Shpërndarja e rastësishme uniforme. Konvertimi i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme në një variabël të shpërndarë normalisht

Si shembull i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, merrni parasysh një ndryshore të rastësishme X të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin (a; b). Ndryshorja e rastësishme X thuhet se është të shpërndara në mënyrë të barabartë në intervalin (a; b), nëse dendësia e shpërndarjes së tij nuk është konstante në këtë interval:

Nga kushti i normalizimit përcaktojmë vlerën e konstantës c. Zona nën kurbën e densitetit të shpërndarjes duhet të jetë e barabartë me unitetin, por në rastin tonë është zona e një drejtkëndëshi me bazë (b - α) dhe lartësi c (Fig. 1).

Oriz. 1 Dendësia uniforme e shpërndarjes
Nga këtu gjejmë vlerën e konstantës c:

Pra, dendësia e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme është e barabartë me

Tani le të gjejmë funksionin e shpërndarjes duke përdorur formulën:
1) për
2) për
3) për 0+1+0=1.
Kështu,

Funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm dhe nuk zvogëlohet (Fig. 2).

Oriz. 2 Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme

Ne do të gjejmë pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme sipas formulës:

Shpërndarja e shpërndarjes uniforme llogaritet me formulë dhe është e barabartë me

Shembulli nr. 1. Vlera e ndarjes së shkallës së pajisjes matëse është 0.2. Leximet e instrumentit janë të rrumbullakosura në ndarjen e plotë më të afërt. Gjeni probabilitetin që të bëhet gabim gjatë numërimit: a) më pak se 0,04; b) i madh 0.02
Zgjidhje. Gabimi i rrumbullakosjes është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin midis ndarjeve të numrave të plotë ngjitur. Le ta konsiderojmë intervalin (0; 0.2) si një ndarje të tillë (Fig. a). Rrumbullakimi mund të kryhet si në kufirin e majtë - 0, ashtu edhe në të djathtë - 0.2, që do të thotë se një gabim më i vogël ose i barabartë me 0.04 mund të bëhet dy herë, i cili duhet të merret parasysh kur llogaritet probabiliteti:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Për rastin e dytë, vlera e gabimit mund të kalojë gjithashtu 0.02 në të dy kufijtë e ndarjes, domethënë mund të jetë ose më shumë se 0.02 ose më pak se 0.18.


Atëherë probabiliteti i një gabimi si ky:

Shembulli nr. 2. Supozohej se stabiliteti i situatës ekonomike në vend (mungesa e luftërave, fatkeqësive natyrore, etj.) gjatë 50 viteve të fundit mund të gjykohet nga natyra e shpërndarjes së popullsisë sipas moshës: në një situatë të qetë duhet të jetë uniforme. Si rezultat i studimit, janë marrë të dhënat e mëposhtme për një nga vendet.

A ka ndonjë arsye për të besuar se ka paqëndrueshmëri në vend?

Zgjidhjen e realizojmë duke përdorur një makinë llogaritëse.Testimi i hipotezave. Tabela për llogaritjen e treguesve.

Grupet	Mesi i intervalit, x i	Sasia, f i	x i * f i	Frekuenca e akumuluar, S	|x - x av |*f	(x - x mesatar) 2 *f	Frekuenca, f i / n
0 - 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 - 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 - 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 - 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 - 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 - 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 - 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 - 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
		1	43		20.56	572	1

Treguesit e qendrës së shpërndarjes.
Mesatarja e ponderuar


Treguesit e variacionit.
Variacione absolute.
Gama e variacionit është diferenca midis vlerave maksimale dhe minimale të karakteristikës së serisë primare.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Dispersion- karakterizon masën e shpërndarjes rreth vlerës së saj mesatare (një masë e shpërndarjes, d.m.th. devijimi nga mesatarja).


Devijimi standard.

Çdo vlerë e serisë ndryshon nga vlera mesatare e 43 me jo më shumë se 23,92
Testimi i hipotezave për llojin e shpërndarjes.
4. Testimi i hipotezës rreth shpërndarje uniforme popullata e përgjithshme.
Për të testuar hipotezën për shpërndarjen uniforme të X, d.m.th. sipas ligjit: f(x) = 1/(b-a) në intervalin (a,b)
nevojshme:
1. Vlerësoni parametrat a dhe b - skajet e intervalit në të cilin janë vërejtur vlerat e mundshme të X, duke përdorur formulat (shenja * tregon vlerësimet e parametrave):

2. Gjeni densitetin e probabilitetit të shpërndarjes së pritur f(x) = 1/(b * - a *)
3. Gjeni frekuencat teorike:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Krahasoni frekuencat empirike dhe teorike duke përdorur kriterin Pearson, duke marrë numrin e shkallëve të lirisë k = s-3, ku s është numri i intervaleve fillestare të kampionimit; nëse është kryer një kombinim i frekuencave të vogla, dhe për rrjedhojë vetë intervalet, atëherë s është numri i intervaleve të mbetura pas kombinimit.

Zgjidhja:
1. Gjeni vlerësimet e parametrave a * dhe b * të shpërndarjes uniforme duke përdorur formulat:


2. Gjeni dendësinë e shpërndarjes uniforme të supozuar:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Le të gjejmë frekuencat teorike:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121 (10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
n-të e mbetura do të jenë të barabarta me:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

i	n i	n*i	n i - n * i	(n i - n* i) 2	(n i - n * i) 2 /n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6E-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Total	1				0.0532

Le të përcaktojmë kufirin e rajonit kritik. Meqenëse statistika e Pearson mat ndryshimin midis shpërndarjeve empirike dhe teorike, sa më e madhe të jetë vlera e saj e vëzhguar K obs, aq më i fortë është argumenti kundër hipotezës kryesore.
Prandaj, rajoni kritik për këtë statistikë është gjithmonë i djathtë: nëse densiteti i probabilitetit të tij është konstant në këtë segment, dhe jashtë tij është i barabartë me 0 (d.m.th., një ndryshore e rastësishme X përqendruar në segmentin [ a, b], në të cilën ka një dendësi konstante). Sipas këtij përkufizimi, dendësia e shpërndarë në mënyrë uniforme në segmentin [ a, b] ndryshore e rastësishme X ka formën:

Ku Me ka një numër të caktuar. Sidoqoftë, është e lehtë të gjendet duke përdorur vetinë e densitetit të probabilitetit për variablat e rastësishëm të përqendruara në segmentin [ a, b]:
. Nga kjo rrjedh se
, ku
. Prandaj, dendësia e shpërndarë në mënyrë uniforme në segmentin [ a, b] ndryshore e rastësishme X ka formën:

.

Gjykoni uniformitetin e shpërndarjes së n.s.v. X e mundur nga konsideratat e mëposhtme. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme ka një shpërndarje uniforme në intervalin [ a, b], nëse merr vlera vetëm nga ky segment, dhe çdo numër nga ky segment nuk ka përparësi ndaj numrave të tjerë të këtij segmenti në kuptimin që mund të jetë një vlerë e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Variablat e rastësishëm që kanë një shpërndarje uniforme përfshijnë vlera të tilla si koha e pritjes për transport në një ndalesë (me një interval konstant trafiku, kohëzgjatja e pritjes shpërndahet në mënyrë uniforme mbi këtë interval), gabimi në rrumbullakimin e një numri në një numër të plotë (në mënyrë uniforme shpërndarë mbi [−0.5 , 0.5 ]) dhe të tjerët.

Lloji i funksionit të shpërndarjes F(x) a, b] ndryshore e rastësishme X të kërkuara nga dendësia e njohur e probabilitetit f(x) duke përdorur formulën për lidhjen e tyre
. Si rezultat i llogaritjeve përkatëse, marrim formulën e mëposhtme për funksionin e shpërndarjes F(x) segment i shpërndarë në mënyrë uniforme [ a, b] ndryshore e rastësishme X :

.

Shifrat tregojnë grafikët e densitetit të probabilitetit f(x) dhe funksionet e shpërndarjes f(x) segment i shpërndarë në mënyrë uniforme [ a, b] ndryshore e rastësishme X :

Pritshmëria, varianca, devijimi standard, mënyra dhe mediana e një segmenti të shpërndarë në mënyrë uniforme [ a, b] ndryshore e rastësishme X llogaritur nga dendësia e probabilitetit f(x) në mënyrën e zakonshme (dhe thjesht për shkak të pamjes së thjeshtë f(x) ). Rezultati është formulat e mëposhtme:

dhe modës d(X) është çdo numër në intervalin [ a, b].

Le të gjejmë probabilitetin për të goditur një segment të shpërndarë në mënyrë uniforme [ a, b] ndryshore e rastësishme X në interval
, plotësisht i shtrirë brenda [ a, b]. Duke marrë parasysh formën e njohur të funksionit të shpërndarjes, marrim:

Kështu, probabiliteti për të goditur një segment të shpërndarë në mënyrë uniforme [ a, b] ndryshore e rastësishme X në interval
, plotësisht i shtrirë brenda [ a, b], nuk varet nga pozicioni i këtij intervali, por varet vetëm nga gjatësia e tij dhe është drejtpërdrejt proporcionale me këtë gjatësi.

Shembull. Intervali i autobusit është 10 minuta. Sa është probabiliteti që një pasagjer që arrin në një stacion autobusi të presë më pak se 3 minuta për autobusin? Sa është koha mesatare e pritjes për një autobus?

Shpërndarja normale

Kjo shpërndarje më së shpeshti haset në praktikë dhe luan një rol të jashtëzakonshëm në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore dhe aplikimet e tyre, pasi një shpërndarje të tillë kanë shumë variabla të rastësishëm në shkencat natyrore, ekonomi, psikologji, sociologji, shkenca ushtarake etj. Kjo shpërndarje është një ligj kufizues, të cilit i afrohen shumë ligje të tjera të shpërndarjes (në kushte të caktuara natyrore). Duke përdorur ligjin e shpërndarjes normale, përshkruhen edhe dukuritë që i nënshtrohen veprimit të shumë faktorëve të rastësishëm të pavarur të çdo natyre dhe çdo ligji të shpërndarjes së tyre. Le të kalojmë te përkufizimet.

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme quhet e shpërndarë ligji normal (ose ligji i Gausit), nëse densiteti i probabilitetit të tij ka formën:

,

ku janë numrat A Dhe σ (σ>0 ) janë parametrat e kësaj shpërndarjeje.

Siç është përmendur tashmë, ligji i Gausit për shpërndarjen e ndryshoreve të rastit ka aplikime të shumta. Sipas këtij ligji, shpërndahen gabimet e matjes sipas instrumenteve, devijimi nga qendra e objektivit gjatë gjuajtjes, dimensionet e pjesëve të prodhuara, pesha dhe lartësia e njerëzve, reshjet vjetore, numri i të porsalindurve e shumë të tjera.

Formula e dhënë për densitetin e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht përmban, siç u tha, dy parametra A Dhe σ , dhe për këtë arsye përcakton një familje funksionesh që ndryshojnë në varësi të vlerave të këtyre parametrave. Nëse zbatojmë metodat e zakonshme të analizës matematikore të studimit të funksioneve dhe vizatimit të grafikëve në densitetin e probabilitetit të një shpërndarjeje normale, mund të nxjerrim përfundimet e mëposhtme.

janë pikat e lakimit të tij.

Bazuar në informacionin e marrë, ne ndërtojmë një grafik të densitetit të probabilitetit f(x) shpërndarja normale (quhet kurba Gaussian - figura).

Le të zbulojmë se si ndikon ndryshimi i parametrave A Dhe σ në formën e kurbës Gaussian. Është e qartë (kjo mund të shihet nga formula për densitetin normal të shpërndarjes) se një ndryshim në parametrin A nuk ndryshon formën e kurbës, por vetëm çon në zhvendosjen e saj djathtas ose majtas përgjatë boshtit X. Varësi σ më i vështirë. Nga studimi i mësipërm është e qartë se si vlera e maksimumit dhe koordinatat e pikave të lakimit varen nga parametri σ . Përveç kësaj, duhet të kemi parasysh se për çdo parametër A Dhe σ sipërfaqja nën lakoren Gaussian mbetet e barabartë me 1 (kjo është një veti e përgjithshme e densitetit të probabilitetit). Nga sa më sipër rezulton se me rritjen e parametrit σ kurba bëhet më e sheshtë dhe shtrihet përgjatë boshtit X. Figura tregon kthesat Gaussian për vlera të ndryshme të parametrit σ (σ 1 < σ< σ 2 ) dhe të njëjtën vlerë parametri A.

Le të zbulojmë kuptimin probabilistik të parametrave A Dhe σ shpërndarje normale. Tashmë nga simetria e kurbës Gaussian në lidhje me vijën vertikale që kalon nëpër numrin A në bosht Xështë e qartë se vlera mesatare (d.m.th. pritshmëria matematikore M(X)) e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht është e barabartë me A. Për të njëjtat arsye, mënyra dhe mediana duhet të jenë gjithashtu të barabarta me numrin a. Llogaritjet e sakta duke përdorur formulat e duhura e konfirmojnë këtë. Nëse përdorim shprehjen e shkruar më sipër për f(x) zëvendësoni në formulën e variancës
, atëherë pas një llogaritjeje (mjaft të komplikuar) të integralit marrim numrin në përgjigje σ 2 . Kështu, për një ndryshore të rastësishme X, të shpërndara sipas ligjit normal, janë marrë këto karakteristika kryesore numerike:

Prandaj, kuptimi probabilistik i parametrave të shpërndarjes normale A Dhe σ tjetër. Nëse r.v. XA Dhe σ A σ.

Tani le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) për një ndryshore të rastësishme X, të shpërndara sipas ligjit normal, duke përdorur shprehjen e mësipërme për densitetin e probabilitetit f(x) dhe formula
. Gjatë zëvendësimit f(x) rezultati është një integral "i pamarrë". Çdo gjë që mund të bëhet për të thjeshtuar shprehjen për F(x), Ky është përfaqësimi i këtij funksioni si:

,

Ku F(x)− të ashtuquajturat Funksioni Laplace, e cila ka formën

.

Integrali përmes të cilit shprehet funksioni Laplace gjithashtu nuk merret (por për secilin X ky integral mund të llogaritet përafërsisht me ndonjë saktësi të paracaktuar). Sidoqoftë, nuk ka nevojë ta llogaritni atë, pasi në fund të çdo libri shkollor mbi teorinë e probabilitetit ekziston një tabelë për përcaktimin e vlerave të funksionit F(x) në një vlerë të caktuar X. Në vijim do të na duhet vetia e çuditshmërisë së funksionit Laplace: Ф(−х)=−F(x) për të gjithë numrat X.

Le të gjejmë tani probabilitetin që një r.v i shpërndarë normalisht. X do të marrë një vlerë nga intervali numerik i caktuar (α, β) . Nga vetitë e përgjithshme të funksionit të shpërndarjes Р(α< X< β)= F(β) − F(α) . Zëvendësimi α Dhe β në shprehjen e mësipërme për F(x) , marrim

.

Siç u tha më lart, nëse r.v. X shpërndahet normalisht me parametra A Dhe σ , atëherë vlera mesatare e tij është A, dhe devijimi standard është i barabartë me σ. Kjo është arsyeja pse mesatare devijimi i vlerave të këtij r.v. kur testohet nga numri A barazohet σ. Por ky është devijimi mesatar. Prandaj, devijime më të mëdha janë të mundshme. Le të zbulojmë se sa të mundshme janë devijimet e caktuara nga vlera mesatare. Le të gjejmë probabilitetin që vlera e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndahet sipas ligjit normal X devijojnë nga vlera mesatare e tij M(X)=a më pak se me një numër të caktuar δ, d.m.th. R(| X− a|<δ ): . Kështu,

.

Zëvendësimi në këtë barazi δ=3σ, marrim probabilitetin që vlera e r.v. X(në një test) do të devijojë nga vlera mesatare me më pak se trefishi i vlerës σ (me devijimin mesatar, siç e kujtojmë, të barabartë me σ ): (që do të thotë F(3) marrë nga tabela e vlerave të funksionit Laplace). Është pothuajse 1 ! Pastaj probabiliteti i ngjarjes së kundërt (që vlera do të devijojë jo më pak se 3σ) është e barabartë me 1 −0.997=0.003 , e cila është shumë afër 0 . Prandaj, kjo ngjarje është "pothuajse e pamundur" − ndodh jashtëzakonisht rrallë (mesatarisht 3 herë jashtë 1000 ). Ky arsyetim është arsyetimi për "rregullin tre sigma" të mirënjohur.

Rregulli tre sigma. Ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht në një test të vetëm praktikisht nuk devijon nga mesatarja e tij më shumë se 3σ.

Le të theksojmë edhe një herë se po flasim për një test. Nëse ka shumë teste të një ndryshoreje të rastësishme, atëherë është mjaft e mundur që disa nga vlerat e saj të lëvizin më tej nga mesatarja sesa 3σ. Kjo konfirmohet nga sa vijon

Shembull. Sa është probabiliteti që në 100 prova të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht X a do të devijojë të paktën një nga vlerat e tij nga mesatarja me më shumë se trefishi i devijimit standard? Po 1000 teste?

Zgjidhje. Lëreni ngjarjen A do të thotë se kur testohet një ndryshore e rastësishme X vlera e tij ka devijuar nga mesatarja me më shumë se 3σ. Siç sapo u sqarua, probabiliteti i kësaj ngjarjeje p=P(A)=0.003. Janë kryer 100 teste të tilla. Ne duhet të zbulojmë probabilitetin që ngjarja A ndodhi të paktën herë, d.m.th. erdhi nga 1 përpara 100 një herë. Ky është një problem tipik i qarkut Bernoulli me parametra n=100 (numri i gjykimeve të pavarura), p=0.003(probabiliteti i ngjarjes A në një provë) q=1− fq=0.997 . Duhet gjetur R 100 (1≤ k≤100) . Në këtë rast, natyrisht, është më e lehtë të gjesh fillimisht probabilitetin e ngjarjes së kundërt R 100 (0) − probabiliteti që ngjarja A nuk ka ndodhur as edhe një herë (d.m.th. ka ndodhur 0 herë). Duke marrë parasysh lidhjen midis probabiliteteve të vetë ngjarjes dhe të kundërtës së saj, marrim:

Jo aq pak. Mund të ndodhë (ndodh mesatarisht në çdo të katërtën seri të tilla testesh). Në 1000 teste duke përdorur të njëjtën skemë, mund të merret se probabiliteti i të paktën një devijimi është më i madh se 3σ, është e barabartë me: . Pra, ne mund të presim me shumë besim të paktën një devijim të tillë.

Shembull. Gjatësia e meshkujve të një grupmoshe të caktuar shpërndahet normalisht me pritshmëri matematikore a, dhe devijimi standard σ . Çfarë përqindje e kostumeve k rritja duhet të përfshihet në prodhimin total për një grupmoshë të caktuar nëse k Rritja përcaktohet nga kufijtë e mëposhtëm:

1 lartësia : 158 − 164 cm 2 lartësia : 164 − 170cm 3 lartësia : 170 − 176cm 4 lartësia : 176 − 182cm

Zgjidhje. Le ta zgjidhim problemin me vlerat e mëposhtme të parametrave: a=178,σ=6,k=3 . Le të r.v. X − lartësia e një njeriu të zgjedhur rastësisht (shpërndahet normalisht me parametrat e dhënë). Le të gjejmë probabilitetin që do t'i duhet një burri i zgjedhur rastësisht 3 -lartësia. Përdorimi i rastësisë së funksionit Laplace F(x) dhe një tabelë me vlerat e saj: P (170 Prandaj, në vëllimin e përgjithshëm të prodhimit është e nevojshme të sigurohet 0.2789*100%=27.89% kostume 3 -lartësia.

Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, duke marrë të gjitha vlerat nga segmenti , thirri uniforme, nëse densiteti i probabilitetit të tij është konstant në këtë segment dhe është i barabartë me zero jashtë tij. Kështu, densiteti i probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, të shpërndara në mënyrë uniforme në segment , ka formën:

Le të përcaktojmë vlera e pritur, dispersion dhe për një ndryshore të rastësishme me shpërndarje uniforme.

, , .

Shembull. Të gjitha vlerat e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme qëndrojnë në interval . Gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në interval (3;5) .

a=2, b=8, .

Shpërndarja binomiale

Le të prodhohet n testet dhe probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes A në çdo gjykim është i barabartë fq dhe është i pavarur nga rezultati i gjykimeve të tjera (prova të pavarura). Meqenëse probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje A në një test është e barabartë me fq, atëherë probabiliteti i mosndodhjes së tij është i barabartë me q=1-p.

Lëreni ngjarjen A erdhi në n testet m një herë. Kjo ngjarje komplekse mund të shkruhet si produkt:

.

Pastaj probabiliteti që n ngjarje testuese A do te vije m herë, e llogaritur me formulën:

ose (1)

Formula (1) quhet formula e Bernulit.

Le X– një ndryshore e rastësishme e barabartë me numrin e dukurive të ngjarjes A V n teste, të cilat marrin vlera me probabilitete:

Ligji që rezulton i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme quhet ligji i shpërndarjes binomiale.

X				m		n
P

Vlera e pritshme, dispersion Dhe devijimi standard Variablat e rastësishëm të shpërndara sipas ligjit binomial përcaktohen nga formula:

, , .

Shembull. Tre të shtëna janë qëlluar në objektiv, dhe probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.8. Konsideroni një ndryshore të rastësishme X– numri i goditjeve në objektiv. Gjeni ligjin e tij të shpërndarjes, pritjet matematikore, dispersionin dhe devijimin standard.

p=0.8, q=0.2, n=3, , , .

- probabiliteti i 0 goditjeve;

Mundësia për një goditje;

Mundësia e dy goditjeve;

- probabiliteti i tre goditjeve.

Ne marrim ligjin e shpërndarjes:

X
P	0,008	0,096	0,384	0,512

Detyrat

1. Një monedhë hidhet 7 herë. Gjeni probabilitetin që ai të ulet me kokë poshtë 4 herë.

2. Një monedhë hidhet 8 herë. Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet jo më shumë se tre herë.

3. Probabiliteti i goditjes së objektivit gjatë gjuajtjes nga arma p=0.6. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të përgjithshëm të goditjeve nëse bëhen 10 të shtëna.

4. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të biletave të lotarisë që do të fitojnë nëse blihen 20 bileta dhe probabiliteti për të fituar në një biletë është 0.3.

Funksioni i shpërndarjes në këtë rast, sipas (5.7), do të marrë formën:

ku: m – pritshmëria matematikore, s – devijimi standard.

Shpërndarja normale quhet edhe Gaussian sipas matematikanit gjerman Gauss. Fakti që një ndryshore e rastësishme ka një shpërndarje normale me parametra: m, shënohet si më poshtë: N (m,s), ku: m =a =M ;

Shumë shpesh në formula, pritshmëria matematikore shënohet me A . Nëse një ndryshore e rastësishme shpërndahet sipas ligjit N(0,1), atëherë quhet ndryshore normale e normalizuar ose e standardizuar. Funksioni i shpërndarjes për të ka formën:

.

Grafiku i densitetit të një shpërndarjeje normale, e cila quhet kurbë normale ose kurbë Gaussian, është paraqitur në figurën 5.4.

Oriz. 5.4. Dendësia normale e shpërndarjes

Përcaktimi i karakteristikave numerike të një ndryshoreje të rastësishme nga dendësia e saj konsiderohet duke përdorur një shembull.

Shembulli 6.

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme specifikohet nga dendësia e shpërndarjes: .

Përcaktoni llojin e shpërndarjes, gjeni pritshmërinë matematikore M(X) dhe variancën D(X).

Duke krahasuar densitetin e dhënë të shpërndarjes me (5.16), mund të konkludojmë se është dhënë ligji normal i shpërndarjes me m = 4. Prandaj, pritshmëria matematikore M(X)=4, varianca D(X)=9.

Devijimi standard s=3.

Funksioni Laplace, i cili ka formën:

,

lidhet me funksionin normal të shpërndarjes (5.17), relacioni:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

Funksioni Laplace është tek.

Ф(-x)=-Ф(x).

Vlerat e funksionit Laplace Ф(х) janë tabeluar dhe janë marrë nga tabela sipas vlerës së x (shih Shtojcën 1).

Shpërndarja normale e një variabli të rastësishëm të vazhdueshëm luan një rol të rëndësishëm në teorinë e probabilitetit dhe në përshkrimin e realitetit; është shumë i përhapur në fenomenet e rastësishme natyrore. Në praktikë, shumë shpesh ndeshemi me ndryshore të rastësishme që formohen pikërisht si rezultat i përmbledhjes së shumë termave të rastësishëm. Në veçanti, një analizë e gabimeve të matjes tregon se ato janë shuma e llojeve të ndryshme të gabimeve. Praktika tregon se shpërndarja e probabilitetit të gabimeve të matjes është afër ligjit normal.

Duke përdorur funksionin Laplace, ju mund të zgjidhni problemin e llogaritjes së probabilitetit të rënies në një interval të caktuar dhe një devijim të caktuar të një ndryshoreje normale të rastësishme.

Kjo çështje ka kohë që është studiuar në detaje dhe metoda më e përdorur është metoda e koordinatave polare, e propozuar nga George Box, Mervyn Muller dhe George Marsaglia në 1958. Kjo metodë ju lejon të merrni një palë variablash të rastësishme të pavarura të shpërndara normalisht me pritshmëri matematikore 0 dhe variancë 1 si më poshtë:

Ku Z 0 dhe Z 1 janë vlerat e dëshiruara, s = u 2 + v 2, dhe u dhe v janë variabla të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (-1, 1), të zgjedhura në atë mënyrë që kushti 0 të plotësohet< s < 1.
Shumë njerëz i përdorin këto formula pa u menduar, dhe shumë as nuk dyshojnë për ekzistencën e tyre, pasi përdorin zbatime të gatshme. Por ka njerëz që kanë pyetje: “Nga lindi kjo formulë? Dhe pse merrni disa sasi në të njëjtën kohë?” Më pas, do të përpiqem t'u jap një përgjigje të qartë këtyre pyetjeve.

Për të filluar, më lejoni t'ju kujtoj se çfarë janë densiteti i probabilitetit, funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dhe funksioni i anasjelltë. Supozoni se ekziston një ndryshore e caktuar e rastësishme, shpërndarja e së cilës përcaktohet nga funksioni i densitetit f(x), i cili ka formën e mëposhtme:

Kjo do të thotë që probabiliteti që vlera e një ndryshoreje të caktuar të rastësishme të jetë në intervalin (A, B) është e barabartë me sipërfaqen e zonës së hijezuar. Dhe si pasojë, sipërfaqja e të gjithë zonës së hijezuar duhet të jetë e barabartë me një, pasi në çdo rast vlera e ndryshores së rastësishme do të bjerë në domenin e përcaktimit të funksionit f.
Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është integrali i funksionit të densitetit. Dhe në këtë rast, pamja e saj e përafërt do të jetë si kjo:

Kuptimi këtu është se vlera e ndryshores së rastësishme do të jetë më e vogël se A me probabilitet B. Dhe si pasojë, funksioni nuk zvogëlohet kurrë dhe vlerat e tij qëndrojnë në interval.

Një funksion i anasjelltë është një funksion që kthen një argument në funksionin origjinal nëse vlera e funksionit origjinal kalon në të. Për shembull, për funksionin x 2, anasjelltas është funksioni i nxjerrjes së rrënjës, për sin(x) është arcsin(x), etj.

Meqenëse shumica e gjeneruesve të numrave pseudorandom prodhojnë vetëm një shpërndarje uniforme si dalje, shpesh ekziston nevoja për ta kthyer atë në një tjetër. Në këtë rast, në Gaussian normal:

Baza e të gjitha metodave për shndërrimin e një shpërndarje uniforme në ndonjë tjetër është metoda e transformimit të anasjelltë. Ajo funksionon si më poshtë. Gjendet një funksion që është i kundërt me funksionin e shpërndarjes së kërkuar dhe një ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin (0, 1) kalohet në të si argument. Në dalje marrim një vlerë me shpërndarjen e kërkuar. Për qartësi, unë jap foton e mëposhtme.

Kështu, një segment uniform, si të thuash, lyhet në përputhje me shpërndarjen e re, i projektuar në një bosht tjetër përmes një funksioni të anasjelltë. Por problemi është se integrali i densitetit të një shpërndarjeje Gaussian nuk është i lehtë për t'u llogaritur, kështu që shkencëtarët e mësipërm duhej të mashtronin.

Ekziston një shpërndarje chi-katrore (shpërndarja Pearson), e cila është shpërndarja e shumës së katrorëve të k variablave normale të rastësishme të pavarura. Dhe në rastin kur k = 2, kjo shpërndarje është eksponenciale.

Kjo do të thotë që nëse një pikë në një sistem koordinativ drejtkëndor ka koordinata të rastësishme X dhe Y të shpërndara normalisht, atëherë pas konvertimit të këtyre koordinatave në sistemin polar (r, θ), katrori i rrezes (distanca nga origjina në pikën) do të shpërndahet sipas ligjit eksponencial, pasi katrori i rrezes është shuma e katrorëve të koordinatave (sipas ligjit të Pitagorës). Dendësia e shpërndarjes së pikave të tilla në aeroplan do të duket kështu:

Meqenëse është i barabartë në të gjitha drejtimet, këndi θ do të ketë një shpërndarje uniforme në intervalin nga 0 në 2π. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse përcaktoni një pikë në sistemin e koordinatave polar duke përdorur dy ndryshore të rastësishme të pavarura (një kënd i shpërndarë në mënyrë uniforme dhe një rreze e shpërndarë në mënyrë eksponenciale), atëherë koordinatat drejtkëndore të kësaj pike do të jenë variabla normale të pavarura të rastit. Dhe është shumë më e lehtë për të marrë një shpërndarje eksponenciale nga një uniforme duke përdorur të njëjtën metodë të transformimit të anasjelltë. Ky është thelbi i metodës polare Box-Muller.
Tani le të nxjerrim formulat.

(1)

Për të marrë r dhe θ, është e nevojshme të gjenerohen dy ndryshore të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (0, 1) (le t'i quajmë u dhe v), shpërndarja e njërës prej të cilave (le të themi v) duhet të shndërrohet në eksponenciale në merrni rrezen. Funksioni i shpërndarjes eksponenciale duket si ky:

Funksioni i tij i anasjelltë është:

Meqenëse shpërndarja uniforme është simetrike, transformimi do të funksionojë në mënyrë të ngjashme me funksionin

Nga formula e shpërndarjes chi-katrore del se λ = 0,5. Zëvendësoni λ, v në këtë funksion dhe merrni katrorin e rrezes, dhe më pas vetë rrezen:

Ne e marrim këndin duke e shtrirë segmentin e njësisë në 2π:

Tani ne zëvendësojmë r dhe θ në formula (1) dhe marrim:

(2)

Këto formula janë tashmë gati për t'u përdorur. X dhe Y do të jenë të pavarura dhe normalisht të shpërndara me një variancë 1 dhe një pritshmëri matematikore 0. Për të përftuar një shpërndarje me karakteristika të tjera, mjafton që rezultati i funksionit të shumëzohet me devijimin standard dhe të shtohet pritshmëria matematikore.
Por është e mundur të shpëtojmë nga funksionet trigonometrike duke specifikuar këndin jo drejtpërdrejt, por indirekt përmes koordinatave drejtkëndore të një pike të rastësishme në rreth. Pastaj, përmes këtyre koordinatave, do të mund të llogaritet gjatësia e vektorit të rrezes, dhe pastaj të gjendet kosinusi dhe sinusi duke pjesëtuar përkatësisht x dhe y me të. Si dhe pse funksionon?
Le të zgjedhim një pikë të rastësishme nga ato të shpërndara në mënyrë uniforme në një rreth me rreze njësi dhe të shënojmë katrorin e gjatësisë së vektorit të rrezes së kësaj pike me shkronjën s:

Zgjedhja bëhet duke specifikuar koordinatat e rastësishme drejtkëndore x dhe y, të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin (-1, 1) dhe duke hedhur poshtë pikat që nuk i përkasin rrethit, si dhe pikën qendrore në të cilën këndi i vektorit të rrezes nuk është përcaktuar. Kjo do të thotë, kushti 0 duhet të plotësohet< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Ne marrim formulat si në fillim të artikullit. Disavantazhi i kësaj metode është se ajo hedh poshtë pikat që nuk përfshihen në rreth. Kjo do të thotë, duke përdorur vetëm 78.5% të variablave të rastit të gjeneruar. Në kompjuterët e vjetër, mungesa e funksioneve të trigonometrisë ishte ende një avantazh i madh. Tani, kur një komandë procesori llogarit sinusin dhe kosinusin në një çast, mendoj se këto metoda mund të konkurrojnë akoma.

Personalisht, kam ende dy pyetje:

• Pse vlera e s shpërndahet në mënyrë të barabartë?
• Pse shuma e katrorëve të dy ndryshoreve normale të rastit shpërndahet në mënyrë eksponenciale?

Meqenëse s është katrori i rrezes (për thjeshtësi, unë e quaj rreze gjatësinë e vektorit të rrezes që specifikon pozicionin e një pike të rastësishme), së pari zbulojmë se si shpërndahen rrezet. Meqenëse rrethi është i mbushur në mënyrë të barabartë, është e qartë se numri i pikave me rreze r është në përpjesëtim me gjatësinë e rrethit me rreze r. Dhe perimetri i një rrethi është në përpjesëtim me rrezen. Kjo do të thotë që dendësia e shpërndarjes së rrezeve rritet në mënyrë uniforme nga qendra e rrethit në skajet e tij. Dhe funksioni i densitetit ka formën f(x) = 2x në intervalin (0, 1). Koeficienti 2 në mënyrë që sipërfaqja e figurës nën grafik të jetë e barabartë me një. Kur kjo dendësi është në katror, ​​ajo bëhet uniforme. Meqenëse teorikisht në këtë rast është e nevojshme të ndahet funksioni i densitetit me derivatin e tij të funksionit të transformimit (d.m.th., x 2). Dhe qartë ndodh kështu:

Nëse bëhet një transformim i ngjashëm për një ndryshore normale të rastësishme, atëherë funksioni i densitetit të katrorit të tij do të rezultojë të jetë i ngjashëm me një hiperbolë. Dhe shtimi i dy katrorëve të ndryshoreve normale të rastit është një proces shumë më kompleks i lidhur me integrimin e dyfishtë. Dhe faktin që rezultati do të jetë një shpërndarje eksponenciale, unë personalisht duhet vetëm ta kontrolloj duke përdorur një metodë praktike ose ta pranoj si aksiomë. Dhe për ata që janë të interesuar, ju sugjeroj që ta shikoni nga afër temën, duke marrë njohuri nga këto libra:

• Ventzel E.S. Teoria e probabilitetit
• Knut D.E. Arti i Programimit, Vëllimi 2

Si përfundim, këtu është një shembull i zbatimit të një gjeneruesi të numrave të rastësishëm të shpërndarë normalisht në JavaScript:

Funksioni Gauss() ( var gati = false; var sekondë = 0.0; this.next = funksion (mesatar, dev) ( mesatar = mesatar == i pacaktuar ? 0.0: mesatare; dev = dev == i pacaktuar ? 1.0: dev; nëse ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) other ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); kjo.e dyta = r * u; kjo. gati = e vërtetë; ktheje r * v * dev + mesatare; ) ) ) g = Gauss i ri (); // krijoni një objekt a = g.next(); // gjeneroni një palë vlerash dhe merrni të parën b = g.next(); // merrni c të dytën = g.next(); // gjeneroni një palë vlerash përsëri dhe merrni të parën
Parametrat mesatare (pritshmëria matematikore) dhe dev (devijimi standard) janë opsionale. Unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se logaritmi është i natyrshëm.