Intervali i besimit. Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një shpërndarjeje normale me variancë të njohur

Intervali i besimit– vlerat kufizuese të një sasie statistikore që, me një probabilitet të caktuar besimi γ, do të jetë në këtë interval kur kampiononi një vëllim më të madh. Shënuar si P(θ - ε. Në praktikë, probabiliteti i besimit γ zgjidhet nga vlerat mjaft afër unitetit: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur këtë shërbim, mund të përcaktoni:

• intervali i besimit për mesataren e përgjithshme, intervali i besimit për variancën;
• intervali i besimit për devijimin standard, intervali i besimit për pjesën e përgjithshme;

Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word (shih shembullin). Më poshtë është një udhëzim video se si të plotësoni të dhënat fillestare.

Shembulli nr. 1. Në një fermë kolektive, nga një tufë totale prej 1000 delesh, 100 dele iu nënshtruan qethjes me kontroll selektiv. Si rezultat, u krijua një prerje mesatare e leshit prej 4.2 kg për dele. Përcaktoni me një probabilitet prej 0,99 gabimin mesatar katror të kampionit kur përcaktoni prerjen mesatare të leshit për dele dhe kufijtë brenda të cilëve përmbahet vlera e prerjes nëse varianca është 2,5. Mostra nuk është e përsëritur.
Shembulli nr. 2. Nga një grup produktesh të importuara në postën e Doganës Veriore të Moskës, 20 mostra të produktit "A" u morën me kampionim të përsëritur rastësor. Si rezultat i testit, u përcaktua përmbajtja mesatare e lagështisë së produktit "A" në mostër, e cila rezultoi të jetë e barabartë me 6% me një devijim standard prej 1%.
Përcaktoni me probabilitet 0,683 kufijtë e përmbajtjes mesatare të lagështisë së produktit në të gjithë grupin e produkteve të importuara.
Shembulli nr. 3. Një anketë me 36 studentë tregoi se numri mesatar i teksteve të lexuara prej tyre gjatë vitit akademik ishte i barabartë me 6. Duke supozuar se numri i teksteve të lexuara nga një student për semestër ka një ligj të shpërndarjes normale me një devijim standard të barabartë me 6, gjeni : A) me një besueshmëri prej 0,99 vlerësimi interval për pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme; B) me çfarë probabiliteti mund të themi se numri mesatar i teksteve të lexuara nga një student për semestër, i llogaritur nga ky kampion, do të devijojë nga pritshmëria matematikore në vlerë absolute jo më shumë se 2.

Klasifikimi i intervaleve të besimit

Sipas llojit të parametrit që vlerësohet:

Sipas llojit të mostrës:

1. Intervali i besimit për një mostër të pafundme;
2. Intervali i besimit për kampionin përfundimtar;

Mostra quhet rimostrim, nëse objekti i përzgjedhur i kthehet popullatës përpara se të zgjidhni atë të radhës. Mostra quhet jo e përsëritur, nëse objekti i përzgjedhur nuk i kthehet popullatës. Në praktikë, zakonisht kemi të bëjmë me mostra jo të përsëritura.

Llogaritja e gabimit mesatar të kampionimit për kampionim të rastësishëm

Mospërputhja midis vlerave të treguesve të marrë nga kampioni dhe parametrave përkatës të popullatës së përgjithshme quhet gabim përfaqësimi.
Emërtimet e parametrave kryesorë të popullatave të përgjithshme dhe të mostrës.

Formulat mesatare të gabimit të kampionimit
rizgjedhje		përsërit përzgjedhjen
për mesataren	për ndarje	për mesataren	për ndarje

Marrëdhënia midis kufirit të gabimit të kampionimit (Δ) është e garantuar me njëfarë probabiliteti Р(t), dhe gabimi mesatar i kampionimit ka formën: ose Δ = t·μ, ku t– koeficienti i besimit, i përcaktuar në varësi të nivelit të probabilitetit P(t) sipas tabelës së funksionit integral Laplace.

Formulat për llogaritjen e madhësisë së kampionit duke përdorur një metodë kampionimi thjesht rastësor

Lëreni një ndryshore të rastësishme (mund të flasim për një popullsi të përgjithshme) të shpërndahet sipas një ligji normal, për të cilin dihet varianca D = 2 (> 0). Nga popullata e përgjithshme (mbi grupin e objekteve nga të cilët përcaktohet një ndryshore e rastësishme), bëhet një mostër me madhësi n. Mostra x 1 , x 2 ,..., x n konsiderohet si një grup prej n ndryshoresh të pavarura të rastësishme të shpërndara në të njëjtën mënyrë si (qasja e shpjeguar më sipër në tekst).

Barazitë e mëposhtme u diskutuan dhe u vërtetuan gjithashtu më herët:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Mjafton thjesht të vërtetohet (e lëmë provën) se ndryshorja e rastësishme në këtë rast shpërndahet gjithashtu sipas ligjit normal.

Le të shënojmë sasinë e panjohur M me a dhe të zgjedhim, bazuar në besueshmërinë e dhënë, numrin d > 0 në mënyrë që kushti të plotësohet:

P(- a< d) = (1)

Meqenëse ndryshorja e rastësishme shpërndahet sipas ligjit normal me pritshmëri matematikore M = M = a dhe variancë D = D /n = 2 /n, marrim:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Mbetet për të zgjedhur d të tillë që barazia të mbahet

Për cilindo, mund të përdorni tabelën për të gjetur një numër t të tillë që (t)= / 2. Ky numër t quhet ndonjëherë kuantile.

Tani nga barazia

le të përcaktojmë vlerën e d:

Ne marrim rezultatin përfundimtar duke paraqitur formulën (1) në formën:

Kuptimi i formulës së fundit është si më poshtë: me besueshmëri, intervali i besimit

mbulon parametrin e panjohur a = M të popullatës. Mund të themi ndryshe: vlerësimi i pikës përcakton vlerën e parametrit M me saktësi d= t / dhe besueshmëri.

Detyrë. Le të ketë një popullsi të përgjithshme me një karakteristikë të caktuar të shpërndarë sipas një ligji normal me një variancë të barabartë me 6.25. Është marrë një madhësi kampion prej n = 27 dhe është marrë vlera mesatare e mostrës së karakteristikës = 12. Gjeni një interval besimi që mbulon pritshmërinë e panjohur matematikore të karakteristikës së studiuar të popullatës së përgjithshme me besueshmëri = 0.99.

Zgjidhje. Së pari, duke përdorur tabelën për funksionin Laplace, gjejmë vlerën e t nga barazia (t) = / 2 = 0,495. Bazuar në vlerën e fituar t = 2.58, ne përcaktojmë saktësinë e vlerësimit (ose gjysmën e gjatësisë së intervalit të besimit) d: d = 2.52.58 / 1.24. Nga këtu marrim intervalin e kërkuar të besimit: (10.76; 13.24).

hipoteza statistikore variacionale e përgjithshme

Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një shpërndarjeje normale me variancë të panjohur

Le të jetë një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas një ligji normal me një pritje të panjohur matematikore M, të cilën e shënojmë me shkronjën a. Le të bëjmë një mostër të vëllimit n. Le të përcaktojmë mostrën mesatare dhe variancën e mostrës së korrigjuar s 2 duke përdorur formula të njohura.

Vlera e rastësishme

shpërndahet sipas ligjit të Studentit me n - 1 shkallë lirie.

Detyra është të gjesh një numër t për një besueshmëri të caktuar dhe numrin e shkallëve të lirisë n - 1 të tillë që barazia

ose barazi ekuivalente

Këtu në kllapa shkruhet kushti që vlera e parametrit të panjohur a i përket një intervali të caktuar, që është intervali i besueshmërisë. Kufijtë e tij varen nga besueshmëria, si dhe nga parametrat e kampionimit dhe s.

Për të përcaktuar vlerën e t sipas madhësisë, ne e transformojmë barazinë (2) në formën:

Tani, duke përdorur tabelën për një ndryshore të rastësishme t të shpërndarë sipas ligjit të Studentit, duke përdorur probabilitetin 1 - dhe numrin e shkallëve të lirisë n - 1, gjejmë t. Formula (3) i jep përgjigje problemit të shtruar.

Detyrë. Në testet e kontrollit të 20 llambave elektrike, kohëzgjatja mesatare e funksionimit të tyre ishte e barabartë me 2000 orë me një devijim standard (i llogaritur si rrënja katrore e variancës së mostrës së korrigjuar) të barabartë me 11 orë. Dihet se koha e funksionimit të një llambë është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht. Përcaktoni me një besueshmëri prej 0.95 një interval besimi për pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Zgjidhje. Vlera 1 - në këtë rast është e barabartë me 0.05. Sipas tabelës së shpërndarjes Studenti, me numrin e shkallëve të lirisë të barabartë me 19, gjejmë: t = 2.093. Tani le të llogarisim saktësinë e vlerësimit: 2.093121/ = 56.6. Prej këtu marrim intervalin e kërkuar të besimit: (1943.4; 2056.6).

Intervali i besimit për pritjet matematikore - ky është një interval i llogaritur nga të dhënat që, me një probabilitet të njohur, përmban pritshmërinë matematikore të popullatës së përgjithshme. Një vlerësim natyror për pritshmërinë matematikore është mesatarja aritmetike e vlerave të saj të vëzhguara. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të përdorim termat “mesatare” dhe “vlera mesatare”. Në problemet e llogaritjes së një intervali besimi, një përgjigje që kërkohet më shpesh është diçka si "Intervali i besimit të numrit mesatar [vlera në një problem të caktuar] është nga [vlera më e vogël] në [vlera më e madhe]". Duke përdorur një interval besimi, mund të vlerësoni jo vetëm vlerat mesatare, por edhe përqindjen e një karakteristike të veçantë të popullatës së përgjithshme. Në mësim diskutohen vlerat mesatare, dispersioni, devijimi standard dhe gabimi, përmes të cilave do të arrijmë në përkufizime dhe formula të reja. Karakteristikat e kampionit dhe popullatës .

Vlerësimet e pikës dhe intervalit të mesatares

Nëse vlera mesatare e popullsisë vlerësohet me një numër (pikë), atëherë një mesatare specifike, e cila llogaritet nga një mostër e vëzhgimeve, merret si një vlerësim i vlerës mesatare të panjohur të popullsisë. Në këtë rast, vlera e mesatares së mostrës - një ndryshore e rastësishme - nuk përkon me vlerën mesatare të popullatës së përgjithshme. Prandaj, kur tregoni mesataren e mostrës, duhet të tregoni njëkohësisht gabimin e kampionimit. Masa e gabimit të kampionimit është gabimi standard, i cili shprehet në të njëjtat njësi si mesatarja. Prandaj, shpesh përdoret shënimi i mëposhtëm: .

Nëse vlerësimi i mesatares duhet të shoqërohet me një probabilitet të caktuar, atëherë parametri i interesit në popullatë duhet të vlerësohet jo me një numër, por me një interval. Një interval besimi është një interval në të cilin, me një probabilitet të caktuar P gjendet vlera e treguesit të vlerësuar të popullsisë. Intervali i besimit në të cilin është e mundshme P = 1 - α gjendet ndryshorja e rastësishme, e llogaritur si më poshtë:

,

α = 1 - P, e cila mund të gjendet në shtojcën e pothuajse çdo libri mbi statistikat.

Në praktikë, mesatarja e popullsisë dhe varianca nuk dihen, kështu që varianca e popullatës zëvendësohet me variancën e mostrës, dhe mesatarja e popullatës me mesataren e mostrës. Kështu, intervali i besimit në shumicën e rasteve llogaritet si më poshtë:

.

Formula e intervalit të besimit mund të përdoret për të vlerësuar mesataren e popullsisë nëse

• dihet devijimi standard i popullatës;
• ose devijimi standard i popullatës është i panjohur, por madhësia e kampionit është më e madhe se 30.

Mesatarja e mostrës është një vlerësim i paanshëm i mesatares së popullsisë. Nga ana tjetër, varianca e mostrës nuk është një vlerësim i paanshëm i variancës së popullsisë. Për të marrë një vlerësim të paanshëm të variancës së popullatës në formulën e variancës së mostrës, madhësia e kampionit n duhet të zëvendësohet nga n-1.

Shembulli 1. Informacioni u mblodh nga 100 kafene të zgjedhura rastësisht në një qytet të caktuar që numri mesatar i të punësuarve në to është 10.5 me një devijim standard prej 4.6. Përcaktoni intervalin 95% të besimit për numrin e punonjësve të kafenesë.

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Kështu, intervali i besimit 95% për numrin mesatar të punonjësve të kafeneve varionte nga 9.6 në 11.4.

Shembulli 2. Për një kampion të rastësishëm nga një popullsi prej 64 vëzhgimesh, u llogaritën vlerat totale të mëposhtme:

shuma e vlerave në vëzhgime,

shuma e devijimeve në katror të vlerave nga mesatarja .

Llogaritni intervalin 95% të besimit për pritjen matematikore.

Le të llogarisim devijimin standard:

,

Le të llogarisim vlerën mesatare:

.

Ne i zëvendësojmë vlerat në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Ne marrim:

Kështu, intervali i besimit 95% për pritshmërinë matematikore të këtij kampioni varionte nga 7.484 në 11.266.

Shembulli 3. Për një mostër të rastësishme të popullsisë prej 100 vëzhgimesh, mesatarja e llogaritur është 15.2 dhe devijimi standard është 3.2. Llogaritni intervalin e besimit 95% për vlerën e pritur, pastaj intervalin 99% të besimit. Nëse fuqia e mostrës dhe variacioni i saj mbeten të pandryshuara dhe koeficienti i besimit rritet, a do të ngushtohet apo zgjerohet intervali i besimit?

Ne i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Ne marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 95% për mesataren e këtij kampioni varionte nga 14.57 në 15.82.

Ne përsëri i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,01 .

Ne marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 99% për mesataren e këtij kampioni varionte nga 14.37 në 16.02.

Siç e shohim, me rritjen e koeficientit të besimit, rritet edhe vlera kritike e shpërndarjes normale standarde, dhe, rrjedhimisht, pikat e fillimit dhe të përfundimit të intervalit janë të vendosura më larg nga mesatarja, dhe kështu rritet intervali i besimit për pritshmërinë matematikore. .

Vlerësimet e pikës dhe intervalit të peshës specifike

Pjesa e disa tipareve të mostrës mund të interpretohet si një vlerësim pikë i aksionit fq të së njëjtës karakteristikë në popullatën e përgjithshme. Nëse kjo vlerë duhet të shoqërohet me probabilitetin, atëherë duhet të llogaritet intervali i besueshmërisë së gravitetit specifik. fq karakteristike në popullatën me probabilitet P = 1 - α :

.

Shembulli 4. Në një qytet ka dy kandidatë A Dhe B konkurrojnë për kryetar bashkie. 200 banorë të qytetit u anketuan rastësisht, nga të cilët 46% u përgjigjën se do të votonin për kandidatin A, 26% - për kandidatin B dhe 28% nuk ​​e dinë se për kë do të votojnë. Përcaktoni intervalin 95% të besimit për përqindjen e banorëve të qytetit që mbështesin kandidatin A.

Ju mund të përdorni këtë formular kërkimi për të gjetur detyrën që ju nevojitet. Futni një fjalë, frazë nga detyra ose numrin e saj, nëse e dini.

Kërkoni vetëm në këtë seksion

Intervalet e besimit: lista e zgjidhjeve të problemeve

Intervalet e besimit: teoria dhe problemet

Kuptimi i intervaleve të besimit

Le të prezantojmë shkurtimisht konceptin e një intervali besimi, i cili
1) vlerëson disa parametra të një kampioni numerik drejtpërdrejt nga të dhënat e vetë kampionit,
2) mbulon vlerën e këtij parametri me probabilitet γ.

Intervali i besimit për parametrin X(me probabilitet γ) quhet një interval i formës , i tillë që , dhe vlerat llogariten në një farë mënyre nga kampioni.

Zakonisht në problemet e aplikuara probabiliteti i besimit merret i barabartë me γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Le të shqyrtojmë një mostër të madhësisë n, të bërë nga popullata e përgjithshme, e shpërndarë me sa duket sipas ligjit të shpërndarjes normale. Le të tregojmë se cilat formula përdoren për të gjetur intervalet e besimit për parametrat e shpërndarjes- pritja dhe dispersioni matematikor (devijimi standard).

Intervali i besimit për pritjet matematikore

Rasti 1. Varianca e shpërndarjes është e njohur dhe e barabartë me . Pastaj intervali i besimit për parametrin a ka formën:
t të përcaktuar nga tabela e shpërndarjes së Laplasit sipas relacionit

Rasti 2. Varianca e shpërndarjes është e panjohur; një vlerësim pikësor i variancës është llogaritur nga kampioni. Pastaj intervali i besimit për parametrin a ka formën:
, ku llogaritet mesatarja e mostrës nga mostra, parametri t përcaktohet nga tabela e shpërndarjes së Studentit

Shembull. Bazuar në 7 matje të një sasie të caktuar, mesatarja e rezultateve të matjes rezultoi 30 dhe varianca e mostrës 36. Gjeni kufijtë brenda të cilëve përmbahet vlera e vërtetë e sasisë së matur me besueshmëri 0,99.

Zgjidhje. Ne do të gjejmë . Pastaj kufijtë e besimit për intervalin që përmban vlerën e vërtetë të vlerës së matur mund të gjenden duke përdorur formulën:
, ku është mesatarja e mostrës, është varianca e mostrës. Ne zëvendësojmë të gjitha vlerat dhe marrim:

Intervali i besimit për variancën

Ne besojmë se, në përgjithësi, pritshmëria matematikore është e panjohur dhe dihet vetëm vlerësimi i paanshëm në pikë i variancës. Atëherë intervali i besimit ka formën:
, Ku - kuantilet e shpërndarjes të përcaktuara nga tabelat.

Shembull. Bazuar në të dhënat e 7 testeve, u gjet vlera e vlerësimit për devijimin standard s=12. Gjeni, me probabilitet 0.9, gjerësinë e intervalit të besimit të ndërtuar për të vlerësuar shpërndarjen.

Zgjidhje. Intervali i besimit për variancën e panjohur të popullsisë mund të gjendet duke përdorur formulën:

Ne zëvendësojmë dhe marrim:


Atëherë gjerësia e intervalit të besimit është 465.589-71.708=393.881.

Intervali i besimit për probabilitetin (proporcioni)

Rasti 1. Le të dihet madhësia e kampionit dhe fraksioni i kampionit (frekuenca relative) në problem. Atëherë intervali i besimit për pjesën e përgjithshme (probabiliteti i vërtetë) ka formën:
, ku parametri t përcaktohet nga tabela e shpërndarjes Laplace duke përdorur relacionin.

Rasti 2. Nëse në problem dihet gjithashtu madhësia totale e popullatës nga e cila është marrë kampioni, intervali i besimit për pjesën e përgjithshme (probabiliteti i vërtetë) mund të gjendet duke përdorur formulën e rregulluar:
.

Shembull. Dihet se Gjeni kufijtë brenda të cilëve ka të ngjarë të përmbahet pjesa e përgjithshme.

Zgjidhje. Ne përdorim formulën:

Le të gjejmë parametrin nga kushti , marrim Zëvendësimin në formulën:

Në faqe do të gjeni shembuj të tjerë të problemeve në statistikat matematikore