Simetria si kriter i bukurisë së jashtme. Asimetria e fytyrës: shkaqet e çrregullimeve patologjike dhe metodat për korrigjimin e tyre

)
Data: 2017-10-17 Shikimet: 18 963 Gradë: 5.0

Qëllimi i trajnimit: korrigjoni asimetrinë e fytyrës në 3 pika (vetullat, sytë, buzët).

Fytyra e njeriut nuk është simetrike, ashtu si trupi, dhe nuk ka asgjë të habitshme në këtë.

Megjithatë, ka raste kur asimetria e fytyrës është e theksuar dhe ju jep shqetësime psikologjike. Do të bëj një rezervë menjëherë që jo të gjitha llojet e asimetrisë mund të korrigjohen me ndihmën e ushtrimeve.

Asimetria nuk mund të korrigjohet me ushtrime nëse:

• shkaktohet nga deformimet e kockave;
• deformime patologjike;
• neuriti shumë "i vjetër" i nervit të fytyrës;
• në disa raste, pasojat e injeksioneve të Botox-it, i ashtuquajturi efekt anësor.

Shkaqet e asimetrisë

Gjithashtu, asimetria e fytyrës varet shumë nga gjendja e trupit tuaj. Për marrëdhëniet midis fytyrës dhe trupit.

Me pak fjalë, me skoliozë, lordozë, deformime të legenit dhe ndryshime të tjera në sistemin muskuloskeletor, ndodh asimetria dhe korrigjimi i saj duhet të fillojë nga thembra!

Por ASIMETRIA mund të jetë rezultat i shprehjeve të tepërta të fytyrës, sjelljeve të këqija të fytyrës dhe zakoneve të sjelljes. E gjithë kjo zbulohet duke parë nga afër fytyrën tuaj në video, për shembull.

Duke buzëqeshur, duke folur, duke përtypur vetëm nga njëra anë ose duke ngritur vazhdimisht njërën nga vetullat. E mbani mend ekzistencën e kujtesës së muskujve? Dhe ajo kujton për ju dhe e tërheq vetullën aktive gjatë gjithë kohës, dhe një sy bën më pak vizualisht.

Si të matet asimetria?

Si të kontrolloni simetrinë e fytyrës? Duhet një foto! Lëvizni flokët nga fytyra, kërkoni që të bëni një foto. Një foto është si një pasaportë: ne nuk buzëqeshim, nuk përpiqemi të dukemi të lezetshëm në foto.

Marrim një vizore dhe vizatojmë një vijë horizontale mbi sy (në bebëzat), mbi vetullat, mbi buzë. Filloni me sytë. Në fund të fundit, niveli ynë i brendshëm shpirtëror (niveli) priret drejt horizontit pikërisht në zonën e syve, në mënyrë që të mund të ecni pa probleme dhe të mos bini.

Dhe tani shikojmë 3 linjat që rezultojnë. Ndoshta njëra vetull do të jetë më e lartë dhe tjetra më e ulët, qoshet e buzëve mund të mos jenë në të njëjtën linjë.

Mos harroni se ka vlera të pranueshme të asimetrisë dhe kjo është absolutisht e natyrshme dhe nuk kërkon rregullim.

Aty ku ka devijime nga horizonti, duhet të punoni me muskujt, dhe për disa do të mjaftojë të korrigjoni stereotipet e sjelljes dhe gjithçka do të bjerë në vend në fytyrë.

Ushtrime për fytyrën me asimetri

Le të kalojmë te ushtrimet, meqë ra fjala, ato mund të kombinohen me ndonjë nga komplekset:,. Thjesht shtoni ato në programin tuaj të trajnimit. Për shembull, duke kryer, pastaj bëni ushtrime për të korrigjuar asimetrinë e së njëjtës zonë.

Në shembull, unë e konsideroj mundësinë e korrigjimit të asimetrisë së njëanshme të fytyrës, kur pjesa e fytyrës e vendosur më poshtë në krahasim me gjysmën e saj funksionon më keq, ju e ndjeni atë më pak! Për shembull, vetulla e majtë, syri i majtë, këndi i majtë i buzës janë më të ulëta se në anën e djathtë të fytyrës - kjo asimetri quhet NJË ANË.

Asimetria e fytyrës mund të jetë diagonale, komplekse. Në raste të tilla, është më mirë të zgjidhni ushtrimet individualisht.

Rekomandohen 30 përsëritje, në llogarinë e fundit vonesë statike 5 sekonda. Trajnimi bazohet në zbatimin e "BAZA" - ushtrime bazë me shtimin e ushtrimeve speciale për të korrigjuar asimetrinë e një zone të caktuar.

Balli. Korrigjimi i vetullave

Ushtrimi numër 1: Ngritja e vetullave lart

Ky është ushtrimi bazë. Kur e bëni, kushtojini vëmendje vetullave? Cila ngrihet më keq? Cilin ndjen më pak?

Vendosni gishtat mbi vetullat tuaja. Shtyni vetullat lart me përpjekje, rezistoni me gishta. Sigurohuni që gjatë ushtrimit të mos ketë rrudha horizontale në ballë, përpiquni të relaksoheni dhe ulni shpatullat, rregulloni fort lëkurën sipër vetullave. Pas përfundimit të ushtrimit, prekni ballin me gishta.

Le të kalojmë në një grup ushtrimesh për korrigjimin e pozicioneve të ndryshme të lartësisë së vetullave:

Ushtrimi numër 2: ngritja e vetullave në mënyrë alternative

Në ballë, sipër vetullave, vendosni gishtat dhe falangat mbajeni lehtë lëkurën në mënyrë që të mos mblidhet në palosje. Tani ngrini vetullat në mënyrë alternative: pastaj majtas, pastaj djathtas.

Ndjeni se cila nga vetullat ngrihet më keq, ose kur ngre njërën nga vetullat, lind tension dhe parehati. Vetulla që ngrihet më keq duhet të tërhiqet me 2 numërime: 1-ngritur, 2-shtrirë. Pas përfundimit të ushtrimit, prekni ballin me gishta.

Ushtrimi numër 3: ngritja e një vetulle

Pasi të keni gjetur një vetull që funksionon më keq dhe ndodhet më poshtë, ajo duhet të "stërvitet" veçmas.

E fiksojmë me dorë vetullën që ndodhet sipër dhe e ngremë tjetrën lart duke mbajtur lëkurën mbi vetull me falangat e gishtave që të mos mblidhet në palosje. Pas përfundimit të ushtrimit, prekni ballin me gishta.

Sytë

Video e përgjithshme:

Ushtrimi numër 1: për të forcuar qepallën e sipërme

Ky është ushtrimi bazë. Gjatë ekzekutimit, gjurmoni ndjesitë nën gishtat tregues, nën njërin nga gishtat ka një pulsim, dridhja e muskujve do të jetë më pak e theksuar. Kur mbyllni këtë sy, përpiquni të shtypni pak më fort qepallën e poshtme me qepallën e sipërme. E RËNDËSISHME! Mos e shtypni fort me gishta dhe mos e shtrini lëkurën në drejtime të ndryshme!

I mbajmë cepat e syve me gishta dhe me pak përpjekje mbyllim sytë, duke shtypur qepallën e sipërme tek ato të poshtme. Mundohuni t'i mbani vetullat në vend dhe të mos zvarriten prapa qepallës së sipërme, relaksoni ballin. Pastaj hapim sytë. Pasi të keni bërë ushtrimin, mbyllni sytë.

Ushtrimi numër 2: punë alternative me sy

Le të mbyllim sytë një nga një. Vendosim gishtin tregues dhe të mesëm në cepat e syve, mos e shtypim apo tërheqim lëkurën. Ne mbyllim sytë me radhë: majtas, djathtas, majtas .... Kur mbyllni njërin sy, tjetri duhet mbajtur hapur. Sigurohuni që të relaksoni ballin në mënyrë që vetulla të mos bjerë poshtë së bashku me qepallën e sipërme. Pasi të keni bërë ushtrimin, mbyllni sytë.

Këndet e buzëve

Video e përgjithshme:

Ushtrimi numër 1: ndihmon në ngritjen e qosheve të varura të buzëve

Ky është ushtrimi bazë. Gishtat rregullojnë zonën nasolabiale (nga cepi i gojës deri te vrima e hundës). I ngremë cepat e buzëve lart, si duke buzëqeshur, me gishtat rezistojmë, lëvizja e cepave të buzëve shkon lart poshtë syve, ndërsa qendra e buzëve është e relaksuar. Mundohuni të mos "kalëroni" gishtat në fytyrë; kur ngrini, cepi i buzës mbështetet në gishtat tuaj.

Ushtrimi numër 2 duke ngritur në mënyrë alternative qoshet e buzëve

Gishtat rregullojnë zonën nasolabiale (nga cepi i gojës deri te vrima e hundës). Këndet e buzëve i ngremë lart me radhë, sikur buzëqeshim me njërin cep të buzës, rezistojmë me gishta, lëvizja e cepave të buzëve shkon lart poshtë syve, ndërsa qendra e buzëve është e relaksuar. Mundohuni të mos "kalëroni" gishtat në fytyrë; kur ngrini, cepi i buzës mbështetet në gishtat tuaj.

Ushtrimi numër 3 duke ngritur një cep të buzës

Me gishta rregullojmë zonën nasolabiale (nga këndi i gojës deri te vrima e hundës) nga ana e këndit të buzës, e cila ndodhet poshtë. Thjesht fiksojmë me dorë këndin e kundërt të gojës që të mos përfshihet në punë. E ngremë cepin e buzëve lart, sikur buzëqeshim me njërin cep të buzës, rezistojmë me gishta, lëvizja e cepit të buzës shkon lart poshtë syrit, ndërsa qendra e buzëve është e relaksuar. Mundohuni të mos "kalëroni" gishtat në fytyrë; kur ngrini, cepi i buzës mbështetet në gishtat tuaj.

P.S. Unë zhvilloj programe trajnimi individuale për ndërtimin e Facebook, zhvilloj klasa përmes Skype. Ne qofte se je i interesuar -

Krijimi i asimetrisë së fytyrës është bërë një lloj ndjesie, pasi asimetria është rrallë e dukshme. Doli se njerëzit ndryshojnë në shkallën e asimetrisë së tyre po aq sa në tiparet e fytyrës. Kjo u konfirmua jo vetëm nga matjet, por edhe nga një krahasim i portreteve të përbëra nga fotografi të gjysmës së djathtë dhe të majtë (njëra prej tyre duhet të kthehet me kokë poshtë kur shtypet) me një portret të zakonshëm të një personi të marrë pikërisht përpara. Ju merrni fytyra krejtësisht të ndryshme.

Nuk ka simetri të përsosur në botë. Është gabim të konsiderosh simetrinë e fytyrës një kusht të domosdoshëm për bukurinë e saj. Përzierja e tipareve trashëgimore nuk mund të mos reflektohet në fytyrën e fëmijës. Për të vlerësuar bukurinë e një fytyre, është i rëndësishëm një kombinim i tipareve dhe një asimetri e lehtë, e cila, që ra fjala, është e natyrshme në fytyrat e të gjithë njerëzve dhe nuk i heq aspak meritat e portretit. Edhe në skulpturat e Venus de Milo dhe Apollo Belvedere, fytyrat e tyre nuk kanë simetri të plotë. Me arsye të mirë, mund të themi se nuk ka asnjë person të vetëm me simetri të padiskutueshme strikte të gjysmës së djathtë dhe të majtë. Kjo është ndoshta arsyeja pse Claudius Galen shkroi se "bukuria e vërtetë shprehet në përsosmërinë e qëllimit dhe se qëllimi i parë i të gjitha pjesëve është përshtatshmëria e strukturës". Pa dyshim, P.F. Lesgaft kishte të drejtë kur shkruante se “me zhvillimin harmonik të të gjithë muskujve dhe grupeve të muskujve, fytyra do të humbiste shprehjen e saj të caktuar. Individualiteti i tipareve të fytyrës fitohet nëpërmjet përdorimit të shpeshtë të muskujve përkatës.

Michelle Monaghan

Pra, duhet njohur si fakt asimetria e fytyrës, d.m.th., pabarazia e gjysmës së saj të djathtë dhe të majtë: njëri prej tyre, si rregull, është më i gjerë, tjetri është më i ngushtë, njëri është më i lartë, tjetri është më i ulët. . Arsyeja e asimetrisë është në shumicën e rasteve pabarazia e elementeve strukturore të kockave të kafkës. Në fytyrën e një personi, rritja e asimetrisë është për shkak të specifikës së shprehjeve të fytyrës (asimetria fiziologjike).

Naomi Watts

Ka punime shkencore në të cilat shkencëtarët identifikojnë modelet e mëposhtme të asimetrisë së fytyrës. Nëse gjysma e fytyrës është më e lartë, atëherë është edhe më e ngushtë. Në këtë rast, vetulla është e vendosur më lart se në gjysmën e kundërt, më të gjerë të fytyrës, çarja palpebrale është më e madhe. Syri në tërësi duket i kthyer lart. Gjysma e majtë e fytyrës është zakonisht më e lartë se e djathta. Shumë autorë ende besojnë se gjysma e djathtë e fytyrës është më e madhe se e majta, del më fort dhe shpreh maskulinitetin. Gjysma e majtë është përgjithësisht më e butë, duke reflektuar tiparet e feminitetit.

Kate Bosworth

Asimetria e fytyrës është vërejtur prej kohësh si një reflektim i asimetrisë së përgjithshme të trupit. U bënë përpjekje për të rivendosur fytyrën në portret nga gjysma e saktë e fotografisë dhe imazhi i saj në pasqyrë. Gjysma e djathtë dhe e majtë jepnin imazhe të ndryshme. Ato nuk përputheshin me origjinalin. Asimetria imituese, megjithëse e mbivendosur në disproporcionet e gjysmës së djathtë dhe të majtë të kafkës së fytyrës, ka gjithashtu karakteristikat e veta. Është vërtetuar se rregullimi nervor i muskujve imitues të djathtë është më i pasur, lëvizjet e kokës dhe syve në të djathtë riprodhohen më lehtë. Edhe ngulfatja e syrit të djathtë është më e zakonshme.

Kandidat i Shkencave Mjekesore, kirurg plastik ""

Në shekullin e 15-të, Leonardo da Vinci krijoi vizatime që përshkruajnë përmasat "hyjnore" të fytyrës dhe trupit të njeriut, të cilat janë ende standarde (Fig. 1). Sidoqoftë, këto përmasa nuk marrin parasysh faktin se objektet absolutisht simetrike nuk ekzistojnë në natyrën e gjallë: në secilën prej tyre ekziston gjithmonë një unitet simetrie dhe asimetrie.

Oriz. një.

Gjatë historisë, njerëzit janë përpjekur të "matin" bukurinë, ta përshkruajnë atë duke përdorur formula matematikore ose përmasa gjeometrike, duke bërë të mundur rikrijimin e saj. Pra, në Greqinë e lashtë, rendi dhe harmonia e vëzhguar në natyrë u personifikua në imazhet shkëlqyese të perëndive dhe perëndeshave, të përjetësuara në statuja të bukura.

Sipas skulptorëve grekë, simetria karakterizon harmoninë, proporcionalitetin, harmoninë e trupave natyrorë dhe trupit të njeriut. Prandaj, konceptet e simetrisë dhe bukurisë janë identike. Mjafton të kujtojmë ndërtimin rreptësisht simetrik të monumenteve arkitekturore, modele të përsëritura rregullisht të stolive tradicionale, harmoninë mahnitëse të vazove greke (Fig. 2).

Fakti i asimetrisë së fytyrës dhe trupit të një personi ishte i njohur për artistët dhe skulptorët e botës antike dhe u përdor prej tyre për t'i dhënë ekspresivitet dhe shpirtëror veprave të krijuara.

Një shembull i mrekullueshëm i asimetrisë është fytyra e Venus de Milo (Fig. 3). Mbështetësit e simetrisë kritikuan asimetrinë e formave të këtij standardi të njohur botërisht të bukurisë femërore, duke besuar se fytyra e Venusit do të ishte më e bukur nëse do të ishte simetrike. Megjithatë, duke parë shkrepjet e përbëra, shohim se nuk është kështu.

Vetë koncepti i "simetrisë" lidhet drejtpërdrejt me harmoninë. Ajo vjen nga fjala e lashtë greke συμμετρία (përpjesëtim) ​​dhe do të thotë diçka harmonike dhe proporcionale në një objekt. Koncepti i simetrisë "pasqyrë" është i zbatueshëm për një person. Kjo simetri është burimi kryesor i admirimit tonë estetik për trupin e njeriut me proporcion të mirë.

Një simetri e tillë nuk është vetëm e bukur, por edhe funksionale. Pra, gjymtyrët simetrike e bëjnë të lehtë lëvizjen në hapësirë, vendndodhjen e syve - për të krijuar imazhin e saktë vizual, një septum i sheshtë i hundës siguron frymëmarrje adekuate. Megjithatë, simetria e organizmave të gjallë nuk manifestohet me saktësi matematikore për shkak të zhvillimit dhe funksionit të pabarabartë.

Simetria e fytyrës dhe standardet e bukurisë

Me kalimin e kohës, standardet e bukurisë kanë ndryshuar, por parimet dhe parametrat që përcaktojnë raportet dhe përmasat e fytyrës, dhe, në përputhje me rrethanat, atraktivitetin e saj, janë ruajtur që nga kohërat e lashta. Në mënyrë që fytyra të jetë harmonike, pjesët e ndryshme të saj duhet të lidhen në një proporcion të caktuar, me ndihmën e të cilave arrihet një ekuilibër i përgjithshëm. Asnjë pjesë e fytyrës nuk ekziston apo funksionon e izoluar nga të tjerat. Çdo ndryshim në çdo pjesë të veçantë të fytyrës do të ketë një efekt të vërtetë ose të dukshëm në perceptimin e pjesëve të tjera dhe të fytyrës në tërësi.

Është e natyrshme që të gjitha përmasat e fytyrës njerëzore kanë vetëm një vlerë të përafërt për estetikën e saj për disa arsye:

• Së pari, proporcionet e fytyrës ndryshojnë në varësi të moshës, gjinisë, zhvillimit fizik të një personi dhe përcaktohen kryesisht nga veçoritë strukturore individuale.
• Së dyti, vlerësimi i proporcionalitetit bëhet më i ndërlikuar në varësi të pozicionit të kokës.
• Vështirësia e tretë qëndron në asimetrinë e fytyrës së njeriut, e cila shpesh shfaqet në formën e hundës, pozicionin e çarjeve palpebrale dhe vetullave dhe pozicionin e qosheve të gojës. Dy anët e fytyrës nuk japin të njëjtin imazh pasqyre, edhe nëse fytyra perceptohet nga ne si krejtësisht korrekte.

Kështu, fakti i asimetrisë së fytyrës, i shprehur nga gjysma e pabarabartë e djathtë dhe e majtë, njëra prej të cilave, si rregull, është më e gjerë dhe më e lartë, tjetra është më e ngushtë dhe më e ulët, njihet përgjithësisht sot.

Nga fotografitë e paraqitura në figurën 4, mund të shihet se fytyrat absolutisht simetrike janë qartësisht të ndryshme nga imazhi origjinal i një fytyre me asimetri natyrore. Sipas mendimit tonë, "sintetike" fytyrat simetrike nuk janë aq tërheqëse, si në fotografitë origjinale, edhe pse për krijimin e portreteve të përbëra përzgjodhëm fytyrat e aktorëve, pamja e të cilëve është vlerësuar më lart. Për më tepër, janë këto fytyra që kanë simetri më të theksuar sesa vërehet te shumica e njerëzve, por asimetria e lehtë vetëm thekson atraktivitetin e tyre.

Bukuria në asimetri?

Pra, a është vërtet e bukur asimetria e natyrshme tek të gjithë ne apo jo? Është mjaft e qartë se ne nuk i konsiderojmë tërheqëse shkeljet e rëndësishme të simetrisë në strukturën e fytyrës. Sidoqoftë, devijimet e vogla nga simetria nuk sjellin disharmoninë, por vetëm favorizojnë individualitetin.

Shumica e pacientëve që i drejtohen kirurgut plastik nuk e vërejnë asimetrinë e përmasave të fytyrës dhe trupit të tyre. Prandaj, një nga detyrat e rëndësishme të kirurgut gjatë konsultimit është të tërheqë vëmendjen e pacientit në tiparet e përmasave të tij, të përshkruajë në detaje ndryshimet e ardhshme si rezultat i operacionit. Korrigjimi i asimetrisë së fytyrës lehtësohet shumë nga përdorimi i metodave minimale invazive, si dhe.

Pra, asimetria e theksuar zakonisht konsiderohet joestetike dhe në raste të tilla dëshira për të arritur një pamje më simetrike është krejt e natyrshme dhe mund të shërbejë si tregues për kirurgjinë plastike. Sidoqoftë, një asimetri e lehtë e fytyrës vetëm e bën atë tërheqëse dhe individuale, dhe për këtë arsye nuk duhet të përpiqeni për simetri absolute.

Simetria dhe proporcionaliteti janë komponentë të rëndësishëm të bukurisë së jashtme të një personi, dhe në disa raste, tregues të shëndetit. Por jo të gjithë dinë të vlerësojnë përmasat dhe simetrinë e fytyrës dhe trupit të tyre. Kjo është pikërisht ajo që do të diskutohet.

A nuk mundet një hundë e gjatë të prishë pamjen e një personi? Definitivisht po. Nëse hunda është në proporcion me fytyrën e tij.

Për të vlerësuar përmasat e fytyrës suaj, duhet të shkoni në pasqyrë dhe të matni tre distanca:
nga kufiri i rritjes së qimeve në ballë deri te ura e hundës
nga ura e hundës deri te buza e sipërme
nga buza e sipërme tek mjekra.

Nëse ata janë të barabartë, ju jeni një pronar i lumtur i një fytyre proporcionale.

Nëse jo, atëherë ka një disproporcion, i cili nuk është aspak një arsye për dëshpërim. Së pari, kjo mund të jetë një atraktivitet dhe origjinalitet i caktuar i fytyrës, dhe së dyti, përmasat mund të ndryshohen.

Rritja ose zvogëlimi i distancës së parë mund të arrihet me ndihmën e modeleve të flokëve, si dhe duke i dhënë një formë të caktuar vetullave. Distanca e dytë korrigjohet pothuajse gjithmonë duke ndryshuar gjatësinë e hundës. Një buzëkuq i zgjedhur siç duhet ose një masë më e qëndrueshme - zmadhimi i buzëve - mund të ndikojë vizualisht në distancën e tretë.

Simetria e fytyrës është gjithashtu e lehtë për t'u vlerësuar. Është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje vendndodhjes dhe formës së strukturave anatomike të çiftëzuara: vetullat, sytë, veshët, palosjet nasolabiale.

Nëse ato janë të vendosura në të njëjtin nivel dhe kanë të njëjtën formë, atëherë fytyra është simetrike. Simetria e fytyrës është shumë e rëndësishme jo vetëm nga pikëpamja estetike. Shkelja e papritur e tij është një shenjë e rëndësishme diagnostike në një sërë sëmundjesh të rënda neurologjike.

Është më e lehtë të gjykoni proporcionet e trupit nga vëllimet e tij: vëllimi i gjoksit, belit dhe ijeve.

Në një mashkull të palosur në mënyrë proporcionale, mbizotëron vëllimi i gjoksit. Gjeometrikisht, ideali i një figure mashkullore është një trekëndësh dykëndësh i kthyer përmbys.

Në një figurë proporcionale femërore, vëllimet e gjoksit dhe ijeve janë afërsisht të barabarta me njëri-tjetrin. Dhe beli duhet të jetë 1/3 më pak se këto dy vëllime. Mjafton të kujtojmë standardin e njohur: 90 cm -60 cm -90 cm. Megjithatë, raporti 120cm-80cm-120cm nuk është më pak proporcional. Shprehja gjeometrike e idealit është forma e një orë rëre.

Vizualisht përmasat e dëshiruara arrihen me veshje, të brendshme korse, ushtrime të caktuara fizike. Sidoqoftë, ka zona problematike që janë mjaft të vështira për t'u korrigjuar, për shembull, "brekët" famëkeq - pjesa e sipërme e sipërfaqeve anësore të kofshëve. Këtu mund të ndihmojë liposuksioni.

Simetria e trupit vlerësohet edhe nga formacionet e çiftëzuara. Kockat e klavitura, thithkat, tehet e shpatullave, kurrizat iliake të përparme të sipërme, palosjet gluteale duhet të jenë në të njëjtin nivel.

Vlen të dihet se një shkelje e dukshme e simetrisë së trupit është gjithmonë një arsye për një ekzaminim të plotë të sistemit musculoskeletal.

Në përgjithësi, kur vlerësoni pamjen tuaj sipas çdo parametri, qoftë proporcionaliteti, simetria apo diçka tjetër, nuk keni nevojë të jeni tepër të përpiktë.

Disa tipare, papërsosmëri, disproporcion - kjo është ajo që na dallon nga njëri-tjetri, dhe për këtë arsye na bën unikë.

Ne nuk do të kuptojmë ende nëse ekziston vërtet një person absolutisht simetrik. Të gjithë, sigurisht, do të kenë një nishan, një fije floku ose ndonjë detaj tjetër që thyen simetrinë e jashtme. Syri i majtë nuk është kurrë saktësisht i njëjtë me të djathtën, dhe qoshet e gojës janë në lartësi të ndryshme, të paktën në shumicën e njerëzve. Megjithatë, këto janë vetëm mospërputhje të vogla. Askush nuk do të dyshojë se nga jashtë një person është i ndërtuar në mënyrë simetrike: dora e majtë korrespondon gjithmonë me dorën e djathtë dhe të dy duart janë saktësisht të njëjta! Ndalo. Ja vlen të ndalemi këtu. Nëse duart tona ishin vërtet të njëjta, ne mund t'i ndryshonim ato në çdo kohë. Do të ishte e mundur, le të themi, me transplant, të transplantohej dora e majtë në dorën e djathtë, ose, më thjesht, doreza e majtë do t'i përshtatej dorës së djathtë, por në fakt nuk është kështu.

Epo, sigurisht, të gjithë e dinë se ngjashmëria midis duarve, veshëve, syve tanë dhe pjesëve të tjera të trupit është e njëjtë si midis një objekti dhe reflektimit të tij në një pasqyrë. Libri para jush i kushtohet çështjeve të simetrisë dhe pasqyrimit të pasqyrës.

Shumë artistë i kushtuan vëmendje simetrisë dhe përmasave të trupit të njeriut, të paktën derisa u udhëhoqën nga dëshira për të ndjekur sa më afër natyrën në veprat e tyre. Të njohur janë kanunet e prodorces të përpiluara nga Albrecht Dürer dhe Leonardo da Vinci. Sipas këtyre kanuneve, trupi i njeriut nuk është vetëm simetrik, por edhe proporcional. Leonardo zbuloi se trupi përshtatet në një rreth dhe një katror. Dürer po kërkonte një masë të vetme që do të ishte në një raport të caktuar me gjatësinë e bustit ose këmbës (ai e konsideronte si masë gjatësinë e krahut deri në bërryl).

Në shkollat ​​moderne të pikturës, madhësia vertikale e kokës merret më shpesh si një masë e vetme. Me një supozim të caktuar, mund të supozojmë se gjatësia e trupit tejkalon madhësinë e kokës me tetë herë. Në pamje të parë, kjo duket e çuditshme. Por nuk duhet të harrojmë se shumica e njerëzve të gjatë dallohen nga një kafkë e zgjatur dhe, anasjelltas, është e rrallë të gjesh një burrë të shkurtër të shëndoshë me një kokë të zgjatur.

Madhësia e kokës është në përpjesëtim jo vetëm me gjatësinë e trupit, por edhe me përmasat e pjesëve të tjera të trupit. Të gjithë njerëzit janë ndërtuar mbi këtë parim, prandaj ne përgjithësisht jemi të ngjashëm me njëri-tjetrin. (Ne do t'i kthehemi ngjashmërisë ose ngjashmërisë në disa faqe.) Megjithatë, përmasat tona bien dakord vetëm përafërsisht, dhe për këtë arsye njerëzit janë vetëm të ngjashëm, por jo të njëjtë. Gjithsesi, të gjithë jemi simetrik! Përveç kësaj, disa artistë në veprat e tyre theksojnë veçanërisht këtë simetri.

SIMETRI PERFEKTE ËSHTË E MERZITSHME

Dhe në rroba, një person gjithashtu, si rregull, përpiqet të ruajë përshtypjen e simetrisë: mëngja e djathtë korrespondon me të majtën, këmba e djathtë korrespondon me të majtën.

Kopsat në xhaketë dhe në këmishë qëndrojnë saktësisht në mes, dhe nëse tërhiqen prej saj, atëherë në distanca simetrike. Vetëm rrallë një grua ka guximin të veshë një fustan vërtet asimetrik (do të shohim më vonë se sa shumë devijim nga simetria është i pranueshëm).

Por në sfondin e kësaj simetrie të përgjithshme në detaje të vogla, ne lejojmë qëllimisht asimetrinë, për shembull, krehjen e flokëve në një pjesë anësore - majtas ose djathtas. Ose, le të themi, vendosja e një xhepi asimetrik në gjoks në kostum, shpesh i nënvizuar me një shami. Ose vendosja e një unaze në gishtin unazor të vetëm njërës dorë. Urdhrat dhe distinktivët vishen vetëm në njërën anë të gjoksit (më shpesh në të majtë).

Simetria e plotë e përsosur do të dukej e padurueshme e mërzitshme. Janë devijime të vogla prej tij që japin tipare karakteristike, individuale. Autoportreti i famshëm i Albrecht Dürer në shikim të parë duket të jetë absolutisht simetrik. Por, duke parë më nga afër, do të vini re një detaj të vogël asimetrik që i jep figurës gjallëri dhe vitalitet: një fije floku pranë ndarjes.

Dhe në të njëjtën kohë, ndonjëherë një person përpiqet të theksojë, për të forcuar dallimin midis të majtës dhe të djathtës. Në mesjetë, burrat në një kohë shfaqnin pantallona me këmbë me ngjyra të ndryshme (për shembull, njëra e kuqe dhe tjetra e zezë ose e bardhë). Dhe këto ditë, xhinset me arna të ndritshme ose njolla ngjyrash ishin të njohura. Por një modë e tillë është gjithmonë jetëshkurtër. Vetëm devijimet me takt, modeste nga simetria mbeten për një kohë të gjatë.

ÇFARË ËSHTË NJË ngjashmëri?

Shpesh themi se disa njerëz janë të ngjashëm me njëri-tjetrin. Fëmijët zakonisht duken si prindërit e tyre (të paktën sipas gjysheve të tyre). Të ngjashme, por jo të njëjta!

Le të përpiqemi të kuptojmë se çfarë nënkuptohet me ngjashmëri ose ngjashmëri në matematikë. Në figura të ngjashme, segmentet përkatëse janë proporcionale me njëri-tjetrin. Në rastin tonë, mund ta formulojmë këtë situatë si më poshtë: hundët e ngjashme kanë të njëjtën formë, por mund të ndryshojnë në madhësi. Në këtë rast, çdo pjesë individuale e hundës (për shembull, ura e hundës) duhet të jetë proporcionale me të gjitha të tjerat.

Ky ligj i ngjashmërisë ndonjëherë është i mbushur me një kapje. Për shembull, në një detyrë si kjo:

Lartësia e kullës A është 10 m. Në një distancë X prej saj ndodhet një kullë B gjashtë metra. Nëse vizatojmë vija të drejta nga këmba dhe nga maja e kullës A përmes majës së kullës B, atëherë ato do të takohen , përkatësisht me këmbën dhe majën e kullës C, e cila ka një lartësi prej 15 m. Sa është distanca nga kulla A në kullën B?

Duket se për zgjidhjen mjafton të marrësh një busull dhe një sundimtar. Por më pas rezulton se do të ketë një numër të pafund përgjigjesh. Me fjalë të tjera, nuk mund të ketë përgjigje të paqartë për pyetjen në lidhje me vlerën e X.

Në këtë libër, shpesh do të hasni probleme që kërkojnë reflektim. Kjo ka një kuptim të caktuar pedagogjik. Probleme të tilla, edhe nëse nuk kanë zgjidhje, si ajo e propozuar më sipër, kanë të bëjnë me ndonjë problem që qëndron në kufijtë e njohurive tona. Në pjesën më të madhe, këto janë vetë kufijtë para të cilëve jepet "mendimi i shëndoshë" i famshëm dhe vetëm të menduarit logjik rreptësisht matematikor, i shoqëruar me njohuritë e shkencave natyrore, mund të çojë në vendimin e duhur.

Le t'i kthehemi përsëri njeriut: kur krahasojmë qeniet e gjalla, ngjashmëria ndihet qartë nëse përmasat e tyre përkojnë. Prandaj, fëmijët dhe të rriturit mund të jenë të ngjashëm. Edhe pse masa dhe madhësia e çdo pjese të trupit, qoftë hunda apo goja, janë të ndryshme, por përmasat e individëve të ngjashëm janë të njëjta.

Një shembull i mrekullueshëm i ngjashmërisë është vlerësimi vizual i distancës me ndihmën e gishtit të madh. Në këtë mënyrë, ushtarakët dhe marinarët vlerësojnë distancën midis dy pikave në tokë ose në det, duke i krahasuar ato me gjerësinë e gishtit ose të një grushti. Në rastin më të thjeshtë, ata mbyllin njërin sy dhe shikojnë me sy hapur gishtin e dorës së shtrirë, duke e përdorur atë si pamje.

Kur shikoni me gishtin e madh të një dore të shtrirë (një herë me syrin e majtë dhe një herë me të djathtën), gishti "kërcen" me rreth 6 °

Nëse hapni syrin e mbyllur më parë (dhe mbyllni të dytin), gishti do të lëvizë anash me një distancë të dukshme. Në gradë, kjo distancë është 6°. Dhe përveç kësaj, madhësia e këtij "kërcimi" (brenda kufirit të gabimit) është e njëjtë për të gjithë njerëzit! Pra, kompania e krahut të djathtë, një djalë me lartësi dy metra, dhe më i vogli - në krahun e majtë, vetëm gjashtëdhjetë metra i gjatë, duke krahasuar këto "kërcime" të gishtit, do të marrë të njëjtën vlerë.

Arsyeja e këtij fenomeni në fund të fundit qëndron në ngjashmërinë e njerëzve dhe, natyrisht, në ligjet e optikës, të cilave vizioni ynë u bindet.

"Rregulli i grushtit" njihet gjithashtu - në kuptimin më të drejtpërdrejtë të fjalës - për një vlerësim të përafërt të madhësisë së këndit. Nëse shikojmë me një sy grushtin e dorës së shtrirë (këtë herë me të njëjtin sy), atëherë gjerësia e grushtit do të jetë 10 °, dhe distanca midis dy kockave të falangave 3 °. Grushti dhe gishti i madh që dalin anash do të jenë 15 °. Duke kombinuar këto matje, mund të matni afërsisht të gjitha këndet në tokë.

Dhe së fundi, një masë më këndore e trupit tonë, e cila mund të jetë e dobishme për detyrat e shtëpisë. Këndi midis gishtit të madh dhe gishtit të vogël të pëllëmbës së shtrirë është 90°. Duket e pamundur, por ju mund të kontrolloni menjëherë gjithçka vetë duke vendosur gishtat e shtrirë të pëllëmbës suaj në cepin e librit tonë. Vendoseni gishtin tuaj të vogël rreptësisht paralel me njërën skaj dhe lëvizni dorën poshtë përgjatë tij derisa gishti i madh të shtrihet gjithashtu në skajin e poshtëm. I bindur?

Sigurisht, këtu gabimi ndonjëherë rezulton të jetë relativisht i madh, pasi, në varësi të moshës dhe zhvillimit të dorës, gishti i madh mund të lihet mënjanë në distanca të ndryshme. Por për testin e parë, i cili ju lejon të vendosni nëse këndi i matur devijon ndjeshëm nga një vijë e drejtë, kjo metodë është mjaft e përshtatshme.

LINELAND DHE FATLAND

Përfytyruesit kanë vënë re prej kohësh se ligjet e kongruencës, aq të rrepta për dy dimensione, shpesh kërkojnë përdorimin e një dimensioni të tretë kur zbatohen në praktikë.

Kur shtrohet një tavolinë për një pritje madhështore, zakonisht pecetat palosen në një trekëndësh. Por ia vlen t'i mblidhni këta trekëndësha në një grumbull, njëri mbi tjetrin, pasi rezulton se këta trekëndësha janë dy llojesh: disa "përshtaten" menjëherë me njëri-tjetrin, ndërsa të tjerët duhet të kthehen "në anën e djathtë". . Një problem i ngjashëm lind në vulosjen e pjesëve të vogla, kur dikush përpiqet të grumbullojë produktet e gatshme.

Është e zakonshme që poetët dhe shkrimtarët të fantazojnë rreth situatave pak a shumë të mundshme. Pra, ka vepra në të cilat jeta përshkruhet në një hapësirë ​​dy-dimensionale (ku nuk mund ta kthesh "pecetën" në asnjë mënyrë).

Disa autorë shkojnë edhe më tej dhe përpiqen ta imagjinojnë jetën në një hapësirë ​​njëdimensionale, në Tokën e Linjës - Lineland. Lineland banohet vetëm nga shkopinj të hollë druri, të cilët në rastin më të thjeshtë nuk ndryshojnë nga njëri-tjetri. Sidoqoftë, ia vlen t'u jepet koka (menjëherë të vijnë në mendje ndeshjet!), Dhe ata kanë menjëherë dy mundësi.

Ose të gjitha ndeshjet kthehen në një drejtim - atëherë kombinimi i tyre nuk shkakton vështirësi. Ose disa nga shkrepset shtrihen me kokën në të majtë, dhe disa prej tyre shtrihen me kokën në të djathtë. Matematikani Linelandian nuk ka asnjë mënyrë praktike për të përkthyer ndeshjet "e majta" në ndeshje "djathtas". Por një matematikan nga Land of the Plane - Flatland, i cili ka një dimension më shumë, do të gjejë menjëherë një zgjidhje të thjeshtë: do ta kthejë ndeshjen në aeroplan.

Megjithatë, sipas disa shkrimtarëve, jeta në Flatland nuk është as aq e lehtë. Imagjinoni që banorët e këtij vendi janë drejtkëndësha të vegjël me një sy (dhe kanë vetëm një sy) në një nga qoshet. Sigurisht, ai mund të shohë vetëm një drejtkëndësh të tillë në një aeroplan dhe kurrë nuk arrin ta shikojë këtë aeroplan nga lart. Pra, asnjë Flatlander nuk do të jetë në gjendje të imagjinojë kurrë se si duket ai në të vërtetë: për këtë, një pamje nga hapësira tre-dimensionale është tashmë e nevojshme. Shtëpitë e banorëve të sheshtë do të kishin qenë pothuajse të njëjta si në vizatimet e fëmijëve. Me ndryshimin se dyert do të ishin anash dhe do të hapeshin vetëm në të njëjtin plan. Por menteshat e derës duhet të bëhen jashtë aeroplanit, sipër ose poshtë tij. Përveç kësaj, do të nevojitej një sistem kompleks mbështetësesh për të parandaluar shembjen e murit të shtëpisë kur banorët e saj donin të hapnin derën. Dhe dy Flatlanders do të ishin në gjendje të shikonin njëri-tjetrin vetëm nëse njëri prej tyre do të arrinte të qëndronte mbi kokën e tij.

Situata do të ishte edhe më e ndërlikuar nëse Flatland do të banohej nga dy popuj. Le të themi Flatlanders majtas dhe djathtas. Duhet shumë imagjinatë për të pikturuar të gjitha pasojat e mundshme të një situate të tillë, veçanërisht duke pasur parasysh që jemi mësuar të mendojmë në tre dimensione!

Meqenëse Lineland dhe Flatland iu prezantuan shkrimtarëve në një dritë humori, nuk është për t'u habitur që literatura mbi këtë temë lindi në Angli.

Në vitin 1880 Edukatori anglez Edwin Ebony Abbott shkroi një libër për Flatland dhe banorët e saj ( Abbott E. E. Flatland. Në: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, pasi ka rënë në Lineland në një ëndërr, përpiqet më kot të bindë banorët atje për ekzistencën e avionit.

Gjatë veprimit, një nga Flatlanders arrin të njohë hapësirën tredimensionale, për të cilën njihet si "më i çmenduri i të çmendurve".

Më shumë se njëzet vjet më vonë, në 1907, C. G. Hinton botoi Incidentin në Flatland. Në të, dy popuj Flatland janë në luftë. Meqenëse të gjithë Flatlanders përballen me të njëjtin drejtim, një nga Folk-ët humbet gjithmonë pa shpresë: ai nuk mund të kthehet dhe të godasë përsëri në drejtimin e duhur - një armik i urryer i ulet vazhdimisht në qafë. Por në fund fiton e mira. Një kokë e zgjuar vëren se Flatland ndodhet në një top dhe, për këtë arsye, është e mundur, duke vrapuar rreth tij, të shkojë pas linjave të armikut.

Autori i romanit e ndërton historinë e tij mbi supozimin e heshtur se Flatlanders mund të lëvizin vetëm përgjatë disa drejtimeve të përgjithshme, duke përjashtuar devijimet anash, dhe është e pamundur që ata të përmbysin armikun mbi kokat e tyre.

Siç mund ta shihni, teoritë më të sofistikuara janë paraqitur për jetën në hapësirën dydimensionale, por ato nuk kanë gjetur kurrë zbatim. Duhet menduar se të dy këta libra dhe autorët e tyre do të ishin harruar prej kohësh nëse Lineland dhe Flatland nuk do të ishin aq të nevojshme për të shpjeguar teorinë e reflektimit të pasqyrës dhe nëse hartuesit e problemeve të zgjuarsisë së shpejtë nuk do të duhej të ktheheshin përsëri dhe përsëri në Flatland për të nxjerrë. ide nga dydimensionaliteti i tij (nga rruga, jo shumë kohë më parë u krijua një karikaturë në Hungari për udhëtimin e nxënësit të shkollës Adoljar në Flatland).

Ndër të tjera, Flatlanders transportojnë mallra duke rrotulluar platformat në rrathë. Sa herë që një ngarkesë kalon rrethin, oficeri lokal i transportit e rrotullon rrethin përpara dhe e vendos atë përpara platformës.

Këtu ka shumë probleme interesante. Por ne jemi të interesuar vetëm për një gjë: nëse boshti i rrotës lëviz me një shpejtësi prej 10 m në minutë, me çfarë shpejtësie lëviz ngarkesa?

Ne e dimë për makinën tonë tokësore se asnjë rrotë (më saktë, asnjë bosht rrote) nuk mund të lëvizë më shpejt se e gjithë makina. Por në një makinë të sheshtë, rrota nuk është e lidhur fort me ngarkesën. Duke menduar për këtë, nuk është e vështirë të kuptosh që ngarkesa këtu përfshihet në dy lëvizje.

Së pari, ajo lëviz së bashku me boshtin e rrotullimit të timonit (kjo është e njëjtë si me një makinë). Dhe përveç kësaj, ngarkesa ende rrotullohet përgjatë perimetrit të timonit, dhe në të njëjtën kohë me një shpejtësi të barabartë me shpejtësinë e rrotullimit të boshtit. Prandaj, në përgjithësi, ngarkesa rrotullohet me dyfishin e shpejtësisë së timonit. Natyrisht, ngarkesa duhet të lëvizë më shpejt, vetëm sepse rrotat mbeten gjithmonë pas dhe duhet të lëvizin vazhdimisht përpara.

Disa lexues do të mendojnë: "Problemi është vërtet interesant, por çfarë?"

Megjithatë, parimi i transportit fushor gjen vendin e tij në teknologjinë tonë. Pra, projektuesi, duke projektuar një derë në një dhomë të vogël (për shembull, pranë një ashensori të vogël), është i detyruar të braktisë menteshat. Ai e ndan derën në dy gjysma (nëse, sigurisht, mendon për një mashtrim të tillë!), Të cilat shkojnë paralelisht me njëra-tjetrën. Gjysma e derës është e fiksuar në mënyrë fikse në boshtin e rulit, dhe e dyta lëviz përgjatë perimetrit të këtij rul. Ndërsa njëra gjysma lëviz gjysmën e gjerësisë së derës, tjetra ka kohë të kalojë në të gjithë gjerësinë e portës (me dyfishin e shpejtësisë).

Le të mos i shikojmë me përbuzje Flatland-in dhe fantazitë e shkrimtarit. Le të supozojmë se Flatlanders jetojnë në sipërfaqen e globit. Kjo sipërfaqe është aq e madhe sa banorët mund të mos e vënë re lakimin e saj. Natyrisht, ata mendojnë se jetojnë në një aeroplan, pasi nuk mund të imagjinojnë një sferë: në fund të fundit, dimensioni i tretë është, në parim, i panjohur për ta. Prandaj, profesorët e Flatland zhvillojnë matematikën Flatland, e cila mësohet në shkolla. Fëmijët atje mësojnë përmendësh, për shembull, një përkufizim të tillë: dy vija paralele kryqëzohen në një distancë të kufizuar. Ose: shuma e këndeve të një trekëndëshi është më e madhe se 180°. Ne, njerëzit e hapësirës tredimensionale, e dimë se një sipërfaqe sferike është një hapësirë ​​dydimensionale jo-Euklidiane që nuk përshtatet me gjeometrinë e zakonshme Euklidiane.

Duke parë globin, shohim se dy meridianë, paralel në ekuator, kryqëzohen në pol. Duke parë globin, mund të bindet gjithashtu se dy meridianë formojnë një kënd prej 90 ° me ekuatorin. Në pikën e kryqëzimit në pol, lind një kënd tjetër. Dhe shuma e të tre këndeve është gjithsesi më e madhe se 180°. Por të varfërit Flatlanders, natyrisht, as nuk mund ta imagjinojnë të gjithë këtë. Ata janë të sigurt se jetojnë në një avion.

Një matematikan skeptik, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), pyeti seriozisht nëse ne njerëzit ishim në të njëjtin pozicion me Flatlanders. Ndoshta, mendoi Gausi, ne gjithashtu jetojmë në një botë jo-Euklidiane, por thjesht nuk e vërejmë atë. Nëse do të ishte kështu, hapësira do të ishte e lakuar (gjë që sigurisht nuk mund ta imagjinonim), dhe një trekëndësh mjaft i madh do të kishte një shumë këndesh të ndryshme nga 180°. Gauss mati trekëndëshin midis Brocken, Inselberg dhe High Hagen, por nuk gjeti asnjë devijim të rëndësishëm nga 180°. Kjo, natyrisht, nuk mund të shërbente si provë e padiskutueshme, pasi trekëndëshi mund të ishte ende shumë i vogël.

Megjithatë, nuk mund të krahasohet thjesht hapësira jo-Euklidiane në fjalë me hapësirën në teorinë e relativitetit. Ne Flatlanders dhe Gauss po flasim për një problem thjesht gjeometrik, hapësinor dhe nëse disa aksioma janë të vërteta (për shembull, për kryqëzimin e dy vijave paralele në pafundësi). Adhuruesit e teorisë së relativitetit prezantojnë kohën si koordinata e katërt hapësinore.

RRETH KONGRUENCËS

Dy figura të rrafshët janë kongruentë nëse të gjitha këndet e tyre dhe segmentet e drejtëzave ndërmjet pikave përkatëse janë të barabarta.

Në shkollë studiojmë teorema mbi kongruencën e trekëndëshave. Është vërtetuar, për shembull, se sipërfaqet e trekëndëshave janë të barabarta nëse ato kanë një anë dhe dy kënde ngjitur me të përkojnë. Kjo do të thotë që megjithëse mund të përdorni një anë dhe dy qoshe ngjitur me të për të ndërtuar trekëndësha, trekëndëshat duhet të përputhen me të gjitha pjesët e tyre.

Në të folurit bisedor (që ne përdorim në këtë libër), mund të themi se rrafshet kongruente mbivendosen saktësisht me njëri-tjetrin, ose, anasjelltas, nëse një figurë e rrafshët mbivendos saktësisht një tjetër, atëherë ato janë kongruente. E njëjta gjë vlen edhe për trupat tredimensionale: nëse mund të kombinohen, atëherë janë kongruentë.

Shikoni trekëndëshat e paraqitur në figurë. Të gjithë ata janë kongruentë. Natyrisht, të dy trekëndëshat e vendosur në të majtë do të rreshtohen nëse thjesht zhvendosen. Dhe këtu është trekëndëshi i vendosur djathtas, megjithëse është kongruent me dy të majtët, por nuk mund ta kombinojmë me to vetëm duke lëvizur në rrafsh. Pavarësisht se si e rrotullojmë në aeroplan, ai kurrë nuk do të përshtatet me asnjë nga trekëndëshat e majtë. Për ta arritur këtë, ju duhet të ngrini trekëndëshin mbi aeroplan, ta rrotulloni atë në hapësirë ​​dhe ta vendosni përsëri në aeroplan. Por nëse krahasojmë renditjen e ndërsjellë të trekëndëshave të kombinuar me zhvendosje dhe përmbysje, do të shohim se në të dyja rastet brinjët e tyre të ndryshme përkojnë. Kur pritet, sipërfaqja e poshtme e një trekëndëshi letre mbivendoset me sipërfaqen e sipërme të trekëndëshit të dytë. Orientimi hapësinor i sipërfaqes së fletës së letrës nuk ka ndryshuar. Në këtë rast, flitet për kongruencë identike. Nëse, kur rrotullohen në hapësirë, të dyja sipërfaqet e sipërme të letrës kombinohen, figurat e sheshta quhen kongruente pasqyre.

Figurat e planit quhen kongruente, të cilat ne i perceptojmë si të barabarta dhe të cilat mund të kombinohen me njëra-tjetrën duke u zhvendosur në një rrafsh ose duke u rrotulluar në hapësirë.

KONGRUENCA E TREKËNDËSHVE

Kongruenca - vetia e figurave të rrafshit gjeometrik që të përkojnë me njëra-tjetrën në madhësi dhe formë.

Format që mund të kombinohen me njëra-tjetrën me anë të rrotullimit dhe (ose) zhvendosjes janë identikisht kongruentë.

Mirror-congruent janë figura, për kombinimin e të cilave është i nevojshëm një funksion shtesë i reflektimit të pasqyrës.

Ekzistojnë katër shenja të kongruencës së trekëndëshave. Trekëndëshat janë kongruentë nëse:

1) tre anët e një trekëndëshi janë të barabarta me tre anët e një tjetri (S, S, S);

2) dy brinjë dhe këndi i brendshëm i një trekëndëshi të mbyllur ndërmjet tyre janë të barabartë me dy brinjë dhe këndi i brendshëm i një trekëndëshi tjetër të mbyllur ndërmjet tyre (S, W, S);

3) dy brinjë dhe këndi i brendshëm përballë më të madhit prej tyre në një trekëndësh janë të barabartë me dy brinjë dhe këndi përballë më të madhit prej tyre në trekëndëshin tjetër (S, S, W);

4) brinja dhe të dy këndet e brendshme ngjitur me të të një trekëndëshi janë të barabarta me brinjën dhe të dy këndet e brendshme ngjitur me të të një trekëndëshi tjetër (W, S, W).

ngjashmëria

Koincidenca e figurave të rrafshët në formë, por jo në madhësi, quhet ngjashmëri.

Çdo kënd i njërës prej figurave korrespondon me një kënd të barabartë të një figure të ngjashme.

Në figura të ngjashme, segmentet përkatëse janë proporcionale.

Duke zhvendosur, rrotulluar dhe (ose) pasqyruar, dy figura të ngjashme mund të sillen në pozicionin e homoteitetit. Në këtë pozicion, anët përkatëse të të dy figurave janë paralele me njëra-tjetrën.

SIMETRIA AXIAL

Le të ndahet një rrafsh me një drejtëz s në dy gjysmërrafshe. Nëse tani rrotullojmë një gjysmërrafsh rreth vijës 5 me 180°, atëherë të gjitha pikat e këtij gjysmërrafshi do të përkojnë me pikat e gjysmërrafshit tjetër.

Drejtëza s quhet bosht simetrie.

Për shkak se pikat në gjysmë-rrafshin e përmbysur janë në një pozicion pasqyre në krahasim me pozicionin e tyre origjinal, ky rrokullisje quhet gjithashtu një imazh pasqyre. Nëse linjat që tregojnë disa drejtime rrotullimi zbatohen në një gjysmë rrafsh, atëherë pas reflektimit të pasqyrës ky drejtim do të ndryshojë në të kundërtën. Prandaj, një operacion i vetëm pasqyrimi prodhon figura kongruente pasqyre. Dy operacione të tilla çojnë në shifra identike kongruente. Ato korrespondojnë me një zhvendosje ose rrotullim.

SIMETRI RADIALE

Shifrat radialisht simetrike mund të rreshtohen me njëra-tjetrën duke u rrotulluar rreth pikës S. Kjo pikë quhet qendra e simetrisë.

Kur rrotullohen, pikat përkatëse të figurave kombinohen. Drejtimi i rrotullimit nuk ndryshon. Shifra e pasqyruar në këtë mënyrë është identike kongruente.

Operacionet e mëvonshme të rrotullimit nuk do të ndikojnë në identitetin e figurave në asnjë mënyrë. Me një kënd rrotullimi prej 180°, flitet për simetrinë qendrore.

TRIK I ZAREVE

Mësuesit thonë se loja me blloqe zhvillon imagjinatën hapësinore. Dhe tani prindërit blejnë kutitë e pasardhësve të tyre me kube të ndritshme të ngjitura me fragmente fotografish nga përrallat popullore. Duke i vendosur këto kube në mënyrën e duhur, do të shihni Kësulëkuqe me një ujk gri ose Borëbardhë me shtatë xhuxha.

Në fakt, këto lloj kubesh dhe enigmash zhvillojnë imagjinatën hapësinore jo vetëm tek fëmijët, por tek të gjithë - nga të vegjël në të mëdhenj. Ndonjëherë duhet të palosim një kub nga forma të ndryshme trungjesh.

Pas inspektimit më të afërt të këtyre elementeve individuale, rezulton se të paktën dy prej tyre kanë të njëjtën formë dhe madhësi, por lidhen me njëri-tjetrin si një dorezë majtas dhe djathtas. Krijuesit e enigmave të këtij lloji padyshim shpresojnë që lojtarët të mos e kapin menjëherë këtë dallim. Nëse kujtojmë se sa herë kemi ngatërruar dorezat e djathta dhe të majta, do të duhet të pranojmë se shpresat e tilla nuk janë të pabaza.

Është pothuajse e pamundur të kombinohen këto elemente. Duhet theksuar se, duke përdorur këtu (ose diku më poshtë) shprehjen "praktikisht e mundur", nënkuptojmë zbatimin e një detyre të tillë në praktikë.

Por ka edhe metoda matematikore ose fizike që bëjnë të mundur kombinimin e elementeve të paktën teorikisht ose sipas shenjave të jashtme - kjo do të jetë objekt i shqyrtimit të mëtejshëm. Dhe meqenëse këtu u diskutua kombinimi i një elementi me një tjetër, duhet theksuar veçanërisht një rrethanë e rëndësishme. Në Flatland, do të ishte e mundur të kombinoheshin figura të sheshta duke i nxjerrë nga avioni dhe duke i kthyer në hapësirë. Në Lineland, në të njëjtën mënyrë, do të duhej vetëm një dimension më shumë: një rrotullim në aeroplan dhe segmentet bëhen të pajtueshme.

Por ndërtimet hapësinore mund t'i rrotullojmë vetëm në hapësirë! Dhe meqenëse dimensioni i katërt, pavarësisht nga të gjitha arsyetimet e Gausit, është i mbyllur për ne, madje është e vështirë të imagjinohet se sa praktikisht (!) "tullat" tona mund të vendosen diku tjetër përveç hapësirës tre-dimensionale, në mënyrë që ato të jenë në linjë me secilën. tjetër!

Në jetën e përditshme, shpesh na duhet të zgjidhim enigma të tilla (theksoj: të zgjidhim praktikisht, dhe jo të luajmë!), Për shembull, kur paketojmë objekte të ndryshme. Ose, për shembull, imagjinoni radiatorët e ngrohjes qendrore. Për disa prej tyre, valvula për rregullim është në të majtë, për të tjerët - në të djathtë. Si të lidhni disa radiatorë në një bateri?

Frigoriferët, sobat dhe sendet e tjera shtëpiake zakonisht bëhen me doreza, çelësa, çezma në të djathtë dhe të majtë. Mundësia fantastike e kthimit të objekteve të tilla në dimensionin e katërt do t'i kënaqte shumë të gjithë ata që merren me transportin dhe instalimin e tyre.

SHIKONI FJALORIN!

Në fillim të librit, ne e quajtëm njeriun një qenie simetrike. Në të ardhmen, termi "simetri" nuk u përdor më. Megjithatë, me siguri e keni vënë re tashmë se në të gjitha rastet kur segmentet e vijës, figurat e sheshta ose trupat hapësinorë ishin të ngjashëm, por pa veprime shtesë ishte e pamundur, "praktikisht" e pamundur t'i kombinoheshin ato, u takuam me fenomenin e simetrisë. Këto elemente përputheshin me njëri-tjetrin, si një pikturë dhe imazhi i saj në pasqyrë. Si dora e majtë dhe e djathtë. Nëse marrim mundimin të shikojmë fjalorin e fjalëve të huaja, do të zbulojmë se simetri do të thotë "përpjestim, korrespondencë e plotë në renditjen e pjesëve të së tërës në lidhje me vijën e mesme, qendrën ... një renditje e tillë pikash në lidhje me një pika (qendra e simetrisë), një vijë e drejtë ( boshti i simetrisë) ose një rrafsh (rrafshi i simetrisë), në të cilin çdo dy pika përkatëse që shtrihen në të njëjtën drejtëz që kalon nëpër qendrën e simetrisë, në të njëjtën pingul me boshtin ose plani i simetrisë, janë në të njëjtën distancë prej tyre ... "( Fjalor fjalësh të huaja: Ed. 7, i rishikuar. -M.; Gjuha ruse 1980, f. 465)

Dhe kjo nuk është e gjitha, siç ndodh shpesh me fjalët e huaja, ka shumë kuptime për fjalën "simetri". Ky është avantazhi i shprehjeve të tilla, se ato mund të përdoren kur nuk duan të japin një përkufizim të qartë, ose thjesht nuk dinë një ndryshim të qartë midis dy objekteve.

Ne përdorim termin "proporcional" në lidhje me një person, një foto ose ndonjë objekt, kur mospërputhjet e vogla nuk na lejojnë të përdorim fjalën "simetrike".

Meqenëse po gërmojmë libra referues, le të shohim Fjalorin Enciklopedik ( Fjalori Enciklopedik Sovjetik - M.: Enciklopedia Sovjetike, 1980, f. 1219-1220). Këtu gjejmë gjashtë artikuj që fillojnë me fjalën "simetri". Përveç kësaj, kjo fjalë gjendet në shumë artikuj të tjerë.

Në matematikë, fjala "simetri" ka të paktën shtatë kuptime (midis tyre janë polinomet simetrike, matricat simetrike). Ka marrëdhënie simetrike në logjikë. Simetria luan një rol të rëndësishëm në kristalografi (do të lexoni diçka për këtë më vonë në këtë libër). Koncepti i simetrisë në biologji interpretohet në mënyrë interesante. Ai përshkruan gjashtë lloje të ndryshme simetrie. Mësojmë, për shembull, se ctenophoret janë asimetrike, ndërsa lulet e snapdragon janë simetrike dypalëshe. Do të zbulojmë se simetria ekziston në muzikë dhe koreografi (në kërcim). Këtu varet nga alternimi i cikleve. Rezulton se shumë këngë dhe valle popullore janë ndërtuar në mënyrë simetrike.

Pra, duhet të biem dakord se për çfarë lloj simetrie do të flasim. Pavarësisht nga natyra e objekteve në shqyrtim, interesi kryesor për ne do të jetë simetria e pasqyrës - simetria e majtë dhe e djathtë. Ne do të shohim se ky kufizim në dukje do të na çojë shumë në botën e shkencës dhe teknologjisë dhe do të na lejojë të testojmë aftësitë e trurit tonë herë pas here (pasi është ai që është programuar për simetri).

LOJA ME PIKA DHE VJESHTA

Ne nuk jemi larguar ende nga Lineland dhe Flatland. Dhe ka një arsye të veçantë për këtë. Edhe nëse nuk ka banorë atje, atëherë vetë vijat e drejta dhe aeroplanët janë mjaft realë!

Le të mendojmë për situatën me simetri në një vijë të drejtë. Me ndihmën e dy ndeshjeve mund të imagjinojmë shumë thjesht dy raste të mundshme. (Ne kemi shqyrtuar tashmë disa aspekte të kësaj situate më herët.) Ndeshjet mund të shtrihen me kokat e tyre në një drejtim. Pastaj ato përshtaten lehtësisht së bashku. Ose kokat (ose këshilla) për njëri-tjetrin. Në këtë rast, ekziston një pikë në vijë në të cilën pasqyra mund të vendoset në mënyrë të tillë që ndeshja të duket se përkon me reflektimin e saj. Me fjalë të tjera, ekziston një qendër simetrie në vijë. Do të na duhet të imagjinojmë se pasqyra përshtatet në një pikë dhe ajo pasqyron një segment gjysmë vije. Në arsyetimin matematikor, kjo është mjaft e mundur.

Në boshtet e simetrisë “reflektohen” figurat e rrafshëta

Kur ndërtojmë në një aeroplan, pasqyra jonë mund të mbetet ende një pikë, ose mund të jetë një vijë e drejtë. Ndoshta është më e saktë të thuhet në mënyrë të kundërt: një vijë e drejtë ose një pikë do të shërbejë si pasqyrë. Në fund të fundit, nëse diku ka një vijë të drejtë, atëherë një qendër pikë simetrie është e mundur mbi të.

Reflektimet e pasqyrave të gjysmave të aeroplanëve duken njësoj si aeroplanët realë: duke e rrotulluar rrafshin rreth një vije të drejtë - një pasqyrë - mund të kombinohet me një reflektim, prandaj lindi shprehja "boshti i simetrisë".

Një rreth ka një numër të pafund të boshteve të simetrisë. "Fletë tërfili" - vetëm një

Pra, ne tani e dimë se cila është qendra e simetrisë dhe boshti i simetrisë, dhe gjithashtu se një objekt (merre këtë fjalë neutrale) është simetrik nëse njëra gjysma e tij është e lidhur me tjetrën, si një imazh dhe imazhi i tij në pasqyrë.

Një rreth ka një numër të pafund boshtesh simetrie dhe të gjitha kalojnë nëpër një qendër të përbashkët simetrie. Figurat e tjera kanë një numër të kufizuar boshtesh simetrie, por gjithsesi, të gjithë boshtet (dy ose më shumë prej tyre) kalojnë nëpër qendrën e simetrisë. Kjo do të thotë që ne mund ta rrotullojmë formën në një kënd të caktuar (maksimumi 180°) dhe ajo përsëri do të shtrihet saktësisht në të njëjtin vend si përpara rrotullimit.

Le të vazhdojmë arsyetimin tonë rreth simetrisë së pasqyrës. Është e lehtë të përcaktohet se çdo figurë e rrafshët simetrike mund të kombinohet me vetveten me ndihmën e një pasqyre. Është për t'u habitur që figura të tilla komplekse si një yll me pesë cepa ose një pesëkëndësh barabrinjës janë gjithashtu simetrike. Siç del nga numri i akseve, ato dallohen pikërisht nga simetria e tyre e lartë. Dhe anasjelltas: nuk është aq e lehtë të kuptohet pse një figurë e tillë në dukje e rregullt, si një paralelogram i zhdrejtë, nuk është simetrik. Në fillim duket se një bosht simetrie mund të ecë paralel me njërën nga anët e tij. Por ia vlen të përpiqeni mendërisht ta përdorni, pasi jeni të bindur menjëherë se nuk është kështu. Asimetrike dhe spirale.

Mjaft e çuditshme, një figurë e tillë me pamje "simetrike", si një paralelogram, jo ​​vetëm që nuk ka boshte simetrie, por edhe simetri pasqyre në përgjithësi.

Ndërsa figurat simetrike korrespondojnë plotësisht me reflektimin e tyre, ato jo simetrike janë të ndryshme prej saj: nga një spirale që rrotullohet nga e djathta në të majtë, një spirale që rrotullohet nga e majta në të djathtë do të dalë në një pasqyrë. Kjo pronë shpesh përdoret në lojëra masive dhe gara të mbajtura nga televizioni. Lojtarët ftohen, duke parë në pasqyrë, të vizatojnë një lloj figure asimetrike, të tilla si një spirale. Dhe pastaj vizatoni edhe një herë spirale "pikërisht të njëjtën", por pa një pasqyrë. Krahasimi i të dy vizatimeve tregon se spiralet rezultuan të ndryshme: njëra rrotullohet nga e majta në të djathtë, tjetra nga e djathta në të majtë.

Por ajo që këtu duket si shaka, në jetën praktike shkakton shumë vështirësi jo vetëm për fëmijët, por edhe për të rriturit. Shpesh fëmijët shkruajnë disa shkronja "brenda jashtë". N e tyre latine duket si Dhe, në vend të S dhe Z, ata marrin S dhe Z. Nëse shikojmë nga afër shkronjat e alfabetit latin (dhe këto janë, në fakt, edhe figura të sheshta!), Do të shohim simetrike dhe asimetrike. njëra prej tyre. Shkronjat si N, S, Z nuk kanë bosht simetrie (as F, G, J, L, P, Q dhe R). Por N, S dhe Z janë veçanërisht të lehta për t'u shqiptuar "nga ana tjetër" ( Ata kanë një qendër simetrie. - Përafërsisht. ed). Pjesa tjetër e shkronjave të mëdha kanë të paktën një bosht simetrie. Shkronjat A, M, T, U, V, W dhe Y mund të ndahen në gjysmë me boshtin gjatësor të simetrisë. Shkronjat B, C, D, E, I, K - boshti tërthor i simetrisë. Shkronjat H, O dhe X kanë dy boshte simetrie pingule.

Nëse i vendosni shkronjat para pasqyrës, paralelisht me vijën, do të vini re se ato me bosht simetrie horizontale mund të lexohen edhe në pasqyrë. Por ato në të cilat boshti ndodhet vertikalisht ose mungon plotësisht bëhen "të palexueshme".

Pyetja pse shkronjat me një bosht gjatësor sillen ndryshe sesa me një tërthor është mjaft interesante. Ndoshta do të mendoni për të. Arsyeja e këtij fenomeni do të diskutohet më vonë.

Ka fëmijë që shkruajnë me dorën e majtë dhe i marrin të gjitha shkronjat në një formë të pasqyruar dhe të pasqyruar. Ditarët e Leonardo da Vinçit janë shkruar në pasqyrë. Ndoshta nuk ka asnjë arsye të mirë pse duhet t'i shkruajmë letrat ashtu siç bëjmë. Nuk ka gjasa që një font pasqyrë të jetë më i vështirë për t'u zotëruar se ai i zakonshëm.

Nuk do ta bënte më të lehtë drejtshkrimin dhe disa fjalë, si OTTO, nuk do të ndryshonin fare. Ka gjuhë në të cilat mbishkrimi i shenjave bazohet në praninë e simetrisë. Pra, në shkrimin kinez, hieroglifi do të thotë saktësisht mesi i vërtetë.

Në arkitekturë, boshtet e simetrisë përdoren si një mjet për të shprehur qëllimin arkitektonik. Në inxhinieri, boshtet e simetrisë tregohen më qartë aty ku kërkohet devijimi nga zero, si për shembull në timonin e një kamioni ose në timonin e një anijeje.

BOTA JONË NË PASQYRË

Nga Lineland ne hoqëm konceptin e qendrës së simetrisë, dhe nga Flatland - rreth boshtit të simetrisë. Në botën tredimensionale të trupave hapësinorë, ku jetojmë, ekzistojnë përkatësisht rrafshe simetrie. Një "pasqyrë" ka gjithmonë një dimension më pak se bota që pasqyron. Kur shikoni trupat e rrumbullakët, është menjëherë e qartë se ata kanë rrafshe simetrie, por se sa saktësisht nuk është gjithmonë e lehtë të vendoset.

Le të vendosim një top përpara pasqyrës dhe të fillojmë ta rrotullojmë ngadalë: imazhi në pasqyrë nuk do të ndryshojë në asnjë mënyrë nga origjinali, natyrisht, nëse topi nuk ka ndonjë veçori dalluese në sipërfaqen e tij. Topi i ping-pongut zbulon plane të panumërta simetrie. Merrni një thikë, prisni gjysmën e topit dhe vendoseni para pasqyrës. Reflektimi i pasqyrës do të plotësojë përsëri këtë gjysmë në një top të tërë.

Por nëse marrim një glob dhe marrim parasysh simetrinë e tij, duke marrë parasysh konturet gjeografike të shënuara në të, atëherë nuk do të gjejmë një rrafsh të vetëm simetrie.

Në Flatland, figura me boshte të panumërta simetrie ishte rrethi. Prandaj, nuk duhet të habitemi që në hapësirë ​​prona të ngjashme janë të natyrshme në top. Por nëse rrethi është i vetmi në llojin e tij, atëherë në botën tredimensionale ka një numër trupash që kanë një numër të pafund planesh simetrie: një cilindër i drejtë me një rreth në bazë, një kon me një rreth. ose bazë hemisferike, një top ose segment i një topi. Ose le të marrim shembuj nga jeta: një cigare, një puro, një gotë, një kile akullore në formë koni, një copë tel, një tub.

Po t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre trupave, do të vërejmë se të gjithë ata në një mënyrë ose në një tjetër përbëhen nga një rreth, përmes një numri të pafund boshtesh simetrie nga të cilët kalojnë një numër i pafund rrafshe simetrie. Shumica e këtyre trupave (ata quhen trupa të revolucionit) gjithashtu kanë, natyrisht, një qendër simetrie (qendra e një rrethi) përmes së cilës kalon të paktën një bosht simetrie.

Qartë i dukshëm, për shembull, është boshti i konit të akullores. Ai shkon nga mesi i rrethit (duke dalë nga akullorja!) deri në fundin e mprehtë të konit të shokuar. Bashkësinë e elementeve të simetrisë së një trupi e perceptojmë si një lloj mase simetrie. Topi, pa dyshim, për sa i përket simetrisë është një mishërim i patejkalueshëm i përsosmërisë, një ideal. Grekët e lashtë e perceptonin atë si trupin më të përsosur, dhe rrethin, natyrisht, si figurën më të përsosur të sheshtë.

Në përgjithësi, këto ide janë mjaft të pranueshme edhe sot e kësaj dite. Më tej, filozofët grekë arritën në përfundimin se universi, natyrisht, duhet të ndërtohet mbi modelin e një ideali matematikor. Ky përfundim rezultoi me gabime, pasojat e të cilave do t'i përshkruajmë më vonë. Është e qartë se grekët e lashtë nuk kishin ende bishtaja akullore! Përndryshe, një objekt i tillë prozaik, që ka një numër të panumërt të planeve të simetrisë, mund të cenojë sistemin e tyre harmonik.

Nëse për krahasim do të konsiderojmë një kub, do të shohim se ai ka nëntë plane simetrie. Tre prej tyre përgjysmojnë faqet e tij dhe gjashtë kalojnë nëpër kulmet. Në krahasim me topin, kjo, natyrisht, nuk mjafton.

Por a ka trupa që zënë një pozicion të ndërmjetëm midis një topi dhe një kubi për sa i përket numrit të aeroplanëve? Pa dyshim, po. Mbetet vetëm të kujtojmë se rrethi, në thelb, duket se përbëhet nga shumëkëndësha. Këtë e kemi kaluar në shkollë kur kemi llogaritur numrin pi. Nëse ngremë një piramidë n-gonale mbi çdo n-gon, atëherë mund të vizatojmë n plane simetrie përmes saj.

Dikush mund të dalë me një puro me 32 anë që do të kishte simetrinë e duhur!

Por nëse gjithsesi e perceptojmë kubin si një objekt më simetrik sesa paundi famëkeq i akullores, atëherë kjo është për shkak të strukturës së sipërfaqes. Një sferë ka vetëm një sipërfaqe. Kubi ka gjashtë prej tyre - sipas numrit të fytyrave, dhe secila fytyrë përfaqësohet nga një katror. Funtik me akullore përbëhet nga dy sipërfaqe: një rreth dhe një guaskë në formë koni.

Për më shumë se dy mijëvjeçarë (ndoshta për shkak të perceptimit të drejtpërdrejtë), tradicionalisht janë preferuar trupat gjeometrikë "proporcionalë". Filozofi grek Platoni (427-347 p.e.s.) zbuloi se vetëm pesë trupa vëllimorë mund të ndërtohen nga figura të rregullta të rrafshët kongruentë.

Nga katër trekëndësha të rregullt (barabrinjës) fitohet një katërkëndësh (tetraedron). Nga tetë trekëndësha të rregullt, mund të ndërtoni një tetëkëndësh (oktaedron) dhe, së fundi, nga njëzet trekëndësha të rregullt - një ikozaedron. Dhe vetëm nga katër, tetë ose njëzet trekëndësha identikë mund të merrni një trup gjeometrik tredimensional. Nga katrorët, mund të bëni vetëm një figurë tre-dimensionale - një gjashtëkëndësh (gjashtëkëndësh), dhe nga pesëkëndëshat barabrinjës - një dodekahedron (dodekahedron).

Dhe çfarë në botën tonë tredimensionale është plotësisht e lirë nga simetria e pasqyrës?

Nëse në Flatland ishte një spirale e sheshtë, atëherë në botën tonë sigurisht që do të jetë një shkallë spirale ose një stërvitje spirale. Përveç kësaj, ka mijëra gjëra dhe objekte asimetrike në jetën dhe teknologjinë rreth nesh. Si rregull, vidhosja ka një fije në të djathtë. Por ndonjëherë ka edhe të majtë. Pra, për siguri më të madhe, cilindrat e propanit janë të pajisur me një fije të majtë, në mënyrë që një reduktues i valvulave të krijuar, për shembull, për një cilindër me një gaz tjetër, të mos mund të vidhohet mbi to. Në jetën e përditshme, kjo do të thotë që në kamping, përpara se të gatuani në një sobë kampingu, duhet të provoni gjithmonë se në cilën mënyrë zhvidhos shishja.

Midis topit dhe kubit, nga njëra anë, dhe shkallëve spirale, nga ana tjetër, ka ende shumë shkallë simetrie. Nga kubi, gradualisht mund të hiqni rrafshet e simetrisë, boshtet dhe qendrën, derisa të arrijmë në një gjendje asimetrie të plotë.

Pothuajse në fund të këtij rreshti simetrie ne qëndrojmë, ne njerëzit, me vetëm një plan të vetëm simetrie që e ndan trupin tonë në gjysmën e majtë dhe të djathtë. Shkalla e simetrisë që kemi është e njëjtë, për shembull, me atë të feldspatit të zakonshëm (një mineral që formon gneiss ose granit së bashku me mikën dhe kuarcin).

PESË PLATONË

Për poliedrat e rregullt, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

1. Në çdo shumëfaqësh (duke përfshirë një të rregullt), shuma e të gjitha këndeve ndërmjet skajeve që konvergojnë në një kulm është gjithmonë më e vogël se 360°.

2. Nga teorema e Euler-it për politopet konveks

ku e është numri i kulmeve, ƒ është numri i faqeve dhe k është numri i skajeve.

Fytyrat e shumëkëndëshave të rregullt mund të jenë vetëm poligonet e rregullta të mëposhtme:

3, 4 ose 5 trekëndësha barabrinjës 60°. Gjashtë trekëndësha të tillë tashmë japin 60° X 6 = 360° dhe, për rrjedhojë, nuk mund të kufizojnë këndin shumëkëndor.

Tre katrorë (90° X 3 = 270°), 3 pesëkëndësha të rregullt (108° X 3 = 324°), 3 gjashtëkëndësha të rregullt (120° X 3 = 360°) kufizojnë këndin shumëkëndësh.

Nga teorema e Euler-it dhe forma e fytyrave rrjedh se ka vetëm 5 poliedra të rregullta:

Tabela me pesë poliedra të rregullta

Format e fytyrës	Numri				Lëndët e ngurta platonike
	fytyrat në një kulm	majat	fytyrat	brinjët
Trekëndëshat barabrinjës	3	4	4	6	Tetrahedron
Njësoj	4	6	8	12	Tetëkëndësh
Njësoj	5	12	20	30	ikozaedron
katrore	3	8	6	12	Heksahedron (kub)
Pentagonët e saktë	3	20	12	20	Pentagoni dodekaedron

(Çdo fytyrë e Pentagonit-dodekaedron është një figurë pesëkëndëshe, në të cilën katër anët janë të barabarta me njëra-tjetrën, por të ndryshme nga e pesta. - Përafërsisht. përkthimi)