Si të gjeni një pikë simetrike në lidhje me një vijë.

Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të përkufizohet gjithmonë si vija e kryqëzimit të dy rrafsheve jo paralele. Nëse ekuacioni i një rrafshi është ekuacioni i rrafshit të dytë, atëherë ekuacioni i drejtëzës jepet si

Këtu jokolineare
. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme drejt në hapësirë.

Ekuacionet kanonike të drejtëzës

Çdo vektor jozero që shtrihet në një drejtëz të caktuar ose paralel me të quhet vektor i drejtimit të kësaj drejtëze.

Nëse pika dihet
drejtëza dhe vektori i drejtimit të saj
, atëherë ekuacionet kanonike të drejtëzës kanë formën:

. (9)

Ekuacionet parametrike të një drejtëze

Le të jepen ekuacionet kanonike të drejtëzës

.

Nga këtu marrim ekuacionet parametrike të linjës:

(10)

Këto ekuacione janë të dobishme për gjetjen e pikës së kryqëzimit të një drejtëze dhe një rrafshi.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika
Dhe
ka formën:

.

Këndi midis vijave të drejta

Këndi midis vijave të drejta

Dhe

e barabartë me këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre. Prandaj, mund të llogaritet duke përdorur formulën (4):

Kushti për vijat paralele:

.

Kushti që aeroplanët të jenë pingul:

Largësia e një pike nga një vijë

P le të themi se është dhënë pika
dhe drejt

.

Nga ekuacionet kanonike të drejtëzës e njohim pikën
, që i përket një linje, dhe vektorit të drejtimit të saj
. Pastaj distanca e pikës
nga një drejtëz është e barabartë me lartësinë e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë Dhe
. Prandaj,

.

Kushti për kryqëzimin e vijave

Dy drejtëza jo paralele

,

kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse

.

Pozicioni relativ i drejtëzës dhe rrafshit.

Le të jepet vija e drejtë
dhe aeroplan. Këndi ndërmjet tyre mund të gjendet me formulë

.

Problemi 73. Shkruani ekuacionet kanonike të drejtëzës

(11)

Zgjidhje. Për të shkruar ekuacionet kanonike të drejtëzës (9), është e nevojshme të dihet çdo pikë që i përket drejtëzës dhe vektori i drejtimit të drejtëzës.

Le të gjejmë vektorin , paralel me këtë linjë. Meqenëse duhet të jetë pingul me vektorët normalë të këtyre planeve, d.m.th.

,
, Kjo

.

Nga ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës kemi se
,
. Pastaj

.

Që nga pika
çdo pikë në një vijë, atëherë koordinatat e saj duhet të plotësojnë ekuacionet e vijës dhe njëra prej tyre mund të specifikohet, për shembull,
, gjejmë dy koordinatat e tjera nga sistemi (11):

Nga këtu,
.

Kështu, ekuacionet kanonike të vijës së dëshiruar kanë formën:

ose
.

Problemi 74.

Dhe
.

Zgjidhje. Nga ekuacionet kanonike të vijës së parë njihen koordinatat e pikës
që i përkasin vijës, dhe koordinatat e vektorit të drejtimit
. Nga ekuacionet kanonike të drejtëzës së dytë njihen edhe koordinatat e pikës
dhe koordinatat e vektorit të drejtimit
.

Distanca midis vijave paralele është e barabartë me distancën e pikës
nga vija e dytë e drejtë. Kjo distancë llogaritet me formulë

.

Le të gjejmë koordinatat e vektorit
.

Le të llogarisim produktin e vektorit
:

.

Problemi 75. Gjeni një pikë pikë simetrike
relativisht i drejtë

.

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionin e një rrafshi pingul me një drejtëz të caktuar dhe që kalon nëpër një pikë . Si vektor i tij normal ju mund të merrni vektorin drejtues të një vije të drejtë. Pastaj
. Prandaj,

Le të gjejmë një pikë
pika e kryqëzimit të kësaj drejtëze dhe planit P. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë ekuacionet parametrike të drejtëzës duke përdorur ekuacionet (10), marrim

Prandaj,
.

Le
pikë simetrike me pikën
në lidhje me këtë linjë. Pastaj tregoni
pika e mesit
. Për të gjetur koordinatat e një pike Ne përdorim formulat për koordinatat e mesit të segmentit:

,
,
.

Kështu që,
.

Problemi 76. Shkruani ekuacionin e një rrafshi që kalon nga një vijë
Dhe

a) përmes një pike
;

b) pingul me rrafshin.

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionet e përgjithshme të kësaj linje. Për ta bërë këtë, merrni parasysh dy barazi:

Kjo do të thotë që rrafshi i dëshiruar i përket një grupi planesh me gjeneratorë dhe ekuacioni i tij mund të shkruhet në formën (8):

a) Le të gjejmë
Dhe nga kushti që avioni të kalojë nëpër pikë
, pra, koordinatat e tij duhet të plotësojnë ekuacionin e rrafshit. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës
në ekuacionin e një tufe planesh:

Vlera e gjetur
Le ta zëvendësojmë me ekuacionin (12). marrim ekuacionin e planit të dëshiruar:

b) Le të gjejmë
Dhe nga kushti që rrafshi i dëshiruar të jetë pingul me rrafshin. Vektori normal i një rrafshi të caktuar
, vektori normal i planit të dëshiruar (shih ekuacionin e një grupi planesh (12).

Dy vektorë janë pingul nëse dhe vetëm nëse produkti i tyre me pika është zero. Prandaj,

Le të zëvendësojmë vlerën e gjetur
në ekuacionin e një tufe planesh (12). Ne marrim ekuacionin e planit të dëshiruar:

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Problemi 77. Sillni në formën kanonike të ekuacionit të vijave:

1)
2)

Problemi 78. Shkruani ekuacionet parametrike të një drejtëze
, Nëse:

1)
,
; 2)
,
.

Problemi 79. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikë
pingul me një vijë të drejtë

Problemi 80. Shkruani ekuacionet e drejtëzës që kalon një pikë
pingul me rrafshin.

Problemi 81. Gjeni këndin midis vijave të drejta:

1)
Dhe
;

2)
Dhe

Problemi 82. Provoni drejtëzat paralele:

Dhe
.

Problemi 83. Vërtetoni pingulitetin e drejtëzave:

Dhe

Problemi 84. Llogaritni distancën e pikës
nga vija e drejtë:

1)
; 2)
.

Problemi 85. Llogaritni distancën midis drejtëzave paralele:

Dhe
.

Problemi 86. Në ekuacionet e drejtëzës
përcaktoni parametrin në mënyrë që kjo drejtëzë të kryqëzohet me drejtëzën dhe të gjejë pikën e prerjes së tyre.

Problemi 87. Tregoni se është e drejtë
paralel me rrafshin
, dhe vija e drejtë
shtrihet në këtë aeroplan.

Problemi 88. Gjeni një pikë pikë simetrike në lidhje me aeroplanin
, Nëse:

1)
, ;

2)
, ;.

Problemi 89. Shkruani ekuacionin e një pingule të rënë nga një pikë
drejtpërdrejt
.

Problemi 90. Gjeni një pikë pikë simetrike
relativisht i drejtë
.

Oh-oh-oh-oh-oh... mirë, është e vështirë, sikur po lexonte një fjali për vete =) Megjithatë, relaksimi do të ndihmojë më vonë, veçanërisht pasi sot bleva aksesorët e duhur. Prandaj, le të vazhdojmë në pjesën e parë, shpresoj që deri në fund të artikullit të ruaj një humor të gëzuar.

Pozicioni relativ i dy vijave të drejta

Ky është rasti kur publiku këndon së bashku në kor. Dy vija të drejta mund:

1) ndeshje;

2) të jetë paralel: ;

3) ose kryqëzohen në një pikë të vetme: .

Ndihmë për bedelët : Ju lutemi mbani mend shenjën matematikore të kryqëzimit, ajo do të shfaqet shumë shpesh. Shënimi do të thotë që vija kryqëzohet me vijën në pikën .

Si të përcaktohet pozicioni relativ i dy rreshtave?

Le të fillojmë me rastin e parë:

Dy rreshta përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcional, pra ka një numër “lambda” i tillë që barazitë plotësohen

Le të shqyrtojmë drejtëzat dhe të krijojmë tre ekuacione nga koeficientët përkatës: . Nga secili ekuacion rezulton se, pra, këto rreshta përkojnë.

Në të vërtetë, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit shumëzo me –1 (shenjat e ndryshimit), dhe të gjithë koeficientët e ekuacionit prerë me 2, ju merrni të njëjtin ekuacion: .

Rasti i dytë, kur linjat janë paralele:

Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave janë proporcionalë: , Por.

Si shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Ne kontrollojmë proporcionalitetin e koeficientëve përkatës për variablat:

Megjithatë, është mjaft e qartë se.

Dhe rasti i tretë, kur linjat kryqëzohen:

Dy drejtëza kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave NUK janë proporcionalë dmth NUK ka një vlerë të tillë të "lambda" që të plotësohen barazitë

Pra, për linjat e drejta do të krijojmë një sistem:

Nga ekuacioni i parë del se , dhe nga ekuacioni i dytë: , që do të thotë sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koeficientët e variablave nuk janë proporcionalë.

Përfundim: vijat kryqëzohen

Në problemet praktike, mund të përdorni skemën e zgjidhjes së sapo diskutuar. Nga rruga, ajo të kujton shumë algoritmin për kontrollimin e vektorëve për kolinearitet, të cilin e shikuam në klasë Koncepti i (pa)varësisë lineare të vektorëve. Baza e vektorëve. Por ka një paketim më të civilizuar:

Shembulli 1

Gjeni pozicionin relativ të vijave:

Zgjidhje bazuar në studimin e vektorëve drejtues të drejtëzave:

a) Nga ekuacionet gjejmë vektorët e drejtimit të drejtëzave: .

, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear dhe vijat ndërpriten.

Për çdo rast, do të vendos një gur me shenja në udhëkryq:

Pjesa tjetër hidhen mbi gur dhe ndjekin më tej, drejt në Kashchei i Pavdekshëm =)

b) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Vijat kanë të njëjtin vektor drejtimi, që do të thotë se ato janë ose paralele ose të rastësishme. Këtu nuk ka nevojë të numërohet përcaktorja.

Është e qartë se koeficientët e të panjohurave janë proporcionale, dhe .

Le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë:

Kështu,

c) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve:
, pra, vektorët e drejtimit janë kolinearë. Linjat janë ose paralele ose të rastësishme.

Koeficienti i proporcionalitetit "lambda" është i lehtë për t'u parë drejtpërdrejt nga raporti i vektorëve të drejtimit kolinear. Megjithatë, mund të gjendet edhe përmes koeficientëve të vetë ekuacioneve: .

Tani le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë. Të dy termat e lirë janë zero, kështu që:

Vlera që rezulton e plotëson këtë ekuacion (çdo numër në përgjithësi e plotëson atë).

Kështu, linjat përkojnë.

Përgjigju:

Shumë shpejt do të mësoni (ose madje keni mësuar tashmë) ta zgjidhni problemin e diskutuar fjalë për fjalë fjalë për fjalë në disa sekonda. Në këtë drejtim, nuk shoh asnjë pikë për të ofruar asgjë për një zgjidhje të pavarur; është më mirë të vendosni një tullë tjetër të rëndësishme në themelin gjeometrik:

Si të ndërtohet një drejtëz paralele me një të dhënë?

Për injorancën e kësaj detyre më të thjeshtë, Bilbili grabitës ndëshkon ashpër.

Shembulli 2

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion për një drejtëz paralele që kalon nëpër pikë.

Zgjidhje: Vijën e panjohur ta shënojmë me shkronjën . Çfarë thotë gjendja për të? Vija e drejtë kalon nëpër pikë. Dhe nëse vijat janë paralele, atëherë është e qartë se vektori i drejtimit të vijës së drejtë "tse" është gjithashtu i përshtatshëm për ndërtimin e vijës së drejtë "de".

Ne nxjerrim vektorin e drejtimit nga ekuacioni:

Përgjigju:

Shembulli i gjeometrisë duket i thjeshtë:

Testimi analitik përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1) Kontrollojmë që vijat të kenë të njëjtin vektor drejtimi (nëse ekuacioni i vijës nuk është thjeshtuar siç duhet, atëherë vektorët do të jenë kolinear).

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton.

Në shumicën e rasteve, testimi analitik mund të kryhet lehtësisht me gojë. Shikoni dy ekuacionet dhe shumë prej jush do të përcaktojnë shpejt paralelizmin e vijave pa ndonjë vizatim.

Shembujt për zgjidhje të pavarura sot do të jenë krijues. Sepse ju ende do të duhet të konkurroni me Baba Yaga, dhe ajo, ju e dini, është një dashnore e të gjitha llojeve të gjëegjëzave.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në një pikë paralele me drejtëzën nëse

Ekziston një mënyrë racionale dhe jo aq racionale për ta zgjidhur atë. Rruga më e shkurtër është në fund të mësimit.

Kemi punuar pak me linjat paralele dhe do t'u kthehemi më vonë. Rasti i rreshtave që përputhen është me pak interes, prandaj le të shqyrtojmë një problem që është shumë i njohur për ju nga kurrikula shkollore:

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave?

Nëse drejt kryqëzohen në pikën , atëherë koordinatat e tij janë zgjidhja sistemet e ekuacioneve lineare

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave? Zgjidheni sistemin.

Ja ku shkoni kuptimi gjeometrik i një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura- këto janë dy linja kryqëzuese (më shpesh) në një aeroplan.

Shembulli 4

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave

Zgjidhje: Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur - grafike dhe analitike.

Metoda grafike është thjesht të vizatoni linjat e dhëna dhe të zbuloni pikën e kryqëzimit direkt nga vizatimi:

Këtu është pika jonë: . Për të kontrolluar, duhet të zëvendësoni koordinatat e saj në secilin ekuacion të vijës, ato duhet të përshtaten si atje ashtu edhe atje. Me fjalë të tjera, koordinatat e një pike janë një zgjidhje për sistemin. Në thelb, ne shikuam një zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare me dy ekuacione, dy të panjohura.

Metoda grafike, natyrisht, nuk është e keqe, por ka disavantazhe të dukshme. Jo, çështja nuk është se nxënësit e klasës së shtatë vendosin në këtë mënyrë, çështja është se do të duhet kohë për të krijuar një vizatim të saktë dhe të SAKTË. Për më tepër, disa vija të drejta nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar dhe vetë pika e kryqëzimit mund të jetë diku në mbretërinë e tridhjetë jashtë fletës së fletores.

Prandaj, është më e përshtatshme të kërkoni për pikën e kryqëzimit duke përdorur një metodë analitike. Le të zgjidhim sistemin:

Për zgjidhjen e sistemit është përdorur metoda e mbledhjes term pas termi të ekuacioneve. Për të zhvilluar aftësitë përkatëse, merrni një mësim Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh?

Përgjigju:

Kontrolli është i parëndësishëm - koordinatat e pikës së kryqëzimit duhet të plotësojnë çdo ekuacion të sistemit.

Shembulli 5

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave nëse ato kryqëzohen.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Është e përshtatshme për të ndarë detyrën në disa faza. Analiza e gjendjes sugjeron që është e nevojshme:
1) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
2) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
3) Gjeni pozicionin relativ të vijave.
4) Nëse linjat kryqëzohen, atëherë gjeni pikën e kryqëzimit.

Zhvillimi i një algoritmi veprimi është tipik për shumë probleme gjeometrike, dhe unë do të fokusohem vazhdimisht në këtë.

Zgjidhja e plotë dhe përgjigja në fund të mësimit:

As edhe një palë këpucë nuk ishin konsumuar para se të shkonim në pjesën e dytë të mësimit:

Vija pingule. Largësia nga një pikë në një vijë.
Këndi midis vijave të drejta

Le të fillojmë me një detyrë tipike dhe shumë të rëndësishme. Në pjesën e parë, mësuam se si të ndërtojmë një vijë të drejtë paralele me këtë, dhe tani kasolle në këmbët e pulës do të kthehet 90 gradë:

Si të ndërtohet një drejtëz pingul me një të dhënë?

Shembulli 6

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion pingul me drejtëzën që kalon nëpër pikë.

Zgjidhje: Me kusht dihet se . Do të ishte mirë të gjeje vektorin drejtues të linjës. Meqenëse vijat janë pingule, truku është i thjeshtë:

Nga ekuacioni “heqim” vektorin normal: , i cili do të jetë vektori drejtues i drejtëzës.

Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Përgjigju:

Le të zgjerojmë skicën gjeometrike:

Hmmm... Qiell portokalli, det portokalli, deve portokalli.

Verifikimi analitik i zgjidhjes:

1) Ne nxjerrim vektorët e drejtimit nga ekuacionet dhe me ndihmën prodhim skalar i vektorëve arrijmë në përfundimin se drejtëzat janë vërtet pingule: .

Nga rruga, ju mund të përdorni vektorë normalë, është edhe më e lehtë.

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton .

Testi, përsëri, është i lehtë për t'u kryer me gojë.

Shembulli 7

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave pingule nëse ekuacioni është i njohur dhe periudha.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ka disa veprime në problem, kështu që është e përshtatshme të formulohet zgjidhja pikë për pikë.

Udhëtimi ynë emocionues vazhdon:

Largësia nga pika në vijë

Ne kemi një rrip të drejtë lumi përpara dhe detyra jonë është të arrijmë në të me rrugën më të shkurtër. Nuk ka pengesa, dhe rruga më optimale do të jetë lëvizja përgjatë pingulit. Kjo do të thotë, distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e segmentit pingul.

Distanca në gjeometri tradicionalisht shënohet me shkronjën greke "rho", për shembull: - distanca nga pika "em" në vijën e drejtë "de".

Largësia nga pika në vijë shprehur me formulën

Shembulli 8

Gjeni distancën nga një pikë në një vijë

Zgjidhje: gjithçka që duhet të bëni është të zëvendësoni me kujdes numrat në formulë dhe të kryeni llogaritjet:

Përgjigju:

Le të bëjmë vizatimin:

Distanca e gjetur nga pika në vijë është saktësisht gjatësia e segmentit të kuq. Nëse vizatoni një vizatim në letër me kuadrate në një shkallë prej 1 njësi. = 1 cm (2 qeliza), atëherë distanca mund të matet me një vizore të zakonshme.

Le të shqyrtojmë një detyrë tjetër bazuar në të njëjtin vizatim:

Detyra është të gjejmë koordinatat e një pike që është simetrike me pikën në lidhje me drejtëzën . Unë sugjeroj të kryeni vetë hapat, por unë do të përshkruaj algoritmin e zgjidhjes me rezultate të ndërmjetme:

1) Gjeni një vijë që është pingul me drejtëzën.

2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: .

Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.

3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të një segmenti ne gjejme .

Do të ishte mirë të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu 2.2 njësi.

Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por një mikrollogaritës është një ndihmë e madhe në kullë, duke ju lejuar të llogaritni fraksionet e zakonshme. Ju kam këshilluar shumë herë dhe do t'ju rekomandoj përsëri.

Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?

Shembulli 9

Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele

Ky është një shembull tjetër që ju të vendosni vetë. Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për ta zgjidhur këtë. Debriefing në fund të mësimit, por është më mirë të përpiqeni të merrni me mend vetë, mendoj se zgjuarsia juaj ishte zhvilluar mirë.

Këndi ndërmjet dy vijave të drejta

Çdo cep është një bllokim:


Në gjeometri, këndi ndërmjet dy vijave të drejta merret si këndi MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet këndi ndërmjet vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i tij "e gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i "mjedrës".

Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.

Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi në të cilin këndi "lëviz" është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull nëse .

Pse të thashë këtë? Duket se mund t'ia dalim me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se formulat me të cilat do të gjejmë kënde mund të rezultojnë lehtësisht në një rezultat negativ dhe kjo nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatim, për një kënd negativ, sigurohuni që të tregoni orientimin e tij me një shigjetë (në drejtim të akrepave të orës).

Si të gjeni këndin midis dy vijave të drejta? Ekzistojnë dy formula pune:

Shembulli 10

Gjeni këndin midis vijave

Zgjidhje Dhe Metoda e parë

Le të shqyrtojmë dy drejtëza të përcaktuara nga ekuacionet në formë të përgjithshme:

Nëse drejt jo pingul, Kjo i orientuar Këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit - kjo është saktësisht produkt skalar vektorët drejtues të drejtëzave:

Nëse , atëherë emëruesi i formulës bëhet zero, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingul. Për këtë arsye u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e drejtëzave në formulim.

Bazuar në sa më sipër, është i përshtatshëm për të zyrtarizuar zgjidhjen në dy hapa:

1) Le të llogarisim produktin skalar të vektorëve të drejtimit të vijave:
, që do të thotë se vijat nuk janë pingule.

2) Gjeni këndin midis vijave të drejta duke përdorur formulën:

Duke përdorur funksionin e kundërt, është e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e arktangjentës (shih. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare):

Përgjigju:

Në përgjigjen tuaj, ne tregojmë vlerën e saktë, si dhe një vlerë të përafërt (mundësisht në të dy shkallët dhe radianët), të llogaritur duke përdorur një kalkulator.

Epo, minus, minus, nuk ka punë të madhe. Këtu është një ilustrim gjeometrik:

Nuk është për t'u habitur që këndi doli të jetë me orientim negativ, sepse në deklaratën e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "zhvidhosja" e këndit filloi pikërisht me të.

Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë , dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë .

Formulimi i problemit. Gjeni koordinatat e një pike simetrike me një pikë në lidhje me aeroplanin.

Plani i zgjidhjes.

1. Gjeni ekuacionin e një drejtëze që është pingul me një rrafsh të caktuar dhe kalon nëpër pikën . Meqenëse një drejtëz është pingul me një plan të caktuar, atëherë vektori normal i rrafshit mund të merret si vektor i drejtimit të tij, d.m.th.

.

Prandaj ekuacioni i drejtëzës do të jetë

.

2. Gjeni pikën kryqëzimi i një vije të drejtë dhe aeroplanët (shih problemin 13).

3. Pika është mesi i segmentit ku është pika është një pikë simetrike me pikën , Kjo është arsyeja pse

Problemi 14. Gjeni një pikë simetrike me pikën në lidhje me rrafshin.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë pingul me një plan të caktuar do të jetë:

.

Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës dhe rrafshit.

Ku – pika e prerjes së drejtëzës dhe rrafshit është mesi i segmentit, pra

ato. .

Koordinatat e planit homogjen. Transformimet afine në aeroplan.

Le M X Dhe në

M(X, nëMae (X, në, 1) në hapësirë ​​(Fig. 8).

Mae (X, në

Mae (X, në hu.

(hx, hy, h), h  0,

Koment

h(Për shembull, h

Në fakt, duke marrë parasysh h

Koment

Shembulli 1.

b) në një kënd (Fig. 9).

hapi 1.

hapi i 2-të. Rrotullohen sipas këndit 

matrica e transformimit përkatës.

hapi i 3-të. Transferimi te vektori A(a, b)

matrica e transformimit përkatës.

Shembulli 3

 përgjatë boshtit x dhe

hapi 1.

matrica e transformimit përkatës.

hapi i 2-të.

hapi i 3-të.

do ta marrim më në fund

Koment

[R], [D], [M], [T],

Le M- pika arbitrare e rrafshit me koordinata X Dhe në, llogaritur në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ drejtvizor. Koordinatat homogjene të kësaj pike janë çdo treshe e numrave njëkohësisht jozero x 1, x 2, x 3, të lidhura me numrat e dhënë x dhe y nga relacionet e mëposhtme:

Gjatë zgjidhjes së problemeve të grafikës kompjuterike, koordinatat homogjene zakonisht futen si më poshtë: në një pikë arbitrare M(X, në) aeroplanit i caktohet një pikë Mae (X, në, 1) në hapësirë ​​(Fig. 8).

Vini re se një pikë arbitrare në vijën që lidh origjinën, pika 0(0, 0, 0), me pikën Mae (X, në, 1), mund të jepet nga një trefish i numrave të formës (hx, hy, h).

Vektori me koordinata hx, hy, është vektori i drejtimit të vijës së drejtë që lidh pikat 0 (0, 0, 0) dhe Mae (X, në, 1). Kjo drejtëzë pret rrafshin z = 1 në pikën (x, y, 1), e cila përcakton në mënyrë unike pikën (x, y) të planit koordinativ. hu.

Kështu, midis një pike arbitrare me koordinata (x, y) dhe një grupi trefishësh numrash të formës

(hx, hy, h), h  0,

krijohet një korrespondencë (një me një) që na lejon të konsiderojmë numrat hx, hy, h si koordinatat e reja të kësaj pike.

Koment

Të përdorura gjerësisht në gjeometrinë projektive, koordinatat homogjene bëjnë të mundur përshkrimin në mënyrë efektive të të ashtuquajturve elementë të papërshtatshëm (në thelb ato në të cilat rrafshi projektues ndryshon nga rrafshi i njohur Euklidian). Më shumë detaje rreth mundësive të reja të ofruara nga koordinatat homogjene të prezantuara diskutohen në pjesën e katërt të këtij kapitulli.

Në gjeometrinë projektive për koordinatat homogjene, pranohet shënimi i mëposhtëm:

x:y:1, ose, në përgjithësi, x1:x2:x3

(mos harroni se këtu kërkohet absolutisht që numrat x 1, x 2, x 3 të mos kthehen në zero në të njëjtën kohë).

Përdorimi i koordinatave homogjene rezulton i përshtatshëm edhe kur zgjidh problemet më të thjeshta.

Konsideroni, për shembull, çështjet që lidhen me ndryshimet në shkallë. Nëse pajisja e ekranit funksionon vetëm me numra të plotë (ose nëse duhet të punoni vetëm me numra të plotë), atëherë për një vlerë arbitrare h(Për shembull, h= 1) një pikë me koordinata homogjene

e pamundur të imagjinohet. Megjithatë, me një zgjedhje të arsyeshme të h, është e mundur të sigurohet që koordinatat e kësaj pike të jenë numra të plotë. Në veçanti, për h = 10 për shembullin në shqyrtim kemi

Le të shqyrtojmë një rast tjetër. Për të parandaluar që rezultatet e transformimit të çojnë në tejmbushje aritmetike, për një pikë me koordinata (80000 40000 1000) mund të merrni, për shembull, h=0.001. Si rezultat marrim (80 40 1).

Shembujt e dhënë tregojnë dobinë e përdorimit të koordinatave homogjene gjatë kryerjes së llogaritjeve. Sidoqoftë, qëllimi kryesor i futjes së koordinatave homogjene në grafikën kompjuterike është lehtësia e tyre e padyshimtë në aplikimin e transformimeve gjeometrike.

Duke përdorur treshe koordinatash homogjene dhe matrica të rendit të tretë, mund të përshkruhet çdo transformim afinal i një rrafshi.

Në fakt, duke marrë parasysh h= 1, krahasoni dy hyrje: të shënuara me simbolin * dhe matricën e mëposhtme:

Është e lehtë të shihet se pas shumëzimit të shprehjeve në anën e djathtë të relacionit të fundit, fitojmë të dy formulat (*) dhe barazinë e saktë numerike 1=1.

Koment

Ndonjëherë në literaturë përdoret një shënim tjetër - shënim kolone:

Ky shënim është i barabartë me shënimin e mësipërm rresht pas rreshti (dhe merret prej tij duke transpozuar).

Elementet e një matrice të transformimit afinal arbitrar nuk kanë një kuptim të qartë gjeometrik. Prandaj, për të zbatuar këtë apo atë hartografi, domethënë për të gjetur elementet e matricës përkatëse sipas një përshkrimi të caktuar gjeometrik, nevojiten teknika të veçanta. Në mënyrë tipike, ndërtimi i kësaj matrice, në përputhje me kompleksitetin e problemit në shqyrtim dhe rastet e veçanta të përshkruara më sipër, ndahet në disa faza.

Në çdo fazë, kërkohet një matricë që korrespondon me një ose një tjetër nga rastet e mësipërme A, B, C ose D, të cilat kanë veti gjeometrike të përcaktuara mirë.

Le të shkruajmë matricat përkatëse të rendit të tretë.

A. Matrica e rrotullimit

B. Matrica e zgjerimit

B. Matrica e reflektimit

D. Matrica e transferimit (përkthim)

Le të shqyrtojmë shembuj të transformimeve afinale të rrafshit.

Shembulli 1.

Ndërtoni një matricë rrotullimi rreth pikës A (a,b) në një kënd (Fig. 9).

hapi 1. Transferimi në vektor – A (-a, -b) për të lidhur qendrën e rrotullimit me origjinën e koordinatave;

matrica e transformimit përkatës.

hapi i 2-të. Rrotullohen sipas këndit 

matrica e transformimit përkatës.

hapi i 3-të. Transferimi te vektori A(a, b) për të kthyer qendrën e rrotullimit në pozicionin e saj të mëparshëm;

matrica e transformimit përkatës.

Le t'i shumëzojmë matricat në të njëjtin rend siç janë shkruar:

Si rezultat, ne gjejmë se transformimi i dëshiruar (në shënimin e matricës) do të duket kështu:

Elementet e matricës që rezulton (veçanërisht në rreshtin e fundit) nuk janë aq të lehta për t'u mbajtur mend. Në të njëjtën kohë, secila prej tre matricave të shumëzuara mund të ndërtohet lehtësisht nga përshkrimi gjeometrik i hartës përkatëse.

Shembulli 3

Ndërtoni një matricë shtrirjeje me koeficientë shtrirjeje përgjatë boshtit x dhe përgjatë boshtit të ordinatave dhe me qendër në pikën A(a, b).

hapi 1. Kaloni në vektorin -A(-a, -b) për të lidhur qendrën e shtrirjes me origjinën e koordinatave;

matrica e transformimit përkatës.

hapi i 2-të. Shtrirja përgjatë boshteve të koordinatave me koeficientët përkatësisht  dhe ; matrica e transformimit ka formën

hapi i 3-të. Kaloni te vektori A(a, b) për të kthyer qendrën e tensionit në pozicionin e saj të mëparshëm; matrica e transformimit përkatës -

Shumëzimi i matricave në të njëjtin rend

do ta marrim më në fund

Koment

Arsyetimi në një mënyrë të ngjashme, domethënë, thyerja e transformimit të propozuar në faza të mbështetura nga matricat[R], [D], [M], [T], mund të ndërtohet një matricë e çdo transformimi afin nga përshkrimi i tij gjeometrik.

Zhvendosja zbatohet me mbledhje, dhe shkallëzimi dhe rrotullimi zbatohen me shumëzim.

Transformimi i shkallëzimit (zgjerimi) në lidhje me origjinën ka formën:

ose në formë matrice:

Ku Dx,Dy janë faktorët e shkallëzimit përgjatë akseve, dhe

- matrica e shkallëzimit.

Kur D > 1, ndodh zgjerimi, kur 0<=D<1- сжатие

Transformimi i rrotullimit në lidhje me origjinën ka formën:

ose në formë matrice:

ku φ është këndi i rrotullimit, dhe

- matrica e rrotullimit.

Koment: Kolonat dhe rreshtat e matricës së rrotullimit janë vektorë njësi ortogonale reciprokisht. Në fakt, katrorët e gjatësisë së vektorëve të rreshtave janë të barabartë me një:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 dhe (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

dhe prodhimi skalar i vektorëve të rreshtave është

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Meqë prodhimi skalar i vektorëve A · B = |A| ·| B| ·cosψ, ku | A| - gjatësia e vektorit A, |B| - gjatësia e vektorit B, dhe ψ është këndi më i vogël pozitiv ndërmjet tyre, atëherë nga barazia 0 e produktit skalar të dy vektorëve të rreshtit me gjatësi 1 rezulton se këndi ndërmjet tyre është 90 °.

Le të na jepet një drejtëz e caktuar, e përcaktuar nga një ekuacion linear, dhe një pikë, e përcaktuar nga koordinatat e saj (x0, y0) dhe jo e shtrirë në këtë drejtëz. Kërkohet të gjendet një pikë që do të ishte simetrike me një pikë të caktuar në lidhje me një vijë të drejtë të caktuar, domethënë, do të përkonte me të nëse avioni është i përkulur mendërisht në gjysmë përgjatë kësaj vije të drejtë.

Udhëzimet

1. Është e qartë se të dyja pikat - e dhëna dhe e dëshiruar - duhet të shtrihen në të njëjtën vijë, dhe kjo vijë duhet të jetë pingul me atë të dhënë. Kështu, pjesa e parë e problemit është zbulimi i ekuacionit të një drejtëze që do të ishte pingul me një drejtëz të caktuar dhe në të njëjtën kohë do të kalonte nëpër një pikë të caktuar.

2. Një vijë e drejtë mund të specifikohet në dy mënyra. Ekuacioni kanonik i një drejtëze duket kështu: Ax + By + C = 0, ku A, B dhe C janë konstante. Ju gjithashtu mund të përcaktoni një vijë të drejtë duke përdorur një funksion linear: y = kx + b, ku k është eksponenti këndor, b është zhvendosja. Këto dy metoda janë të këmbyeshme dhe ju mund të lëvizni nga njëra në tjetrën. Nëse Ax + By + C = 0, atëherë y = – (Ax + C)/B. Me fjalë të tjera, në një funksion linear y = kx + b, eksponenti këndor k = -A/B dhe zhvendosja b = -C/B. Për detyrën në fjalë, është më komode të arsyetosh bazuar në ekuacionin kanonik të vijës së drejtë.

3. Nëse dy drejtëza janë pingul me njëra-tjetrën, dhe ekuacioni i vijës së parë është Ax + By + C = 0, atëherë ekuacioni i vijës së dytë duhet të duket si Bx – Ay + D = 0, ku D është një konstante. Për të zbuluar një vlerë të caktuar të D, është e nevojshme të dihet gjithashtu se në cilën pikë kalon vija pingule. Në këtë rast, kjo është pika (x0, y0) Rrjedhimisht, D duhet të plotësojë barazinë: Bx0 – Ay0 + D = 0, pra D = Ay0 – Bx0.

4. Pasi të jetë zbuluar vija pingule, është e nevojshme të llogariten koordinatat e pikës së kryqëzimit të saj me atë të dhënë. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Zgjidhja e tij do të japë numrat (x1, y1), të cilët shërbejnë si koordinata të pika e prerjes së vijave.

5. Pika e dëshiruar duhet të shtrihet në vijën e zbuluar, dhe distanca e saj në pikën e kryqëzimit duhet të jetë e barabartë me distancën nga pika e kryqëzimit në pikën (x0, y0). Koordinatat e një pike simetrike me pikën (x0, y0) mund të gjenden kështu duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Por ju mund ta bëni më lehtë. Nëse pikat (x0, y0) dhe (x, y) janë në distancë të barabartë nga pika (x1, y1), dhe të tri pikat shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Rrjedhimisht, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Duke i zëvendësuar këto vlera në ekuacionin e dytë të sistemit të parë dhe duke thjeshtuar shprehjet, është e lehtë të sigurohemi që ana e djathtë e tij të bëhet e njëjtë me të majtën. Përveç kësaj, nuk ka kuptim të shqyrtojmë më tej ekuacionin e parë, pasi dihet se pikat (x0, y0) dhe (x1, y1) e plotësojnë atë, dhe pika (x, y) padyshim shtrihet në të njëjtën linjë. .