Ekuacioni i drejtëzës në katër forma. Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze

Ekuacionet kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​janë ekuacione që përcaktojnë një vijë që kalon nëpër një pikë të caktuar kolinear me vektorin e drejtimit.

Le të jepet një pikë dhe një vektor i drejtimit. Një pikë arbitrare shtrihet në një vijë l vetëm nëse vektorët dhe janë kolinear, d.m.th., kushti është i plotësuar për ta:

.

Ekuacionet e mësipërme janë ekuacionet kanonike të drejtëzës.

Numrat m , n Dhe fq janë projeksione të vektorit të drejtimit në boshtet e koordinatave. Meqenëse vektori nuk është zero, atëherë të gjithë numrat m , n Dhe fq nuk mund të jetë njëkohësisht e barabartë me zero. Por një ose dy prej tyre mund të rezultojnë të jenë zero. Në gjeometrinë analitike, për shembull, hyrja e mëposhtme lejohet:

,

që do të thotë se projeksionet e vektorit në bosht Oy Dhe Oz janë të barabarta me zero. Prandaj, si vektori ashtu edhe vija e drejtë e përcaktuar nga ekuacionet kanonike janë pingul me boshtet Oy Dhe Oz, pra avionë yOz .

Shembulli 1. Shkruani ekuacionet për një drejtëz në hapësirë ​​pingul me një plan dhe duke kaluar nëpër pikën e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz .

Zgjidhje. Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz. Që nga çdo pikë e shtrirë në bosht Oz, ka koordinata , atëherë, duke supozuar në ekuacionin e dhënë të planit x = y = 0, marrim 4 z- 8 = 0 ose z= 2. Prandaj, pika e prerjes së këtij rrafshi me boshtin Oz ka koordinata (0; 0; 2) . Meqenëse vija e dëshiruar është pingul me rrafshin, ajo është paralele me vektorin e saj normal. Prandaj, vektori drejtues i drejtëzës mund të jetë vektori normal aeroplan i dhënë.

Tani le të shkruajmë ekuacionet e kërkuara të një drejtëze që kalon nëpër një pikë A= (0; 0; 2) në drejtim të vektorit:

Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna

Një vijë e drejtë mund të përcaktohet nga dy pika që shtrihen mbi të Dhe Në këtë rast, vektori drejtues i vijës së drejtë mund të jetë vektori . Pastaj ekuacionet kanonike të drejtëzës marrin formën

.

Ekuacionet e mësipërme përcaktojnë një vijë që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një drejtëz në hapësirë ​​që kalon nëpër pikat dhe .

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionet e kërkuara të vijës së drejtë në formën e dhënë më sipër në referencën teorike:

.

Meqenëse , atëherë vija e drejtë e dëshiruar është pingul me boshtin Oy .

Drejt si vija e kryqëzimit të planeve

Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të përkufizohet si vija e kryqëzimit të dy planeve jo paralele dhe, d.m.th., si një grup pikash që plotësojnë një sistem me dy ekuacione lineare

Ekuacionet e sistemit quhen edhe ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze në hapësirë.

Shembulli 3. Të hartojnë ekuacione kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​të dhëna nga ekuacione të përgjithshme

Zgjidhje. Për të shkruar ekuacionet kanonike të një drejtëze ose, çfarë është e njëjta, ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, duhet të gjeni koordinatat e çdo dy pikash në vijë. Ato mund të jenë pikat e kryqëzimit të një vije të drejtë me dy plane koordinative, për shembull yOz Dhe xOz .

Pika e kryqëzimit të vijës dhe rrafshit yOz ka një abshisë x= 0. Prandaj, duke supozuar në këtë sistem ekuacionesh x= 0, marrim një sistem me dy ndryshore:

Vendimi i saj y = 2 , z= 6 së bashku me x= 0 përcakton një pikë A(0; 2; 6) rreshti i dëshiruar. Pastaj duke supozuar në sistemin e dhënë të ekuacioneve y= 0, marrim sistemin

Vendimi i saj x = -2 , z= 0 së bashku me y= 0 përcakton një pikë B(-2; 0; 0) kryqëzimi i një drejtëze me një plan xOz .

Tani le të shkruajmë ekuacionet e drejtëzës që kalon nëpër pika A(0; 2; 6) dhe B (-2; 0; 0) :

,

ose pas pjesëtimit të emërtuesve me -2:

,

Drejtëza që kalon nëpër pikën K(x 0 ; y 0) dhe paralele me drejtëzën y ​​= kx + a gjendet me formulën:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Ku k është pjerrësia e vijës.

Formula alternative:
Drejtëza që kalon nëpër pikën M 1 (x 1 ; y 1) dhe paralele me drejtëzën Ax+By+C=0 përfaqësohet nga ekuacioni

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nga pika K( ;) paralel me drejtëzën y ​​= x+ .

Shembulli nr. 1. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër pikën M 0 (-2,1) dhe në të njëjtën kohë:
a) paralel me drejtëzën 2x+3y -7 = 0;
b) pingul me drejtëzën 2x+3y -7 = 0.
Zgjidhje . Le të imagjinojmë ekuacionin me pjerrësinë në formën y = kx + a. Për ta bërë këtë, zhvendosni të gjitha vlerat përveç y në anën e djathtë: 3y = -2x + 7. Pastaj ndani anën e djathtë me një faktor 3. Marrim: y = -2/3x + 7/3
Le të gjejmë ekuacionin NK që kalon në pikën K(-2;1), paralel me drejtëzën y ​​= -2 / 3 x + 7 / 3
Duke zëvendësuar x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 marrim:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ose
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ose 3y + 2x +1 = 0

Shembulli nr. 2. Shkruani ekuacionin e një drejtëze paralele me drejtëzën 2x + 5y = 0 dhe duke formuar, së bashku me boshtet e koordinatave, një trekëndësh, sipërfaqja e të cilit është 5.
Zgjidhje . Meqenëse vijat janë paralele, ekuacioni i vijës së dëshiruar është 2x + 5y + C = 0. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë, ku a dhe b janë këmbët e tij. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të vijës së dëshiruar me boshtet e koordinatave:
;
.
Pra, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Le ta zëvendësojmë atë në formulën për zonën: . Marrim dy zgjidhje: 2x + 5y + 10 = 0 dhe 2x + 5y – 10 = 0.

Shembulli nr. 3. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2; 5) dhe paralel me drejtëzën 5x-7y-4=0.
Zgjidhje. Kjo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga ekuacioni y = 5 / 7 x – 4 / 7 (këtu a = 5 / 7). Ekuacioni i vijës së dëshiruar është y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), d.m.th. 7(y-5)=5(x+2) ose 5x-7y+45=0 .

Shembulli nr. 4. Pasi kemi zgjidhur shembullin 3 (A=5, B=-7) duke përdorur formulën (2), gjejmë 5(x+2)-7(y-5)=0.

Shembulli nr. 5. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2;5) dhe paralel me drejtëzën 7x+10=0.
Zgjidhje. Këtu A=7, B=0. Formula (2) jep 7(x+2)=0, d.m.th. x+2=0. Formula (1) nuk është e zbatueshme, pasi ky ekuacion nuk mund të zgjidhet në lidhje me y (kjo drejtëz është paralele me boshtin e ordinatave).

Lëreni drejtëzën të kalojë nëpër pikat M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2). Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën M 1 ka formën y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Ku k - koeficient ende i panjohur.

Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikën M 2 (x 2 y 2), koordinatat e kësaj pike duhet të plotësojnë ekuacionin (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Nga këtu gjejmë Zëvendësimin e vlerës së gjetur k në ekuacionin (10.6), marrim ekuacionin e një vije të drejtë që kalon nëpër pikat M 1 dhe M 2:

Supozohet se në këtë ekuacion x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nëse x 1 = x 2, atëherë drejtëza që kalon nëpër pikat M 1 (x 1,y I) dhe M 2 (x 2,y 2) është paralele me boshtin e ordinatave. Ekuacioni i tij është x = x 1 .

Nëse y 2 = y I, atëherë ekuacioni i drejtëzës mund të shkruhet si y = y 1, drejtëza M 1 M 2 është paralele me boshtin e abshisave.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente

Lëreni drejtëzën të presë boshtin Ox në pikën M 1 (a;0), dhe boshtin Oy në pikën M 2 (0;b). Ekuacioni do të marrë formën:
ato.
. Ky ekuacion quhet ekuacioni i një drejtëze në segmente, sepse numrat a dhe b tregojnë se cilat segmente i pret vija në boshtet e koordinatave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar

Le të gjejmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar Mo (x O; y o) pingul me një vektor të caktuar jozero n = (A; B).

Le të marrim një pikë arbitrare M(x; y) në vijë dhe të konsiderojmë vektorin M 0 M (x - x 0; y - y o) (shih Fig. 1). Meqenëse vektorët n dhe M o M janë pingul, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: d.m.th.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Quhet ekuacioni (10.8). ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar .

Vektori n= (A; B), pingul me drejtëzën, quhet normal vektori normal i kësaj linje .

Ekuacioni (10.8) mund të rishkruhet si Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ku A dhe B janë koordinatat e vektorit normal, C = -Ax o - Vu o është termi i lirë. Ekuacioni (10.9) është ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës(shih Fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Ekuacionet kanonike të drejtëzës

,

Ku
- koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon drejtëza, dhe
- vektori i drejtimit.

Kurbat e rendit të dytë Rrethi

Rrethi është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e cila quhet qendër.

Ekuacioni kanonik i një rrethi me rreze R të përqendruar në një pikë
:

Në veçanti, nëse qendra e kunjit përkon me origjinën e koordinatave, atëherë ekuacioni do të duket si:

Elipsa

Një elipsë është një grup pikash në një plan, shuma e distancave nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna Dhe , të cilat quhen vatra, është një sasi konstante
, më e madhe se distanca ndërmjet vatrave
.

Ekuacioni kanonik i një elipse, vatrat e së cilës shtrihen në boshtin Ox, dhe origjina e koordinatave në mes midis vatrave ka formën
G de a gjatësia e boshtit gjysmë të madh; b – gjatësia e boshtit gjysmë të vogël (Fig. 2).

Ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh.

Siç dihet, çdo pikë në aeroplan përcaktohet nga dy koordinata në një sistem koordinativ. Sistemet e koordinatave mund të jenë të ndryshme në varësi të zgjedhjes së bazës dhe origjinës.

Përkufizimi. Ekuacioni i linjës quhet relacioni y = f(x) ndërmjet koordinatave të pikave që përbëjnë këtë drejtëz.

Vini re se ekuacioni i një drejtëze mund të shprehet në mënyrë parametrike, domethënë secila koordinatë e secilës pikë shprehet përmes një parametri të pavarur. t.

Një shembull tipik është trajektorja e një pike lëvizëse. Në këtë rast, roli i parametrit luhet nga koha.

Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.

Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë

Ax + Wu + C = 0,

Për më tepër, konstantet A dhe B nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, d.m.th. A 2 + B 2  0. Ky ekuacion i rendit të parë quhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Në varësi të vlerave të konstanteve A, B dhe C, rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

C = 0, A  0, B  0 – vija e drejtë kalon nëpër origjinë

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - drejtëz paralele me boshtin Oy

B = C = 0, A  0 - drejtëza përkon me boshtin Oy

A = C = 0, B  0 - vija e drejtë përkon me boshtin Ox

Ekuacioni i një vije të drejtë mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të kushteve fillestare të dhëna.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal.

Përkufizimi. Në sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me përbërës (A, B) është pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni Ax + By + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në pikën A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).

Me A = 3 dhe B = -1, le të përpilojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x – y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton.

Marrim: 3 – 2 + C = 0, pra C = -1.

Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x – y – 1 = 0.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika.

Le të jepen në hapësirë ​​dy pika M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër këto pika është:

Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero.

Në plan, ekuacioni i vijës së drejtë të shkruar më sipër është thjeshtuar:

nëse x 1  x 2 dhe x = x 1, nëse x 1 = x 2.

Fraksioni
=k quhet shpat drejt.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).

Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim:

Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.

Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + By + C = 0 reduktohet në formën:

dhe caktoni
, atëherë thirret ekuacioni që rezulton ekuacioni i një vije të drejtë me pjerrësinëk.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor drejtimi.

Në analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një drejtëze përmes një vektori normal, mund të futni përkufizimin e një drejtëze përmes një pike dhe vektorin drejtues të vijës së drejtë.

Përkufizimi. Çdo vektor jozero ( 1,  2), përbërësit e të cilit plotësojnë kushtin A 1 + B 2 = 0 quhet vektor drejtues i drejtëzës.

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës me vektor drejtimi (1, -1) dhe duke kaluar nëpër pikën A(1, 2).

Ekuacionin e vijës së dëshiruar do ta kërkojmë në formën: Ax + By + C = 0. Në përputhje me përkufizimin, koeficientët duhet të plotësojnë kushtet:

1A + (-1)B = 0, d.m.th. A = B.

Atëherë ekuacioni i drejtëzës ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C/A = 0.

në x = 1, y = 2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i kërkuar:

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С 0, atëherë, duke e pjesëtuar me –С, marrim:
ose

, Ku

Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti Aështë koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Ox, dhe b– koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oy.

Shembull.Është dhënë barazimi i përgjithshëm i drejtëzës x – y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Ekuacioni normal i një drejtëze.

Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + By + C = 0 pjesëtohen me numrin
që quhet faktori normalizues, atëherë marrim

xcos + ysin - p = 0 -

ekuacioni normal i një drejtëze.

Shenja  e faktorit normalizues duhet zgjedhur ashtu që С< 0.

p është gjatësia e pingules së rënë nga origjina në drejtëz, dhe  është këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Ox.

Shembull.Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 12x – 5y – 65 = 0. Për këtë drejtëz kërkohet të shkruhet ekuacione të ndryshme.

ekuacioni i kësaj linje në segmente:

ekuacioni i kësaj linje me pjerrësinë: (pjestohet me 5)

ekuacioni normal i një drejtëze:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, linjat e drejta paralele me boshtet ose që kalojnë përmes origjinës së koordinatave.

Shembull. Vija e drejtë pret segmente të barabarta pozitive në boshtet e koordinatave. Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë nëse sipërfaqja e trekëndëshit të formuar nga këto segmente është 8 cm 2.

Ekuacioni i drejtëzës është:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nuk është i përshtatshëm sipas kushteve të problemit.

Total:
ose x + y – 4 = 0.

Shembull. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nga pika A(-2, -3) dhe nga origjina.

Ekuacioni i drejtëzës është:
, ku x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan.

Përkufizimi. Nëse jepen dy drejtëza y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atëherë këndi i mprehtë ndërmjet këtyre drejtëzave do të përcaktohet si

.

Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2.

Dy drejtëza janë pingul nëse k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Linjat e drejtpërdrejta Ax + Wu + C = 0 dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 janë paralele kur koeficientët A janë proporcional 1 =  A, B 1 =  B. Nëse gjithashtu C 1 =  C, atëherë linjat përkojnë.

Si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve të këtyre drejtëzave gjenden koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar

pingul me këtë vijë.

Përkufizimi. Një drejtëz që kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y ​​= kx + b përfaqësohet nga ekuacioni:

Largësia nga një pikë në një vijë.

Teorema. Nëse është dhënë pika M(x). 0 , y 0 ), atëherë distanca në vijën e drejtë Ах + Ву + С =0 përcaktohet si

.

Dëshmi. Le të jetë pika M 1 (x 1, y 1) baza e pingulit të rënë nga pika M në një drejtëz të dhënë. Atëherë distanca midis pikave M dhe M 1:

Koordinatat x 1 dhe y 1 mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar M 0 pingul me një drejtëz të caktuar.

Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

.

Teorema është vërtetuar.

Shembull. Përcaktoni këndin ndërmjet drejtëzave: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Shembull. Tregoni se drejtëzat 3x – 5y + 7 = 0 dhe 10x + 6y – 3 = 0 janë pingul.

Gjejmë: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, pra, vijat janë pingule.

Shembull. Janë dhënë kulmet e trekëndëshit A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Gjeni ekuacionin e lartësisë të nxjerrë nga kulmi C.

Gjejmë ekuacionin e anës AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ekuacioni i lartësisë së kërkuar ka formën: Ax + By + C = 0 ose y = kx + b.

k = . Atëherë y =
. Sepse lartësia kalon nëpër pikën C, atëherë koordinatat e saj plotësojnë këtë ekuacion:
prej nga b = 17. Gjithsej:
.

Përgjigje: 3x + 2y – 34 = 0.

Gjeometria analitike në hapësirë.

Ekuacioni i një drejtëze në hapësirë.

Ekuacioni i një drejtëze në hapësirë ​​të dhënë një pikë dhe

vektori i drejtimit.

Le të marrim një vijë arbitrare dhe një vektor (m, n, p), paralel me drejtëzën e dhënë. Vektor thirrur vektor udhëzues drejt.

Në vijën e drejtë marrim dy pika arbitrare M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dhe M (x, y, z).

z

M 1

Le t'i shënojmë vektorët e rrezes së këtyre pikave si Dhe , është e qartë se - =
.

Sepse vektorët
Dhe janë kolineare, atëherë lidhja është e vërtetë
= t, ku t është një parametër.

Në total, mund të shkruajmë: = + t.

Sepse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat e çdo pike në vijë, atëherë ekuacioni që rezulton është ekuacioni parametrik i një drejtëze.

Ky ekuacion vektorial mund të paraqitet në formë koordinative:

Duke e transformuar këtë sistem dhe duke barazuar vlerat e parametrit t, marrim ekuacionet kanonike të një vije të drejtë në hapësirë:

.

Përkufizimi. Kosinuset e drejtimit të drejtpërdrejta janë kosinuset e drejtimit të vektorit , e cila mund të llogaritet duke përdorur formulat:

;

.

Nga këtu marrim: m: n: p = cos : cos : cos.

Quhen numrat m, n, p koeficientët e këndit drejt. Sepse është një vektor jo zero, atëherë m, n dhe p nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, por një ose dy nga këta numra mund të jenë të barabartë me zero. Në këtë rast, në ekuacionin e drejtëzës, numëruesit përkatës duhet të vendosen të barabartë me zero.

Ekuacioni i një drejtëze në kalim hapësinor

përmes dy pikave.

Nëse në një vijë të drejtë në hapësirë ​​shënojmë dy pika arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë koordinatat e këtyre pikave duhet të plotësojnë ekuacionin e drejtëzës. marrë më sipër:

.

Përveç kësaj, për pikën M 1 mund të shkruajmë:

.

Duke zgjidhur këto ekuacione së bashku, marrim:

.

Ky është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika në hapësirë.

Ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze në hapësirë.

Ekuacioni i një drejtëze mund të konsiderohet si ekuacion i vijës së kryqëzimit të dy rrafsheve.

Siç u diskutua më lart, një plan në formë vektoriale mund të specifikohet nga ekuacioni:

+ D = 0, ku

- avioni normal; - rrezja është vektori i një pike arbitrare në rrafsh.

Ky artikull zbulon derivimin e ekuacionit të një vije të drejtë që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor të vendosur në një plan. Le të nxjerrim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor. Do të tregojmë dhe zgjidhim qartë disa shembuj që lidhen me materialin e trajtuar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Para se të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje disa fakteve. Ekziston një aksiomë që thotë se përmes dy pikave divergjente në një plan është e mundur të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një. Me fjalë të tjera, dy pika të dhëna në një plan përcaktohen nga një vijë e drejtë që kalon nëpër këto pika.

Nëse rrafshi përcaktohet nga sistemi koordinativ drejtkëndor Oxy, atëherë çdo vijë e drejtë e përshkruar në të do të korrespondojë me ekuacionin e një vije të drejtë në aeroplan. Ekziston edhe një lidhje me vektorin drejtues të drejtëzës.Kjo e dhënë mjafton për të përpiluar ekuacionin e drejtëzës që kalon në dy pika të dhëna.

Le të shohim një shembull të zgjidhjes së një problemi të ngjashëm. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një drejtëz a që kalon nëpër dy pika divergjente M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2), të vendosura në sistemin koordinativ Kartezian.

Në ekuacionin kanonik të një drejtëze në një rrafsh, që ka formën x - x 1 a x = y - y 1 a y, një sistem koordinativ drejtkëndor O x y specifikohet me një vijë që kryqëzohet me të në një pikë me koordinatat M 1 (x 1, y 1) me një vektor udhëzues a → = (a x , a y) .

Është e nevojshme të krijohet një ekuacion kanonik i një drejtëze a, e cila do të kalojë nëpër dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2).

Drejt a ka një vektor të drejtimit M 1 M 2 → me koordinata (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pasi pret pikat M 1 dhe M 2. Ne kemi marrë të dhënat e nevojshme për të transformuar ekuacionin kanonik me koordinatat e vektorit të drejtimit M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dhe koordinatat e pikave M 1 që shtrihen mbi to. (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2 , y 2) . Ne marrim një ekuacion të formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Konsideroni figurën më poshtë.

Pas llogaritjeve, shkruajmë ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh që kalon në dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2). Marrim një ekuacion të formës x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Le të hedhim një vështrim më të afërt në zgjidhjen e disa shembujve.

Shembulli 1

Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër 2 pika të dhëna me koordinata M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Zgjidhje

Ekuacioni kanonik për një drejtëz që kryqëzohet në dy pika me koordinatat x 1, y 1 dhe x 2, y 2 merr formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Sipas kushteve të problemës kemi që x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Është e nevojshme të zëvendësohen vlerat numerike në ekuacionin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Nga këtu marrim se ekuacioni kanonik merr formën x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Përgjigje: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem me një lloj tjetër ekuacioni, atëherë së pari mund të shkoni në atë kanonik, pasi është më e lehtë të vini prej tij në ndonjë tjetër.

Shembulli 2

Hartoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër pika me koordinata M 1 (1, 1) dhe M 2 (4, 2) në sistemin e koordinatave O x y.

Zgjidhje

Së pari, duhet të shkruani ekuacionin kanonik të një linje të caktuar që kalon nëpër dy pika të dhëna. Marrim një ekuacion të formës x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Le ta sjellim ekuacionin kanonik në formën e dëshiruar, atëherë marrim:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Përgjigje: x - 3 y + 2 = 0 .

Shembuj të detyrave të tilla u diskutuan në tekstet shkollore gjatë mësimeve të algjebrës. Problemet e shkollës ndryshonin në atë që njihej ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndi, që kishte formën y = k x + b. Nëse ju duhet të gjeni vlerën e pjerrësisë k dhe numrin b për të cilin ekuacioni y = k x + b përcakton një vijë në sistemin O x y që kalon nëpër pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 ( x 2, y 2), ku x 1 ≠ x 2. Kur x 1 = x 2 , atëherë koeficienti këndor merr vlerën e pafundësisë, dhe drejtëza M 1 M 2 përcaktohet nga një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i formës x - x 1 = 0 .

Sepse pikat M 1 Dhe M 2 janë në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre plotësojnë ekuacionin y 1 = k x 1 + b dhe y 2 = k x 2 + b. Është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b për k dhe b.

Për ta bërë këtë, gjejmë k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Me këto vlera të k dhe b, ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pikat e dhëna bëhet y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Është e pamundur të mbani mend një numër kaq të madh formulash menjëherë. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të rritet numri i përsëritjeve në zgjidhjen e problemeve.

Shembulli 3

Shkruani ekuacionin e drejtëzës me koeficient këndor që kalon nëpër pika me koordinata M 2 (2, 1) dhe y = k x + b.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim një formulë me një koeficient këndor të formës y = k x + b. Koeficientët k dhe b duhet të marrin një vlerë të tillë që ky ekuacion të korrespondojë me një drejtëz që kalon nëpër dy pika me koordinata M 1 (- 7, - 5) dhe M 2 (2, 1).

Pikat M 1 Dhe M 2 janë të vendosura në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre duhet ta bëjnë barazimin e vërtetë ekuacionin y = k x + b. Nga kjo marrim se - 5 = k · (- 7) + b dhe 1 = k · 2 + b. Le ta bashkojmë ekuacionin në sistemin - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dhe ta zgjidhim.

Pas zëvendësimit e marrim atë

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Tani vlerat k = 2 3 dhe b = - 1 3 zëvendësohen në ekuacionin y = k x + b. Ne gjejmë se ekuacioni i kërkuar që kalon nëpër pikat e dhëna do të jetë një ekuacion i formës y = 2 3 x - 1 3 .

Kjo metodë e zgjidhjes paracakton humbjen e shumë kohe. Ekziston një mënyrë në të cilën detyra zgjidhet fjalë për fjalë në dy hapa.

Le të shkruajmë ekuacionin kanonik të drejtëzës që kalon nëpër M 2 (2, 1) dhe M 1 (- 7, - 5), duke pasur formën x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Tani le të kalojmë te ekuacioni i pjerrësisë. Ne marrim se: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Përgjigje: y = 2 3 x - 1 3 .

Nëse në hapësirën tredimensionale ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me dy pika të dhëna jo të përputhshme me koordinatat M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), drejtëza M duke kaluar nëpër to 1 M 2 , është e nevojshme të merret ekuacioni i kësaj linje.

Kemi se ekuacionet kanonike të formës x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dhe ekuacionet parametrike të formës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ janë në gjendje të përcaktojnë një vijë në sistemin koordinativ O x y z, që kalon nëpër pika që kanë koordinata (x 1, y 1, z 1) me një vektor drejtimi a → = (a x, a y, a z).

Drejt M 1 M 2 ka një vektor drejtimi të formës M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), ku drejtëza kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2 , y 2 , z 2), prandaj ekuacioni kanonik mund të jetë i formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, nga ana tjetër parametrike x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Konsideroni një vizatim që tregon 2 pika të dhëna në hapësirë ​​dhe ekuacionin e një drejtëze.

Shembulli 4

Shkruani ekuacionin e një drejtëze të përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z të hapësirës tredimensionale, që kalon nëpër dy pika të dhëna me koordinata M 1 (2, - 3, 0) dhe M 2 (1, - 3, - 5).

Zgjidhje

Është e nevojshme të gjendet ekuacioni kanonik. Meqenëse po flasim për hapësirën tredimensionale, do të thotë që kur një vijë kalon nëpër pika të dhëna, ekuacioni kanonik i dëshiruar do të marrë formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Me kusht kemi që x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Nga kjo rrjedh se ekuacionet e nevojshme do të shkruhen si më poshtë:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Përgjigje: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter