Listoni vetitë e mbledhjes gjatë leximit të tyre. Vetitë e mbledhjes, shumëzimit, zbritjes dhe pjesëtimit të numrave të plotë

Vizatojmë një drejtkëndësh me brinjë 5 cm dhe 3 cm në një copë letre me kuadrate, e ndajmë në katrorë me brinjë 1 cm (Fig. 143). Le të numërojmë numrin e qelizave të vendosura në drejtkëndësh. Kjo mund të bëhet, për shembull, si kjo.

Numri i katrorëve me anë 1 cm është 5 * 3. Çdo katror i tillë përbëhet nga katër qeliza. Prandaj, numri i përgjithshëm i qelizave është (5 * 3) * 4.

I njëjti problem mund të zgjidhet ndryshe. Secila nga pesë kolonat e drejtkëndëshit përbëhet nga tre katrorë me një anë prej 1 cm. Prandaj, një kolonë përmban 3 * 4 qeliza. Prandaj, do të ketë 5 * (3 * 4) qeliza në total.

Numërimi i qelizave në figurën 143 ilustron në dy mënyra Vetia asociative e shumëzimit për numrat 5, 3 dhe 4. Ne kemi: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Për të shumëzuar prodhimin e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni numrin e parë me prodhimin e numrave të dytë dhe të tretë.

(ab)c = a(bc)

Nga vetitë komutative dhe kombinuese të shumëzimit rezulton se kur shumëzohen disa numra, faktorët mund të ndërrohen dhe të vendosen në kllapa, duke përcaktuar kështu rendin e llogaritjeve.

Për shembull, barazitë e mëposhtme janë të vërteta:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Në figurën 144, segmenti AB ndan drejtkëndëshin e diskutuar më sipër në një drejtkëndësh dhe një katror.

Le të numërojmë numrin e katrorëve me brinjë 1 cm në dy mënyra.

Nga njëra anë, katrori që rezulton përmban 3 * 3 prej tyre, dhe drejtkëndëshi përmban 3 * 2. Në total marrim 3 * 3 + 3 * 2 sheshe. Nga ana tjetër, në secilën nga tre rreshtat e këtij drejtkëndëshi ka 3 + 2 katrorë. Atëherë numri i tyre i përgjithshëm është 3 * (3 + 2).

E barabartë me 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustron Vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen.

Për të shumëzuar një numër me shumën e dy numrave, mund ta shumëzoni këtë numër me çdo shtojcë dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Në formë literale kjo veti shkruhet si më poshtë:

a(b + c) = ab + ac

Nga vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen rrjedh se

ab + ac = a(b + c).

Kjo barazi lejon formulën P = 2 a + 2 b të gjejë perimetrin e një drejtkëndëshi që do të shkruhet në formën e mëposhtme:

P = 2 (a + b).

Vini re se vetia e shpërndarjes është e vlefshme për tre ose më shumë terma. Për shembull:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me zbritjen është gjithashtu e vërtetë: nëse b > c ose b = c, atëherë

a(b − c) = ab − ac

Shembull 1 . Llogaritni në një mënyrë të përshtatshme:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Ne përdorim vetitë komutative dhe më pas shoqëruese të shumëzimit:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Kemi:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Shembull 2 . Thjeshtoni shprehjen:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Duke përdorur vetitë komutative dhe shoqëruese të shumëzimit, marrim:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit në lidhje me zbritjen, marrim:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Shembull 3 . Shkruani shprehjen 5 (2 m + 7) që të mos ketë kllapa.

Sipas vetive shpërndarëse të shumëzimit në lidhje me mbledhjen, kemi:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Ky transformim quhet hapjen e kllapave.

Shembull 4 . Llogaritni vlerën e shprehjes 125 * 24 * 283 në një mënyrë të përshtatshme.

Zgjidhje. Ne kemi:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Shembull 5 . Kryeni shumëzimin: 3 ditë 18 orë * 6.

Zgjidhje. Ne kemi:

3 ditë 18 orë * 6 = 18 ditë 108 orë = 22 ditë 12 orë.

Gjatë zgjidhjes së shembullit, është përdorur vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen:

3 ditë 18 orë * 6 = (3 ditë + 18 orë) * 6 = 3 ditë * 6 + 18 orë * 6 = 18 ditë + 108 orë = 18 ditë + 96 orë + 12 orë = 18 ditë + 4 ditë + 12 orë = 22 ditë 12 orë.

Mund të vërehen një sërë rezultatesh të qenësishme në këtë veprim. Këto rezultate quhen vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë. Në këtë artikull do të analizojmë në detaje vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë, do t'i shkruajmë duke përdorur shkronja dhe do të japim shembuj shpjegues.

Navigimi i faqes.

Vetia kombinuese e mbledhjes së numrave natyrorë.

Tani le të japim një shembull që ilustron vetinë shoqëruese të mbledhjes së numrave natyrorë.

Le të imagjinojmë një situatë: 1 mollë ra nga pema e parë e mollës, dhe 2 mollë dhe 4 mollë të tjera ranë nga pema e dytë e mollës. Tani merrni parasysh këtë situatë: 1 mollë dhe 2 mollë të tjera ranë nga pema e parë e mollës dhe 4 mollë ranë nga pema e dytë e mollës. Është e qartë se do të ketë të njëjtin numër mollësh në tokë si në rastin e parë ashtu edhe në rastin e dytë (të cilat mund të kontrollohen rillogaritje). Kjo do të thotë, rezultati i mbledhjes së numrit 1 me shumën e numrave 2 dhe 4 është i barabartë me rezultatin e mbledhjes së shumës së numrave 1 dhe 2 me numrin 4.

Shembulli i shqyrtuar na lejon të formulojmë vetinë e kombinuar të mbledhjes së numrave natyrorë: për të shtuar një shumë të dhënë të dy numrave në një numër të caktuar, ne mund të shtojmë termin e parë të shumës së dhënë në këtë numër dhe të shtojmë termin e dytë të i jepet shuma e rezultatit që rezulton. Kjo pronë mund të shkruhet duke përdorur shkronja si kjo: a+(b+c)=(a+b)+c, ku a, b dhe c janë numra natyrorë arbitrarë.

Ju lutemi vini re se barazia a+(b+c)=(a+b)+c përmban kllapa “(” dhe “)”. Kllapat përdoren në shprehje për të treguar rendin në të cilin kryhen veprimet - veprimet në kllapa kryhen së pari (më shumë për këtë shkruhet në seksion). Me fjalë të tjera, shprehjet, vlerat e të cilave vlerësohen së pari vendosen në kllapa.

Në përfundim të këtij paragrafi, vërejmë se vetia shoqëruese e shtimit na lejon të përcaktojmë pa mëdyshje mbledhje e tre, katër ose më shumë numrave natyrorë.

Vetia e mbledhjes së zeros dhe një numri natyror, vetia e mbledhjes së zeros dhe zeros.

Ne e dimë se zero NUK është një numër natyror. Pra, pse vendosëm të shikojmë vetinë e shtimit të zeros dhe një numri natyror në këtë artikull? Ka tre arsye për këtë. Së pari: kjo veti përdoret kur duke shtuar numrat natyrorë në një kolonë. Së dyti: kjo veti përdoret kur duke zbritur numrat natyrorë. Së treti: nëse supozojmë se zero do të thotë mungesë e diçkaje, atëherë kuptimi i mbledhjes së zeros dhe një numri natyror përkon me kuptimi i mbledhjes së dy numrave natyrorë.

Le të bëjmë disa arsyetime që do të na ndihmojnë të formulojmë vetinë e mbledhjes së zeros dhe një numri natyror. Le të imagjinojmë se nuk ka objekte në kuti (me fjalë të tjera, ka 0 objekte në kuti), dhe në të vendosen një objekt, ku a është çdo numër natyror. Kjo do të thotë, ne kemi shtuar 0 dhe një objekte. Është e qartë se pas këtij veprimi ka një objekt në kuti. Prandaj, barazia 0+a=a është e vërtetë.

Në mënyrë të ngjashme, nëse një kuti përmban një artikull dhe i shtohen 0 artikuj (d.m.th., nuk shtohen artikuj), atëherë pas këtij veprimi do të ketë një artikull në kuti. Pra a+0=a.

Tani mund të japim formulimin e vetive të mbledhjes së zeros dhe një numri natyror: shuma e dy numrave, njëri prej të cilëve është zero, është e barabartë me numrin e dytë. Matematikisht, kjo veti mund të shkruhet si barazia e mëposhtme: 0+a=a ose a+0=a, ku a është një numër natyror arbitrar.

Më vete, le t'i kushtojmë vëmendje faktit që kur mbledhim një numër natyror dhe zero, vetia komutative e mbledhjes mbetet e vërtetë, domethënë a+0=0+a.

Së fundi, le të formulojmë vetinë e shtimit të zeros në zero (është mjaft e qartë dhe nuk ka nevojë për komente shtesë): shuma e dy numrave, secili i barabartë me zero, është i barabartë me zero. Kjo eshte, 0+0=0 .

Tani është koha për të kuptuar se si ta bëni atë mbledhjen e numrave natyrorë.

Bibliografi.

• Matematika. Çdo tekst shkollor për klasat 1, 2, 3, 4 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Matematika. Çdo tekst shkollor për klasën e 5-të të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.

Tema së cilës i kushtohet ky mësim është "Vetitë e mbledhjes". Në të, do të njiheni me vetitë komutative dhe shoqëruese të mbledhjes, duke i shqyrtuar ato me shembuj specifik. Zbuloni se në cilat raste mund t'i përdorni ato për ta bërë më të lehtë procesin e llogaritjes. Shembujt e testit do të ndihmojnë në përcaktimin se sa mirë e keni zotëruar materialin e studiuar.

Mësimi: Vetitë e mbledhjes

Shikoni me kujdes shprehjen:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Duhet të gjejmë vlerën e tij. Le ta bejme.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Rezultati i shprehjes është 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Më thuaj, a ishte i përshtatshëm për të llogaritur? Nuk ishte shumë i përshtatshëm për të llogaritur. Shikoni përsëri numrat në këtë shprehje. A është e mundur t'i ndërroni ato në mënyrë që llogaritjet të jenë më të përshtatshme?

Nëse i riorganizojmë numrat ndryshe:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Rezultati përfundimtar i shprehjes është 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Shohim që rezultatet e shprehjeve janë të njëjta.

Kushtet mund të ndërrohen nëse është e përshtatshme për llogaritje dhe vlera e shumës nuk do të ndryshojë.

Ekziston një ligj në matematikë: Ligji komutativ i shtimit. Ai thotë se riorganizimi i kushteve nuk e ndryshon shumën.

Xha Fjodor dhe Shariku u grindën. Shariku e gjeti kuptimin e shprehjes ashtu siç ishte shkruar dhe xhaxha Fjodor tha se ai dinte një mënyrë tjetër, më të përshtatshme llogaritjeje. A shihni një mënyrë më të mirë për të llogaritur?

Shariku e zgjidhi shprehjen ashtu siç ishte shkruar. Dhe Xha Fjodor tha se ai e dinte ligjin që lejon shkëmbimin e termave dhe ndërroi numrat 25 dhe 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Ne shohim që rezultati mbetet i njëjtë, por llogaritja është bërë shumë më e lehtë.

Shikoni shprehjet e mëposhtme dhe lexoni ato.

6 + (24 + 51) = 81 (në 6 shtoni shumën e 24 dhe 51)
A ka ndonjë mënyrë të përshtatshme për të llogaritur?
Shohim që nëse mbledhim 6 dhe 24, marrim një numër të rrumbullakët. Është gjithmonë më e lehtë të shtosh diçka në një numër të rrumbullakët. Le të vendosim shumën e numrave 6 dhe 24 në kllapa.
(6 + 24) + 51 = …
(shto 51 në shumën e numrave 6 dhe 24)

Le të llogarisim vlerën e shprehjes dhe të shohim nëse vlera e shprehjes ka ndryshuar?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Shohim që kuptimi i shprehjes mbetet i njëjtë.

Le të praktikojmë me një shembull më shumë.

(27 + 19) + 1 = 47 (shtoni 1 në shumën e numrave 27 dhe 19)
Cilët numra janë të përshtatshëm për t'u grupuar për të formuar një metodë të përshtatshme?
E keni marrë me mend se këta janë numrat 19 dhe 1. Le të vendosim shumën e numrave 19 dhe 1 në kllapa.
27 + (19 + 1) = …
(në 27 shtoni shumën e numrave 19 dhe 1)
Le të gjejmë kuptimin e kësaj shprehjeje. Kujtojmë se fillimisht kryhet veprimi në kllapa.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Kuptimi i shprehjes sonë mbetet i njëjtë.

Ligji i kombinuar i shtimit: dy terma ngjitur mund të zëvendësohen nga shuma e tyre.

Tani le të praktikojmë përdorimin e të dy ligjeve. Duhet të llogarisim vlerën e shprehjes:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Së pari, le të përdorim vetinë komutative të mbledhjes, e cila na lejon të ndërrojmë shtesat. Le të shkëmbejmë termat 14 dhe 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Tani le të përdorim vetinë e kombinimit, e cila na lejon të zëvendësojmë dy terma ngjitur me shumën e tyre.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Së pari zbulojmë vlerën e shumës 38 dhe 2.

Tani shuma është 14 dhe 6.

3. Festivali i ideve pedagogjike "Mësim i hapur" ().

Bëni atë në shtëpi

1. Llogaritni shumën e termave në mënyra të ndryshme:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Vlerësoni rezultatet e shprehjeve:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Llogaritni shumën në një mënyrë të përshtatshme:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Kemi përcaktuar mbledhjen, shumëzimin, zbritjen dhe pjesëtimin e numrave të plotë. Këto veprime (operacione) kanë një sërë rezultatesh karakteristike, të cilat quhen veti. Në këtë artikull do të shikojmë vetitë themelore të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave të plotë, nga të cilat rrjedhin të gjitha vetitë e tjera të këtyre veprimeve, si dhe vetitë e zbritjes dhe pjesëtimit të numrave të plotë.

Navigimi i faqes.

Shtimi i numrave të plotë ka disa veti të tjera shumë të rëndësishme.

Njëra prej tyre lidhet me ekzistencën e zeros. Kjo veti e mbledhjes së numrave të plotë thotë se Shtimi i zeros në ndonjë numër të plotë nuk e ndryshon atë numër. Le ta shkruajmë këtë veti të mbledhjes duke përdorur shkronjat: a+0=a dhe 0+a=a (kjo barazi është e vërtetë për shkak të vetive komutative të mbledhjes), a është çdo numër i plotë. Ju mund të dëgjoni se numri i plotë zero quhet element neutral përveç kësaj. Le të japim disa shembuj. Shuma e numrit të plotë −78 dhe zeros është −78; Nëse shtoni numrin e plotë pozitiv 999 në zero, rezultati është 999.

Tani do të japim një formulim të një vetie tjetër të mbledhjes së numrave të plotë, e cila shoqërohet me ekzistencën e një numri të kundërt për çdo numër të plotë. Shuma e çdo numri të plotë me numrin e kundërt të tij është zero. Le të japim formën fjalë për fjalë të shkrimit të kësaj vetie: a+(−a)=0, ku a dhe −a janë numra të plotë të kundërt. Për shembull, shuma 901+(−901) është zero; në mënyrë të ngjashme, shuma e numrave të plotë të kundërt −97 dhe 97 është zero.

Vetitë themelore të shumëzimit të numrave të plotë

Shumëzimi i numrave të plotë ka të gjitha vetitë e shumëzimit të numrave natyrorë. Le të rendisim kryesoret e këtyre pronave.

Ashtu si zero është një numër i plotë neutral në lidhje me mbledhjen, një është një numër i plotë neutral në lidhje me shumëzimin e numrave të plotë. Kjo eshte, duke shumëzuar çdo numër të plotë me një nuk e ndryshon numrin që shumëzohet. Pra 1·a=a, ku a është çdo numër i plotë. Barazia e fundit mund të rishkruhet si a·1=a, kjo na lejon të bëjmë vetinë komutative të shumëzimit. Le të japim dy shembuj. Prodhimi i numrit të plotë 556 me 1 është 556; prodhimi i njërit dhe numrit të plotë negativ −78 është i barabartë me −78.

Vetia tjetër e shumëzimit të numrave të plotë lidhet me shumëzimin me zero. Rezultati i shumëzimit të çdo numri të plotë a me zero është zero, pra a·0=0 . Barazia 0·a=0 është gjithashtu e vërtetë për shkak të vetive komutative të shumëzimit të numrave të plotë. Në rastin e veçantë kur a=0, prodhimi i zeros dhe zeros është i barabartë me zero.

Për shumëzimin e numrave të plotë, vetia e kundërt me atë të mëparshme është gjithashtu e vërtetë. Ajo pretendon se prodhimi i dy numrave të plotë është i barabartë me zero nëse të paktën njëri prej faktorëve është i barabartë me zero. Në formë literale, kjo veti mund të shkruhet si vijon: a·b=0, nëse ose a=0, ose b=0, ose të dyja a dhe b janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë.

Vetia shpërndarëse e shumëzimit të numrave të plotë në lidhje me mbledhjen

Mbledhja dhe shumëzimi i përbashkët i numrave të plotë na lejon të marrim parasysh vetinë shpërndarëse të shumëzimit në lidhje me mbledhjen, e cila lidh dy veprimet e treguara. Përdorimi i mbledhjes dhe shumëzimit së bashku hap mundësi shtesë që do të na mungonin nëse do ta konsideronim mbledhjen veçmas nga shumëzimi.

Pra, vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen thotë se prodhimi i një numri të plotë a dhe shuma e dy numrave të plotë a dhe b është i barabartë me shumën e prodhimeve a b dhe a c, d.m.th. a·(b+c)=a·b+a·c. E njëjta pronë mund të shkruhet në një formë tjetër: (a+b)c=ac+bc .

Vetia shpërndarëse e shumëzimit të numrave të plotë në lidhje me mbledhjen, së bashku me vetinë kombinuese të mbledhjes, na lejon të përcaktojmë shumëzimin e një numri të plotë me shumën e tre ose më shumë numrave të plotë dhe më pas shumëzimin e shumës së numrave të plotë me shumën.

Vini re gjithashtu se të gjitha vetitë e tjera të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave të plotë mund të merren nga vetitë që kemi treguar, domethënë ato janë pasoja të vetive të treguara më sipër.

Vetitë e zbritjes së numrave të plotë

Nga barazia që rezulton, si dhe nga vetitë e mbledhjes dhe shumëzimit të numrave të plotë, vijojnë vetitë e mëposhtme të zbritjes së numrave të plotë (a, b dhe c janë numra të plotë arbitrar):

• Zbritja e numrave të plotë në përgjithësi NUK ka vetinë komutative: a−b≠b−a.
• Diferenca e numrave të plotë të barabartë është zero: a−a=0.
• Vetia e zbritjes së shumës së dy numrave të plotë nga një numër i plotë i dhënë: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Vetia e zbritjes së një numri të plotë nga shuma e dy numrave të plotë: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me zbritjen: a·(b−c)=a·b−a·c dhe (a−b)·c=a·c−b·c.
• Dhe të gjitha vetitë e tjera të zbritjes së numrave të plotë.

Vetitë e pjesëtimit të numrave të plotë

Duke diskutuar kuptimin e pjesëtimit të numrave të plotë, zbuluam se pjesëtimi i numrave të plotë është veprimi i kundërt i shumëzimit. Ne dhamë përkufizimin e mëposhtëm: pjesëtimi i numrave të plotë është gjetja e një faktori të panjohur nga një produkt i njohur dhe një faktor i njohur. Domethënë, ne e quajmë numrin e plotë c herësin e pjesëtimit të numrit të plotë a me numrin e plotë b, kur prodhimi c·b është i barabartë me a.

Ky përkufizim, si dhe të gjitha vetitë e operacioneve mbi numrat e plotë të diskutuar më sipër, bëjnë të mundur përcaktimin e vlefshmërisë së vetive të mëposhtme të pjesëtimit të numrave të plotë:

• Asnjë numër i plotë nuk mund të ndahet me zero.
• Vetia e pjesëtimit të zeros me një numër të plotë arbitrar, të ndryshëm nga zero: 0:a=0.
• Vetia e pjesëtimit të numrave të plotë të barabartë: a:a=1, ku a është çdo numër i plotë përveç zeros.
• Vetia e pjesëtimit të një numri të plotë arbitrar a me një: a:1=a.
• Në përgjithësi, ndarja e numrave të plotë NUK ka vetinë komutative: a:b≠b:a.
• Vetitë e pjesëtimit të shumës dhe ndryshimit të dy numrave të plotë me një numër të plotë: (a+b):c=a:c+b:c dhe (a−b):c=a:c−b:c, ku a, b , dhe c janë numra të plotë të tillë që të dy a dhe b janë të pjesëtueshëm me c dhe c është jozero.
• Vetia e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave të plotë a dhe b me një numër të plotë c të ndryshëm nga zero: (a·b):c=(a:c)·b, nëse a është i pjesëtueshëm me c; (a·b):c=a·(b:c) , nëse b pjesëtohet me c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) nëse edhe a edhe b janë të pjestueshme me c.
• Vetia e pjesëtimit të një numri të plotë a me produktin e dy numrave të plotë b dhe c (numrat a , b dhe c janë të tillë që pjesëtimi i a me b c është i mundur): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Çdo veti tjetër e pjesëtimit të numrave të plotë.