Shembuj të zgjidhjes së problemeve të sistemeve të radhës. Smo me dështime përkufizimesh dhe formulash

Shembuj të zgjidhjes së problemeve të sistemeve të radhës

Ju duhet të zgjidhni problemet 1-3. Të dhënat fillestare janë dhënë në tabelë. 2–4.

Disa shënime të përdorura në teorinë e radhës për formulat:

n – numri i kanaleve në QS;

λ – intensiteti i fluksit hyrës të kërkesave P në;

v – intensiteti i fluksit dalës të kërkesave P jashtë;

μ – intensiteti i fluksit të shërbimit P ob;

ρ – treguesi i ngarkesës së sistemit (trafiku);

m – numri maksimal i vendeve në radhë, duke kufizuar gjatësinë e radhës së aplikimeve;

i – numri i burimeve të aplikimit;

p k – probabiliteti i gjendjes kth të sistemit;

p o – probabiliteti i papunësisë së të gjithë sistemit, d.m.th. probabiliteti që të gjitha kanalet të jenë të lira;

p syst – probabiliteti i pranimit të një aplikacioni në sistem;

p refuzoj – probabiliteti i refuzimit të një aplikimi për t'u pranuar në sistem;

p ob – probabiliteti që aplikacioni të shërbehet;

A është kapaciteti absolut i sistemit;

Q – kapaciteti relativ i sistemit;

Och – numri mesatar i aplikacioneve në radhë;

Rreth – numri mesatar i kërkesave në shërbim;

Syst – numri mesatar i aplikacioneve në sistem;

Och – koha mesatare e pritjes për një aplikacion në radhë;

Rreth – koha mesatare për servisimin e një aplikacioni, që lidhet vetëm me aplikacionet e servisuara;

Sys është koha mesatare që një aplikacion qëndron në sistem;

Ож – kufizimi mesatar i kohës së pritjes për një aplikacion në radhë;

– numri mesatar i kanaleve të zëna.

Produkti absolut i QS A është numri mesatar i kërkesave që sistemi mund të shërbejë për njësi të kohës.

Kapaciteti relativ i QS Q është raporti i numrit mesatar të aplikacioneve të shërbyera nga sistemi për njësi kohore me numrin mesatar të aplikacioneve të marra gjatë kësaj kohe.

Kur zgjidhni problemet e radhës, duhet t'i përmbaheni sekuencës së mëposhtme:

1) përcaktimi i llojit të QS sipas tabelës. 4.1;

2) përzgjedhja e formulave në përputhje me llojin e QS;

3) zgjidhja e problemeve;

4) formulimi i përfundimeve mbi problemin.

1. Skema e vdekjes dhe riprodhimit. Ne e dimë se, duke pasur parasysh një grafik të gjendjes së emërtuar, ne mund të shkruajmë lehtësisht ekuacionet e Kolmogorovit për probabilitetet e gjendjes, dhe gjithashtu të shkruajmë dhe zgjidhim ekuacionet algjebrike për probabilitetet përfundimtare. Për disa raste ekuacionet e fundit janë të mundshme

vendos paraprakisht, në formë letre. Në veçanti, kjo mund të bëhet nëse grafiku i gjendjes së sistemit është një e ashtuquajtur "skema e vdekjes dhe riprodhimit".

Grafiku i gjendjes për skemën e vdekjes dhe riprodhimit ka formën e treguar në Fig. 19.1. E veçanta e këtij grafiku është se të gjitha gjendjet e sistemit mund të tërhiqen në një zinxhir, në të cilin secili prej gjendjeve mesatare ( S 1 , S 2 ,…,S n-1) lidhet me një shigjetë të drejtpërdrejtë dhe të kundërt me secilin nga shtetet fqinje - djathtas dhe majtas, dhe shtetet ekstreme (S 0 , S n) - vetëm me një shtet fqinj. Termi "skema e vdekjes dhe riprodhimit" e ka origjinën nga problemet biologjike, ku një skemë e ngjashme përshkruan ndryshimet në madhësinë e popullsisë.

Skema e vdekjes dhe riprodhimit gjendet shumë shpesh në probleme të ndryshme praktike, veçanërisht në teorinë e radhës, kështu që është e dobishme, njëherë e përgjithmonë, të gjenden probabilitetet përfundimtare të gjendjeve për të.

Le të supozojmë se të gjitha rrjedhat e ngjarjeve që transferojnë sistemin përgjatë shigjetave të grafikut janë më të thjeshtat (për shkurtësi, ne do ta quajmë gjithashtu sistemin S dhe proceset që ndodhin në të janë më të thjeshtat).

Duke përdorur grafikun në Fig. 19.1, do të hartojmë dhe zgjidhim ekuacione algjebrike për probabilitetet përfundimtare të gjendjes), ekzistenca rrjedh nga fakti se nga çdo gjendje mund të shkohet tek njëri-tjetri, në një numër të kufizuar gjendjesh). Për shtetin e parë S 0 kemi:

(19.1)

Për shtetin e dytë S1:

Në bazë të (19.1), barazia e fundit reduktohet në formë

Ku k pranon të gjitha vlerat nga 0 në P. Pra, probabilitetet përfundimtare p 0 , f 1 ,..., p n plotësojnë ekuacionet

(19.2)

përveç kësaj, është e nevojshme të merret parasysh gjendja e normalizimit

fq 0 + fq 1 + fq 2 +…+ fq n =1. (19.3)

Le të zgjidhim këtë sistem ekuacionesh. Nga ekuacioni i parë (19.2) shprehim fq 1 përmes R 0 :

fq 1 = fq 0. (19.4)

Nga e dyta, duke marrë parasysh (19.4), marrim:

(19.5)

Nga e treta, duke marrë parasysh (19.5),

(19.6)

dhe në përgjithësi, për këdo k(nga 1 në n):

(19.7)

Le t'i kushtojmë vëmendje formulës (19.7). Numëruesi është prodhimi i të gjitha intensiteteve që qëndrojnë pranë shigjetave që çojnë nga e majta në të djathtë (nga fillimi në gjendjen e dhënë S k), dhe në emërues - produkti i të gjitha intensiteteve që qëndrojnë në shigjetat që çojnë nga e djathta në të majtë (nga fillimi në S k).

Kështu, të gjitha probabilitetet shtetërore R 0 , fq 1 , ..., р n e shprehur nepermjet njeres prej tyre ( R 0). Le t'i zëvendësojmë këto shprehje në kushtin e normalizimit (19.3). Marrim, duke e nxjerrë nga kllapa R 0:

prej këtu marrim shprehjen për R 0 :

(e ngritëm kllapin në fuqinë -1 për të mos shkruar thyesat dykatëshe). Të gjitha probabilitetet e tjera shprehen përmes R 0 (shih formulat (19.4) - (19.7)). Vini re se koeficientët për R 0 në secilën prej tyre nuk janë gjë tjetër veçse terma të njëpasnjëshëm të serisë pas një në formulë (19.8). Pra, duke llogaritur R 0 , ne i kemi gjetur tashmë të gjithë këta koeficientë.

Formulat që rezultojnë janë shumë të dobishme në zgjidhjen e problemeve më të thjeshta të teorisë së radhës.

^ 2. Formula e Little. Tani do të nxjerrim një formulë të rëndësishme që lidhet (për mënyrën kufizuese, stacionare) numrin mesatar të aplikacioneve L sistemet e vendosura në sistemin e radhës (d.m.th., duke u shërbyer ose duke qëndruar në një radhë), dhe koha mesatare që një kërkesë qëndron në sistem W sistem.

Le të shqyrtojmë çdo QS (me një kanal, shumëkanal, Markov, jo Markov, me një radhë të pakufizuar ose të kufizuar) dhe dy flukse ngjarjesh që lidhen me të: rrjedhën e kërkesave që vijnë në QS dhe rrjedhën e kërkesave që largohen QS. Nëse në sistem është vendosur një modalitet kufizues, i palëvizshëm, atëherë numri mesatar i aplikacioneve që arrijnë në QS për njësi të kohës është i barabartë me numrin mesatar të aplikacioneve që largohen prej tij: të dy rrjedhat kanë të njëjtin intensitet λ.

Le të shënojmë: X(t) - numri i aplikimeve që kanë mbërritur në QS deri në këtë moment t. Y(t) - numri i aplikacioneve që u larguan nga CMO

deri në momentin t. Të dy funksionet janë të rastësishme dhe ndryshojnë papritur (rriten me një) kur mbërrijnë porositë (X(t)) dhe tërheqjet e aplikacioneve (Y(t)). Lloji i funksioneve X(t) dhe Y(t) treguar në Fig. 19.2; të dyja linjat janë të shkallëzuara, ajo e sipërme është X (t), më e ulët - Y(t). Natyrisht, për çdo moment t dallimin e tyre Z(t)= X(t) - Y(t) nuk është asgjë më shumë se numri i aplikimeve në ZKM. Kur linjat X(t) Dhe Y(t) janë bashkuar, nuk ka aplikacione në sistem.

Konsideroni një periudhë shumë të gjatë kohore T(duke vazhduar mendërisht grafikun përtej vizatimit) dhe llogaritni për të numrin mesatar të aplikimeve në QS. Do të jetë e barabartë me integralin e funksionit Z(t) në këtë interval pjesëtuar me gjatësinë e intervalit T:

L sistem. = . (19.9) o

Por ky integral nuk është asgjë më shumë se zona e figurës së hijezuar në Fig. 19.2. Le ta shohim mirë këtë vizatim. Figura përbëhet nga drejtkëndësha, secili prej të cilëve ka një lartësi të barabartë me një dhe një bazë të barabartë me kohën që ka kaluar kërkesa përkatëse (e para, e dyta, etj.) në sistem. Le të caktojmë këto kohë t 1, t 2, ... Vërtetë, në fund të intervalit T disa drejtkëndësha do të hyjnë në figurën e hijezuar jo plotësisht, por pjesërisht, por me një mjaft të madhe T këto gjëra të vogla nuk do të kenë rëndësi. Kështu, mund të supozojmë se

(19.10)

ku shuma vlen për të gjitha aplikimet e marra gjatë kohës T.

Ndani anët e djathta dhe të majta (.19.10) me gjatësinë e intervalit T. Ne marrim, duke marrë parasysh (19.9),

L sistem. = . (19.11)

Pjesëtoni dhe shumëzoni anën e djathtë të (19.11) me intensitetin X:

L sistem. = .

Por madhësia Tλ nuk është asgjë më shumë se numri mesatar i aplikimeve të pranuara me kalimin e kohës ^ T. Nëse pjesëtojmë shumën e të gjitha kohërave t i nga numri mesatar i aplikacioneve, marrim kohën mesatare që një aplikacion mbetet në sistem W sistem. Kështu që,

L sistem. = λ W sistem. ,

W sistem. = . (19.12)

Kjo është formula e mrekullueshme e Little: për çdo QS, për çdo natyrë të rrjedhës së kërkesave, për çdo shpërndarje të kohës së shërbimit, për çdo disiplinë shërbimi koha mesatare e qëndrimit të një aplikacioni në sistem është e barabartë me numrin mesatar të aplikacioneve në sistem pjesëtuar me intensitetin e rrjedhës së aplikimit.

Në të njëjtën mënyrë, është nxjerrë formula e dytë e Little, duke lidhur kohën mesatare që një aplikacion qëndron në radhë ^W shume mire dhe numri mesatar i aplikacioneve në radhë L pikë:

W och = . (19.13)

Për dalje është e mjaftueshme në vend të vijës fundore në Fig. 19.2 merr funksionin U(t)- numri i aplikacioneve të mbetura më parë t jo nga sistemi, por nga radha (nëse një aplikacion që vjen në sistem nuk futet në radhë, por hyn menjëherë në shërbim, prapë mund të supozojmë se ai futet në radhë, por kalon zero kohë në të).

Formulat e Little (19.12) dhe (19.13) luajnë një rol të madh në teorinë e radhës. Fatkeqësisht, në shumicën e manualeve ekzistuese këto formula (të vërtetuara në formë të përgjithshme relativisht kohët e fundit) nuk janë dhënë 1).

§ 20. Sistemet më të thjeshta të radhës dhe karakteristikat e tyre

Në këtë seksion do të shikojmë disa nga QS-të më të thjeshta dhe do të nxjerrim shprehje për karakteristikat e tyre (treguesit e performancës). Në të njëjtën kohë, ne do të demonstrojmë teknikat kryesore metodologjike karakteristike të teorisë elementare, "Markov" të radhës. Ne nuk do të ndjekim numrin e mostrave QS për të cilat do të nxirren shprehjet përfundimtare të karakteristikave; Ky libër nuk është një libër referimi mbi teorinë e radhës (ky rol përmbushet shumë më mirë nga manuale të veçanta). Qëllimi ynë është t'i prezantojmë lexuesit disa "mashtrime të vogla" që e bëjnë më të lehtë rrugën përmes teorisë së radhës, e cila në një numër librash ekzistues (madje edhe të pretenduar se janë të njohur) mund të duket si një grup shembujsh jokoherent.

Në këtë seksion, ne do t'i konsiderojmë të gjitha rrjedhat e ngjarjeve që transferojnë QS nga një shtet në tjetrin si më të thjeshtat (pa përcaktuar në mënyrë specifike këtë çdo herë). Midis tyre do të jetë i ashtuquajturi "fluks shërbimi". Ai i referohet rrjedhës së kërkesave të shërbyera nga një kanal vazhdimisht i zënë. Në këtë rrjedhë, intervali midis ngjarjeve, si gjithmonë në rrjedhën më të thjeshtë, ka një shpërndarje eksponenciale (në shumë manuale thonë në vend të kësaj: "koha e shërbimit është eksponenciale"; ne vetë do ta përdorim këtë term në të ardhmen).

1) Në një libër popullor, jepet një derivim paksa i ndryshëm i formulës së Little, krahasuar me sa më sipër. Në përgjithësi, njohja me këtë libër (“Biseda e dytë”) është e dobishme për një njohje fillestare me teorinë e radhës.

Në këtë seksion, shpërndarja eksponenciale e kohës së shërbimit do të jetë e vetëkuptueshme, si gjithmonë për sistemin "më të thjeshtë".

Ne do të prezantojmë karakteristikat e performancës së QS në shqyrtim ndërsa vazhdojmë.

^ 1. P-Sistemi i radhës së kanaleve me dështime(Problemi Erlang). Këtu do të shqyrtojmë një nga problemet e para, "klasike" të teorisë së radhës;

ky problem lindi nga nevojat praktike të telefonisë dhe u zgjidh në fillim të këtij shekulli nga matematikani danez Erlant. Problemi shprehet si më poshtë: ka P kanale (linja komunikimi) që marrin një fluks kërkesash me intensitet λ. Rrjedha e shërbimit ka një intensitet μ (reciprociteti i kohës mesatare të shërbimit t rreth). Gjeni probabilitetet përfundimtare të gjendjeve QS, si dhe karakteristikat e efektivitetit të tij:

^A - xhiros absolute, d.m.th. numri mesatar i aplikacioneve të shërbyera për njësi të kohës;

Q- xhiros relative, d.m.th. përqindja mesatare e aplikacioneve hyrëse të shërbyera nga sistemi;

^ P hapur- probabiliteti i refuzimit, d.m.th., që aplikacioni të lërë QS pa shërbim;

k- numri mesatar i kanaleve të zëna.

Zgjidhje. Gjendjet e sistemit ^S(SMO) do të numërohet sipas numrit të kërkesave në sistem (në këtë rast përkon me numrin e kanaleve të zëna):

S 0 - nuk ka asnjë aplikim të vetëm në CMO,

S 1 - ka një kërkesë në QS (një kanal është i zënë, pjesa tjetër janë falas),

S k - ndodhet në SMO k aplikacione ( k kanalet janë të zëna, pjesa tjetër janë falas),

S n - ndodhet në SMO P aplikacionet (të gjitha n kanalet janë të zëna).

Grafiku i gjendjes së SMO korrespondon me modelin e vdekjes gjatë riprodhimit (Fig. 20.1). Le ta shënojmë këtë grafik - shënojmë intensitetin e rrjedhave të ngjarjeve pranë shigjetave. Nga S 0 in S 1 sistemi transferohet nga një fluks kërkesash me intensitet λ (sapo të arrijë një kërkesë, sistemi hidhet nga S 0 V S 1). Përkthehet e njëjta rrjedhë e aplikacioneve

Sistemi nga çdo gjendje e majtë në atë fqinje djathtas (shih shigjetat e sipërme në Fig. 20.1).

Le të vendosim intensitetet në shigjetat e poshtme. Le të jetë sistemi në shtet ^S 1 (funksionon një kanal). Ai prodhon μ shërbim për njësi të kohës. Vendoseni në shigjetën S 1 →S 0 intensiteti μ. Tani imagjinoni që sistemi është në gjendje S 2(punojnë dy kanale). Që ajo të mund të shkojë S1,është e nevojshme që kanali i parë ose i dyti të përfundojë shërbimin; intensiteti total i flukseve të shërbimit të tyre është 2μ; E vendosim pranë shigjetës përkatëse. Fluksi total i shërbimit të ofruar nga të tre kanalet ka një intensitet prej 3μ, k kanale - km. Ne i shënojmë këto intensitete në shigjetat e poshtme në Fig. 20.1.

Dhe tani, duke ditur të gjitha intensitetet, do të përdorim formula të gatshme (19.7), (19.8) për probabilitetet përfundimtare në skemën e vdekjes dhe riprodhimit. Duke përdorur formulën (19.8) marrim:

Kushtet e zgjerimit do të jenë koeficientët për p 0 në shprehjet për f 1

Vini re se në formulat (20.1), (20.2) intensitetet λ dhe μ nuk përfshihen veçmas, por vetëm në formën e raportit λ/μ. Le të shënojmë

λ/μ = ρ (20.3)

Dhe ne do ta quajmë vlerën p "intensiteti i reduktuar i rrjedhës së aplikacioneve". Kuptimi i tij është numri mesatar i kërkesave të pranuara gjatë kohës mesatare të shërbimit të një kërkese. Duke përdorur këtë shënim, ne rishkruajmë formulat (20.1), (20.2) në formën:

Formulat (20.4), (20.5) për probabilitetet përfundimtare të gjendjeve quhen formula Erlang - për nder të themeluesit të teorisë së radhës. Shumica e formulave të tjera të kësaj teorie (sot ka më shumë se kërpudha në pyll) nuk mbajnë ndonjë emër të veçantë.

Kështu, janë gjetur probabilitetet përfundimtare. Duke i përdorur ato, ne do të llogarisim karakteristikat e performancës së QS. Së pari do të gjejmë ^ P hapur. - probabiliteti që një aplikim i ardhur do të refuzohet (nuk do të shërbehet). Për këtë është e nevojshme që gjithçka P kanalet ishin të zënë, që do të thotë

R hapur = R n = . (20.6)

Nga këtu gjejmë xhiron relative - probabilitetin që kërkesa të shërbehet:

Q = 1 - P hapur = 1 - (20.7)

Ne marrim xhiron absolute duke shumëzuar intensitetin e rrjedhës së kërkesave λ me Pyetje:

A = λQ = λ. (20.8)

Mbetet vetëm për të gjetur numrin mesatar të kanaleve të zëna k. Kjo vlerë mund të gjendet "drejtpërsëdrejti", si pritshmëri matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete me vlera të mundshme 0, 1, ..., P dhe probabilitetet e këtyre vlerave р 0 р 1 , ..., р n:

k = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 + ... + fq · pn.

Zëvendësimi i shprehjeve (20.5) këtu për R k, (k = 0, 1, ..., P) dhe duke kryer transformimet e duhura, ne përfundimisht do të merrnim formulën e saktë për k. Por ne do ta nxjerrim atë shumë më thjesht (ja ku është, një nga "mashtrimet e vogla"!) Në fakt, ne e dimë xhiron absolute A. Ky nuk është gjë tjetër veçse intensiteti i fluksit të aplikacioneve të servirura nga sistemi. Çdo i.sal i zënë shërben mesatarisht | l kërkesa për njësi të kohës. Kjo do të thotë se numri mesatar i kanaleve të zëna është

k = A/μ, (20.9)

ose, duke marrë parasysh (20.8),

k = (20.10)

Ne rekomandojmë që lexuesi ta zgjidhë shembullin vetë. Ekziston një stacion komunikimi me tre kanale ( n= 3), intensiteti i fluksit të aplikimeve λ = 1,5 (aplikime për minutë); koha mesatare për të kryer një kërkesë t rev = 2 (min.), të gjitha rrjedhat e ngjarjeve (si në të gjithë këtë paragraf) janë më të thjeshtat. Gjeni probabilitetet përfundimtare të gjendjeve dhe karakteristikat e efektivitetit të QS: A, Q, P hapur, k. Për çdo rast, këtu janë përgjigjet: fq 0 = 1/13, fq 1 = 3/13, fq 2 = 9/26, f 3 = 9/26 ≈ 0,346,

A≈ 0,981, P ≈ 0,654, P otk ≈ 0.346, k ≈ 1,96.

Nga përgjigjet është e qartë, meqë ra fjala, se QS-ja jonë është dukshëm e mbingarkuar: nga tre kanale, mesatarisht, rreth dy janë të zëna, dhe nga aplikacionet e ardhura, rreth 35% mbeten të pashërbyer. Ftojmë lexuesin, nëse është kurioz dhe jo dembel, të zbulojë: sa kanale do të kërkohen për të kënaqur të paktën 80% të kërkesave hyrëse? Dhe cili pjesë e kanaleve do të jetë boshe?

Tashmë ka disa aluzion për optimizimi. Në fakt, mirëmbajtja e çdo kanali për njësi të kohës kushton një shumë të caktuar. Në të njëjtën kohë, çdo aplikacion i servisuar gjeneron disa të ardhura. Duke shumëzuar këto të ardhura me numrin mesatar të aplikimeve A, të servisuara për njësi kohe, do të marrim të ardhurat mesatare nga CMO për njësi kohe. Natyrisht, me rritjen e numrit të kanaleve, këto të ardhura rriten, por rriten edhe kostot që lidhen me mirëmbajtjen e kanaleve. Çfarë do të peshojë - një rritje në të ardhura apo shpenzime? Varet nga kushtet e funksionimit, "tarifa për shërbimin e aplikacionit" dhe kostoja e mirëmbajtjes së kanalit. Duke ditur këto vlera, ju mund të gjeni numrin optimal të kanaleve, më kosto-efektivin. Ne nuk do ta zgjidhim një problem të tillë, duke ia lënë të njëjtit “lexues jo dembel dhe kurioz” që të nxjerrë një shembull dhe ta zgjidhë atë. Në përgjithësi, shpikja e problemeve zhvillohet më shumë sesa zgjidhja e atyre që janë paraqitur tashmë nga dikush.

^ 2. QS me një kanal me radhë të pakufizuar. Në praktikë, është mjaft e zakonshme të gjesh shërbime mjekësore me një kanal me radhë (një mjek që u shërben pacientëve; një telefon me pagesë me një kabinë; një kompjuter që ekzekuton urdhrat e përdoruesit). Në teorinë e radhës, një vend të veçantë zënë edhe QS me një kanal me radhë (shumica e formulave analitike të marra deri më tani për sistemet jo-Markov i përkasin QS-ve të tilla). Prandaj, ne do t'i kushtojmë vëmendje të veçantë QS me një kanal me radhë.

Le të ketë një QS me një kanal me një radhë në të cilën nuk vendosen kufizime (as në gjatësinë e radhës, as në kohën e pritjes). Ky QS merr një fluks kërkesash me intensitet λ ; fluksi i servisimit ka një intensitet μ, të kundërt me kohën mesatare të shërbimit të kërkesës t rreth. Kërkohet të gjenden probabilitetet përfundimtare të gjendjeve QS, si dhe karakteristikat e efektivitetit të tij:

L sistem. - numri mesatar i aplikacioneve në sistem,

W sistem. - koha mesatare që një aplikacion qëndron në sistem,

^ L och- numri mesatar i aplikacioneve në radhë,

W shume mire - koha mesatare që kalon një aplikacion në radhë,

P zan - probabiliteti që kanali të jetë i zënë (ngarkesa e kanalit).

Për sa i përket xhiros absolute A dhe të afërm P, atëherë nuk ka nevojë t'i llogaritni ato:

për shkak të faktit se radha është e pakufizuar, çdo aplikacion do të shërbehet herët a vonë, prandaj A = λ, për të njëjtën arsye Q = 1.

Zgjidhje. Si më parë, ne do të numërojmë gjendjet e sistemit sipas numrit të aplikacioneve në QS:

S 0 - kanali eshte falas,

S 1 - kanali është i zënë (duke shërbyer një kërkesë), nuk ka radhë,

S 2 - kanali është i zënë, një kërkesë është në radhë,

S k - kanali është i zënë, k- 1 aplikacione janë në radhë,

Teorikisht, numri i gjendjeve është i pakufizuar (i pafund). Grafiku i gjendjes ka formën e treguar në Fig. 20.2. Kjo është një skemë vdekjeje dhe riprodhimi, por me një numër të pafund gjendjesh. Përgjatë të gjitha shigjetave, fluksi i kërkesave me intensitet λ e lëviz sistemin nga e majta në të djathtë, dhe nga e djathta në të majtë - rrjedhën e shërbimit me intensitet μ.

Fillimisht, le të pyesim veten, a ka probabilitete përfundimtare në këtë rast? Në fund të fundit, numri i gjendjeve të sistemit është i pafund, dhe, në parim, kur t → ∞ Radha mund të rritet pafundësisht! Po, kështu është: probabilitetet përfundimtare për një QS të tillë nuk ekzistojnë gjithmonë, por vetëm kur sistemi nuk është i mbingarkuar. Mund të vërtetohet se nëse ρ është rreptësisht më i vogël se një (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t→ ∞ rritet pa kufi. Ky fakt duket veçanërisht "i pakuptueshëm" kur ρ = 1. Duket se nuk ka kërkesa të pamundura të vendosura në sistem: gjatë kohës së shërbimit të një kërkese, mesatarisht arrin një kërkesë dhe gjithçka duhet të jetë në rregull, por në realitet. nuk është kështu. Kur ρ = 1, QS përballon rrjedhën e kërkesave vetëm nëse kjo rrjedhë është e rregullt dhe koha e shërbimit gjithashtu nuk është e rastësishme, e barabartë me intervalin midis kërkesave. Në këtë rast “ideal”, nuk do të ketë fare radhë, kanali do të jetë vazhdimisht i zënë dhe do të lëshojë rregullisht kërkesa të servisuara. Por sapo fluksi i aplikacioneve ose fluksi i shërbimit të bëhet qoftë edhe pak i rastësishëm, radha do të rritet pafundësisht. Në praktikë, kjo nuk ndodh vetëm sepse "një numër i pafund aplikimesh në radhë" është një abstraksion. Këto janë gabimet e mëdha që mund të rezultojnë nga zëvendësimi i variablave të rastësishëm me pritjet e tyre matematikore!

Por le të kthehemi te QS-ja jonë me një kanal me një radhë të pakufizuar. Në mënyrë të rreptë, ne kemi nxjerrë formulat për probabilitetet përfundimtare në skemën e vdekjes dhe riprodhimit vetëm për rastin e një numri të kufizuar gjendjesh, por le të marrim guximin t'i përdorim ato për një numër të pafund gjendjesh. Le të llogarisim probabilitetet përfundimtare të gjendjeve duke përdorur formulat (19.8), (19.7). Në rastin tonë, numri i termave në formulën (19.8) do të jetë i pafund. Ne marrim një shprehje për p 0:

fq 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +….) -1 . (20.11)

Seria në formulën (20.11) është një progresion gjeometrik. Ne e dimë se për ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p 0 , p 1 , ..., p k , ... ekzistojnë vetëm në f<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

fq 0 = 1 - ρ. (20.12)

Probabilitetet r 1, r 2, ..., r k,... do të gjendet duke përdorur formulat:

f 1 = ρ p 0 , f 2= ρ 2 p 0,…,p k = ρ p 0, ...,

Nga ku, duke marrë parasysh (20.12), më në fund gjejmë:

f 1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ k(1 - ρ), . . .(20.13)

Siç mund ta shihni, probabilitetet p 0, f 1, ..., pk,... formojnë një progresion gjeometrik me emërues p. Mjaft e çuditshme, maksimumi i tyre p 0 - probabiliteti që kanali të jetë plotësisht i lirë. Pavarësisht se sa i ngarkuar është një sistem me një radhë, nëse ai mund të përballojë fare rrjedhën e kërkesave (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Le të gjejmë numrin mesatar të aplikimeve në CMO ^ L sistem. . Këtu do të duhet të ngatërroni pak. Vlera e rastësishme Z- numri i aplikacioneve në sistem - ka vlera të mundshme 0, 1, 2, .... k, ... me probabilitete p 0, p 1, p 2, ..., p k, ... Pritshmëria e tij matematikore është

L sistem = 0 · p 0 + 1 · fq 1+2 fq 2 +…+k · fq k +…= (20.14)

(shuma merret jo nga 0 në ∞, por nga 1 në ∞, pasi termi zero është i barabartë me zero).

Le të zëvendësojmë në formulën (20.14) shprehjen për p k (20.13):

L sistem. =

Tani le të marrim ρ (1-ρ) nga shenja e shumës:

L sistem. = ρ (1-ρ)

Këtu do të përdorim përsëri një "mashtrim të vogël": kρ k-1 nuk është asgjë më shumë se derivati ​​në lidhje me ρ nga shprehja ρ k; Do të thotë,

L sistem. = ρ (1-ρ)

Duke i kthyer veprimet e diferencimit dhe përmbledhjes, marrim:

L sistem. = ρ (1-ρ) (20.15)

Por shuma në formulën (20.15) nuk është gjë tjetër veçse shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me termin e parë ρ dhe emëruesin ρ; këtë shumë

është e barabartë me , dhe derivatin e tij . Duke e zëvendësuar këtë shprehje në (20.15), marrim:

L sistem = . (20.16)

Epo, tani ne aplikojmë formulën e Little (19.12) dhe gjejmë kohën mesatare që një aplikacion qëndron në sistem:

W sistem = (20.17)

Le të gjejmë numrin mesatar të aplikacioneve në radhë L shume mire Ne do të arsyetojmë kështu: numri i aplikacioneve në radhë është i barabartë me numrin e aplikacioneve në sistem minus numrin e aplikacioneve në shërbim. Kjo do të thotë (sipas rregullit të shtimit të pritjeve matematikore), numri mesatar i aplikacioneve në radhë L och është e barabartë me numrin mesatar të kërkesave në sistem L sistem minus numrin mesatar të kërkesave në shërbim. Numri i kërkesave në shërbim mund të jetë ose zero (nëse kanali është i lirë) ose një (nëse është i zënë). Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të tillë të rastësishme është e barabartë me probabilitetin që kanali të jetë i zënë (ne e shënuam atë R zan). Natyrisht, R zan është i barabartë me një probabilitet minus p 0 që kanali është falas:

R zan = 1 - R 0 = ρ. (20.18)

Prandaj, numri mesatar i kërkesave në shërbim është

^L rreth= ρ, (20.19)

L och = L sistem – ρ =

dhe në fund

L oh = (20.20)

Duke përdorur formulën e Little (19.13), gjejmë kohën mesatare që një aplikacion qëndron në radhë:

(20.21)

Kështu, janë gjetur të gjitha karakteristikat e efektivitetit të QS.

Ne e ftojmë lexuesin të zgjidhë vetë një shembull: një QS me një kanal është një stacion marshues hekurudhor, i cili merr rrjedhën më të thjeshtë të trenave me një intensitet λ = 2 (trenat në orë). Shërbimi (shpërbërja)

përbërja zgjat një kohë të rastësishme (indikative) me një vlerë mesatare t rev = 20(min.). Parku i mbërritjes së stacionit ka dy shina në të cilat trenat që vijnë mund të presin për shërbim; nëse të dy shinat janë të zënë, trenat detyrohen të presin në shinat e jashtme. Kërkohet të gjendet (për mënyrën kufizuese, stacionare të funksionimit të stacionit): mesatarja, numri i trenave l sistemet e lidhura me stacionin, koha mesatare W sistemi i pranisë së trenave në stacion (në shina të brendshme, në shina të jashtme dhe nën mirëmbajtje), numri mesatar L Pt e trenave që presin në radhë për shpërbërje (pa marrë parasysh se në cilat shina), koha mesatare W Pts qëndrimi i trenit në linjë. Gjithashtu, përpiquni të gjeni numrin mesatar të trenave që presin të shpërndahen në shinat e jashtme L koha e jashtme dhe mesatare e kësaj pritjeje W ext (dy sasitë e fundit lidhen me formulën e Little-it). Më në fund, gjeni gjobën totale ditore Sh që stacioni do të duhet të paguajë për ndërprerjen e trenit në binarët e jashtëm, nëse stacioni paguan një gjobë a (rubla) për një orë ndërprerje të një treni. Për çdo rast, këtu janë përgjigjet: L sistem. = 2 (përbërja), W sistem. = 1 (orë), L och = 4/3 (përbërja), W och = 2/3 (orë), L ext = 16/27 (përbërja), W ext = 8/27 ≈ 0,297 (orë). Gjoba mesatare ditore Ш për pritjen e trenave në binarë të jashtëm merret duke shumëzuar numrin mesatar të trenave që mbërrijnë në stacion në ditë, kohën mesatare të pritjes për trenat në shina të jashtme dhe gjobën për orë. A: W ≈ 14.2 A.

^ 3. rikanalizoni QS me radhë të pakufizuar. Mjaft i ngjashëm me problemin 2, por pak më i ndërlikuar, problemi i n-kanali QS me radhë të pakufizuar. Numërimi i shteteve bazohet përsëri në numrin e aplikacioneve në sistem:

S 0- nuk ka kërkesa në SMO (të gjitha kanalet janë falas),

S 1 - një kanal është i zënë, pjesa tjetër janë falas,

S 2 - dy kanale janë të zëna, pjesa tjetër janë falas,

S k- i zënë k kanalet, pjesa tjetër janë falas,

S n- të gjithë janë të zënë P kanale (pa radhë),

S n+1- të gjithë janë të zënë n kanale, një aplikacion është në radhë,

S n+r - peshë e zënë P kanalet, r aplikacionet janë në radhë,

Grafiku i gjendjes është paraqitur në Fig. 20.3. Ne e ftojmë lexuesin të mendojë vetë dhe të justifikojë vlerat e intensiteteve të treguara nga shigjetat. Grafiku Fig. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

ka një model vdekjeje dhe riprodhimi, por me një numër të pafund gjendjesh. Le të raportojmë pa prova kushtin natyror për ekzistencën e probabiliteteve përfundimtare: ρ/ n<1. Если ρ/n≥ 1, radha rritet deri në pafundësi.

Le të supozojmë se kushti ρ/ n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0 do të ketë një seri termash që përmbajnë faktorë, plus shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me emëruesin ρ/ n. Duke e përmbledhur, ne gjejmë

(20.22)

Tani le të gjejmë karakteristikat e performancës së QS. Mënyra më e lehtë për të gjetur numrin mesatar të kanaleve të zëna është k== λ/μ, = ρ (kjo është përgjithësisht e vërtetë për çdo QS me një radhë të pakufizuar). Le të gjejmë numrin mesatar të aplikacioneve në sistem L sistemi dhe numri mesatar i aplikacioneve në radhë L shume mire Nga këto, është më e lehtë të llogaritet e dyta, duke përdorur formulën

L och =

duke kryer transformimet e duhura sipas shembullit të detyrës 2

(me diferencimin e serisë), marrim:

L och = (20.23)

Duke i shtuar atij numrin mesatar të kërkesave në shërbim (është gjithashtu numri mesatar i kanaleve të zëna) k =ρ, marrim:

L sistem = L och + ρ. (20.24)

Ndarja e shprehjeve për L shume mire L syst në λ , Duke përdorur formulën e Little, marrim kohën mesatare që një aplikacion qëndron në radhë dhe në sistem:

(20.25)

Tani le të zgjidhim një shembull interesant. Një biletë hekurudhore me dy dritare është një QS me dy kanale me një radhë të pakufizuar të vendosur në dy dritare njëherësh (nëse një dritare mbetet e lirë, pasagjeri më i afërt në radhë e merr atë). Arka shet bileta në dy pika: A dhe NË. Intensiteti i fluksit të aplikimeve (pasagjerë që duan të blejnë një biletë) për të dyja pikat A dhe Bështë i njëjtë: λ A = λ B = 0,45 (pasagjerë në minutë), dhe në total formojnë një fluks të përgjithshëm kërkesash me intensitet λ A. + λ B = 0,9. Një arkëtar shpenzon mesatarisht dy minuta duke i shërbyer një pasagjeri. Përvoja tregon se në bileta grumbullohen radhë, pasagjerët ankohen për ngadalësinë e shërbimit. Është marrë një propozim racionalizimi: në vend që një biletë të shesë bileta dhe A dhe ne NË, krijoni dy bileta të specializuara (një dritare në secilën), duke shitur bileta, një - vetëm deri në pikën A, tjetra - vetëm deri në pikën NË. Mençuria e këtij propozimi është e diskutueshme - disa argumentojnë se radhët do të mbeten të njëjta. Është e nevojshme të kontrollohet dobia e propozimit me llogaritje. Meqenëse ne mund të llogarisim karakteristikat vetëm për QS-në më të thjeshtë, le të supozojmë se të gjitha rrjedhat e ngjarjeve janë më të thjeshtat (kjo nuk do të ndikojë në anën cilësore të përfundimeve).

Epo, le t'i drejtohemi biznesit. Le të shqyrtojmë dy opsione për organizimin e shitjeve të biletave - ekzistuese dhe të propozuara.

Opsioni I (ekzistues). QS me dy kanale merr një fluks kërkesash me intensitet λ = 0.9; intensiteti i rrjedhës së shërbimit μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Meqenëse ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0,0525. Numri mesatar i aplikacioneve në radhë gjendet duke përdorur formulën (20.23): L och ≈ 7.68; koha mesatare e kaluar nga një aplikacion në radhë (sipas formulës së parë (20.25)) është e barabartë me W och ≈ 8,54 (min.).

Opsioni II (i propozuar). Është e nevojshme të merren parasysh dy QS me një kanal (dy dritare të specializuara); secili merr një fluks aplikimesh me intensitet λ = 0,45; μ . ende e barabartë me 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L och = 8.1.

Kaq shumë për ju! Gjatësia e radhës, rezulton, jo vetëm që nuk u zvogëlua, por u rrit! Mos ndoshta koha mesatare e pritjes në radhë është ulur? Le të shohim. Ndarja L och në λ = 0,45, marrim W shumë ≈ 18 (minuta).

Kaq shumë për racionalizimin! Në vend që të zvogëlohej, u rritën si gjatësia mesatare e radhës ashtu edhe koha mesatare e pritjes në të!

Le të përpiqemi të hamendësojmë pse ndodhi kjo? Duke menduar për këtë, arrijmë në përfundimin: kjo ndodhi sepse në opsionin e parë (QS me dy kanale) përqindja mesatare e kohës që secili nga dy arkëtarët është në punë është më i vogël: nëse ai nuk është i zënë duke i shërbyer një pasagjeri duke blerë një biletë për në pikë A, ai mund të angazhohet në shërbimin e një pasagjeri që blen një biletë deri në një pikë NË, dhe anasjelltas. Në opsionin e dytë, nuk ka një këmbyeshmëri të tillë: arkëtari i pabanuar thjesht ulet me duart e palosur ...

Epo , në rregull, lexuesi është gati të pranojë, "rritja mund të shpjegohet, por pse është kaq domethënëse? A ka ndonjë gabim në llogaritjen këtu?

Dhe ne do t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje. Nuk ka asnjë gabim. Gjëja është , që në shembullin tonë të dy QS-të operojnë në kufirin e aftësive të tyre; Sapo të rrisni pak kohën e shërbimit (d.m.th., zvogëloni μ), ata nuk do të përballen më me fluksin e pasagjerëve dhe radha do të fillojë të rritet pa kufi. Dhe "koha shtesë joproduktive" e arkëtarit është në një farë kuptimi ekuivalente me një ulje të produktivitetit të tij μ.

Kështu, rezultati i llogaritjeve, i cili në fillim duket paradoksal (apo edhe thjesht i pasaktë), rezulton i saktë dhe i shpjegueshëm.

Teoria e radhës është e pasur me përfundime të tilla paradoksale, arsyeja për të cilën nuk është aspak e qartë. Vetë autori ishte "i befasuar" vazhdimisht nga rezultatet e llogaritjeve, të cilat më vonë doli të ishin të sakta.

Duke reflektuar për problemin e fundit, lexuesi mund të parashtrojë pyetjen në këtë mënyrë: në fund të fundit, nëse arka shet bileta vetëm në një pikë, atëherë, natyrisht, koha e shërbimit duhet të ulet, mirë, jo përgjysmë, por të paktën disi, por ne menduam se ishte ende mesatarja është 2 (min.). Ftojmë një lexues kaq të përpiktë t'i përgjigjet pyetjes: sa duhet reduktuar në mënyrë që "propozimi i racionalizimit" të bëhet fitimprurës? Përsëri hasim, edhe pse elementar, por ende një problem optimizimi. Me ndihmën e llogaritjeve të përafërta, edhe në modelet më të thjeshta të Markovit, është e mundur të sqarohet ana cilësore e fenomenit - si është fitimprurëse të veprohet dhe sa është e padobishme. Në pjesën tjetër do të prezantojmë disa modele elementare jo-Markov që do të zgjerojnë më tej aftësitë tona.

Pasi lexuesi është njohur me metodat e llogaritjes së probabiliteteve përfundimtare të gjendjeve dhe karakteristikave të performancës për QS-në më të thjeshtë (ai ka zotëruar skemën e vdekjes dhe riprodhimit dhe formulën e Little), atij mund t'i ofrohen edhe dy QS të thjeshta për shqyrtim të pavarur.

^ 4. QS me një kanal me radhë të kufizuar. Problemi ndryshon nga problemi 2 vetëm në atë që numri i kërkesave në radhë është i kufizuar (nuk mund të kalojë një të caktuar të caktuar T). Nëse një aplikacion i ri arrin në një kohë kur të gjitha vendet në radhë janë të zëna, ai e lë QS-në pa shërbim (merr një refuzim).

Ne duhet të gjejmë probabilitetet përfundimtare të gjendjeve (nga rruga, në këtë problem ato ekzistojnë për çdo ρ - në fund të fundit, numri i gjendjeve është i kufizuar), probabiliteti i dështimit R xhiros i hapur, absolut A, probabiliteti që kanali të jetë i zënë R i zënë, gjatësia mesatare e radhës L shumë i mirë, numri mesatar i aplikimeve në CMO L sist , koha mesatare e pritjes në radhë W shume mire , koha mesatare që një aplikacion qëndron në CMO W sistem. Kur llogaritni karakteristikat e një radhe, mund të përdorni të njëjtën teknikë që kemi përdorur në problemin 2, me ndryshimin që ju duhet të përmblidhni jo një progresion të pafund, por një të fundëm.

^ 5. QS e mbyllur me një kanal dhe m burimet e aplikacioneve. Për të qenë specifik, le ta parashtrojmë problemin në formën e mëposhtme: një punëtor shërben T makina, secila prej të cilave kërkon rregullim (korrigjim) herë pas here. Intensiteti i rrjedhës së kërkesës për çdo makinë operative është λ . Nëse një makinë prishet ndërsa një punëtor është i lirë, ajo hyn menjëherë në shërbim. Nëse dështon ndërsa një punëtor është i zënë, ai futet në radhë dhe pret që punëtori të lirohet. Koha mesatare e konfigurimit të makinës t rev = 1/μ. Intensiteti i fluksit të kërkesave që i vijnë punëtorit varet nga sa makina janë duke punuar. Nëse funksionon k makina, është e barabartë kλ. Gjeni probabilitetet e gjendjes përfundimtare, numrin mesatar të makinave të punës dhe probabilitetin që një punëtor të jetë i zënë.

Vini re se në këtë QS probabilitetet përfundimtare

do të ekzistojë për çdo vlerë të λ dhe μ = 1/ t rreth, pasi numri i gjendjeve të sistemit është i kufizuar.

Detyra 1. Paneli i kontrollit merr një rrjedhë kërkesash, e cila është një rrjedhë Erlang e rendit të dytë. Intensiteti i fluksit të aplikimeve është 6 aplikime në orë. Nëse dispeçeri largohet aksidentalisht nga telekomanda, atëherë me kërkesën e parë të radhës ai duhet të kthehet në telekomandë. Gjeni dendësinë e shpërndarjes së kohës së pritjes për aplikacionin e ardhshëm dhe ndërtoni grafikun e tij. Llogaritni probabilitetin që dispeçeri të mungojë nga 10 deri në 20 minuta. Zgjidhje. Meqenëse rrjedha Erlang e rendit të dytë është një rrjedhë e palëvizshme me efekt të kufizuar, atëherë formula e Palm është e vlefshme për të.

Ku f1(θ)- dendësia e shpërndarjes së probabilitetit për kohën e pritjes për ngjarjen e parë më të afërt;
λ - intensiteti i rrjedhjes;
- renditja e rrjedhës;
(θ) - Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit për kohën ndërmjet dy ngjarjeve fqinje të rrjedhës Erlang - renditja e parë (E).
Dihet se funksioni i shpërndarjes për rrjedhën E ka formën

. (2)

Sipas kushteve të problemit, fluksi i kërkesave është rend Erlang =2. Pastaj nga (1) dhe (2) marrim
.
Nga relacioni i fundit për λ=6 do të kemi

f1(θ)=3е-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)

Le të vizatojmë funksionin f1(θ) . Në θ <0 ne kemi f1(θ) =0 . Në θ =0 , f1(0)=3. Merrni parasysh kufirin

Gjatë llogaritjes së kufirit për të zbuluar pasigurinë e llojit, u përdor rregulli i L'Hopital. Bazuar në rezultatet e hulumtimit, ne ndërtojmë një grafik të funksionit f1(θ) (Fig. 1).

Le t'i kushtojmë vëmendje dimensioneve kohore në tekstin e problemit: për intensitet këto janë kërkesa për orë, për kohë - minuta. Le të kalojmë në njësinë e një kohe: 10 min = 1/6 orë, 20 min = 1/3 orë. Për këto vlera mund të llogarisim f1(θ) dhe të qartësojë natyrën e kurbës

Këto ordinata tregohen në grafikun mbi pikat përkatëse në kurbë.
Nga kursi i teorisë së probabilitetit ne dimë se probabiliteti i goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në segmentin [α, β] është numerikisht i barabartë me sipërfaqen nën kurbën e shpërndarjes së densitetit të probabilitetit f(x). Kjo zonë shprehet me një integral të caktuar

Prandaj, probabiliteti i kërkuar është i barabartë me

Ky integral mund të llogaritet lehtësisht nga pjesët nëse vendosim
U=1+6θ Dhe dV=e-6θdθ. Pastaj dU=6dθ Dhe V= .
Duke përdorur formulën marrim

Përgjigje: probabiliteti që dispeçeri të mungojë nga 10 deri në 20 minuta është 0.28.

Detyra 2. Dhoma e ekspozitës ka 5 ekrane. Rrjedha e përdoruesit është e thjeshtë. Numri mesatar i përdoruesve që vizitojnë dhomën e ekranit në ditë është 140. Koha për përpunimin e informacionit nga një përdorues në një ekran shpërndahet sipas një ligji eksponencial dhe mesatarisht 40 minuta. Përcaktoni nëse ka një mënyrë funksionimi të palëvizshëm për sallën; gjasat që përdoruesi t'i gjejë të gjitha ekranet të zënë; numri mesatar i përdoruesve në dhomën e ekspozimit; numri mesatar i përdoruesve në radhë; koha mesatare e pritjes për një ekran falas; koha mesatare që një përdorues kalon në dhomën e ekranit. Zgjidhje. QS e konsideruar në problem i përket klasës së sistemeve me shumë kanale me një radhë të pakufizuar. Numri i kanaleve =5. Le të gjejmë intensitetin λ të rrjedhës së aplikimeve: ku (orë) - koha mesatare midis dy kërkesave të njëpasnjëshme nga fluksi i përdoruesit në hyrje. Pastaj përdorues/orë

Le të gjejmë intensitetin e fluksit të shërbimit: , ku M[T serv.]=40 min=0.67 orë është koha mesatare për shërbimin e një përdoruesi me një ekran,

Pastaj përdorues/orë

Kështu, klasifikuesi i këtij sistemi ka formën QS (5, ∞; 5.85; 1.49).
Le të llogarisim faktorin e ngarkesës së QS . Dihet se për një QS të kësaj klase, ekziston një mënyrë stacionare nëse raporti i faktorit të ngarkesës së sistemit me numrin e kanaleve është më i vogël se një. Ne e gjejmë këtë lidhje
.
Prandaj, ekziston një regjim i palëvizshëm. Shpërndarja e probabilitetit kufizues të gjendjeve llogaritet duke përdorur formulat

Meqenëse =5, kemi

Le të llogarisim P* - probabilitetin që përdoruesi t'i gjejë të gjitha ekranet të zënë. Natyrisht, është e barabartë me shumën e probabiliteteve të ngjarjeve të tilla: të gjitha ekranet janë të zëna, nuk ka radhë (p5); të gjitha ekranet janë të zënë, një përdorues është në radhë (p6); të gjitha ekranet janë të zënë, dy përdorues janë në radhë (p7) dhe kështu me radhë. Meqenëse për një grup të plotë ngjarjesh shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një, atëherë barazia është e vërtetë

P*=p5+p6+p7+…=1 - po - p1 - p2 - p3 - p4.

Le të gjejmë këto probabilitete: ro=0,014; p1=3,93*0,014; p2=7,72*0,014; p3=10,12*0,014; p4=9,94*0,014.
Duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat, marrim
P*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Përdorimi i formulave për të llogaritur treguesit e performancës? le të gjejmë:

• 1. numri mesatar i përdoruesve në radhë

2. numri mesatar i përdoruesve në dhomën e ekspozimit

3. koha mesatare e pritjes për një ekran falas

4. koha mesatare që kalon një përdorues në dhomën e ekspozimit

Përgjigje: ekziston një mënyrë e palëvizshme e funksionimit të dhomës së ekranit dhe karakterizohet nga treguesit e mëposhtëm R*=0,54; përdorues; përdorues; ; .

Detyra 3. Një sistem i radhës me dy kanale (QS) me dështime merr një rrjedhë të palëvizshme të kërkesave Poisson. Koha ndërmjet ardhjes së dy kërkesave të njëpasnjëshme shpërndahet sipas një ligji eksponencial me parametrin λ=5 kërkesa për minutë. Kohëzgjatja e shërbimit të çdo kërkese është 0.5 minuta. Duke përdorur metodën Monte Carlo, gjeni numrin mesatar të kërkesave të kryera në një kohë prej 4 minutash. Drejtimi: Kryeni tre teste. Zgjidhje. Le të përshkruajmë modelimin statistikor të funksionimit të një QS të caktuar duke përdorur diagramet kohore. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm për boshtet kohore:
Në-rrjedha hyrëse e aplikacioneve, këtu ti- momentet e marrjes së aplikacioneve; Ti- intervalet kohore ndërmjet dy aplikimeve të njëpasnjëshme. Është e qartë se ti=ti-1 +Ti.
K1 është kanali i parë i shërbimit;
K2-kanali i dytë i shërbimit; këtu vijat e trasha në boshtin kohor tregojnë intervalet e zënies së kanalit. Nëse të dy kanalet janë të lira, atëherë kërkesa shërbehet në kanalin K1; nëse është i zënë, kërkesa shërbehet nga kanali K2.
Nëse të dy kanalet janë të zënë, atëherë kërkesa e lë QS-në pa shërbim.
Out OB - rrjedha dalëse e kërkesave të shërbimit.
Out PT - rrjedha dalëse e kërkesave të humbura për shkak të dështimeve të QS (rasti i zënies së të dy kanaleve).
Testimi statistikor vazhdon gjatë intervalit kohor. Natyrisht, çdo tepricë e kohës tmax përfshin hedhjen e kërkesës në rrjedhën dalëse Output PT. Pra në Fig. 3 aplikacioni nr. 10, i cili hyri në sistem për momentin t10, nuk ka kohë për t'u shërbyer deri në moment tmax, sepse t10+Tol.>tmax. Rrjedhimisht, ai nuk pranohet nga kanali falas K1 për shërbim dhe rivendoset në PT-në e daljes, duke marrë një refuzim.

Oriz. 3

Nga diagramet kohore është e qartë se është e nevojshme të mësohet se si të modelohen intervalet Ti. Le të zbatojmë metodën e funksioneve të anasjellta. Që nga ndryshorja e rastësishme Ti shpërndahet sipas ligjit eksponencial me parametrin λ =5, atëherë dendësia e shpërndarjes ka formën f(τ)=5е-5τ. Pastaj vlera F(Ti) funksioni i shpërndarjes së probabilitetit përcaktohet nga integrali

.

Dihet se diapazoni i funksionit të shpërndarjes F(T) ka një segment. Ne zgjedhim një numër nga tabela e numrave të rastit dhe përcaktojmë Ti nga barazia, prej nga. Megjithatë, nëse. Prandaj, mund të merrni menjëherë zbatime nga tabela e numrave të rastit. Prandaj,
e-5Ti= ri, ose – 5 Ti= lnri, ku. Është i përshtatshëm për të futur rezultatet e llogaritjes në një tabelë.
Për të kryer testin nr. 1, janë marrë numra të rastësishëm nga Shtojca 2, duke filluar nga numri i parë i rreshtit të parë. Më pas, përzgjedhja u krye me rreshta. Le të bëjmë dy teste të tjera.
Kushtojini vëmendje zgjedhjes së numrave të rastësishëm nga tabela në Shtojcën 2, nëse në testin nr. 1 numri i fundit i rastësishëm për aplikimin nr. 16 ishte 0,37 (numri i parë i rastësishëm në rreshtin e dytë), atëherë testi nr. 2 fillon me numri i mëposhtëm i rastësishëm 0.54. Prova 2 përmban numrin e fundit të rastësishëm 0.53 (numri i pestë në rreshtin e tretë). Prandaj, prova e tretë do të fillojë me numrin 0.19. Në përgjithësi, brenda një serie testesh, numrat e rastësishëm nga tabela zgjidhen pa boshllëqe ose futje në një renditje të caktuar, për shembull, sipas rreshtave.

Tabela 1. TESTI Nr. 1

Aplikimi Nr. i	Sl. numri ri		-N ri Ti	Momenti i marrjes së aplikimit ti=ti-1+Ti	Momenti i përfundimit të shërbimit. ti+0,50		Numëruesi i aplikacionit
					K1

Tabela 2 TESTI Nr. 2

Aplikimi Nr. i	Sl. numri ri		-N ri Ti	Momenti i marrjes së aplikimit ti=ti-1+Ti	Momenti i përfundimit të shërbimit. ti+0,50		Numëruesi i aplikacionit

Tabela nr. 3 TESTI Nr. 3

Aplikimi Nr. i		Sl. numri ri		-N ri Ti	Momenti i marrjes së aplikimit ti=ti-1+Ti	Momenti i përfundimit të shërbimit. ti+0,50		Numëruesi i aplikacionit
						K1

Kështu, në bazë të rezultateve të tre testeve, numri i aplikacioneve të shërbyera ishte përkatësisht: x1=9, x2=9, x3=8. Le të gjejmë numrin mesatar të kërkesave të kryera:

Përgjigje: numri mesatar i aplikimeve të ofruara nga QS në 4 minuta është 8.6(6).

Kur zgjidhen problemet e kontrollit, duke përfshirë komandën dhe kontrollin e trupave, shpesh lindin një numër problemesh të ngjashme:

• vlerësimi i kapacitetit të një drejtimi komunikimi, kryqëzimi hekurudhor, spitali etj.;
• vlerësimi i efektivitetit të bazës së riparimit;
• përcaktimi i numrit të frekuencave për një rrjet radio, etj.

Të gjitha këto detyra janë të ngjashme në kuptimin që ato përfshijnë kërkesë masive për shërbim. Një grup i caktuar elementësh është i përfshirë në plotësimin e kësaj kërkese, duke formuar një sistem të radhës (QS) (Fig. 2.9).

Elementet e QS janë:

• hyrje (hyrje) rrjedha e kërkesës(kërkesat) për shërbim;
• pajisje shërbimi (kanale);
• radha e aplikacioneve në pritje të shërbimit;
• ditë pushimi ( dalëse) rrjedhë aplikacionet e përpunuara;
• rrjedha e aplikacioneve të pashërbyera;
• radha e kanaleve falas (për QS me shumë kanale).

Rrjedha hyrëseështë një koleksion kërkesash shërbimi. Shpesh aplikacioni identifikohet me bartësin e tij. Për shembull, një fluks i pajisjeve radio me defekt që hyn në një punishte të një shoqate përfaqëson një rrjedhë kërkesash - kërkesash për shërbim në këtë QS.

Si rregull, në praktikë kemi të bëjmë me të ashtuquajturat flukse të përsëritura - flukse që kanë vetitë e mëposhtme:

• stacionariteti;
• e zakonshme;
• efekt i kufizuar.

Dy vetitë e para i përcaktuam më herët. Sa i përket efektit të kufizuar, ai qëndron në faktin se intervalet ndërmjet aplikacioneve hyrëse janë variabla të rastësishme të pavarura.

Ka shumë fije të përsëritura. Çdo ligj i shpërndarjes së intervalit gjeneron rrjedhën e tij të përsëritur. Rrjedhat e përsëritura quhen ndryshe rrjedhat e palmës.

Një rrjedhë me mungesë të plotë të efektit të mëvonshëm, siç është përmendur tashmë, quhet Poisson stacionare. Intervalet e tij të rastësishme midis porosive kanë një shpërndarje eksponenciale:

këtu është intensiteti i rrjedhës.

Emri i rrjedhës - Poisson - vjen nga fakti se për këtë probabiliteti i rrjedhjes Shfaqja e porosive gjatë intervalit përcaktohet nga ligji i Poisson:

Një rrjedhë e këtij lloji, siç u përmend më herët, quhet gjithashtu më e thjeshta. Kjo është pikërisht rrjedha që supozojnë projektuesit kur zhvillojnë një QS. Kjo është për shkak të tre arsyeve.

Së pari, një rrjedhë e këtij lloji në teorinë e radhës është e ngjashme me ligjin e shpërndarjes normale në teorinë e probabilitetit në kuptimin që rrjedha më e thjeshtë arrihet duke kaluar në kufirin për një rrjedhë që është shuma e flukseve me karakteristika arbitrare me një rritje të pafundme në terma dhe një rënie në intensitetin e tyre. Kjo do të thotë, shuma e flukseve arbitrare të pavarura (pa dominim) me intensitete është rrjedha më e thjeshtë me intensitet.

Së dyti, nëse kanalet e shërbimit (pajisjet) janë projektuar për rrjedhën më të thjeshtë të kërkesave, atëherë shërbimi i llojeve të tjera të flukseve (me të njëjtin intensitet) do të sigurohet me jo më pak efikasitet.

Së treti, është pikërisht kjo rrjedhë që përcakton procesin Markov në sistem dhe për rrjedhojë thjeshtësinë e analizës analitike të sistemit. Për flukset e tjera, analiza e funksionimit të QS është komplekse.

Shpesh ka sisteme në të cilat rrjedha e kërkesave hyrëse varet nga numri i kërkesave që do të servisohen. SMO të tilla quhen mbyllur(përndryshe - hapur). Për shembull, puna e një seminari komunikimi të shoqatës mund të përfaqësohet nga një model QS me ciklin e mbyllur. Le të synohet kjo punëtori për t'i shërbyer radiostacioneve që janë në shoqatë. Secila prej tyre ka shkalla e dështimit. Rrjedha hyrëse e pajisjes së dështuar do të ketë intensitetin e mëposhtëm:

ku është numri i radiostacioneve tashmë në punëtori për riparim.

Aplikacionet mund të kenë përshtatshmëri të ndryshme për të filluar shërbimin. Në këtë rast thonë se aplikacionet heterogjene. Përparësitë e disa flukseve të aplikacioneve mbi të tjerat përcaktohen nga shkalla e përparësisë.

Një karakteristikë e rëndësishme e rrymës hyrëse është koeficienti i variacionit:

ku është pritshmëria matematikore e gjatësisë së intervalit;

Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme (gjatësia e intervalit).

Për rrjedhën më të thjeshtë

Për shumicën e temave reale.

Kur rrjedha është e rregullt, përcaktuese.

Koeficienti i variacionit- një karakteristikë që pasqyron shkallën e pabarazisë në marrjen e aplikacioneve.

Kanalet e shërbimit (pajisjet). QS mund të ketë një ose më shumë pajisje (kanale) servisimi. Sipas kësaj QS-të quhen njëkanalëshe ose shumëkanalëshe.

Shumëkanalësh QS mund të përbëhet nga të njëjtat ose lloje të ndryshme pajisjesh. Pajisjet e servisit mund të jenë:

• linjat e komunikimit;
• teknikë riparimi;
• pista;
• automjete;
• shtretër;
• parukierë, shitës etj.

Karakteristika kryesore e një kanali është koha e shërbimit. Si rregull, koha e shërbimit është një vlerë e rastësishme.

Në mënyrë tipike, praktikuesit besojnë se koha e shërbimit ka një ligj të shpërndarjes eksponenciale:

ku është intensiteti i shërbimit, ;

Pritja matematikore e kohës së shërbimit.

Kjo do të thotë, procesi i shërbimit është Markovian, dhe kjo, siç e dimë tani, ofron lehtësi të konsiderueshme në modelimin matematikor analitik.

Përveç shpërndarjes eksponenciale, ekzistojnë shpërndarje Erlang, shpërndarje hipereksponenciale, shpërndarje trekëndore dhe disa të tjera. Kjo nuk duhet të na ngatërrojë, pasi është treguar se vlera e kritereve të efikasitetit të QS varet pak nga lloji i ligjit të shpërndarjes së probabilitetit për kohën e shërbimit.

Kur studioni QS, thelbi i shërbimit humbet nga konsiderata, cilësinë e shërbimit.

Kanalet mund të jenë absolutisht i besueshëm, domethënë të mos dështojë. Ose më mirë, kjo mund të pranohet gjatë hulumtimit. Kanalet mund të kenë besueshmëria përfundimtare. Në këtë rast, modeli QS është shumë më i ndërlikuar.

Radha e aplikimit. Për shkak të natyrës së rastësishme të rrjedhës së kërkesave dhe shërbimit, një kërkesë e mbërritur mund të gjejë kanalin(et) të zënë me shërbimin e kërkesës së mëparshme. Në këtë rast, ai ose do ta lërë QS-në pa shërbim ose do të mbetet në sistem, duke pritur që shërbimi i tij të fillojë. Në përputhje me këtë, ata dallojnë:

• QS me dështime;
• SMO me pritje.

CMO me pritje karakterizohet nga prania e radhëve. Një radhë mund të ketë kapacitet të kufizuar ose të pakufizuar: .

Studiuesi zakonisht është i interesuar për karakteristikat e mëposhtme statistikore që lidhen me qëndrimin e aplikacioneve në radhë:

• numri mesatar i aplikimeve në radhë gjatë intervalit të studimit;
• koha mesatare e shpenzuar (në pritje) për një aplikim në radhë. QS me kapacitet të kufizuar në radhë referuar si një QS e tipit të përzier.

Shpesh ka CMO në të cilat aplikacionet kanë kohë e kufizuar në radhë pavarësisht nga kapaciteti i tij. QS të tilla klasifikohen gjithashtu si QS të tipit të përzier.

Rrjedha e daljesështë fluksi i aplikacioneve të servisuara që largohen nga QS.

Ka raste kur kërkesat kalojnë nëpër disa QS: komunikim transit, transportues prodhimi, etj. Në këtë rast, fluksi dalës është në hyrje për QS-në e radhës. Një grup QS-sh të ndërlidhura në mënyrë sekuenciale quhet sistemi shumëfazor i radhës ose Rrjetet QS.

Rrjedha hyrëse e QS-së së parë, duke kaluar nëpër QS-të pasuese, është e shtrembëruar dhe kjo e komplikon modelimin. Megjithatë, duhet pasur parasysh se me rrymën më të thjeshtë hyrëse dhe shërbimin eksponencial (d.m.th., në sistemet Markov), rrjedha e daljes është gjithashtu më e thjeshta. Nëse koha e shërbimit ka një shpërndarje jo eksponenciale, atëherë rrjedha dalëse jo vetëm që nuk është më e thjeshta, por edhe jo e përsëritur.

Vini re se intervalet midis kërkesave të fluksit dalës nuk janë të njëjta me intervalet e shërbimit. Në fund të fundit, mund të rezultojë që pas përfundimit të shërbimit tjetër, QS është boshe për ca kohë për shkak të mungesës së aplikacioneve. Në këtë rast

Rrjedha e porosive është Poisson nëse plotësohen 3 kushte:

Intensiteti i rrjedhës së ngjarjes () është numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës.

Le të shohim disa veti (lloje) të transmetimeve të ngjarjeve.

Rrjedha e ngjarjeve quhet stacionare, nëse karakteristikat e tij probabilistike nuk varen nga koha.

Në veçanti, intensiteti i rrjedhës së palëvizshme është konstant. Rrjedha e ngjarjeve pashmangshmërisht ka kondensime ose rrallime, por ato nuk janë të një natyre të rregullt dhe numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës është konstant dhe nuk varet nga koha.

Rrjedha e ngjarjeve quhet rrjedhin pa pasoja, nëse për çdo dy seksione kohore që nuk mbivendosen dhe (shih Fig. 2) numri i ngjarjeve që bien në njërën prej tyre nuk varet nga sa ngjarje bien në tjetrën. Me fjalë të tjera, kjo do të thotë se ngjarjet që formojnë rrjedhën shfaqen në momente të caktuara kohore të pavarur nga njëri-tjetri dhe secila shkaktohet nga shkaqet e veta.

Rrjedha e ngjarjeve quhet e zakonshme, nëse ngjarjet shfaqen në të një nga një, dhe jo në grupe me disa njëherësh.

Rrjedha e ngjarjeve quhet më i thjeshtë (ose i palëvizshëm Poisson), nëse ka tre veti njëherësh:

Probabiliteti i një ngjarjeje (ardhja e një aplikacioni) në një interval të shkurtër kohor është në përpjesëtim me gjatësinë e këtij intervali.

Probabiliteti i 2 ngjarjeve në një interval të vogël është i papërfillshëm.

Besimi se një aplikim është pranuar nuk varet nga ngjarjet e mëparshme.

Rrjedha më e thjeshtë ka përshkrimin më të thjeshtë matematikor. Ai luan të njëjtin rol të veçantë midis flukseve siç luan ligji i shpërndarjes normale midis ligjeve të tjera të shpërndarjes. Domethënë, kur mbivendosni një numër mjaft të madh të rrjedhave të pavarura, të palëvizshme dhe të zakonshme (të krahasueshme me njëra-tjetrën në intensitet), fitohet një rrjedhë afër më të thjeshtit.

QS më e thjeshtë dhe karakteristikat e tyre. Sisteme me shumë kanale dhe me një kanal pa humbje me vonesë të pakufizuar dhe një burim me një numër të pafund kërkesash. Kushti për ekzistencën e një rradhe mesatare të fundme për sistemet me shumë kanale.

Shembuj të sistemeve të radhës (QS): centralet telefonike, dyqanet e riparimit, zyrat e biletave, tavolinat e informacionit, makineritë dhe sistemet e tjera teknologjike, sistemet e kontrollit të sistemeve fleksibël të prodhimit, etj.

Çdo QS përbëhet nga një numër i caktuar njësish shërbimi, të cilat quhen kanalet e shërbimit(këto janë makina, karroca transporti, robotë, linja komunikimi, arkëtarë, shitës, etj.). Çdo QS është krijuar për të shërbyer një lloj rrjedha e aplikacioneve(kërkesat) që mbërrijnë në disa momente të rastësishme në kohë.

Shërbimi i kërkesës vazhdon për disa kohë, në përgjithësi, të rastësishme, pas së cilës kanali lirohet dhe është gati për të marrë kërkesën e radhës. Natyra e rastësishme e rrjedhës së aplikacioneve dhe koha e shërbimit çon në faktin se në disa periudha kohore një numër tepër i madh aplikacionesh grumbullohen në hyrjen e QS (ato ose qëndrojnë në radhë ose e lënë QS-në pa shërbim). Në periudha të tjera, sistemi do të funksionojë me nën ngarkesë ose do të jetë plotësisht i papunë.

QS më e thjeshtë me pritje është një sistem me një kanal që merr një fluks kërkesash me një intensitet specifik.Një kërkesë që arrin në një kohë kur kanali është i zënë është në radhë dhe pret shërbimin.

MCU-të përdoren për të simuluar disa objekte operative paralele. Modelimi i një MCU është i ngjashëm me modelimin e një pajisjeje: një transaksion hyn në pajisje, zë një numër të caktuar kanalesh, shërbehet për ca kohë dhe më pas largohet nga MCU, duke çliruar kanalet që ka zënë.

Kushtet në një objekt real të nevojshëm për të përdorur MKU për paraqitjen e tyre në model:

Objektet duhet të kenë të njëjtin funksion të shpërndarjes së kohës së shërbimit

Të njëjtat parametra për këtë funksion.

Ndryshe nga pajisja, kapaciteti i maces është gjithmonë i barabartë me një, kapaciteti i MKU d.b. të përcaktuara nga programuesi. Për ta bërë këtë, përdorni një komandë të veçantë STORAGE (DEFINE MCU).

Emri i ekipit STORAGE A

Fusha CommandName është emri simbolik i MCU, dhe fusha A është kapaciteti i saj (numri i kanaleve të shërbimit), operandi A mund të jetë specifikuar vetëm si një numër i plotë pozitiv.

P.sh.: MKU1 STORAGE 5 TRAKT STORAGE 30 (kapaciteti i MKU me emrin MKU1 përcaktohet si 5, MKU me emrin TRAKT është 30).

Ngjarja e lidhur me zënien e kanaleve të shërbimit modelohet nga blloku ENTER dhe ngjarja e lidhur me lëshimin e kanaleve modelohet nga blloku LEAVE.

A është emri i MKU. B – numri i njësive të kapacitetit MCU që macja duhet të zërë (lëshojë) transaksionin. Parazgjedhja = 1.

Shembull: 1) ENTER BLOK3 (shkruani MCU me emrin BLOK3);

2)LEAVE SEANS,3 (lëshoni 3 njësi të kapacitetit MCU me emrin SEANS).

Midis blloqeve ENTER dhe LEAVE mund të ketë çdo numër blloqesh. Në veçanti, vonesa gjatë kohës së shërbimit në MCU është simuluar duke përdorur bllokun ADVANCE.

Nëse numri i njësive të kapacitetit të specifikuar nga operandi B i bllokut LEAVE tejkalon numrin e kanaleve MCU të zëna aktualisht, përkthyesi ndalon simulimin dhe shfaq një mesazh gabimi.

Për transaksionet që presin pushtimin e MCU, zbatohet rregulli "i pari që përputhet me kalimet".

Kur një transaksion hyn në bllokun LEAVE, përkthyesi ndalon progresin e tij, duke lejuar që transaksioni tjetër nga zinxhiri i vonesës së kësaj MCU të hyjë në bllokun ENTER dhe vetëm pas kësaj avancon transaksionin që la MCU në model. Transaksioni që largohet nga zinxhiri i vonesës MCU transferohet në DTS dhe bëhet i fundit në klasën e tij prioritare.

MCU-të kanë NAV-të e mëposhtme: S - përmbajtja aktuale e MCU; R është kapaciteti i lirë i MCU; SR - shkalla e përdorimit në fraksione prej 1000; SA - pjesë e plotë e përmbajtjes mesatare të MKU; SM - përmbajtja maksimale e MCU; SC - numri i klasave MKU; ST është një pjesë e plotë e kohës mesatare të pushtimit të MKU.

Blloqet Seize and Release përdoren për të dizajnuar pajisje me një kanal

KAPITULLIA(zënë) - okupimi i pajisjes nga një transaksion. A- emri i pikës hyrëse të pajisjes.

LIRIMIA(lëshim) – lirimi i pajisjes nga transaksioni pasi të ketë skaduar koha e shërbimit.