeve të tilla bazë, procesi i lëvizjes së mallrave shoqërohet me një numër të madh veprimesh paraprake, përgatitore, shoqëruese, paralele dhe të mëvonshme me dokumente pagese, kontejnerë, para, makina, klientë etj.

Fragmentet e listuara të aktivitetit tregtar karakterizohen nga marrja masive e mallrave, parave, vizitorëve në kohë të rastësishme, pastaj shërbimi i qëndrueshëm i tyre (përmbushja e kërkesave, kërkesave, kërkesave) duke kryer operacione të përshtatshme, koha e ekzekutimit të të cilave është gjithashtu e rastësishme. E gjithë kjo krijon pabarazi në punë, gjeneron nënngarkesa, kohë joproduktive dhe mbingarkesa në operacionet tregtare. Radhët shkaktojnë shumë telashe, për shembull, vizitorët në kafene, mensa, restorante ose shoferë makinash në depot e mallrave, duke pritur për shkarkim, ngarkim ose dokumente. Në këtë drejtim, ekzistojnë detyra për të analizuar opsionet ekzistuese për kryerjen e të gjithë grupit të operacioneve, për shembull, katin e tregtimit të një supermarketi, një restoranti ose në punëtori për prodhimin e produkteve të veta për të vlerësuar punën e tyre, për të identifikuar lidhjet dhe rezervat e dobëta dhe në fund të zhvillojnë rekomandime që synojnë rritjen e efikasitetit të veprimtarive tregtare.

Për më tepër, lindin detyra të tjera që lidhen me krijimin, organizimin dhe planifikimin e një opsioni të ri ekonomik, racional për kryerjen e shumë operacioneve brenda katit të tregtimit, dyqanit të ëmbëlsirave, të gjitha niveleve të shërbimit të një restoranti, kafeneje, mense, departamenti i planifikimit, departamenti i kontabilitetit, departamenti i personelit etj.

Detyrat e organizimit të radhës lindin pothuajse në të gjitha sferat e veprimtarisë njerëzore, për shembull, shërbimi i blerësve në dyqane nga shitësit, shërbimi i vizitorëve në institucionet e hotelierisë publike, shërbimi i klientëve në ndërmarrjet e shërbimeve të konsumatorit, ofrimi i bisedave telefonike në një central telefonik, ofrimi i kujdesit mjekësor për pacientët në një klinikë, etj. Në të gjithë shembujt e mësipërm, lind nevoja për të kënaqur nevojat e një numri të madh të konsumatorëve.

Detyrat e listuara mund të zgjidhen me sukses duke përdorur metoda dhe modele të teorisë së radhës (QMT) të krijuara posaçërisht për këto qëllime. Kjo teori shpjegon se është e nevojshme t'i shërbesh dikujt ose diçkaje, e cila përcaktohet nga koncepti i "kërkesës (kërkesës) për shërbim", dhe operacionet e shërbimit kryhen nga dikush ose diçka që quhen kanale shërbimi (nyje). Rolin e aplikacioneve në aktivitetet tregtare e luajnë mallrat, vizitorët, paratë, auditorët, dokumentet dhe rolin e kanaleve të shërbimit e luajnë shitësit, administratorët, kuzhinierët, pastiçierët, kamerierët, arkëtarët, tregtarët, ngarkuesit, pajisjet tregtare etj. Është e rëndësishme të theksohet se në një variant, për shembull, një kuzhinier në procesin e përgatitjes së pjatave është një kanal shërbimi, dhe në një tjetër, ai vepron si një kërkesë për shërbim, për shembull, tek menaxheri i prodhimit për marrjen e mallrave.

Për shkak të natyrës masive të marrjes së shërbimeve, aplikacionet formojnë flukse që quhen hyrëse përpara se të kryhen operacionet e servisit, dhe pas një pritjeje të mundshme për fillimin e shërbimit, d.m.th. kohët e ndërprerjes në radhë, formojnë flukset e shërbimit në kanale dhe më pas formohet një rrjedhë dalëse e kërkesave. Në përgjithësi, grupi i elementeve të fluksit hyrës të aplikacioneve, radhës, kanaleve të shërbimit dhe rrjedhës dalëse të aplikacioneve formon sistemin më të thjeshtë të radhës me një kanal - QS.

Një sistem është një grup i ndërlidhur dhe. pjesë (elemente) që ndërveprojnë me qëllim. Shembuj të QS të tilla të thjeshta në aktivitetet tregtare janë vendet e marrjes dhe përpunimit të mallrave, qendrat e vendosjes me klientët në dyqane, kafene, mensa, punët e një ekonomisti, kontabilisti, tregtari, kuzhinieri në shpërndarje etj.

Procedura e shërbimit konsiderohet e përfunduar kur kërkesa e shërbimit del nga sistemi. Kohëzgjatja e intervalit kohor të kërkuar për zbatimin e procedurës së shërbimit varet kryesisht nga natyra e kërkesës së shërbimit, gjendja e vetë sistemit të shërbimit dhe kanali i shërbimit.

Në të vërtetë, kohëzgjatja e qëndrimit të blerësit në supermarket varet, nga njëra anë, nga cilësitë personale të blerësit, kërkesat e tij, nga gama e mallrave që ai do të blejë dhe nga ana tjetër, nga forma. të organizimit të shërbimit dhe shoqëruesve, gjë që mund të ndikojë ndjeshëm në kohën e kaluar nga blerësi në supermarket dhe në intensitetin e shërbimit. Për shembull, kontrollorët e arkëtarëve që zotëronin metodën "të verbër" të punës në një arkë bënë të mundur rritjen e xhiros së nyjeve të shlyerjes me 1.3 herë dhe kursimin e kohës së shpenzuar për shlyerjet me klientët në secilën arkë me më shumë se 1.5 orë në ditë. . Futja e një nyje të vetme shlyerjeje në supermarket i jep përfitime të prekshme blerësit. Pra, nëse me formën tradicionale të vendbanimeve, koha e shërbimit për një klient ishte mesatarisht 1.5 minuta, atëherë me futjen e një nyje të vetme shlyerjeje - 67 sekonda. Nga këto, 44 sekonda shpenzohen për të bërë një blerje në seksion dhe 23 sekonda shpenzohen drejtpërdrejt për pagesat për blerjet. Nëse blerësi bën disa blerje në seksione të ndryshme, atëherë humbja e kohës zvogëlohet duke blerë dy blerje me 1.4 herë, tre - me 1.9, pesë - me 2.9 herë.

Me shërbimin e kërkesave nënkuptojmë procesin e plotësimit të një nevoje. Shërbimi është i ndryshëm në natyrë. Megjithatë, në të gjithë shembujt, kërkesat e marra duhet të servisohen nga ndonjë pajisje. Në disa raste, shërbimi kryhet nga një person (shërbimi i klientit nga një shitës, në disa raste nga një grup njerëzish (shërbimi i pacientit nga një komision mjekësor në një poliklinikë), dhe në disa raste nga pajisje teknike (shitje uji me gaz. , sanduiçe nga makinat shitëse) Një grup mjetesh që shërbejnë aplikacionet , quhet kanal shërbimi.

Nëse kanalet e shërbimit janë në gjendje të plotësojnë të njëjtat kërkesa, atëherë kanalet e shërbimit quhen homogjene. Një grup kanalesh shërbimi homogjene quhet sistem shërbimi.

Sistemi i radhës merr një numër të madh kërkesash në kohë të rastësishme, kohëzgjatja e shërbimit të të cilave është gjithashtu një ndryshore e rastësishme. Ardhja e njëpasnjëshme e klientëve në sistemin e radhës quhet rrjedha hyrëse e klientëve, dhe sekuenca e klientëve që largohen nga sistemi i radhës quhet rrjedha dalëse.

Natyra e rastësishme e shpërndarjes së kohëzgjatjes së ekzekutimit të operacioneve të shërbimit, së bashku me natyrën e rastësishme të mbërritjes së kërkesave të shërbimit, çon në faktin se në kanalet e shërbimit ndodh një proces i rastësishëm, i cili "mund të quhet (për analogji me fluksin hyrës të kërkesave) rrjedhën e kërkesave të shërbimit ose thjesht rrjedhën e shërbimit.

Vini re se klientët që hyjnë në sistemin e radhës mund ta lënë atë pa u shërbyer. Për shembull, nëse klienti nuk gjen produktin e dëshiruar në dyqan, atëherë ai largohet nga dyqani pa u shërbyer. Blerësi gjithashtu mund të largohet nga dyqani nëse produkti i dëshiruar është në dispozicion, por ka një radhë të gjatë dhe blerësi nuk ka kohë.

Teoria e rradhës merret me studimin e proceseve të lidhura me radhën, zhvillimin e metodave për zgjidhjen e problemeve tipike të radhës.

Gjatë studimit të efikasitetit të sistemit të shërbimit, mënyra të ndryshme të rregullimit të kanaleve të shërbimit në sistem luajnë një rol të rëndësishëm.

Me një rregullim paralel të kanaleve të shërbimit, një kërkesë mund të shërbehet nga çdo kanal falas. Një shembull i një sistemi të tillë shërbimi është një nyje shlyerjeje në dyqanet e vetë-shërbimit, ku numri i kanaleve të shërbimit përkon me numrin e arkëtarëve-kontrolluesve.

Në praktikë, një aplikacion shpesh shërbehet në mënyrë sekuenciale nga disa kanale shërbimi. Në këtë rast, kanali tjetër i shërbimit fillon shërbimin e kërkesës pasi kanali i mëparshëm të ketë përfunduar punën e tij. Në sisteme të tilla, procesi i shërbimit është i natyrës shumëfazore, shërbimi i një aplikacioni nga një kanal quhet faza e shërbimit. Për shembull, nëse një dyqan vetëshërbimi ka departamente me shitës, atëherë blerësit shërbehen fillimisht nga shitësit, dhe më pas nga arkëtarët-kontrolluesit.

Organizimi i sistemit të shërbimit varet nga vullneti i personit. Cilësia e funksionimit të sistemit në teorinë e radhës nuk kuptohet si sa mirë është kryer shërbimi, por sa i ngarkuar plotësisht është sistemi i shërbimit, nëse kanalet e shërbimit janë të papunë, nëse është krijuar një radhë.

Në aktivitetet tregtare, aplikacionet që hyjnë në sistemin e radhës bëjnë gjithashtu pretendime të larta për cilësinë e shërbimit në tërësi, e cila përfshin jo vetëm një listë karakteristikash që janë zhvilluar historikisht dhe konsiderohen drejtpërdrejt në teorinë e radhës, por edhe karakteristika shtesë që janë specifike për specifikat e aktivitetit tregtar, në veçanti procedurat individuale të mirëmbajtjes, kërkesat për të cilat janë rritur shumë deri tani. Në këtë drejtim, është gjithashtu e nevojshme të merren parasysh treguesit e aktivitetit tregtar.

Puna e sistemit të shërbimit karakterizohet nga tregues të tillë. Ashtu si koha e pritjes së shërbimit, gjatësia e radhës, mundësia e refuzimit të shërbimit, mundësia e ndërprerjes së kanalit të shërbimit, kostoja e shërbimit dhe përfundimisht kënaqësia me cilësinë e shërbimit, e cila përfshin edhe performancën e biznesit. Për të përmirësuar cilësinë e sistemit të shërbimit, është e nevojshme të përcaktohet se si të shpërndahen aplikacionet hyrëse ndërmjet kanaleve të shërbimit, sa kanale shërbimi duhet të keni, si të organizoni ose gruponi kanalet e shërbimit ose pajisjet e shërbimit për të përmirësuar performancën e biznesit. Për të zgjidhur këto probleme, ekziston një metodë efektive modelimi që përfshin dhe kombinon arritjet e shkencave të ndryshme, përfshirë matematikën.

1.2 Modelimi i sistemeve të radhës

Kalimet e QS nga një gjendje në tjetrën ndodhin nën ndikimin e ngjarjeve të përcaktuara mirë - marrja e aplikacioneve dhe shërbimi i tyre. Sekuenca e shfaqjes së ngjarjeve që pasojnë njëra pas tjetrës në momente të rastësishme kohore formon të ashtuquajturën rrjedhë të ngjarjeve. Shembuj të flukseve të tilla në aktivitetet tregtare janë flukset e natyrave të ndryshme - mallra, para, dokumente, transport, klientë, klientë, telefonata, negociata. Sjellja e sistemit zakonisht përcaktohet jo nga një, por nga disa rrjedha ngjarjesh në të njëjtën kohë. Për shembull, shërbimi ndaj klientit në një dyqan përcaktohet nga fluksi i klientit dhe fluksi i shërbimit; në këto flukse momentet e paraqitjes së blerësve, koha e kaluar në radhë dhe koha e shpenzuar për shërbimin e secilit blerës janë të rastësishme.

Në këtë rast, tipari kryesor karakteristik i rrjedhave është shpërndarja probabiliste e kohës ndërmjet ngjarjeve fqinje. Ka rrjedha të ndryshme që ndryshojnë në karakteristikat e tyre.

Një rrjedhë ngjarjesh quhet e rregullt nëse ngjarjet në të pasojnë njëra pas tjetrës në intervale kohore të paracaktuara dhe të përcaktuara rreptësisht. Një rrjedhë e tillë është ideale dhe është shumë e rrallë në praktikë. Më shpesh ka rrjedha të parregullta që nuk kanë vetinë e rregullsisë.

Një rrjedhë ngjarjesh quhet e palëvizshme nëse probabiliteti i një numri ngjarjesh që bien në një interval kohor varet vetëm nga gjatësia e këtij intervali dhe nuk varet nga sa larg është ky interval nga fillimi i kohës. Stacionariteti i një rrjedhe do të thotë që karakteristikat e tij probabilistike janë të pavarura nga koha, në veçanti, intensiteti i një rrjedhe të tillë është numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës dhe mbetet konstant. Në praktikë, rrjedhat zakonisht mund të konsiderohen të palëvizshme vetëm për një interval të caktuar kohor të kufizuar. Në mënyrë tipike, fluksi i klientëve, për shembull, në një dyqan ndryshon ndjeshëm gjatë ditës së punës. Megjithatë, është e mundur të veçohen intervale të caktuara kohore brenda të cilave kjo rrjedhë mund të konsiderohet si e palëvizshme, me një intensitet konstant.

Një rrjedhë ngjarjesh quhet një rrjedhë pa pasoja nëse numri i ngjarjeve që bien në një nga intervalet kohore të zgjedhura në mënyrë arbitrare nuk varet nga numri i ngjarjeve që bien në një interval tjetër, gjithashtu të zgjedhur në mënyrë arbitrare, me kusht që këto intervale të mos kryqëzohen. . Në një rrjedhë pa pasoja, ngjarjet shfaqen në kohë të njëpasnjëshme të pavarura nga njëra-tjetra. Për shembull, fluksi i klientëve që hyjnë në një dyqan mund të konsiderohet një fluks pa pasoja, sepse arsyet që çuan në ardhjen e secilit prej tyre nuk lidhen me arsye të ngjashme për klientët e tjerë.

Një rrjedhë ngjarjesh quhet e zakonshme nëse probabiliteti për të goditur dy ose më shumë ngjarje në të njëjtën kohë për një periudhë shumë të shkurtër kohore është i papërfillshëm në krahasim me probabilitetin për të goditur vetëm një ngjarje. Në një rrjedhë të zakonshme, ngjarjet ndodhin një nga një, në vend se dy ose më shumë herë. Nëse një rrjedhë posedon njëkohësisht vetitë e stacionaritetit, normalitetit dhe mungesës së një pasoje, atëherë një rrjedhë e tillë quhet rrjedha më e thjeshtë (ose Poisson) e ngjarjeve. Përshkrimi matematikor i ndikimit të një rrjedhe të tillë në sisteme është më i thjeshti. Prandaj, në veçanti, rrjedha më e thjeshtë luan një rol të veçantë midis flukseve të tjera ekzistuese.

Konsideroni një interval kohor t në boshtin kohor. Le të supozojmë se probabiliteti që një ngjarje e rastësishme të bjerë në këtë interval është p, dhe numri i përgjithshëm i ngjarjeve të mundshme është n. Në prani të vetive të një rrjedhe të zakonshme ngjarjesh, probabiliteti p duhet të jetë një vlerë mjaft e vogël, dhe π një numër mjaftueshëm i madh, pasi konsiderohen dukuritë masive. Në këto kushte, për të llogaritur probabilitetin e goditjes së një numri të caktuar ngjarjesh t në një interval kohor t, mund të përdorni formulën Poisson:

P m, n = një m_e-a; (m=0,n),

ku vlera a = pr është numri mesatar i ngjarjeve që bien në intervalin kohor t, i cili mund të përcaktohet përmes intensitetit të rrjedhës së ngjarjeve X si më poshtë: a= λ τ

Dimensioni i intensitetit të rrjedhës X është numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës. Midis p dhe λ, p dhe τ ekziston marrëdhënia e mëposhtme:

ku t është e gjithë periudha kohore në të cilën merret parasysh veprimi i rrjedhës së ngjarjeve.

Është e nevojshme të përcaktohet shpërndarja e intervalit kohor T ndërmjet ngjarjeve në një rrjedhë të tillë. Meqenëse kjo është një ndryshore e rastësishme, le të gjejmë funksionin e saj të shpërndarjes. Siç dihet nga teoria e probabilitetit, funksioni i shpërndarjes integrale F(t) është probabiliteti që vlera T të jetë më e vogël se koha t.

Sipas kushtit, asnjë ngjarje nuk duhet të ndodhë gjatë kohës T, dhe të paktën një ngjarje duhet të shfaqet në intervalin kohor t. Ky probabilitet llogaritet duke përdorur probabilitetin e ngjarjes së kundërt në intervalin kohor (0; t), ku nuk ka rënë asnjë ngjarje, d.m.th. m=0, atëherë

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

Për ∆t të vogla, mund të merret një formulë e përafërt e përftuar duke zëvendësuar funksionin e - Xt me vetëm dy terma të zgjerimit në një seri në fuqi prej ∆t, atëherë probabiliteti që të paktën një ngjarje të bjerë në një interval të vogël kohor ∆t. t eshte

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Dendësia e shpërndarjes së intervalit kohor midis dy ngjarjeve të njëpasnjëshme merret duke diferencuar F(t) në lidhje me kohën,

f(t)= λe- λ t ,t≥0

Duke përdorur funksionin e përftuar të densitetit të shpërndarjes, mund të merren karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme T: pritshmëria matematikore M (T), varianca D(T) dhe devijimi standard σ(T).

М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/λ2; σ(T)=1/ λ .

Nga kjo mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: intervali mesatar kohor T ndërmjet çdo dy ngjarjesh fqinje në rrjedhën më të thjeshtë është mesatarisht 1/λ, dhe devijimi standard i tij është gjithashtu 1/λ, λ ku, është intensiteti i rrjedhës, d.m.th. numri mesatar i ngjarjeve që ndodhin për njësi të kohës. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme me veti të tilla M(T) = T quhet eksponencial (ose eksponencial), dhe vlera λ është një parametër i këtij ligji eksponencial. Kështu, për rrjedhën më të thjeshtë, pritshmëria matematikore e intervalit kohor ndërmjet ngjarjeve fqinje është e barabartë me devijimin standard të tij. Në këtë rast, probabiliteti që numri i kërkesave që vijnë për servisim në një interval kohor t të jetë i barabartë me k përcaktohet nga ligji Poisson:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t ,

ku λ është intensiteti i rrjedhës së kërkesave, numri mesatar i ngjarjeve në QS për njësi të kohës, për shembull [persona / min; fshij/orë; kontrolle/orë; dokumente/ditë; kg/orë; ton/vit].

Për një rrjedhë të tillë aplikimesh, koha midis dy aplikacioneve fqinje T shpërndahet në mënyrë eksponenciale me një densitet probabiliteti:

ƒ(t)= λe - λt .

Koha e rastësishme e pritjes në radhën e fillimit të shërbimit mund të konsiderohet gjithashtu e shpërndarë në mënyrë eksponenciale:

ƒ (t och)=V*e - v t och,

ku v është intensiteti i rrjedhës së kalimit në radhë, i përcaktuar nga numri mesatar i aplikacioneve që kalojnë për shërbim për njësi të kohës:

ku T och - koha mesatare e pritjes për shërbim në radhë.

Rrjedha e daljes së kërkesave shoqërohet me fluksin e shërbimit në kanal, ku kohëzgjatja e shërbimit t obs është gjithashtu një variabël e rastësishme dhe në shumë raste i bindet një ligji të shpërndarjes eksponenciale me një densitet probabiliteti:

ƒ(t obs)=µ*e µ t obs,

ku µ është intensiteti i fluksit të shërbimit, d.m.th. numri mesatar i kërkesave të kryera për njësi të kohës:

μ=1/ t obs [person/min; fshij/orë; kontrolle/orë; dokumente/ditë; kg/orë; ton/vit],

ku t obs është koha mesatare për servisimin e aplikacioneve.

Një karakteristikë e rëndësishme e QS, e cila kombinon treguesit λ dhe µ, është intensiteti i ngarkesës: ρ= λ/µ, i cili tregon shkallën e koordinimit të flukseve hyrëse dhe dalëse të kërkesave të kanalit të shërbimit dhe përcakton qëndrueshmërinë e sistemi i radhës.

Përveç konceptit të rrjedhës më të thjeshtë të ngjarjeve, shpesh është e nevojshme të përdoren konceptet e flukseve të llojeve të tjera. Një rrjedhë ngjarjesh quhet rrymë Palm kur në këtë rrymë intervalet kohore ndërmjet ngjarjeve të njëpasnjëshme T 1 , T 2 , ..., T k ..., T n janë variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara në mënyrë të barabartë, por ndryshe nga më të thjeshtat. rrymë, ato nuk shpërndahen domosdoshmërisht sipas ligjit eksponencial. Rrjedha më e thjeshtë është një rast i veçantë i rrjedhës së Palmës.

Një rast i rëndësishëm i veçantë i përroit të Palmës është i ashtuquajturi përroi Erlang.

Ky rrjedhë fitohet duke “rralluar” rrjedhën më të thjeshtë. Një "rrallim" i tillë kryhet duke zgjedhur ngjarje nga një rrjedhë e thjeshtë sipas një rregulli të caktuar.

Për shembull, nëse pranojmë të marrim parasysh vetëm çdo ngjarje të dytë nga elementët e rrjedhës më të thjeshtë, marrim një rrjedhë Erlang të rendit të dytë. Nëse marrim vetëm çdo ngjarje të tretë, atëherë formohet një rrjedhë Erlang e rendit të tretë, e kështu me radhë.

Është e mundur të merren rryma Erlang të çdo rendit k-të. Natyrisht, rrjedha më e thjeshtë është rrjedha Erlang e rendit të parë.

Çdo studim i një sistemi të radhës fillon me një studim të asaj që duhet të shërbehet, dhe për rrjedhojë me një ekzaminim të rrymës hyrëse të klientëve dhe karakteristikave të tij.

Meqenëse momentet e kohës t dhe intervalet kohore të marrjes së aplikacioneve τ, atëherë kohëzgjatja e operacioneve të shërbimit t obs dhe koha e pritjes në radhë, si dhe gjatësia e radhës l och janë variabla të rastësishme, atëherë, prandaj, Karakteristikat e gjendjes QS janë të një natyre probabilistike dhe për përshkrimin e tyre vijojnë të aplikohen metoda dhe modele të teorisë së radhës.

Karakteristikat k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k të listuara më sipër janë më të zakonshmet për QS, të cilat zakonisht janë vetëm një pjesë e funksionit objektiv, pasi është gjithashtu e nevojshme. për të marrë parasysh treguesit e aktivitetit tregtar.

1.3 Grafikët e gjendjes QS

Kur analizohen procese të rastësishme me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme, është e përshtatshme të përdoret një variant i një paraqitjeje skematike të gjendjeve të mundshme të CMO (Fig. 6.2.1) në formën e një grafiku me një shënim të gjendjeve të mundshme fikse. Gjendjet QS zakonisht përshkruhen ose me drejtkëndësha ose rrathë, dhe drejtimet e mundshme të kalimit nga një gjendje në tjetrën orientohen nga shigjetat që lidhin këto gjendje. Për shembull, grafiku i etiketuar i gjendjes së një sistemi me një kanal të një procesi shërbimi të rastësishëm në një stendë gazetash është paraqitur në Fig. 1.3.

Oriz. 1.3. Grafiku i gjendjes së etiketuar QS

Sistemi mund të jetë në një nga tre gjendjet: S 0 - kanali është i lirë, i papunë, S 1 - kanali është i zënë me servisim, S 2 - kanali është i zënë me servisim dhe një aplikacion është në radhë. Kalimi i sistemit nga gjendja S 0 në S l ndodh nën ndikimin e rrjedhës më të thjeshtë të kërkesave me intensitet λ 01, dhe nga gjendja S l në gjendjen S 0 sistemi transferohet nga një fluks shërbimi me intensitet λ 01 . Grafiku i gjendjes së një sistemi në radhë me intensitet të rrjedhës të vendosura në shigjeta quhet i etiketuar. Meqenëse qëndrimi i sistemit në një gjendje ose në një tjetër ka natyrë probabiliste, probabiliteti: p i (t) që sistemi të jetë në gjendjen S i në kohën t quhet probabilitet i gjendjes së i-të të QS dhe përcaktohet nga numri i kërkesave k të pranuara për shërbim.

Një proces i rastësishëm që ndodh në sistem konsiston në faktin se në kohë të rastësishme t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n sistemi është në një ose një tjetër gjendje diskrete të njohur më parë në mënyrë sekuenciale. Të tillë. Një sekuencë e rastësishme ngjarjesh quhet zinxhir Markov nëse, për çdo hap, probabiliteti i kalimit nga një gjendje S t në çdo Sj tjetër nuk varet nga kur dhe si sistemi kaloi në gjendjen S t. Zinxhiri Markov përshkruhet duke përdorur probabilitetin e gjendjeve, dhe ato formojnë një grup të plotë ngjarjesh, kështu që shuma e tyre është e barabartë me një. Nëse probabiliteti i kalimit nuk varet nga numri k, atëherë zinxhiri Markov quhet homogjen. Duke ditur gjendjen fillestare të sistemit të radhës, mund të gjenden probabilitetet e gjendjeve për çdo vlerë të k-numrit të kërkesave të marra për shërbim.

1.4 Proceset stokastike

Kalimi i QS nga një gjendje në tjetrën ndodh rastësisht dhe është një proces i rastësishëm. Puna e QS është një proces i rastësishëm me gjendje diskrete, pasi gjendjet e tij të mundshme në kohë mund të renditen paraprakisht. Për më tepër, kalimi nga një gjendje në tjetrën ndodh papritur, në kohë të rastësishme, prandaj quhet proces me kohë të vazhdueshme. Kështu, puna e QS është një proces i rastësishëm me gjendje diskrete dhe të vazhdueshëm; koha. Për shembull, në procesin e shërbimit të blerësve me shumicë në kompaninë Kristall në Moskë, është e mundur të rregullohen paraprakisht të gjitha gjendjet e mundshme të protozoarëve. CMO që përfshihen në të gjithë ciklin e shërbimeve tregtare që nga momenti i lidhjes së marrëveshjes për furnizimin e pijeve alkoolike, pagesën për të, dokumentacionin, lëshimin dhe marrjen e produkteve, ngarkimin shtesë dhe largimin nga magazina e produkteve të gatshme.

Nga shumë lloje të proceseve të rastësishme, më të përhapurit në veprimtarinë tregtare janë ato procese për të cilat në çdo moment në kohë karakteristikat e procesit në të ardhmen varen vetëm nga gjendja e tij për momentin dhe nuk varen nga parahistoria - nga e kaluara. . Për shembull, mundësia e marrjes së pijeve alkoolike nga uzina Kristall varet nga disponueshmëria e saj në depon e produktit të përfunduar, d.m.th. gjendja e tij për momentin, dhe nuk varet nga kur dhe si blerësit e tjerë i kanë marrë dhe i kanë marrë këto produkte në të kaluarën.

Procese të tilla të rastësishme quhen procese pa pasoja, ose procese Markov, në të cilat, me një të tashme fikse, gjendja e ardhshme e QS nuk varet nga e kaluara. Një proces i rastësishëm që ekzekutohet në një sistem quhet një proces i rastësishëm Markov, ose një "proces pa pasoja" nëse ka vetinë e mëposhtme: për çdo herë t 0, probabiliteti i çdo gjendjeje t > t 0 të sistemit S i , - në të ardhmen (t>t Q ) varet vetëm nga gjendja e tij në të tashmen (në t = t 0) dhe nuk varet se kur dhe si ka ardhur sistemi në këtë gjendje, d.m.th. për shkak të zhvillimit të procesit në të kaluarën.

Proceset stokastike Markov ndahen në dy klasa: procese me gjendje diskrete dhe të vazhdueshme. Një proces me gjendje diskrete lind në sisteme që kanë vetëm disa gjendje fikse, ndërmjet të cilave kalimet e kalimit janë të mundshme në disa momente të panjohura paraprakisht. Shqyrtoni një shembull të një procesi me gjendje diskrete. Në zyrën e firmës ka dy telefona. Gjendjet e mëposhtme janë të mundshme për këtë sistem shërbimi: S o - telefonat janë falas; S l - një nga telefonat është i zënë; S 2 - të dy telefonat janë të zënë.

Procesi që ndodh në këtë sistem është se sistemi kërcen rastësisht nga një gjendje diskrete në tjetrën.

Proceset me gjendje të vazhdueshme karakterizohen nga një kalim i vazhdueshëm i qetë nga një gjendje në tjetrën. Këto procese janë më tipike për pajisjet teknike sesa për objektet ekonomike, ku zakonisht vetëm përafërsisht mund të flitet për vazhdimësinë e procesit (për shembull, konsumi i vazhdueshëm i një stoku mallrash), ndërsa në fakt procesi ka gjithmonë një karakter diskret. . Prandaj, më poshtë do të shqyrtojmë vetëm proceset me gjendje diskrete.

Proceset e rastësishme Markov me gjendje diskrete, nga ana tjetër, ndahen në procese me kohë diskrete dhe procese me kohë të vazhdueshme. Në rastin e parë, kalimet nga një gjendje në tjetrën ndodhin vetëm në momente të caktuara, të paracaktuara kohore, ndërsa në intervalet ndërmjet këtyre momenteve sistemi ruan gjendjen e tij. Në rastin e dytë, kalimi i sistemit nga gjendja në gjendje mund të ndodhë në çdo kohë të rastësishme.

Në praktikë, proceset me kohë të vazhdueshme janë shumë më të zakonshme, pasi kalimet e sistemit nga një gjendje në tjetrën zakonisht ndodhin jo në një kohë të caktuar, por në çdo kohë të rastësishme.

Për të përshkruar proceset me kohë të vazhdueshme, përdoret një model në formën e të ashtuquajturit zinxhir Markov me gjendje diskrete të sistemit, ose një zinxhir të vazhdueshëm Markov.

Kapitulli II . Ekuacionet që përshkruajnë sistemet e radhës

2.1 Ekuacionet Kolmogorov

Konsideroni një përshkrim matematikor të një procesi të rastësishëm Markov me gjendje diskrete të sistemit S o , S l , S 2 (shih Fig. 6.2.1) dhe kohë të vazhdueshme. Ne besojmë se të gjitha kalimet e sistemit të radhës nga gjendja S i në gjendjen Sj ndodhin nën ndikimin e rrjedhave më të thjeshta të ngjarjeve me intensitet λ ij , dhe kalimi i kundërt nën ndikimin e një rrjedhe tjetër λ ij ,. Ne e prezantojmë shënimin p i si probabilitet që në momentin t sistemi të jetë në gjendjen S i. Për çdo moment të kohës t, është e drejtë të shënohet kushti i normalizimit - shuma e probabiliteteve të të gjitha gjendjeve është e barabartë me 1:

Σp i (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1

Le të analizojmë sistemin në kohën t, duke vendosur një rritje të vogël kohore Δt, dhe të gjejmë probabilitetin p 1 (t + Δt) që sistemi në kohën (t + Δt) të jetë në gjendjen S 1, e cila arrihet me opsione të ndryshme. :

a) sistemi në momentin t me probabilitet p 1 (t) ishte në gjendjen S 1 dhe për një kohë të vogël rritja Δt nuk kaloi kurrë në një shtet tjetër fqinj - as në S 0 as bS 2 . Sistemi mund të nxirret nga gjendja S 1 me një rrjedhje të thjeshtë totale me intensitet (λ 10 + λ 12), pasi mbivendosja e rrjedhave më të thjeshta është edhe rrjedha më e thjeshtë. Mbi këtë bazë, probabiliteti i daljes nga gjendja S 1 në një periudhë të shkurtër kohore Δt është afërsisht i barabartë me (λ 10 +λ 12)* Δt. Atëherë probabiliteti për të mos dalë nga kjo gjendje është i barabartë me . Prandaj, probabiliteti që sistemi të mbetet në gjendjen Si, bazuar në teoremën e shumëzimit të probabilitetit, është i barabartë me:

p 1 (t);

b) sistemi ishte në gjendje fqinje S o dhe në një kohë të shkurtër Δt kaloi në gjendje S o Kalimi i sistemit ndodh nën ndikimin e rrjedhës λ 01 me një probabilitet afërsisht të barabartë me λ 01 Δt.

Probabiliteti që sistemi të jetë në gjendjen S 1 në këtë rast është i barabartë me p o (t)λ 01 Δt;

c) sistemi ishte në gjendjen S 2 dhe gjatë kohës Δt kaloi në gjendjen S 1 nën ndikimin e një rrjedhje me intensitet λ 21 me një probabilitet afërsisht të barabartë me λ 21 Δt. Probabiliteti që sistemi të jetë në gjendjen S 1 është i barabartë me p 2 (t) λ 21 Δt.

Duke zbatuar teoremën e shtimit të probabilitetit për këto opsione, marrim shprehjen:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

që mund të shkruhet ndryshe:

p 2 (t + Δt) -p 1 (t) / Δt \u003d p o (t) λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12) .

Duke kaluar në kufirin në Δt-> 0, barazitë e përafërta kthehen në ato të sakta dhe më pas marrim derivatin e rendit të parë

dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12),

që është një ekuacion diferencial.

Duke kryer arsyetimin në mënyrë të ngjashme për të gjitha gjendjet e tjera të sistemit, marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, të cilat quhen A.N. Kolmogorov:

dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 + λ 12) ,

dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21 .

Ekzistojnë rregulla të përgjithshme për përpilimin e ekuacioneve Kolmogorov.

Ekuacionet Kolmogorov bëjnë të mundur llogaritjen e të gjitha probabiliteteve të gjendjeve të QS S i në funksion të kohës p i (t). Në teorinë e proceseve të rastësishme, tregohet se nëse numri i gjendjeve të sistemit është i fundëm, dhe nga secila prej tyre është e mundur të kalohet në ndonjë gjendje tjetër, atëherë ekzistojnë probabilitete kufizuese (përfundimtare) të gjendjeve që tregojnë vlera mesatare relative e kohës që kalon sistemi në këtë gjendje. Nëse probabiliteti margjinal i gjendjes S 0 është i barabartë me p 0 = 0,2, atëherë, pra, mesatarisht 20% të kohës, ose 1/5 e kohës së punës, sistemi është në gjendjen S o. Për shembull, në mungesë të kërkesave për shërbime k = 0, p 0 = 0.2,; prandaj, mesatarisht 2 orë në ditë, sistemi është në gjendje S o dhe është i papunë nëse dita e punës është 10 orë.

Meqenëse probabilitetet kufizuese të sistemit janë konstante, duke zëvendësuar derivatet përkatëse në ekuacionet Kolmogorov me vlera zero, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që përshkruajnë mënyrën e palëvizshme të QS. Një sistem i tillë ekuacionesh përpilohet sipas grafikut të etiketuar të gjendjeve QS sipas rregullave të mëposhtme: në të majtë të shenjës së barabartë në ekuacion është probabiliteti kufizues p i i gjendjes së konsideruar Si shumëzuar me intensitetin total të të gjitha rrjedhave që dalje (shigjeta dalëse) e gjendjes së dhënë S i në sistem, dhe në të djathtë të shenjës së barabartë - shuma e produkteve të intensitetit të të gjitha flukseve që hyjnë (shigjetat hyrëse) në gjendjen e Sisistemit me probabilitetin e ato gjendje nga të cilat burojnë këto flukse. Për të zgjidhur një sistem të tillë, është e nevojshme të shtoni një ekuacion tjetër që përcakton gjendjen e normalizimit, pasi shuma e probabiliteteve të të gjitha gjendjeve QS është 1: n

Për shembull, për një QS që ka një grafik të etiketuar me tre gjendje S o , S 1 , S 2 fig. 6.2.1, sistemi i ekuacioneve Kolmogorov, i përpiluar në bazë të rregullit të deklaruar, ka formën e mëposhtme:

Për gjendjen S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

Për gjendjen S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

Për gjendjen S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p0 +p1 +p2 =1

dp 4 (t) / dt \u003d λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t),

p 1 (t) + p 2 (t) + p 3 (t) + p 4 (t) = 1 .

Këtyre ekuacioneve duhet t'u shtojmë më shumë kushte fillestare. Për shembull, nëse në t = 0 sistemi S është në gjendjen S 1, atëherë kushtet fillestare mund të shkruhen si më poshtë:

p 1 (0) = 1, p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0 .

Kalimet ndërmjet gjendjeve të QS ndodhin nën ndikimin e marrjes së aplikacioneve dhe shërbimit të tyre. Probabiliteti i kalimit në rastin kur rrjedha e ngjarjeve është më e thjeshta përcaktohet nga probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje gjatë kohës Δt, d.m.th. vlera e elementit të probabilitetit të kalimit λ ij Δt, ku λ ij është intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve që transferojnë sistemin nga gjendja i në gjendjen i (përgjatë shigjetës përkatëse në grafikun e gjendjes).

Nëse të gjitha rrjedhat e ngjarjeve që transferojnë sistemin nga një gjendje në tjetrën janë më të thjeshtat, atëherë procesi që ndodh në sistem do të jetë një proces i rastësishëm Markov, d.m.th. proces pa pasoja. Në këtë rast, sjellja e sistemit është mjaft e thjeshtë, përcaktohet nëse dihet intensiteti i të gjitha këtyre rrjedhave të thjeshta të ngjarjeve. Për shembull, nëse në sistem ndodh një proces stokastik Markov me kohë të vazhdueshme, atëherë, pasi kemi shkruar sistemin Kolmogorov të ekuacioneve për probabilitetet e gjendjes dhe duke e integruar këtë sistem në kushte fillestare të dhëna, marrim të gjitha probabilitetet e gjendjes në funksion të kohës:

p i (t), p 2 (t),…., p n (t) .

Në shumë raste, në praktikë, rezulton se probabilitetet e gjendjeve në funksion të kohës sillen në atë mënyrë që të ketë

lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n) ; t→∞

pavarësisht nga lloji i kushteve fillestare. Në këtë rast, ata thonë se ekzistojnë probabilitete kufizuese të gjendjeve të sistemit në t->∞ dhe në sistem vendoset një mënyrë stacionare kufizuese. Në këtë rast, sistemi ndryshon rastësisht gjendjet e tij, por secila prej këtyre gjendjeve kryhet me një probabilitet të caktuar konstant, të përcaktuar nga koha mesatare që kalon sistemi në secilën prej gjendjeve.

Është e mundur të llogariten probabilitetet kufizuese të gjendjes p i nëse të gjithë derivatet në sistem vendosen të barabartë me 0, pasi në ekuacionet Kolmogorov në t-> ∞ varësia nga koha zhduket. Më pas sistemi i ekuacioneve diferenciale kthehet në një sistem ekuacionesh algjebrike lineare të zakonshme, i cili, së bashku me kushtin e normalizimit, bën të mundur llogaritjen e të gjitha probabiliteteve kufizuese të gjendjeve.

2.2 Proceset e "lindje-vdekjes"

Ndër proceset homogjene Markov, ekziston një klasë e proceseve të rastësishme që përdoren gjerësisht në ndërtimin e modeleve matematikore në fushat e demografisë, biologjisë, mjekësisë (epidemiologjisë), ekonomisë dhe aktiviteteve tregtare. Këto janë të ashtuquajturat procese "lindje-vdekje", përpunon Markov me grafikët e gjendjes stokastike të formës së mëposhtme:

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Oriz. 2.1 Grafiku i etiketuar i procesit lindje-vdekje

Ky grafik riprodhon një interpretim të njohur biologjik: vlera λ k pasqyron intensitetin e lindjes së një përfaqësuesi të ri të një popullate të caktuar, për shembull, lepujt, dhe madhësia aktuale e popullsisë është k; vlera e μ është intensiteti i vdekjes (shitjes) të një përfaqësuesi të kësaj popullate, nëse vëllimi aktual i popullsisë është i barabartë me k. Në veçanti, popullsia mund të jetë e pakufizuar (numri n i gjendjeve të procesit Markov është i pafund, por i numërueshëm), intensiteti λ mund të jetë i barabartë me zero (një popullsi pa mundësi rilindjeje), për shembull, kur riprodhimi i lepujt ndalon.

Për procesin Markov të "lindje - vdekje", përshkruar nga grafiku stokastik i paraqitur në Fig. 2.1, gjejmë shpërndarjen përfundimtare. Duke përdorur rregullat për përpilimin e ekuacioneve për një numër të fundëm n të probabiliteteve kufizuese të gjendjes së sistemit S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n , ne hartojmë ekuacionet përkatëse për secilën gjendje:

për gjendjen S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;

për gjendjen S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , e cila, duke marrë parasysh ekuacionin e mëparshëm për gjendjen S 0, mund të shndërrohet në formën λ 1 p 1 = μ 1 p 2 .

Në mënyrë të ngjashme, mund të hartohen ekuacione për gjendjet e mbetura të sistemit S 2 , S 3 ,…, S k ,…, S n . Si rezultat, marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

Duke zgjidhur këtë sistem ekuacionesh, mund të merren shprehje që përcaktojnë gjendjet përfundimtare të sistemit të radhës:

Duhet theksuar se formulat për përcaktimin e probabiliteteve përfundimtare të gjendjeve p 1 , p 2 , p 3 ,…, p n përfshijnë terma që janë pjesë përbërëse e shumës së shprehjes që përcakton p 0 . Numëruesit e këtyre termave përmbajnë prodhimet e të gjitha intensiteteve në shigjetat e grafikut të gjendjes që çon nga e majta në të djathtë në gjendjen e konsideruar S k, dhe emëruesit janë prodhimet e të gjitha intensiteteve që qëndrojnë në shigjetat që çojnë nga e djathta në të majtë në konsiderohet gjendja S k, d.m.th. μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 ,… μ k . Në këtë drejtim, ne i shkruajmë këto modele në një formë më kompakte:

k=1,n

2.3 Formulimi ekonomik dhe matematikor i problemave të radhës

Formulimi i saktë ose më i suksesshëm ekonomik dhe matematikor i problemit përcakton kryesisht dobinë e rekomandimeve për përmirësimin e sistemeve të radhës në aktivitetet tregtare.

Në këtë drejtim, është e nevojshme të monitorohet me kujdes procesi në sistem, të kërkohen dhe identifikohen lidhje të rëndësishme, të formulohet një problem, të identifikohet një qëllim, të përcaktohen treguesit dhe të identifikohen kriteret ekonomike për vlerësimin e punës së QS. Në këtë rast, treguesi më i përgjithshëm, më integral mund të jenë kostot, nga njëra anë, të QS të aktivitetit tregtar si sistem shërbimi dhe nga ana tjetër, kostot e aplikacioneve, të cilat mund të kenë natyrë fizike të ndryshme.

K. Marksi përfundimisht e konsideroi rritjen e efikasitetit në çdo fushë veprimtarie si kursim kohe dhe e pa këtë si një nga ligjet më të rëndësishme ekonomike. Ai shkroi se ekonomia e kohës, si dhe shpërndarja e planifikuar e kohës së punës midis degëve të ndryshme të prodhimit, mbetet ligji i parë ekonomik i bazuar në prodhimin kolektiv. Ky ligj manifestohet në të gjitha sferat e veprimtarisë shoqërore.

Për mallrat, përfshirë paratë që rrjedhin në sferën tregtare, kriteri i efikasitetit lidhet me kohën dhe shpejtësinë e qarkullimit të mallrave dhe përcakton intensitetin e fluksit të parasë në bankë. Koha dhe shpejtësia e qarkullimit, duke qenë tregues ekonomikë të aktivitetit tregtar, karakterizon efektivitetin e përdorimit të fondeve të investuara në inventar. Qarkullimi i inventarit pasqyron shkallën mesatare të realizimit të inventarit mesatar. Treguesit e qarkullimit të mallrave dhe niveleve të inventarit janë të lidhur ngushtë me modelet e njohura. Kështu, është e mundur të gjurmohet dhe të përcaktohet marrëdhënia e këtyre dhe treguesve të tjerë të veprimtarisë tregtare me karakteristikat kohore.

Rrjedhimisht, efikasiteti i një ndërmarrjeje ose organizate tregtare është shuma e kohës së shpenzuar për kryerjen e operacioneve individuale të shërbimit, ndërsa në të njëjtën kohë, për popullatën, kostot kohore përfshijnë kohën e udhëtimit, vizitën në një dyqan, mensë, kafene, restorant, pritje. për fillimin e shërbimit, njohjen me menunë, zgjedhjen e produkteve, llogaritjen, etj. Studimet e kryera për strukturën e kohës së shpenzuar nga popullata tregojnë se një pjesë e konsiderueshme e saj shpenzohet në mënyrë të paarsyeshme. Vini re se aktiviteti tregtar synon përfundimisht plotësimin e nevojave njerëzore. Prandaj, përpjekjet e modelimit të QS duhet të përfshijnë analizën e kohës për çdo operacion të shërbimit elementar. Me ndihmën e metodave të përshtatshme, duhet të krijohen modele të marrëdhënies së treguesve të QS. Kjo kërkon që treguesit ekonomikë më të zakonshëm dhe më të njohur, si qarkullimi, fitimi, kostot e shpërndarjes, rentabiliteti e të tjerë, të lidhen në modelet ekonomike dhe matematikore me një grup treguesish që shfaqen më tej, të përcaktuar nga specifikat e sistemeve të shërbimit dhe të prezantuara. nga specifikat e vetë teorisë së radhës.

Për shembull, tiparet e treguesve QS me dështime janë: koha e pritjes për aplikime në radhë T pt = 0, pasi nga natyra e saj në sisteme të tilla ekzistenca e një radhe është e pamundur, atëherë L pt = 0 dhe, për rrjedhojë, probabiliteti i formimit të tij P pt = 0. Sipas numrit të kërkesave k, mënyra e funksionimit të sistemit, gjendja e tij përcaktohen: me k=0 - kanale boshe, me 1. n - shërbimi dhe dështimi. Treguesit e një QS të tillë janë probabiliteti i refuzimit të shërbimit R otk, probabiliteti i shërbimit R obs, koha mesatare e ndërprerjes së kanalit t pr, numri mesatar i n s të zënë dhe kanaleve të lira n sv, shërbimi mesatar t obs, xhiroja absolute A.

Për një QS me pritje të pakufizuar, është tipike që probabiliteti i shërbimit të një kërkese P obs = 1, pasi gjatësia e radhës dhe koha e pritjes për fillimin e shërbimit nuk janë të kufizuara, d.m.th. formalisht L och →∞ dhe T och →∞. Mënyrat e mëposhtme të funksionimit janë të mundshme në sisteme: në k=0, ekziston një kanal i thjeshtë shërbimi, në 1 n - shërbim dhe radhë. Treguesit e një efikasiteti të tillë të një QS të tillë janë numri mesatar i aplikacioneve në radhë L och, numri mesatar i aplikacioneve në sistemin k, koha mesatare e qëndrimit të aplikacionit në sistemin T QS, xhiroja absolute A.

Në QS me pritje me një limit në gjatësinë e radhës, nëse numri i kërkesave në sistem është k=0, atëherë ekziston një kanal bosh, me 1. n + m - shërbim, radhë dhe refuzim në pritje të shërbimit. Treguesit e performancës së një QS të tillë janë probabiliteti i refuzimit të shërbimit P otk - probabiliteti i shërbimit P obs, numri mesatar i aplikacioneve në radhë L och, numri mesatar i aplikacioneve në sistemin L smo, koha mesatare e qëndrimit të aplikimi në sistemin T smo, xhiroja absolute A.

Kështu, lista e karakteristikave të sistemeve të radhës mund të përfaqësohet si më poshtë: koha mesatare e shërbimit - t obs; koha mesatare e pritjes në radhë - T och; qëndrimi mesatar në SMO - T smo; gjatësia mesatare e radhës - L och; numri mesatar i aplikimeve në CMO - L CMO; numri i kanaleve të shërbimit - n; intensiteti i fluksit hyrës të aplikacioneve - λ; intensiteti i shërbimit - μ; intensiteti i ngarkesës - ρ; faktori i ngarkesës - α; xhiros relative - Q; xhiros absolute - A; pjesa e kohës së papunë në QS-Р 0; pjesa e aplikacioneve të servisuara - R obs; përqindja e kërkesave të humbura - P otk, numri mesatar i kanaleve të zëna - n s; numri mesatar i kanaleve të lira - n St; faktori i ngarkesës së kanalit - K z; koha mesatare e boshtit të kanaleve - t pr.

Duhet të theksohet se ndonjëherë mjafton të përdoren deri në dhjetë tregues kyç për të identifikuar dobësitë dhe për të zhvilluar rekomandime për përmirësimin e QS.

Kjo shpesh shoqërohet me zgjidhjen e çështjeve të një zinxhiri të koordinuar pune ose grupesh QS.

Për shembull, në aktivitetet tregtare, është gjithashtu e nevojshme të merren parasysh treguesit ekonomikë të QS: kostot totale - C; kostot e qarkullimit - С io, kostot e konsumit - С ip, kostot për servisimin e një aplikacioni - С 1, humbjet që lidhen me nisjen e një aplikacioni - С у1, kostot e funksionimit të kanalit - С c, kostot e ndërprerjes së kanalit - С pr, investimet kapitale - C cap, kostot e reduktuara vjetore - C pr, kostot aktuale - C tech, të ardhurat e QS për njësi të kohës - D 1

Në procesin e përcaktimit të qëllimeve, është e nevojshme të zbulohen ndërlidhjet e treguesve të QS, të cilët, sipas përkatësisë së tyre themelore, mund të ndahen në dy grupe: i pari lidhet me kostot e trajtimit të C IO, të cilat përcaktohen nga numri i kanaleve të zëna nga mirëmbajtja e kanaleve, kostoja e mirëmbajtjes së QS, intensiteti i shërbimit, shkalla e ngarkimit të kanaleve, efikasiteti i tyre, përdorimi, xhiroja e QS, etj.; grupi i dytë i treguesve përcaktohet nga kostot e kërkesave aktuale C un, që hyjnë në shërbim, të cilat formojnë fluksin hyrës, ndjejnë efikasitetin e shërbimit dhe shoqërohen me tregues të tillë si gjatësia e radhës, koha e pritjes së shërbimit, probabiliteti e mohimit të shërbimit, koha e qëndrimit të aplikacionit në QS, etj.

Këto grupe treguesish janë kontradiktore në kuptimin që shoqërohet përmirësimi i performancës së një grupi, për shembull, zvogëlimi i gjatësisë së radhës ose koha e pritjes në radhë duke rritur numrin e kanaleve të shërbimit (kamerierë, kuzhinierë, ngarkues, arkëtarë). me një përkeqësim të performancës së grupit, pasi kjo mund të çojë në një rritje të kohës së ndërprerjes së kanaleve të shërbimit, kostos së mirëmbajtjes së tyre, etj. Në këtë drejtim, është krejt e natyrshme që të zyrtarizohen detyrat e shërbimit për të ndërtuar një QS në një mënyrë të tillë që të vendoset një kompromis i arsyeshëm midis treguesve të kërkesave aktuale dhe të plotësisë së përdorimit të aftësive të sistemit. Për këtë qëllim, është e nevojshme të zgjidhet një tregues i përgjithësuar, integral i efektivitetit të QS, i cili përfshin njëkohësisht pretendimet dhe aftësitë e të dy grupeve. Si tregues i tillë, mund të zgjidhet një kriter i efiçencës ekonomike, duke përfshirë si kostot e qarkullimit C io ashtu edhe kostot e aplikacioneve C ip, të cilat do të kenë një vlerë optimale me një minimum të kostove totale C. Mbi këtë bazë objektivi funksioni i problemit mund të shkruhet si më poshtë:

С= (С io + С ip) →min

Meqenëse kostot e qarkullimit përfshijnë kostot që lidhen me funksionimin e QS - C ex dhe kohën e ndërprerjes së kanaleve të shërbimit - C pr, dhe kostot e kërkesave përfshijnë humbjet që lidhen me nisjen e kërkesave të pashërbyera - C n, dhe me qëndrimin në radhë - C pt, atëherë funksioni objektiv mund të rishkruhet duke marrë parasysh këta tregues në mënyrën e mëposhtme:

C \u003d ((C pr n sv + C ex n h) + C och R obs λ (T och + t obs) + C nga R otk λ) → min.

Në varësi të grupit të detyrave, treguesit variabli, d.m.th., i menaxhueshëm mund të jenë: numri i kanaleve të shërbimit, organizimi i kanaleve të shërbimit (paralelisht, në mënyrë të njëpasnjëshme, në mënyrë të përzier), disiplina e radhës, përparësia në shërbimin e aplikacioneve, ndihma e ndërsjellë. ndërmjet kanaleve, etj. Disa nga treguesit në detyrë shfaqen si të pamenaxhuar, që zakonisht janë të dhënat burimore. Si kriter efikasiteti në funksionin objektiv, mund të ketë edhe qarkullim, fitim ose të ardhur, për shembull, rentabilitet, atëherë vlerat optimale të treguesve të menaxhuar QS janë padyshim tashmë në maksimizimin, si në versionin e mëparshëm.

Në disa raste, duhet të përdorni një opsion tjetër për të shkruar funksionin objektiv:

C \u003d (C ex n s + C pr (n-n s) + C otk * P otk *λ + C syst * n s ) → min

Si kriter i përgjithshëm, për shembull, mund të zgjidhet niveli i kulturës së shërbimit ndaj klientit në ndërmarrje, atëherë funksioni objektiv mund të përfaqësohet nga modeli i mëposhtëm:

K rreth \u003d [(Z pu * K y) + (Z pv * K c) + (Z pd * K d) + (Z pz * K z) + (Z nga * K 0) + (Z kt * K ct )]*K mp,

ku Z pu - rëndësia e treguesit të qëndrueshmërisë së gamës së mallrave;

K y - koeficienti i qëndrueshmërisë së asortimentit të mallrave;

Z pv - rëndësia e treguesit të futjes së metodave progresive të shitjes së mallrave;

K in - koeficienti i futjes së metodave progresive të shitjes së mallrave;

Zpd - rëndësia e treguesit të shërbimit shtesë;

K d - koeficienti i shërbimit shtesë;

Z pz - rëndësia e treguesit të përfundimit të blerjes;

K s - koeficienti i përfundimit të blerjes;

3 on - rëndësia e treguesit të kohës së kaluar në pritje në shërbim;

Rreth - një tregues i kohës së kaluar në pritje të shërbimit;

З kt - rëndësia e treguesit të cilësisë së punës së ekipit;

K kt - koeficienti i cilësisë së punës së ekipit;

K mp - një tregues i kulturës së shërbimit sipas mendimit të klientëve;

Për analizën e QS, ju mund të zgjidhni kritere të tjera për vlerësimin e efektivitetit të QS. Për shembull, si një kriter i tillë për sistemet me dështime, ju mund të zgjidhni probabilitetin e dështimit Р ref, vlera e të cilit nuk do të kalonte një vlerë të paracaktuar. Për shembull, kërkesa P otk<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

Pas ndërtimit të funksionit objektiv, është e nevojshme të përcaktohen kushtet për zgjidhjen e problemit, të gjenden kufizime, të vendosen vlerat fillestare të treguesve, të theksohen treguesit e pamenaxhuar, të ndërtohen ose të zgjidhen një grup modelesh të marrëdhënies së të gjithë treguesve për të analizuar. lloji i QS, për të gjetur në fund vlerat optimale të treguesve të kontrolluar, për shembull, numrin e kuzhinierëve, kamerierëve, arkëtarëve, ngarkuesve, vëllimeve të objekteve të magazinimit, etj.

Kapitulli III . Modelet e sistemeve të radhës

3.1 QS me një kanal me refuzim të shërbimit

Le të analizojmë një QS të thjeshtë me një kanal me refuzime shërbimi, i cili merr një fluks kërkesash Poisson me intensitet λ, dhe shërbimi ndodh nën veprimin e një fluksi Poisson me intensitet μ.

Funksionimi i një QS me një kanal n=1 mund të paraqitet si një grafik gjendjesh të etiketuar (3.1).

Kalimet e QS nga një gjendje S 0 në një tjetër S 1 ndodhin nën veprimin e një fluksi hyrës të kërkesave me intensitet λ, dhe kalimi i kundërt ndodh nën veprimin e një fluksi shërbimi me intensitet μ.

S 0 - kanali i shërbimit është falas; S 1 - kanali është i zënë me servisim;

Oriz. 3.1 Grafiku i gjendjes së etiketuar të një QS me një kanal

Le të shkruajmë sistemin e ekuacioneve diferenciale Kolmogorov për probabilitetet e gjendjes sipas rregullave të mësipërme:

Nga ku marrim ekuacionin diferencial për përcaktimin e probabilitetit p 0 (t) të gjendjes S 0:

Ky ekuacion mund të zgjidhet në kushtet fillestare me supozimin se sistemi në momentin t=0 ishte në gjendjen S 0 , pastaj р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.

Në këtë rast, zgjidhja e ekuacionit diferencial ju lejon të përcaktoni probabilitetin që kanali të jetë i lirë dhe jo i zënë me shërbim:

Atëherë nuk është e vështirë të merret një shprehje për probabilitetin e përcaktimit të probabilitetit që kanali të jetë i zënë:

Probabiliteti p 0 (t) zvogëlohet me kalimin e kohës dhe në kufi pasi t→∞ tenton në vlerën

dhe probabiliteti p 1 (t) në të njëjtën kohë rritet nga 0, duke u prirur në kufi si t→∞ në vlerë

Këta kufij probabiliteti mund të merren drejtpërdrejt nga ekuacionet e Kolmogorov nën kusht

Funksionet p 0 (t) dhe p 1 (t) përcaktojnë procesin kalimtar në një QS me një kanal dhe përshkruajnë procesin e përafrimit eksponencial të QS në gjendjen e tij kufi me një karakteristikë konstante kohore të sistemit në shqyrtim.

Me saktësi të mjaftueshme për praktikë, mund të supozojmë se procesi kalimtar në QS përfundon brenda një kohe të barabartë me 3τ.

Probabiliteti p 0 (t) përcakton qarkullimin relativ të QS, i cili përcakton proporcionin e kërkesave të shërbimit në lidhje me numrin total të kërkesave hyrëse, për njësi të kohës.

Në të vërtetë, p 0 (t) është probabiliteti që kërkesa e mbërritur në momentin t të pranohet për shërbim. Në total, λ kërkesat vijnë mesatarisht për njësi kohore, dhe λρ 0 kërkesa shërbehen prej tyre.

Pastaj pjesa e kërkesave të servisuara në raport me të gjithë rrjedhën e kërkesave përcaktohet nga vlera

Në kufirin në t→∞, pothuajse tashmë në t>3τ, vlera e kapacitetit relativ do të jetë e barabartë me

Produkti absolut, i cili përcakton numrin e kërkesave të shërbyera për njësi të kohës në kufirin në t→∞, është i barabartë me:

Prandaj, pjesa e aplikacioneve që u refuzuan është, në të njëjtat kushte kufizuese:

dhe numri i përgjithshëm i kërkesave të pashërbyera është i barabartë me

Shembuj të QS me një kanal me refuzim shërbimi janë: tavolina e porosive në dyqan, dhoma e kontrollit të një kompanie kamionësh, zyra e magazinës, zyra e menaxhimit të një shoqërie tregtare, me të cilën komunikohet me telefon.

3.2 QS shumëkanale me refuzim shërbimi

Në aktivitetet tregtare, shembuj të CMO-ve me shumë kanale janë zyrat e ndërmarrjeve tregtare me disa kanale telefonike, një shërbim referimi falas për disponueshmërinë e makinave më të lira në dyqanet e makinave në Moskë ka 7 numra telefoni, dhe, siç e dini, është shumë vështirë për të kaluar dhe për të marrë ndihmë.

Për rrjedhojë, dyqanet e automjeteve po humbasin klientët, mundësinë për të rritur numrin e makinave të shitura dhe të ardhurat nga shitjet, xhiron, fitimin.

Kompanitë turistike turistike kanë dy, tre, katër ose më shumë kanale, si Express-Line.

Konsideroni një QS shumëkanalësh me mohime të shërbimit në Fig. 3.2, i cili merr një fluks kërkesash Poisson me intensitet λ.

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Oriz. 3.2. Grafiku i etiketuar i gjendjes së një QS shumëkanalësh me dështime

Rrjedha e shërbimit në çdo kanal ka intensitet μ. Sipas numrit të aplikacioneve QS, përcaktohen gjendjet e tij S k, të paraqitura si një grafik i etiketuar:

S 0 - të gjitha kanalet janë të lira k=0,

S 1 - vetëm një kanal është i zënë, k=1,

S 2 - vetëm dy kanale janë të zëna, k=2,

S k – k kanalet janë të zëna,

S n – të gjitha n kanalet janë të zëna, k= n.

Gjendjet e një QS shumëkanalësh ndryshojnë papritur në kohë të rastësishme. Kalimi nga një gjendje, për shembull, S 0 në S 1, ndodh nën ndikimin e fluksit hyrës të kërkesave me intensitet λ, dhe anasjelltas - nën ndikimin e rrjedhës së kërkesave të shërbimit me intensitet μ. Për kalimin e sistemit nga gjendja S k në S k -1, nuk ka rëndësi se cili nga kanalet do të lëshohet, prandaj, rrjedha e ngjarjeve që transferon QS ka një intensitet kμ, prandaj, rrjedha e ngjarjeve. që transferon sistemin nga S n në S n -1 ka një intensitet nμ . Kështu është formuluar problemi klasik Erlang, i quajtur sipas inxhinierit dhe matematikanit danez që themeloi teorinë e radhës.

Një proces i rastësishëm që ndodh në një QS është një rast i veçantë i procesit "lindje-vdekje" dhe përshkruhet nga një sistem ekuacionesh diferenciale Erlang, të cilat lejojnë që dikush të marrë shprehje për probabilitetet kufizuese të gjendjes së sistemit në shqyrtim, të quajtura formulat e Erlang:

Pasi të kemi llogaritur të gjitha probabilitetet e gjendjeve të QS me n kanal me dështime р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,…, р n , mund të gjejmë karakteristikat e sistemit të shërbimit.

Probabiliteti i refuzimit të shërbimit përcaktohet nga probabiliteti që një kërkesë shërbimi hyrëse t'i gjejë të gjithë n kanalet të zënë, sistemi do të jetë në gjendjen S n:

k=n.

Në sistemet me dështime, dështimet dhe ngjarjet e mirëmbajtjes përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh, pra

R otk + R obs \u003d 1

Mbi këtë bazë, xhiroja relative përcaktohet nga formula

Q \u003d P obs \u003d 1-R otk \u003d 1-R n

Produkti absolut i QS mund të përcaktohet nga formula

Probabiliteti i shërbimit, ose proporcioni i kërkesave të shërbimit, përcakton xhiron relative të QS, i cili gjithashtu mund të përcaktohet nga një formulë tjetër:

Nga kjo shprehje, ju mund të përcaktoni numrin mesatar të aplikacioneve në shërbim, ose, çfarë është e njëjta, numrin mesatar të kanaleve të zëna nga shërbimi

Shkalla e zënies së kanaleve përcaktohet nga raporti i numrit mesatar të kanaleve të zëna me numrin e tyre total

Probabiliteti që kanalet të jenë të zënë me shërbimin, i cili merr parasysh kohën mesatare të zënë t të zënë dhe kohën e ndërprerjes t kanaleve pr, përcaktohet si më poshtë:

Nga kjo shprehje, mund të përcaktoni kohën mesatare të boshtit të kanaleve

Koha mesatare e qëndrimit të aplikacionit në sistem në gjendje të qëndrueshme përcaktohet nga formula e Little

T cmo \u003d n c / λ.

3.3 Modeli i një sistemi shërbimi turistik shumëfazor

Në jetën reale, sistemi i shërbimit turistik duket shumë më i ndërlikuar, ndaj është e nevojshme të detajohet deklarata e problemit, duke marrë parasysh kërkesat dhe kërkesat si të klientëve ashtu edhe të agjencive turistike.

Për të rritur efikasitetin e agjencisë së udhëtimit, është e nevojshme të modelohet sjellja e një klienti të mundshëm në tërësi nga fillimi i operimit deri në përfundimin e tij. Struktura e ndërlidhjes së sistemeve kryesore të radhës në të vërtetë përbëhet nga QS të llojeve të ndryshme (Fig. 3.3).

Kërko Zgjidhja e Zgjedhjes së Zgjedhjes

referues

kërkimi i kompanisë turistike

Pagesa Fluturimi Eksodi

Oriz. 3.3 Modeli i një sistemi shërbimi turistik shumëfazor

Problemi nga pozicioni i shërbimit masiv të turistëve që shkojnë me pushime është të përcaktojë vendin e saktë të pushimit (turin), adekuat me kërkesat e aplikantit, që korrespondon me shëndetin dhe aftësitë e tij financiare dhe idetë për pjesën tjetër në përgjithësi. Në këtë ai mund të ndihmohet nga agjencitë e udhëtimit, kërkimi i të cilave kryhet zakonisht nga mesazhet reklamuese të CMO r, më pas pas zgjedhjes së një kompanie, konsultimet merren me telefon CMO t, pas një bisede të kënaqshme, mbërritja në agjencinë e udhëtimit. dhe marrja e konsultimeve më të detajuara personalisht me referentin, më pas pagesa për turneun dhe marrja e shërbimeve nga linja ajrore për fluturimin CMO a dhe në fund shërbimi në hotel CMO 0 . Zhvillimi i mëtejshëm i rekomandimeve për përmirësimin e punës së QS të kompanisë shoqërohet me një ndryshim në përmbajtjen profesionale të negociatave me klientët përmes telefonit. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të thellohet analiza në lidhje me detajimin e dialogut të referentit me klientët, pasi jo çdo bisedë telefonike çon në lidhjen e një marrëveshjeje për blerjen e një kupon. Formalizimi i detyrës së mirëmbajtjes tregoi nevojën për të formuar një listë të plotë (të nevojshme dhe të mjaftueshme) të karakteristikave dhe vlerave të tyre të sakta të subjektit të një transaksioni tregtar. Pastaj këto karakteristika renditen, për shembull, me metodën e krahasimeve të çiftuara dhe renditen në një dialog sipas shkallës së rëndësisë së tyre, për shembull: sezoni (dimër), muaji (janar), klima (i thatë), temperatura e ajrit (+ 25 "C), lagështia (40 %), vendndodhja gjeografike (më afër ekuatorit), koha e fluturimit (deri në 5 orë), transferimi, vendi (Egjipt), qyteti (Hurgada), deti (e kuqe), temperatura e ujit të detit ( +23°C), rang hoteli ( 4 yje, kondicioner pune, garanci shampo ne dhome), distanca nga deti (deri ne 300 m), distanca nga dyqanet (aty afer), distanca nga diskotekat dhe burime te tjera zhurme ( larg, heshtje gjatë gjumit në hotel), ushqim (tavolinë suedeze - mëngjes, darkë, shpeshtësia e ndryshimeve të menusë në javë), hotele (Princes, Marlin-In, Ora-Palace), ekskursione (Kairo, Luxor, ishujt koralorë, scuba zhytje), shfaqje argëtuese, lojëra sportive, çmimi i turneut, mënyra e pagesës, përmbajtja e sigurimit, çfarë të merrni me vete, çfarë të blini aty për aty, garanci, penalitete.

Ekziston një tregues tjetër shumë domethënës që është i dobishëm për klientin, i cili propozohet të përcaktohet në mënyrë të pavarur nga lexuesi gërryes. Pastaj, duke përdorur metodën e krahasimit në çift të karakteristikave të listuara x i, mund të formoni një matricë krahasimi n x p, elementët e së cilës plotësohen në mënyrë sekuenciale në rreshta sipas rregullit të mëposhtëm:

0 nëse karakteristika është më pak e rëndësishme,

dhe ij = 1, nëse karakteristika është ekuivalente,

2 nëse karakteristika dominon.

Pas kësaj, vlerat e shumave të vlerësimeve për secilin tregues të linjës S i =∑a ij, pesha e secilës karakteristikë M i = S i /n 2 dhe, në përputhje me rrethanat, kriteri integral përcaktohen, në në bazë të së cilës është e mundur të zgjidhni një agjenci udhëtimi, turne ose hotel, sipas formulës

F = ∑ M i * x i -» max.

Për të eliminuar gabimet e mundshme në këtë procedurë, për shembull, futet një shkallë vlerësimi me 5 pikë me një gradim të karakteristikave B i (x i) sipas parimit më keq (B i = 1 pikë) - më mirë (B i = 5 pikë). Për shembull, sa më i shtrenjtë të jetë turneu, aq më keq, sa më lirë të jetë, aq më mirë. Bazuar në këtë, funksioni objektiv do të ketë një formë të ndryshme:

F b = ∑ M i * B i * x i -> max.

Kështu, bazuar në aplikimin e metodave dhe modeleve matematikore, duke përdorur avantazhet e formalizimit, është e mundur të formulohet më saktë dhe më objektivisht deklarata e problemit dhe të përmirësohet ndjeshëm performanca e QS në aktivitetet tregtare për arritjen e qëllimeve.

3.4 QS me një kanal me gjatësi të kufizuar të radhës

Në aktivitetet tregtare, QS me pritje (radhë) janë më të zakonshme.

Konsideroni një QS të thjeshtë me një kanal me një radhë të kufizuar, në të cilën numri i vendeve në radhë m është një vlerë fikse. Për rrjedhojë, një aplikacion që vjen në momentin kur të gjitha vendet në radhë janë të zëna nuk pranohet për shërbim, nuk hyn në radhë dhe del nga sistemi.

Grafiku i këtij QS është paraqitur në Fig. 3.4 dhe përkon me grafikun në Fig. 2.1 që përshkruan procesin e "lindje-vdekjes", me ndryshimin se në prani të vetëm një kanali.

S m

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

Oriz. 3.4. Grafiku i etiketuar i procesit të "lindje - vdekje" të shërbimit, të gjitha intensitetet e flukseve të shërbimit janë të barabarta

Gjendjet QS mund të përfaqësohen si më poshtë:

S 0 - kanali i shërbimit është falas,

S, - kanali i shërbimit është i zënë, por nuk ka radhë,

S 2 - kanali i shërbimit është i zënë, ka një kërkesë në radhë,

S 3 - kanali i shërbimit është i zënë, ka dy kërkesa në radhë,

S m +1 - kanali i shërbimit është i zënë, të gjitha m vendet në radhë janë të zëna, çdo kërkesë tjetër refuzohet.

Për të përshkruar procesin e rastësishëm të QS, mund të përdoren rregullat dhe formulat e deklaruara më parë. Le të shkruajmë shprehjet që përcaktojnë probabilitetet kufizuese të gjendjeve:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 \u003d ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p0 = -1

Shprehja për p 0 mund të shkruhet në këtë rast më thjesht, duke përdorur faktin se emëruesi është një progresion gjeometrik në lidhje me p, atëherë pas transformimeve të duhura marrim:

ρ= (1- ρ )

Kjo formulë është e vlefshme për të gjitha p përveç 1, por nëse p = 1, atëherë p 0 = 1/(m + 2), dhe të gjitha probabilitetet e tjera janë gjithashtu të barabarta me 1/(m + 2). Nëse supozojmë m = 0, atëherë kalojmë nga shqyrtimi i një QS me një kanal me pritje në QS tashmë të konsideruar me një kanal me refuzime të shërbimit. Në të vërtetë, shprehja për probabilitetin margjinal p 0 në rastin m = 0 ka formën:

p o \u003d μ / (λ + μ)

Dhe në rastin e λ = μ ka vlerën p 0 = 1/2.

Le të përcaktojmë karakteristikat kryesore të një QS me një kanal me pritje: xhiros relative dhe absolute, probabiliteti i dështimit, si dhe gjatësia mesatare e radhës dhe koha mesatare e pritjes për një aplikacion në radhë.

Kërkesa refuzohet nëse arrin në momentin kur QS është tashmë në gjendjen S m +1 dhe për rrjedhojë, të gjitha vendet në radhë janë të zëna dhe shërben një kanal. Prandaj, probabiliteti i dështimit përcaktohet nga probabiliteti i paraqitja

Shtetet S m +1:

P hapur \u003d p m +1 \u003d ρ m +1 * p 0

Produkti relativ, ose përqindja e kërkesave të shërbimit që vijnë për njësi të kohës, përcaktohet nga shprehja

Q \u003d 1- p otk \u003d 1- ρ m+1 * p 0

gjerësia e bandës absolute është:

Numri mesatar i aplikacioneve L och në radhë për shërbim përcaktohet nga pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme k - numri i aplikacioneve në radhë

ndryshorja e rastësishme k merr vetëm vlerat e mëposhtme të numrave të plotë:

1 - ka një aplikim në radhë,

2 - ka dy aplikacione në radhë,

t-të gjitha vendet në radhë janë të zëna

Probabilitetet e këtyre vlerave përcaktohen nga probabilitetet përkatëse të gjendjes, duke filluar nga gjendja S 2. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme k përshkruhet si më poshtë:

k	1	2	m
pi	p2	f 3	p m+1

Pritshmëria matematikore e kësaj ndryshoreje të rastësishme është:

L pt = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

Në rastin e përgjithshëm, për p ≠ 1, kjo shumë mund të transformohet duke përdorur modele të progresionit gjeometrik në një formë më të përshtatshme:

L och \u003d p 2 * 1- p m * (m-m*p+1)*p0

Në rastin e veçantë në p = 1, kur të gjitha probabilitetet p k rezultojnë të barabarta, mund të përdorni shprehjen për shumën e termave të serisë së numrave

1+2+3+ m = m ( m +1)

Pastaj marrim formulën

L’ och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

Duke aplikuar arsyetime dhe transformime të ngjashme, mund të tregohet se koha mesatare e pritjes për shërbimin e një kërkese dhe një radhe përcaktohet nga formulat e Little

T och \u003d L och / A (në p ≠ 1) dhe T 1 och \u003d L 'och / A (në p \u003d 1).

Një rezultat i tillë, kur del se Т och ~ 1/ λ, mund të duket i çuditshëm: me një rritje të intensitetit të fluksit të kërkesave, duket se gjatësia e radhës duhet të rritet dhe koha mesatare e pritjes duhet të ulet. Megjithatë, duhet të kihet parasysh se, së pari, vlera e L och është një funksion i λ dhe μ dhe, së dyti, QS në shqyrtim ka një gjatësi të kufizuar në radhë jo më shumë se m aplikime.

Një kërkesë që arrin në QS në një kohë kur të gjitha kanalet janë të zëna refuzohet dhe, për rrjedhojë, koha e “pritjes” së saj në QS është zero. Kjo çon në rastin e përgjithshëm (për p ≠ 1) në një ulje të T och me një rritje në λ, pasi përqindja e aplikimeve të tilla rritet me një rritje në λ.

Nëse e braktisim kufizimin në gjatësinë e radhës, d.m.th. priren m-> →∞, pastaj rastet p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =p k *(1 - p)

Për k mjaftueshëm të madh, probabiliteti p k tenton në zero. Prandaj, xhiroja relative do të jetë Q = 1, dhe xhiroja absolute do të jetë e barabartë me A -λ Q - λ, prandaj, të gjitha kërkesat hyrëse shërbehen dhe gjatësia mesatare e radhës do të jetë e barabartë me:

L och = fq 2 1-fq

dhe koha mesatare e pritjes sipas formulës së Little

T och \u003d L och / A

Në kufirin p<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Si një nga karakteristikat e QS, përdoret koha mesatare Tsmo e qëndrimit të një aplikacioni në QS, duke përfshirë kohën mesatare të kaluar në radhë dhe kohën mesatare të shërbimit. Kjo vlerë llogaritet me formulat e Little: nëse gjatësia e radhës është e kufizuar, numri mesatar i aplikacioneve në radhë është i barabartë me:

Lcm= m +1 ;2

T cmo= L smo; për p ≠ 1

Atëherë koha mesatare e qëndrimit të kërkesës në sistemin e radhës (si në radhë ashtu edhe në shërbim) është e barabartë me:

T cmo= m +1 për p ≠1 2μ

3.5 QS me një kanal me radhë të pakufizuar

Në aktivitetet tregtare, për shembull, një drejtor tregtar është një QS me një kanal me pritje të pakufizuar, pasi ai, si rregull, detyrohet të shërbejë aplikacione të një natyre të ndryshme: dokumente, biseda telefonike, takime dhe biseda me vartësit, përfaqësuesit e inspektorati tatimor, policia, ekspertët e mallrave, tregtarët, furnitorët e produkteve dhe zgjidhja e problemeve në sferën e mallrave dhe financiare me një shkallë të lartë përgjegjësie financiare, e cila shoqërohet me përmbushjen e detyrueshme të kërkesave që ndonjëherë presin me padurim plotësimin e kërkesave të tyre; dhe gabimet e papërshtatshme të shërbimit janë zakonisht shumë të prekshme ekonomikisht.

Në të njëjtën kohë, mallrat e importuara për shitje (shërbim), ndërsa janë në magazinë, formojnë radhë për shërbim (shitje).

Gjatësia e radhës është numri i artikujve që do të shiten. Në këtë situatë, shitësit veprojnë si kanale që shërbejnë mallrat. Nëse sasia e mallit të destinuar për shitje është e madhe, atëherë në këtë rast kemi të bëjmë me një rast tipik të QS me pritshmëri.

Le të shqyrtojmë QS-në më të thjeshtë me një kanal me pritje shërbimi, i cili merr një fluks kërkesash Poisson me intensitet λ dhe intensitet shërbimi µ.

Për më tepër, kërkesa e marrë në momentin kur kanali është i zënë me servisim është në radhë dhe pret shërbimin.

Grafiku i gjendjes së etiketuar të një sistemi të tillë është paraqitur në fig. 3.5

Numri i gjendjeve të mundshme të tij është i pafund:

Kanali është falas, nuk ka radhë, ;

Kanali është i zënë me shërbim, nuk ka radhë, ;

Kanali është i zënë, një kërkesë në radhë, ;

Kanali është i zënë, aplikacioni është në radhë.

Modelet për vlerësimin e probabilitetit të gjendjeve të një QS me një radhë të pakufizuar mund të merren nga formulat e izoluara për një QS me një radhë të pakufizuar duke kaluar në kufirin si m→∞:

Oriz. 3.5 Grafiku i gjendjeve të një QS me një kanal me një radhë të pakufizuar.

Duhet të theksohet se për një QS me një gjatësi të kufizuar të radhës në formulë

ka një progresion gjeometrik me termin e parë 1 dhe emëruesin . Një sekuencë e tillë është shuma e një numri të pafund termash në . Kjo shumë konvergjon nëse progresioni, pafundësisht në rënie në , i cili përcakton funksionimin e gjendjes së qëndrueshme të QS, me në , radha në mund të rritet në pafundësi me kalimin e kohës.

Meqenëse nuk ka asnjë kufizim në gjatësinë e radhës në QS në shqyrtim, çdo kërkesë mund të shërbehet, prandaj, xhiroja relative, respektivisht, dhe xhiroja absolute

Probabiliteti për të qenë në radhë për k aplikacione është i barabartë me:

;

Numri mesatar i aplikacioneve në radhë -

Numri mesatar i aplikacioneve në sistem -

;

Koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në sistem -

;

Koha mesatare e qëndrimit të aplikacionit me sistemin -

Nëse në një QS me një kanal me pritje, intensiteti i marrjes së kërkesave është më i madh se intensiteti i shërbimit, atëherë radha do të rritet vazhdimisht. Në këtë drejtim, me interes më të madh është analiza e QS të qëndrueshme që funksionon në një gjendje stacionare në .

3.6 QS shumëkanalesh me gjatësi të kufizuar të radhës

Konsideroni një QS me shumë kanale, e cila merr një fluks Poisson kërkesash me intensitet, dhe intensiteti i shërbimit të secilit kanal është , numri maksimal i mundshëm i vendeve në radhë është i kufizuar me m. Gjendjet diskrete të QS përcaktohen nga numri i aplikacioneve që kanë hyrë në sistem, të cilat mund të regjistrohen.

Të gjitha kanalet janë falas, ;

Vetëm një kanal është i zënë (ndonjë), ;

Vetëm dy kanale janë të zëna (ndonjë), ;

Të gjitha kanalet janë të zënë.

Ndërsa QS është në ndonjë nga këto shtete, nuk ka radhë. Pasi të gjitha kanalet e shërbimit janë të zëna, kërkesat pasuese formojnë një radhë, duke përcaktuar kështu gjendjen e mëtejshme të sistemit:

Të gjitha kanalet janë të zëna dhe një aplikacion është në radhë,

Të gjitha kanalet janë të zëna dhe dy aplikacione janë në radhë,

Të gjitha kanalet janë të zëna dhe të gjitha vendet në radhë janë të zëna,

Grafiku i gjendjeve të një QS me n kanal me një radhë të kufizuar në m vende në Fig. 3.6

Oriz. 3.6 Grafiku i gjendjes së një QS me n kanal me një kufi në gjatësinë e radhës m

Kalimi i QS në një gjendje me numra më të lartë përcaktohet nga fluksi i kërkesave hyrëse me intensitet , ndërsa, sipas kushtit, këto kërkesa shërbehen nga të njëjtat kanale me intensitetin e fluksit të shërbimit të barabartë për çdo kanal. Në këtë rast, intensiteti total i fluksit të shërbimit rritet me lidhjen e kanaleve të reja deri në një gjendje të tillë kur të gjithë n kanalet janë të zënë. Me ardhjen e radhës, intensiteti i shërbimit rritet më shumë, pasi tashmë ka arritur vlerën maksimale të barabartë me .

Le të shkruajmë shprehje për probabilitetet kufizuese të gjendjeve:

Shprehja për mund të transformohet duke përdorur formulën e progresionit gjeometrik për shumën e termave me një emërues:

Formimi i një radhe është i mundur kur një kërkesë e sapo pranuar gjen jo më pak se kërkesat në sistem, d.m.th. kur do të ketë kërkesa në sistem. Këto ngjarje janë të pavarura, kështu që probabiliteti që të gjitha kanalet të jenë të zëna është i barabartë me shumën e probabiliteteve përkatëse. Prandaj, probabiliteti për të formuar një radhë është:

Probabiliteti i refuzimit të shërbimit ndodh kur të gjitha kanalet dhe të gjitha vendet në radhë janë të zëna:

Rrjedha relative do të jetë e barabartë me:

Gjerësia e bandës absolute -

Numri mesatar i kanaleve të zëna -

Numri mesatar i kanaleve boshe -

Koeficienti i okupimit (përdorimit) të kanaleve -

Raporti i kanalit boshe -

Numri mesatar i aplikacioneve në radhë -

Nëse, kjo formulë merr një formë tjetër -

Koha mesatare e pritjes në një radhë jepet nga formulat e Little-it −

Koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në QS, si për një QS me një kanal, është më e madhe se koha mesatare e pritjes në radhë me kohën mesatare të shërbimit të barabartë me , pasi aplikacioni shërbehet gjithmonë nga vetëm një kanal:

3.7 QS shumëkanalësh me radhë të pakufizuar

Le të shqyrtojmë një QS me shumë kanale me pritje dhe një gjatësi të pakufizuar të radhës, e cila merr një fluks kërkesash me intensitet dhe që ka një intensitet shërbimi për çdo kanal. Grafiku i etiketuar i gjendjes është paraqitur në figurën 3.7. Ai ka një numër të pafund gjendjesh:

S - të gjitha kanalet janë të lira, k=0;

S - një kanal është i zënë, pjesa tjetër janë të lira, k=1;

S - dy kanale janë të zëna, pjesa tjetër janë të lira, k=2;

S - të gjitha n kanalet janë të zëna, k=n, nuk ka radhë;

S - të gjitha n kanalet janë të zëna, një kërkesë është në radhë, k=n+1,

S - të gjitha n kanalet janë të zëna, r kërkesat janë në radhë, k=n+r,

Ne marrim probabilitetet e gjendjeve nga formulat për një QS shumëkanalësh me një radhë të kufizuar kur kalojmë në kufirin në m. Duhet të theksohet se shuma e progresionit gjeometrik në shprehjen për p ndryshon në nivelin e ngarkesës p/n>1, radha do të rritet pafundësisht, dhe në p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

nuk ka radhë

…

Fig.3.7 Grafiku i gjendjes së etiketuar të QS shumëkanalësh

me radhë të pakufizuar

për të cilat ne përcaktojmë shprehjet për probabilitetet kufizuese të gjendjeve:

Meqenëse nuk mund të ketë mohim të shërbimit në sisteme të tilla, karakteristikat e xhiros janë:

numri mesatar i aplikacioneve në radhë -

koha mesatare e pritjes në radhë

numri mesatar i aplikimeve në CMO -

Probabiliteti që QS të jetë në gjendje kur nuk ka kërkesa dhe asnjë kanal nuk është i zënë përcaktohet nga shprehja

Ky probabilitet përcakton pjesën mesatare të kohës së ndërprerjes së kanalit të shërbimit. Probabiliteti për të qenë i zënë me shërbimin e k kërkesave është

Mbi këtë bazë, është e mundur të përcaktohet probabiliteti ose përqindja e kohës që të gjitha kanalet janë të zënë me shërbimin.

Nëse të gjitha kanalet tashmë janë të zëna nga shërbimi, atëherë probabiliteti i gjendjes përcaktohet nga shprehja

Probabiliteti për të qenë në radhë është i barabartë me probabilitetin për të gjetur të gjitha kanalet tashmë të zëna me shërbimin

Numri mesatar i kërkesave në radhë dhe pritjes për shërbim është i barabartë me:

Koha mesatare e pritjes për një aplikacion në radhë sipas formulës së Little: dhe në sistem

numri mesatar i kanaleve të zëna nga shërbimi:

numri mesatar i kanaleve falas:

Shkalla e zënies së kanalit të shërbimit:

Është e rëndësishme të theksohet se parametri karakterizon shkallën e koordinimit të fluksit të hyrjes, për shembull, klientët në një dyqan me intensitetin e fluksit të shërbimit. Procesi i shërbimit do të jetë i qëndrueshëm në Nëse, megjithatë, gjatësia mesatare e radhës dhe koha mesatare e pritjes për klientët për të filluar shërbimin do të rriten në sistem dhe, për rrjedhojë, QS do të funksionojë në mënyrë të paqëndrueshme.

3.8 Analiza e sistemit të radhës së supermarketeve

Një nga detyrat e rëndësishme të veprimtarisë tregtare është organizimi racional i procesit tregtar dhe teknologjik të shërbimit masiv, për shembull, në një supermarket. Në veçanti, përcaktimi i kapacitetit të pikës së parasë së një ndërmarrje tregtare nuk është një detyrë e lehtë. Tregues të tillë ekonomikë dhe organizativë si ngarkesa e qarkullimit për 1 m 2 hapësirë të shitjes me pakicë, xhiroja e ndërmarrjes, koha e kaluar nga klientët në dyqan, si dhe treguesit e nivelit të zgjidhjes teknologjike të katit të tregtimit: raporti i zonave të zonave të vetë-shërbimit dhe nyjës së zgjidhjes, koeficientët e zonave të instalimit dhe ekspozimit, në shumë aspekte të përcaktuara nga xhiroja e nyjës së parave të gatshme. Në këtë rast, qarkullimi i dy zonave (fazave) të shërbimit: zona e vetë-shërbimit dhe zona e nyjës së vendbanimit (Fig. 4.1).

CMO

Intensiteti i fluksit të inputeve të blerësve;

Intensiteti i ardhjes së blerësve të zonës së vetë-shërbimit;

Intensiteti i ardhjes së blerësve në nyjen e shlyerjes;

Intensiteti i fluksit të shërbimit.

Fig.4.1. Modeli i një CMO dyfazore të një kati tregtimi supermarketi

Funksioni kryesor i nyjës së shlyerjes është të sigurojë një xhiro të lartë të klientëve në katin e tregtimit dhe të krijojë një shërbim të rehatshëm ndaj klientit. Faktorët që ndikojnë në qarkullimin e nyjës së zgjidhjes mund të ndahen në dy grupe:

1) faktorët ekonomikë dhe organizativë: sistemi i përgjegjësisë në supermarket; kostoja mesatare dhe struktura e një blerjeje;

2) struktura organizative e pikës së arkës;

3) faktorë tekniko-teknologjik: llojet e përdorura të kasave dhe kabinave të parave; teknologjia e shërbimit ndaj klientit e përdorur nga kontrolluesi-arkëtar; pajtueshmëria me kapacitetin e pikës së parasë së intensitetit të flukseve të klientëve.

Nga këto grupe faktorësh, ndikimin më të madh e ushtron struktura organizative e arkës dhe përputhja e kapacitetit të kasës me intensitetin e flukseve të klientëve.

Konsideroni të dy fazat e sistemit të shërbimit:

1) zgjedhja e mallrave nga blerësit në zonën e vetë-shërbimit;

2) shërbimi ndaj klientit në zonën e nyjës së vendbanimit. Rrjedha hyrëse e blerësve hyn në fazën e vetë-shërbimit dhe blerësi zgjedh në mënyrë të pavarur njësitë e mallrave që i nevojiten, duke i formuar ato në një blerje të vetme. Për më tepër, koha e kësaj faze varet nga mënyra se si zonat e mallrave janë të vendosura reciprokisht, çfarë lloj fronti kanë, sa kohë shpenzon blerësi për zgjedhjen e një produkti të caktuar, cila është struktura e blerjes, etj.

Fluksi dalës i klientëve nga zona e vetë-shërbimit është njëkohësisht fluksi hyrës në zonën e pikës së parasë, që përfshin në mënyrë sekuenciale pritjen e klientit në radhë dhe më pas servisimin e tij nga kontrollori-arkëtar. Nyja e arkës mund të konsiderohet si një sistem i radhës me humbje ose si një sistem i radhës me pritje.

Sidoqoftë, as sistemi i parë dhe as i dyti i konsideruar nuk e bëjnë të mundur përshkrimin e vërtetë të procesit të shërbimit në sportelin e arkës së një supermarketi për arsyet e mëposhtme:

në variantin e parë, arka, kapaciteti i së cilës do të projektohet për një sistem me humbje, kërkon investime të konsiderueshme kapitale dhe kosto korente për mirëmbajtjen e kontrollorëve të arkës;

në variantin e dytë, nyja e arkës, kapaciteti i së cilës do të projektohet për një sistem me pritshmëri, çon në një humbje të madhe kohe për klientët në pritje të shërbimit. Në të njëjtën kohë, në orët e pikut, zona e nyjës së vendbanimit "mbushet" dhe radha e blerësve "derdhet" në zonën e vetë-shërbimit, gjë që cenon kushtet normale për përzgjedhjen e mallrave nga blerësit e tjerë.

Në këtë drejtim, këshillohet që faza e dytë e shërbimit të konsiderohet si një sistem me radhë të kufizuar, i ndërmjetëm midis një sistemi me pritje dhe një sistemi me humbje. Supozohet se jo më shumë se L mund të jetë në sistem në të njëjtën kohë, dhe L=n+m, ku n është numri i klientëve të shërbyer në arkat, m është numri i klientëve që qëndrojnë në radhë dhe çdo m+1- aplikimi e lë sistemin pa shërbim.

Ky kusht lejon, nga njëra anë, të kufizojë zonën e zonës së nyjës së vendbanimit, duke marrë parasysh gjatësinë maksimale të lejueshme të radhës, dhe nga ana tjetër, të vendosë një kufi në kohën që klientët presin shërbimin në pikë cash, d.m.th. marrin parasysh koston e konsumit të konsumatorit.

Legjitimiteti i vendosjes së problemit në këtë formë konfirmohet nga anketat e flukseve të klientëve në supermarkete, rezultatet e të cilave janë dhënë në tabelë. 4.1, analiza e të cilit zbuloi një lidhje të ngushtë midis radhës mesatare të gjatë në pikën e arkës dhe numrit të blerësve që nuk kanë bërë blerje.

Orari i hapjes	Ditë të javës
	e premte			e shtunë			të dielën
	radhe,	sasi blerësit nuk ka pazar		radhe,	sasi blerësit nuk ka pazar		radhe,	sasi blerësit nuk ka pazar
	radhe,	njerëzit	%	radhe,	njerëzit	%	radhe,	njerëzit	%
nga 9 në 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
nga 10 në 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
nga 11 në 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
nga 12 në 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
nga 14 në 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
nga 15 në 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
nga 16 në 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
nga 17 në 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
nga 18 deri në 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
nga 19 deri në 20	6	105	7,6	6	77	6
nga 20 në 21	6	58	7	5	39	4,4
Total	749	6,5	862	6,3	904	4,5

Ekziston një veçori tjetër e rëndësishme në organizimin e funksionimit të njësisë së arkave të supermarketit, e cila ndikon ndjeshëm në qarkullimin e saj: prania e arkave të shpejta (një ose dy blerje). Një studim i strukturës së fluksit të klientëve në supermarkete sipas llojit të shërbimit të cash-it tregon se fluksi i qarkullimit është 12.9% (Tabela 4.2).

Ditet e javes	Flukset e klientëve			Qarkullimi tregtar
Ditet e javes	Total	me arkë të shpejtë	% ndaj fluksit ditor	Total	me arkë të shpejtë	% e qarkullimit ditor
Periudha verore
e hënë	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
e martë	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
e mërkurë	10175	2435	24	33945	2047,37	6
e enjte	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
e premte	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
e shtunë	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
të dielën	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
periudha e dimrit
e hënë	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
e martë	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
e mërkurë	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
e enjte	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
e premte	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
e shtunë	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
të dielën	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

Për ndërtimin përfundimtar të një modeli matematikor të procesit të shërbimit, duke marrë parasysh faktorët e mësipërm, është e nevojshme të përcaktohen funksionet e shpërndarjes së variablave të rastësishëm, si dhe proceset e rastësishme që përshkruajnë flukset hyrëse dhe dalëse të klientëve:

1) funksioni i shpërndarjes së kohës së blerësve për të zgjedhur mallrat në zonën e vetë-shërbimit;

2) funksioni i shpërndarjes së kohës së punës së kontrollorit-arkëtar për arkat e zakonshme dhe arka ekspres;

3) një proces i rastësishëm që përshkruan fluksin hyrës të klientëve në fazën e parë të shërbimit;

4) një proces i rastësishëm që përshkruan fluksin hyrës në fazën e dytë të shërbimit për arkat e zakonshme dhe arkat ekspres.

Është i përshtatshëm për të përdorur modele për llogaritjen e karakteristikave të një sistemi të radhës nëse fluksi hyrës i kërkesave në sistemin e radhës është rrjedha më e thjeshtë Poisson, dhe koha e shërbimit të kërkesave shpërndahet sipas një ligji eksponencial.

Studimi i fluksit të klientëve në zonën e nyjës së parasë tregoi se një fluks Poisson mund të miratohet për të.

Funksioni i shpërndarjes së kohës së shërbimit ndaj klientit nga kontrollorët e arkës është eksponencial; një supozim i tillë nuk çon në gabime të mëdha.

Me interes të padyshimtë është analiza e karakteristikave të shërbimit të fluksit të klientëve në arkën e supermarketeve, e llogaritur për tre sisteme: me humbje, me pritshmëri dhe tip të përzier.

Llogaritjet e parametrave të procesit të shërbimit ndaj klientit në pikën e arkës janë kryer për një sipërmarrje tregtare me sipërfaqe shitje S=650 bazuar në të dhënat e mëposhtme.

Funksioni objektiv mund të shkruhet në formën e përgjithshme të marrëdhënies (kriterit) të të ardhurave nga shitjet nga karakteristikat QS:

ku - arka përbëhet nga = 7 arka të tipit të zakonshëm dhe = 2 arkë ekspres,

Intensiteti i shërbimit ndaj klientit në fushën e arkës së zakonshme - 0,823 persona / min;

Intensiteti i ngarkesës së kasave në zonën e arkave të zakonshme është 6.65,

Intensiteti i shërbimit ndaj klientit në zonën e arkave të shpejta - 2.18 persona / min;

Intensiteti i fluksit hyrës në zonën e arkave të rregullta - 5,47 persona / min

Intensiteti i ngarkesës së kasave në zonën e tavolinave ekspres është 1.63,

Intensiteti i fluksit hyrës në zonën e arkës së shpejtë është 3.55 persona/min;

Për modelin QS me një limit në gjatësinë e radhës në përputhje me zonën e projektuar të pikës së arkës, numri maksimal i lejueshëm i klientëve që qëndrojnë në radhë në një arkë supozohet të jetë m = 10 klientë.

Duhet të theksohet se për të marrë vlera relativisht të vogla absolute të probabilitetit të humbjes së aplikacioneve dhe kohës së pritjes së klientëve në pikën e parave të gatshme, duhet të respektohen kushtet e mëposhtme:

Tabela 6.6.3 tregon rezultatet e karakteristikave cilësore të QS që funksionon në zonën e nyjës së vendbanimit.

Llogaritjet janë bërë për periudhën më të ngarkuar të ditës së punës nga ora 17:00 deri në orën 21:00. Pikërisht në këtë periudhë, siç kanë treguar edhe rezultatet e anketave, bie rreth 50% e fluksit njëditor të blerësve.

Nga të dhënat në tabelë. 4.3 rrjedh se nëse për llogaritjen është zgjedhur:

1) modeli me refuzime, atëherë 22.6% e fluksit të blerësve të shërbyer nga arkat e rregullta, dhe në përputhje me rrethanat 33.6% e fluksit të blerësve të shërbyer nga arka ekspres, do të duhej të largoheshin pa bërë blerje;

2) një model me pritje, atëherë nuk duhet të ketë humbje të kërkesave në nyjen e shlyerjes;

Tab. 4.3 Karakteristikat e sistemit të radhës së klientëve në zonën e nyjës së vendbanimit

Lloji i arkëtimit	Numri i arkave në nyje	Lloji CMO	Karakteristikat e QS
Lloji i arkëtimit	Numri i arkave në nyje	Lloji CMO	Numri mesatar i arkave të zëna,	koha mesatare e pritjes për shërbim,	Probabiliteti i humbjes së aplikacioneve,
Tavolinat e rregullta të parave të gatshme	7	me dështime me pritshmëri me kufizim
Arka ekspres	2	me dështime me pritshmëri me kufizim

3) një model me një kufi në gjatësinë e radhës, atëherë vetëm 0.12% e fluksit të blerësve të shërbyer nga arkat e zakonshme dhe 1.8% e fluksit të blerësve të shërbyer nga arkat ekspres do të largohen nga kati i tregtimit pa bërë blerje. Prandaj, modeli me një kufizim në gjatësinë e radhës bën të mundur përshkrimin më të saktë dhe më real të procesit të shërbimit të klientëve në zonën e pikës së parasë.

Me interes është një përllogaritje krahasuese e kapacitetit të pikës së arkës, me dhe pa kasa ekspres. Në tabelë. 4.4 tregon karakteristikat e sistemit të arkave të tre madhësive standarde të supermarketeve, të llogaritura sipas modeleve për QS me një kufi në gjatësinë e radhës për periudhën më të ngarkuar të ditës së punës nga 17 deri në 21 orë.

Një analizë e të dhënave në këtë tabelë tregon se mosmarrja parasysh e faktorit "Struktura e fluksit të klientëve sipas llojit të shërbimit të parave të gatshme" në fazën e projektimit teknologjik mund të çojë në një rritje të zonës së nyjës së shlyerjes me 22- 33%, dhe rrjedhimisht, në një rënie në zonat e instalimit dhe ekspozimit të tregtisë dhe pajisjeve teknologjike dhe masës së mallrave të vendosura në katin e tregtimit.

Problemi i përcaktimit të kapacitetit të një pike cash është një zinxhir karakteristikash të ndërlidhura. Kështu, rritja e kapacitetit të tij redukton kohën e pritjes së klientëve për shërbimin, zvogëlon mundësinë e humbjes së kërkesave dhe rrjedhimisht humbjen e xhiros. Së bashku me këtë, është e nevojshme të zvogëlohet zona e vetë-shërbimit, pjesa e përparme e pajisjeve tregtare dhe teknologjike dhe masa e mallrave në katin e tregtimit në përputhje me rrethanat. Në të njëjtën kohë, kostoja e pagave të arkëtarëve dhe pajisjet e vendeve të tjera të punës po rritet. Kjo është arsyeja pse

Nr. p / fq	Karakteristikat e QS	Njësia	Emërtimi		Treguesit e llogaritur sipas llojeve të supermarketeve që shesin hapësirë, sq. m
					Pa pagesë ekspres						Përfshirë arkën e shpejtë
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Tavolinat e rregullta të parave të gatshme		Arka ekspres	Tavolinat e rregullta të parave të gatshme		tavolinat e parave të shprehura	Tavolinat e rregullta të parave të gatshme		tavolinat e parave të shprehura
1	Numri i blerësve	njerëzit	k		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Intensiteti i rrjedhës hyrëse		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Intensiteti i mirëmbajtjes	person/min	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Intensiteti i ngarkesës	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Numri i kasave	PC.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Numri total i arkave të nyjës së shlyerjes	PC.		∑n		12		17		34		9			14			26

është e nevojshme të kryhen llogaritjet e optimizimit. Le të shqyrtojmë karakteristikat e sistemit të shërbimit në sportelin e arkës së një supermarketi me një sipërfaqe tregtimi 650 m, të llogaritura duke përdorur modele QS me një gjatësi të kufizuar në radhë për kapacitete të ndryshme të sportelit të arkës së tij në tabelë. 4.5.

Bazuar në analizën e të dhënave në Tabelën. 4.5, mund të konkludojmë se me rritjen e numrit të kasave, koha e pritjes për blerësit në radhë rritet, dhe më pas pas një pike të caktuar bie ndjeshëm. Natyra e ndryshimit në orarin e pritjes së klientit është e kuptueshme nëse marrim parasysh paralelisht ndryshimin e probabilitetit të humbjes së kërkesës.Është e qartë se kur kapaciteti i nyjës POS është tepër i vogël, atëherë më shumë se 85% e klientëve do të largohet pa u shërbyer, dhe pjesa tjetër e klientëve do të shërbehet në një kohë shumë të shkurtër. Sa më i madh të jetë kapaciteti i nyjës POS, aq më shumë ka gjasa që pretendimet të humbasin duke pritur shërbimin e tyre, që do të thotë se koha e tyre e pritjes në radhë do të rritet në përputhje me rrethanat. Pas pritjeve dhe probabiliteti i humbjeve do të ulet në mënyrë dramatike.

Për një shitore me pakicë 650, ky kufi për zonën e kasave të rregullta është midis 6 dhe 7 arka. Me 7 arka, respektivisht, koha mesatare e pritjes është 2,66 minuta, dhe probabiliteti i humbjes së aplikacioneve është shumë i vogël - 0,1%. Kështu, e cila do t'ju lejojë të merrni koston minimale totale të shërbimit masiv ndaj klientit.

Lloji i shërbimit të parave të gatshme	Numri i kasave në nyjen n, copë.	Karakteristikat e sistemit të shërbimit		Të ardhurat mesatare për 1 orë rubla.	Humbja mesatare e të ardhurave për 1 orë rubla	Numri i blerësve në zonën e nyjës së vendbanimit	Zona e zonës së nyjës së vendbanimit, Sy, m	Graviteti specifik i zonës së zonës së nyjës 650/ Sy
Lloji i shërbimit të parave të gatshme	Numri i kasave në nyjen n, copë.	Koha mesatare e pritjes, T, min	Mundësia e humbjes së aplikacioneve	Të ardhurat mesatare për 1 orë rubla.	Humbja mesatare e të ardhurave për 1 orë rubla	Numri i blerësve në zonën e nyjës së vendbanimit	Zona e zonës së nyjës së vendbanimit, Sy, m	Graviteti specifik i zonës së zonës së nyjës 650/ Sy
Zonat e arkës së rregullt
Zonat e arkëtimit të shpejtë

konkluzioni

Bazuar në analizën e të dhënave në Tabelën. 4.5 mund të konkludojmë se me rritjen e numrit të kasave, rritet edhe koha e pritjes së blerësve në radhë. Dhe pastaj pas një pike të caktuar bie ndjeshëm. Natyra e ndryshimit në orarin e pritjes së klientit është e kuptueshme nëse marrim parasysh paralelisht ndryshimin në probabilitetin e humbjes së dëmeve.Është e qartë se kur kapaciteti i nyjës së parasë është tepër i vogël, atëherë më shumë se 85% e klientëve do të largohet pa u shërbyer, dhe pjesa tjetër e klientëve do të shërbehet në një kohë shumë të shkurtër. Sa më e madhe të jetë fuqia e nyjës së parasë. Probabiliteti i humbjes së kërkesave do të ulet dhe, në përputhje me rrethanat, aq më i madh do të jetë numri i blerësve që do të presin shërbimin e tyre, dhe kështu koha e pritjes së tyre në radhë do të rritet në përputhje me rrethanat. Pasi nyja e zgjidhjes tejkalon fuqinë optimale, koha e pritjes dhe probabiliteti i humbjeve do të ulen ndjeshëm.

Për një supermarket me sipërfaqe shitje 650 m2. metra, ky kufi për zonën e kasave konvencionale është midis 6-8 kasave. Me 7 arka, respektivisht, koha mesatare e pritjes është 2,66 minuta, dhe probabiliteti i humbjes së aplikacioneve është shumë i vogël - 0,1%. Kështu, detyra është të zgjidhni një kapacitet të tillë të pikës së parave, e cila do t'ju lejojë të merrni koston minimale totale të shërbimit masiv të klientit.

Në këtë drejtim, hapi tjetër në zgjidhjen e problemit është optimizimi i kapacitetit të pikës së parasë, bazuar në përdorimin e llojeve të ndryshme të modeleve QS, duke marrë parasysh kostot totale dhe faktorët e renditur më sipër.

KATEGORITË

Shqyrtimi

Ekografia e ekstremiteteve

Llojet e ultrazërit

ekografia e barkut

ekografia e gjoksit

ARTIKUJ POPULLOR

	Mohimi jo me folje (në formë vetjake, në paskajore, në formën e gerundit) shkruhet veçmas: mos merr, nuk ishte, nuk dija, ngadalë.
	Prezantimi, raporti i veçorive kryesore të filozofisë së rilindjes
	Stili i fiksionit
	Fëmijët e tokës Prezantim ne jemi fëmijët e tokës për kopshtin
	Prezantim me temen Barrierat e komunikimit puna u be nga nxenesit Pa komunikim mbyllemi brenda.

2023 "kingad.ru" - ekzaminimi me ultratinguj i organeve të njeriut