Mesatarja e të dhënave të mostrës. Funksioni mesatar në excel për të kryer analiza statistikore

Së bashku me vlerat mesatare, mesataret strukturore llogariten si karakteristika statistikore të serisë së shpërndarjes variacionale - modës dhe mesatare.
Moda(Mo) paraqet vlerën e veçorisë së studiuar, të përsëritur me frekuencën më të lartë, d.m.th. modaliteti është vlera e veçorisë që shfaqet më shpesh.
mesatare(Unë) është vlera e veçorisë që bie në mes të popullsisë së renditur (të renditur), d.m.th. mesatare - vlera qendrore e serisë së variacionit.
Vetia kryesore e medianës është se shuma e devijimeve absolute të vlerave të atributeve nga mediana është më e vogël se nga çdo vlerë tjetër ∑|x i - Me|=min.

Përcaktimi i mënyrës dhe mesatares nga të dhënat e pagrupuara

Konsideroni përcaktimi i modës dhe medianës nga të dhënat e pagrupuara. Le të supozojmë se ekipet e punës, të përbërë nga 9 persona, kanë këto kategori pagash: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Duke qenë se ky ekip ka më së shumti punëtorë të kategorisë së 3-të, kjo kategori tarifore do të jetë modale. Mo = 3.
Për të përcaktuar mesataren, është e nevojshme të renditet: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Në qendër të kësaj serie është punëtori i kategorisë së 4-të, prandaj kjo kategori do të jetë mediana. Nëse seria e renditur përfshin një numër çift njësish, atëherë mesatarja përcaktohet si mesatarja e dy vlerave qendrore.
Nëse modaliteti pasqyron variantin më të zakonshëm të vlerës së atributit, atëherë mediana praktikisht kryen funksionet e një mesatareje për një popullsi heterogjene që nuk i bindet ligjit normal të shpërndarjes. Le të ilustrojmë rëndësinë e tij njohëse me shembullin e mëposhtëm.
Supozoni se duhet të karakterizojmë të ardhurat mesatare të një grupi njerëzish që numërojnë 100 persona, nga të cilët 99 kanë të ardhura nga 100 deri në 200 dollarë në muaj dhe të ardhurat mujore të këtyre të fundit janë 50,000 dollarë (Tabela 1).
Tabela 1 - Të ardhurat mujore të grupit të personave të studiuar. Nëse përdorim mesataren aritmetike, fitojmë një të ardhur mesatare prej rreth 600 - 700 dollarë, që ka pak të përbashkëta me të ardhurat e pjesës kryesore të grupit. Mesatarja, në këtë rast e barabartë me Me = 163 dollarë, do të na lejojë të japim një përshkrim objektiv të nivelit të të ardhurave prej 99% të këtij grupi njerëzish.
Merrni parasysh përkufizimin e modalitetit dhe medianës sipas të dhënave të grupuara (seri e shpërndarjes).
Supozoni se shpërndarja e punëtorëve të të gjithë ndërmarrjes në tërësi sipas kategorisë tarifore ka formën e mëposhtme (Tabela 2).
Tabela 2 - Shpërndarja e punëtorëve të ndërmarrjes sipas kategorisë tarifore

Llogaritja e modalitetit dhe mesatares për një seri diskrete

Llogaritja e modalitetit dhe mesatares për një seri intervali

Llogaritja e modalitetit dhe mesatares për një seri variacionesh

Përcaktimi i modalitetit nga një seri e variacioneve diskrete

Përdoret seria e vlerave të veçorive të ndërtuara më herët, të renditura sipas vlerës. Nëse madhësia e kampionit është tek, merrni vlerën qendrore; nëse madhësia e kampionit është e barabartë, marrim mesataren aritmetike të dy vlerave qendrore.
Përcaktimi i modalitetit nga një seri e variacioneve diskrete: kategoria e 5-të e tarifave ka frekuencën më të lartë (60 persona), prandaj është modale. Mo = 5.
Për të përcaktuar vlerën mesatare të atributit, numri i njësisë mediane të serisë (N Me) gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme: , ku n është vëllimi i popullatës.
Në rastin tonë: .
Vlera fraksionale që rezulton, e cila shfaqet gjithmonë me një numër çift të njësive të popullsisë, tregon se mesi i saktë është midis 95 dhe 96 punëtorë. Është e nevojshme të përcaktohet se cilit grup i përkasin punëtorët me këta numra serialë. Kjo mund të bëhet duke llogaritur frekuencat e grumbulluara. Nuk ka punëtorë me këto shifra në grupin e parë, ku janë vetëm 12 persona dhe nuk janë në grupin e dytë (12+48=60). Punëtorët e 95-të dhe të 96-të janë në grupin e tretë (12+48+56=116), pra kategoria e 4-të e pagave është mesatarja.

Llogaritja e modalitetit dhe mesatares në një seri intervali

Ndryshe nga seritë variacionale diskrete, përcaktimi i modalitetit dhe medianës nga seritë intervale kërkon llogaritje të caktuara bazuar në formulat e mëposhtme:
, (5.6)
ku x0- kufiri i poshtëm i intervalit modal (intervali me frekuencën më të lartë quhet modal);
iështë vlera e intervalit modal;
fMoështë frekuenca e intervalit modal;
f Mo-1është frekuenca e intervalit që i paraprin modalit;
f Mo +1është frekuenca e intervalit që ndjek modalin.
(5.7)
ku x0– kufiri i poshtëm i intervalit mesatar (mediana është intervali i parë, frekuenca e akumuluar e të cilit kalon gjysmën e shumës totale të frekuencave);
iështë vlera e intervalit mesatar;
S Me-1- intervali i akumuluar që i paraprin mesatares;
f Muaështë frekuenca e intervalit mesatar.
Ne ilustrojmë zbatimin e këtyre formulave duke përdorur të dhënat në tabelë. 3.
Intervali me kufijtë 60 - 80 në këtë shpërndarje do të jetë modal, sepse ka frekuencën më të lartë. Duke përdorur formulën (5.6), ne përcaktojmë mënyrën:

Për të vendosur intervalin mesatar, është e nevojshme të përcaktohet frekuenca e akumuluar e çdo intervali pasues derisa të kalojë gjysmën e shumës së frekuencave të grumbulluara (në rastin tonë, 50%) (Tabela 5.11).
U zbulua se mesatarja është intervali me kufijtë 100 - 120 mijë rubla. Tani përcaktojmë mesataren:

Tabela 3 - Shpërndarja e popullsisë së Federatës Ruse sipas nivelit të të ardhurave mesatare nominale për frymë në para në mars 1994

Grupet sipas nivelit të të ardhurave mesatare mujore për frymë, mijë rubla	Përqindja e popullsisë, %
deri në 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Mbi 300	7,7
Total	100,0

Tabela 4 - Përkufizimi i intervalit mesatar
Kështu, mesatarja aritmetike, mënyra dhe mediana mund të përdoren si një karakteristikë e përgjithësuar e vlerave të një atributi të caktuar për njësitë e një popullsie të renditur.
Karakteristika kryesore e qendrës së shpërndarjes është mesatarja aritmetike, e cila karakterizohet nga fakti se të gjitha devijimet prej saj (pozitive dhe negative) mblidhen deri në zero. Është tipike për mesataren që shuma e devijimeve nga ajo në modul është minimale, dhe modaliteti është vlera e veçorisë që ndodh më shpesh.
Raporti i mënyrës, mesatares dhe mesatares aritmetike tregon natyrën e shpërndarjes së tiparit në agregat, na lejon të vlerësojmë asimetrinë e tij. Në shpërndarjet simetrike, të tre karakteristikat janë të njëjta. Sa më e madhe të jetë mospërputhja midis modalitetit dhe mesatares aritmetike, aq më asimetrike është seria. Për seritë me anim të moderuar, ndryshimi midis modalitetit dhe mesatares aritmetike është afërsisht trefishi i ndryshimit midis mesatares dhe mesatares, d.m.th.
|Mo–`x| = 3 |Me –`x|.

Përcaktimi i mënyrës dhe medianës me metodë grafike

Modaliteti dhe mesatarja në një seri intervali mund të përcaktohen grafikisht. Mënyra përcaktohet nga histogrami i shpërndarjes. Për ta bërë këtë, zgjidhet drejtkëndëshi më i lartë, i cili në këtë rast është modal. Pastaj lidhim kulmin e djathtë të drejtkëndëshit modal me këndin e sipërm të djathtë të drejtkëndëshit të mëparshëm. Dhe kulmi i majtë i drejtkëndëshit modal është me këndin e sipërm të majtë të drejtkëndëshit pasues. Nga pika e kryqëzimit të tyre, ne ulim pingul me boshtin e abshisë. Abshisa e pikës së kryqëzimit të këtyre vijave do të jetë mënyra e shpërndarjes (Fig. 5.3).


Oriz. 5.3. Përkufizimi grafik i modës me histogram.


Oriz. 5.4. Përcaktimi grafik i medianës me kumulatë
Për të përcaktuar mesataren nga një pikë në shkallën e frekuencave (frekuencave) të grumbulluara që korrespondon me 50%, vizatohet një vijë e drejtë paralele me boshtin e abshisës deri në kryqëzimin me kumulatin. Pastaj, nga pika e kryqëzimit, një pingul ulet në boshtin e abscisës. Abshisa e pikës së kryqëzimit është mediana.

çerekët, decilat, përqindjet

Në mënyrë të ngjashme, me gjetjen e mesatares në serinë variacionale të shpërndarjes, mund të gjeni vlerën e një veçorie për çdo njësi të serisë së renditur sipas renditjes. Kështu, për shembull, mund të gjeni vlerën e një veçorie në njësi që e ndajnë serinë në katër pjesë të barabarta, në 10 ose 100 pjesë. Këto vlera quhen "kuartile", "decila", "përqindje".
Kuartilët janë vlera e një veçorie që ndan popullsinë e renditur në 4 pjesë të barabarta.
Dalloni midis kuartilit të poshtëm (Q 1), i cili ndan ¼ e popullsisë me vlerat më të ulëta të atributit, dhe kuartilit të sipërm (Q 3), i cili ndërpret ¼ pjesën me vlerat më të larta të atributit . Kjo do të thotë se 25% e njësive të popullsisë do të jenë më pak se Q 1 ; 25% njësi do të mbyllen midis Q 1 dhe Q 2 ; 25% - midis Q 2 dhe Q 3, dhe 25% e mbetur janë superiore ndaj Q 3. Kuartili i mesëm i Q 2 është mesatarja.
Për të llogaritur kuartilet sipas serisë së variacionit të intervalit, përdoren formulat e mëposhtme:
, ,
ku x Q 1– kufiri i poshtëm i intervalit që përmban kuartilin e poshtëm (intervali përcaktohet nga frekuenca e akumuluar, e para që kalon 25%);
x Q 3– kufiri i poshtëm i intervalit që përmban kuartilin e sipërm (intervali përcaktohet nga frekuenca e akumuluar, e para që kalon 75%);
i– vlera e intervalit;
S Q 1-1është frekuenca kumulative e intervalit që i paraprin intervalit që përmban kuartilin e poshtëm;
S Q 3-1është frekuenca kumulative e intervalit që i paraprin intervalit që përmban kuartilin e sipërm;
f Q 1është frekuenca e intervalit që përmban kuartilin e poshtëm;
f Q 3është frekuenca e intervalit që përmban kuartilin e sipërm.
Merrni parasysh llogaritjen e kuartileve të poshtme dhe të sipërme sipas tabelës. 5.10. Kuartili i poshtëm është në intervalin 60 - 80, frekuenca kumulative e së cilës është 33.5%. Kuartili i sipërm shtrihet në intervalin 160 - 180 me një frekuencë të akumuluar prej 75.8%. Me këtë në mendje, marrim:
,
.
Përveç kuartileve, decilet mund të përcaktohen në rangjet e shpërndarjes variacionale - opsione që ndajnë seritë variacionale të renditura në dhjetë pjesë të barabarta. Decili i parë (d 1) e ndan popullsinë 1/10 në 9/10, decili i dytë (d 1) 2/10 në 8/10, e kështu me radhë.
Ato llogariten sipas formulave:
, .
Vlerat e veçorive që e ndajnë serinë në njëqind pjesë quhen përqindje. Raportet e mesatares, kuartileve, decileve dhe përqindjeve janë paraqitur në Fig. 5.5.

Pagat në sektorë të ndryshëm të ekonomisë, temperatura dhe reshjet në të njëjtën zonë për periudha të krahasueshme kohore, rendimentet e të korrave në rajone të ndryshme gjeografike, etj. Megjithatë, mesatarja nuk është aspak treguesi i vetëm përgjithësues - në disa raste për një më të saktë vlerësimi një vlerë e tillë si mesatarja është e përshtatshme. Në statistika, përdoret gjerësisht si një karakteristikë ndihmëse përshkruese e shpërndarjes së një veçorie në një popullatë të vetme. Le të shohim se si ndryshon nga mesatarja, dhe gjithashtu çfarë e shkaktoi nevojën për ta përdorur atë.

Mesatarja në statistika: përkufizimi dhe vetitë

Imagjinoni situatën e mëposhtme: 10 persona punojnë së bashku me drejtorin në një kompani. Punonjësit e zakonshëm marrin 1000 hryvnia secili dhe menaxheri i tyre, i cili, për më tepër, është pronar, merr 10,000 hryvnia. Nëse llogarisim mesataren aritmetike, rezulton se paga mesatare në këtë ndërmarrje është 1900 UAH. A do të jetë e vërtetë kjo deklaratë? Ose për të marrë këtë shembull, në të njëjtën dhomë spitali janë nëntë persona me temperaturë 36,6°C dhe një person me temperaturë 41°C. Mesatarja aritmetike në këtë rast është: (36.6 * 9 + 41) / 10 \u003d 37.04 ° C. Por kjo nuk do të thotë se të gjithë të pranishmit janë të sëmurë. E gjithë kjo sugjeron që shpeshherë nuk mjafton vetëm mesatarja dhe për këtë arsye krahas saj përdoret edhe mesatarja. Në statistika, ky tregues quhet një variant që ndodhet saktësisht në mes të një serie variacionesh të renditura. Nëse e llogaritni atë për shembujt tanë, ju merrni, përkatësisht, 1000 UAH. dhe 36,6 °С. Me fjalë të tjera, mesatarja në statistikë është vlera që e ndan serinë përgjysmë në mënyrë të tillë që në të dy anët e saj (lart ose poshtë) të vendoset i njëjti numër njësish të popullsisë së caktuar. Për shkak të kësaj vetie, ky tregues ka disa emra të tjerë: përqindja e 50-të ose kuantili 0.5.

Si të gjeni mesataren në statistika

Metoda e llogaritjes së kësaj vlere varet kryesisht nga lloji i serive variacionale që kemi: diskrete ose intervale. Në rastin e parë, mesatarja në statistika është mjaft e thjeshtë. Gjithçka që duhet të bëni është të gjeni shumën e frekuencave, të pjesëtoni me 2 dhe më pas t'i shtoni ½ rezultatit. Më së miri do të ishte të shpjegonim parimin e llogaritjes me shembullin e mëposhtëm. Supozoni se kemi grupuar të dhënat e fertilitetit dhe duam të zbulojmë se cila është mesatarja.

Numri i grupit të familjes sipas numrit të fëmijëve	Numri i familjeve

Pasi kemi kryer disa llogaritje të thjeshta, marrim se treguesi i dëshiruar është i barabartë me: 195/2 + ½ = opsion. Për të zbuluar se çfarë do të thotë kjo, duhet të grumbulloni në mënyrë sekuenciale frekuencat, duke filluar nga opsionet më të vogla. Pra, shuma e dy rreshtave të parë na jep 30. Është e qartë se këtu nuk ka 98 opsione. Por nëse rezultatit i shtojmë frekuencën e opsionit të tretë (70), marrim një shumë të barabartë me 100. Ai përmban vetëm opsionin e 98-të, që do të thotë se mesatarja do të jetë një familje që ka dy fëmijë.

Sa i përket serisë së intervalit, formula e mëposhtme zakonisht përdoret këtu:

M e \u003d X Me + i Me * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me, në të cilën:

• X Me - vlera e parë e intervalit mesatar;
• ∑f është numri i serisë (shuma e frekuencave të saj);
• i Me - vlera e diapazonit mesatar;
• f Me - frekuenca e diapazonit mesatar;
• S Me-1 - shuma e frekuencave kumulative në intervalet që i paraprijnë mesatares.

Përsëri, është e vështirë ta kuptosh këtë pa një shembull. Supozoni se ka të dhëna për vlerën

Paga, mijëra rubla		Frekuencat e akumuluara

Për të përdorur formulën e mësipërme, së pari duhet të përcaktojmë intervalin mesatar. Si një interval i tillë, zgjidhet një, frekuenca e akumuluar e së cilës tejkalon ose është e barabartë me gjysmën e shumës totale të frekuencave. Pra, duke e ndarë 510 me 2, marrim se ky kriter korrespondon me një interval me një vlerë pagash prej 250,000 rubla. deri në 300,000 rubla Tani mund të zëvendësoni të gjitha të dhënat në formulën:

M e \u003d X Me + i Me * (∑f / 2 - S Me-1) / f Me \u003d 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 \u003d 286,96 mijë rubla.

Shpresojmë që artikulli ynë të ishte i dobishëm, dhe tani ju keni një ide të qartë se çfarë është mesatarja në statistika dhe si duhet llogaritur.

Për të llogaritur mesataren në MS EXCEL ekziston një funksion i veçantë MEDIAN() . Në këtë artikull, ne do të përcaktojmë mesataren dhe do të mësojmë se si ta llogarisim atë për një mostër dhe për një ligj të caktuar të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

Le të fillojmë me mesataret për mostrat(d.m.th. për një grup fiks vlerash).

Mesatarja e mostrës

mesatare(mediane) është numri që është mesi i grupit të numrave: gjysma e numrave në grup janë më të mëdha se mesatare, dhe gjysma e numrave janë më pak se mesatare.

Për të llogaritur mesataret nevojiten së pari (vlerat në marrjen e mostrave). Për shembull, mesatare për mostrën (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) do të jetë 4. Meqenëse. vetëm në marrjen e mostrave 7 vlera, tre prej tyre më pak se 4 (d.m.th. 2; 3; 3) dhe tre vlera më të mëdha se (d.m.th. 5; 7; 10).

Nëse grupi përmban një numër çift numrash, atëherë ai llogaritet për dy numra në mes të grupit. Për shembull, mesatare për mostrën (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) do të jetë 4.5, sepse (3+6)/2=4,5.

Për përcaktimin mesataret në MS EXCEL ekziston një funksion me të njëjtin emër MEDIAN() , versioni anglisht i MEDIAN().

mesatare nuk përputhet domosdoshmërisht. Një përputhje ndodh vetëm nëse vlerat në mostër shpërndahen në mënyrë simetrike rreth e mesme. Për shembull, për mostrat (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) mesatare dhe mesatare janë të barabarta me 3.5.

Nëse dihet funksioni i shpërndarjes F(x) ose funksioni i densitetit të probabilitetit fq(X), pastaj mesatare mund të gjendet nga ekuacioni:

Për shembull, duke zgjidhur këtë ekuacion në mënyrë analitike për shpërndarjen Lognormale lnN(μ; σ 2), marrim se mesatare llogaritet me formulën =EXP(μ). Për μ=0, mesatarja është 1.

Kushtojini vëmendje pikës Funksionet e shpërndarjes, per cilin F(x)=0,5(shih foton më lart) . Abshisa e kësaj pike është 1. Kjo është vlera e mesatares, e cila natyrisht përkon me vlerën e llogaritur më parë duke përdorur formulën em.

në MS EXCEL mesatare për shpërndarje lognormale LnN(0;1) mund të llogaritet duke përdorur formulën =LOGNORM.INV(0,5,0,1).

shënim: Kujtojmë se integrali i në të gjithë zonën e vendosjes së një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me një.

Prandaj, vija mediane (x=Medianë) ndan zonën nën grafik funksionet e densitetit të probabilitetit në dy pjesë të barabarta.

Për faktin se studiuesi nuk disponon të dhëna për volumin e shitjeve në çdo këmbimore, llogaritja e mesatares aritmetike për të përcaktuar çmimin mesatar për dollar është e papërshtatshme.

Mediana e një serie numrash

Megjithatë, është e mundur të përcaktohet vlera e atributit, i cili quhet mediana (Me). mesatare

në shembullin tonë

Numri mesatar: NoMe = ;

Moda

Tabela 3.6.

fështë shuma e frekuencave të serisë;

S frekuencat kumulative

12_

_

S janë frekuenca të grumbulluara.

Në fig. 3.2. Është paraqitur një histogram i një serie të shpërndarjes së bankave sipas fitimit (sipas tabelës 3.6.).

x është shuma e fitimit, milion rubla,

f është numri i bankave.

"MEDIANI I SERIAVE TË PORËZUARA"

Tekst version HTML i publikimit

Përmbledhje e mësimit të algjebrës në klasën e 7-të

Tema e orës së mësimit: “MEDIANI I SERIAVE TË PRANISHUR”.

mësues i degës Lake School të shkollës së mesme MKOU Burkovskaya Eremenko Tatyana Alekseevna
Qëllimet:
koncepti i mesatares si një karakteristikë statistikore e një serie të renditur; për të formuar aftësinë për të gjetur mesataren për seritë e renditura me numër çift dhe tek anëtarësh; për të formuar aftësinë për të interpretuar vlerat e mesatares në varësi të situatës praktike, për të konsoliduar konceptin e grupit mesatar aritmetik të numrave. Zhvilloni aftësitë e punës së pavarur. Ndërtoni një interes për matematikën.
Gjatë orëve të mësimit

punë gojore.
Janë dhënë rreshtat: 1) 4; një; tetë; 5; një; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0.2; ; katër; 6; 7.3; 6. Gjeni: a) vlerat më të mëdha dhe më të vogla të çdo rreshti; b) diapazoni i çdo rreshti; c) modën e çdo rreshti.
II. Shpjegimi i materialit të ri.
Punë teksti shkollor. 1. Shqyrtoni problemin nga paragrafi 10 i tekstit shkollor. Çfarë do të thotë rreshti i renditur? Theksoj se përpara se të gjeni mesataren, gjithmonë duhet të renditni seritë e të dhënave. 2. Në tabelë njihemi me rregullat për gjetjen e mesatares për seritë me numër çift dhe tek anëtarësh:
mesatare

i rregullt

rresht
numrat
Me

i çuditshëm

numri

anëtarët
thirri numrin e shkruar në mes, dhe
mesatare

rresht i renditur
numrat
me numër çift anëtarësh
quhet mesatarja aritmetike e dy numrave të shkruar në mes.
mesatare

arbitrare

rresht
quhet mediana 1 3 1 7 5 4 e serisë përkatëse të renditur.
Vërej se treguesit janë mesatarja aritmetike, mënyra dhe mesatarja për

ndryshe

karakterizojnë

të dhëna,

marrë

rezultat

vëzhgimet.

III. Formimi i aftësive dhe aftësive.
Grupi 1. Ushtrime për zbatimin e formulave për gjetjen e medianës së një serie të renditur dhe të parenditur. një.
№ 186.
Zgjidhja: a) Numri i anëtarëve të serisë P= 9; mesatare Unë= 41; b) P= 7, rreshti është i renditur, Unë= 207; në) P= 6, rreshti është i renditur, Unë== 21; G) P= 8, rreshti është i renditur, Unë== 2.9. Përgjigje: a) 41; b) 207; në 21; d) 2.9. Nxënësit komentojnë se si gjendet mediana. 2. Gjeni mesataren aritmetike dhe medianën e një serie numrash: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; në) ; 1. b) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Zgjidhja: Për të gjetur mesataren, është e nevojshme të renditni secilën rresht: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34. P = 6; X = = 27,5; Unë== 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + b) 56, 58, 62, 64, 66, 74.

Si të gjeni mesataren në statistika

P = 6; X = 63,3; Unë== 63; në) ; një. P = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; Unë = . 3.
№ 188
(me gojë). Përgjigje: po; b) jo; c) jo; d) po. 4. Duke ditur se seria e porositur përmban t numrat, ku tështë një numër tek, tregoni numrin e termit që është mesatarja nëse tështë e barabartë me: a) 5; b) 17; c) 47; d) 201. Përgjigje: a) 3; b) 9; c) 24; d) 101. Grupi i 2-të. Detyra praktike për gjetjen e medianës së serisë përkatëse dhe interpretimin e rezultatit. një.
№ 189.
Zgjidhja: Numri i anëtarëve të rreshtit P= 12. Për të gjetur mesataren, seritë duhet të renditen: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Mediana e serisë Unë= = 176. Prodhimi mujor ishte më shumë se mesatarja për anëtarët e mëposhtëm të artelit: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 17 xx+ + = 1) Kvitko; 4) Bobkov; 2) Baranov; 5) Rylov; 3) Antonov; 6) Astafiev. Përgjigje: 176. 2.
№ 192.
Zgjidhja: Le të rregullojmë seritë e të dhënave: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; numri i anëtarëve të rreshtit P= 20. Rrëshqitni A = x max- x min = 42 - 30 = 12. Modaliteti Mo= 32 (kjo vlerë ndodh 6 herë - më shpesh se të tjerët). mesatare Unë= = 35. Në këtë rast, diapazoni tregon përhapjen më të madhe të kohës për përpunimin e pjesës; modaliteti tregon vlerën më tipike të kohës së përpunimit; mesatare është koha e përpunimit që gjysma e tornatorëve nuk e kaluan. Përgjigje: 12; 32; 35.
IV. Përmbledhje e mësimit.
Sa është mesatarja e një serie numrash? – A mundet medianaja e një serie numrash të mos përkojë me ndonjë nga numrat e serisë? – Cili është numri mesatarja e një serie të renditur që përmban 2 P numrat? 2 P- 1 numra? Si të gjeni mesataren e një serie të pa renditur?
Detyre shtepie:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

Në rubrikën arsimi i përgjithshëm bazë

Modaliteti dhe mesatarja

Vlerat mesatare përfshijnë gjithashtu modalitetin dhe mesataren.

Mesatarja dhe mënyra përdoren shpesh si karakteristikë mesatare në ato popullata ku llogaritja e mesatares (aritmetike, harmonike, etj.) është e pamundur ose jopraktike.

Për shembull, një studim mostër në qytetin e Omsk me 12 zyra të këmbimit të valutës tregtare bëri të mundur fiksimin e çmimeve të ndryshme për dollarin kur shitej (të dhënat që nga 10 tetori 1995 me kursin e këmbimit të dollarit -4493 rubla) .

Për faktin se studiuesi nuk disponon të dhëna për volumin e shitjeve në çdo këmbimore, llogaritja e mesatares aritmetike për të përcaktuar çmimin mesatar për dollar është e papërshtatshme. Megjithatë, është e mundur të përcaktohet vlera e atributit, i cili quhet mediana (Me). mesatare shtrihet në mes të rreshtit të renditur dhe e përgjysmon atë.

Llogaritja e mesatares për të dhënat e pagrupuara bëhet si më poshtë:

a) rregulloni vlerat individuale të veçorisë në rend rritës:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

b) përcaktoni numrin serial të medianës me formulën:

në shembullin tonë kjo do të thotë se mesatarja në këtë rast ndodhet midis vlerave të gjashtë dhe të shtatë të veçorive në serinë e renditur, pasi seria ka një numër çift vlerash individuale. Kështu, Me është e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave fqinje: 4550, 4560.

c) shqyrtoni procedurën për llogaritjen e mesatares në rastin e një numri tek vlerash individuale.

Supozoni se ne vëzhgojmë jo 12, por 11 pika të këmbimit valutor, atëherë seria e renditur do të duket kështu (ne hedhim poshtë pikën e 12-të):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

Numri mesatar: NoMe = ;

në vendin e gjashtë është = 4560, që është mesatarja: Me = 4560. Në të dy anët e tij është i njëjti numër pikësh.

Moda- kjo është vlera më e zakonshme e atributit në njësi të kësaj popullate. Ajo korrespondon me një vlerë të caktuar karakteristike.

Në rastin tonë, çmimi modal për dollar mund të quhet 4560 rubla: kjo vlerë përsëritet 4 herë, më shpesh se të gjithë të tjerët.

Në praktikë, modaliteti dhe mesatarja zakonisht gjenden nga të dhënat e grupuara. Si rezultat i grupimit, u përftua një sërë shpërndarjesh të bankave sipas shumës së fitimit të marrë për vitin (Tabela 3.6.).

Tabela 3.6.

Grupimi i bankave sipas shumës së fitimit të marrë për vitin

Për të përcaktuar mesataren, është e nevojshme të llogaritet shuma e frekuencave kumulative. Rritja në total vazhdon derisa shuma kumulative e frekuencave të kalojë gjysmën e shumës së frekuencave. Në shembullin tonë, shuma e frekuencave të grumbulluara (12) tejkalon gjysmën e të gjitha vlerave (20:2). Kjo vlerë korrespondon me intervalin mesatar, i cili përmban mesataren (5.5 - 6.4). Le të përcaktojmë vlerën e tij me formulën:

ku është vlera fillestare e intervalit që përmban mesataren;

- vlera e intervalit mesatar;

fështë shuma e frekuencave të serisë;

është shuma e frekuencave kumulative që i paraprijnë intervalit mesatar;

është frekuenca e intervalit mesatar.

Kështu, 50% e bankave kanë një fitim prej 6.1 milion rubla, dhe 50% e bankave - më shumë se 6.1 milion rubla.

Frekuenca më e lartë korrespondon gjithashtu me intervalin 5.5 - 6.4, d.m.th. modaliteti duhet të jetë në këtë interval. Vlera e saj përcaktohet nga formula:

ku është vlera fillestare e intervalit që përmban modalitetin;

- vlera e intervalit modal;

është frekuenca e intervalit modal;

- frekuenca e intervalit që i paraprin modalit;

- frekuenca e intervalit pas modalit.

Formula e dhënë e modës mund të përdoret në seri variacionale me intervale të barabarta.

Kështu, në këtë agregat, fitimi më i zakonshëm është 6.10 milion rubla.

Mesatarja dhe mënyra mund të përcaktohen grafikisht. Mesatarja përcaktohet nga kumulati (Fig. 3.1.). Për ta ndërtuar atë, është e nevojshme të llogariten frekuencat dhe frekuencat kumulative. Frekuencat kumulative tregojnë se sa njësi të popullsisë kanë vlera tipare jo më të mëdha se vlera e konsideruar, dhe përcaktohet nga përmbledhja e njëpasnjëshme e frekuencave të intervalit. Kur ndërtohet seria kumulative e shpërndarjes së intervalit, kufiri i poshtëm i intervalit të parë korrespondon me një frekuencë të barabartë me zero, dhe kufiri i sipërm korrespondon me të gjithë frekuencën e intervalit të caktuar. Kufiri i sipërm i intervalit të dytë korrespondon me frekuencën kumulative të barabartë me shumën e frekuencave të dy intervaleve të para, e kështu me radhë.

Le të ndërtojmë një kurbë kumulative sipas tabelës. 6 për shpërndarjen e bankave sipas fitimit.

S frekuencat kumulative

12_

_

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Х fitimi

Oriz. 3.1. Shpërndarja kumulative e bankave sipas fitimit:

x është shuma e fitimit, milion rubla,

S janë frekuenca të grumbulluara.

Për të përcaktuar mesataren, lartësia e ordinatës më të madhe, e cila korrespondon me popullsinë totale, ndahet në gjysmë. Një vijë e drejtë vizatohet në pikën e përftuar, paralel me boshtin e abshisës, derisa të kryqëzohet me kumulacionin. Abshisa e pikës së kryqëzimit është mediana.

Mënyra përcaktohet nga histogrami i shpërndarjes. Histogrami është ndërtuar kështu:

Në boshtin e abshisës vizatohen segmente të barabarta, të cilat, në shkallën e pranuar, korrespondojnë me madhësinë e intervaleve të serisë së variacionit. Drejtkëndëshat ndërtohen në segmente, zonat e të cilave janë proporcionale me frekuencat (ose frekuencat) e intervalit.

Mesatarja në statistika

3.2. Është paraqitur një histogram i një serie të shpërndarjes së bankave sipas fitimit (sipas tabelës 3.6.).

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 X

Oriz. 3.2. Shpërndarja e bankave tregtare sipas fitimit:

x është shuma e fitimit, milion rubla,

f është numri i bankave.

Për të përcaktuar modën, ne lidhim kulmin e djathtë të drejtkëndëshit modal me këndin e sipërm të djathtë të drejtkëndëshit të mëparshëm, dhe kulmin e majtë të drejtkëndëshit modal me këndin e sipërm të majtë të drejtkëndëshit tjetër. Abshisa e pikës së kryqëzimit të këtyre vijave do të jetë mënyra e shpërndarjes.

Mesatarja (statistikë)

Mesatarja (statistikë), në statistikat matematikore, një numër që karakterizon një mostër (për shembull, një grup numrash). Nëse të gjithë elementët në mostër janë të ndryshëm, atëherë mediana është numri i mostrës në mënyrë që saktësisht gjysma e elementeve në mostër të jenë më të mëdha se ajo dhe gjysma tjetër janë më të vogla se ajo. Në një rast më të përgjithshëm, mediana mund të gjendet duke renditur elementët e kampionit në rend rritës ose zbritës dhe duke marrë elementin e mesëm. Për shembull, kampioni (11, 9, 3, 5, 5) pas renditjes kthehet në (3, 5, 5, 9, 11) dhe mediana e tij është numri 5. Nëse kampioni ka një numër çift elementesh, mesatarja mund të mos përcaktohet në mënyrë unike: për të dhënat numerike, përdoret më shpesh gjysma e dy vlerave ngjitur (d.m.th., mesatarja e grupit (1, 3, 5, 7) merret e barabartë me 4).

Me fjalë të tjera, mesatarja në statistikë është vlera që e ndan serinë përgjysmë në mënyrë të tillë që në të dy anët e saj (lart ose poshtë) të vendoset i njëjti numër njësish të popullsisë së caktuar.

Detyra numër 1. Llogaritja e mesatares aritmetike, e vlerës modale dhe mesatare

Për shkak të kësaj vetie, ky tregues ka disa emra të tjerë: përqindja e 50-të ose kuantili 0.5.

• Mesatarja
  
• mesatare
  
• Moda
  

Mesatarja (statistikë)

Mesatarja (statistikë), në statistikat matematikore, një numër që karakterizon një mostër (për shembull, një grup numrash). Nëse të gjithë elementët në mostër janë të ndryshëm, atëherë mediana është numri i mostrës në mënyrë që saktësisht gjysma e elementeve në mostër të jenë më të mëdha se ajo dhe gjysma tjetër janë më të vogla se ajo. Në një rast më të përgjithshëm, mediana mund të gjendet duke renditur elementët e kampionit në rend rritës ose zbritës dhe duke marrë elementin e mesëm. Për shembull, kampioni (11, 9, 3, 5, 5) pas renditjes kthehet në (3, 5, 5, 9, 11) dhe mesatarja e tij është numri 5.

5.5 Modaliteti dhe mesatarja. Llogaritja e tyre në seri variacionale diskrete dhe intervale

Nëse kampioni ka një numër çift elementesh, mesatarja mund të mos përcaktohet në mënyrë unike: për të dhënat numerike, përdoret më shpesh gjysma e dy vlerave ngjitur (d.m.th., mediana e grupit (1, 3, 5, 7) merret e barabartë me 4).

Me fjalë të tjera, mesatarja në statistikë është vlera që e ndan serinë përgjysmë në mënyrë të tillë që në të dy anët e saj (lart ose poshtë) të vendoset i njëjti numër njësish të popullsisë së caktuar. Për shkak të kësaj vetie, ky tregues ka disa emra të tjerë: përqindja e 50-të ose kuantili 0.5.

Mesatarja përdoret në vend të mesatares aritmetike kur variantet ekstreme të serisë së renditur (më e vogla dhe më e madhe) në krahasim me pjesën tjetër rezultojnë të jenë tepër të mëdha ose tepër të vogla.

Funksioni MEDIAN mat prirjen qendrore, e cila është qendra e një grupi numrash në një shpërndarje statistikore. Ekzistojnë tre mënyra më të zakonshme për të përcaktuar trendin qendror:

• Mesatarja- mesatarja aritmetike, e cila llogaritet duke mbledhur një grup numrash, e ndjekur nga pjesëtimi i shumës që rezulton me numrin e tyre.
  Për shembull, mesatarja për numrat 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 5, që është rezultat i pjesëtimit të shumës së tyre, që është 30, me numrin e tyre, që është 6.
• mesatare- një numër që është mesi i një grupi numrash: gjysma e numrave kanë vlera më të mëdha se mesatarja dhe gjysma e numrave janë më të vegjël.
  Për shembull, mesatarja për numrat 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 4.
• Modaështë numri që shfaqet më shpesh në grupin e caktuar të numrave.
  Për shembull, mënyra për numrat 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 do të ishte 3.

Mësimi i algjebrës në klasën e 7-të.

Tema “Mediana si karakteristikë statistikore”.

Mësuesja Egorova N.I.

Qëllimi i mësimit: të formojë të kuptuarit e nxënësve për medianën e një grupi numrash dhe aftësinë për ta llogaritur atë për grupe të thjeshta numerike, duke fiksuar konceptin e grupit mesatar aritmetik të numrave.

Lloji i mësimit: shpjegim i materialit të ri.

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ.

Informoni temën e mësimit dhe formuloni objektivat e saj.

2. Aktualizimi i njohurive të mëparshme.

Pyetje për studentët:

Cila është mesatarja aritmetike e një grupi numrash?

Ku ndodhet mesatarja aritmetike brenda një grupi numrash?

Çfarë e karakterizon mesataren aritmetike të një grupi numrash?

Ku përdoret shpesh mesatarja aritmetike e një grupi numrash?

Detyrat me gojë:

Gjeni mesataren aritmetike të një grupi numrash:

Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Libër mësuesi: nr 169, nr 172.

3. Mësimi i materialit të ri.

Në mësimin e mëparshëm, ne u njohëm me një karakteristikë të tillë statistikore si mesatarja aritmetike e një grupi numrash. Sot do t'i kushtojmë një mësim një karakteristike tjetër statistikore - mesatares.

Jo vetëm mesatarja aritmetike tregon se ku në vijën numerike ndodhen numrat e çdo grupi dhe ku është qendra e tyre. Një tregues tjetër është mesatarja.

Mediana e një grupi numrash është numri që e ndan grupin në dy pjesë të barabarta. Në vend të "mesatare" mund të thuhet "mesatare".

Së pari, duke përdorur shembuj, ne do të analizojmë se si të gjejmë mesataren dhe më pas do të japim një përkufizim të rreptë.

Merrni parasysh shembullin verbal të mëposhtëm duke përdorur një projektor

Në fund të vitit shkollor 11 nxënës të klasës së 7-të kaluan standardin e vrapimit 100 metra. Rezultatet e mëposhtme janë regjistruar:

Pasi djemtë vrapuan në distancë, Petya iu afrua mësuesit dhe e pyeti se cili ishte rezultati i tij.

"Shumica mesatare: 16.9 sekonda," u përgjigj mësuesi

"Pse?" Petya u befasua. - Në fund të fundit, mesatarja aritmetike e të gjitha rezultateve është rreth 18.3 sekonda, dhe unë vrapova një sekondë ose më shumë më mirë. Dhe në përgjithësi, rezultati i Katya (18.4) është shumë më afër mesatares sesa i imi.

“Rezultati juaj është mesatar, sepse pesë persona vrapuan më mirë se ju dhe pesë më keq. Pra, ju jeni në mes”, tha mësuesi.

Shkruani një algoritëm për gjetjen e medianës së një grupi numrash:

Rendit grupin numerik (harto një seri të renditur).

Në të njëjtën kohë, ne kryqëzojmë numrat "më të mëdhenj" dhe "më të vegjël" të këtij grupi numrash derisa të mbeten një numër ose dy numra.

Nëse ka vetëm një numër, atëherë ai është mesatarja.

Nëse kanë mbetur dy numra, atëherë mesatarja do të jetë mesatarja aritmetike e dy numrave të mbetur.

Ftojini studentët të formulojnë në mënyrë të pavarur përkufizimin e medianës së një grupi numrash, më pas lexojnë përkufizimin e medianës në tekstin shkollor (f. 40), më pas zgjidhin nr. 186 (a, b), nr. 187 (a) të teksti shkollor (f. 41).

Koment:

Tërhiqni vëmendjen e studentëve në një rrethanë të rëndësishme: mesatarja është praktikisht e pandjeshme ndaj devijimeve të rëndësishme të vlerave ekstreme individuale të grupeve të numrave. Në statistika, kjo pronë quhet stabilitet. Stabiliteti i një treguesi statistikor është një veti shumë e rëndësishme, na siguron nga gabimet e rastësishme dhe të dhëna individuale jo të besueshme.

4. Konsolidimi i materialit të studiuar.

Zgjidhja e problemeve.

Shënoni x-mesatare aritmetike, Me-mediane.

Kompleti i numrave: 1,3,5,7,9.

x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,

Kompleti i numrave: 1,3,5,7,14.

x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.

a) Bashkësia e numrave: 3,4,11,17,21

b) Komplet numrash: 17,18,19,25,28

c) grup numrash: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Përfundim: medianaja e një grupi numrash të përbërë nga një numër tek anëtarësh është i barabartë me numrin në mes.

a) Një grup numrash: 2, 4, 8, 9.

Unë = (4+8):2=12:2=6

b) Një grup numrash: 1,3,5,7,8,9.

Unë = (5+7):2=12:2=6

Medianaja e një grupi numrash që përmbajnë një numër çift anëtarësh është gjysma e shumës së dy numrave në mes.

Nxënësi mori notat e mëposhtme në algjebër gjatë tremujorit:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Gjeni pikën mesatare dhe mesataren e këtij grupi.

Le të gjejmë rezultatin mesatar, domethënë mesataren aritmetike:

x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4.4

Gjeni mesataren e këtij grupi numrash:

Le të renditim një grup numrash: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Vetëm 10 numra, për të gjetur mesataren duhet të merrni dy numra të mesëm dhe të gjeni gjysmën e shumës së tyre.

Unë = (5+5): 2 = 5

Pyetje për nxënësit: Nëse do të ishit mësues, çfarë note do t'i jepnit këtij nxënësi për një të katërtën? Arsyetoni përgjigjen.

Presidenti i kompanisë merr një pagë prej 300,000 rubla. tre nga zëvendësit e tij marrin 150,000 rubla secili, dyzet punonjës - 50,000 rubla secili. dhe paga e një pastruesi është 10,000 rubla. Gjeni mesataren aritmetike dhe mesataren e pagave në kompani. Cila nga këto karakteristika është më e dobishme për presidentin që të përdorë për qëllime reklamimi?

x \u003d (300000 + 3 150000 + 40 50000 + 10000): (1 + 3 + 40 + 1) \u003d 2760000: 45 \u003d 61333,33 (rubla)

Nr 6. Me gojë.

A) Sa numra ka bashkësia nëse mediana e saj është termi i nëntë?

B) Sa numra ka bashkësia nëse mediana e saj është mesatarja aritmetike e anëtarëve të 7-të dhe të 8-të?

C) Në një grup prej shtatë numrash, numri më i madh u rrit me 14. A do të ndryshojë kjo si mesataren aritmetike ashtu edhe mesataren?

D) Secili nga numrat në bashkësi është rritur me 3. Çfarë do të ndodhë me mesataren aritmetike dhe medianën?

Ëmbëlsirat në dyqan shiten sipas peshës. Për të zbuluar se sa ëmbëlsira përmban një kilogram, Masha vendosi të gjejë peshën e një karamele. Ajo peshoi disa karamele dhe mori rezultatet e mëposhtme:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Të dyja karakteristikat janë të përshtatshme për të vlerësuar peshën e një karamele, pasi ata nuk janë shumë të ndryshëm nga njëri-tjetri.

Pra, për të karakterizuar informacionin statistikor, përdoret mesatarja aritmetike dhe mediana. Në shumë raste, disa nga karakteristikat mund të mos kenë ndonjë kuptim kuptimplotë (për shembull, duke pasur informacion për kohën e aksidenteve rrugore, vështirë se ka kuptim të flasim për mesataren aritmetike të këtyre të dhënave).

Detyrë shtëpie: paragrafi 10, nr.186 (c, d), nr.190.

5. Rezultatet e mësimit. Reflektimi.

1. "Kërkimi statistikor: mbledhja dhe grupimi i të dhënave statistikore"

   Mësim

   … Temat propozuar për të shtatën klasës. PLANIFIKIMI TEMATIK. § një. Statistikorekarakteristikat. P 1. Mesatarja aritmetike, diapazoni dhe mënyra 1h. P 2. mesataresistatistikorekarakteristike …

2. Programi i punës së kursit të trajnimit "algjebër" në klasën e 7-të (niveli bazë) shënim shpjegues.

   Programi i punës

   ... pika 10 mesataresistatistikorekarakteristike 23 f.9 Mesatarja aritmetike, diapazoni dhe mënyra 24 Provimi nr. 2 në temë …

3. Programi i punës. Matematika. klasa e 5-të f. Kanashi. 2011

   Programi i punës

   ... ekuacionet. Mesatarja aritmetike, diapazoni dhe mënyra. mesataresistatistikorekarakteristike. Qëllimi është të sistematizohen dhe të përmbledhen informacionet rreth ... dhe aftësive të fituara në mësimet sipas temave(mirë algjebër 10 klasës). 11 Klasa(4 orë në javë...

4. Urdhri nr 51 i datës 30 gusht 2012 Programi i punës së Algjebrës Klasa 7

   Programi i punës

   … material mësimor mesataresistatistikorekarakteristike Njihni përkufizimin e mesatares aritmetike, diapazonit, modalitetit dhe mesataretsistatistikorekarakteristikat Frontale dhe individuale...

5. Programi i punës në matematikë klasa 7 ii niveli bazë (1)

   Programi i punës

   Si të gjeni mesataren e një serie

   njëjtë, si në 6 klasë. Studimi Temat përfundon duke i njohur nxënësit me më të thjeshtat statistikorekarakteristikat: e mesme ... M .: Shtëpia botuese "Genzher", 2009. 3. Zhokhov, V.I. Mësimetalgjebër në 7 klasë: libër. për mësuesin / V. I. Zhokhov ...

Dokumente të tjera të lidhura..

Në vitin 1906, shkencëtari i madh dhe eugjenisti i njohur Francis Galton vizitoi Ekspozitën vjetore të Kafshëve dhe Shpendëve në Anglinë perëndimore, ku, rastësisht, kreu një eksperiment interesant.

Sipas James Surowetsky, autor i The Wisdom of the Crowd, kishte një konkurs në Panairin Galton në të cilin njerëzit duhej të merrnin me mend peshën e një demi të therur. Ai që emëroi numrin më të afërt me numrin e vërtetë u shpall fitues.

Galtoni ishte i njohur për përbuzjen e tij për aftësitë intelektuale të njerëzve të zakonshëm. Ai besonte se vetëm ekspertët e vërtetë do të ishin në gjendje të bënin deklarata të sakta për peshën e demit. Dhe 787 pjesëmarrës të konkursit nuk ishin ekspertë.

Shkencëtari do të provonte paaftësinë e turmës duke llogaritur numrin mesatar nga përgjigjet e pjesëmarrësve. Cila ishte habia e tij kur doli se rezultati që mori korrespondonte pothuajse saktësisht me peshën reale të demit!

Vlera mesatare - shpikje e vonë

Sigurisht, saktësia e përgjigjes e mahniti studiuesin. Por edhe më i spikatur është fakti që Galton mendoi të përdorte fare mesataren.

Në botën e sotme, mesataret dhe të ashtuquajturat mesatare janë kudo: temperatura mesatare në Nju Jork në prill është 52 gradë Fahrenheit; Stephen Curry mesatarisht 30 pikë për lojë; Të ardhurat mesatare të familjes në SHBA janë 51,939 dollarë/vit.

Megjithatë, ideja se shumë rezultate të ndryshme mund të përfaqësohen nga një numër i vetëm është mjaft e re. Deri në shekullin e 17-të, mesataret nuk përdoreshin përgjithësisht.

Si lindi dhe u zhvillua koncepti i mesatareve dhe mesatareve? Dhe si arriti të bëhej teknika kryesore matëse në kohën tonë?

Mbizotërimi i mjeteve mbi mesataret kishte pasoja të gjera për të kuptuarit tonë të informacionit. Dhe shpeshherë i çonte njerëzit në rrugë të gabuar.

Vlerat mesatare dhe mesatare

Imagjinoni sikur po tregoni një histori për katër persona që darkuan me ju mbrëmë në një restorant. Ju do t'i jepnit njërit prej tyre 20 vjet, një tjetri 30, të tretës 40 dhe të katërtit 50. Çfarë do të thonit për moshat e tyre në tregimin tuaj?

Me shumë mundësi, ju do t'i quani ata mosha mesatare.

Mesatarja përdoret shpesh për të përcjellë informacione rreth diçkaje, si dhe për të përshkruar një grup matjesh. Teknikisht, mesatarja është ajo që matematikanët e quajnë "mesatarja aritmetike" - shuma e të gjitha matjeve pjesëtuar me numrin e matjeve.

Megjithëse fjala "mesatare" përdoret shpesh si sinonim për fjalën "mediane" (mediane), kjo e fundit më shpesh quhet mesi i diçkaje. Kjo fjalë vjen nga latinishtja "medianus", që do të thotë "mes".

Vlera mesatare në Greqinë e Lashtë

Historia e vlerës mesatare buron nga mësimet e matematikanit të lashtë grek Pitagora. Për Pitagorën dhe shkollën e tij, mediana kishte një përkufizim të qartë dhe ishte shumë ndryshe nga mënyra se si ne e kuptojmë mesataren sot. Është përdorur vetëm në matematikë, jo në analizën e të dhënave.

Në shkollën e Pitagorës, vlera mesatare ishte numri mesatar në një sekuencë numrash me tre terma, në raport "të barabartë" me termat fqinjë. Raporti "i barabartë" mund të nënkuptojë të njëjtën distancë. Për shembull, numri 4 në rreshtin 2,4,6. Megjithatë, ai mund të shprehë gjithashtu një progresion gjeometrik, si p.sh. 10 në sekuencën 1,10,100.

Statisticiani Churchill Eisenhart shpjegon se në Greqinë e lashtë, mesatarja nuk përdorej si përfaqësues ose zëvendësues i ndonjë grupi numrash. Ai thjesht shënonte mesin dhe shpesh përdorej në provat matematikore.

Eisenhart kaloi dhjetë vjet duke studiuar mesataren dhe mesataren. Fillimisht u përpoq të gjente funksionin përfaqësues të medianës në ndërtimet e hershme shkencore. Megjithatë, në vend të kësaj, ai zbuloi se shumica e fizikantëve dhe astronomëve të hershëm mbështeteshin në matje të vetme, të bëra me mjeshtëri, dhe ata nuk kishin një metodologji për të zgjedhur rezultatin më të mirë midis shumë vëzhgimeve.

Studiuesit modernë i bazojnë përfundimet e tyre në mbledhjen e sasive të mëdha të të dhënave, si, për shembull, biologët që studiojnë gjenomin njerëzor. Shkencëtarët e lashtë, nga ana tjetër, mund të bënin disa matje, por zgjodhën vetëm më të mirën për të ndërtuar teoritë e tyre.

Siç shkroi historiani i astronomisë Otto Neugebauer, "kjo është në përputhje me dëshirën e vetëdijshme të njerëzve të lashtë për të minimizuar sasinë e të dhënave empirike në shkencë, sepse ata nuk besonin në saktësinë e vëzhgimeve të drejtpërdrejta".

Për shembull, matematikani dhe astronomi grek Ptolemeu llogariti diametrin këndor të hënës duke përdorur metodën e vëzhgimit dhe teorinë e lëvizjes së tokës. Rezultati i tij ishte 31'20. Sot ne e dimë se diametri i Hënës varion nga 29'20 deri në 34'6, në varësi të distancës nga Toka. Ptolemeu përdori pak të dhëna në llogaritjet e tij, por ai kishte çdo arsye të besonte se ato ishin të sakta.

Eisenhart shkruan: “Duhet pasur parasysh se marrëdhënia midis vëzhgimit dhe teorisë në lashtësi ishte e ndryshme nga ajo që është sot. Rezultatet e vëzhgimeve nuk u kuptuan si fakte me të cilat duhej përshtatur teoria, por si raste konkrete që mund të jenë të dobishme vetëm si shembuj ilustrues të së vërtetës së teorisë.

Përfundimisht, shkencëtarët do t'i drejtohen matjeve përfaqësuese të të dhënave, por fillimisht as mjetet dhe as mediat nuk u përdorën në këtë rol. Nga antikiteti e deri në ditët e sotme, një koncept tjetër matematikor është përdorur si një mjet i tillë përfaqësues - gjysma e vlerave ekstreme.

Gjysma e shumës së vlerave ekstreme

Mjetet e reja shkencore lindin pothuajse gjithmonë nga nevoja për të zgjidhur një problem të caktuar në një disiplinë. Nevoja për të gjetur vlerën më të mirë midis shumë matjeve lindi nga nevoja për të përcaktuar me saktësi vendndodhjen gjeografike.

Gjiganti intelektual i shekullit të 11-të Al-Biruni njihet si një nga njerëzit e parë që përdori metodologjinë e kuptimeve përfaqësuese. Al-Biruni shkroi se kur kishte në dispozicion shumë matje dhe donte të gjente më të mirën mes tyre, ai përdori "rregullin" e mëposhtëm: duhet të gjesh një numër që korrespondon me mesin midis dy vlerave ekstreme. Gjatë llogaritjes së gjysmës së shumës së vlerave ekstreme, të gjithë numrat midis vlerave maksimale dhe minimale nuk merren parasysh, por gjendet vetëm mesatarja e këtyre dy numrave.

Al-Biruni e aplikoi këtë metodë në fusha të ndryshme, duke përfshirë llogaritjen e gjatësisë së qytetit të Ghazni, i cili ndodhet në territorin e Afganistanit modern, si dhe në studimet e tij për vetitë e metaleve.

Megjithatë, në shekujt e fundit, gjysma e shumës së ekstremeve është përdorur gjithnjë e më pak. Në fakt, në shkencën moderne, ajo nuk është aspak e rëndësishme. Vlera mesatare zëvendësoi gjysmën e shumës.

Kalimi në mesatare

Nga fillimi i shekullit të 19-të, përdorimi i mesatares/mesatareve ishte bërë një metodë e zakonshme për të gjetur vlerën më të saktë përfaqësuese nga një grup të dhënash. Friedrich von Gauss, një matematikan i shquar i kohës së tij, shkroi në 1809: "Besohej se nëse një numër i caktuar përcaktohej nga disa vëzhgime të drejtpërdrejta të bëra në të njëjtat kushte, atëherë mesatarja aritmetike është vlera më e vërtetë. Nëse nuk është mjaft e rreptë, atëherë të paktën është afër realitetit, dhe për këtë arsye gjithmonë mund të mbështeteni në të.

Pse ka pasur një ndryshim të tillë në metodologji?

Kjo pyetje është mjaft e vështirë për t'iu përgjigjur. Në kërkimin e tij, Churchill Eisenhart sugjeron se metoda e gjetjes së mesatares aritmetike mund të kishte origjinën në fushën e matjes së devijimit magnetik, domethënë në gjetjen e ndryshimit midis drejtimit të gjilpërës së busullës që tregon veriun dhe veriun real. Kjo matje ishte jashtëzakonisht e rëndësishme gjatë Epokës së Zbulimeve.

Eisenhart zbuloi se deri në fund të shekullit të 16-të, shumica e shkencëtarëve që matën devijimin magnetik përdorën metodën ad hoc (nga latinishtja "në këtë, për këtë rast, për këtë qëllim") në zgjedhjen e matjes më të saktë.

Por në vitin 1580, shkencëtari William Borough e trajtoi problemin ndryshe. Ai mori tetë matje të ndryshme të devijimit dhe i krahasoi ato, dhe arriti në përfundimin se leximi më i saktë ishte midis 11 ⅓ dhe 11 ¼ gradë. Ai ndoshta llogariti mesataren aritmetike, e cila ishte në këtë interval. Sidoqoftë, vetë Borough nuk e quajti haptazi qasjen e tij metodën e re.

Para vitit 1635, nuk kishte fare raste të qarta të përdorimit të vlerës mesatare si një numër përfaqësues. Megjithatë, ishte atëherë që astronomi anglez Henry Gellibrand bëri dy matje të ndryshme të devijimit magnetik. Njëra është bërë në mëngjes (11 gradë) dhe tjetra pasdite (11 gradë e 32 minuta). Duke llogaritur vlerën më të vërtetë, ai shkroi:

"Nëse gjejmë mesataren aritmetike, mund të themi me probabilitet të lartë se rezultati i një matjeje të saktë duhet të jetë rreth 11 gradë 16 minuta."

Ka të ngjarë që kjo ishte hera e parë që mesatarja u përdor si më e afërta me të vërtetën!

Fjala "mesatare" u përdor në anglisht në fillim të shekullit të 16-të për t'iu referuar humbjeve financiare nga dëmtimi që një anije ose ngarkesë pësoi gjatë një udhëtimi. Për njëqind vitet e ardhshme, ai shënonte pikërisht këto humbje, të cilat llogariteshin si mesatare aritmetike. Për shembull, nëse një anije u dëmtua gjatë një udhëtimi dhe ekuipazhi duhej të hidhte disa mallra në det për të kursyer peshën e anijes, investitorët pësuan një humbje financiare të barabartë me shumën e investimit të tyre - këto humbje u llogaritën në të njëjtën mënyrë si mesatare aritmetike. Kështu gradualisht vlerat e mesatares (mesatares) dhe mesatares aritmetike u konvergjuan.

Vlera mesatare

Sot, mesatarja ose mesatarja aritmetike përdoret si mënyra kryesore për të zgjedhur një vlerë përfaqësuese të një grupi matjesh. Si ndodhi? Pse ky rol nuk iu caktua vlerës mesatare?

Francis Galton ishte kampioni mesatar

Termi "vlera mesatare" (mediane) - termi i mesëm në një seri numrash, duke e ndarë këtë seri me gjysmën - u shfaq pothuajse në të njëjtën kohë me mesataren aritmetike. Në 1599, matematikani Edward Wright, i cili po punonte për problemin e devijimit normal në një busull, sugjeroi fillimisht përdorimin e vlerës mesatare.

“... Le të themi se shumë harkëtarë qëllojnë në ndonjë objektiv. Objektivi hiqet më pas. Si mund të zbuloni se ku ishte objektivi? Ju duhet të gjeni vendin e mesëm midis të gjitha shigjetave. Po kështu, midis grupit të rezultateve të vëzhgimeve, më afër së vërtetës do të jetë ai në mes.

Mesatarja u përdor gjerësisht në shekullin e nëntëmbëdhjetë, duke u bërë një pjesë e domosdoshme e çdo analize të të dhënave në atë kohë. Ai u përdor gjithashtu nga Francis Galton, analisti i shquar i shekullit të nëntëmbëdhjetë. Në tregimin e peshimit të demit në fillim të këtij artikulli, Galton fillimisht përdori mesataren si përfaqësim të opinionit të turmës.

Shumë analistë, përfshirë Galton, preferuan mesataren sepse është më e lehtë të llogaritet për grupe të dhënash më të vogla.

Megjithatë, mesatarja nuk ka qenë kurrë më popullore se mesatarja. Me shumë mundësi, kjo ka ndodhur për shkak të vetive të veçanta statistikore të qenësishme në vlerën mesatare, si dhe lidhjes së saj me shpërndarjen normale.

Lidhja ndërmjet shpërndarjes mesatare dhe normale

Kur marrim shumë matje, rezultatet, siç thonë statisticienët, "shpërndahen normalisht". Kjo do të thotë që nëse këto të dhëna paraqiten në një grafik, atëherë pikat në të do të përshkruajnë diçka të ngjashme me një zile. Nëse i lidhni, ju merrni një kurbë "në formë zile". Shumë statistika përshtaten me shpërndarjen normale, si gjatësia e njerëzve, IQ dhe temperatura më e lartë vjetore.

Kur të dhënat shpërndahen normalisht, mesatarja do të jetë shumë afër pikës më të lartë në lakoren e ziles dhe një numër shumë i madh matjesh do të jetë afër mesatares. Madje ekziston një formulë që parashikon se sa matje do të jenë një distancë nga mesatarja.

Kështu, llogaritja e mesatares u jep studiuesve shumë informacion shtesë.

Marrëdhënia e mesatares me devijimin standard i jep një avantazh të madh, sepse mediana nuk ka një lidhje të tillë. Kjo lidhje është një pjesë e rëndësishme e analizës së të dhënave eksperimentale dhe përpunimit statistikor të informacionit. Kjo është arsyeja pse mesatarja është bërë thelbi i statistikave dhe i të gjitha shkencave që mbështeten në të dhëna të shumta për përfundimet e tyre.

Avantazhi i mesatares është edhe për faktin se llogaritet lehtësisht nga kompjuterët. Megjithëse vlera mesatare për një grup të vogël të dhënash është mjaft e lehtë për t'u llogaritur vetë, është shumë më e lehtë të shkruash një program kompjuterik që do të gjente vlerën mesatare. Nëse përdorni Microsoft Excel, ndoshta e dini se funksioni mesatar nuk është aq i lehtë për t'u llogaritur sa funksioni i vlerës mesatare.

Si rezultat, për shkak të vlerës së madhe shkencore dhe lehtësisë së përdorimit, vlera mesatare është bërë vlera kryesore përfaqësuese. Sidoqoftë, ky opsion nuk është gjithmonë më i miri.

Avantazhet e vlerës mesatare

Në shumë raste kur duam të llogarisim qendrën e një shpërndarjeje, mediana është matja më e mirë. Kjo për shkak se vlera mesatare përcaktohet kryesisht nga matjet ekstreme.

Shumë analistë besojnë se përdorimi i pamenduar i mesatares ndikon negativisht në të kuptuarit tonë të informacionit sasior. Njerëzit shikojnë mesataren dhe mendojnë se është "normale". Por në fakt mund të përkufizohet me një term që dallon fort nga seritë homogjene.

Imagjinoni një analist që dëshiron të dijë një vlerë përfaqësuese për vlerën e pesë shtëpive. Katër shtëpi janë me vlerë 100,000 dollarë dhe e pesta është 900,000 dollarë. Mesatarja atëherë do të ishte 200,000 dollarë dhe mesatarja do të ishte 100,000 dollarë. Në këtë, si në shumë raste të tjera, vlera mesatare jep një kuptim më të mirë të asaj që mund të quhet "standard".

Duke kuptuar se si vlerat ekstreme mund të ndikojnë në mesataren, vlera mesatare përdoret për të pasqyruar ndryshimet në të ardhurat e familjeve amerikane.

Mesatarja është gjithashtu më pak e ndjeshme ndaj të dhënave "të pista" me të cilat merren sot analistët. Shumë statisticien dhe analistë mbledhin informacion duke intervistuar njerëz në internet. Nëse përdoruesi i shton rastësisht një zero shtesë përgjigjes, e cila e kthen 100 në 1000, atëherë ky gabim do të ndikojë në mesataren shumë më tepër se mesatarja.

Mesatarja apo mesatare?

Zgjedhja midis mesatares dhe mesatares ka implikime të gjera, nga kuptimi ynë i efekteve të barnave në shëndet e deri te njohuritë tona se çfarë është buxheti standard i një familjeje.

Ndërsa mbledhja dhe analiza e të dhënave përcakton gjithnjë e më shumë se si ne e kuptojmë botën, po ashtu edhe vlera e sasive që përdorim. Në një botë ideale, analistët do të përdornin si mesataren ashtu edhe mesataren për të hartuar të dhënat.

Por ne jetojmë në kushte të kohës dhe vëmendjes së kufizuar. Për shkak të këtyre kufizimeve, shpesh na duhet të zgjedhim vetëm një. Dhe në shumë raste, vlera mesatare është e preferueshme.