Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë me koeficientë konstante. Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë dhe të rendit të lartë

Shpesh vetëm një përmendje ekuacionet diferenciale i bën nxënësit të ndihen jo rehat. Pse po ndodh kjo? Më shpesh, sepse kur studiohen bazat e materialit, lind një hendek në njohuri, për shkak të të cilit studimi i mëtejshëm i difurs bëhet thjesht torturë. Nuk është e qartë se çfarë të bëni, si të vendosni, ku të filloni?

Megjithatë, ne do të përpiqemi t'ju tregojmë se difurat nuk janë aq të vështira sa duket.

Konceptet bazë të teorisë së ekuacioneve diferenciale

Nga shkolla i njohim ekuacionet më të thjeshta në të cilat duhet të gjejmë të panjohurën x. Në fakt ekuacionet diferenciale vetëm paksa e ndryshme prej tyre - në vend të një ndryshoreje X ju duhet të gjeni një funksion në to y(x) , e cila do ta kthejë ekuacionin në një identitet.

D ekuacionet diferenciale kanë një rëndësi të madhe praktike. Kjo nuk është matematikë abstrakte që nuk ka asnjë lidhje me botën përreth nesh. Shumë procese reale natyrore përshkruhen duke përdorur ekuacione diferenciale. Për shembull, dridhjet e një vargu, lëvizja e një oshilatori harmonik, duke përdorur ekuacione diferenciale në problemet e mekanikës, gjejnë shpejtësinë dhe nxitimin e një trupi. Gjithashtu DU përdoren gjerësisht në biologji, kimi, ekonomi dhe shumë shkenca të tjera.

Ekuacioni diferencial (DU) është një ekuacion që përmban derivate të funksionit y(x), vetë funksionin, variabla të pavarur dhe parametra të tjerë në kombinime të ndryshme.

Ka shumë lloje ekuacionesh diferenciale: ekuacione diferenciale të zakonshme, lineare dhe jolineare, homogjene dhe johomogjene, ekuacione diferenciale të rendit të parë dhe më të lartë, ekuacione diferenciale të pjesshme etj.

Zgjidhja e një ekuacioni diferencial është një funksion që e kthen atë në një identitet. Ekzistojnë zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta të telekomandës.

Një zgjidhje e përgjithshme për një ekuacion diferencial është një grup i përgjithshëm zgjidhjesh që e shndërrojnë ekuacionin në një identitet. Një zgjidhje e pjesshme e një ekuacioni diferencial është një zgjidhje që plotëson kushtet shtesë të specifikuara fillimisht.

Rendi i një ekuacioni diferencial përcaktohet nga rendi më i lartë i derivateve të tij.

Ekuacionet diferenciale të zakonshme

Ekuacionet diferenciale të zakonshme janë ekuacione që përmbajnë një ndryshore të pavarur.

Le të shqyrtojmë ekuacionin diferencial më të thjeshtë të zakonshëm të rendit të parë. Ajo duket si:

Një ekuacion i tillë mund të zgjidhet thjesht duke integruar anën e djathtë të tij.

Shembuj të ekuacioneve të tilla:

Ekuacione të ndashme

Në përgjithësi, ky lloj ekuacioni duket si ky:

Ja një shembull:

Kur zgjidhni një ekuacion të tillë, duhet të ndani variablat, duke e sjellë atë në formën:

Pas kësaj, mbetet për të integruar të dy pjesët dhe për të marrë një zgjidhje.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë

Ekuacione të tilla duken si:

Këtu p(x) dhe q(x) janë disa funksione të ndryshores së pavarur, dhe y=y(x) është funksioni i dëshiruar. Këtu është një shembull i një ekuacioni të tillë:

Kur zgjidhin një ekuacion të tillë, më së shpeshti përdorin metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare ose paraqesin funksionin e dëshiruar si produkt i dy funksioneve të tjera y(x)=u(x)v(x).

Për të zgjidhur ekuacione të tilla, kërkohet një përgatitje e caktuar dhe do të jetë mjaft e vështirë t'i marrësh ato "me një shikim".

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial me ndryshore të ndashme

Pra, ne shikuam llojet më të thjeshta të telekomandës. Tani le të shohim zgjidhjen për njërën prej tyre. Le të jetë ky një ekuacion me ndryshore të ndashme.

Së pari, le të rishkruajmë derivatin në një formë më të njohur:

Pastaj i ndajmë variablat, domethënë, në njërën pjesë të ekuacionit mbledhim të gjitha "Unë", dhe në tjetrën - "X":

Tani mbetet për të integruar të dyja pjesët:

Ne integrojmë dhe marrim një zgjidhje të përgjithshme për këtë ekuacion:

Sigurisht, zgjidhja e ekuacioneve diferenciale është një lloj arti. Ju duhet të jeni në gjendje të kuptoni se çfarë lloj ekuacioni është, dhe gjithashtu të mësoni të shihni se çfarë transformimesh duhet të bëhen me të në mënyrë që të çoni në një formë ose në një tjetër, për të mos përmendur vetëm aftësinë për të diferencuar dhe integruar. Dhe për të pasur sukses në zgjidhjen e DE, ju duhet praktikë (si në çdo gjë). Dhe nëse aktualisht nuk keni kohë për të kuptuar se si zgjidhen ekuacionet diferenciale ose problemi Cauchy ju ka ngecur si një kockë në fyt, ose nuk e dini, kontaktoni autorët tanë. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ofrojmë një zgjidhje të gatshme dhe të detajuar, detajet e së cilës mund t'i kuptoni në çdo kohë të përshtatshme për ju. Ndërkohë, ju sugjerojmë të shikoni një video me temën "Si të zgjidhim ekuacionet diferenciale":

Teoria e informatikës ekuacionet diferenciale johomogjene(DU) nuk do të jepet në këtë botim; nga mësimet e mëparshme mund të gjeni informacion të mjaftueshëm për të gjetur përgjigjen e pyetjes "Si të zgjidhim një ekuacion diferencial johomogjen?" Shkalla e DE johomogjene nuk luan një rol të madh këtu; nuk ka shumë metoda që lejojnë që dikush të llogarisë zgjidhjen e DE të tilla. Për ta bërë më të lehtë për ju leximin e përgjigjeve në shembuj, theksi kryesor vihet vetëm në metodën e llogaritjes dhe këshillat që do të lehtësojnë nxjerrjen e funksionit përfundimtar.

Shembulli 1. Zgjidhja e ekuacionit diferencial
Zgjidhja: E dhënë ekuacioni diferencial homogjen i rendit të tretë, Për më tepër, ai përmban vetëm derivatin e dytë dhe të tretë dhe nuk ka funksion dhe derivatin e tij të parë. Në raste të tilla aplikoni metodën e uljes së gradës ekuacioni diferencial. Për ta bërë këtë, futni një parametër - le të shënojmë derivatin e dytë përmes parametrit p

atëherë derivati ​​i tretë i funksionit është i barabartë me

DE origjinale homogjene do të thjeshtohet në formë

Ne e shkruajmë atë në diferenciale, atëherë reduktohet në një ekuacion variabël të ndarë dhe gjeni zgjidhjen me integrim

Mos harroni se parametri është derivati ​​i dytë i funksionit

prandaj, për të gjetur formulën për vetë funksionin, integrojmë dy herë varësinë diferenciale të gjetur

Në funksion, vlerat C 1 , C 2 , C 3 janë të barabarta me vlera arbitrare.
Ja sa e thjeshtë duket skema: Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të një ekuacioni diferencial homogjen duke futur një parametër. Problemet e mëposhtme janë më komplekse dhe prej tyre do të mësoni të zgjidhni ekuacione diferenciale johomogjene të rendit të tretë. Ekziston një ndryshim midis sistemeve të kontrollit homogjen dhe heterogjen për sa i përket llogaritjeve, siç do ta shihni tani.

Shembulli 2. Gjej
Zgjidhja: Kemi rendin e tretë. Prandaj, zgjidhja e tij duhet të kërkohet në formën e një shume prej dy - një zgjidhje për një ekuacion homogjen dhe një zgjidhje të veçantë për një ekuacion johomogjen.

Le të vendosim së pari

Siç mund ta shihni, ai përmban vetëm derivatet e dytë dhe të tretë të funksionit dhe nuk përmban vetë funksionin. Ky lloj ndryshim. ekuacionet zgjidhen duke futur një parametër, i cili në nga ana tjetër, zvogëlon dhe thjeshton gjetjen e një zgjidhjeje për ekuacionin. Në praktikë, duket kështu: le të jetë derivati ​​i dytë i barabartë me një funksion të caktuar, atëherë derivati ​​i tretë do të ketë zyrtarisht shënimin

Ekuacioni diferencial homogjen i konsideruar i rendit të tretë shndërrohet në ekuacionin e rendit të parë

nga ku, duke i ndarë variablat, gjejmë integralin
x*dp-p*dx=0;

Ne rekomandojmë numërimin e formulave në probleme të tilla, pasi zgjidhja e një ekuacioni diferencial të rendit të tretë ka 3 konstante, një rendit të katërt ka 4 konstante, e kështu me radhë sipas analogjisë. Tani kthehemi te parametri i paraqitur: meqenëse derivati ​​i dytë ka formën, atëherë duke e integruar atë pasi të kemi një varësi për derivatin e funksionit

dhe me integrim të përsëritur gjejmë forma e përgjithshme e një funksioni homogjen

Zgjidhja e pjesshme e ekuacionit Le ta shkruajmë si një ndryshore të shumëzuar me një logaritëm. Kjo rrjedh nga fakti se pjesa e djathtë (johomogjene) e DE është e barabartë me -1/x dhe për të marrë një shënim ekuivalent

zgjidhja duhet kërkuar në formë

Le të gjejmë koeficientin A, për këtë llogarisim derivatet e rendit të parë dhe të dytë

Le të zëvendësojmë shprehjet e gjetura në ekuacionin diferencial origjinal dhe të barazojmë koeficientët me të njëjtat fuqi të x:

Vlera e çelikut është e barabartë me -1/2, dhe ka formën

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial shkruani atë si shumën e gjetur

ku C 1, C 2, C 3 janë konstante arbitrare që mund të rafinohen duke përdorur problemin Cauchy.

Shembulli 3. Gjeni integralin e rendit të tretë DE
Zgjidhja: Ne po kërkojmë integralin e përgjithshëm të një ekuacioni diferencial johomogjen të rendit të tretë në formën e shumës së zgjidhjeve të një ekuacioni homogjen dhe të pjesshëm johomogjen. Së pari, për çdo lloj ekuacioni fillojmë analizojnë ekuacionin diferencial homogjen

Ai përmban vetëm derivatet e dytë dhe të tretë të funksionit të panjohur aktualisht. Ne prezantojmë një ndryshim të ndryshoreve (parametrit): shënojmë me derivatin e dytë

Atëherë derivati ​​i tretë është i barabartë me

Të njëjtat transformime u kryen në detyrën e mëparshme. Kjo lejon zvogëloni një ekuacion diferencial të rendit të tretë në një ekuacion të rendit të parë të formës

Nga integrimi gjejmë

Kujtojmë se, në përputhje me ndryshimin e variablave, ky është vetëm derivati ​​i dytë

dhe për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion homogjen diferencial të rendit të tretë, ai duhet të integrohet dy herë

Bazuar në llojin e anës së djathtë (pjesa jo uniforme =x+1), Ne kërkojmë një zgjidhje të pjesshme të ekuacionit në formë

Si të dini se në çfarë forme të kërkoni një zgjidhje të pjesshme Duhet të keni mësuar në pjesën teorike të lëndës mbi ekuacionet diferenciale. Nëse jo, atëherë ne mund të sugjerojmë vetëm që një shprehje të zgjidhet për funksionin në mënyrë që, kur zëvendësohet në ekuacion, termi që përmban derivatin më të lartë ose më të ri është i të njëjtit rend (i ngjashëm) me pjesën johomogjene të ekuacionit.

Unë mendoj se tani është më e qartë për ju se nga vjen lloji i zgjidhjes private. Le të gjejmë koeficientët A, B, për këtë llogarisim derivatin e dytë dhe të tretë të funksionit

dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin diferencial. Pas grupimit të termave të ngjashëm, marrim ekuacionin linear

nga e cila, për të njëjtat fuqi të ndryshores përpiloni një sistem ekuacionesh

dhe gjeni çeliqe të panjohura. Pas zevendesimit te tyre shprehet me varesine

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencialështë e barabartë me shumën e homogjenit dhe të pjesshëm dhe ka formën

ku C 1, C 2, C 3 janë konstante arbitrare.

Shembulli 4. P zgjidhni ekuacionin diferencial
Zgjidhja: Kemi një zgjidhje të cilën do ta gjejmë përmes shumës . Ju e dini skemën e llogaritjes, kështu që le të vazhdojmë të shqyrtojmë ekuacioni diferencial homogjen

Sipas metodës standarde futni parametrin
Ekuacioni origjinal diferencial do të marrë formën, nga ku, duke ndarë variablat, gjejmë

Mos harroni se parametri është i barabartë me derivatin e dytë
Duke integruar DE-në marrim derivatin e parë të funksionit

Me integrim të përsëritur gjeni integralin e përgjithshëm të një ekuacioni diferencial homogjen

Ne kërkojmë një zgjidhje të pjesshme të ekuacionit në formë, meqenëse ana e djathtë është e barabartë
Le të gjejmë koeficientin A - për ta bërë këtë, zëvendësojmë y* në ekuacionin diferencial dhe barazojmë koeficientin me të njëjtat fuqi të ndryshores

Pas zëvendësimit dhe grupimit të termave fitojmë varësinë

prej të cilave çeliku është i barabartë me A=8/3.
Kështu, ne mund të shkruajmë zgjidhje e pjesshme e DE

Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial e barabartë me shumën e atyre të gjetura

ku C 1, C 2, C 3 janë konstante arbitrare. Nëse jepet kushti Cauchy, atëherë mund t'i përkufizojmë shumë lehtë.

Unë besoj se materiali do të jetë i dobishëm për ju kur përgatiteni për klasa praktike, module ose teste. Problemi Cauchy nuk u diskutua këtu, por nga mësimet e mëparshme ju përgjithësisht dini si ta bëni atë.

Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë

Terminologjia bazë e ekuacioneve diferenciale të rendit më të lartë (DEHE).

Një ekuacion i formës , ku n >1 (2)

quhet ekuacion diferencial i rendit më të lartë, d.m.th. n- urdhri.

Zona e përkufizimit të DU, n e rendit ka një rajon .

Në këtë kurs, do të merren parasysh llojet e mëposhtme të sistemeve të kontrollit:

Problemi Cauchy DU VP:

Le të jepet telekomanda,
dhe kushtet fillestare n/a: numrat .

Ju duhet të gjeni një funksion të vazhdueshëm dhe n herë të diferencueshëm
:

1)
është një zgjidhje për DE-në e dhënë në , d.m.th.
;

2) plotëson kushtet fillestare të dhëna: .

Për një DE të rendit të dytë, interpretimi gjeometrik i zgjidhjes së problemit është si më poshtë: kërkohet një kurbë integrale që kalon përmes pikës (x 0 , y 0 ) dhe tangjent në një vijë të drejtë me një koeficient këndor k = y 0 ́ .

Teorema e ekzistencës dhe unike(zgjidhje për problemin Cauchy për DE (2)):

Nëse 1)
e vazhdueshme (në total (n+1) argumentet) në zonë
; 2)
e vazhdueshme (mbi tërësinë e argumenteve
) në , atëherë ! zgjidhja e problemit Cauchy për DE, duke plotësuar kushtet fillestare të dhëna n/a: .

Rajoni quhet rajoni i veçantisë së DE.

Zgjidhje e përgjithshme e telekomandës VP (2) – n -parametrike funksioni,
, Ku
- konstante arbitrare, që plotësojnë kërkesat e mëposhtme:

1)

– zgjidhje e DE (2) në ;

2) n/a nga zona e unike!
:
plotëson kushtet e dhëna fillestare.

Koment.

Shiko marrëdhënien
, e cila përcakton në mënyrë implicite zgjidhjen e përgjithshme të DE (2) quhet integral i përgjithshëm DU.

Zgjidhje private DE (2) fitohet nga zgjidhja e përgjithshme e tij për një vlerë specifike .

Integrimi i telekomandës VP.

Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë, si rregull, nuk mund të zgjidhen me metoda të sakta analitike.

Le të identifikojmë një lloj të caktuar DUVP që lejon reduktime sipas rendit dhe mund të reduktohet në kuadratura. Le të listojmë këto lloj ekuacionesh dhe metoda për reduktimin e renditjes së tyre.

VP DU që lejojnë reduktimet e porosive

		Metoda e reduktimit të porosisë
	Sistemi i kontrollit është i paplotë, nuk përmban . Për shembull,	etj. Pas n Integrimi i shumëfishtë jep një zgjidhje të përgjithshme për DE.
	Ekuacioni është i paplotë; qartësisht nuk përmban funksionin e kërkuar edhe ajo derivatet e para. Për shembull,	Zëvendësimi ul rendin e ekuacionit me k njësive.
	Ekuacion jo i plotë; qartësisht nuk përmban asnjë argument funksionin e dëshiruar. Për shembull,	Zëvendësimi rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
	Ekuacioni është në derivate të sakta; mund të jetë i plotë ose i paplotë. Një ekuacion i tillë mund të shndërrohet në formën (*) ́= (*)́, ku ana e djathtë dhe e majtë e ekuacionit janë derivate të saktë të disa funksioneve.	Integrimi i anës së djathtë dhe të majtë të ekuacionit mbi argument ul rendin e ekuacionit me një.
		Zëvendësimi ul rendin e ekuacionit me një.

Përkufizimi i një funksioni homogjen:

Funksioni
quhet homogjen në variabla
, Nëse


në çdo pikë të fushës së përcaktimit të funksionit
;

– rendi i homogjenitetit.

Për shembull, është një funksion homogjen i rendit të dytë në lidhje me
, d.m.th. .

Shembulli 1:

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të telekomandës
.

DE e rendit të tretë, e paplotë, nuk përmban në mënyrë eksplicite
. Ne e integrojmë në mënyrë sekuenciale ekuacionin tre herë.

,

– zgjidhje e përgjithshme e telekomandës.

Shembulli 2:

Zgjidh problemin Cauchy për telekomandën
në

.

DE e rendit të dytë, e paplotë, nuk përmban në mënyrë eksplicite .

Zëvendësimi
dhe derivati ​​i tij
do të ulë me një rendin e telekomandës.

. Ne morëm një DE të rendit të parë - ekuacionin e Bernulit. Për të zgjidhur këtë ekuacion ne përdorim zëvendësimin e Bernoulli:

,

dhe futeni në ekuacion.

Në këtë fazë, ne zgjidhim problemin Cauchy për ekuacionin
:
.

– ekuacioni i rendit të parë me ndryshore të ndashme.

Ne zëvendësojmë kushtet fillestare në barazinë e fundit:

Përgjigje:
është një zgjidhje për problemin Cauchy që plotëson kushtet fillestare.

Shembulli 3:

Zgjidh DE.

– DE e rendit të dytë, e paplotë, nuk përmban në mënyrë eksplicite variablin , dhe për këtë arsye lejon që rendi të reduktohet me një duke përdorur zëvendësimin ose
.

Ne marrim ekuacionin
(le
).

– DE i rendit të parë me variabla ndarës. Le t'i ndajmë ato.

– integrali i përgjithshëm i DE.

Shembulli 4:

Zgjidh DE.

Ekuacioni
ka një ekuacion në derivatet e sakta. Vërtet,
.

Le të integrojmë anën e majtë dhe të djathtë në lidhje me , d.m.th.
ose . Ne morëm një DE të rendit të parë me ndryshore të ndashme, d.m.th.
– integrali i përgjithshëm i DE.

Shembulli 5:

Zgjidh problemin Cauchy për
në .

DE i rendit të 4-të, i paplotë, nuk përmban në mënyrë eksplicite
. Duke vënë re se ky ekuacion është në derivate të sakta, marrim
ose
,
. Le të zëvendësojmë kushtet fillestare në këtë ekuacion:
. Le të marrim një telekomandë
Rendi i tretë i llojit të parë (shih tabelën). Le ta integrojmë tre herë, dhe pas çdo integrimi do të zëvendësojmë kushtet fillestare në ekuacion:

Përgjigje:
- zgjidhja e problemit Cauchy të DE origjinale.

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin.

– DE e rendit të dytë, e plotë, përmban homogjenitet në lidhje me
. Zëvendësimi
do të ulë rendin e ekuacionit. Për ta bërë këtë, le të reduktojmë ekuacionin në formë
, duke i ndarë të dyja anët e ekuacionit origjinal me . Dhe dalloni funksionin fq:

.

Le të zëvendësojmë
Dhe
në telekomandë:
. Ky është një ekuacion i rendit të parë me variabla të ndashëm.

Duke pasur parasysh atë
, marrim telekomandë ose
– zgjidhje e përgjithshme e DE origjinale.

Teoria e ekuacioneve diferenciale lineare të rendit më të lartë.

Terminologjia bazë.

– NLDU rend, ku janë funksionet e vazhdueshme në një interval të caktuar.

Quhet intervali i vazhdimësisë së telekomandës (3).

Le të prezantojmë një operator diferencial (të kushtëzuar) të rendit të th

Kur vepron në funksion, marrim

Kjo është, ana e majtë e një ekuacioni diferencial linear të rendit të th.

Si rezultat, LDE mund të shkruhet

Vetitë lineare të operatorit
:

1) – veti e aditivitetit

2)
– numri – vetia e homogjenitetit

Vetitë verifikohen lehtësisht, pasi derivatet e këtyre funksioneve kanë veti të ngjashme (një shumë e fundme derivatesh është e barabartë me shumën e një numri të fundmë derivatesh; faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit).

Se.
– operator linear.

Le të shqyrtojmë çështjen e ekzistencës dhe unike të një zgjidhjeje për problemin Cauchy për LDE
.

Le të zgjidhim LDE në lidhje me
: ,
, – intervali i vazhdimësisë.

Funksioni i vazhdueshëm në domenin, derivatet
të vazhdueshme në zonë

Rrjedhimisht, rajoni i unike në të cilin problemi Cauchy LDE (3) ka një zgjidhje unike dhe varet vetëm nga zgjedhja e pikës
, të gjitha vlerat e tjera të argumentit
funksione
mund të merret në mënyrë arbitrare.

Teoria e përgjithshme e OLDE.

– intervali i vazhdimësisë.

Karakteristikat kryesore të zgjidhjeve OLDE:

1. Vetia e aditivitetit

(
– zgjidhje e OLDE (4) në )
(
– zgjidhje e OLDE (4) në ).

Dëshmi:

– zgjidhje e OLDE (4) në

– zgjidhje e OLDE (4) në

Pastaj

2. Veti e homogjenitetit

( – zgjidhje e OLDE (4) në ) (
(- fusha numerike))

– zgjidhje për OLDE (4) në .

Prova është e ngjashme.

Vetitë e aditivitetit dhe homogjenitetit quhen veti lineare të OLDE (4).

Pasoja:

(
– zgjidhje për OLDE (4) në )(

– zgjidhje e OLDE (4) në ).

3. ( – zgjidhje me vlerë komplekse të OLDE (4) në )(
janë zgjidhje me vlerë reale të OLDE (4) në ).

Dëshmi:

Nëse është një zgjidhje për OLDE (4) në , atëherë kur zëvendësohet në ekuacion ai e kthen atë në një identitet, d.m.th.
.

Për shkak të linearitetit të operatorit, ana e majtë e barazisë së fundit mund të shkruhet si më poshtë:
.

Kjo do të thotë se, d.m.th., janë zgjidhje me vlerë reale të OLDE (4) në .

Karakteristikat e mëvonshme të zgjidhjeve për OLDE lidhen me konceptin " varësia lineare”.

Përcaktimi i varësisë lineare të një sistemi të fundëm funksionesh

Një sistem funksionesh thuhet se është i varur në mënyrë lineare nëse ka jo e parëndësishme grup numrash
të tillë që kombinimi linear
funksione
me këta numra është identikisht i barabartë me zero në , d.m.th.
.n e cila është e pasaktë. Teorema është e vërtetuar.diferenciale ekuacionetmë të lartaurdhërat e madhësisë(4 ore...

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë dhe të rendit të lartë.
Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.
Shembuj zgjidhjesh.

Le të kalojmë në shqyrtimin e ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë dhe ekuacioneve diferenciale të rendit të lartë. Nëse keni një ide të paqartë se çfarë është një ekuacion diferencial (ose nuk e kuptoni fare se çfarë është), atëherë ju rekomandoj të filloni me mësimin Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Shembuj zgjidhjesh. Shumë parime zgjidhjeje dhe koncepte bazë të difuzioneve të rendit të parë shtrihen automatikisht në ekuacione diferenciale të rendit më të lartë, prandaj është shumë e rëndësishme që fillimisht të kuptohen ekuacionet e rendit të parë.

Shumë lexues mund të kenë një paragjykim se telekomanda e porosive 2, 3 dhe të tjera është diçka shumë e vështirë dhe e paarritshme për t'u zotëruar. Kjo eshte e gabuar . Të mësuarit për të zgjidhur difuzionet e rendit më të lartë është vështirë se është më e vështirë se DE "të zakonshme" të rendit të parë. Dhe në disa vende është edhe më e thjeshtë, pasi zgjidhjet përdorin në mënyrë aktive materiale nga programi shkollor.

Më popullorja ekuacionet diferenciale të rendit të dytë. Në një ekuacion diferencial të rendit të dytë Domosdoshmërisht përfshin derivatin e dytë dhe nuk përfshihen

Duhet të theksohet se disa nga foshnjat (dhe madje të gjitha menjëherë) mund të mungojnë në ekuacion; është e rëndësishme që babai të jetë në shtëpi. Ekuacioni diferencial më primitiv i rendit të dytë duket kështu:

Ekuacionet diferenciale të rendit të tretë në detyrat praktike janë shumë më pak të zakonshme; sipas vëzhgimeve të mia subjektive, ato do të merrnin rreth 3-4% të votave në Dumën e Shtetit.

Në një ekuacion diferencial të rendit të tretë Domosdoshmërisht përfshin derivatin e tretë dhe nuk përfshihen derivatet e rendit më të lartë:

Ekuacioni më i thjeshtë diferencial i rendit të tretë duket kështu: - babai është në shtëpi, të gjithë fëmijët janë jashtë për shëtitje.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përcaktoni ekuacionet diferenciale të rendit 4, 5 dhe më të lartë. Në problemet praktike, sisteme të tilla kontrolli rrallë dështojnë, megjithatë, unë do të përpiqem të jap shembuj përkatës.

Ekuacionet diferenciale të rendit të lartë, të cilat propozohen në problemet praktike, mund të ndahen në dy grupe kryesore.

1) Grupi i parë - i ashtuquajturi ekuacionet që mund të reduktohen sipas radhës. Eja!

2) Grupi i dytë - ekuacionet lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante. Të cilat do të fillojmë ta shikojmë tani.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë
me koeficientë konstante

Në teori dhe praktikë, dallohen dy lloje të ekuacioneve të tilla: ekuacioni homogjen Dhe ekuacioni johomogjen.

DE homogjene e rendit të dytë me koeficientë konstante ka formën e mëposhtme:
, ku dhe janë konstante (numra), dhe në anën e djathtë - në mënyrë rigoroze zero.

Siç mund ta shihni, nuk ka vështirësi të veçanta me ekuacionet homogjene, gjëja kryesore është të zgjidhë saktë ekuacionin kuadratik.

Ndonjëherë ka ekuacione homogjene jo standarde, për shembull një ekuacion në formë , ku në derivatin e dytë ka disa konstante të ndryshme nga uniteti (dhe, natyrisht, të ndryshme nga zero). Algoritmi i zgjidhjes nuk ndryshon fare; duhet të hartoni me qetësi një ekuacion karakteristik dhe të gjeni rrënjët e tij. Nëse ekuacioni karakteristik do të ketë dy rrënjë të ndryshme reale, për shembull: , atëherë zgjidhja e përgjithshme do të shkruhet sipas skemës së zakonshme: .

Në disa raste, për shkak të një gabimi shtypi në gjendje, mund të rezultojnë rrënjë "të këqija", diçka e tillë . Çfarë të bëni, përgjigja do të duhet të shkruhet si kjo:

Me rrënjë komplekse të konjuguara "të këqija" si nuk ka as problem, zgjidhje e përgjithshme:

Kjo eshte, gjithsesi ka një zgjidhje të përgjithshme. Sepse çdo ekuacion kuadratik ka dy rrënjë.

Në paragrafin e fundit, siç premtova, do të shqyrtojmë shkurtimisht:

Ekuacione lineare homogjene të rendit më të lartë

Gjithçka është shumë, shumë e ngjashme.

Një ekuacion linear homogjen i rendit të tretë ka formën e mëposhtme:
, ku janë konstantet.
Për këtë ekuacion, ju gjithashtu duhet të krijoni një ekuacion karakteristik dhe të gjeni rrënjët e tij. Ekuacioni karakteristik, siç kanë menduar shumë, duket kështu:
, dhe ate Gjithsesi Ajo ka saktësisht tre rrënjë

Le të jenë, për shembull, të gjitha rrënjët reale dhe të dallueshme: , atëherë zgjidhja e përgjithshme do të shkruhet si më poshtë:

Nëse njëra rrënjë është reale dhe dy të tjerat janë komplekse të konjuguara, atëherë zgjidhjen e përgjithshme e shkruajmë si më poshtë:

Një rast i veçantë kur të tre rrënjët janë shumëfishe (të njëjta). Le të shqyrtojmë DE më të thjeshtë homogjene të rendit të 3-të me një baba të vetmuar: . Ekuacioni karakteristik ka tre rrënjë zero që përputhen. Ne shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme si më poshtë:

Nëse ekuacioni karakteristik ka, për shembull, tre rrënjë të shumta, atëherë zgjidhja e përgjithshme, në përputhje me rrethanat, është si më poshtë:

Shembulli 9

Zgjidh një ekuacion diferencial homogjen të rendit të tretë

Zgjidhja: Le të hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik:

, – fitohet një rrënjë reale dhe dy rrënjë komplekse të konjuguara.

Përgjigje: vendim të përbashkët

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë një ekuacion homogjen linear të rendit të katërt me koeficientë konstante: , ku janë konstante.