Si të llogarisni sipërfaqen e një paralelepipedi. Sipërfaqja anësore e piramidave të ndryshme

Kur përgatiten për provimin në matematikë, studentët duhet të sistemojnë njohuritë e tyre për algjebrën dhe gjeometrinë. Unë do të doja të kombinoja të gjitha informacionet e njohura, për shembull, si të llogarisni sipërfaqen e një piramide. Për më tepër, duke filluar nga baza dhe faqet anësore deri në të gjithë sipërfaqen. Nëse situata është e qartë me faqet anësore, pasi ato janë trekëndësha, atëherë baza është gjithmonë e ndryshme.

Çfarë duhet të bëni kur gjeni zonën e bazës së piramidës?

Mund të jetë absolutisht çdo figurë: nga një trekëndësh arbitrar në një n-gon. Dhe kjo bazë, përveç ndryshimit në numrin e këndeve, mund të jetë një figurë e rregullt ose e pasaktë. Në detyrat USE me interes për nxënësit e shkollës, ka vetëm detyra me figurat e sakta në bazë. Prandaj, ne do të flasim vetëm për to.

trekëndësh kënddrejtë

Kjo është barabrinjës. Një në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe shënohen me shkronjën "a". Në këtë rast, zona e bazës së piramidës llogaritet me formulën:

S = (a 2 * √3) / 4.

Sheshi

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së saj është më e thjeshta, këtu "a" është përsëri ana:

N-gon i rregullt arbitrar

Brinja e një shumëkëndëshi ka të njëjtin emërtim. Për numrin e qosheve, përdoret shkronja latine n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Si të veprohet kur llogaritet sipërfaqja anësore dhe totale?

Meqenëse baza është një figurë e rregullt, të gjitha fytyrat e piramidës janë të barabarta. Për më tepër, secila prej tyre është një trekëndësh izosceles, pasi skajet anësore janë të barabarta. Pastaj, për të llogaritur zonën anësore të piramidës, ju nevojitet një formulë e përbërë nga shuma e monomëve identikë. Numri i termave përcaktohet nga numri i anëve të bazës.

Sipërfaqja e një trekëndëshi dykëndësh llogaritet me formulën në të cilën gjysma e produktit të bazës shumëzohet me lartësinë. Kjo lartësi në piramidë quhet apotemë. Emërtimi i tij është "A". Formula e përgjithshme për sipërfaqen anësore është:

S \u003d ½ P * A, ku P është perimetri i bazës së piramidës.

Ka situata kur anët e bazës nuk dihen, por jepen skajet anësore (c) dhe këndi i sheshtë në kulmin e saj (α). Pastaj supozohet të përdoret një formulë e tillë për të llogaritur zonën anësore të piramidës:

S = n/2 * në 2 sin α .

Detyra numër 1

gjendja. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës nëse baza e saj shtrihet me një anë 4 cm, dhe apotema ka vlerën √3 cm.

Zgjidhje. Ju duhet të filloni duke llogaritur perimetrin e bazës. Meqenëse ky është një trekëndësh i rregullt, atëherë P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Meqenëse apotema dihet, mund të llogaritni menjëherë sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes anësore: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Për një trekëndësh në bazë, do të merret vlera e mëposhtme e zonës: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Për të përcaktuar të gjithë zonën, do t'ju duhet të shtoni dy vlerat që rezultojnë: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Përgjigju. 10√3 cm2.

Detyra numër 2

gjendja. Ekziston një piramidë e rregullt katërkëndore. Gjatësia e anës së bazës është 7 mm, buza anësore është 16 mm. Ju duhet të dini sipërfaqen e saj.

Zgjidhje. Meqenëse poliedri është katërkëndor dhe i rregullt, atëherë baza e tij është një katror. Pasi të keni mësuar zonat e bazës dhe fytyrave anësore, do të jetë e mundur të llogaritet sipërfaqja e piramidës. Formula për katrorin është dhënë më sipër. Dhe në faqet anësore, të gjitha anët e trekëndëshit janë të njohura. Prandaj, mund të përdorni formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqet e tyre.

Llogaritjet e para janë të thjeshta dhe çojnë në këtë numër: 49 mm 2. Për vlerën e dytë, do t'ju duhet të llogaritni gjysmë-perimetrin: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Tani mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Ekzistojnë vetëm katër trekëndësha të tillë, kështu që kur llogaritni numrin përfundimtar, do t'ju duhet ta shumëzoni atë me 4.

Rezulton: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Përgjigju. Vlera e dëshiruar është 267.576 mm 2.

Detyra numër 3

gjendja. Për një piramidë të rregullt katërkëndore, duhet të llogaritni sipërfaqen. Në të, brinja e katrorit është 6 cm dhe lartësia është 4 cm.

Zgjidhje. Mënyra më e lehtë është përdorimi i formulës me produktin e perimetrit dhe apotemës. Vlera e parë është e lehtë për t'u gjetur. E dyta është pak më e vështirë.

Duhet të kujtojmë teoremën e Pitagorës dhe të konsiderojmë se ajo është formuar nga lartësia e piramidës dhe apotema, e cila është hipotenuza. Këmba e dytë është e barabartë me gjysmën e anës së katrorit, pasi lartësia e poliedrit bie në mes të tij.

Apotema e dëshiruar (hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë) është √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Tani mund të llogaritni vlerën e dëshiruar: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Përgjigju. 96 cm2.

Detyra numër 4

gjendja. Ana e saktë e bazës së saj është 22 mm, brinjët anësore janë 61 mm. Sa është sipërfaqja e sipërfaqes anësore të këtij poliedri?

Zgjidhje. Arsyetimi në të është i njëjtë me atë të përshkruar në problemin nr. 2. Vetëm aty iu dha një piramidë me një katror në bazë, dhe tani ajo është një gjashtëkëndësh.

Para së gjithash, zona e bazës llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Tani ju duhet të zbuloni gjysmë-perimetrin e një trekëndëshi izosceles, i cili është një fytyrë anësore. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Mbetet për të llogaritur sipërfaqen e secilit trekëndësh të tillë duke përdorur formulën Heron, dhe më pas shumëzojeni atë me gjashtë dhe shtoni atë në atë që doli për bazë.

Llogaritjet duke përdorur formulën Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Llogaritjet që do të japin sipërfaqen anësore: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Mbetet t'i mbledhim për të gjetur të gjithë sipërfaqen: 5217,47≈5217 cm 2.

Përgjigju. Baza - 726√3 cm 2, sipërfaqja anësore - 3960 cm 2, e gjithë sipërfaqja - 5217 cm 2.

Cilindri është një figurë e përbërë nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë të vendosur paralelisht. Llogaritja e sipërfaqes së një cilindri është një problem në degën gjeometrike të matematikës, i cili zgjidhet mjaft thjesht. Ka disa metoda për zgjidhjen e tij, të cilat si rezultat gjithmonë zbresin në një formulë.

Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri - rregullat e llogaritjes

• Për të zbuluar zonën e cilindrit, duhet të shtoni dy zona bazë me sipërfaqen e sipërfaqes anësore: anën S \u003d S. + 2 S kryesore. Në një version më të detajuar, kjo formulë duket kështu: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Sipërfaqja anësore e një trupi të caktuar gjeometrik mund të llogaritet nëse dihet lartësia e tij dhe rrezja e rrethit që qëndron nën bazën. Në këtë rast, ju mund të shprehni rrezen nga perimetri, nëse është dhënë. Lartësia mund të gjendet nëse vlera e gjeneratorit është specifikuar në kusht. Në këtë rast, gjenerata do të jetë e barabartë me lartësinë. Formula për sipërfaqen anësore të një trupi të caktuar duket kështu: S= 2 π rh.
• Sipërfaqja e bazës llogaritet me formulën për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi: S osn= π r 2. Në disa probleme, rrezja mund të mos jepet, por është dhënë perimetri. Me këtë formulë, rrezja shprehet mjaft lehtë. С=2π r, r= С/2π. Duhet gjithashtu të mbahet mend se rrezja është gjysma e diametrit.
• Gjatë kryerjes së të gjitha këtyre llogaritjeve, numri π zakonisht nuk përkthehet në 3,14159 ... Thjesht duhet ta shtoni atë pranë vlerës numerike që është marrë si rezultat i llogaritjeve.
• Më tej, është e nevojshme vetëm të shumëzoni zonën e gjetur të bazës me 2 dhe t'i shtoni numrit që rezulton sipërfaqja e llogaritur e sipërfaqes anësore të figurës.
• Nëse problemi tregon se cilindri ka një seksion boshtor dhe ky është një drejtkëndësh, atëherë zgjidhja do të jetë paksa e ndryshme. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit do të jetë diametri i rrethit që shtrihet në bazën e trupit. Gjatësia e figurës do të jetë e barabartë me gjeneratën ose lartësinë e cilindrit. Është e nevojshme të llogariten vlerat e dëshiruara dhe të zëvendësohen në një formulë tashmë të njohur. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit duhet të ndahet me dy për të gjetur zonën e bazës. Për të gjetur sipërfaqen anësore, gjatësia shumëzohet me dy rreze dhe me numrin π.
• Ju mund të llogarisni sipërfaqen e një trupi të caktuar gjeometrik përmes vëllimit të tij. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni vlerën që mungon nga formula V=π r 2 h.
• Nuk ka asgjë të vështirë në llogaritjen e sipërfaqes së një cilindri. Ju vetëm duhet të dini formulat dhe të jeni në gjendje të nxirrni prej tyre sasitë e nevojshme për llogaritjet.

Sipërfaqja e piramidës. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë me ju problemet me piramidat e rregullta. Më lejoni t'ju kujtoj se një piramidë e rregullt është një piramidë, baza e së cilës është një shumëkëndësh i rregullt, maja e piramidës është projektuar në qendër të këtij shumëkëndëshi.

Faqja anësore e një piramide të tillë është një trekëndësh dykëndësh.Lartësia e këtij trekëndëshi, e tërhequr nga maja e një piramide të rregullt, quhet apotemë, SF është apotemë:

Në llojin e problemeve të paraqitura më poshtë, kërkohet të gjendet sipërfaqja e të gjithë piramidës ose sipërfaqja e sipërfaqes anësore të saj. Blogu ka konsideruar tashmë disa probleme me piramidat e rregullta, ku u ngrit pyetja për gjetjen e elementeve (lartësia, skaji i bazës, skaji anësor), .

Në detyrat e provimit, si rregull, merren parasysh piramidat e rregullta trekëndore, katërkëndore dhe gjashtëkëndore. Nuk kam parë probleme me piramidat e rregullta pesëkëndore dhe shtatëkëndore.

Formula për sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes është e thjeshtë - ju duhet të gjeni shumën e sipërfaqes së bazës së piramidës dhe sipërfaqes së sipërfaqes së saj anësore:

Konsideroni detyrat:

Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë 72, skajet anësore janë 164. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.

Sipërfaqja e piramidës është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të sipërfaqes anësore dhe bazës:

*Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër trekëndësha me sipërfaqe të barabartë. Baza e piramidës është një katror.

Sipërfaqja e anës së piramidës mund të llogaritet duke përdorur:

Kështu, sipërfaqja e piramidës është:

Përgjigje: 28224

Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë 22, skajet anësore janë 61. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të kësaj piramide.

Baza e një piramide të rregullt gjashtëkëndore është një gjashtëkëndësh i rregullt.

Sipërfaqja anësore e kësaj piramide përbëhet nga gjashtë zona me trekëndësha të barabartë me brinjë 61.61 dhe 22:

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur formulën e Heronit:

Pra, sipërfaqja anësore është:

Përgjigje: 3240

*Në problemet e paraqitura më sipër, zona e faqes anësore mund të gjendet duke përdorur një formulë të ndryshme trekëndëshi, por për këtë ju duhet të llogaritni apotemën.

27155. Gjeni sipërfaqen e një piramide të rregullt katërkëndore, anët e bazës së së cilës janë 6 dhe lartësia e së cilës është 4.

Për të gjetur sipërfaqen e një piramide, duhet të dimë sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqen e sipërfaqes anësore:

Sipërfaqja e bazës është 36, pasi është një katror me një anë 6.

Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër faqe, të cilat janë trekëndësha të barabartë. Për të gjetur zonën e një trekëndëshi të tillë, duhet të dini bazën dhe lartësinë e tij (apotem):

* Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës dhe lartësisë së tërhequr në këtë bazë.

Baza dihet, është e barabartë me gjashtë. Le të gjejmë lartësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë (të theksuar me të verdhë):

Njëra këmbë është e barabartë me 4, pasi kjo është lartësia e piramidës, tjetra është e barabartë me 3, pasi është e barabartë me gjysmën e skajit të bazës. Ne mund ta gjejmë hipotenuzën duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Pra, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është:

Kështu, sipërfaqja e të gjithë piramidës është:

Përgjigje: 96

27069. Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë 10, skajet anësore janë 13. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.

27070. Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë 10, skajet anësore janë 13. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të kësaj piramide.

Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në një piramidë të rregullt, baza është një projeksion ortogonal i sipërfaqes anësore, prandaj:

P- perimetri i bazës, l- apotema e piramidës

*Kjo formulë bazohet në formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi.

Nëse dëshironi të mësoni më shumë se si rrjedhin këto formula, mos e humbisni, ndiqni publikimin e artikujve.Kjo eshte e gjitha. Paç fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Cilindri është një trup gjeometrik i kufizuar nga dy rrafshe paralele dhe një sipërfaqe cilindrike. Në artikull, ne do të flasim se si të gjejmë zonën e një cilindri dhe, duke përdorur formulën, do të zgjidhim disa probleme për shembull.

Një cilindër ka tre sipërfaqe: një sipërfaqe të sipërme, një të poshtme dhe një sipërfaqe anësore.

Pjesa e sipërme dhe e poshtme e cilindrit janë rrathë dhe janë të lehtë për t'u identifikuar.

Dihet që sipërfaqja e një rrethi është e barabartë me πr 2. Prandaj, formula për zonën e dy rrathëve (sipër dhe fund të cilindrit) do të duket si πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Sipërfaqja e tretë, anësore e cilindrit, është muri i lakuar i cilindrit. Për ta përfaqësuar më mirë këtë sipërfaqe, le të përpiqemi ta transformojmë atë për të marrë një formë të dallueshme. Imagjinoni që një cilindër është një kanaçe e zakonshme që nuk ka një kapak të sipërm dhe në fund. Le të bëjmë një prerje vertikale në murin anësor nga lart në fund të kavanozit (Hapi 1 në figurë) dhe të përpiqemi të hapim (drejtojmë) figurën që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur (Hapi 2).

Pas zbulimit të plotë të kavanozit që rezulton, do të shohim një figurë të njohur (Hapi 3), ky është një drejtkëndësh. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e lehtë për t'u llogaritur. Por para kësaj, le të kthehemi për një moment në cilindrin origjinal. Kulmi i cilindrit origjinal është një rreth, dhe ne e dimë se perimetri i një rrethi llogaritet me formulën: L = 2πr. Në figurë është shënuar me të kuqe.

Kur muri anësor i cilindrit është zgjeruar plotësisht, shohim se perimetri bëhet gjatësia e drejtkëndëshit që rezulton. Brinjët e këtij drejtkëndëshi do të jenë perimetri (L = 2πr) dhe lartësia e cilindrit (h). Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij - S = gjatësia x gjerësia = L x h = 2πr x h = 2πrh. Si rezultat, ne kemi marrë një formulë për llogaritjen e sipërfaqes anësore të një cilindri.

Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një cilindri
Ana S = 2prh

Sipërfaqja e plotë e një cilindri

Në fund, nëse mbledhim sipërfaqen e të tre sipërfaqeve, marrim formulën për sipërfaqen totale të një cilindri. Sipërfaqja e cilindrit është e barabartë me sipërfaqen e pjesës së sipërme të cilindrit + sipërfaqen e bazës së cilindrit + sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit ose S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ndonjëherë kjo shprehje shkruhet me formulën identike 2πr (r + h).

Formula për sipërfaqen totale të një cilindri
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r është rrezja e cilindrit, h është lartësia e cilindrit

Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri

Për të kuptuar formulat e mësipërme, le të përpiqemi të llogarisim sipërfaqen e një cilindri duke përdorur shembuj.

1. Rrezja e bazës së cilindrit është 2, lartësia është 3. Përcaktoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit.

Sipërfaqja totale llogaritet me formulën: ana S. = 2prh

Ana S = 2 * 3.14 * 2 * 3

Ana S = 6,28 * 6

Ana S = 37,68

Sipërfaqja anësore e cilindrit është 37.68.

2. Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri nëse lartësia është 4 dhe rrezja është 6?

Sipërfaqja totale llogaritet me formulën: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Kjo është një figurë poliedrike, në bazën e së cilës shtrihet një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura përfaqësohen nga trekëndësha me një kulm të përbashkët.

Nëse baza është katror, ​​atëherë quhet piramidë katërkëndëshe, nëse trekëndëshi është trekëndëshi. Lartësia e piramidës është tërhequr nga maja e saj pingul me bazën. Përdoret gjithashtu për të llogaritur sipërfaqen apotemëështë lartësia e faqes anësore të ulur nga kulmi i saj.
Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide është shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore, të cilat janë të barabarta me njëra-tjetrën. Megjithatë, kjo metodë e llogaritjes përdoret shumë rrallë. Në thelb, zona e piramidës llogaritet përmes perimetrit të bazës dhe apotemës:

Konsideroni një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një piramide.

Le të jepet një piramidë me bazë ABCDE dhe kulm F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Le të gjejmë perimetrin. Meqenëse të gjitha faqet e bazës janë të barabarta, atëherë perimetri i pesëkëndëshit do të jetë i barabartë me:
Tani mund të gjeni zonën anësore të piramidës:

Zona e një piramide të rregullt trekëndore

Një piramidë e rregullt trekëndore përbëhet nga një bazë në të cilën shtrihet një trekëndësh i rregullt dhe tre faqe anësore që janë të barabarta në sipërfaqe.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt trekëndore mund të llogaritet në shumë mënyra. Ju mund të aplikoni formulën e zakonshme për llogaritjen përmes perimetrit dhe apotemës, ose mund të gjeni sipërfaqen e një fytyre dhe ta shumëzoni atë me tre. Meqenëse faqja e piramidës është një trekëndësh, ne aplikojmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi. Do të kërkojë një apotemë dhe gjatësinë e bazës. Konsideroni një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore.

Jepet një piramidë me apotemë a = 4 cm dhe faqe bazë b = 2 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Së pari, gjeni zonën e njërës nga fytyrat anësore. Në këtë rast do të jetë:
Zëvendësoni vlerat në formulë:
Meqenëse në një piramidë të rregullt të gjitha anët janë të njëjta, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës do të jetë e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tre fytyrave. Përkatësisht:

Zona e piramidës së cunguar

E cunguar Një piramidë është një poliedron i formuar nga një piramidë dhe seksioni i saj është paralel me bazën.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shumë e thjeshtë. Sipërfaqja është e barabartë me prodhimin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës: