Si të llogarisni sipërfaqen e një paralelepipedi. Sipërfaqja anësore e piramidave të ndryshme

Kur përgatiten për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, studentët duhet të sistemojnë njohuritë e tyre për algjebrën dhe gjeometrinë. Unë do të doja të kombinoja të gjitha informacionet e njohura, për shembull, se si të llogarisni sipërfaqen e një piramide. Për më tepër, duke filluar nga baza dhe skajet anësore deri në të gjithë sipërfaqen. Nëse situata me faqet anësore është e qartë, pasi ato janë trekëndësha, atëherë baza është gjithmonë e ndryshme.

Si të gjeni sipërfaqen e bazës së piramidës?

Mund të jetë absolutisht çdo figurë: nga një trekëndësh arbitrar në një n-gon. Dhe kjo bazë, përveç ndryshimit në numrin e këndeve, mund të jetë një figurë e rregullt ose e parregullt. Në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit që u interesojnë nxënësve të shkollës, në bazë ka vetëm detyra me shifra të sakta. Prandaj, ne do të flasim vetëm për to.

Trekëndësh i rregullt

Domethënë barabrinjës. Ai në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe përcaktohen me shkronjën "a". Në këtë rast, sipërfaqja e bazës së piramidës llogaritet me formulën:

S = (a 2 * √3) / 4.

Sheshi

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së saj është më e thjeshta, këtu "a" është përsëri ana:

N-gon i rregullt arbitrar

Ana e një shumëkëndëshi ka të njëjtin shënim. Për numrin e këndeve përdoret shkronja latine n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Çfarë duhet bërë kur llogaritet sipërfaqja anësore dhe totale?

Meqenëse baza është një figurë e rregullt, të gjitha fytyrat e piramidës janë të barabarta. Për më tepër, secila prej tyre është një trekëndësh izosceles, pasi skajet anësore janë të barabarta. Pastaj, për të llogaritur zonën anësore të piramidës, do t'ju duhet një formulë e përbërë nga shuma e monomëve identikë. Numri i termave përcaktohet nga numri i anëve të bazës.

Sipërfaqja e një trekëndëshi dykëndësh llogaritet me formulën në të cilën gjysma e produktit të bazës shumëzohet me lartësinë. Kjo lartësi në piramidë quhet apotemë. Emërtimi i tij është "A". Formula e përgjithshme për sipërfaqen anësore është:

S = ½ P*A, ku P është perimetri i bazës së piramidës.

Ka situata kur anët e bazës nuk dihen, por jepen skajet anësore (c) dhe këndi i sheshtë në kulmin e saj (α). Pastaj ju duhet të përdorni formulën e mëposhtme për të llogaritur zonën anësore të piramidës:

S = n/2 * në 2 sin α .

Detyra nr. 1

gjendja. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës nëse baza e saj ka një anë 4 cm dhe apotema ka vlerën √3 cm.

Zgjidhje. Ju duhet të filloni duke llogaritur perimetrin e bazës. Meqenëse ky është një trekëndësh i rregullt, atëherë P = 3*4 = 12 cm. Meqenëse apotema dihet, mund të llogarisim menjëherë sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes anësore: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Për trekëndëshin në bazë, ju merrni vlerën e mëposhtme të zonës: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Për të përcaktuar të gjithë zonën, do t'ju duhet të shtoni dy vlerat që rezultojnë: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Përgjigju. 10√3 cm 2.

Problemi nr. 2

gjendja. Ekziston një piramidë e rregullt katërkëndore. Gjatësia e anës së bazës është 7 mm, buza anësore është 16 mm. Është e nevojshme të zbulohet sipërfaqja e saj.

Zgjidhje. Meqenëse poliedri është katërkëndor dhe i rregullt, baza e tij është një katror. Pasi të dini sipërfaqen e bazës dhe faqeve anësore, do të jeni në gjendje të llogarisni sipërfaqen e piramidës. Formula për katrorin është dhënë më sipër. Dhe për faqet anësore, të gjitha anët e trekëndëshit janë të njohura. Prandaj, mund të përdorni formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqet e tyre.

Llogaritjet e para janë të thjeshta dhe çojnë në numrin e mëposhtëm: 49 mm 2. Për vlerën e dytë, do t'ju duhet të llogarisni gjysmë-perimetrin: (7 + 16*2): 2 = 19.5 mm. Tani mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Ekzistojnë vetëm katër trekëndësha të tillë, kështu që kur llogaritni numrin përfundimtar do t'ju duhet ta shumëzoni atë me 4.

Rezulton: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Përgjigju. Vlera e dëshiruar është 267.576 mm 2.

Problemi nr. 3

gjendja. Për një piramidë të rregullt katërkëndore, duhet të llogaritni sipërfaqen. Brinja e katrorit dihet të jetë 6 cm dhe lartësia është 4 cm.

Zgjidhje. Mënyra më e lehtë është përdorimi i formulës me produktin e perimetrit dhe apotemës. Vlera e parë është e lehtë për t'u gjetur. E dyta është pak më e ndërlikuar.

Ne do të duhet të kujtojmë teoremën e Pitagorës dhe të konsiderojmë se ajo është formuar nga lartësia e piramidës dhe apotema, e cila është hipotenuza. Këmba e dytë është e barabartë me gjysmën e anës së katrorit, pasi lartësia e poliedrit bie në mes të tij.

Apotema e kërkuar (hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë) është e barabartë me √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Tani mund të llogarisni vlerën e kërkuar: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Përgjigju. 96 cm 2.

Problemi nr. 4

gjendja. Jepet faqja e sakte, faqet e bazes se saj jane 22 mm, faqet anesore jane 61 mm. Sa është sipërfaqja anësore e këtij poliedri?

Zgjidhje. Arsyetimi në të është i njëjtë me atë të përshkruar në detyrën nr. 2. Vetëm aty iu dha një piramidë me një katror në bazë, dhe tani ajo është një gjashtëkëndësh.

Para së gjithash, sipërfaqja bazë llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Tani ju duhet të zbuloni gjysmë-perimetrin e një trekëndëshi izosceles, që është faqja anësore. (22+61*2): 2 = 72 cm. Gjithçka që mbetet është të përdorim formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqen e secilit trekëndësh të tillë dhe më pas ta shumëzojmë me gjashtë dhe t'ia shtojmë asaj që është marrë për bazën.

Llogaritjet duke përdorur formulën e Heronit: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Llogaritjet që do të japin sipërfaqen anësore: 660 * 6 = 3960 cm 2. Mbetet t'i mbledhim për të gjetur të gjithë sipërfaqen: 5217,47≈5217 cm 2.

Përgjigju. Baza është 726√3 cm 2, sipërfaqja anësore është 3960 cm 2, e gjithë sipërfaqja është 5217 cm 2.

Cilindri është një figurë e përbërë nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë të vendosur paralelisht. Llogaritja e sipërfaqes së një cilindri është një problem në degën gjeometrike të matematikës, i cili mund të zgjidhet mjaft thjesht. Ka disa metoda për zgjidhjen e tij, të cilat në fund gjithmonë zbresin në një formulë.

Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri - rregullat e llogaritjes

• Për të zbuluar zonën e cilindrit, duhet të shtoni dy zonat e bazës me sipërfaqen e sipërfaqes anësore: S = Side + 2Sbase. Në një version më të detajuar, kjo formulë duket kështu: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Sipërfaqja anësore e një trupi të caktuar gjeometrik mund të llogaritet nëse dihet lartësia e tij dhe rrezja e rrethit që shtrihet në bazën e tij. Në këtë rast, ju mund të shprehni rrezen nga perimetri, nëse jepet. Lartësia mund të gjendet nëse vlera e gjeneratorit është e specifikuar në kusht. Në këtë rast, gjenerata do të jetë e barabartë me lartësinë. Formula për sipërfaqen anësore të këtij trupi duket kështu: S= 2 π rh.
• Sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi: S osn= π r 2. Në disa probleme mund të mos jepet rrezja, por mund të jepet perimetri. Me këtë formulë, rrezja shprehet mjaft lehtë. С=2π r, r= С/2π. Ju gjithashtu duhet të mbani mend se rrezja është gjysma e diametrit.
• Gjatë kryerjes së të gjitha këtyre llogaritjeve, numri π zakonisht nuk përkthehet në 3,14159... Thjesht duhet të shtohet pranë vlerës numerike që është marrë si rezultat i llogaritjeve.
• Tjetra, ju vetëm duhet të shumëzoni zonën e gjetur të bazës me 2 dhe të shtoni në numrin që rezulton zonën e llogaritur të sipërfaqes anësore të figurës.
• Nëse problemi tregon se cilindri ka një seksion boshtor dhe se është një drejtkëndësh, atëherë zgjidhja do të jetë paksa e ndryshme. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit do të jetë diametri i rrethit që shtrihet në bazën e trupit. Gjatësia e figurës do të jetë e barabartë me gjeneratën ose lartësinë e cilindrit. Është e nevojshme të llogariten vlerat e kërkuara dhe t'i zëvendësojnë ato në formulën e njohur tashmë. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit duhet të ndahet me dy për të gjetur zonën e bazës. Për të gjetur sipërfaqen anësore, gjatësia shumëzohet me dy rreze dhe numrin π.
• Ju mund të llogarisni sipërfaqen e një trupi të caktuar gjeometrik përmes vëllimit të tij. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni vlerën që mungon nga formula V=π r 2 h.
• Nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen e sipërfaqes së një cilindri. Thjesht duhet të dini formulat dhe të jeni në gjendje të nxirrni prej tyre sasitë e nevojshme për të kryer llogaritjet.

Sipërfaqja e piramidës. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet me piramidat e rregullta. Më lejoni t'ju kujtoj se një piramidë e rregullt është një piramidë, baza e së cilës është një shumëkëndësh i rregullt, maja e piramidës është projektuar në qendër të këtij shumëkëndëshi.

Faqja anësore e një piramide të tillë është një trekëndësh dykëndësh.Lartësia e këtij trekëndëshi i nxjerrë nga kulmi i një piramide të rregullt quhet apotemë, SF - apotemë:

Në llojin e problemit të paraqitur më poshtë, duhet të gjeni sipërfaqen e të gjithë piramidës ose sipërfaqen e sipërfaqes së saj anësore. Blogu ka diskutuar tashmë disa probleme me piramidat e rregullta, ku pyetja ishte për gjetjen e elementeve (lartësia, skaji i bazës, skaji anësor).

Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit zakonisht shqyrtojnë piramidat e rregullta trekëndore, katërkëndore dhe gjashtëkëndore. Unë nuk kam parë ndonjë problem me piramidat e rregullta pesëkëndëshe dhe shtatëkëndore.

Formula për sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes është e thjeshtë - ju duhet të gjeni shumën e sipërfaqes së bazës së piramidës dhe sipërfaqes së sipërfaqes së saj anësore:

Le të shqyrtojmë detyrat:

Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë 72, skajet anësore janë 164. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.

Sipërfaqja e piramidës është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të sipërfaqes anësore dhe bazës:

*Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër trekëndësha me sipërfaqe të barabartë. Baza e piramidës është një katror.

Ne mund të llogarisim sipërfaqen e anës së piramidës duke përdorur:

Kështu, sipërfaqja e piramidës është:

Përgjigje: 28224

Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 22, skajet anësore janë të barabarta me 61. Gjeni sipërfaqen anësore të kësaj piramide.

Baza e një piramide të rregullt gjashtëkëndore është një gjashtëkëndësh i rregullt.

Sipërfaqja anësore e kësaj piramide përbëhet nga gjashtë zona me trekëndësha të barabartë me brinjë 61,61 dhe 22:

Le të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit duke përdorur formulën e Heronit:

Kështu, sipërfaqja anësore është:

Përgjigje: 3240

*Në problemet e paraqitura më sipër, zona e faqes anësore mund të gjendet duke përdorur një formulë tjetër trekëndëshi, por për këtë ju duhet të llogaritni apotemën.

27155. Gjeni sipërfaqen e një piramide të rregullt katërkëndore, anët e bazës së së cilës janë 6 dhe lartësia e së cilës është 4.

Për të gjetur sipërfaqen e piramidës, duhet të dimë sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqen e sipërfaqes anësore:

Sipërfaqja e bazës është 36 pasi është një katror me anën 6.

Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër faqe, të cilat janë trekëndësha të barabartë. Për të gjetur zonën e një trekëndëshi të tillë, duhet të dini bazën dhe lartësinë e tij (apotem):

*Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e prodhimit të bazës dhe lartësisë së tërhequr në këtë bazë.

Baza dihet, është e barabartë me gjashtë. Le të gjejmë lartësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë (të theksuar me të verdhë):

Njëra këmbë është e barabartë me 4, pasi kjo është lartësia e piramidës, tjetra është e barabartë me 3, pasi është e barabartë me gjysmën e skajit të bazës. Ne mund ta gjejmë hipotenuzën duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Pra, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është:

Kështu, sipërfaqja e të gjithë piramidës është:

Përgjigje: 96

27069. Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.

27070. Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen anësore të kësaj piramide.

Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në një piramidë të rregullt, baza është një projeksion ortogonal i sipërfaqes anësore, prandaj:

P- perimetri i bazës, l- apotema e piramidës

*Kjo formulë bazohet në formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi.

Nëse dëshironi të mësoni më shumë se si rrjedhin këto formula, mos e humbisni, ndiqni publikimin e artikujve.Kjo eshte e gjitha. Paç fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Cilindri është një trup gjeometrik i kufizuar nga dy rrafshe paralele dhe një sipërfaqe cilindrike. Në artikull do të flasim se si të gjejmë sipërfaqen e një cilindri dhe, duke përdorur formulën, do të zgjidhim disa probleme si shembull.

Një cilindër ka tre sipërfaqe: një sipërfaqe të sipërme, një bazë dhe një sipërfaqe anësore.

Pjesa e sipërme dhe baza e një cilindri janë rrathë dhe janë të lehtë për t'u identifikuar.

Dihet që sipërfaqja e një rrethi është e barabartë me πr 2. Prandaj, formula për sipërfaqen e dy rrathëve (maja dhe baza e cilindrit) do të jetë πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Sipërfaqja e tretë, anësore e cilindrit, është muri i lakuar i cilindrit. Për ta imagjinuar më mirë këtë sipërfaqe, le të përpiqemi ta transformojmë atë për të marrë një formë të dallueshme. Imagjinoni që cilindri është një kanaçe e zakonshme që nuk ka kapak të sipërm ose fund. Le të bëjmë një prerje vertikale në murin anësor nga lart në fund të kanaçes (Hapi 1 në figurë) dhe të përpiqemi të hapim (drejtojmë) figurën që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur (Hapi 2).

Pasi kavanoza që rezulton të jetë hapur plotësisht, do të shohim një figurë të njohur (Hapi 3), ky është një drejtkëndësh. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e lehtë për t'u llogaritur. Por para kësaj, le të kthehemi për një moment në cilindrin origjinal. Kulmi i cilindrit origjinal është një rreth, dhe ne e dimë se perimetri llogaritet me formulën: L = 2πr. Në figurë është shënuar me të kuqe.

Kur muri anësor i cilindrit hapet plotësisht, shohim se perimetri bëhet gjatësia e drejtkëndëshit që rezulton. Brinjët e këtij drejtkëndëshi do të jenë perimetri (L = 2πr) dhe lartësia e cilindrit (h). Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij - S = gjatësia x gjerësia = L x h = 2πr x h = 2πrh. Si rezultat, morëm një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së sipërfaqes anësore të cilindrit.

Formula për sipërfaqen anësore të një cilindri
Ana S = 2πrh

Sipërfaqja totale e një cilindri

Në fund, nëse shtojmë sipërfaqen e të tre sipërfaqeve, marrim formulën për sipërfaqen totale të një cilindri. Sipërfaqja e një cilindri është e barabartë me sipërfaqen e pjesës së sipërme të cilindrit + sipërfaqen e bazës së cilindrit + sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit ose S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ndonjëherë kjo shprehje shkruhet identike me formulën 2πr (r + h).

Formula për sipërfaqen totale të një cilindri
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – rrezja e cilindrit, h – lartësia e cilindrit

Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri

Për të kuptuar formulat e mësipërme, le të përpiqemi të llogarisim sipërfaqen e një cilindri duke përdorur shembuj.

1. Rrezja e bazës së cilindrit është 2, lartësia është 3. Përcaktoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit.

Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: ana S. = 2πrh

Ana S = 2 * 3.14 * 2 * 3

Ana S = 6,28 * 6

Ana S = 37,68

Sipërfaqja anësore e cilindrit është 37.68.

2. Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri nëse lartësia është 4 dhe rrezja është 6?

Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

është një figurë shumëplanëshe, baza e së cilës është një shumëkëndësh dhe faqet e mbetura përfaqësohen me trekëndësha me një kulm të përbashkët.

Nëse baza është një katror, ​​atëherë piramida quhet katërkëndëshe, nëse një trekëndësh - atëherë trekëndëshi. Lartësia e piramidës është tërhequr nga maja e saj pingul me bazën. Përdoret gjithashtu për të llogaritur sipërfaqen apotemë– lartësia e faqes anësore, e ulur nga maja e saj.
Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide është shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore, të cilat janë të barabarta me njëra-tjetrën. Megjithatë, kjo metodë e llogaritjes përdoret shumë rrallë. Në thelb, zona e piramidës llogaritet përmes perimetrit të bazës dhe apotemës:

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një piramide.

Le të jepet një piramidë me bazën ABCDE dhe majën F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Le të gjejmë perimetrin. Meqenëse të gjitha skajet e bazës janë të barabarta, perimetri i pesëkëndëshit do të jetë i barabartë me:
Tani mund të gjeni zonën anësore të piramidës:

Zona e një piramide të rregullt trekëndore

Një piramidë e rregullt trekëndore përbëhet nga një bazë në të cilën shtrihet një trekëndësh i rregullt dhe tre faqe anësore që janë të barabarta në sipërfaqe.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt trekëndore mund të llogaritet në mënyra të ndryshme. Ju mund të aplikoni formulën e zakonshme të llogaritjes duke përdorur perimetrin dhe apotemën, ose mund të gjeni sipërfaqen e një fytyre dhe ta shumëzoni atë me tre. Meqenëse faqja e një piramide është një trekëndësh, ne aplikojmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi. Do të kërkojë një apotemë dhe gjatësinë e bazës. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore.

Jepet një piramidë me apotemë a = 4 cm dhe faqe bazë b = 2 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Së pari, gjeni zonën e njërës nga fytyrat anësore. Në këtë rast do të jetë:
Zëvendësoni vlerat në formulën:
Meqenëse në një piramidë të rregullt të gjitha anët janë të njëjta, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës do të jetë e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tre fytyrave. Përkatësisht:

Zona e një piramide të cunguar

E cunguar Një piramidë është një shumëfaqësh që formohet nga një piramidë dhe seksioni i saj kryq paralel me bazën.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shumë e thjeshtë. Sipërfaqja është e barabartë me prodhimin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës: