L. 2-1 Základné pojmy vektorovej algebry. Lineárne operácie s vektormi.

Rozklad vektora z hľadiska bázy.

Základné pojmy vektorovej algebry

Vektor je množina všetkých smerovaných segmentov, ktoré majú rovnakú dĺžku a smer
.

Vlastnosti:

Lineárne operácie s vektormi

1.

Pravidlo paralelogramu:

S hmm dva vektory A nazývaný vektor , vychádzajú z ich spoločného pôvodu a sú uhlopriečkou rovnobežníka postaveného na vektoroch A ako na bokoch.

Pravidlo mnohouholníka:

Ak chcete zostrojiť súčet ľubovoľného počtu vektorov, musíte umiestniť začiatok 2. vektora na koniec 1. členu, začiatok 3. na koniec 2. atď. Vektor, ktorý uzatvára výslednú lomenú čiaru, je súčet. Jeho začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého a koniec s koncom posledného.

Vlastnosti:

2.

Vektorový produkt za číslo , sa nazýva vektor, ktorý spĺňa podmienky:
.

Vlastnosti:

3.

rozdiel vektory A volací vektor rovná súčtu vektora a vektor opačný k vektoru , t.j.
.

- zákon opačného prvku (vektora).

Rozklad vektora z hľadiska bázy

Súčet vektorov je určený jedinečným spôsobom
(ale len ). Opačná operácia, rozklad vektora na niekoľko komponentov, je nejednoznačná: Aby to bolo jednoznačné, je potrebné uviesť smery, v ktorých dochádza k expanzii uvažovaného vektora, alebo, ako sa hovorí, je potrebné uviesť základ.

Pri určovaní bázy je zásadná požiadavka nekoplanarity a nekolinearity vektorov. Aby sme pochopili význam tejto požiadavky, je potrebné zvážiť koncepciu lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti vektorov.

Ľubovoľné vyjadrenie tvaru: , tzv lineárna kombinácia vektory
.

Lineárna kombinácia viacerých vektorov sa nazýva triviálne ak sú všetky jeho koeficienty rovné nule.

vektory
volal lineárne závislé, ak existuje netriviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná nule:
(1), ak
. Ak rovnosť (1) platí len pre všetkých
súčasne rovné nule, potom nenulové vektory
bude lineárne nezávislé.

Je ľahké dokázať: ktorékoľvek dva kolineárne vektory sú lineárne závislé a dva nekolineárne vektory sú lineárne nezávislé.

Dôkaz začíname prvým tvrdením.

Nechajte vektory A kolineárne. Ukážme, že sú lineárne závislé. Ak sú totiž kolineárne, tak sa od seba líšia len číselným faktorom, t.j.
, teda
. Keďže výsledná lineárna kombinácia je zjavne netriviálna a rovná sa "0", potom vektory A lineárne závislé.

Zvážte teraz dva nekolineárne vektory A . Dokážme, že sú lineárne nezávislé. Dôkaz budujeme protirečením.

Predpokladáme, že sú lineárne závislé. Potom musí existovať netriviálna lineárna kombinácia
. Predstierajme to
, Potom
. Výsledná rovnosť znamená, že vektory A sú kolineárne, na rozdiel od nášho pôvodného predpokladu.

Podobne možno dokázať: ktorékoľvek tri koplanárne vektory sú lineárne závislé a dva nekoplanárne vektory sú lineárne nezávislé.

Ak sa vrátime ku konceptu bázy a k problému expanzie vektora v určitej báze, môžeme povedať, že báza v rovine a v priestore je tvorená množinou lineárne nezávislých vektorov. Takýto koncept základu je všeobecný, keďže je použiteľný pre priestor ľubovoľného počtu rozmerov.

Výraz ako:
, sa nazýva rozklad vektora podľa vektorov ,…,.

Ak uvažujeme základ v trojrozmernom priestore, potom rozklad vektora základ
bude
, Kde
-vektorové súradnice.

V probléme rozšírenia ľubovoľného vektora na nejakom základe je veľmi dôležité nasledujúce vyhlásenie: ľubovoľný vektormožno v danom základe jedinečným spôsobom rozložiť
. Inými slovami, súradnice
pre akýkoľvek vektor vzhľadom na základ
je definovaný jednoznačne.

Zavedenie bázy v priestore a na rovine umožňuje priradiť ku každému vektoru usporiadané trojité (párové) čísla - jeho súradnice. Tento veľmi dôležitý výsledok, ktorý umožňuje nadviazať spojenie medzi geometrickými objektmi a číslami, umožňuje analyticky popísať a študovať polohu a pohyb fyzických objektov.

Kombinácia bodu a základu sa nazýva súradnicový systém.

Ak sú vektory tvoriace základ jednotkové a párové kolmé, potom sa nazýva súradnicový systém obdĺžnikový, a základ ortonormálny.

L. 2-2 Súčin vektorov

Rozklad vektora z hľadiska bázy

Zvážte vektor
, daný jeho súradnicami:
.

- vektorové zložky v smeroch bázových vektorov
.

Vyjadrenie formy
sa nazýva rozklad vektora základ
.

Podobným spôsobom sa dá rozložiť základ
vektor
:

.

Kosínusy uhlov tvorených uvažovaným vektorom so základnými vektormi
volal smerové kosínusy

;
;
.

Skalárny súčin vektorov.

Skalárny súčin dvoch vektorov A sa nazýva číslo rovné súčinu modulov týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi

Skalárny súčin dvoch vektorov možno považovať za súčin modulu jedného z týchto vektorov a ortogonálnej projekcie druhého vektora na smer prvého vektora.
.

Vlastnosti:

Ak sú známe súradnice vektorov
A
, potom s rozšírením vektorov, pokiaľ ide o základ
:
A
, Nájsť

, pretože
,
, To

.

.

Podmienka kolmosti vektorov:
.

Podmienka kolinearity pre rektorov:
.

Krížový súčin vektorov

alebo

vektorové umenie na vektor takýto vektor sa nazýva
, ktorý spĺňa podmienky:

Vlastnosti:

Uvažované algebraické vlastnosti umožňujú nájsť analytické vyjadrenie pre krížový súčin v zmysle súradníc vektorov zložiek na ortonormálnom základe.

Vzhľadom na to:
A
.

pretože ,
,
,
,
,
,
, To

. Tento vzorec možno napísať kratšie vo forme determinantu tretieho rádu:

.

Zmiešaný súčin vektorov

Zmiešaný súčin troch vektorov ,A nazývané číslo rovné vektorovému súčinu
, skalárne vynásobené vektorom .

Platí nasledujúca rovnosť:
, tak sa píše zmiešaný produkt
.

Ako vyplýva z definície, výsledkom zmiešaného súčinu troch vektorov je číslo. Toto číslo má jasný geometrický význam:

Modul zmiešaného produktu
sa rovná objemu rovnobežnostena postaveného na vektoroch zredukovaných na spoločný začiatok ,A .

Vlastnosti zmiešaného produktu:

Ak vektory ,,sú uvedené v ortonormálnom základe
ich súradníc, výpočet zmiešaného produktu sa vykonáva podľa vzorca

.

Skutočne, ak
, To

;
;
, Potom
.

Ak vektory ,,sú koplanárne, potom vektorový súčin
kolmo na vektor . A naopak, ak
, potom je objem rovnobežnostena nulový, a to je možné len vtedy, ak sú vektory koplanárne (lineárne závislé).

Tri vektory sú teda koplanárne vtedy a len vtedy, ak je ich zmiešaný súčin nula.

Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základy vektorov. Afinný súradnicový systém

V hľadisku je vozík s čokoládami a dnes každý návštevník dostane sladkú dvojicu - analytickú geometriu s lineárnou algebrou. Tento článok sa dotkne dvoch častí vyššej matematiky naraz a uvidíme, ako spolu vychádzajú v jednom obale. Dajte si pauzu, zjedzte Twix! ... sakra, no, argumentovať nezmysly. Aj keď v poriadku, nedám gól, nakoniec by mal existovať pozitívny prístup k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárna nezávislosť vektorov, vektorový základ a iné pojmy majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry zďaleka nie je vždy tým „obyčajným“ vektorom, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Dôkaz nemusíte hľadať ďaleko, skúste nakresliť vektor päťrozmerného priestoru . Alebo vektor počasia, pre ktorý som práve šiel do Gismetea: - teplota a atmosférický tlak, resp. Príklad je, samozrejme, nesprávny z hľadiska vlastností vektorového priestoru, ale napriek tomu nikto nezakazuje formalizovať tieto parametre ako vektor. Dych jesene...

Nie, nebudem vás nudiť teóriou, lineárne vektorové priestory, úlohou je rozumieť definície a vety. Nové pojmy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) sú z algebraického hľadiska použiteľné pre všetky vektory, ale príklady budú uvedené geometricky. Všetko je teda jednoduché, prístupné a vizuálne. Okrem problémov analytickej geometrie sa budeme zaoberať aj niektorými typickými úlohami algebry. Na zvládnutie materiálu je vhodné oboznámiť sa s lekciami Vektory pre figuríny A Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Zvážte rovinu vášho počítačového stola (stačí stôl, nočný stolík, podlaha, strop, čokoľvek sa vám páči). Úloha bude pozostávať z nasledujúcich akcií:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba povedané, doska stola má dĺžku a šírku, takže je intuitívne jasné, že na zostavenie základu sú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe zvoleného základu nastaviť súradnicový systém(súradnicová mriežka) na priradenie súradníc všetkým položkám v tabuľke.

Nebuďte prekvapení, najprv budú vysvetlenia na prstoch. Navyše na tej vašej. Umiestnite prosím ukazovák ľavej ruky na okraj dosky stola tak, aby sa pozeral na monitor. Toto bude vektor. Teraz miesto malíček pravej ruky na okraj stola rovnakým spôsobom - tak, aby smeroval na obrazovku monitora. Toto bude vektor. Usmej sa, vyzeráš skvele! Čo možno povedať o vektoroch? Dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne vyjadrené cez seba:
, no, alebo naopak: , kde je nenulové číslo.

Obrázok tejto akcie môžete vidieť v lekcii. Vektory pre figuríny, kde som vysvetlil pravidlo pre násobenie vektora číslom.

Nastavia vaše prsty základ v rovine počítačového stola? Očividne nie. Kolineárne vektory sa pohybujú tam a späť sám smer, zatiaľ čo rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Referencia: Slová „lineárny“, „lineárny“ označujú skutočnosť, že v matematických rovniciach, výrazoch nie sú žiadne mocniny, mocniny, logaritmy, sínusy atď. Existujú iba lineárne (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne.

Prekrížte prsty na stole tak, aby medzi nimi bol akýkoľvek uhol okrem 0 alebo 180 stupňov. Dva rovinné vektorylineárne nie sú závislé vtedy a len vtedy, ak nie sú kolineárne. Takže základ je prijatý. Netreba sa hanbiť, že základ sa ukázal ako „šikmý“ s nekolmými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že na jeho konštrukciu je vhodný nielen uhol 90 stupňov, ale nielen jednotkové vektory rovnakej dĺžky.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta rozšírené z hľadiska základu:
, kde sú reálne čísla . Volajú sa čísla vektorové súradnice v tomto základe.

Aj to hovoria vektorprezentované vo formulári lineárna kombinácia bázové vektory. To znamená, že výraz sa nazýva vektorový rozkladzáklad alebo lineárna kombinácia bázové vektory.

Napríklad možno povedať, že vektor je expandovaný v ortonormálnom základe roviny , alebo možno povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov .

Poďme formulovať definícia základu formálne: rovinný základ je dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , kde akýkoľvek rovinný vektor je lineárnou kombináciou základných vektorov.

Podstatným bodom definície je fakt, že sa berú vektory v určitom poradí. základne Toto sú dva úplne odlišné základy! Ako sa hovorí, malíček ľavej ruky sa nedá presunúť na miesto malíčka pravej ruky.

Základ sme vymysleli, ale nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a priradiť súradnice každej položke na vašom počítači. Prečo nie dosť? Vektory sú voľné a putujú po celej rovine. Ako teda priradíte súradnice k tým malým špinavým bodkám tabuľky, ktoré zostali z divokého víkendu? Je potrebný východiskový bod. A takýmto referenčným bodom je bod známy každému - počiatok súradníc. Pochopenie súradnicového systému:

Začnem „školským“ systémom. Už v úvodnej lekcii Vektory pre figuríny Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Tu je štandardný obrázok:

Keď sa hovorí o pravouhlý súradnicový systém, potom najčastejšie znamenajú počiatok, súradnicové osi a mierku pozdĺž osí. Skúste do vyhľadávača zadať „obdĺžnikový súradnicový systém“ a uvidíte, že mnohé zdroje vám povedia o súradnicových osiach známych z 5. – 6. ročníka a ako zakresľovať body do roviny.

Na druhej strane vzniká dojem, že pravouhlý súradnicový systém možno dobre definovať z hľadiska ortonormálneho základu. A takmer je. Znenie znie takto:

pôvodu, A ortonormálny základná sada Kartézsky súradnicový systém roviny . Teda pravouhlý súradnicový systém určite je definovaný jedným bodom a dvoma jednotkovými ortogonálnymi vektormi. Preto vidíte výkres, ktorý som uviedol vyššie - v geometrických úlohách sa často (ale zďaleka nie vždy) kreslia vektory aj súradnicové osi.

Myslím, že to každý pochopí pomocou bodu (pôvodu) a ortonormálneho základu AKÝKOĽVEK BOD roviny a AKÝKOĽVEK VEKTOR roviny je možné priradiť súradnice. Obrazne povedané, „všetko v lietadle sa dá očíslovať“.

Musia byť súradnicové vektory jednotkové? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Uvažujme bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne. Počiatok súradníc s vektormi definuje súradnicovú sieť a ľubovoľný bod roviny, ľubovoľný vektor má svoje súradnice v danej báze. Napríklad, alebo. Zjavnou nevýhodou je, že súradnicové vektory všeobecne majú rôzne dĺžky iné ako jednota. Ak sú dĺžky rovné jednej, získa sa obvyklý ortonormálny základ.

! Poznámka : v ortogonálnej základni, ako aj nižšie v afinných základniach roviny a priestoru sa berú do úvahy jednotky pozdĺž osí PODMIENKY. Napríklad jedna jednotka na úsečke obsahuje 4 cm, jedna jednotka na zvislej osi obsahuje 2 cm.Táto informácia v prípade potreby stačí na prevod „neštandardných“ súradníc na „naše obvyklé centimetre“.

A druhá otázka, ktorá už bola vlastne zodpovedaná - je uhol medzi základnými vektormi nevyhnutne rovný 90 stupňom? Nie! Ako hovorí definícia, základné vektory musia byť len nekolineárne. V súlade s tým môže byť uhol akýkoľvek okrem 0 a 180 stupňov.

Bod v lietadle tzv pôvodu, A nekolineárne vektory, , sada afinný súradnicový systém roviny :

Niekedy sa tento súradnicový systém nazýva tzv šikmé systém. Body a vektory sú na obrázku znázornené ako príklady:

Ako viete, afinný súradnicový systém je ešte menej pohodlný, vzorce pre dĺžky vektorov a segmentov, ktoré sme zvažovali v druhej časti lekcie, v ňom nefungujú. Vektory pre figuríny, veľa lahodných vzorcov súvisiacich s skalárny súčin vektorov. Ale platia pravidlá pre sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom, vzorce na delenie segmentu v tomto ohľade, ako aj niektoré ďalšie typy problémov, ktoré čoskoro zvážime.

Záverom je, že najvhodnejším konkrétnym prípadom afinného súradnicového systému je karteziánsky pravouhlý systém. Preto ju, jej vlastnú, treba najčastejšie vidieť. ... Všetko v tomto živote je však relatívne - je veľa situácií, v ktorých je vhodné mať šikmý (alebo nejaký iný napr. polárny) súradnicový systém. Áno, a humanoidom môžu takéto systémy prísť na chuť =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky problémy v tejto lekcii platia pre pravouhlý súradnicový systém aj pre všeobecný afinný prípad. Nie je tu nič zložité, všetok materiál je dostupný aj pre školáka.

Ako určiť kolinearitu rovinných vektorov?

Typická vec. Aby boli dva rovinné vektory sú kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich príslušné súradnice boli proporcionálne.V podstate ide o spresnenie súradnicovej po súradnici zjavného vzťahu .

Príklad 1

a) Skontrolujte, či sú vektory kolineárne .
b) Tvoria vektory základ? ?

Riešenie:
a) Zistite, či existuje pre vektory koeficient proporcionality tak, aby boli splnené rovnosti:

Určite vám poviem o „foppish“ verzii aplikácie tohto pravidla, ktorá v praxi funguje celkom dobre. Cieľom je okamžite zostaviť pomer a zistiť, či je správny:

Urobme pomer z pomerov zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Skracujeme:
, takže zodpovedajúce súradnice sú úmerné, preto

Je možné vytvoriť vzťah a naopak, toto je ekvivalentná možnosť:

Pre samotestovanie je možné využiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne vyjadrené cez seba. V tomto prípade ide o rovnosť . Ich platnosť sa dá ľahko skontrolovať pomocou elementárnych operácií s vektormi:

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , z druhej rovnice vyplýva, že , čo znamená, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Záver: vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Zložte pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov :
, preto sú tieto vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

Obyčajne recenzenti túto možnosť neodmietajú, problém však nastáva v prípadoch, keď sa niektoré súradnice rovnajú nule. Páči sa ti to: . Alebo takto: . Alebo takto: . Ako sa tu prepracovať k pomeru? (Naozaj sa nedá deliť nulou). Z tohto dôvodu som zjednodušené riešenie nazval „fupské“.

odpoveď: a) , b) formulár.

Malý kreatívny príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 2

Pri akej hodnote parametra vektory bude kolineárny?

Vo vzorovom riešení sa parameter nachádza prostredníctvom podielu.

Existuje elegantný algebraický spôsob, ako skontrolovať kolinearitu vektorov. Systematizujme naše znalosti a pridajte ich ako piaty bod:

Pre dva rovinné vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

resp. nasledujúce opačné tvrdenia sú ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) vektory sú kolineárne;
4) vektory môžu byť navzájom lineárne vyjadrené;
+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov sa rovná nule.

Veľmi, veľmi dúfam, že v tejto chvíli už rozumiete všetkým pojmom a vyhláseniam, s ktorými ste sa stretli.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty bod: dva rovinné vektory sú kolineárne práve vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:. Aby ste túto funkciu mohli používať, samozrejme, musíte byť schopní nájsť determinanty.

My sa rozhodneme Príklad 1 druhým spôsobom:

a) Vypočítajte determinant, zložený zo súradníc vektorov :
, takže tieto vektory sú kolineárne.

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov :
, preto sú vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

odpoveď: a) , b) formulár.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s proporciami.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj dokázať rovnobežnosť segmentov, priamok. Zvážte niekoľko problémov so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3

Zadané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je rovnobežník.

Dôkaz: V úlohe nie je potrebné vytvárať výkres, pretože riešenie bude čisto analytické. Pamätajte na definíciu rovnobežníka:
Paralelogram Nazýva sa štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné.

Preto je potrebné preukázať:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán a;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán a .

Dokazujeme:

1) Nájdite vektory:

2) Nájdite vektory:

Výsledkom je rovnaký vektor („podľa školy“ - rovnaké vektory). Kolinearita je celkom zrejmá, ale je lepšie sa rozhodnúť správne, s usporiadaním. Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:
, takže tieto vektory sú kolineárne a .

Záver: Protiľahlé strany štvoruholníka sú po pároch rovnobežné, takže podľa definície ide o rovnobežník. Q.E.D.

Viac dobrých a odlišných postáv:

Príklad 4

Zadané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je lichobežník.

Pre presnejšiu formuláciu dôkazu je samozrejme lepšie získať definíciu lichobežníka, ale stačí si len zapamätať, ako vyzerá.

Toto je úloha pre nezávislé rozhodnutie. Kompletné riešenie na konci lekcie.

A teraz je čas pomaly sa presunúť z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearitu priestorových vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby boli dva priestorové vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli úmerné.

Príklad 5

Zistite, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:

A);
b)
V)

Riešenie:
a) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

"Zjednodušené" sa vytvorí kontrolou pomeru. V tomto prípade:
– zodpovedajúce súradnice nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

odpoveď: vektory nie sú kolineárne.

b-c) Toto sú body pre nezávislé rozhodnutie. Vyskúšajte to dvoma spôsobmi.

Existuje metóda na kontrolu kolinearity priestorových vektorov a prostredníctvom determinantu tretieho rádu, táto metóda je uvedená v článku Krížový súčin vektorov.

Podobne ako v prípade roviny možno uvažované nástroje použiť na štúdium rovnobežnosti priestorových segmentov a čiar.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť trojrozmerných priestorových vektorov.
Priestorová báza a afinný súradnicový systém

Mnohé zo zákonitostí, ktoré sme zvažovali v lietadle, budú platiť aj pre vesmír. Snažil som sa minimalizovať zhrnutie teórie, keďže leví podiel na informáciách už bol prežutý. Napriek tomu vám odporúčam pozorne si prečítať úvodnú časť, pretože sa objavia nové pojmy a pojmy.

Teraz namiesto roviny počítačového stola preskúmajme trojrozmerný priestor. Najprv vytvoríme jeho základ. Niekto je teraz vo vnútri, niekto vonku, ale v každom prípade nemôžeme utiecť z troch rozmerov: šírky, dĺžky a výšky. Na vytvorenie základne sú preto potrebné tri priestorové vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtý je nadbytočný.

A opäť sa zahrejeme na prstoch. Zdvihnite ruku a roztiahnite ju rôznymi smermi palec, ukazovák a prostredník. Budú to vektory, vyzerajú rôznymi smermi, majú rôzne dĺžky a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, základ trojrozmerného priestoru je pripravený! Mimochodom, nemusíte to demonštrovať učiteľom, bez ohľadu na to, ako krútite prstami, ale nemôžete sa dostať preč od definícií =)

Ďalej si položíme dôležitú otázku, či nejaké tri vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru? Pevne zatlačte tromi prstami na dosku stola počítača. Čo sa stalo? Tri vektory sú umiestnené v rovnakej rovine a zhruba povedané, stratili sme jedno z meraní - výšku. Takéto vektory sú koplanárny a celkom evidentne, že základ trojrozmerného priestoru nie je vytvorený.

Treba si uvedomiť, že koplanárne vektory nemusia ležať v rovnakej rovine, môžu byť v rovnobežných rovinách (len to nerobte prstami, len Salvador Dali sa tak vytratil =)).

Definícia: volajú sa vektory koplanárny ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory sú vždy lineárne závislé, to znamená, že sú lineárne vyjadrené cez seba. Pre jednoduchosť si opäť predstavte, že ležia v rovnakej rovine. Po prvé, vektory nie sú len koplanárne, ale môžu byť aj kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor vyjadrený prostredníctvom akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, tretí vektor sa cez ne vyjadrí jedinečným spôsobom: (a prečo je ľahké uhádnuť z materiálov predchádzajúcej časti).

Opak je tiež pravdou: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, to znamená, že sa v žiadnom prípade nevyjadrujú cez seba. A samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trojrozmerného priestoru.

Definícia: Základ trojrozmerného priestoru sa nazýva trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v určitom poradí, zatiaľ čo ľubovoľný vektor priestoru jediná cesta expanduje v danom základe , kde sú súradnice vektora v danom základe

Pre pripomenutie môžete tiež povedať, že vektor je reprezentovaný ako lineárna kombinácia bázové vektory.

Koncept súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom ako v prípade roviny, stačí jeden bod a akékoľvek tri lineárne nezávislé vektory:

pôvodu, A nekoplanárne vektory, prijaté v určitom poradí, sada afinný súradnicový systém trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, že súradnicová mriežka je „šikmá“ a nepohodlná, no napriek tomu nám vytvorený súradnicový systém umožňuje určite určiť súradnice ľubovoľného vektora a súradnice ľubovoľného bodu v priestore. Podobne ako v rovine, v afinnom súradnicovom systéme priestoru nebudú fungovať niektoré vzorce, ktoré som už spomínal.

Najznámejší a najpohodlnejší špeciálny prípad afinného súradnicového systému, ako si každý môže domyslieť, je pravouhlý priestorový súradnicový systém:

bod v priestore tzv pôvodu, A ortonormálny základná sada Kartézsky súradnicový systém priestoru . známy obrázok:

Predtým, ako pristúpime k praktickým úlohám, opäť systematizujeme informácie:

Pre tri priestorové vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú koplanárne;
4) vektory nemôžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je odlišný od nuly.

Opačné tvrdenia sú podľa mňa pochopiteľné.

Lineárna závislosť / nezávislosť priestorových vektorov sa tradične kontroluje pomocou determinantu (položka 5). Zostávajúce praktické úlohy budú mať vyslovene algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrickú palicu na klinec a oháňať sa baseballovou pálkou z lineárnej algebry:

Tri priestorové vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule: .

Upozorňujem na malú technickú nuanciu: súradnice vektorov je možné písať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota determinantu sa od toho nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale je to oveľa lepšie v stĺpcoch, pretože je to výhodnejšie na riešenie niektorých praktických problémov.

Pre tých čitateľov, ktorí trochu zabudli na metódy výpočtu determinantov, alebo sa možno vôbec zle orientujú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6

Skontrolujte, či nasledujúce vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru:

Riešenie: V skutočnosti celé riešenie spočíva vo výpočte determinantu.

a) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov (determinant je rozšírený na prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé (nie koplanárne) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: tieto vektory tvoria základ

b) Toto je bod pre nezávislé rozhodnutie. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Existujú aj kreatívne úlohy:

Príklad 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:

V podstate je potrebné vyriešiť rovnicu s determinantom. Letíme do nuly ako šarkani do jerbov - najvýhodnejšie je otvoriť determinant v druhom riadku a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenia a redukujeme záležitosť na najjednoduchšiu lineárnu rovnicu:

Odpoveď: o

Tu je ľahké to skontrolovať, preto musíte výslednú hodnotu nahradiť pôvodným determinantom a uistiť sa jej opätovným otvorením.

Na záver sa zamyslime nad ďalším typickým problémom, ktorý má skôr algebraický charakter a je tradične súčasťou kurzu lineárnej algebry. Je taký bežný, že si zaslúži samostatnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru
a nájdite súradnice 4. vektora v danom základe

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Poďme sa najskôr zaoberať podmienkou. Podľa podmienky sú dané štyri vektory, a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Čo je základ - nezaujíma nás. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu dobre tvoriť nový základ. A prvý krok je úplne rovnaký ako pri riešení príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:

, preto sú vektory lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité : vektorové súradnice Nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie reťazce. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.