Metóda určovania koeficientov metódou najmenších štvorcov. Aproximácia experimentálnych údajov

Tabuľka 4

x n

y n

Tabuľka 5

y i

0,705

0,495

0,426

0,357

0,368

0,406

0,549

0,768

Tabuľka 6

№0

X

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

r

3,030

3,142

3,358

3,463

3,772

3,251

3,170

3,665

№ 1

3,314

3,278

3,262

3,292

3,332

3,397

3,487

3,563

№ 2

1,045

1,162

1,264

1,172

1,070

0,898

0,656

0,344

№ 3

6,715

6,735

6,750

6,741

6,645

6,639

6,647

6,612

№ 4

2,325

2,515

2,638

2,700

2,696

2,626

2,491

2,291

№ 5

1.752

1,762

1,777

1,797

1,821

1,850

1,884

1,944

№ 6

1,924

1,710

1,525

1,370

1,264

1,190

1,148

1,127

№ 7

1,025

1,144

1,336

1,419

1,479

1,530

1,568

1,248

№ 8

5,785

5,685

5,605

5,545

5,505

5,480

5,495

5,510

№ 9

4,052

4,092

4,152

4,234

4,338

4,468

4,599

Príklad.

Experimentálne údaje o hodnotách premenných X A pri sú uvedené v tabuľke.

Výsledkom ich zosúladenia je funkcia

Použitím metóda najmenších štvorcov, aproximovať tieto údaje s lineárnou závislosťou y=ax+b(nájdite parametre A A b). Zistite, ktorý z dvoch riadkov je lepší (v zmysle metódy najmenších štvorcov) zarovnáva experimentálne údaje. Urobte si kresbu.

Podstata metódy najmenších štvorcov (LSM).

Problémom je nájsť lineárne koeficienty závislosti, pre ktoré je funkcia dvoch premenných A A b má najmenšiu hodnotu. Teda vzhľadom na dáta A A b súčet štvorcových odchýlok experimentálnych údajov od nájdenej priamky bude najmenší. Toto je celý zmysel metódy najmenších štvorcov.

Riešenie príkladu sa teda redukuje na nájdenie extrému funkcie dvoch premenných.

Odvodenie vzorcov na hľadanie koeficientov.

Zostaví sa a vyrieši systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Hľadanie parciálnych derivácií funkcií podľa premenných A A b, prirovnávame tieto deriváty k nule.

Výslednú sústavu rovníc riešime ľubovoľnou metódou (napr substitučná metóda alebo Cramerova metóda) a získajte vzorce na nájdenie koeficientov pomocou metódy najmenších štvorcov (LSM).

S údajmi A A b funkciu má najmenšiu hodnotu. Dôkaz tejto skutočnosti je uvedený pod textom na konci strany.

To je celá metóda najmenších štvorcov. Vzorec na nájdenie parametra a obsahuje súčty ,,, a parameter n- množstvo experimentálnych údajov. Hodnoty týchto súm sa odporúča vypočítať samostatne. Koeficient b zistené po výpočte a.

Je čas pripomenúť si pôvodný príklad.

Riešenie.

V našom príklade n=5. Tabuľku vypĺňame pre pohodlie výpočtu súm, ktoré sú zahrnuté vo vzorcoch požadovaných koeficientov.

Hodnoty vo štvrtom riadku tabuľky sa získajú vynásobením hodnôt v 2. riadku hodnotami v 3. riadku pre každé číslo i.

Hodnoty v piatom riadku tabuľky sa získajú umocnením hodnôt v 2. riadku pre každé číslo i.

Hodnoty posledného stĺpca tabuľky sú súčty hodnôt v riadkoch.

Na zistenie koeficientov používame vzorce metódy najmenších štvorcov A A b. Nahradíme v nich zodpovedajúce hodnoty z posledného stĺpca tabuľky:

teda y = 0,165 x + 2,184 je požadovaná približná priamka.

Zostáva zistiť, ktorý z riadkov y = 0,165 x + 2,184 alebo lepšie aproximuje pôvodné údaje, t. j. urobiť odhad pomocou metódy najmenších štvorcov.

Odhad chyby metódy najmenších štvorcov.

Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať súčty štvorcových odchýlok pôvodných údajov z týchto riadkov A , menšia hodnota zodpovedá riadku, ktorý sa lepšie približuje pôvodným údajom z hľadiska metódy najmenších štvorcov.

Od , potom riadok y = 0,165 x + 2,184 sa lepšie približuje pôvodným údajom.

Grafické znázornenie metódy najmenších štvorcov (LSM).

Na grafoch vyzerá všetko skvele. Červená čiara je nájdená čiara y = 0,165 x + 2,184, modrá čiara je , ružové bodky sú pôvodné údaje.

V praxi sa pri modelovaní rôznych procesov - najmä ekonomických, fyzikálnych, technických, sociálnych - široko používa jedna alebo druhá metóda výpočtu približných hodnôt funkcií z ich známych hodnôt v niektorých pevných bodoch.

Problémy s aproximáciou funkcií tohto druhu často vznikajú:

pri konštrukcii približných vzorcov na výpočet hodnôt charakteristických veličín skúmaného procesu podľa tabuľkových údajov získaných ako výsledok experimentu;

v numerickej integrácii, diferenciácii, riešení diferenciálnych rovníc a pod.;

ak je potrebné vypočítať hodnoty funkcií v medziľahlých bodoch uvažovaného intervalu;

pri určovaní hodnôt charakteristických veličín procesu mimo uvažovaného intervalu, najmä pri prognózovaní.

Ak sa na modelovanie určitého procesu špecifikovaného tabuľkou zostrojí funkcia, ktorá tento proces približne opisuje na základe metódy najmenších štvorcov, bude sa nazývať aproximačná funkcia (regresia) a samotná úloha konštrukcie aproximačných funkcií bude byť aproximačným problémom.

Tento článok rozoberá možnosti balíka MS Excel na riešenie takýchto problémov, okrem toho sú uvedené metódy a techniky na konštruovanie (vytváranie) regresií pre tabuľkovo dané funkcie (čo je základom regresnej analýzy).

Existujú dve možnosti vytvárania regresií v Exceli.

Pridanie vybraných regresií (trendových línií) do grafu zostaveného na základe údajovej tabuľky pre študovanú charakteristiku procesu (dostupné, len ak je graf zostavený);

Pomocou vstavaných štatistických funkcií pracovného hárka Excel, ktoré umožňujú získať regresie (trendové čiary) priamo z tabuľky zdrojových údajov.

Pridanie trendových čiar do grafu

Pre tabuľku údajov popisujúcich určitý proces a reprezentovaných diagramom má Excel efektívny nástroj regresnej analýzy, ktorý vám umožňuje:

stavať na základe metódy najmenších štvorcov a pridať do diagramu päť typov regresií, ktoré modelujú skúmaný proces s rôznym stupňom presnosti;

pridajte do diagramu rovnicu zostrojenej regresie;

určiť mieru zhody vybranej regresie s údajmi zobrazenými v grafe.

Na základe údajov z grafu vám Excel umožňuje získať lineárne, polynomické, logaritmické, exponenciálne, exponenciálne typy regresií, ktoré sú dané rovnicou:

y = y (x)

kde x je nezávislá premenná, ktorá často nadobúda hodnoty postupnosti prirodzených čísel (1; 2; 3; ...) a vytvára napríklad odpočítavanie času skúmaného procesu (charakteristiky) .

1 . Lineárna regresia je dobrá pri modelovaní prvkov, ktoré sa zvyšujú alebo znižujú konštantnou rýchlosťou. Toto je najjednoduchší model skúmaného procesu. Je zostavený podľa rovnice:

y=mx+b

kde m je dotyčnica sklonu lineárnej regresie k osi x; b - súradnica priesečníka lineárnej regresie s osou y.

2 . Polynomická trendová čiara je užitočná na opis charakteristík, ktoré majú niekoľko odlišných extrémov (horné a nízke). Výber stupňa polynómu je určený počtom extrémov skúmanej charakteristiky. Polynóm druhého stupňa teda môže dobre opísať proces, ktorý má len jedno maximum alebo minimum; polynóm tretieho stupňa - nie viac ako dva extrémy; polynóm štvrtého stupňa - nie viac ako tri extrémy atď.

V tomto prípade je trendová čiara zostavená v súlade s rovnicou:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

kde koeficienty c0, c1, c2,...c6 sú konštanty, ktorých hodnoty sa určujú počas konštrukcie.

3 . Logaritmická trendová čiara sa úspešne používa pri modelovaní charakteristík, ktorých hodnoty sa najskôr rýchlo menia a potom sa postupne stabilizujú.

y = c ln(x) + b

4 . Trendová čiara výkonu poskytuje dobré výsledky, ak sú hodnoty študovanej závislosti charakterizované konštantnou zmenou rýchlosti rastu. Príklad takejto závislosti môže slúžiť ako graf rovnomerne zrýchleného pohybu auta. Ak sú v údajoch nulové alebo záporné hodnoty, nemôžete použiť silovú trendovú čiaru.

Je zostavený podľa rovnice:

y = cxb

kde koeficienty b, c sú konštanty.

5 . Ak sa rýchlosť zmeny údajov neustále zvyšuje, mala by sa použiť exponenciálna trendová čiara. Tento druh aproximácie tiež nie je použiteľný pre údaje obsahujúce nulové alebo záporné hodnoty.

Je zostavený podľa rovnice:

y=cebx

kde koeficienty b, c sú konštanty.

Pri výbere trendovej čiary Excel automaticky vypočíta hodnotu R2, ktorá charakterizuje presnosť aproximácie: čím je hodnota R2 bližšie k jednej, tým spoľahlivejšie trendová čiara aproximuje skúmaný proces. V prípade potreby môže byť hodnota R2 vždy zobrazená na diagrame.

Určené podľa vzorca:

Ak chcete pridať trendovú čiaru do série údajov:

aktivovať graf zostavený na základe údajových radov, t. j. kliknite do oblasti grafu. V hlavnom menu sa zobrazí položka Graf;

po kliknutí na túto položku sa na obrazovke zobrazí ponuka, v ktorej vyberte príkaz Pridať trendovú čiaru.

Rovnaké akcie sa dajú ľahko implementovať, ak umiestnite kurzor myši na graf zodpovedajúci jednému z radov údajov a kliknete pravým tlačidlom myši; v kontextovej ponuke, ktorá sa zobrazí, vyberte príkaz Pridať trendovú čiaru. Na obrazovke sa objaví dialógové okno Trendová čiara s otvorenou kartou Typ (obr. 1).

Potom potrebujete:

Na karte Typ vyberte požadovaný typ trendovej čiary (predvolene je vybratá možnosť Lineárna). Pre typ polynómu v poli Stupeň zadajte stupeň vybratého polynómu.

1 . Pole Built on Series obsahuje zoznam všetkých radov údajov v príslušnom grafe. Ak chcete pridať trendovú čiaru ku konkrétnej sérii údajov, vyberte jej názov v poli Postavené na sérii.

V prípade potreby môžete prechodom na kartu Parametre (obr. 2) nastaviť nasledujúce parametre pre trendovú čiaru:

zmeňte názov trendovej čiary v poli Názov aproximačnej (vyhladenej) krivky.

nastavte počet období (dopredu alebo dozadu) pre predpoveď v poli Predpoveď;

zobraziť rovnicu trendovej čiary v oblasti grafu, pre ktorú by ste mali zaškrtnúť políčko zobraziť rovnicu v grafe;

zobrazte hodnotu spoľahlivosti aproximácie R2 v oblasti diagramu, pre ktorú by ste mali povoliť zaškrtávacie políčko vložte do diagramu hodnotu spoľahlivosti aproximácie (R^2);

nastavte priesečník trendovej čiary s osou Y, pre ktorý by ste mali povoliť zaškrtávacie políčko pre priesečník krivky s osou Y v bode;

kliknutím na tlačidlo OK zatvorte dialógové okno.

Existujú tri spôsoby, ako začať upravovať už vytvorenú trendovú čiaru:

po výbere trendovej čiary použite príkaz Vybraná trendová čiara z ponuky Formát;

z kontextovej ponuky vyberte príkaz Formátovať trendovú čiaru, ktorý sa vyvolá kliknutím pravým tlačidlom myši na čiaru trendu;

dvojitým kliknutím na trendovú čiaru.

Na obrazovke sa objaví dialógové okno Formátovať trendovú čiaru (obr. 3), ktoré obsahuje tri záložky: View, Type, Parameters a obsah posledných dvoch sa úplne zhoduje s podobnými kartami dialógového okna Trendline (obr. 1-2). ). Na karte Zobraziť môžete nastaviť typ čiary, jej farbu a hrúbku.

Ak chcete vymazať už vytvorenú trendovú čiaru, vyberte trendovú čiaru, ktorá sa má vymazať, a stlačte kláves Delete.

Výhody uvažovaného nástroja regresnej analýzy sú:

relatívna jednoduchosť vykresľovania trendovej čiary do grafov bez vytvorenia tabuľky s údajmi;

pomerne široký zoznam typov navrhovaných trendových čiar a tento zoznam obsahuje najbežnejšie používané typy regresie;

možnosť predpovedania správania sa skúmaného procesu pre ľubovoľný (v rámci zdravého rozumu) počet krokov vpred, ako aj späť;

možnosť získania rovnice trendovej čiary v analytickej forme;

možnosť v prípade potreby získať posúdenie spoľahlivosti aproximácie.

Nevýhody zahŕňajú nasledujúce body:

konštrukcia trendovej čiary sa vykonáva iba vtedy, ak existuje graf zostavený zo série údajov;

proces generovania radov údajov pre skúmanú charakteristiku na základe rovníc trendovej čiary získaných pre ňu je trochu neprehľadný: požadované regresné rovnice sa aktualizujú pri každej zmene hodnôt pôvodného radu údajov, ale iba v rámci oblasti grafu , zatiaľ čo rad údajov vytvorený na základe trendu starej čiarovej rovnice zostáva nezmenený;

Keď v zostavách kontingenčného grafu zmeníte zobrazenie grafu alebo súvisiacu zostavu kontingenčnej tabuľky, existujúce spojnice trendu sa nezachovajú, čo znamená, že pred nakreslením spojníc trendu alebo iným formátovaním zostavy kontingenčného grafu sa musíte uistiť, že rozloženie zostavy spĺňa vaše požiadavky.

Trendové čiary možno pridať do dátových radov prezentovaných na grafoch, ako sú graf, histogram, ploché nenormalizované plošné grafy, stĺpcové, bodové, bublinové a akciové grafy.

Trendové čiary nemôžete pridávať do dátových radov na 3-D, štandardnom, radarovom, koláčovom a prstencovom grafe.

Používanie vstavaných funkcií programu Excel

Excel tiež poskytuje nástroj regresnej analýzy na vykresľovanie trendových čiar mimo oblasti grafu. Na tento účel možno použiť množstvo štatistických funkcií pracovného hárka, ale všetky vám umožňujú zostaviť iba lineárne alebo exponenciálne regresie.

Excel má niekoľko funkcií na vytváranie lineárnej regresie, najmä:

TREND;

• SLOPE a REZ.

Rovnako ako niekoľko funkcií na vytvorenie exponenciálnej trendovej čiary, najmä:

LGRFPpribl.

Treba poznamenať, že techniky konštrukcie regresií pomocou funkcií TREND a GROWTH sú prakticky rovnaké. To isté možno povedať o dvojici funkcií LINEST a LGRFPRIBL. Pre tieto štyri funkcie sa pri vytváraní tabuľky hodnôt používajú funkcie Excelu, ako sú vzorce poľa, čo trochu komplikuje proces vytvárania regresií. Poznamenávame tiež, že konštrukciu lineárnej regresie je podľa nášho názoru najjednoduchšie implementovať pomocou funkcií SLOPE a INTERCEPT, kde prvá z nich určuje sklon lineárnej regresie a druhá určuje segment odrezaný regresiou. na osi y.

Výhody vstavaného nástroja funkcií pre regresnú analýzu sú:

pomerne jednoduchý proces rovnakého typu tvorby radov údajov sledovanej charakteristiky pre všetky vstavané štatistické funkcie, ktoré určujú trendové čiary;

štandardná technika na vytváranie trendových čiar na základe vygenerovaných radov údajov;

schopnosť predpovedať správanie sa skúmaného procesu pre požadovaný počet krokov vpred alebo vzad.

A medzi nevýhody patrí skutočnosť, že Excel nemá vstavané funkcie na vytváranie iných (okrem lineárnych a exponenciálnych) typov trendových čiar. Táto okolnosť často neumožňuje vybrať dostatočne presný model skúmaného procesu, ako aj získať prognózy blízke realite. Navyše pri použití funkcií TREND a GROW nie sú známe rovnice trendových čiar.

Je potrebné poznamenať, že autori si nestanovili za cieľ článku predstaviť priebeh regresnej analýzy s rôznou mierou úplnosti. Jeho hlavnou úlohou je ukázať schopnosti balíka Excel pri riešení aproximačných problémov na konkrétnych príkladoch; demonštrovať, aké efektívne nástroje má Excel na vytváranie regresií a prognóz; ilustrujú, ako relatívne ľahko môže takéto problémy vyriešiť aj používateľ, ktorý nemá hlboké znalosti o regresnej analýze.

Príklady riešenia konkrétnych problémov

Zvážte riešenie konkrétnych problémov pomocou uvedených nástrojov balíka Excel.

Úloha 1

S tabuľkou údajov o zisku podniku motorovej dopravy za roky 1995-2002. musíte urobiť nasledovné.

Zostavte graf.

Pridajte do grafu lineárne a polynomické (kvadratické a kubické) trendové čiary.

Pomocou rovníc trendových čiar získajte tabuľkové údaje o zisku podniku pre každú trendovú čiaru za roky 1995-2004.

Urobte prognózu zisku pre podnik na roky 2003 a 2004.

Riešenie problému

Do rozsahu buniek A4:C11 hárka programu Excel zadáme hárok znázornený na obr. 4.

Po výbere rozsahu buniek B4:C11 vytvoríme graf.

Zostrojený graf aktivujeme a vyššie popísanou metódou po výbere typu trendovej čiary v dialógovom okne Trendová čiara (pozri obr. 1) do grafu striedavo pridávame lineárne, kvadratické a kubické trendové čiary. V tom istom dialógovom okne otvorte záložku Parametre (pozri obr. 2), do poľa Názov aproximačnej (vyhladenej) krivky zadajte názov pridávaného trendu a v poli Forecast forward for: periods nastavte hodnotu 2, keďže sa plánuje urobiť prognóza zisku na dva roky dopredu. Ak chcete zobraziť regresnú rovnicu a hodnotu aproximačnej spoľahlivosti R2 v oblasti diagramu, začiarknite políčka Zobraziť rovnicu na obrazovke a umiestnite do diagramu hodnotu aproximačnej spoľahlivosti (R^2). Pre lepšie vizuálne vnímanie meníme typ, farbu a hrúbku vykresľovaných trendových čiar, na čo slúži záložka Zobraziť dialógového okna Formát čiary trendu (pozri obr. 3). Výsledný graf s pridanými trendovými čiarami je znázornený na obr. 5.

Získať tabuľkové údaje o zisku podniku pre každú trendovú čiaru za roky 1995-2004. Použime rovnice trendových čiar uvedených na obr. 5. Za týmto účelom zadajte do buniek rozsahu D3:F3 textové informácie o type vybranej trendovej čiary: Lineárny trend, Kvadratický trend, Kubický trend. Potom zadajte vzorec lineárnej regresie do bunky D4 a pomocou značky výplne skopírujte tento vzorec s relatívnymi odkazmi na rozsah buniek D5:D13. Treba poznamenať, že každá bunka so vzorcom lineárnej regresie z rozsahu buniek D4:D13 má ako argument zodpovedajúcu bunku z rozsahu A4:A13. Podobne pre kvadratickú regresiu je vyplnený rozsah buniek E4:E13 a pre kubickú regresiu je vyplnený rozsah buniek F4:F13. Preto sa urobila prognóza zisku podniku na roky 2003 a 2004. s tromi trendmi. Výsledná tabuľka hodnôt je znázornená na obr. 6.

Úloha 2

Zostavte graf.

Pridajte do grafu logaritmické, exponenciálne a exponenciálne trendové čiary.

Odvoďte rovnice získaných trendových čiar, ako aj hodnoty aproximačnej spoľahlivosti R2 pre každú z nich.

Pomocou rovníc trendových čiar získajte tabuľkové údaje o zisku podniku pre každú trendovú čiaru za roky 1995-2002.

Vytvorte prognózu zisku pre podnikanie na roky 2003 a 2004 pomocou týchto trendových čiar.

Riešenie problému

Podľa metodiky uvedenej pri riešení úlohy 1 získame diagram s pridanými logaritmickými, exponenciálnymi a exponenciálnymi trendovými čiarami (obr. 7). Ďalej pomocou získaných rovníc trendových čiar vyplníme tabuľku hodnôt zisku podniku vrátane predpovedaných hodnôt za roky 2003 a 2004. (obr. 8).

Na obr. 5 a obr. je vidieť, že model s logaritmickým trendom zodpovedá najnižšej hodnote spoľahlivosti aproximácie

R2 = 0,8659

Najvyššie hodnoty R2 zodpovedajú modelom s polynomickým trendom: kvadratický (R2 = 0,9263) a kubický (R2 = 0,933).

Úloha 3

S tabuľkou údajov o zisku podniku motorovej dopravy za roky 1995-2002, ktorá je uvedená v úlohe 1, musíte vykonať nasledujúce kroky.

Získajte dátové série pre lineárne a exponenciálne trendové čiary pomocou funkcií TREND a GROW.

Pomocou funkcií TREND a GROWTH vytvorte prognózu zisku pre podnik na roky 2003 a 2004.

Pre počiatočné údaje a prijaté série údajov vytvorte diagram.

Riešenie problému

Využime pracovný list úlohy 1 (pozri obr. 4). Začnime funkciou TREND:

vyberte rozsah buniek D4:D11, ktorý by mal byť vyplnený hodnotami funkcie TREND zodpovedajúcimi známym údajom o zisku podniku;

zavolajte príkaz Funkcia z ponuky Vložiť. V zobrazenom dialógovom okne Sprievodca funkciou vyberte funkciu TREND z kategórie Štatistika a potom kliknite na tlačidlo OK. Rovnakú operáciu je možné vykonať stlačením tlačidla (funkcia Vložiť) na štandardnom paneli nástrojov.

V zobrazenom dialógovom okne Argumenty funkcie zadajte rozsah buniek C4:C11 do poľa Známe_hodnoty_y; v poli Known_values_x - rozsah buniek B4:B11;

ak chcete zo zadaného vzorca urobiť vzorec poľa, použite kombináciu kláves + + .

Vzorec, ktorý sme zadali do riadka vzorcov, bude vyzerať takto: =(TREND(C4:C11;B4:B11)).

Výsledkom je, že rozsah buniek D4:D11 je vyplnený zodpovedajúcimi hodnotami funkcie TREND (obr. 9).

Urobiť prognózu zisku spoločnosti na roky 2003 a 2004. potrebné:

vyberte rozsah buniek D12:D13, kde budú zadané hodnoty predpovedané funkciou TREND.

zavolajte funkciu TREND a v zobrazenom dialógovom okne Argumenty funkcie zadajte do poľa Známe_hodnoty_y rozsah buniek C4:C11; v poli Known_values_x - rozsah buniek B4:B11; a v poli Nové_hodnoty_x - rozsah buniek B12:B13.

premeňte tento vzorec na vzorec poľa pomocou klávesovej skratky Ctrl + Shift + Enter.

Zadaný vzorec bude vyzerať takto: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)) a rozsah buniek D12:D13 bude vyplnený predpovedanými hodnotami funkcie TREND (pozri obr. 9).

Podobne sa dátový rad napĺňa pomocou funkcie GROWTH, ktorá sa používa pri analýze nelineárnych závislostí a funguje úplne rovnako ako jeho lineárny náprotivok TREND.

Obrázok 10 zobrazuje tabuľku v režime zobrazenia vzorca.

Pre počiatočné dáta a získané dátové série je diagram znázornený na obr. jedenásť.

Úloha 4

S tabuľkou údajov o príjme žiadostí o výkony dispečerskou službou podniku motorovej dopravy za obdobie od 1. do 11. dňa bežného mesiaca je potrebné vykonať nasledovné úkony.

Získajte rad údajov pre lineárnu regresiu: pomocou funkcií SLOPE a INTERCEPT; pomocou funkcie LINEST.

Získajte sériu údajov pre exponenciálnu regresiu pomocou funkcie LYFFPRIB.

Pomocou vyššie uvedených funkcií vytvorte prognózu príjmu žiadostí na dispečing na obdobie od 12. do 14. dňa aktuálneho mesiaca.

Pre pôvodný a prijatý rad údajov vytvorte diagram.

Riešenie problému

Všimnite si, že na rozdiel od funkcií TREND a GROW žiadna z vyššie uvedených funkcií (SLOPE, INTERCEPTION, LINEST, LGRFPRIB) nie je regresia. Tieto funkcie zohrávajú len pomocnú úlohu, určujúce potrebné regresné parametre.

Pre lineárne a exponenciálne regresie vytvorené pomocou funkcií SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFINB je vzhľad ich rovníc vždy známy, na rozdiel od lineárnych a exponenciálnych regresií zodpovedajúcich funkciám TREND a GROWTH.

1 . Zostavme lineárnu regresiu, ktorá má rovnicu:

y=mx+b

pomocou funkcií SLOPE a INTERCEPT, pričom sklon regresie m určuje funkcia SLOPE a konštantný člen b - funkcia INTERCEPT.

Za týmto účelom vykonávame nasledujúce akcie:

zadajte zdrojovú tabuľku v rozsahu buniek A4:B14;

hodnota parametra m bude určená v bunke C19. Vyberte z kategórie Štatistika funkciu Sklon; zadajte rozsah buniek B4:B14 do poľa známe_hodnoty_y a rozsah buniek A4:A14 do poľa známe_hodnoty_x. Do bunky C19 sa zadá vzorec: =SLOPE(B4:B14;A4:A14);

pomocou podobnej metódy sa určí hodnota parametra b v bunke D19. A jeho obsah bude vyzerať takto: = INTERCEPT(B4:B14;A4:A14). Hodnoty parametrov m a b, potrebné na zostavenie lineárnej regresie, budú teda uložené v bunkách C19, D19;

potom zadáme vzorec lineárnej regresie do bunky C4 v tvare: = $ C * A4 + $ D. V tomto vzorci sú bunky C19 a D19 zapísané s absolútnymi odkazmi (adresa bunky by sa pri prípadnom kopírovaní nemala meniť). Absolútny referenčný znak $ je možné zadať buď z klávesnice alebo pomocou klávesu F4 po umiestnení kurzora na adresu bunky. Pomocou rukoväte výplne skopírujte tento vzorec do rozsahu buniek C4:C17. Dostaneme požadovaný rad údajov (obr. 12). Vzhľadom na to, že počet žiadostí je celé číslo, mali by ste na karte Číslo v okne Formát bunky nastaviť formát čísla s počtom desatinných miest na 0.

2 . Teraz zostavme lineárnu regresiu danú rovnicou:

y=mx+b

pomocou funkcie LINEST.

Pre to:

zadajte funkciu LINEST ako vzorec poľa do rozsahu buniek C20:D20: =(LINEST(B4:B14;A4:A14)). V dôsledku toho dostaneme hodnotu parametra m v ​​bunke C20 a hodnotu parametra b v bunke D20;

do bunky D4 zadajte vzorec: =$C*A4+$D;

skopírujte tento vzorec pomocou značky výplne do rozsahu buniek D4:D17 a získajte požadovaný rad údajov.

3 . Zostavíme exponenciálnu regresiu, ktorá má rovnicu:

pomocou funkcie LGRFPRIBL sa vykonáva podobne:

v rozsahu buniek C21:D21 zadajte funkciu LGRFPRIBL ako vzorec poľa: =( LGRFPRIBL (B4:B14;A4:A14)). V tomto prípade sa hodnota parametra m určí v bunke C21 a hodnota parametra b sa určí v bunke D21;

vzorec sa zadá do bunky E4: =$D*$C^A4;

pomocou značky výplne sa tento vzorec skopíruje do rozsahu buniek E4:E17, kde bude umiestnený rad údajov pre exponenciálnu regresiu (pozri obr. 12).

Na obr. 13 je tabuľka, kde môžeme vidieť funkcie, ktoré používame s potrebnými rozsahmi buniek, ako aj vzorce.

Hodnota R 2 volal determinačný koeficient.

Úlohou konštrukcie regresnej závislosti je nájsť vektor koeficientov m modelu (1), pri ktorom koeficient R nadobúda maximálnu hodnotu.

Na posúdenie významnosti R sa používa Fisherov F-test vypočítaný podľa vzorca

Kde n- veľkosť vzorky (počet experimentov);

k je počet modelových koeficientov.

Ak F prekročí určitú kritickú hodnotu pre dáta n A k a akceptovanej úrovni spoľahlivosti, potom sa hodnota R považuje za významnú. Tabuľky kritických hodnôt F sú uvedené v referenčných knihách o matematickej štatistike.

Význam R je teda určený nielen jeho hodnotou, ale aj pomerom medzi počtom experimentov a počtom koeficientov (parametrov) modelu. V skutočnosti je korelačný pomer pre n=2 pre jednoduchý lineárny model 1 (cez 2 body v rovine môžete vždy nakresliť jednu priamku). Ak sú však experimentálne údaje náhodné premenné, takejto hodnote R by sa malo dôverovať veľmi opatrne. Zvyčajne, aby sa získala významná R a spoľahlivá regresia, je zameraná na zabezpečenie toho, aby počet experimentov výrazne prevyšoval počet modelových koeficientov (n>k).

Ak chcete vytvoriť model lineárnej regresie, musíte:

1) pripravte zoznam n riadkov a m stĺpcov obsahujúcich experimentálne údaje (stĺpec obsahujúci výstupnú hodnotu Y musí byť buď prvý alebo posledný v zozname); zoberme si napríklad údaje predchádzajúcej úlohy, pričom pridáme stĺpec s názvom „číslo obdobia“, očíslujeme čísla období od 1 do 12. (toto budú hodnoty X)

2) prejdite do ponuky Údaje/Analýza údajov/Regresia

Ak položka „Analýza údajov“ v ponuke „Nástroje“ chýba, mali by ste prejsť na položku „Doplnky“ v tej istej ponuke a začiarknuť políčko „Analytický balík“.

3) v dialógovom okne "Regresia" nastavte:

vstupný interval Y;

vstupný interval X;

výstupný interval - ľavá horná bunka intervalu, v ktorom budú umiestnené výsledky výpočtu (odporúča sa umiestniť ho na nový pracovný hárok);

4) kliknite na „OK“ a analyzujte výsledky.

Podstata metódy spočíva v tom, že kritériom kvality posudzovaného riešenia je súčet druhých mocnín, ktorý sa má minimalizovať. Na to je potrebné vykonať čo najviac meraní neznámej náhodnej veličiny (čím viac - tým vyššia presnosť riešenia) a určitý súbor očakávaných riešení, z ktorých je potrebné vybrať to najlepšie. . Ak je množina riešení parametrizovaná, potom treba nájsť optimálnu hodnotu parametrov.

Prečo sú minimalizované chybové štvorce a nie samotné chyby? Faktom je, že vo väčšine prípadov sa chyby vyskytujú v oboch smeroch: odhad môže byť väčší ako meranie alebo menší ako je. Ak pridáme chyby s rôznymi znakmi, potom sa navzájom vyrušia a v dôsledku toho nám súčet poskytne nesprávnu predstavu o kvalite odhadu. Často, aby mal konečný odhad rovnaký rozmer ako namerané hodnoty, sa druhá odmocnina berie zo súčtu druhých mocnín.

LSM sa používa najmä v matematike - v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. Najväčšie uplatnenie má táto metóda pri problémoch filtrovania, keď je potrebné oddeliť užitočný signál od šumu, ktorý je na ňom superponovaný.

Používa sa aj v matematickej analýze na približnú reprezentáciu danej funkcie jednoduchšími funkciami. Ďalšou oblasťou použitia LSM je riešenie sústav rovníc s menším počtom neznámych ako je počet rovníc.

Prišiel som s niekoľkými ďalšími veľmi neočakávanými aplikáciami LSM, o ktorých by som chcel hovoriť v tomto článku.

MNC a preklepy

Preklepy a pravopisné chyby sú metlou automatických prekladateľov a vyhľadávačov. Ak sa slovo líši len o 1 písmeno, program ho považuje za iné slovo a nesprávne ho preloží/hľadá alebo ho nepreloží/nenájde vôbec.

Mal som podobný problém: existovali dve databázy s adresami moskovských domov a museli sa spojiť do jednej. Ale adresy boli napísané iným štýlom. V jednej databáze bol štandard KLADR (All-Russian Address Classifier), napr.: "BABUSHKINA PILOT UL., D10K3". A v inej databáze bol poštový štýl, napríklad: „Sv. Pilot Babushkin, dom 10, budova 3. Zdá sa, že v oboch prípadoch nie sú žiadne chyby a automatizácia procesu je neuveriteľne náročná (každá databáza má 40 000 záznamov!). Aj keď bolo dosť preklepov... Ako prinútiť počítač pochopiť, že 2 vyššie uvedené adresy patria do toho istého domu? Tu sa mi MNC hodilo.

Čo som urobil? Keď som našiel ďalší list na prvej adrese, hľadal som rovnaký list na druhej adrese. Ak boli obe na rovnakom mieste, predpokladal som, že chyba tohto písmena je 0. Ak boli na susedných pozíciách, chyba bola 1. Ak došlo k posunu o 2 pozície, chyba bola 2 atď. Ak na druhej adrese takéto písmeno vôbec nebolo, potom sa predpokladá, že chyba je n+1, kde n je počet písmen v 1. adrese. Vypočítal som teda súčet štvorcových chýb a spojil tie záznamy, v ktorých bol tento súčet minimálny.

Samozrejmosťou boli počty domov a stavieb spracované samostatne. Neviem, či som vynašiel ďalší „bicykel“, alebo to naozaj bolo, ale problém sa vyriešil rýchlo a efektívne. Zaujímalo by ma, či sa táto metóda používa vo vyhľadávačoch? Možno sa používa, pretože každý sebaúctyhodný vyhľadávací nástroj pri stretnutí s neznámym slovom ponúka náhradu za známe slová („možno ste mysleli ...“). Túto analýzu však môžu urobiť nejako inak.

OLS a vyhľadávanie podľa obrázkov, tvárí a máp

Túto metódu možno použiť aj na vyhľadávanie podľa obrázkov, kresieb, máp a dokonca aj podľa tvárí ľudí.

foto:

Teraz všetky vyhľadávacie nástroje namiesto vyhľadávania podľa obrázkov v skutočnosti používajú vyhľadávanie podľa titulkov obrázkov. Je to nepochybne užitočná a pohodlná služba, ale navrhujem ju doplniť skutočným vyhľadávaním obrázkov.

Vloží sa vzorový obrázok a pre všetky obrázky sa urobí hodnotenie súčtom štvorcových odchýlok charakteristických bodov. Určenie týchto veľmi charakteristických bodov je samo o sebe netriviálnou úlohou. Je to však celkom riešiteľné: napríklad pri tvárach sú to kútiky očí, pery, špička nosa, nozdry, okraje a stredy obočia, zreničky atď.

Porovnaním týchto parametrov môžete nájsť tvár, ktorá je najviac podobná vzorke. Už som videl stránky, kde takáto služba funguje, a môžete nájsť celebritu, ktorá sa najviac podobá fotografii, ktorú ste navrhli, a dokonca môžete vytvoriť animáciu, ktorá z vás urobí celebritu a späť. Rovnaká metóda určite funguje v základniach ministerstva vnútra, ktoré obsahujú identikitové obrázky zločincov.

Foto: pixabay.com

Áno, a odtlačky prstov sa dajú vyhľadávať rovnakým spôsobom. Mapové vyhľadávanie sa zameriava na prirodzené nepravidelnosti geografických objektov – ohyby riek, pohoria, obrysy pobreží, lesov a polí.

Tu je taká úžasná a všestranná metóda OLS. Som si istý, že vy, milí čitatelia, nájdete veľa nezvyčajných a neočakávaných aplikácií tejto metódy pre seba.

Má veľa aplikácií, keďže umožňuje približnú reprezentáciu danej funkcie inými jednoduchšími. LSM môže byť mimoriadne užitočné pri spracovaní pozorovaní a aktívne sa používa na odhadovanie niektorých veličín z výsledkov meraní iných, ktoré obsahujú náhodné chyby. V tomto článku sa dozviete, ako implementovať výpočty najmenších štvorcov v Exceli.

Vyjadrenie problému na konkrétnom príklade

Predpokladajme, že existujú dva ukazovatele X a Y. Navyše Y závisí od X. Keďže OLS je pre nás zaujímavý z hľadiska regresnej analýzy (v Exceli sú jeho metódy implementované pomocou vstavaných funkcií), mali by sme okamžite pokračovať zvážiť konkrétny problém.

Nech je teda X predajná plocha obchodu s potravinami meraná v metroch štvorcových a Y je ročný obrat definovaný v miliónoch rubľov.

Je potrebné urobiť prognózu, aký obrat (Y) bude mať obchod, ak má jednu alebo druhú maloobchodnú plochu. Je zrejmé, že funkcia Y = f (X) rastie, keďže hypermarket predáva viac tovaru ako stánok.

Niekoľko slov o správnosti počiatočných údajov použitých na predikciu

Povedzme, že máme zostavenú tabuľku s údajmi pre n obchodov.

Podľa matematických štatistík budú výsledky viac-menej správne, ak sa preskúmajú údaje aspoň o 5-6 objektoch. Taktiež nemožno použiť „anomálne“ výsledky. Najmä elitný malý butik môže mať obrat mnohonásobne väčší ako obrat veľkých predajní triedy „masmarket“.

Podstata metódy

Údaje tabuľky je možné zobraziť v karteziánskej rovine ako body M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Teraz sa riešenie úlohy zredukuje na výber aproximačnej funkcie y = f (x), ktorej graf prechádzajúci čo najbližšie k bodom M 1, M 2, .. M n .

Samozrejme, môžete použiť polynóm vysokého stupňa, ale táto možnosť je nielen náročná na implementáciu, ale jednoducho nesprávna, pretože nebude odrážať hlavný trend, ktorý je potrebné zistiť. Najrozumnejším riešením je hľadať priamku y = ax + b, ktorá najlepšie aproximuje experimentálne údaje, presnejšie koeficienty - a a b.

Skóre presnosti

Pre akúkoľvek aproximáciu je mimoriadne dôležité posúdenie jej presnosti. Označme e i rozdiel (odchýlku) medzi funkčnou a experimentálnou hodnotou pre bod x i, t.j. e i = y i - f (x i).

Je zrejmé, že na posúdenie presnosti aproximácie môžete použiť súčet odchýlok, t.j. pri výbere priamky na približné znázornenie závislosti X na Y by sa mala uprednostniť tá, ktorá má najmenšiu hodnotu súčet e i vo všetkých posudzovaných bodoch. Nie všetko je však také jednoduché, pretože spolu s pozitívnymi odchýlkami budú prakticky existovať aj negatívne.

Problém môžete vyriešiť pomocou modulov odchýlky alebo ich štvorcov. Posledná uvedená metóda je najpoužívanejšia. Používa sa v mnohých oblastiach vrátane regresnej analýzy (v Exceli sa jej implementácia vykonáva pomocou dvoch vstavaných funkcií) a dlho sa osvedčila ako účinná.

Metóda najmenších štvorcov

V Exceli, ako viete, je vstavaná funkcia automatického súčtu, ktorá vám umožňuje vypočítať hodnoty všetkých hodnôt nachádzajúcich sa vo vybranom rozsahu. Nič nám teda nebude brániť vypočítať hodnotu výrazu (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

V matematickom zápise to vyzerá takto:

Keďže sa pôvodne rozhodlo o aproximácii pomocou priamky, máme:

Úloha nájsť priamku, ktorá najlepšie popisuje špecifický vzťah medzi X a Y, teda znamená výpočet minima funkcie dvoch premenných:

To si vyžaduje rovnanie nulovým parciálnym deriváciám vzhľadom na nové premenné a a b a riešenie primitívneho systému pozostávajúceho z dvoch rovníc s 2 neznámymi tvaru:

Po jednoduchých transformáciách, vrátane delenia 2 a manipulácie so súčtami, dostaneme:

Riešením napríklad Cramerovou metódou dostaneme stacionárny bod s určitými koeficientmi a * a b * . Toto je minimum, teda na predpovedanie, aký obrat bude mať obchod pre určitú oblasť, je vhodná priamka y = a * x + b *, čo je regresný model pre daný príklad. Samozrejme, že vám to nedovolí nájsť presný výsledok, ale pomôže vám to získať predstavu o tom, či sa nákup obchodu na úver pre konkrétnu oblasť oplatí.

Ako implementovať metódu najmenších štvorcov v Exceli

Excel má funkciu na výpočet hodnoty najmenších štvorcov. Má nasledujúci tvar: TREND (známe hodnoty Y; známe hodnoty X; nové hodnoty X; konštanta). Aplikujme vzorec na výpočet OLS v Exceli na našu tabuľku.

Ak to chcete urobiť, v bunke, v ktorej by sa mal zobraziť výsledok výpočtu metódou najmenších štvorcov v programe Excel, zadajte znak „=“ a vyberte funkciu „TREND“. V okne, ktoré sa otvorí, vyplňte príslušné polia a zvýraznite:

• rozsah známych hodnôt pre Y (v tomto prípade údaje pre obrat);
• rozsah x 1 , … x n , t. j. veľkosť predajnej plochy;
• a známe a neznáme hodnoty x, pre ktoré musíte zistiť veľkosť obratu (informácie o ich umiestnení na pracovnom hárku nájdete nižšie).

Okrem toho je vo vzorci logická premenná "Const". Ak zadáte 1 do príslušného poľa, bude to znamenať, že by sa mali vykonať výpočty za predpokladu, že b \u003d 0.

Ak potrebujete poznať predpoveď pre viac ako jednu hodnotu x, potom po zadaní vzorca by ste nemali stlačiť „Enter“, ale musíte zadať kombináciu „Shift“ + „Control“ + „Enter“ („Enter“ ) na klávesnici.

Niektoré funkcie

Regresná analýza môže byť prístupná aj pre figuríny. Excelovský vzorec na predpovedanie hodnoty poľa neznámych premenných – „TREND“ – môže použiť aj ten, kto o metóde najmenších štvorcov nikdy nepočul. Stačí poznať niektoré črty jeho práce. Konkrétne:

• Ak umiestnite rozsah známych hodnôt premennej y do jedného riadku alebo stĺpca, potom každý riadok (stĺpec) so známymi hodnotami x bude programom vnímaný ako samostatná premenná.
• Ak v okne TREND nie je zadaný rozsah so známym x, v prípade použitia funkcie v Exceli ho program bude považovať za pole pozostávajúce z celých čísel, ktorých počet zodpovedá rozsahu s danými hodnotami. premennej y.
• Na výstup poľa „predpovedaných“ hodnôt je potrebné zadať výraz trendu ako vzorec poľa.
• Ak nie sú zadané žiadne nové hodnoty x, funkcia TREND ich považuje za rovnaké ako tie známe. Ak nie sú špecifikované, potom sa pole 1 berie ako argument; 2; 3; 4;…, ktorá je úmerná rozsahu s už danými parametrami y.
• Rozsah obsahujúci nové hodnoty x musí mať rovnaký alebo viac riadkov alebo stĺpcov ako rozsah s danými hodnotami y. Inými slovami, musí byť úmerná nezávislým premenným.
• Pole so známymi hodnotami x môže obsahovať viacero premenných. Ak však hovoríme len o jednom, potom je potrebné, aby rozsahy s danými hodnotami x a y boli úmerné. V prípade viacerých premenných je potrebné, aby sa rozsah s danými hodnotami y zmestil do jedného stĺpca alebo jedného riadku.

Funkcia FORECAST

Realizuje sa pomocou niekoľkých funkcií. Jeden z nich sa nazýva „PREDICTION“. Je podobný TRENDU, teda dáva výsledok výpočtov metódou najmenších štvorcov. Avšak len pre jedno X, pre ktoré je hodnota Y neznáma.

Teraz poznáte vzorce Excel pre figuríny, ktoré vám umožňujú predpovedať hodnotu budúcej hodnoty ukazovateľa podľa lineárneho trendu.

Najmenšie štvorce je matematický postup na zostavenie lineárnej rovnice, ktorá najlepšie vyhovuje množine usporiadaných párov nájdením hodnôt pre a a b, koeficienty v rovnej priamke. Cieľom metódy najmenších štvorcov je minimalizovať celkovú štvorcovú chybu medzi hodnotami y a ŷ. Ak pre každý bod určíme chybu ŷ, metóda najmenších štvorcov minimalizuje:

kde n = počet usporiadaných párov okolo čiary. najrelevantnejšie pre údaje.

Tento koncept je znázornený na obrázku

Súdiac podľa obrázku, čiara, ktorá najlepšie zodpovedá údajom, regresná čiara, minimalizuje celkovú druhú druhú chybu štyroch bodov v grafe. V nasledujúcom príklade vám ukážem, ako to určiť pomocou metódy najmenších štvorcov.

Predstavte si mladý pár, ktorý spolu nedávno žije a zdieľajú toaletný stolík v kúpeľni. Mladý muž si začal všímať, že polovica jeho stola sa neúprosne zmenšuje a stráca pôdu pod nohami pre vlasové peny a sójové komplexy. Chlapík v posledných mesiacoch pozorne sledoval tempo, akým pribúdajú položky na jej časti stola. Nasledujúca tabuľka zobrazuje počet vecí, ktoré má dievča na stolíku v kúpeľni a ktoré sa nahromadili za posledných pár mesiacov.

Keďže naším cieľom je zistiť, či sa počet položiek časom zvyšuje, „Mesiac“ bude nezávislou premennou a „Počet položiek“ bude závislou premennou.

Pomocou metódy najmenších štvorcov určíme rovnicu, ktorá najlepšie vyhovuje údajom, vypočítaním hodnôt a, segmentu na osi y a b, sklonu čiary:

a = y cf - bx cf

kde x cf je stredná hodnota x, nezávislej premennej, y cf je stredná hodnota y, nezávislej premennej.

V tabuľke nižšie sú zhrnuté výpočty potrebné pre tieto rovnice.

Efektová krivka pre náš príklad vane by bola daná nasledujúcou rovnicou:

Keďže naša rovnica má kladný sklon 0,976, chlapík má dôkaz, že počet položiek na stole sa časom zvyšuje priemernou rýchlosťou 1 položka za mesiac. Graf zobrazuje krivku účinku s usporiadanými pármi.

Predpokladaný počet položiek na nasledujúci polrok (16. mesiac) sa vypočíta takto:

ŷ = 5,13 + 0,976x = 5,13 + 0,976(16) ~ 20,7 = 21 položiek

Je teda čas, aby náš hrdina začal konať.

Funkcia TREND v Exceli

Ako ste možno uhádli, Excel má funkciu na výpočet hodnoty metóda najmenších štvorcov. Táto funkcia sa nazýva TREND. Jeho syntax je nasledovná:

TREND (známe hodnoty Y; známe hodnoty X; nové hodnoty X; konšt.)

známe hodnoty Y - pole závislých premenných, v našom prípade počet položiek v tabuľke

známe hodnoty X - pole nezávislých premenných, v našom prípade je to mesiac

nové hodnoty X – nové hodnoty X (mesiace), pre ktoré Funkcia TREND vráti očakávanú hodnotu závislých premenných (počet položiek)

const - voliteľné. Booleovská hodnota, ktorá určuje, či sa vyžaduje, aby konštanta b bola 0.

Na obrázku je napríklad znázornená funkcia TREND slúžiaca na určenie predpokladaného počtu predmetov na kúpeľňovom stole pre 16. mesiac.