Shembulli i diskutuar më sipër na lejon të konkludojmë se vlerat e përdorura për analizë varen nga arsye të rastësishme, prandaj variabla të tillë quhen e rastit. Në shumicën e rasteve, ato lindin si rezultat i vëzhgimeve ose eksperimenteve, të cilat janë tabeluar në rreshtin e parë të të cilit regjistrohen vlerat e ndryshme të vëzhguara të ndryshores së rastësishme X, dhe në të dytën frekuencat përkatëse. Kjo është arsyeja pse kjo tabelë quhet shpërndarja empirike e ndryshores së rastësishme X ose seri variacionesh. Për serinë e variacioneve kemi gjetur mesataren, dispersionin dhe devijimin standard.

të vazhdueshme, nëse vlerat e tij plotësojnë plotësisht një interval të caktuar numerik.

Ndryshorja e rastësishme quhet diskrete, nëse të gjitha vlerat e tij mund të numërohen (në veçanti, nëse merr një numër të kufizuar vlerash).

Ka dy gjëra për t'u theksuar vetitë karakteristike tabela diskrete të shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme:

Të gjithë numrat në rreshtin e dytë të tabelës janë pozitivë;

Shuma e tyre është e barabartë me një.

Në përputhje me hulumtimin e kryer, mund të supozohet se me rritjen e numrit të vëzhgimeve, shpërndarja empirike i afrohet asaj teorike, të dhënë në formë tabelare.

Një karakteristikë e rëndësishme e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është pritshmëria e saj matematikore.

Pritshmëria matematikore ndryshorja diskrete e rastësishme X, duke marrë vlerat, , ..., .me probabilitete, , ..., quhet numri:

Vlera e pritur quhet edhe mesatare.

Karakteristikat e tjera të rëndësishme të një ndryshoreje të rastësishme përfshijnë variancën (8) dhe devijimin standard (9).

ku: pritshmëria matematikore e vlerës X.

. (9)

Një paraqitje grafike e informacionit është shumë më vizuale sesa ajo tabelare, kështu që aftësia e tabelave MS Excel për të paraqitur të dhënat e përfshira në to në formën e grafikëve, grafikëve dhe histogrameve të ndryshme përdoret shumë shpesh. Pra, përveç tabelës, shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme përshkruhet gjithashtu duke përdorur poligonin e shpërndarjes. Për ta bërë këtë, pikat me koordinata , , ... ndërtohen në planin koordinativ dhe lidhen me segmente të drejta.

Për të marrë një drejtkëndësh shpërndarjeje duke përdorur MS Excel, duhet:

1. Zgjidhni skedën "Insert" ® "Area Chart" në shiritin e veglave.

2. Aktivizoni zonën e grafikut që shfaqet në fletën e MS Excel me butonin e djathtë të miut dhe përdorni komandën "Zgjidh të dhënat" në menynë e kontekstit.

Oriz. 6. Zgjedhja e një burimi të dhënash

Së pari, le të përcaktojmë gamën e të dhënave për grafikun. Për ta bërë këtë, futni diapazonin C6:I6 në zonën e duhur të kutisë së dialogut "Zgjidhni burimin e të dhënave" (ai paraqet vlerat e frekuencës të quajtur Seria1, Fig. 7).

Oriz. 7. Shtimi i rreshtit 1

Për të ndryshuar emrin e një serie, duhet të zgjidhni butonin ndryshoni zonën “Elementet legjendë (seri)” (shih Fig. 7) dhe emërtojeni atë.

Për të shtuar një etiketë të boshtit X, duhet të përdorni butonin "Ndrysho" në zonën "Etiketat e boshtit horizontal (Kategoritë)".
(Fig. 8) dhe tregoni vlerat e serisë (vargu $C$6:$I$6).

Oriz. 8. Pamja përfundimtare e kutisë së dialogut "Zgjidh burimin e të dhënave".

Zgjedhja e një butoni në kutinë e dialogut Zgjidh burimin e të dhënave
(Fig. 8) do të na lejojë të marrim poligonin e kërkuar të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme (Fig. 9).

Oriz. 9. Shumëkëndëshi i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

Le të bëjmë disa ndryshime në dizajnin e informacionit grafik që rezulton:

Le të shtojmë një etiketë për boshtin X;

Le të modifikojmë etiketën e boshtit Y;

- Le të shtojmë një titull për diagramin "Poligoni i shpërndarjes".

Për ta bërë këtë, zgjidhni skedën “Working with Charts” në zonën e shiritit të veglave, skedën “Layout” dhe në shiritin e veglave që shfaqet, butonat përkatës: “Titulli i grafikut”, “Titujt e boshteve” (Fig. 10).

Oriz. 10. Pamja përfundimtare e poligonit të shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme

Ndryshore e rastësishmeështë një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër që nuk dihet paraprakisht. Ka variabla të rastësishëm i ndërprerë (diskret) Dhe të vazhdueshme lloji. Vlerat e mundshme të sasive të ndërprera mund të renditen paraprakisht. Vlerat e mundshme të sasive të vazhdueshme nuk mund të renditen paraprakisht dhe të plotësojnë vazhdimisht një boshllëk të caktuar.

Shembull i ndryshoreve të rastësishme diskrete:

1) Sa herë shfaqet stema në tre hedhje monedhash. (vlerat e mundshme 0;1;2;3)

2) Frekuenca e paraqitjes së stemës në të njëjtin eksperiment. (vlerat e mundshme)

3) Numri i elementeve të dështuar në një pajisje të përbërë nga pesë elementë. (Vlerat e mundshme 0;1;2;3;4;5)

Shembuj të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme:

1) Abshisa (ordinata) e pikës së goditjes kur gjuhet.

2) Distanca nga pika e goditjes deri në qendrën e objektivit.

3) Koha e përdorimit të pajisjes (tub radioje).

Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha, dhe vlerat e tyre të mundshme shënohen me shkronja të vogla përkatëse. Për shembull, X është numri i goditjeve me tre të shtëna; vlerat e mundshme: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Le të shqyrtojmë një ndryshore të rastësishme të ndërprerë X me vlera të mundshme X 1, X 2, ..., X n. Secila prej këtyre vlerave është e mundur, por jo e sigurt, dhe vlera X mund të marrë secilën prej tyre me njëfarë probabiliteti. Si rezultat i eksperimentit, vlera e X do të marrë një nga këto vlera, domethënë do të ndodhë një nga grupi i plotë i ngjarjeve të papajtueshme.

Le të shënojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve me shkronjat p me indekset përkatëse:

Meqenëse ngjarjet e papajtueshme formojnë një grup të plotë, atëherë

domethënë, shuma e probabilitetit të të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me 1. Ky probabilitet total shpërndahet disi midis vlerave individuale. Një ndryshore e rastësishme do të përshkruhet plotësisht nga një këndvështrim probabilistik nëse përcaktojmë këtë shpërndarje, domethënë, tregojmë saktësisht se çfarë probabiliteti ka secila prej ngjarjeve. (Kjo do të vendosë të ashtuquajturin ligj të shpërndarjes së variablave të rastësishëm.)

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishmeështë çdo lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetit përkatës. (Për një variabël të rastësishëm do të themi se i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes)

Forma më e thjeshtë e përcaktimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është një tabelë që rendit vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe probabilitetet përkatëse.

Tabela 1.

Variabla të rastësishme. Shumëkëndëshi i shpërndarjes

Variablat e rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme.

Gjatë kryerjes së një eksperimenti stokastik, formohet një hapësirë e ngjarjeve elementare - rezultatet e mundshme të këtij eksperimenti. Besohet se mbi këtë hapësirë të ngjarjeve elementare jepet vlerë e rastësishme X, nëse jepet një ligj (rregull) sipas të cilit çdo ngjarje elementare shoqërohet me një numër. Kështu, ndryshorja e rastësishme X mund të konsiderohet si një funksion i përcaktuar në hapësirën e ngjarjeve elementare.

■ Ndryshore e rastësishme- një sasi që gjatë çdo prove merr një ose një vlerë numerike (nuk dihet paraprakisht cila), në varësi të arsyeve të rastësishme që nuk mund të merren parasysh paraprakisht. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, dhe vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme shënohen me shkronja të vogla. Pra, gjatë hedhjes së një trupi, ndodh një ngjarje e lidhur me numrin x, ku x është numri i pikave të rrotulluara. Numri i pikëve është një ndryshore e rastësishme, dhe numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6 janë vlera të mundshme të kësaj vlere. Distanca që do të përshkojë një predhë kur gjuhet nga një armë është gjithashtu një ndryshore e rastësishme (në varësi të instalimit të pamjes, fuqisë dhe drejtimit të erës, temperaturës dhe faktorëve të tjerë), dhe vlerat e mundshme të kësaj vlere i përkasin në një interval të caktuar (a; b).

■ Ndryshore diskrete e rastësishme– një ndryshore e rastësishme që merr vlera të mundshme të veçanta, të izoluara me probabilitete të caktuara. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i pafund.

■ Variabli i rastësishëm i vazhdueshëm– një ndryshore e rastësishme që mund të marrë të gjitha vlerat nga një interval i kufizuar ose i pafund. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Për shembull, numri i pikëve të hedhura gjatë hedhjes së një zari, rezultati për një test janë variabla diskrete të rastësishme; distanca që fluturon një predhë kur gjuan nga një armë, gabimi i matjes së treguesit të kohës për të zotëruar materialin arsimor, lartësia dhe pesha e një personi janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme- korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th. Çdo vlerë e mundshme x i shoqërohet me probabilitetin p i me të cilin ndryshorja e rastësishme mund ta marrë këtë vlerë. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të specifikohet në mënyrë tabelare (në formën e një tabele), në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Le të marrë një ndryshore diskrete e rastësishme X vlera x 1 , x 2 , ..., x n me probabilitete p 1 , p 2 , …, p n përkatësisht, d.m.th. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Kur specifikoni ligjin e shpërndarjes së kësaj sasie në një tabelë, rreshti i parë i tabelës përmban vlerat e mundshme x 1 , x 2 , ..., x n, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet e tyre

X	x 1	x 2	…	x n
fq	f 1	p2	…	p n

Si rezultat i testit, një ndryshore diskrete e rastësishme X merr një dhe vetëm një nga vlerat e mundshme, prandaj ngjarjet X=x 1, X=x 2, ..., X=x n formojnë një grup të plotë të papajtueshëm në çift. ngjarjet, dhe, për rrjedhojë, shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një, d.m.th. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Shumëkëndëshi i shpërndarjes (poligoni).

Siç e dini, një ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre shënohen me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Një ndryshore e rastësishme diskrete është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskreteështë një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1. Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht - nga një poligon (poligoni) i shpërndarjes (shih detyrën 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njihni një ose disa numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Ky mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera e saj mesatare. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit.

Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i .
Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ
Dispersioni i një ndryshoreje diskrete të rastësishme D(X)= M 2 ose D(X) = M(X 2)- 2. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
Devijimi mesatar katror (devijimi standard) σ(X)=√D(X).

· Për qartësinë e paraqitjes së një serie variacionesh, imazhet e saj grafike kanë një rëndësi të madhe. Grafikisht, një seri variacionesh mund të përshkruhet si një poligon, histogram dhe kumulim.

· Një shumëkëndësh shpërndarjeje (fjalë për fjalë një shumëkëndësh shpërndarjeje) quhet një vijë e thyer, e cila është e ndërtuar në një sistem koordinativ drejtkëndor. Vlera e atributit vizatohet në abshisë, frekuencat përkatëse (ose frekuencat relative) - në ordinatë. Pikat (ose) lidhen me segmente të drejtëza dhe fitohet një poligon i shpërndarjes. Më shpesh, poligonet përdoren për të përshkruar seritë diskrete të variacioneve, por ato mund të përdoren gjithashtu për seri intervali. Në këtë rast, pikat që korrespondojnë me pikat e mesit të këtyre intervaleve vizatohen në boshtin e abshisave.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	Pn

Kjo tabelë quhet afër shpërndarjes variablat e rastësishëm.

Për t'i dhënë serisë së shpërndarjes një pamje më vizuale, ata përdorin paraqitjen e saj grafike: vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet e këtyre vlerave vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. (Për qartësi, pikat që rezultojnë janë të lidhura me segmente të vijës së drejtë.)

Figura 1 – shumëkëndëshi i shpërndarjes

Kjo shifër quhet poligonin e shpërndarjes. Shumëkëndëshi i shpërndarjes, ashtu si seria e shpërndarjes, karakterizon plotësisht variablin e rastësishëm; është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Shembull:

kryhet një eksperiment në të cilin ngjarja A mund të shfaqet ose jo.Probabiliteti i ngjarjes A = 0.3. Ne konsiderojmë një ndryshore të rastësishme X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në një eksperiment të caktuar. Është e nevojshme të ndërtohet një seri dhe shumëkëndësh i shpërndarjes së vlerës X.

Tabela 2.

X i
P i	0,7	0,3

Figura 2 - Funksioni i shpërndarjes

Funksioni i shpërndarjesështë një karakteristikë universale e një ndryshoreje të rastësishme. Ai ekziston për të gjitha variablat e rastësishëm: të ndërprerë dhe jo të vazhdueshëm. Funksioni i shpërndarjes karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme nga një këndvështrim probabilistik, domethënë është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Për të karakterizuar në mënyrë sasiore këtë shpërndarje probabiliteti, është e përshtatshme të përdoret jo probabiliteti i ngjarjes X=x, por probabiliteti i ngjarjes X.

Funksioni i shpërndarjes F(x) nganjëherë quhet edhe funksioni i shpërndarjes kumulative ose ligji i shpërndarjes kumulative.

Vetitë e funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

1. Funksioni i shpërndarjes F(x) është një funksion jozvogëlues i argumentit të tij, pra për ;

2. Në minus pafundësi:

3. Në plus pafundësi:

Figura 3 – grafiku i funksionit të shpërndarjes

Grafiku i funksionit të shpërndarjes në përgjithësi, është një grafik i një funksioni jo-zvogëlues, vlerat e të cilit fillojnë nga 0 dhe shkojnë në 1.

Duke ditur serinë e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, është e mundur të ndërtohet funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastit.

Shembull:

për kushtet e shembullit të mëparshëm, ndërtoni funksionin e shpërndarjes së ndryshores së rastit.

Le të ndërtojmë funksionin e shpërndarjes X:

Figura 4 – funksioni i shpërndarjes X

Funksioni i shpërndarjes e çdo ndryshoreje të rastësishme diskrete të ndërprerë ekziston gjithmonë një funksion hapi i ndërprerë, kërcimet e të cilit ndodhin në pikat që korrespondojnë me vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme dhe janë të barabarta me probabilitetet e këtyre vlerave. Shuma e të gjitha kërcimeve të funksionit të shpërndarjes është e barabartë me 1.

Ndërsa numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rritet dhe intervalet midis tyre zvogëlohen, numri i kërcimeve bëhet më i madh dhe vetë kërcimet bëhen më të vogla:

Figura 5

Kurba e shkallëzuar bëhet më e lëmuar:

Figura 6

Ndryshorja e rastësishme gradualisht i afrohet një vlere të vazhdueshme, dhe funksioni i saj i shpërndarjes i afrohet një funksioni të vazhdueshëm. Ekzistojnë gjithashtu variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave mbushin vazhdimisht një interval të caktuar, por për të cilat funksioni i shpërndarjes nuk është i vazhdueshëm kudo. Dhe në pika të caktuara prishet. Variabla të tilla të rastësishme quhen të përziera.

Figura 7

Problemi 14. Në llotarinë e parave të gatshme luhen 1 fitore prej 1,000,000 rubla, 10 fitore nga 100,000 rubla. dhe 100 fitore nga 1000 rubla secila. me një numër total biletash 10 000. Gjeni ligjin e shpërndarjes së fitimeve të rastësishme X për pronarin e një bilete llotarie.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme për X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Probabilitetet e tyre janë përkatësisht të barabarta: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Prandaj, ligji i shpërndarjes së fitimeve X mund të jepet nga tabela e mëposhtme:

Problemi 15. Ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes:

Ndërtoni një shumëkëndësh të shpërndarjes.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një sistem koordinativ drejtkëndor dhe do të vizatojmë vlerat e mundshme përgjatë boshtit të abshisave x i, dhe përgjatë boshtit të ordinatave - probabilitetet përkatëse p i. Le të vizatojmë pikat M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0.4) dhe M 4 (8; 0.3). Duke i lidhur këto pika me segmente drejtvizore, fitojmë poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

§2. Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit

Një ndryshore e rastësishme karakterizohet plotësisht nga ligji i shpërndarjes së saj. Një përshkrim mesatar i një ndryshoreje të rastësishme mund të merret duke përdorur karakteristikat e saj numerike

2.1. Vlera e pritshme. Dispersion.

Lëreni një ndryshore të rastësishme të marrë vlerat me probabilitete në përputhje me rrethanat.

Përkufizimi. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve përkatëse:

Vetitë e pritjes matematikore.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare karakterizohet nga dispersioni dhe devijimi standard.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Formula e mëposhtme përdoret për llogaritjet

Vetitë e dispersionit.

2. , ku janë variabla të rastësishme të pavarura reciprokisht.

3. Devijimi standard.

Problemi 16. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme Z = X+ 2Y, nëse dihen pritshmëritë matematikore të ndryshoreve të rastit X Dhe Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Zgjidhje. Ne përdorim vetitë e pritjes matematikore. Pastaj marrim:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Problemi 17. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme Xështë e barabartë me 3. Gjeni variancën e ndryshoreve të rastit: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Zgjidhje. Le të zbatojmë vetitë 3, 4 dhe 2 të dispersionit. Ne kemi:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Problemi 18. Jepet një ndryshore e pavarur e rastësishme Y– numri i pikëve të marra gjatë hedhjes së një kërmale. Gjeni ligjin e shpërndarjes, pritjet matematikore, dispersionin dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme Y.

Zgjidhje. Tabela e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme Y ka formën:

Pastaj M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.