Vlerat ekstreme, më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve. Etiketa: ekstreme lokale

$E \nëngrupi \mathbb(R)^(n)$. Ata thonë se $f$ ka maksimale lokale në pikën $x_(0) \në E$, nëse ka një fqinjësi $U$ të pikës $x_(0)$ të tillë që për të gjitha $x \in U$ pabarazia $f\majtas(x\djathtas ) \leqslant f është i kënaqur \left(x_(0)\right)$.

Maksimumi lokal quhet i rreptë , nëse lagja $U$ mund të zgjidhet në mënyrë që për të gjitha $x \në U$ të ndryshme nga $x_(0)$ të ketë $f\left(x\djathtas)< f\left(x_{0}\right)$.

Përkufizimi
Le të jetë $f$ një funksion real në grupin e hapur $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ata thonë se $f$ ka minimale lokale në pikën $x_(0) \në E$, nëse ka një fqinjësi $U$ të pikës $x_(0)$ të tillë që pabarazia $f\left(x\right) \geqslant f vlen për të gjithë $ x \në U$ \majtas(x_(0)\djathtas)$.

Një minimum lokal quhet i rreptë nëse një lagje $U$ mund të zgjidhet në mënyrë që për të gjitha $x \in U$ të ndryshme nga $x_(0)$ të ketë $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\djathtas)$.

Ekstremumi lokal kombinon konceptet e minimumit lokal dhe maksimumit lokal.

Teorema (kusht i domosdoshëm për ekstremin e një funksioni të diferencueshëm)
Le të jetë $f$ një funksion real në grupin e hapur $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nëse në pikën $x_(0) \në E$ funksioni $f$ ka një ekstrem lokal në këtë pikë, atëherë $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Diferenciali i barabartë me zero është i barabartë me faktin që të gjithë janë të barabartë me zero, d.m.th. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Në rastin njëdimensional kjo është – . Le të shënojmë $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, ku $h$ është një vektor arbitrar. Funksioni $\phi$ është përcaktuar për vlerat e $t$ që janë mjaftueshëm të vogla në vlerë absolute. Përveç kësaj, është i diferencueshëm në lidhje me , dhe $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Le të ketë $f$ një maksimum lokal në pikën x $0$. Kjo do të thotë që funksioni $\phi$ në $t = 0$ ka një maksimum lokal dhe, sipas teoremës së Fermatit, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Pra, morëm atë $df \left(x_(0)\right) = 0$, d.m.th. funksioni $f$ në pikën $x_(0)$ është i barabartë me zero në çdo vektor $h$.

Përkufizimi
Pikat në të cilat diferenciali është zero, d.m.th. ato në të cilat të gjitha derivatet e pjesshme janë të barabarta me zero quhen stacionare. Pikat kritike funksionet $f$ janë ato pika në të cilat $f$ nuk është i diferencueshëm ose është i barabartë me zero. Nëse pika është e palëvizshme, atëherë nga kjo nuk rezulton se funksioni ka një ekstrem në këtë pikë.

Shembulli 1.
Le të $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Pastaj $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, pra $\left(0,0\djathtas)$ është një pikë e palëvizshme, por funksioni nuk ka ekstrem në këtë pikë. Në të vërtetë, $f \left(0,0\right) = 0$, por është e lehtë të shihet se në çdo lagje të pikës $\left(0,0\djathtas)$ funksioni merr vlera pozitive dhe negative.

Shembulli 2.
Funksioni $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ka një pikë të palëvizshme në origjinë, por është e qartë se nuk ka asnjë ekstrem në këtë pikë.

Teorema (kusht i mjaftueshëm për ekstremum).
Le të jetë funksioni $f$ dy herë i diferencueshëm vazhdimisht në grupin e hapur $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Le të jetë $x_(0) \në E$ një pikë e palëvizshme dhe $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\djathtas)h^(i)h^(j).$ $ Pastaj

1. nëse $Q_(x_(0))$ – , atëherë funksioni $f$ në pikën $x_(0)$ ka një ekstrem lokal, domethënë, një minimum nëse forma është definitive pozitive dhe një maksimum nëse forma është definitive negative;
2. nëse forma kuadratike $Q_(x_(0))$ është e papërcaktuar, atëherë funksioni $f$ në pikën $x_(0)$ nuk ka ekstrem.

Le të përdorim zgjerimin sipas formulës së Taylor-it (12.7 f. 292). Duke marrë parasysh që derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikën $x_(0)$ janë të barabartë me zero, marrim $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ djathtas) = ​​\ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\djathtas)h^(i)h^(j),$$ ku $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, dhe $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ për $h \rightarrow 0$, atëherë ana e djathtë do të jetë pozitive për çdo vektor $h$ me gjatësi mjaft të vogël.
Pra, kemi arritur në përfundimin se në një fqinjësi të caktuar të pikës $x_(0)$ vlen pabarazia $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ nëse vetëm $ x \neq x_ (0)$ (vëmë $x=x_(0)+h$\djathtas). Kjo do të thotë se në pikën $x_(0)$ funksioni ka një minimum lokal strikte, dhe kështu vërtetohet pjesa e parë e teoremës sonë.
Le të supozojmë tani se $Q_(x_(0))$ është një formë e pacaktuar. Pastaj ka vektorë $h_(1)$, $h_(2)$ të tillë që $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \majtas(h_(2)\djathtas)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Pastaj marrim $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\djathtas) \djathtas] = \frac(1)(2) t^(2) \ majtas[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\djathtas) \djathtas].$$ Për $t>0$ mjaftueshëm të vogla, e djathta ana është pozitive. Kjo do të thotë që në çdo lagje të pikës $x_(0)$ funksioni $f$ merr vlera $f \left(x\right)$ më të mëdha se $f \left(x_(0)\right)$.
Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë se në çdo lagje të pikës $x_(0)$ funksioni $f$ merr vlera më të vogla se $f \left(x_(0)\djathtas)$. Kjo, së bashku me atë të mëparshmen, do të thotë se në pikën $x_(0)$ funksioni $f$ nuk ka një ekstrem.

Le të shqyrtojmë një rast të veçantë të kësaj teoreme për funksionin $f \left(x,y\right)$ të dy variablave, të përcaktuar në një fqinjësi të pikës $\left(x_(0),y_(0)\right )$ dhe që kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme të rendit të parë dhe të dytë. Supozoni se $\left(x_(0),y_(0)\right)$ është një pikë e palëvizshme dhe shënoni $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\djathtas), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\djathtas), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\djathtas ) .$$ Pastaj teorema e mëparshme merr formën e mëposhtme.

Teorema
Le të $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pastaj:

1. nëse $\Delta>0$, atëherë funksioni $f$ ka një ekstrem lokal në pikën $\left(x_(0),y_(0)\right)$, domethënë, një minimum nëse $a_(11)> 0$ , dhe maksimumi nëse $a_(11)<0$;
2. nëse $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Algoritmi për gjetjen e ekstremumit të një funksioni të shumë variablave:

1. Gjetja e pikave të palëvizshme;
2. Gjeni diferencialin e rendit të dytë në të gjitha pikat e palëvizshme
3. Duke përdorur kushtin e mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni të shumë ndryshoreve, ne konsiderojmë diferencialin e rendit të dytë në çdo pikë të palëvizshme.

1. Hulumtoni funksionin për ekstremin $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Zgjidhje

   Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin: $$\displaystyle \begin(rastet)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\fund(rastet) \Rightshigjeta \fillimi(rastet)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\fund(rastet) \Rightshigjeta \fillimi(rastet)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(rastet)$$ Nga ekuacioni i dytë shprehim $x=4 \cdot y^(2)$ - e zëvendësojmë në ekuacionin e parë: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \djathtas )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Si rezultat, fitohen 2 pika stacionare:
   1) $y=0 \Djathtas shigjeta x = 0, M_(1) = \majtas(0, 0\djathtas)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Djathtas y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Djathtas shigjetë x=1 , M_(2) = \majtas(\frac(1)(2), 1\djathtas)$
   Le të kontrollojmë nëse plotësohet kushti i mjaftueshëm për një ekstrem:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Për pikën $M_(1)= \majtas(0,0\djathtas)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\djathtas)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y) \left(0,0\djathtas)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\djathtas)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Për pikën $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\djathtas)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y) \left(1,\frac(1)(2)\djathtas)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\djathtas)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, që do të thotë se në pikën $M_(2)$ ka një ekstrem, dhe meqenëse $A_(2)> 0$, atëherë ky është minimumi.
   Përgjigje: Pika $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ është pika minimale e funksionit $f$.
   

2. Hetoni funksionin për ekstremin $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Zgjidhje

   Le të gjejmë pikat stacionare: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Le të kompozojmë dhe zgjidhim sistemin: $$\displaystyle \begin(rastet)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(rastet ) \ Shigjeta djathtas \fillimi(rastet)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\fund(rastet) \Rightshigjeta \fillimi(rastet) y = 2\\y + x = 1\fund(rastet) \Djathtas shigjeta x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\djathtas)$ është një pikë e palëvizshme.
   Le të kontrollojmë nëse kushti i mjaftueshëm për ekstremum është plotësuar: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \pjesshëm y) \left(-1,2\djathtas)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\djathtas)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Përgjigje: nuk ka ekstreme.
   

Afati kohor: 0

Navigimi (vetëm numrat e punës)

0 nga 4 detyrat e përfunduara

Informacion

Merrni këtë kuiz për të testuar njohuritë tuaja për temën që sapo keni lexuar: Ekstrema lokale e funksioneve të ndryshoreve të shumëfishta.

Ju keni bërë tashmë testin më parë. Ju nuk mund ta filloni atë përsëri.

Testimi po ngarkohet...

Ju duhet të identifikoheni ose të regjistroheni për të filluar testin.

Ju duhet të plotësoni testet e mëposhtme për të filluar këtë:

rezultatet

Përgjigjet e sakta: 0 nga 4

Koha jote:

Koha mbaroi

Ju keni shënuar 0 nga 0 pikë (0)

Rezultati juaj është regjistruar në tabelën e drejtuesve

1. Me përgjigje
2. Me një shenjë shikimi

Detyra 1 nga 4

1 .

Numri i pikëve: 1

Hetoni funksionin $f$ për ekstremet: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

E drejta


E gabuar


1. Detyra 2 nga 4

   2 .

   Numri i pikëve: 1

   A ka funksioni $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ një ekstrem

>> Ekstreme

Funksioni ekstrem

Përkufizimi i ekstremit

Funksioni thirret y = f(x). në rritje (në rënie) në një interval të caktuar, nëse për x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Nëse funksioni i diferencueshëm y = f (x) rritet (zvogëlohet) në një interval, atëherë derivati ​​i tij në këtë interval f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Pika x O thirrur pikë maksimale lokale (minimale) funksioni f (x) nëse ka një fqinjësi të pikës x o, për të gjitha pikat e të cilave mosbarazimi f (x) është i vërtetë≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).

Quhen pikët maksimale dhe minimale pika ekstreme, dhe vlerat e funksionit në këto pika janë të tij ekstremet.

Pikat ekstreme

Kushtet e nevojshme për një ekstrem . Nëse pika x O është pika ekstreme e funksionit f (x), atëherë ose f " (x o ) = 0, ose f(x o ) nuk ekziston. Pika të tilla quhen kritike, dhe vetë funksioni përcaktohet në pikën kritike. Ekstrema e një funksioni duhet kërkuar ndër pikat e tij kritike.

Kushti i parë i mjaftueshëm. Le x O - pikë kritike. Nëse f" (x) kur kalon nëpër një pikë x O ndryshon shenjën plus në minus, pastaj në pikë x o funksioni ka një maksimum, përndryshe ka një minimum. Nëse derivati ​​nuk ndryshon shenjë kur kalon nëpër një pikë kritike, atëherë në pikë x O nuk ka ekstrem.

Kushti i dytë i mjaftueshëm. Le të ketë funksioni f(x).
f" (x) në afërsi të pikës x O dhe derivati ​​i dytë në vetë pikën x o. Nëse f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oështë pika minimale (maksimale) lokale e funksionit f (x). Nëse =0, atëherë ju duhet ose të përdorni kushtin e parë të mjaftueshëm ose të përfshini ato më të larta.

Në një segment, funksioni y = f (x) mund të arrijë vlerën e tij minimale ose maksimale qoftë në pikat kritike ose në skajet e segmentit.

Shembulli 3.22.

Zgjidhje. Sepse f " (

Problemet e gjetjes së ekstremit të një funksioni

Shembulli 3.23. a

Zgjidhje. x Dhe y y
0 ≤ x≤
> 0 dhe kur x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksione kv. njësi).

Shembulli 3.24. p ≈

Zgjidhje. fq fq
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shembulli 3.22.Gjeni ekstremin e funksionit f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Zgjidhje. Sepse f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ‑2) (x - 3), pastaj pikat kritike të funksionit x 1 = 2 dhe x 2 = 3. Ekstremet mund të jenë vetëm në këto pika. Meqenëse kur kalon në pikën x 1 = 2 derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum. Kur kalon në pikën x 2 = 3, derivati ​​ndryshon shenjën e tij nga minus në plus, kështu që në pikën x 2 = 3 funksioni ka një minimum. Duke llogaritur vlerat e funksionit në pika
x 1 = 2 dhe x 2 = 3, gjejmë ekstremin e funksionit: maksimumi f (2) = 14 dhe minimumi f (3) = 13.

Shembulli 3.23.Është e nevojshme të ndërtohet një zonë drejtkëndëshe pranë murit prej guri në mënyrë që të rrethohet nga tre anët me rrjetë teli dhe ana e katërt të jetë ngjitur me murin. Për këtë ka a metra lineare rrjetë. Në çfarë raporti aspekti do të ketë siti zonën më të madhe?

Zgjidhje.Le të shënojmë anët e platformës me x Dhe y. Sipërfaqja e sitit është e barabartë me S = xy. Le y- kjo është gjatësia e anës ngjitur me murin. Pastaj, sipas kushtit, duhet të jetë barazia 2x + y = a. Prandaj y = a - 2x dhe S = x (a - 2x), ku
0 ≤ x≤ a /2 (gjatësia dhe gjerësia e zonës nuk mund të jenë negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 në x = a/4, prej nga
y = a - 2 × a/4 =a/2. Sepse x = a /4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Në x a/4 S"> 0 dhe kur x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksione S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. njësi). Meqenëse S është i vazhdueshëm dhe vlerat e tij në skajet S(0) dhe S(a /2) janë të barabarta me zero, atëherë vlera e gjetur do të jetë vlera më e madhe e funksionit. Kështu, raporti më i favorshëm i pamjes së sitit në kushtet e dhëna të problemit është y = 2x.

Shembulli 3.24.Kërkohet prodhimi i një depozite cilindrike të mbyllur me kapacitet V=16 p ≈ 50 m 3. Cilat duhet të jenë dimensionet e rezervuarit (rrezja R dhe lartësia H) në mënyrë që të përdoret sa më pak material për prodhimin e tij?

Zgjidhje.Sipërfaqja totale e cilindrit është S = 2 fq R(R+H). Dihet vëllimi i cilindrit V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Pra S(R) = 2 fq (R 2 +16/R). Gjejmë derivatin e këtij funksioni:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 në R 3 = 8, pra,
R = 2, H = 16/4 = 4.

PIKET MAKSIMUM DHE MINIMAL

pikat në të cilat merr vlerën më të madhe ose më të vogël në fushën e përkufizimit; pika të tilla quhen edhe pikat e maksimumit apo minimumit absolut. Nëse f përcaktohet në një topologjik hapësira X, pastaj pika x 0 thirrur pika e maksimumit lokal (minimumi lokal), nëse ekziston një pikë e tillë x 0, që për kufizimin e funksionit në shqyrtim në këtë lagje pika x 0është pika maksimale (minimale) absolute. Ka pika të maksimumit të rreptë dhe jo të rreptë (minimum) (si absolute ashtu edhe lokale). Për shembull, dot thirret një pikë e një maksimumi lokal jo të rreptë (të rreptë) të një funksioni f, nëse ekziston një fqinjësi e tillë e pikës x 0, që vlen për të gjithë (përkatësisht f(x) x 0). )/

Për funksionet e përcaktuara në domenet me dimensione të fundme, për sa i përket llogaritjes diferenciale, ekzistojnë kushte dhe kritere që një pikë e caktuar të jetë një pikë maksimumi (minimum) lokal. Le të përcaktohet funksioni f në një fqinjësi të caktuar të pikës x 0 të boshtit numerik. Nëse x 0 - një pikë e një maksimumi lokal jo të rreptë (minimumi) dhe në këtë pikë ekziston f"( x 0), atëherë është e barabartë me zero.

Nëse një funksion i dhënë f është i diferencueshëm në një fqinjësi të një pike x 0, përveç, ndoshta, vetë kësaj pike, në të cilën është e vazhdueshme, dhe derivatit f" në secilën anë të pikës x 0 në këtë lagje ruan një shenjë konstante, pastaj në mënyrë që të x 0 ishte një pikë e maksimumit të rreptë lokal (minimumi lokal), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që derivati ​​të ndryshojë shenjën nga plus në minus, domethënë për f" (x)>0 në x.<.x 0 dhe f"(x)<0 при x>x 0(përkatësisht nga minus në plus: f"(X) <0 në x<x 0 dhe f"(x)>0 në x>x 0). Megjithatë, jo për çdo funksion të diferencueshëm në një lagje të një pike x 0, mund të flasim për shenjën e ndryshimit të derivatit në këtë pikë. . "

Nëse funksioni f ka në një pikë x 0 t derivatet, dhe pastaj me qëllim që të x 0 ishte një pikë e maksimumit të rreptë vendor, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të jetë e barabartë dhe që f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Lere funksionin f( x 1 ..., x n] përcaktohet në një fqinjësi n-dimensionale të një pike dhe është e diferencueshme në këtë pikë. Nëse x (0) është një pikë maksimale (minimale) jo strikte lokale, atëherë funksioni f në këtë pikë është i barabartë me zero. Ky kusht është i barabartë me barazinë me zero në këtë pikë të të gjithë derivateve të pjesshëm të rendit të parë të funksionit f. Nëse një funksion ka derivate të pjesshëm të 2-të të vazhdueshëm në x(0) , të gjithë derivatet e tij të parë zhduken në x(0) dhe diferenciali i rendit të dytë në x(0) është një formë kuadratike negative (pozitive), atëherë x(0) është një pika e maksimumit të rreptë lokal (minimumi). Njihen kushtet për funksionet e diferencueshme M. dhe M. T., kur vendosen disa kufizime në ndryshimet në argumente: plotësohen ekuacionet e kufizimeve. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për maksimumin (minimumin) e një funksioni real, i cili ka një strukturë më komplekse, studiohen në degë të veçanta të matematikës: p.sh. analiza konvekse, programim matematikor(Shiko gjithashtu Maksimizimi dhe minimizimi i funksioneve). Funksionet M. dhe m.t. të përcaktuara në shumëfish janë studiuar në llogaritja e variacioneve në përgjithësi, a M. dhe m.t. për funksionet e përcaktuara në hapësirat e funksioneve, d.m.th., për funksionet në llogaritja e variacioneve. Ekzistojnë gjithashtu metoda të ndryshme për përcaktimin numerik të përafërt të magnetizmit dhe m.t.

Ndezur.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., Pjesa 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Shihni se çfarë është "PIKA MAXIMUM DHE MINIMUM" në fjalorë të tjerë:

Parimi maksimal diskret i Pontryagin për proceset e kontrollit diskrete në kohë. Për një proces të tillë, operatori i diferencës së fundme mund të mos qëndrojë, megjithëse për analogun e tij të vazhdueshëm, i marrë duke zëvendësuar operatorin e diferencës së fundme me një diferencial... ... Enciklopedia Matematikore

Një teoremë që shpreh një nga vetitë kryesore të modulit analitik. funksione. Le të jetë f(z) një funksion i rregullt analitik ose holomorfik i ndryshoreve komplekse në një fushë të hapësirës numerike komplekse D të ndryshme nga një konstante, M.m.p. në... ... Enciklopedia Matematikore

Vlerat më të mëdha dhe, në përputhje me rrethanat, më të voglat e një funksioni që merr vlera reale. Pika në fushën e përcaktimit të funksionit në shqyrtim, në të cilën merr një maksimum ose minimum, quhet. përkatësisht pikën maksimale ose pikën minimale ... ... Enciklopedia Matematikore

Shiko Maksimumi dhe minimumi i një funksioni, Maksimumi dhe minimumi i një pike... Enciklopedia Matematikore

Vlera e një funksioni të vazhdueshëm që është maksimumi ose minimumi (shih Pikat maksimale dhe minimale). Termi lE... Enciklopedia Matematikore

Treguesi- (Treguesi) Një tregues është një sistem informacioni, substancë, pajisje, pajisje që shfaq ndryshimet në çdo parametër Treguesit e grafikut të tregut të monedhës Forex, cilët janë dhe ku mund të shkarkohen? Përshkrimi i treguesve MACD,... ... Enciklopedia e Investitorëve

Ky term ka kuptime të tjera, shih Extremum (kuptimet). Extremum (lat. extremum ekstrem) në matematikë është vlera maksimale ose minimale e një funksioni në një grup të caktuar. Pika në të cilën arrihet ekstremi... ... Wikipedia

Llogaritja diferenciale është një degë e analizës matematikore që studion konceptet e derivatit dhe diferencialit dhe se si ato zbatohen në studimin e funksioneve. Përmbajtja 1 Llogaritja diferenciale e funksioneve të një ndryshoreje ... Wikipedia

Lemniscate dhe fokuset e tij Lemniskati i Bernulit është një kurbë algjebrike e rrafshët. Përcaktuar si vendndodhja e pikëve, produkti ... Wikipedia

Divergjenca- (Divergjenca) Divergjenca si tregues Strategjia e tregtimit me divergjencën MACD Përmbajtja Përmbajtja Seksioni 1. më. Seksioni 2. Divergjenca si. Divergjenca është një term i përdorur në ekonomi për t'iu referuar lëvizjes përgjatë divergjencave... ... Enciklopedia e Investitorëve

Ndryshimi i një funksioni në një pikë të caktuar dhe përcaktohet si kufiri i rritjes së funksionit në rritjen e argumentit, i cili tenton në zero. Për ta gjetur atë, përdorni tabelën e derivateve. Për shembull, derivati ​​i funksionit y = x3 do të jetë i barabartë me y' = x2.

Barazoni këtë derivat me zero (në këtë rast x2=0).

Gjeni vlerën e ndryshores së dhënë. Këto do të jenë vlerat për të cilat ky derivat do të jetë i barabartë me 0. Për ta bërë këtë, zëvendësoni numra arbitrar në shprehje në vend të x, në të cilin e gjithë shprehja do të bëhet zero. Për shembull:

2-2x2 = 0
(1-x) (1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Zbatoni vlerat e marra në vijën e koordinatave dhe llogaritni shenjën e derivatit për secilën prej atyre të fituara. Në vijën e koordinatave shënohen pikat, të cilat merren si origjinë. Për të llogaritur vlerën në intervale, zëvendësoni vlera arbitrare që përputhen me kriteret. Për shembull, për funksionin e mëparshëm përpara intervalit -1, mund të zgjidhni vlerën -2. Për vlerat nga -1 në 1, mund të zgjidhni 0, dhe për vlerat më të mëdha se 1, zgjidhni 2. Zëvendësoni këta numra në derivat dhe zbuloni shenjën e derivatit. Në këtë rast, derivati ​​me x = -2 do të jetë i barabartë me -0,24, d.m.th. negative dhe do të ketë një shenjë minus në këtë interval. Nëse x=0, atëherë vlera do të jetë e barabartë me 2, dhe në këtë interval vihet një shenjë. Nëse x=1, atëherë edhe derivati ​​do të jetë i barabartë me -0,24 dhe vihet minus.

Nëse, kur kalon nëpër një pikë në vijën koordinative, derivati ​​ndryshon shenjën e tij nga minus në plus, atëherë kjo është një pikë minimale, dhe nëse nga plus në minus, atëherë kjo është një pikë maksimale.

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Për të gjetur derivatin, ekzistojnë shërbime në internet që llogaritin vlerat e kërkuara dhe shfaqin rezultatin. Në sajte të tilla, mund të gjeni një derivat deri në 5 porosi.

Burimet:

• Një nga shërbimet për llogaritjen e derivateve
• pika maksimale e funksionit

Pikat maksimale të një funksioni, së bashku me pikat minimale, quhen pika ekstreme. Në këto pika, funksioni ndryshon sjelljen e tij. Ekstremet përcaktohen në intervale të kufizuara numerike dhe janë gjithmonë lokale.

Udhëzimet

Procesi i gjetjes së ekstremeve lokale quhet funksion dhe kryhet duke analizuar derivatet e parë dhe të dytë të funksionit. Para fillimit të studimit, sigurohuni që diapazoni i specifikuar i vlerave të argumentit i përket vlerave të vlefshme. Për shembull, për funksionin F=1/x, vlera e argumentit x=0 është e pavlefshme. Ose për funksionin Y=tg(x), argumenti nuk mund të ketë vlerën x=90°.

Sigurohuni që funksioni Y të jetë i diferencueshëm gjatë gjithë intervalit të dhënë. Gjeni derivatin e parë të Y." Natyrisht, përpara se të arrijë pikën e maksimumit lokal, funksioni rritet dhe kur kalon në maksimum, funksioni bëhet në rënie. Derivati ​​i parë, në kuptimin e tij fizik, karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të funksioni.Ndërsa funksioni rritet shpejtësia e këtij procesi është një vlerë pozitive.Gjatë kalimit nëpër një maksimum lokal funksioni fillon të ulet dhe shpejtësia e ndryshimit të funksionit bëhet negative.Tranzicioni i shpejtësisë së ndryshimit të funksioni përmes zeros ndodh në pikën e maksimumit lokal.

Funksioni thuhet se ka një pikë të brendshme
Rajon D maksimale lokale(minimale), nëse ka një fqinjësi të tillë të pikës
, për çdo pikë
që mban pabarazinë

Nëse një funksion ka në një pikë
maksimumi lokal ose minimumi lokal, atëherë themi se ka në këtë pikë ekstremi lokal(ose thjesht një ekstrem).

Teorema (kusht i domosdoshëm për ekzistimin e një ekstremi). Nëse funksioni i diferencueshëm arrin një ekstrem në pikë
, pastaj çdo derivat i pjesshëm i rendit të parë të funksionit në këtë pikë bëhet zero.

Quhen pikat në të cilat zhduken të gjitha derivatet e pjesshme të rendit të parë pikat stacionare të funksionit
. Koordinatat e këtyre pikave mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacionet

.

Kushti i nevojshëm për ekzistencën e një ekstremi në rastin e një funksioni të diferencueshëm mund të formulohet shkurtimisht si më poshtë:

Ka raste kur në pika të veçanta disa derivate të pjesshëm kanë vlera të pafundme ose nuk ekzistojnë (ndërsa pjesa tjetër është e barabartë me zero). Pika të tilla quhen pikat kritike të funksionit. Këto pika duhet të konsiderohen gjithashtu si "të dyshimta" për një ekstrem, ashtu si ato të palëvizshme.

Në rastin e një funksioni të dy ndryshoreve, kushti i nevojshëm për ekstremin, përkatësisht barazia me zero e derivateve të pjesshme (diferenciale) në pikën ekstreme, ka një interpretim gjeometrik: rrafshi tangjent në sipërfaqe
në pikën ekstreme duhet të jetë paralel me rrafshin
.

20. Kushtet e mjaftueshme për ekzistimin e një ekstremi

Plotësimi i kushtit të nevojshëm për ekzistencën e një ekstremi në një moment nuk garanton aspak praninë e një ekstremi atje. Si shembull, mund të marrim funksionin e diferencueshëm kudo
. Të dy derivatet e tij të pjesshëm dhe vetë funksioni zhduken në pikë
. Sidoqoftë, në çdo lagje të kësaj pike, ka të dyja pozitive (të mëdha
) dhe negative (më e vogël
) vlerat e këtij funksioni. Prandaj, në këtë pikë, sipas përkufizimit, nuk ka asnjë ekstrem. Prandaj, është e nevojshme të njihen kushtet e mjaftueshme në të cilat një pikë e dyshuar të jetë një ekstrem është një pikë ekstreme e funksionit në studim.

Shqyrtoni rastin e një funksioni të dy ndryshoreve. Le të supozojmë se funksioni
të përcaktuara, të vazhdueshme dhe kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme deri në rendin e dytë duke përfshirë në afërsi të një pike
, e cila është pika stacionare e funksionit
dmth i plotëson kushtet

,
.

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

Teorema (kushte të mjaftueshme për ekzistimin e një ekstremi). Lëreni funksionin
plotëson kushtet e mësipërme, përkatësisht: është i diferencueshëm në ndonjë lagje të një pike stacionare
dhe është dy herë i diferencueshëm në vetë pikën
. Atëherë nëse

Nëse
pastaj funksioni
në pikën
arrin

maksimale lokale në
Dhe

minimale lokale në
.

Në përgjithësi, për funksionin
kusht i mjaftueshëm për ekzistencë në pikë
lokalminimale(maksimale) është pozitive(negativ) siguria e diferencialit të dytë.

Me fjalë të tjera, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë.

Teorema . Nëse në pikën
për funksionin

për çdo jo të barabartë me zero në të njëjtën kohë
, atëherë në këtë pikë funksioni ka minimale(i ngjashëm maksimale, Nëse
).

Shembulli 18.Gjeni pikat ekstreme lokale të një funksioni

Zgjidhje. Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit dhe t'i barazojmë me zero:

Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë dy pika të mundshme ekstreme:

Le të gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të dytë për këtë funksion:

Në pikën e parë të palëvizshme, pra, dhe
Prandaj, në këtë pikë kërkohen kërkime shtesë. Vlera e funksionit
në këtë pikë është zero:
Me tutje,

në

A

në

Prandaj, në çdo lagje të pikës
funksionin
merr vlera si të mëdha
, dhe më të vogla
, dhe, për rrjedhojë, në pikën
funksionin
, sipas definicionit, nuk ka ekstrem lokal.

Në pikën e dytë të palëvizshme



prandaj, pra, meqenëse
pastaj në pikën
funksioni ka një maksimum lokal.