Ngritja e një fuqie në një fuqi me një eksponent negativ. Si të ngrini një numër në një fuqi negative - shembuj me përshkrime në Excel

Formulat e diplomës përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:

Operacionet me gradë.

1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, shtohen treguesit e tyre:

jam·a n = a m + n .

2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:

3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n /b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n Fuqia e th është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si ai i pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:

Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jo të barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallën m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.

Ngritja në një fuqi negative është një nga elementet bazë të matematikës dhe haset shpesh në zgjidhjen e problemeve algjebrike. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.

Si të ngrihet në një fuqi negative - teori

Kur e ngremë një numër në një fuqi të zakonshme, e shumëzojmë vlerën e tij disa herë. Për shembull, 3 3 = 3×3×3 = 27. Me një thyesë negative e kundërta është e vërtetë. Formula e përgjithshme e formulës do të jetë si më poshtë: a -n = 1/a n. Kështu, për të ngritur një numër në një fuqi negative, duhet të pjesëtoni një me numrin e dhënë, por me një fuqi pozitive.

Si të ngrihet në një fuqi negative - shembuj për numrat e zakonshëm

Duke mbajtur parasysh rregullin e mësipërm, le të zgjidhim disa shembuj.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Përgjigje: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Përgjigje -4 -2 = 1/16.

Por pse përgjigjet në shembullin e parë dhe të dytë janë të njëjta? Fakti është se kur një numër negativ ngrihet në një fuqi çift (2, 4, 6, etj.), Shenja bëhet pozitive. Nëse shkalla do të ishte e barabartë, atëherë minusi do të mbetej:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Si të ngrini numrat nga 0 në 1 në një fuqi negative

Kujtoni se kur një numër midis 0 dhe 1 rritet në një fuqi pozitive, vlera zvogëlohet me rritjen e fuqisë. Kështu për shembull, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Shembulli 3: Llogaritni 0,5 -2
Zgjidhja: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Përgjigje: 0,5 -2 = 4

Analiza (sekuenca e veprimeve):

• Shndërroje thyesën dhjetore 0,5 në thyesën thyesore 1/2. Është më e lehtë kështu.
  Ngrini 1/2 në një fuqi negative. 1/(2) -2 . Ndani 1 me 1/(2) 2, marrim 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Shembulli 4: Llogarit 0,5 -3
Zgjidhje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Shembulli 5: Llogaritni -0,5 -3
Zgjidhje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Përgjigje: -0,5 -3 = -8

Bazuar në shembujt e 4-të dhe të 5-të, mund të nxjerrim disa përfundime:

• Për një numër pozitiv në rangun nga 0 në 1 (shembulli 4), i ngritur në një fuqi negative, pavarësisht nëse fuqia është çift apo tek nuk është e rëndësishme, vlera e shprehjes do të jetë pozitive. Për më tepër, sa më e madhe të jetë shkalla, aq më e madhe është vlera.
• Për një numër negativ në rangun nga 0 në 1 (shembulli 5), i ngritur në një fuqi negative, pavarësisht nëse fuqia është çift apo tek nuk është e rëndësishme, vlera e shprehjes do të jetë negative. Në këtë rast, sa më e lartë të jetë shkalla, aq më e ulët është vlera.

Si të rritet në një fuqi negative - një fuqi në formën e një numri thyesor

Shprehjet e këtij lloji kanë këtë formë: a -m/n, ku a është një numër i rregullt, m është numëruesi i shkallës, n është emëruesi i shkallës.

Le të shohim një shembull:
Llogaritni: 8 -1/3

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

• Le të kujtojmë rregullin për ngritjen e një numri në një fuqi negative. Marrim: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Vini re se emëruesi ka numrin 8 në një fuqi thyesore. Forma e përgjithshme e llogaritjes së një fuqie thyesore është si më poshtë: a m/n = n √8 m.
• Kështu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Marrim rrënjën kubike të tetës, e cila është e barabartë me 2. Nga këtu, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Përgjigje: 8 -1/3 = 2

Është e qartë se numrat me fuqi mund të shtohen si sasi të tjera , duke i shtuar njëra pas tjetrës me shenjat e tyre.

Pra, shuma e a 3 dhe b 2 është 3 + b 2.
Shuma e një 3 - b n dhe h 5 -d 4 është një 3 - b n + h 5 - d 4.

Shanset fuqi të barabarta të ndryshoreve identike mund të shtohet ose zbritet.

Pra, shuma e 2a 2 dhe 3a 2 është e barabartë me 5a 2.

Është gjithashtu e qartë se nëse merrni dy katrorë a, ose tre katrorë a, ose pesë katrorë a.

Por gradë variabla të ndryshëm Dhe shkallë të ndryshme variabla identike, duhet të kompozohen duke i shtuar me shenjat e tyre.

Pra, shuma e një 2 dhe një 3 është shuma e një 2 + a 3.

Është e qartë se katrori i a-së dhe kubi i a-së nuk është i barabartë me dyfishin e katrorit të a-së, por me dyfishin e kubit të a-së.

Shuma e a 3 b n dhe 3a 5 b 6 është a 3 b n + 3a 5 b 6.

Zbritja kompetencat kryhen në të njëjtën mënyrë si shtimi, me përjashtim të faktit që shenjat e nëntrupave duhet të ndryshohen në përputhje me rrethanat.

Ose:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Fuqitë e shumëzimit

Numrat me fuqi mund të shumëzohen, si sasitë e tjera, duke i shkruar njëri pas tjetrit, me ose pa një shenjë shumëzimi ndërmjet tyre.

Kështu, rezultati i shumëzimit të a 3 me b 2 është a 3 b 2 ose aaabb.

Ose:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultati në shembullin e fundit mund të renditet duke shtuar variabla identike.
Shprehja do të marrë formën: a 5 b 5 y 3.

Duke krahasuar disa numra (ndryshore) me fuqitë, mund të shohim se nëse çdo dy prej tyre shumëzohen, atëherë rezultati është një numër (ndryshore) me fuqi të barabartë me shuma shkallët e termave.

Pra, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Këtu 5 është fuqia e rezultatit të shumëzimit, e barabartë me 2 + 3, shuma e fuqive të termave.

Pra, a n .a m = a m+n .

Për një n, a merret si faktor aq herë sa fuqia e n-së;

Dhe një m merret si faktor aq herë sa shkalla m është e barabartë me;

Prandaj, fuqitë me baza të njëjta mund të shumëzohen duke mbledhur eksponentët e fuqive.

Pra, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dhe x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

Ose:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Shumëzoni (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Përgjigje: x 4 - y 4.
Shumëzoni (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ky rregull është gjithashtu i vërtetë për numrat, eksponentët e të cilëve janë negativ.

1. Pra, a -2 .a -3 = a -5 . Kjo mund të shkruhet si (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Nëse a + b shumëzohen me a - b, rezultati do të jetë a 2 - b 2: dmth

Rezultati i shumëzimit të shumës ose ndryshimit të dy numrave është i barabartë me shumën ose ndryshimin e katrorëve të tyre.

Nëse shumëzoni shumën dhe ndryshimin e dy numrave të ngritur në katrore, rezultati do të jetë i barabartë me shumën ose ndryshimin e këtyre numrave në e katërta gradë.

Pra, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Ndarja e gradave

Numrat me fuqi mund të ndahen si numrat e tjerë, duke zbritur nga dividenti ose duke i vendosur në formë thyese.

Kështu, një 3 b 2 pjesëtuar me b 2 është e barabartë me një 3.

Ose:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Shkrimi i një 5 të ndarë me një 3 duket si $\frac(a^5)(a^3)$. Por kjo është e barabartë me një 2. Në një seri numrash
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
çdo numër mund të pjesëtohet me një tjetër, dhe eksponenti do të jetë i barabartë me ndryshim treguesit e numrave të pjesëtueshëm.

Kur ndahen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre..

Pra, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Kjo do të thotë, $\frac(vvv)(yy) = y$.

Dhe a n+1:a = a n+1-1 = a n . Kjo është, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ose:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Rregulli është gjithashtu i vërtetë për numrat me negativ vlerat e gradave.
Rezultati i pjesëtimit të -5 me -3 është -2.
Gjithashtu, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ose $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Shtë e nevojshme të zotëroni shumë mirë shumëzimin dhe ndarjen e fuqive, pasi operacione të tilla përdoren shumë gjerësisht në algjebër.

Shembuj të zgjidhjes së shembujve me thyesa që përmbajnë numra me fuqi

1. Zvogëloni eksponentët me $\frac(5a^4)(3a^2)$ Përgjigje: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zvogëloni eksponentët me $\frac(6x^6)(3x^5)$. Përgjigje: $\frac(2x)(1)$ ose 2x.

3. Zvogëloni eksponentët a 2 /a 3 dhe a -3 /a -4 dhe sillni në një emërues të përbashkët.
a 2 .a -4 është a -2 numëruesi i parë.
a 3 .a -3 është një 0 = 1, numëruesi i dytë.
a 3 .a -4 është a -1, numëruesi i përbashkët.
Pas thjeshtimit: a -2 /a -1 dhe 1/a -1 .

4. Zvogëloni eksponentët 2a 4 /5a 3 dhe 2 /a 4 dhe sillni në një emërues të përbashkët.
Përgjigje: 2a 3 /5a 7 dhe 5a 5 /5a 7 ose 2a 3 /5a 2 dhe 5/5a 2.

5. Shumëzoni (a 3 + b)/b 4 me (a - b)/3.

6. Shumëzoni (a 5 + 1)/x 2 me (b 2 - 1)/(x + a).

7. Shumëzoni b 4 /a -2 me h -3 /x dhe a n /y -3.

8. Pjestoni një 4 /y 3 me një 3 /y 2 . Përgjigje: a/y.

9. Pjestoni (h 3 - 1)/d 4 me (d n + 1)/h.

Niveli i parë

Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzuesi Gjithëpërfshirës (2019)

Pse nevojiten diploma? Ku do t'ju duhen? Pse duhet të merrni kohë për t'i studiuar ato?

Për të mësuar gjithçka rreth diplomave, për çfarë nevojiten ato dhe si të përdorni njohuritë tuaja në jetën e përditshme, lexoni këtë artikull.

Dhe, sigurisht, njohja e diplomave do t'ju sjellë më afër kalimit me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit ose Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe të hyni në universitetin e ëndrrave tuaja.

Le të shkojmë ... (Le të shkojmë!)

Shënim i rëndësishëm! Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Për ta bërë këtë, shtypni CTRL + F5 (në Windows) ose Cmd + R (në Mac).

NIVELI I PARË

Eksponentimi është një veprim matematikor ashtu si mbledhja, zbritja, shumëzimi ose pjesëtimi.

Tani do të shpjegoj gjithçka në gjuhën njerëzore duke përdorur shembuj shumë të thjeshtë. Bej kujdes. Shembujt janë elementarë, por shpjegojnë gjëra të rëndësishme.

Le të fillojmë me shtimin.

Këtu nuk ka asgjë për të shpjeguar. Ju tashmë dini gjithçka: ne jemi tetë. Të gjithë kanë dy shishe kola. Sa kola ka? Kjo është e drejtë - 16 shishe.

Tani shumëzimi.

I njëjti shembull me cola mund të shkruhet ndryshe: . Matematikanët janë njerëz dinakë dhe dembelë. Ata fillimisht vërejnë disa modele dhe më pas gjejnë një mënyrë për t'i "numëruar" më shpejt. Në rastin tonë, ata vunë re se secili nga tetë personat kishte të njëjtin numër shishe kola dhe dolën me një teknikë të quajtur shumëzim. Pajtohem, konsiderohet më e lehtë dhe më e shpejtë se.

Pra, për të numëruar më shpejt, më lehtë dhe pa gabime, thjesht duhet të mbani mend tabela e shumëzimit. Sigurisht, çdo gjë mund ta bëni më ngadalë, më të vështirë dhe me gabime! Por…

Këtu është tabela e shumëzimit. Përsëriteni.

Dhe një tjetër, më e bukur:

Çfarë truke të tjera të zgjuara numërimi kanë gjetur matematikanët dembelë? E drejta - ngritja e një numri në një fuqi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Nëse ju duhet të shumëzoni një numër me vete pesë herë, atëherë matematikanët thonë se ju duhet ta ngrini atë numër në fuqinë e pestë. Për shembull, . Matematikanët kujtojnë se dy deri në fuqinë e pestë është... Dhe ata zgjidhin probleme të tilla në kokën e tyre - më shpejt, më lehtë dhe pa gabime.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është mbani mend çfarë është theksuar me ngjyra në tabelën e fuqive të numrave. Më besoni, kjo do ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë.

Meqë ra fjala, pse quhet shkalla e dytë? katrore numrat, dhe e treta - kubik? Çfarë do të thotë? Pyetje shumë e mirë. Tani do të keni si katrorë ashtu edhe kube.

Shembulli numër 1 i jetës reale

Le të fillojmë me katrorin ose fuqinë e dytë të numrit.

Imagjinoni një pishinë katrore me përmasa një metër me një metër. Pishina është në shtëpinë tuaj. Është vapë dhe unë me të vërtetë dua të notoj. Por... pishina nuk ka fund! Ju duhet të mbuloni pjesën e poshtme të pishinës me pllaka. Sa pllaka ju duhen? Për ta përcaktuar këtë, duhet të dini zonën e poshtme të pishinës.

Ju thjesht mund të llogaritni duke treguar gishtin se fundi i pishinës përbëhet nga kube metër pas metër. Nëse keni pllaka një metër me një metër, do t'ju duhen copa. Është e lehtë... Por ku keni parë pllaka të tilla? Tjegull ka shumë të ngjarë të jetë cm për cm. Dhe pastaj do të torturoheni duke "numëruar me gisht". Atëherë ju duhet të shumëzoni. Pra, në njërën anë të pjesës së poshtme të pishinës do të vendosim pllaka (copa) dhe në anën tjetër, gjithashtu, pllaka. Shumëzoni me dhe merrni pllaka ().

A e keni vënë re që për të përcaktuar sipërfaqen e fundit të pishinës kemi shumëzuar të njëjtin numër në vetvete? Çfarë do të thotë? Duke qenë se po shumëzojmë të njëjtin numër, mund të përdorim teknikën e "përhapjes". (Sigurisht, kur keni vetëm dy numra, duhet t'i shumëzoni ose t'i ngrini në një fuqi. Por nëse keni shumë prej tyre, atëherë ngritja e tyre në një fuqi është shumë më e lehtë dhe gjithashtu ka më pak gabime në llogaritje Për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kjo është shumë e rëndësishme).
Pra, tridhjetë në fuqinë e dytë do të jetë (). Ose mund të themi se do të jetë tridhjetë në katror. Me fjalë të tjera, fuqia e dytë e një numri mund të përfaqësohet gjithmonë si një katror. Dhe anasjelltas, nëse shihni një katror, ​​ai është GJITHMONË fuqia e dytë e një numri. Një katror është një imazh i fuqisë së dytë të një numri.

Shembulli i jetës reale numër 2

Këtu është një detyrë për ju: numëroni sa katrorë ka në tabelën e shahut duke përdorur katrorin e numrit... Në njërën anë të qelizave dhe në anën tjetër gjithashtu. Për të llogaritur numrin e tyre, ju duhet të shumëzoni tetë me tetë ose ... nëse vëreni se një tabelë shahu është një katror me një anë, atëherë mund të vendosni tetë në katror. Do të merrni qeliza. () Kështu që?

Shembulli i jetës reale numër 3

Tani kubi ose fuqia e tretë e një numri. E njëjta pishinë. Por tani duhet të zbuloni se sa ujë do të duhet të derdhet në këtë pishinë. Ju duhet të llogarisni volumin. (Vëllimet dhe lëngjet, meqë ra fjala, maten në metra kub. E papritur, apo jo?) Vizatoni një pishinë: fundi është një metër në madhësi dhe një metër i thellë dhe përpiquni të numëroni sa kube që masin një metër me një metër do të përshtaten në pishinën tuaj.

Thjesht drejto gishtin dhe numëro! Një, dy, tre, katër...njëzet e dy, njëzet e tre...Sa keni marrë? Nuk ka humbur? A është e vështirë të numërosh me gisht? Kështu që! Merrni një shembull nga matematikanët. Ata janë dembelë, kështu që vunë re se për të llogaritur vëllimin e pishinës, duhet të shumëzoni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e saj me njëra-tjetrën. Në rastin tonë, vëllimi i pishinës do të jetë i barabartë me kube... Më e lehtë, apo jo?

Tani imagjinoni sa dembelë dhe dinak janë matematikanët nëse e thjeshtojnë edhe këtë. Ne reduktuam gjithçka në një veprim. Ata vunë re se gjatësia, gjerësia dhe lartësia janë të barabarta dhe se i njëjti numër shumëzohet në vetvete... Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që ju mund të përfitoni nga diploma. Pra, atë që keni numëruar dikur me gishtin tuaj, ata e bëjnë me një veprim: tre kubikë janë të barabartë. Është shkruar kështu: .

Gjithçka që mbetet është mbani mend tabelën e shkallëve. Nëse, sigurisht, nuk jeni aq dembel dhe dinak sa matematikanët. Nëse ju pëlqen të punoni shumë dhe të bëni gabime, mund të vazhdoni të numëroni me gisht.

Epo, për t'ju bindur përfundimisht se diplomat janë shpikur nga dorëheqës dhe dinak për të zgjidhur problemet e tyre të jetës dhe jo për t'ju krijuar probleme, ja disa shembuj të tjerë nga jeta.

Shembulli i jetës reale numër 4

Ju keni një milion rubla. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që bëni, fitoni një milion tjetër. Domethënë, çdo milion që keni dyfishohet në fillim të çdo viti. Sa para do të keni në vite? Nëse je ulur tani dhe "numëron me gisht", atëherë je një person shumë punëtor dhe... budalla. Por ka shumë të ngjarë që ju të jepni një përgjigje brenda disa sekondash, sepse jeni të zgjuar! Pra, në vitin e parë - dy shumëzuar me dy... në vitin e dytë - çfarë ndodhi, me dy të tjera, në vitin e tretë... Ndal! Keni vënë re se numri shumëzohet me shumë herë. Pra, dy deri në fuqinë e pestë është një milion! Tani imagjinoni se keni një konkurs dhe ai që mund të numërojë më shpejt do t'i marrë këto miliona... Ja vlen të kujtoni fuqitë e numrave, a nuk mendoni?

Shembulli i jetës reale numër 5

Ju keni një milion. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që fitoni, fitoni dy të tjera. E mrekullueshme apo jo? Çdo milion trefishohet. Sa para do të keni në një vit? Le të numërojmë. Viti i parë - shumëzoni me, pastaj rezultatin me një tjetër ... Tashmë është e mërzitshme, sepse tashmë keni kuptuar gjithçka: tre shumëzohen me herë në vetvete. Pra, fuqia e katërt është e barabartë me një milion. Thjesht duhet të mbani mend se fuqia tre në të katërt është ose.

Tani e dini se duke e ngritur një numër në një fuqi, do ta bëni jetën tuaj shumë më të lehtë. Le të hedhim një vështrim më tej se çfarë mund të bëni me diploma dhe çfarë duhet të dini rreth tyre.

Terma dhe koncepte... për të mos u ngatërruar

Pra, së pari, le të përcaktojmë konceptet. cfare mendoni ju, çfarë është një eksponent? Është shumë e thjeshtë - është numri që është "në krye" të fuqisë së numrit. Jo shkencore, por e qartë dhe e lehtë për t'u mbajtur mend...

Epo, në të njëjtën kohë, çfarë një bazë e tillë diplome? Edhe më e thjeshtë - ky është numri që ndodhet më poshtë, në bazë.

Këtu është një vizatim për masë të mirë.

Epo, në terma të përgjithshëm, për të përgjithësuar dhe mbajtur mend më mirë... Një shkallë me bazë “ ” dhe eksponent “ ” lexohet si “deri në shkallë” dhe shkruhet në mënyrën e mëposhtme:

Fuqia e një numri me eksponent natyror

Me siguri e keni marrë me mend tashmë: sepse eksponenti është një numër natyror. Po, por çfarë është ajo numri natyror? Elementare! Numrat natyrorë janë ata numra që përdoren në numërim kur renditen objektet: një, dy, tre... Kur numërojmë objektet, nuk themi: “minus pesë”, “minus gjashtë”, “minus shtatë”. Ne gjithashtu nuk themi: "një e treta", ose "zero pikë pesë". Këta nuk janë numra natyrorë. Çfarë numrash mendoni se janë këto?

Numrat si "minus pesë", "minus gjashtë", "minus shtatë" i referohen numra të plotë. Në përgjithësi, numrat e plotë përfshijnë të gjithë numrat natyrorë, numrat e kundërt me numrat natyrorë (d.m.th., të marrë me një shenjë minus) dhe numrin. Zero është e lehtë për t'u kuptuar - është kur nuk ka asgjë. Çfarë nënkuptojnë numrat negativë (“minus”)? Por ato u shpikën kryesisht për të treguar borxhet: nëse keni një bilanc në telefonin tuaj në rubla, kjo do të thotë që i keni borxh operatorit rubla.

Të gjitha thyesat janë numra racionalë. Si lindën, mendoni ju? Shume e thjeshte. Disa mijëra vjet më parë, paraardhësit tanë zbuluan se atyre u mungonin numrat natyrorë për të matur gjatësinë, peshën, sipërfaqen, etj. Dhe ata dolën me numrat racionalë... Interesante, apo jo?

Ka edhe numra irracionalë. Cilat janë këto numra? Me pak fjalë, është një thyesë dhjetore e pafundme. Për shembull, nëse ndani perimetrin e një rrethi me diametrin e tij, merrni një numër irracional.

Përmbledhje:

Le të përcaktojmë konceptin e një shkalle, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

1. Çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten:
2. Të kufizosh një numër në katror do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten:
3. Të kubikesh një numër do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten tre herë:

Përkufizimi. Ngritja e një numri në një fuqi natyrore do të thotë të shumëzosh numrin me vete herë:
.

Vetitë e gradave

Nga kanë ardhur këto prona? Unë do t'ju tregoj tani.

Le të shohim: çfarë është Dhe ?

A-parësore:

Sa shumëzues ka gjithsej?

Është shumë e thjeshtë: kemi shtuar shumëzues faktorëve dhe rezultati është shumëzues.

Por sipas përkufizimit, kjo është një fuqi e një numri me një eksponent, domethënë: , që është ajo që duhej vërtetuar.

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye!
Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

vetëm për produktin e fuqive!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

2. kaq fuqia e një numri

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por ju kurrë nuk mund ta bëni këtë në total:

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë?

Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative

Deri në këtë pikë, ne kemi diskutuar vetëm se cili duhet të jetë eksponenti.

Por cila duhet të jetë baza?

Në kompetencat e tregues natyror baza mund të jetë çdo numër. Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift.

Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë fuqi të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ? Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me, funksionon.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

A ia dolët?

Këtu janë përgjigjet: Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv.

Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë!

6 shembuj për të praktikuar

Analiza e zgjidhjes 6 shembuj

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve! Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli mund të zbatohej.

Por si ta bëjmë këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla e barabartë e emëruesit na ndihmon këtu.

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa.

Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

E tërë ne i quajmë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre (pra të marra me shenjën " ") dhe numrin.

numër i plotë pozitiv, dhe nuk ndryshon nga natyralja, atëherë gjithçka duket tamam si në pjesën e mëparshme.

Tani le të shohim rastet e reja. Le të fillojmë me një tregues të barabartë me.

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një:

Si gjithmonë, le të pyesim veten: pse është kështu?

Le të shqyrtojmë një shkallë me një bazë. Merrni, për shembull, dhe shumëzoni me:

Pra, e shumëzuam numrin me, dhe morëm të njëjtën gjë siç ishte - . Me cilin numër duhet të shumëzoni në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë? Kjo është e drejtë, në. Do të thotë.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë me një numër arbitrar:

Le të përsërisim rregullin:

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.

Por ka përjashtime nga shumë rregulla. Dhe këtu është gjithashtu atje - ky është një numër (si bazë).

Nga njëra anë, duhet të jetë e barabartë me çdo shkallë - pa marrë parasysh se sa shumë e shumëzoni zeron me vetveten, prapë do të merrni zero, kjo është e qartë. Por nga ana tjetër, si çdo numër me fuqinë zero, ai duhet të jetë i barabartë. Pra, sa nga kjo është e vërtetë? Matematikanët vendosën të mos përfshiheshin dhe refuzuan të ngrinin zeron në fuqinë zero. Kjo do të thotë, tani nuk mund të ndajmë jo vetëm me zero, por edhe ta ngremë atë në fuqinë zero.

Le të vazhdojmë. Përveç numrave natyrorë dhe numrave, numrat e plotë përfshijnë edhe numra negativë. Për të kuptuar se çfarë është një fuqi negative, le të bëjmë si herën e fundit: shumëzojmë një numër normal me të njëjtin numër me një fuqi negative:

Nga këtu është e lehtë të shprehësh atë që po kërkon:

Tani le ta zgjerojmë rregullin që rezulton në një shkallë arbitrare:

Pra, le të formulojmë një rregull:

Një numër me fuqi negative është reciprociteti i të njëjtit numër me fuqi pozitive. Por në të njëjtën kohë Baza nuk mund të jetë nule:(sepse nuk mund të ndahesh me).

Le të përmbledhim:

I. Shprehja nuk është e përcaktuar në rasën. Nese atehere.

II. Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një: .

III. Një numër jo i barabartë me zero me një fuqi negative është inversi i të njëjtit numër me një fuqi pozitive: .

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Epo, si zakonisht, shembuj për zgjidhje të pavarura:

Analiza e problemeve për zgjidhje të pavarur:

E di, e di, numrat janë të frikshëm, por në Provimin e Unifikuar të Shtetit duhet të jesh i përgatitur për çdo gjë! Zgjidhini këta shembuj ose analizoni zgjidhjet e tyre nëse nuk mund t'i zgjidhnit dhe do të mësoni t'i përballoni lehtësisht në provim!

Le të vazhdojmë të zgjerojmë gamën e numrave "të përshtatshëm" si një eksponent.

Tani le të shqyrtojmë numrat racionalë. Cilët numra quhen racionalë?

Përgjigje: çdo gjë që mund të përfaqësohet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë, dhe.

Për të kuptuar se çfarë është "shkalla e pjesshme", merrni parasysh thyesën:

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi:

Tani le të kujtojmë rregullin rreth "gradë në shkallë":

Çfarë numri duhet të rritet në një fuqi për të marrë?

Ky formulim është përkufizimi i rrënjës së shkallës së th.

Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja e fuqisë së th të një numri () është një numër që, kur ngrihet në një fuqi, është i barabartë me.

Kjo do të thotë, rrënja e fuqisë së th është operacioni i kundërt i ngritjes në një fuqi: .

Rezulton se. Natyrisht, ky rast i veçantë mund të zgjerohet: .

Tani shtojmë numëruesin: çfarë është? Përgjigja është e lehtë për t'u marrë duke përdorur rregullin fuqi në fuqi:

Por a mund të jetë baza ndonjë numër? Në fund të fundit, rrënja nuk mund të nxirret nga të gjithë numrat.

Asnje!

Le të kujtojmë rregullin: çdo numër i ngritur në një fuqi çift është një numër pozitiv. Kjo do të thotë, është e pamundur të nxirren edhe rrënjë nga numrat negativë!

Kjo do të thotë që numra të tillë nuk mund të ngrihen në një fuqi thyesore me një emërues çift, domethënë, shprehja nuk ka kuptim.

Po shprehja?

Por këtu lind një problem.

Numri mund të përfaqësohet në formën e thyesave të tjera, të reduktueshme, për shembull, ose.

Dhe rezulton se ekziston, por nuk ekziston, por këto janë vetëm dy rekorde të ndryshme të të njëjtit numër.

Ose një shembull tjetër: një herë, atëherë mund ta shkruani. Por nëse e shkruajmë treguesin ndryshe, do të futemi përsëri në telashe: (d.m.th., kemi marrë një rezultat krejtësisht të ndryshëm!).

Për të shmangur paradokse të tilla, ne konsiderojmë vetëm eksponent bazë pozitiv me eksponent thyesor.

Keshtu nese:

• - numri natyror;
• - numër i plotë;

Shembuj:

Eksponentët racionalë janë shumë të dobishëm për transformimin e shprehjeve me rrënjë, për shembull:

5 shembuj për të praktikuar

Analiza e 5 shembujve për trajnim

Epo, tani vjen pjesa më e vështirë. Tani do ta kuptojmë shkallë me eksponent irracional.

Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim

Në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th., numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur.

Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë;

...numër në fuqinë zero- ky është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur - prandaj rezultati është vetëm një "numër bosh" i caktuar. , përkatësisht një numër;

...shkallë e plotë negative- është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real.

Por në shkollë ne nuk mendojmë për vështirësi të tilla; ju do të keni mundësinë t'i kuptoni këto koncepte të reja në institut.

KU JEMI SIGURT DO TË SHKONI! (nëse mësoni të zgjidhni shembuj të tillë :))

Për shembull:

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

1. Le të fillojmë me rregullin e zakonshëm për ngritjen e një pushteti në një pushtet:

Tani shikoni treguesin. Nuk ju kujton gjë? Le të kujtojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të ndryshimit të katrorëve:

Në këtë rast,

Rezulton se:

Përgjigje: .

2. Thyesat në eksponentë i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetoret ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull:

Përgjigje: 16

3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

NIVELI I AVANCUAR

Përcaktimi i shkallës

Një shkallë është një shprehje e formës: , ku:

• — baza e shkallës;
• - eksponent.

Shkalla me tregues natyror (n = 1, 2, 3,...)

Ngritja e një numri në fuqinë natyrore n do të thotë të shumëzosh numrin me vetveten herë:

Shkalla me një eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Nëse eksponenti është numër i plotë pozitiv numri:

Ndërtimi në shkallën zero:

Shprehja është e pacaktuar, sepse, nga njëra anë, në çdo shkallë është kjo, dhe nga ana tjetër, çdo numër në shkallën e th është ky.

Nëse eksponenti është numër i plotë negativ numri:

(sepse nuk mund të ndahesh me).

Edhe një herë për zero: shprehja nuk është e përcaktuar në rast. Nese atehere.

Shembuj:

Fuqia me eksponent racional

• - numri natyror;
• - numër i plotë;

Shembuj:

Vetitë e gradave

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve, le të përpiqemi të kuptojmë: nga erdhën këto prona? Le t'i vërtetojmë ato.

Le të shohim: çfarë është dhe?

A-parësore:

Pra, në anën e djathtë të kësaj shprehjeje marrim produktin e mëposhtëm:

Por sipas përkufizimit është fuqia e një numri me një eksponent, domethënë:

Q.E.D.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : .

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye. Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

Një tjetër shënim i rëndësishëm: ky rregull - vetëm për produkt fuqie!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Le ta rigrupojmë këtë punë si kjo:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por kurrë nuk mund ta bëni këtë në total: !

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë? Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative.

Deri në këtë pikë ne kemi diskutuar vetëm se si duhet të jetë indeks gradë. Por cila duhet të jetë baza? Në kompetencat e natyrore tregues baza mund të jetë çdo numër .

Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift. Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë fuqi të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ?

Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me (), marrim - .

Dhe kështu me radhë ad infinitum: me çdo shumëzim pasues shenja do të ndryshojë. Rregullat e mëposhtme të thjeshta mund të formulohen:

1. madje shkallë, - numër pozitive.
2. Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negativ.
3. Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
4. Zero për çdo fuqi është e barabartë me zero.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

A ia dolët? Këtu janë përgjigjet:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë. Këtu duhet të zbuloni se cili është më pak: apo? Nëse e kujtojmë këtë, bëhet e qartë se, që do të thotë se baza është më e vogël se zero. Kjo do të thotë, ne zbatojmë rregullin 2: rezultati do të jetë negativ.

Dhe përsëri ne përdorim përkufizimin e shkallës:

Gjithçka është si zakonisht - ne shkruajmë përkufizimin e shkallëve dhe i ndajmë me njëri-tjetrin, i ndajmë në çifte dhe marrim:

Para se të shohim rregullin e fundit, le të zgjidhim disa shembuj.

Llogaritni shprehjet:

Zgjidhjet :

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve!

Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, mund të zbatohej rregulli 3. Por si? Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla e barabartë e emëruesit na ndihmon këtu.

Nëse e shumëzoni me, asgjë nuk ndryshon, apo jo? Por tani rezulton kështu:

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa. Por është e rëndësishme të mbani mend: Të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë! Nuk mund ta zëvendësoni me duke ndryshuar vetëm një disavantazh që nuk na pëlqen!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

Pra, tani rregulli i fundit:

Si do ta vërtetojmë? Sigurisht, si zakonisht: le të zgjerojmë konceptin e shkallës dhe ta thjeshtojmë atë:

Epo, tani le të hapim kllapat. Sa shkronja ka gjithsej? herë nga shumëzuesit - çfarë ju kujton kjo? Ky nuk është gjë tjetër veçse një përkufizim i një operacioni shumëzimi: Aty kishte vetëm shumëzues. Kjo do të thotë, kjo, sipas përkufizimit, është një fuqi e një numri me një eksponent:

Shembull:

Shkallë me eksponent irracional

Përveç informacionit për shkallët për nivelin mesatar, ne do të analizojmë shkallën me një eksponent irracional. Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim - në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th. , numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç numrave racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur. Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë; një numër në fuqinë zero është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë ata nuk kanë filluar ende ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur akoma - prandaj rezultati është vetëm një i caktuar “numër bosh”, përkatësisht një numër; një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë - është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Është jashtëzakonisht e vështirë të imagjinohet një shkallë me një eksponent irracional (ashtu siç është e vështirë të imagjinohet një hapësirë ​​4-dimensionale). Është më tepër një objekt thjesht matematikor që matematikanët krijuan për të shtrirë konceptin e shkallës në të gjithë hapësirën e numrave.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real. Por në shkollë ne nuk mendojmë për vështirësi të tilla; ju do të keni mundësinë t'i kuptoni këto koncepte të reja në institut.

Pra, çfarë të bëjmë nëse shohim një eksponent irracional? Ne po përpiqemi të bëjmë më të mirën për ta hequr qafe atë! :)

Për shembull:

Vendosni vetë:

1)

2)

3)

Përgjigjet:

1. Le të kujtojmë ndryshimin e formulës së katrorëve. Përgjigje:.
2. Thyesat i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetore ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull: .
3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

PËRMBLEDHJE E SEKSIONIT DHE FORMULAVE THEMELORE

Diplomë quhet një shprehje e formës: , ku:

Shkallë me një eksponent numër të plotë

një shkallë, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Fuqia me eksponent racional

shkallë, eksponenti i së cilës është numrat negativë dhe thyesorë.

Shkallë me eksponent irracional

një shkallë, eksponenti i së cilës është një thyesë dhjetore ose rrënjë e pafundme.

Vetitë e gradave

Karakteristikat e gradave.

• Numri negativ u ngrit në madje shkallë, - numër pozitive.
• Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negativ.
• Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
• Zero është e barabartë me çdo fuqi.
• Çdo numër me fuqinë zero është i barabartë.

TANI KENI FJALEN...

Si ju pëlqen artikulli? Shkruani më poshtë në komente nëse ju pëlqeu apo jo.

Na tregoni për përvojën tuaj duke përdorur veçoritë e diplomës.

Ndoshta keni pyetje. Ose sugjerime.

Shkruani në komente.

Dhe fat të mirë në provimet tuaja!

Fuqia përdoret për të thjeshtuar funksionimin e shumëzimit të një numri në vetvete. Për shembull, në vend që të shkruani, mund të shkruani 4 5 (\displaystyle 4^(5))(një shpjegim për këtë tranzicion është dhënë në pjesën e parë të këtij neni). Gradat e bëjnë më të lehtë shkrimin e shprehjeve ose ekuacioneve të gjata ose komplekse; fuqitë janë gjithashtu të lehta për t'u shtuar dhe zbritur, duke rezultuar në një shprehje ose ekuacion të thjeshtuar (për shembull, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Shënim: nëse keni nevojë të zgjidhni një ekuacion eksponencial (në një ekuacion të tillë e panjohura është në eksponent), lexoni.

Hapat

Zgjidhja e problemeve të thjeshta me gradë

Shumëzoni bazën e eksponentit me vete disa herë të barabartë me eksponentin. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem të fuqisë me dorë, rishkruani fuqinë si një operacion shumëzimi, ku baza e fuqisë shumëzohet vetvetiu. Për shembull, duke marrë një diplomë 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Në këtë rast, baza e fuqisë 3 duhet të shumëzohet në vetvete 4 herë: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Këtu janë shembuj të tjerë:

Së pari, shumëzoni dy numrat e parë. Për shembull, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Mos u shqetësoni - procesi i llogaritjes nuk është aq i ndërlikuar sa duket në shikim të parë. Fillimisht shumëzoni dy katërkat e para dhe më pas zëvendësojini me rezultatin. Si kjo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Shumëzoni rezultatin (16 në shembullin tonë) me numrin tjetër.Çdo rezultat pasues do të rritet proporcionalisht. Në shembullin tonë, shumëzojeni 16 me 4. Si kjo:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Vazhdoni të shumëzoni rezultatin e dy numrave të parë me numrin tjetër derisa të merrni përgjigjen tuaj përfundimtare. Për ta bërë këtë, shumëzoni dy numrat e parë dhe më pas shumëzoni rezultatin që rezulton me numrin tjetër në sekuencë. Kjo metodë është e vlefshme për çdo diplomë. Në shembullin tonë duhet të merrni: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Zgjidh problemet e mëposhtme. Kontrolloni përgjigjen tuaj duke përdorur një kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Në kalkulatorin tuaj, kërkoni çelësin e emërtuar "exp" ose " x n (\displaystyle x^(n))", ose "^". Duke përdorur këtë çelës, ju do të ngrini një numër në një fuqi. Është pothuajse e pamundur të llogaritet një diplomë me një tregues të madh me dorë (për shembull, shkalla 9 15 (\displaystyle 9^(15))), por kalkulatori mund ta përballojë lehtësisht këtë detyrë. Në Windows 7, kalkulatori standard mund të kalohet në modalitetin inxhinierik; Për ta bërë këtë, klikoni "Shiko" -> "Inxhinieri". Për të kaluar në modalitetin normal, klikoni "Shiko" -> "Normal".

   • Kontrolloni përgjigjen që keni marrë duke përdorur një motor kërkimi (Google ose Yandex). Duke përdorur tastin "^" në tastierën e kompjuterit tuaj, futni shprehjen në motorin e kërkimit, i cili do të shfaqë menjëherë përgjigjen e saktë (dhe ndoshta do t'ju sugjerojë shprehje të ngjashme për t'u studiuar).

   Mbledhja, zbritja, shumëzimi i fuqive

   1. Ju mund të shtoni dhe zbritni shkallë vetëm nëse ato kanë të njëjtat baza. Nëse duhet të shtoni fuqi me të njëjtat baza dhe eksponentë, atëherë mund ta zëvendësoni veprimin e mbledhjes me operacionin e shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Mos harroni se diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) mund të paraqitet në formë 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Kështu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ku 1 +1 =2). Kjo do të thotë, numëroni numrin e shkallëve të ngjashme, dhe pastaj shumëzoni atë shkallë dhe këtë numër. Në shembullin tonë, ngrini 4 në fuqinë e pestë dhe më pas shumëzoni rezultatin që rezulton me 2. Mos harroni se operacioni i mbledhjes mund të zëvendësohet nga operacioni i shumëzimit, për shembull, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Këtu janë shembuj të tjerë:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, shtohen eksponentët e tyre (baza nuk ndryshon). Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen x 2 ∗ x 5 (\style ekrani x^(2)*x^(5)). Në këtë rast, ju vetëm duhet të shtoni treguesit, duke e lënë bazën të pandryshuar. Kështu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Këtu është një shpjegim vizual i këtij rregulli:

      Kur rritet një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen. Për shembull, jepet një diplomë. Meqenëse eksponentët shumëzohen, atëherë (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Qëllimi i këtij rregulli është që ju të shumëzoni me fuqi (x 2) (\displaystyle (x^(2))) në vetvete pesë herë. Si kjo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Meqenëse baza është e njëjtë, eksponentët thjesht mblidhen: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Një fuqi me një eksponent negativ duhet të shndërrohet në një fraksion (fuqi e kundërt). Nuk ka rëndësi nëse nuk e dini se çfarë është një diplomë reciproke. Nëse ju jepet një shkallë me një eksponent negativ, p.sh. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), shkruani këtë shkallë në emëruesin e thyesës (vendosni 1 në numërues), dhe bëni eksponentin pozitiv. Në shembullin tonë: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Këtu janë shembuj të tjerë:

      Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, eksponentët e tyre zbriten (baza nuk ndryshon). Operacioni i pjesëtimit është i kundërt i operacionit të shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Zbrisni eksponentin në emërues nga eksponenti në numërues (mos e ndryshoni bazën). Kështu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Fuqia në emërues mund të shkruhet si më poshtë: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Mos harroni se një thyesë është një numër (fuqi, shprehje) me një eksponent negativ.

   4. Më poshtë janë disa shprehje që do t'ju ndihmojnë të mësoni të zgjidhni problemet me eksponentë. Shprehjet e dhëna mbulojnë materialin e paraqitur në këtë pjesë. Për të parë përgjigjen, thjesht zgjidhni hapësirën boshe pas shenjës së barazimit.

   Zgjidhja e problemave me eksponentë thyesorë

   Një fuqi me një eksponent thyesor (për shembull, ) konvertohet në një operacion rrënjë. Në shembullin tonë: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Këtu nuk ka rëndësi se cili numër është në emëruesin e eksponentit thyesor. Për shembull, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- është rrënja e katërt e "x", domethënë x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Nëse eksponenti është një fraksion i papërshtatshëm, atëherë eksponenti mund të zbërthehet në dy fuqi për të thjeshtuar zgjidhjen e problemit. Nuk ka asgjë të komplikuar për këtë - thjesht mbani mend rregullin e shumëzimit të fuqive. Për shembull, jepet një diplomë. Shndërroni një fuqi të tillë në një rrënjë, fuqia e së cilës është e barabartë me emëruesin e eksponentit thyesor, dhe pastaj ngrijeni këtë rrënjë në një fuqi të barabartë me numëruesin e eksponentit thyesor. Për ta bërë këtë, mbani mend atë 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Në shembullin tonë:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Disa kalkulatorë kanë një buton për të llogaritur eksponentë (së pari duhet të futni bazën, më pas të shtypni butonin dhe më pas të futni eksponentin). Ajo shënohet si ^ ose x^y.
   3. Mos harroni se çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten, për shembull, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Për më tepër, çdo numër i shumëzuar ose pjesëtuar me një është i barabartë me vetveten, p.sh. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Dhe 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Dije se fuqia 0 0 nuk ekziston (një fuqi e tillë nuk ka zgjidhje). Nëse përpiqeni të zgjidhni një diplomë të tillë në një kalkulator ose në një kompjuter, do të merrni një gabim. Por mbani mend se çdo numër me fuqinë zero është 1, për shembull, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Në matematikën e lartë, e cila funksionon me numra imagjinarë: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Ku i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e është një konstante afërsisht e barabartë me 2.7; a është një konstante arbitrare. Prova e kësaj barazie mund të gjendet në çdo tekst shkollor të matematikës së lartë.

   Paralajmërimet

   • Me rritjen e eksponentit, vlera e tij rritet shumë. Pra, nëse përgjigja ju duket e gabuar, në fakt mund të jetë e saktë. Ju mund ta provoni këtë duke vizatuar çdo funksion eksponencial, si p.sh. 2 x.