Gjeni shpejtësinë maksimale të rritjes së funksionit. Si të gjeni gradientin e një funksioni

Gradient funksioneështë një madhësi vektoriale, gjetja e së cilës shoqërohet me përcaktimin e derivateve të pjesshme të funksionit. Drejtimi i gradientit tregon rrugën e rritjes më të shpejtë të funksionit nga një pikë e fushës skalare në tjetrën.

Udhëzim

1. Për të zgjidhur problemin e gradientit të një funksioni, përdoren metodat e llogaritjes diferenciale, përkatësisht gjetja e derivateve të pjesshme të rendit të parë në tre ndryshore. Supozohet se vetë funksioni dhe të gjitha derivatet e tij të pjesshme kanë vetinë e vazhdimësisë në domenin e funksionit.

2. Gradienti është një vektor, drejtimi i të cilit tregon drejtimin e rritjes më të shpejtë të funksionit F. Për ta bërë këtë, në grafik zgjidhen dy pika M0 dhe M1, të cilat janë skajet e vektorit. Vlera e gradientit është e barabartë me shpejtësinë e rritjes së funksionit nga pika M0 në pikën M1.

3. Funksioni është i diferencueshëm në të gjitha pikat e këtij vektori, prandaj, projeksionet e vektorit në boshtet koordinative janë të gjitha derivatet e tij të pjesshme. Atëherë formula e gradientit duket kështu: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, ku i, j, k janë koordinatat e vektorit njësi. Me fjalë të tjera, gradienti i një funksioni është një vektor, koordinatat e të cilit janë derivatet e tij të pjesshme grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Shembulli 1. Le të jepet funksioni F = sin (x z?) / y. Kërkohet të gjejë gradientin e tij në pikën (?/6, 1/4, 1).

5. Zgjidhje. Përcaktoni derivatet e pjesshme në lidhje me çdo ndryshore: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zëvendësoni vlerat e njohura të koordinatave të pikës: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Zbatoni formulën e gradientit të funksionit: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Shembulli 2. Gjeni koordinatat e gradientit të funksionit F = y arсtg (z / x) në pikën (1, 2, 1).

9. Zgjidhje. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradienti skalar i fushës është një sasi vektoriale. Kështu, për ta gjetur atë, kërkohet të përcaktohen të gjithë përbërësit e vektorit përkatës, bazuar në njohuritë për ndarjen e fushës skalare.

Udhëzim

1. Lexoni në një tekst shkollor për matematikën e lartë se cili është gradienti i një fushe skalare. Siç e dini, kjo sasi vektoriale ka një drejtim të karakterizuar nga shpejtësia maksimale e zbërthimit të funksionit skalar. Një ndjenjë e tillë e një sasie të caktuar vektoriale justifikohet me një shprehje për përcaktimin e përbërësve të saj.

2. Mos harroni se çdo vektor përcaktohet nga vlerat e përbërësve të tij. Komponentët e vektorit janë në fakt projeksione të këtij vektori në një ose një bosht koordinativ. Kështu, nëse merret parasysh hapësira tredimensionale, atëherë vektori duhet të ketë tre komponentë.

3. Shkruani si përcaktohen përbërësit e një vektori që është gradienti i një fushe. Të gjitha koordinatat e një vektori të tillë janë të barabarta me derivatin e potencialit skalar në lidhje me variablin, koordinata e së cilës llogaritet. Kjo do të thotë, nëse duhet të llogarisni komponentin "x" të vektorit të gradientit të fushës, atëherë duhet të dalloni funksionin skalar në lidhje me ndryshoren "x". Vini re se derivati ​​duhet të jetë herës. Kjo do të thotë që gjatë diferencimit, variablat e mbetur që nuk marrin pjesë në të duhet të konsiderohen konstante.

4. Shkruani një shprehje për fushën skalare. Siç e dini, ky term nënkupton secila vetëm një funksion skalar të disa ndryshoreve, të cilat janë gjithashtu sasi skalare. Numri i variablave të një funksioni skalar është i kufizuar nga dimensioni i hapësirës.

5. Të dallojë veçmas funksionin skalar në lidhje me secilën ndryshore. Si rezultat, do të keni tre funksione të reja. Shkruani ndonjë funksion në shprehjen për vektorin e gradientit të fushës skalare. Secili prej funksioneve të fituara është në të vërtetë një tregues për një vektor njësi të një koordinate të caktuar. Kështu, vektori përfundimtar i gradientit duhet të duket si një polinom me eksponentë si derivate të një funksioni.

Kur shqyrtojmë çështjet që përfshijnë paraqitjen e një gradienti, është më e zakonshme të mendohet secila si një fushë skalare. Prandaj, duhet të prezantojmë shënimin e duhur.

Do t'ju duhet

• - bum;
• - stilolaps.

Udhëzim

1. Le të jepet funksioni me tre argumente u=f(x, y, z). Derivati ​​i pjesshëm i një funksioni, për shembull në lidhje me x, përkufizohet si derivat në lidhje me këtë argument, i marrë duke rregulluar argumentet e mbetura. Pjesa tjetër e argumenteve janë të ngjashme. Shënimi i pjesshëm i derivatit shkruhet si: df / dx \u003d u'x ...

2. Diferenciali total do të jetë i barabartë me du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Derivatet e pjesshëm mund të kuptohen si derivate në drejtimet e boshteve të koordinatave. Rrjedhimisht, lind pyetja e gjetjes së derivatit në lidhje me drejtimin e një vektori të caktuar s në pikën M(x, y, z) (mos harroni se drejtimi s specifikon një vektor njësi-ort s^o). Në këtë rast, vektori diferencial i argumenteve është (dx, dy, dz)=(dscos(alfa), dscos(beta), dscos(gama)).

3. Duke marrë parasysh formën e diferencialit total du, mund të konkludohet se derivati ​​në lidhje me drejtimin s në pikën M është: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alfa) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama). Nëse s= s(sx,sy,sz), atëherë kosinuset e drejtimit (cos(alfa), cos(beta), cos( gama)) llogariten (shih Fig. 1a).

4. Përkufizimi i derivatit në drejtim, duke marrë parasysh pikën M si ndryshore, mund të rishkruhet si produkt me pikë: (du/ds)=((df/dx, df/dy, df/dz), (cos(alfa) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Kjo shprehje do të jetë objektive për një fushë skalare. Nëse marrim parasysh një funksion të lehtë, atëherë gradf është një vektor me koordinata që përkojnë me derivatet e pjesshme f(x, y, z).gradf(x, y, z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Këtu (i, j, k) janë vektorët njësi të boshteve të koordinatave në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor.

5. Nëse përdorim operatorin e vektorit diferencial Hamilton Nabla, atëherë gradf mund të shkruhet si shumëzim i këtij vektori të operatorit me skalarin f (shih Fig. 1b). Nga pikëpamja e lidhjes së gradf-it me derivatin e drejtimit, barazia (gradf, s^o)=0 është e pranueshme nëse këta vektorë janë ortogonalë. Rrjedhimisht, gradf shpesh përkufizohet si drejtimi i metamorfozës më të shpejtë të një fushe skalare. Dhe nga pikëpamja e operacioneve diferenciale (gradf është një prej tyre), vetitë e gradf përsërisin saktësisht vetitë e diferencimit të funksioneve. Në veçanti, nëse f=uv, atëherë gradf=(vgradu+ugradv).

Video të ngjashme

Gradient ky është një mjet që në redaktorët grafikë mbush siluetën me një kalim të qetë të një ngjyre në tjetrën. Gradient mund t'i japë një siluetë rezultatin e volumit, të simulojë ndriçimin, reflektimet e dritës në sipërfaqen e një objekti ose rezultatin e një perëndimi dielli në sfondin e një fotografie. Ky mjet ka një përdorim të gjerë, prandaj, për përpunimin e fotografive ose krijimin e ilustrimeve, është shumë e rëndësishme të mësoni se si ta përdorni atë.

Do t'ju duhet

• Kompjuter, redaktues grafik Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ose të tjera.

Udhëzim

1. Hapni imazhin në program ose bëni një të re. Bëni një siluetë ose zgjidhni zonën e dëshiruar në imazh.

2. Aktivizoni mjetin Gradient në shiritin e veglave të redaktuesit grafik. Vendoseni kursorin e miut në një pikë brenda zonës ose siluetës së zgjedhur, ku do të fillojë ngjyra e parë e gradientit. Klikoni dhe mbani butonin e majtë të miut. Lëvizni kursorin në pikën ku gradienti duhet të kalojë në ngjyrën përfundimtare. Lëshoni butonin e majtë të miut. Silueta e zgjedhur do të mbushet me një mbushje gradient.

3. Gradient y është e mundur të vendosni transparencën, ngjyrat dhe raportin e tyre në një pikë të caktuar mbushjeje. Për ta bërë këtë, hapni dritaren e modifikimit të gradientit. Për të hapur dritaren e redaktimit në Photoshop, klikoni në shembullin e gradientit në panelin Options.

4. Në dritaren që hapet, opsionet e disponueshme të mbushjes së gradientit shfaqen si shembuj. Për të modifikuar një nga opsionet, zgjidhni atë me një klikim të mausit.

5. Një shembull i një gradienti shfaqet në fund të dritares në formën e një shkalle të gjerë me rrëshqitës. Rrëshqitësit tregojnë pikat në të cilat gradienti duhet të ketë renditjet e specifikuara, dhe në intervalin midis rrëshqitësve, ngjyra kalon në mënyrë të barabartë nga ajo e specifikuar në pikën e parë në ngjyrën e pikës së dytë.

6. Rrëshqitësit e vendosur në krye të shkallës vendosin transparencën e gradientit. Për të ndryshuar transparencën, klikoni në rrëshqitësin e dëshiruar. Një fushë do të shfaqet poshtë shkallës, në të cilën futni shkallën e kërkuar të transparencës në përqindje.

7. Rrëshqitësit në fund të shkallës vendosin ngjyrat e gradientit. Duke klikuar në njërën prej tyre, do të mund të preferoni ngjyrën e dëshiruar.

8. Gradient mund të ketë shumë ngjyra tranzicioni. Për të vendosur një ngjyrë tjetër, klikoni në një hapësirë ​​boshe në fund të shkallës. Një tjetër rrëshqitës do të shfaqet në të. Vendosni ngjyrën e dëshiruar për të. Shkalla do të shfaqë një shembull të një gradienti me një pikë më shumë. Ju mund t'i lëvizni rrëshqitësit duke i mbajtur me mbështetjen e butonit të majtë të miut për të arritur kombinimin e dëshiruar.

9. Gradient Ka disa lloje që mund t'i japin formë siluetave të sheshta. Le të themi, për t'i dhënë një rrethi formën e një topi, aplikohet një gradient radial dhe për të dhënë formën e një koni, aplikohet një gradient konik. Një gradient spekular mund të përdoret për t'i dhënë sipërfaqes iluzionin e fryrjes dhe një gradient diamanti mund të përdoret për të krijuar pika kryesore.

Video të ngjashme

Video të ngjashme

Nëse në çdo pikë të hapësirës ose pjesë të hapësirës përcaktohet vlera e një sasie të caktuar, atëherë thuhet se është dhënë fusha e kësaj madhësie. Fusha quhet skalar nëse vlera e konsideruar është skalare, d.m.th. karakterizohet mirë nga vlera e saj numerike. Për shembull, fusha e temperaturës. Fusha skalare jepet nga funksioni skalar i pikës u = /(M). Nëse një sistem koordinativ kartezian futet në hapësirë, atëherë ekziston një funksion i tre ndryshoreve x, yt z - koordinatat e pikës M: Përkufizim. Sipërfaqja e nivelit të një fushe skalare është bashkësia e pikave në të cilat funksioni f(M) merr të njëjtën vlerë. Shembull i ekuacionit të sipërfaqes së nivelit 1. Gjeni sipërfaqet e nivelit të një fushe skalare ANALIZA VEKTORIKE Sipërfaqet skalare të nivelit të fushës dhe vijat e nivelit Derivati ​​i drejtimit Gradienti derivat i një fushe skalare Vetitë bazë të gradientit Përkufizimi i pandryshueshëm i një gradienti Rregullat për llogaritjen e një niveli -4, ekuacioni i sipërfaqes do të jetë. Ky është ekuacioni i një sfere (me Ф 0) me qendër në origjinë. Një fushë skalare quhet e sheshtë nëse fusha është e njëjtë në të gjitha rrafshet paralele me një rrafsh. Nëse rrafshi i specifikuar merret si plani xOy, atëherë funksioni i fushës nuk do të varet nga koordinata z, d.m.th., ai do të jetë një funksion vetëm i argumenteve x dhe y dhe gjithashtu kuptimi. Ekuacioni i vijës së nivelit - Shembulli 2. Gjeni linjat e nivelit të një fushe skalare Vijat e nivelit jepen me ekuacione Në c = 0 marrim një çift drejtëzash, marrim një familje hiperbolash (Fig. 1). 1.1. Derivati ​​me drejtim Le të jetë një fushë skalare e përcaktuar nga një funksion skalar u = /(Af). Le të marrim pikën Afo dhe të zgjedhim drejtimin e përcaktuar nga vektori I. Le të marrim një pikë tjetër M në mënyrë që vektori M0M të jetë paralel me vektorin 1 (Fig. 2). Le të shënojmë gjatësinë e vektorit MoM me A/, dhe shtimin e funksionit /(Af) - /(Afo), që korrespondon me zhvendosjen D1, me Di. Raporti përcakton shpejtësinë mesatare të ndryshimit të fushës skalare për njësi të gjatësisë në drejtimin e dhënë.Tani le të priremi në zero në mënyrë që vektori М0М të mbetet gjatë gjithë kohës paralel me vektorin I. Përkufizimi. Nëse për D/O ekziston një kufi i fundëm i relacionit (5), atëherë ai quhet derivat i funksionit në një pikë të caktuar Afo në drejtimin e dhënë I dhe shënohet me simbolin zr!^. Pra, sipas përkufizimit, ky përkufizim nuk lidhet me zgjedhjen e sistemit koordinativ, domethënë ka një karakter **variant. Le të gjejmë një shprehje për derivatin në lidhje me drejtimin në sistemin koordinativ kartezian. Le të jetë funksioni / i diferencueshëm në një pikë. Konsideroni vlerën /(Af) në një pikë. Pastaj rritja totale e funksionit mund të shkruhet në formën e mëposhtme: ku dhe simbolet nënkuptojnë që derivatet e pjesshme llogariten në pikën Afo. Prandaj këtu sasitë jfi, ^ janë kosinuset e drejtimit të vektorit. Meqenëse vektorët MoM dhe I janë të bashkëdrejtuar, kosinuset e drejtimit të tyre janë të njëjtë: derivatet, janë derivate të funksionit dhe përgjatë drejtimeve të boshteve të koordinatave me nno-në e jashtme Shembulli 3. Gjeni derivatin e funksionit drejt pikës. Vektori ka një gjatësi. Kosinuset e drejtimit të tij: Me formulën (9) do të kemi Fakti që, do të thotë se fusha skalare në një pikë në një drejtim të caktuar të moshës- Për një fushë të sheshtë, derivati ​​në drejtimin I në një pikë llogaritet me formulën. ku a është këndi i formuar nga vektori I me boshtin Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) për llogaritjen e derivatit përgjatë drejtimit I në një pikë të caktuar Afo mbetet në fuqi edhe kur pika M priret në pikën Mo përgjatë një lakore për të cilën vektori I është tangjent në pikën PrISchr 4. Llogarit derivati ​​i fushës skalare në pikën Afo(l, 1). që i përket një parabole në drejtim të kësaj lakore (në drejtim të rritjes së abshisës). Drejtimi ] i një parabole në një pikë është drejtimi i tangjentës me parabolën në këtë pikë (Fig. 3). Tangjentja me parabolën në pikën Afo le të formojë një kënd o me boshtin Ox. Atëherë prej nga vijnë kosinuset e drejtimit të një tangjente Le të llogarisim vlerat dhe në një pikë. Ne kemi Tani me formulën (10) marrim. Gjeni derivatin e fushës skalare në një pikë në drejtim të rrethit Ekuacioni vektorial i rrethit ka formën. Gjejmë vektorin njësi m të tangjentes me rrethin.Pika i përgjigjet vlerës së parametrit. Gradienti i fushës skalare Le të përkufizohet një fushë skalare nga një funksion skalar që supozohet të jetë i diferencueshëm. Përkufizimi. Gradienti i një fushe skalare » në një pikë të caktuar M është një vektor i shënuar me simbolin grad dhe i përcaktuar nga barazia Është e qartë se ky vektor varet si nga funksioni / ashtu edhe nga pika M në të cilën llogaritet derivati ​​i tij. Le të jetë 1 një vektor njësi në drejtimin Atëherë formula për derivatin e drejtimit mund të shkruhet si më poshtë: . pra, derivati ​​i funksionit u përgjatë drejtimit 1 është i barabartë me produktin skalar të gradientit të funksionit u(M) dhe vektorit njësi 1° të drejtimit I. 2.1. Vetitë themelore të Teoremës së gradientit 1. Gradienti skalar i fushës është pingul me sipërfaqen e nivelit (ose me vijën e nivelit nëse fusha është e sheshtë). (2) Le të vizatojmë një sipërfaqe të nivelit u = konst përmes një pike arbitrare M dhe të zgjedhim një kurbë L të lëmuar në këtë sipërfaqe që kalon nëpër pikën M (Fig. 4). Le të jetë I një vektor tangjent ndaj lakores L në pikën M. Meqenëse në sipërfaqen e nivelit u(M) = u(M|) për çdo pikë Mj ∈ L, atëherë nga ana tjetër, = (gradu, 1°) . Kjo është arsyeja pse. Kjo do të thotë se vektorët grad dhe dhe 1° janë ortogonalë. Kështu, grad vektoriku dhe është ortogonal ndaj çdo tangjente të sipërfaqes së nivelit në pikën M. Kështu, është ortogonal me vetë sipërfaqen e nivelit në pikën M. Teorema 2 Gradienti drejtohet në drejtim të rritjes së funksionit të fushës. Më herët vërtetuam se gradienti i fushës skalare është i drejtuar përgjatë sipërfaqes normale në nivel, e cila mund të orientohet ose drejt rritjes së funksionit u(M) ose drejt uljes së tij. Shënoni me n normalen e sipërfaqes së nivelit të orientuar në drejtim të rritjes së funksionit ti(M) dhe gjeni derivatin e funksionit u në drejtim të kësaj normale (Fig. 5). Kemi Që sipas kushtit të figurës 5 dhe për rrjedhojë ANALIZA VEKTORI Fusha skalare Sipërfaqet dhe vijat e nivelit Derivati ​​drejtimor Derivati ​​gradienti skalar i fushës Vetitë themelore të gradientit Përkufizimi i pandryshueshëm i gradientit Rregullat për llogaritjen e gradientit Nga kjo rrjedh se gradimi dhe drejtohet në të njëjtin drejtim me atë që kemi zgjedhur n-në normale, d.m.th., në drejtim të rritjes së funksionit u(M). Teorema 3. Gjatësia e gradientit është e barabartë me derivatin më të madh në lidhje me drejtimin në një pikë të caktuar të fushës, (këtu, max $ merret në të gjitha drejtimet e mundshme në një pikë të caktuar M në pikë). Kemi ku është këndi ndërmjet vektorëve 1 dhe grad n. Meqë vlera më e madhe është Shembulli 1. Gjeni drejtimin e imonionit më të madh të fushës skalare në pikën dhe gjithashtu madhësinë e këtij ndryshimi më të madh në pikën e caktuar. Drejtimi i ndryshimit më të madh në fushën skalare tregohet nga një vektor. Ne kemi kaq Ky vektor përcakton drejtimin e rritjes më të madhe në fushë në një pikë. Vlera e ndryshimit më të madh në fushë në këtë pikë është 2.2. Përkufizimi invariant i gradientit Madhësitë që karakterizojnë vetitë e objektit në studim dhe që nuk varen nga zgjedhja e sistemit të koordinatave quhen invariante të objektit të dhënë. Për shembull, gjatësia e një lakore është një invariant i kësaj lakore, por këndi i tangjentës me lakoren me boshtin x nuk është një invariant. Bazuar në tre vetitë e mësipërme të gradientit të fushës skalare, mund të japim përkufizimin e mëposhtëm invariant të gradientit. Përkufizimi. Gradienti skalar i fushës është një vektor i drejtuar përgjatë sipërfaqes normale në nivel në drejtim të rritjes së funksionit të fushës dhe që ka një gjatësi të barabartë me derivatin më të madh në drejtim (në një pikë të caktuar). Le të jetë një vektor normal njësi i drejtuar në drejtim të fushës në rritje. Pastaj Shembulli 2. Gjeni gradientin e distancës - një pikë fikse, dhe M(x,y,z) - atë aktuale. 4 Kemi ku është vektori i drejtimit të njësisë. Rregullat për llogaritjen e gradientit ku c është një numër konstant. Formulat e mësipërme janë marrë drejtpërdrejt nga përkufizimi i gradientit dhe vetitë e derivateve. Sipas rregullit të diferencimit të produktit Vërtetimi është i ngjashëm me vërtetimin e vetive Le të jetë F(u) një funksion skalar i diferencueshëm. Pastaj 4 Nga përkufizimi i gradientit, ne kemi Aplikoni për të gjithë termat në anën e djathtë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks. Në veçanti, Formula (6) vijon nga rrafshi i formulës në dy pika fikse të këtij plani. Konsideroni një elips arbitrare me vatra Fj dhe F] dhe provoni se çdo rreze drite që del nga një fokus i elipsës, pas reflektimit nga elipsi, hyn në fokusin tjetër të saj. Vijat e nivelit të funksionit (7) janë ANALIZA VEKTORI Fusha skalare Sipërfaqet dhe vijat e nivelit Derivati ​​drejtimor Derivati ​​gradienti skalar i fushës Vetitë themelore të gradientit Përkufizimi invariant i gradientit Rregullat e llogaritjes së gradientit Ekuacionet (8) përshkruajnë një familje elipsësh me vatra në pika F) dhe Fj. Sipas rezultatit të shembullit 2, kemi dhe vektorët e rrezes. tërhequr në pikën P(x, y) nga vatra F| dhe Fj, dhe kështu shtrihet në përgjysmuesin e këndit ndërmjet këtyre vektorëve të rrezes (Fig. 6). Sipas Tooromo 1, gradienti PQ është pingul me elipsin (8) në pikë. Prandaj, Fig.6. normalja me elipsin (8) në çdo pikë të përgjysmon këndin ndërmjet vektorëve të rrezes të tërhequr në këtë pikë. Nga këtu dhe nga fakti që këndi i rënies është i barabartë me këndin e reflektimit, marrim: një rreze drite që del nga një fokus i elipsit, e reflektuar prej saj, me siguri do të bjerë në fokusin tjetër të kësaj elipse.