Podmienené extrémy a metóda Lagrangeových multiplikátorov. Lagrangeova multiplikačná metóda

Stručná teória

Metóda Lagrangeových multiplikátorov je klasickou metódou na riešenie problémov matematického programovania (najmä konvexných). Bohužiaľ, pri praktickej aplikácii metódy sa môžu vyskytnúť značné výpočtové ťažkosti, ktoré zužujú oblasť jej použitia. Uvažujeme tu o Lagrangeovej metóde najmä preto, že ide o aparát aktívne používaný na zdôvodnenie rôznych moderných numerických metód, ktoré sú v praxi široko používané. Čo sa týka Lagrangeovej funkcie a Lagrangeových multiplikátorov, zohrávajú samostatnú a mimoriadne dôležitú úlohu v teórii a aplikáciách nielen matematického programovania.

Zvážte klasický problém optimalizácie:

Medzi obmedzeniami tohto problému nie sú žiadne nerovnosti, neexistujú podmienky pre nezápornosť premenných, ich diskrétnosť a funkcie a sú spojité a majú parciálne derivácie aspoň druhého rádu.

Klasický prístup k riešeniu úlohy dáva systém rovníc (nevyhnutné podmienky), ktoré musí spĺňať bod, ktorý poskytuje funkcii lokálny extrém na množine bodov, ktoré spĺňajú obmedzenia (pre konvexný problém programovania nájdený bod bude súčasne globálnym extrémnym bodom).

Predpokladajme, že funkcia (1) má v bode lokálny podmienený extrém a poradie matice sa rovná . Potom je možné potrebné podmienky zapísať takto:

je Lagrangeova funkcia; sú Lagrangeove multiplikátory.

Existujú aj dostatočné podmienky, za ktorých riešenie sústavy rovníc (3) určuje extrémny bod funkcie . Táto otázka je riešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Dostatočné podmienky sú však predovšetkým teoretické.

Pomocou metódy Lagrangeovho multiplikátora môžete zadať nasledujúci postup riešenia problému (1), (2):

1) zostavte Lagrangeovu funkciu (4);

2) nájdite parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie vzhľadom na všetky premenné a porovnajte ich

nula. Dostaneme tak sústavu (3) pozostávajúcu z rovníc.. Vyriešte výslednú sústavu (ak sa ukáže, že je to možné!) a nájdite tak všetky stacionárne body Lagrangeovej funkcie;

3) zo stacionárnych bodov nasnímaných bez súradníc vyberte body, v ktorých má funkcia podmienené lokálne extrémy za prítomnosti obmedzení (2). Tento výber sa robí napríklad použitím dostatočných podmienok pre lokálny extrém. Štúdia sa často zjednoduší, ak sa použijú špecifické podmienky problému.

Príklad riešenia problému

Úloha

Firma vyrába dva druhy tovaru v množstvách a . Funkcia užitočných nákladov je definovaná vzťahom . Ceny týchto tovarov na trhu sú rovnaké resp.

Určte, pri akých objemoch výkonu sa dosahuje maximálny zisk a aký sa rovná, ak celkové náklady nepresiahnu

Máte problém pochopiť proces riešenia? Stránka má službu Riešenie problémov metódami optimálnych riešení na objednávku

Riešenie problému

Ekonomický a matematický model problému

Zisková funkcia:

Obmedzenia nákladov:

Získame nasledujúci ekonomický a matematický model:

Navyše podľa zmyslu úlohy

Lagrangeova multiplikačná metóda

Zostavme Lagrangeovu funkciu:

Nájdeme parciálne derivácie 1. rádu:

Zostavíme a vyriešime sústavu rovníc:

Odvtedy

Maximálny zisk:

Odpoveď

Preto je potrebné vyrábať jednotky. tovar 1. druhu a jednotky. tovar 2. druhu. V tomto prípade bude zisk maximálny a bude 270.
Uvádza sa príklad riešenia úlohy kvadratického konvexného programovania grafickou metódou.

Riešenie lineárnej úlohy grafickou metódou
Uvažuje sa o grafickej metóde riešenia úlohy lineárneho programovania (LPP) s dvoma premennými. Na príklade úlohy je uvedený podrobný popis konštrukcie výkresu a nájdenia riešenia.

Wilsonov model riadenia zásob
Na príklade riešenia problému sa uvažuje o hlavnom modeli riadenia zásob (Wilsonov model). Vypočítavajú sa také ukazovatele modelu, ako je optimálna veľkosť šarže objednávky, ročné skladovacie náklady, interval medzi dodávkami a miesto zadania objednávky.

Matica priamych nákladov a vstupno-výstupná matica
Na príklade riešenia problému sa uvažuje Leontievov medzisektorový model. Je znázornený výpočet matice koeficientov priamych materiálových nákladov, matice „input-output“, matice koeficientov nepriamych nákladov, vektorov konečnej spotreby a hrubej produkcie.

S Podstatou Lagrangeovej metódy je zredukovať problém podmieneného extrému na riešenie problému nepodmieneného extrému. Zvážte model nelineárneho programovania:

(5.2)

Kde
sú známe funkcie,

A
sú uvedené koeficienty.

Všimnite si, že v tejto formulácii problému sú obmedzenia dané rovnosťami a neexistuje žiadna podmienka, aby premenné boli nezáporné. Okrem toho predpokladáme, že funkcie
sú spojité so svojimi prvými parciálnymi deriváciami.

Transformujme podmienky (5.2) tak, aby ľavá alebo pravá časť rovnosti obsahovala nula:

(5.3)

Zostavme Lagrangeovu funkciu. Zahŕňa účelovú funkciu (5.1) a pravú stranu obmedzení (5.3), v uvedenom poradí s koeficientmi
. Bude toľko Lagrangeových koeficientov, koľko bude obmedzení v probléme.

Extrémne body funkcie (5.4) sú extrémnymi bodmi pôvodného problému a naopak: optimálny plán problému (5.1)-(5.2) je globálny extrémny bod Lagrangeovej funkcie.

Naozaj, nech sa nájde riešenie
problém (5.1)-(5.2), potom sú splnené podmienky (5.3). Nahradíme plán
do funkcie (5.4) a overte platnosť rovnosti (5.5).

Aby sme teda našli optimálny plán pôvodného problému, je potrebné preskúmať Lagrangeovu funkciu pre extrém. Funkcia má extrémne hodnoty v bodoch, kde sú jej parciálne derivácie rovnaké nula. Takéto body sa nazývajú stacionárne.

Definujeme parciálne derivácie funkcie (5.4)

,

.

Po vyrovnaní nula deriváty dostaneme systém m+n rovnice s m+n neznámy

,(5.6)

Vo všeobecnom prípade bude mať systém (5.6)-(5.7) niekoľko riešení, ktoré zahŕňajú všetky maximá a minimá Lagrangeovej funkcie. Aby sa zvýraznilo globálne maximum alebo minimum, hodnoty cieľovej funkcie sa vypočítajú vo všetkých nájdených bodoch. Najväčšia z týchto hodnôt bude globálne maximum a najmenšia bude globálne minimum. V niektorých prípadoch je možné použiť dostatočné podmienky pre prísny extrém spojité funkcie (pozri problém 5.2 nižšie):

nechajte funkciu
je spojitá a dvakrát diferencovateľná v niektorom okolí svojho stacionárneho bodu (tie.
)). potom:

A ) Ak
, (5.8)

To je striktný maximálny bod funkcie
;

b) Ak
, (5.9)

To je striktný minimálny bod funkcie
;

G ) Ak
,

potom otázka prítomnosti extrému zostáva otvorená.

Navyše niektoré riešenia systému (5.6)-(5.7) môžu byť záporné. Čo nie je v súlade s ekonomickým významom premenných. V tomto prípade by sa mala analyzovať možnosť nahradenia záporných hodnôt nulou.

Ekonomický význam Lagrangeových multiplikátorov. Optimálna hodnota multiplikátora
ukazuje, ako veľmi sa zmení hodnota kritéria Z pri zvyšovaní alebo znižovaní zdroja j na jednotku, od r

Lagrangeovu metódu možno použiť aj vtedy, keď sú obmedzenia nerovnosťami. Takže nájdenie extrému funkcie
za podmienok

,

vykonávané v niekoľkých etapách:

1. Určte stacionárne body účelovej funkcie, pre ktoré riešia sústavu rovníc

.

2. Zo stacionárnych bodov sa vyberú tie, ktorých súradnice spĺňajú podmienky

3. Na vyriešenie problému s obmedzeniami rovnosti (5.1)-(5.2) sa používa Lagrangeova metóda.

4. Body nájdené v druhom a treťom stupni sa skúmajú na globálne maximum: porovnávajú sa hodnoty cieľovej funkcie v týchto bodoch - najväčšia hodnota zodpovedá optimálnemu plánu.

Úloha 5.1 Vyriešme problém 1.3, uvažovaný v prvej časti, Lagrangeovou metódou. Optimálne rozdelenie vodných zdrojov popisuje matematický model

.

Vytvorte Lagrangeovu funkciu

Nájdite bezpodmienečné maximum tejto funkcie. Na tento účel vypočítame parciálne derivácie a prirovnáme ich k nule

,

Takto sme získali sústavu lineárnych rovníc tvaru

Riešenie sústavy rovníc je optimálnym plánom rozmiestnenia vodných zdrojov nad zavlažovanými plochami

, .

množstvá
merané v stovkách tisíc metrov kubických.
- výška čistého príjmu na stotisíc metrov kubických závlahovej vody. Preto je hraničná cena 1 m 3 závlahovej vody
Brloh. Jednotky

Maximálny dodatočný čistý príjem zo zavlažovania bude

160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=

172391,02 (den. jednotky)

Úloha 5.2 Vyriešte problém nelineárneho programovania

Obmedzenie predstavujeme ako:

.

Zostavte Lagrangeovu funkciu a určte jej parciálne derivácie

.

Na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie je potrebné prirovnať jej parciálne derivácie k nule. Výsledkom je systém rovníc

.

Z prvej rovnice vyplýva

. (5.10)

Výraz dosadiť do druhej rovnice

,

z ktorých sú dve riešenia pre :

A
. (5.11)

Dosadením týchto riešení do tretej rovnice dostaneme

,
.

Hodnoty Lagrangeovho multiplikátora a neznáma vypočítajte pomocou výrazov (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Získali sme teda dva extrémne body:

;
.

Aby sme zistili, či sú tieto body maximálne alebo minimálne, používame dostatočné podmienky pre prísny extrém (5.8)-(5.9). Pre výraz pre , získanú z obmedzenia matematického modelu, dosadíme do účelovej funkcie

,

. (5.12)

Aby sme skontrolovali podmienky pre striktný extrém, mali by sme určiť znamienko druhej derivácie funkcie (5.11) v extrémnych bodoch, ktoré sme našli
A
.

,
;

.

Takže (·)
je minimálny bod pôvodného problému (
), A (·)
- maximálny bod.

Optimálny plán:

,
,
,

.

Dnes sa v lekcii naučíme, ako nájsť podmienené alebo, ako sa im hovorí, relatívne extrémy funkcie viacerých premenných a v prvom rade sa budeme, samozrejme, baviť o podmienených extrémoch funkcie dvoch A tri premenné, ktoré sa nachádzajú v drvivej väčšine tematických problémov.

Čo potrebujete vedieť a vedieť práve teraz? Napriek tomu, že tento článok je „na okraji“ témy, nebude to trvať tak veľa na úspešnú asimiláciu materiálu. V tomto bode by ste sa mali riadiť hlavným plochy priestoru, vedieť nájsť parciálne deriváty (aspoň na strednej úrovni) a ako naznačuje nemilosrdná logika, pochopiť bezpodmienečné extrémy. Ale aj keď máte nízku úroveň výcviku, neponáhľajte sa odísť - všetky chýbajúce vedomosti / zručnosti sa dajú skutočne „nazbierať po ceste“ a bez mnohých hodín trápenia.

Najprv analyzujeme samotný koncept a zároveň expresne zopakujeme ten najbežnejší povrchy. Čo je teda podmienený extrém? ... Logika tu nie je o nič menej nemilosrdná =) Podmienený extrém funkcie je extrémom v bežnom zmysle slova, ktorý sa dosiahne pri splnení určitej podmienky (alebo podmienok).

Predstavte si svojvoľný "šikmý" lietadlo V karteziánsky systém. žiadne extrém tu nie je v dohľade. Ale to je zatiaľ. Zvážte eliptický valec, pre jednoduchosť - nekonečná okrúhla "fajka" rovnobežná s osou. Je zrejmé, že táto „fajka“ bude „vyrezávať“ z našej roviny elipsa, výsledkom čoho je maximum v hornej časti a minimum v dolnej časti. Inými slovami, funkcia definujúca rovinu dosahuje extrémy vzhľadom na tože ju križoval daný kruhový valec. To je "poskytnuté"! Ďalší eliptický valec prechádzajúci touto rovinou takmer určite vytvorí iné minimum a maximum.

Ak to nie je veľmi jasné, potom sa situácia dá realisticky nasimulovať (ale v opačnom poradí): vezmite sekeru, choďte von a vyrežte ... nie, Greenpeace vám to neskôr neodpustí - je lepšie prerezať odtokovú rúru „brúskou“ =). Podmienené minimum a podmienené maximum bude závisieť od toho, v akej výške a pod čím (nehorizontálne) rezať pod uhlom.

Je čas obliecť výpočty do matematického oblečenia. Zvážte eliptický paraboloid, ktorý má absolútne minimum v bode . Teraz nájdime extrém vzhľadom na to. Toto lietadlo rovnobežne s osou, čo znamená, že „vyrezáva“ z paraboloidu parabola. Vrchol tejto paraboly bude podmienené minimum. Okrem toho lietadlo neprechádza cez východiskový bod, preto bod zostane mimo prevádzky. Neposlali ste fotku? Poďme na odkazy! Bude to trvať ešte veľakrát.

Otázka: ako nájsť tento podmienený extrém? Najjednoduchší spôsob, ako to vyriešiť, je použiť rovnicu (ktorá sa nazýva - stave alebo rovnica spojenia) vyjadrite napríklad: - a dosaďte ho do funkcie:

V dôsledku toho sa získa funkcia jednej premennej, ktorá definuje parabolu, ktorej vrchol sa „vypočíta“ so zatvorenými očami. Poďme nájsť kritických bodov:

- kritický bod.

Ďalej je to najjednoduchšie na použitie druhý dostatočný extrémny stav:

Najmä: , takže funkcia dosiahne svoje minimum v bode . Dá sa to vypočítať priamo: , ale pôjdeme akademickejším spôsobom. Poďme nájsť súradnicu „hry“:
,

zapíšme si podmienený minimálny bod, uistite sa, že naozaj leží v rovine (spĺňa obmedzujúcu rovnicu):

a vypočítajte podmienené minimum funkcie:
vzhľadom na to (vyžaduje sa "prísada"!!!).

Uvažovaná metóda je bez tieňa pochybností použiteľná v praxi, má však množstvo nevýhod. Po prvé, geometria problému nie je ani zďaleka vždy jasná a po druhé je často nerentabilné vyjadrovať „x“ alebo „y“ z rovnice komunikácie. (ak je vôbec možnosť niečo vyjadriť). A teraz zvážime univerzálnu metódu na nájdenie podmienených extrémov, tzv Lagrangeova multiplikačná metóda:

Príklad 1

Nájdite podmienené extrémy funkcie pre zadanú rovnicu spojenia pre argumenty.

Spoznávate povrchy? ;-) ...som rád, že vidím tvoje šťastné tváre =)

Mimochodom, z formulácie tohto problému je jasné, prečo sa stav nazýva rovnica spojenia- argumenty funkcie pripojený dodatočná podmienka, t.j. nájdené extrémne body musia nevyhnutne patriť do kruhového valca.

Riešenie: v prvom kroku musíte reprezentovať obmedzovaciu rovnicu vo forme a napísať Lagrangeova funkcia:
, kde je takzvaný Lagrangeov multiplikátor.

V našom prípade a:

Algoritmus na nájdenie podmienených extrémov je veľmi podobný schéme na nájdenie „obyčajného“ extrémy. Poďme nájsť parciálne deriváty Lagrangeove funkcie, zatiaľ čo "lambda" by sa mala považovať za konštantu:

Poďme vytvoriť a vyriešiť nasledujúci systém:

Lopta sa rozmotáva štandardným spôsobom:
z prvej rovnice, ktorú vyjadríme ;
z druhej rovnice vyjadríme .

Nahraďte v rovnici komunikácie a vykonajte zjednodušenia:

V dôsledku toho získame dva stacionárne body. Ak potom:

Ak potom:

Je ľahké vidieť, že súradnice oboch bodov vyhovujú rovnici . Svedomití ľudia môžu tiež vykonať úplnú kontrolu: na to musíte nahradiť do prvej a druhej rovnice systému a potom urobte to isté s množinou . Všetko musí do seba zapadať.

Skontrolujme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky pre nájdené stacionárne body. Na vyriešenie tohto problému zvážim tri prístupy:

1) Prvým spôsobom je geometrické odôvodnenie.

Vypočítajme hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch:

Ďalej si zapíšeme frázu s približne nasledujúcim obsahom: rez rovinou kruhovým valcom je elipsa, v hornej časti ktorej je dosiahnuté maximum a v dolnej časti - minimum. Väčšia hodnota je teda podmienené maximum a menšia je podmienené minimum.

Ak je to možné, je lepšie použiť túto konkrétnu metódu - je to jednoduché a učitelia s týmto riešením počítajú. (veľkým plusom je, že ste preukázali pochopenie geometrického významu problému). Ako však už bolo uvedené, nie je vždy jasné, čo sa s čím a kde prelína, a potom prichádza na záchranu analytická kontrola:

2) Druhá metóda je založená na použití diferenciálnych znamienok druhého rádu. Ak sa ukáže, že v stacionárnom bode, funkcia tam dosiahne maximum, ale ak - potom minimum.

Poďme nájsť parciálne deriváty druhého rádu:

a vytvorte tento rozdiel:

Pre znamená, že funkcia dosiahne maximum v bode ;
pre , potom funkcia dosiahne minimum v bode .

Uvažovaná metóda je veľmi dobrá, má však nevýhodu, že v niektorých prípadoch je takmer nemožné určiť znamienko 2. diferenciálu (zvyčajne sa to stane, ak a/alebo majú rôzne znaky). A potom príde na záchranu „ťažké delostrelectvo“:

3) Diferencujte vzhľadom na "x" a pre "y" rovnicu spojenia:

a urobte nasledovné symetrické matice:

Ak je v stacionárnom bode, funkcia tam dosiahne ( pozor!) minimum, ak – tak maximum.

Napíšme maticu pre hodnotu a príslušný bod:

Poďme si to spočítať determinant:
, takže funkcia má maximum v bode .

Podobne pre hodnotu a bod:

Funkcia má teda minimum v bode .

Odpoveď: vzhľadom na to, že:

Po podrobnej analýze materiálu vám jednoducho nemôžem ponúknuť niekoľko typických úloh na samovyšetrenie:

Príklad 2

Nájdite podmienený extrém funkcie, ak sú jej argumenty spojené rovnicou

Príklad 3

Nájdite extrémy funkcie pod podmienkou

A opäť dôrazne odporúčam pochopiť geometrickú podstatu úloh, najmä pri poslednom príklade, kde analytické overenie postačujúcej podmienky nie je dar. Pamätajte si, ktoré Riadok 2. poriadku nastaví rovnicu a čo povrch táto čiara generuje v priestore. Analyzujte, na ktorej krivke bude valec pretínať rovinu a kde na tejto krivke bude minimum a kde maximum.

Riešenia a odpovede na konci hodiny.

Uvažovaný problém je široko používaný v rôznych oblastiach, najmä - v geometrii nepôjdeme ďaleko. Vyriešme všetkým obľúbený problém okolo pol litra (pozri príklad 7 v článkuExtrémne úlohy ) druhý spôsob:

Príklad 4

Aké by mali byť rozmery valcovej plechovky, aby sa na výrobu plechovky spotrebovalo čo najmenej materiálu, ak je objem plechovky rovný

Riešenie: zvážte premenlivý polomer základne, premennú výšku a zostavte funkciu plochy celého povrchu plechovky:
(plocha dvoch krytov + bočná plocha)

Názov parametra	Význam
Predmet článku:	Lagrangeova metóda.
Rubrika (tematická kategória)	Matematika

Nájsť polynóm znamená určiť hodnoty jeho koeficientu . Ak to chcete urobiť, pomocou podmienky interpolácie môžete vytvoriť systém lineárnych algebraických rovníc (SLAE).

Determinant tohto SLAE sa zvyčajne nazýva Vandermondov determinant. Vandermondov determinant sa nerovná nule, keď for , teda v prípade, keď vo vyhľadávacej tabuľke nie sú žiadne zodpovedajúce uzly. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, možno tvrdiť, že SLAE má riešenie a toto riešenie je jedinečné. Riešenie SLAE a určenie neznámych koeficientov dá sa zostrojiť interpolačný polynóm.

Polynóm, ktorý spĺňa podmienky interpolácie, je pri interpolácii Lagrangeovou metódou konštruovaný ako lineárna kombinácia polynómov n-tého stupňa:

Polynómy sa nazývajú základné polynómy. Za účelom Lagrangeov polynóm spĺňa interpolačné podmienky, je mimoriadne dôležité, aby pre jeho základné polynómy boli splnené nasledujúce podmienky:

Pre .

Ak sú splnené tieto podmienky, potom pre všetky máme:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, splnenie daných podmienok pre základné polynómy znamená, že sú splnené aj podmienky interpolácie.

Určme tvar základných polynómov na základe obmedzení, ktoré sú na ne kladené.

1. podmienka: v .

2. podmienka: .

Nakoniec pre základný polynóm môžeme napísať:

Potom dosadením výsledného výrazu pre základné polynómy do pôvodného polynómu získame konečný tvar Lagrangeovho polynómu:

Konkrétna forma Lagrangeovho polynómu at sa zvyčajne nazýva lineárny interpolačný vzorec:

.

Lagrangeov polynóm sa zvyčajne nazýva kvadratický interpolačný vzorec:

Lagrangeova metóda. - pojem a druhy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Lagrangeova metóda." 2017, 2018.

- Lagrangeova metóda (metóda variácie ľubovoľnej konštanty).

Lineárne diaľkové ovládače. Definícia. typové ovládanie t.j. lineárna vzhľadom na neznámu funkciu a jej derivácia sa nazýva lineárna. Pre riešenie tohto typu ur-th uvažujme dve metódy: Lagrangeovu metódu a Bernoulliho metódu Uvažujme homogénnu DE.

- Lineárne diaľkové ovládanie, homogénne a heterogénne. Koncept všeobecného riešenia. Lagrangeova metóda variácie súčinov konštánt.

Definícia. DU sa nazýva homogénna, ak f-i môže byť reprezentované ako f-i vo vzťahu k ich argumentom Príklad. F-tá sa nazýva homogénne f-té meranie, ak Príklady: 1) - 1. rád homogenity. 2) - 2. rád homogenity. 3) - nulový rád homogenity (len homogénny... .

- Prednáška 8. Aplikácia parciálnych derivácií: úlohy pre extrém. Lagrangeova metóda.

Extrémne úlohy majú veľký význam v ekonomických výpočtoch. Ide napríklad o výpočet maximálneho príjmu, zisku, minimálnych nákladov v závislosti od viacerých premenných: zdroje, výrobné aktíva atď. Teória hľadania extrémov funkcií... .

- T.2.3. DE vyšších rádov. Rovnica v totálnych diferenciáloch. T.2.4. Lineárne DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Lagrangeova metóda.

3. 2. 1. DE s oddeliteľnými premennými S.R. 3. V prírodných vedách, technike a ekonómii sa často treba zaoberať empirickými vzorcami, t.j. vzorce zostavené na základe spracovania štatistických údajov alebo ...

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
(1) .
Existujú tri spôsoby riešenia tejto rovnice:

• metóda konštantnej variácie (Lagrange).

Uvažujme o riešení lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou.

Metóda konštantnej variácie (Lagrange)

V metóde konštantnej variácie riešime rovnicu v dvoch krokoch. V prvej fáze zjednodušíme pôvodnú rovnicu a vyriešime homogénnu rovnicu. V druhej fáze nahradíme integračnú konštantu získanú v prvej fáze riešenia funkciou. Potom hľadáme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Zvážte rovnicu:
(1)

Krok 1 Riešenie homogénnej rovnice

Hľadáme riešenie homogénnej rovnice:

Toto je oddeliteľná rovnica

Samostatné premenné - vynásobte dx, vydeľte y:

Integrujeme:

Integrál nad y - tabuľkový:

Potom

Zosilniť:

Konštantu e C nahraďme C a odstránime znamienko modulu, ktoré sa redukuje na násobenie konštantou ±1, ktoré zaraďujeme do C :

Krok 2 Nahraďte konštantu C funkciou

Teraz nahradíme konštantu C funkciou x:
c → u (X)
To znamená, že budeme hľadať riešenie pôvodnej rovnice (1) ako:
(2)
Nájdeme derivát.

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Podľa pravidla diferenciácie produktov:

.
Dosadíme do pôvodnej rovnice (1) :
(1) ;

.
Dva termíny sa redukujú:
;
.
Integrujeme:
.
Nahradiť v (2) :
.
Výsledkom je všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:
.

Príklad riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou

vyriešiť rovnicu

Riešenie

Riešime homogénnu rovnicu:

Oddelenie premenných:

Vynásobme:

Integrujeme:

Tabuľkové integrály:

Zosilniť:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienka modulu:

Odtiaľ:

Nahraďme konštantu C funkciou x :
c → u (X)

Nájdeme derivát:
.
Do pôvodnej rovnice dosadíme:
;
;
alebo:
;
.
Integrujeme:
;
Riešenie rovnice:
.