Ak sú ukazovatele rovnaké, ale dôvody sú odlišné. Lekcia "Znásobenie a rozdelenie právomocí"

Každá aritmetická operácia sa niekedy stáva príliš ťažkopádnou na písanie a snažia sa ju zjednodušiť. Tak to bolo raz v prípade operácie pridávania. Ľudia potrebovali vykonať opakované pridávanie rovnakého typu, napríklad na výpočet ceny sto perzských kobercov, ktorých cena je 3 zlaté mince za každý. 3+3+3+…+3 = 300. Kvôli svojej ťažkopádnosti sa rozhodlo skrátiť zápis na 3 * 100 = 300. V skutočnosti zápis „trikrát sto“ znamená, že musíte vziať jeden sto trojok a sčítaj ich. Násobenie sa uchytilo a získalo všeobecnú obľubu. Svet však nestojí a v stredoveku vznikla potreba vykonávať opakované násobenie toho istého typu. Spomínam si na starú indiánsku hádanku o mudrcovi, ktorý si za odmenu za vykonanú prácu pýtal pšeničné zrná v nasledovných množstvách: za prvé pole šachovnice pýtal jedno zrno, za druhé dve, za tretie štyri, pre piaty - osem a tak ďalej. Takto sa objavilo prvé násobenie mocnín, pretože počet zŕn sa rovnal dvom mocnine počtu buniek. Napríklad v poslednej bunke by bolo 2*2*2*...*2 = 2^63 zŕn, čo sa rovná číslu dlhému 18 znakov, čo je v skutočnosti význam hádanky.

Operácia umocňovania sa uchytila ​​pomerne rýchlo a rýchlo sa objavila aj potreba vykonávať sčítanie, odčítanie, delenie a násobenie mocnín. To posledné stojí za zváženie podrobnejšie. Vzorce na sčítanie mocnín sú jednoduché a ľahko zapamätateľné. Okrem toho je veľmi ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú, ak je výkonová operácia nahradená násobením. Najprv však musíte pochopiť základnú terminológiu. Výraz a^b (čítaj „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by sa malo vynásobiť samo sebou b-krát, pričom „a“ sa nazýva základ mocniny a „b“ mocninný exponent. Ak sú základy stupňov rovnaké, potom sú vzorce odvodené celkom jednoducho. Konkrétny príklad: nájdite hodnotu výrazu 2^3 * 2^4. Aby ste vedeli, čo by sa malo stať, mali by ste pred začatím riešenia nájsť odpoveď v počítači. Zadaním tohto výrazu do ľubovoľnej online kalkulačky, vyhľadávača, zadaním „násobenia mocnín s rôznymi základmi a rovnako“ alebo matematického balíka bude výstup 128. Teraz si napíšme tento výraz: 2^3 = 2*2*2, a 2^4 = 2*2*2*2. Ukazuje sa, že 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ukazuje sa, že súčin mocnín s rovnakým základom sa rovná základu umocnenému na mocninu rovnajúcu sa súčtu dvoch predchádzajúcich mocnín.

Možno si myslíte, že ide o nehodu, ale nie: každý iný príklad môže toto pravidlo len potvrdiť. Vo všeobecnosti teda vzorec vyzerá takto: a^n * a^m = a^(n+m) . Existuje tiež pravidlo, že každé číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej. Tu by sme mali pamätať na pravidlo záporných mocnín: a^(-n) = 1 / a^n. To znamená, že ak 2^3 = 8, potom 2^(-3) = 1/8. Pomocou tohto pravidla môžete dokázať platnosť rovnosti a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) možno zmenšiť a jedno zostáva. Odtiaľto je odvodené pravidlo, že podiel mocnin s rovnakými základmi sa rovná tomuto základu v miere rovnajúcej sa podielu deliteľa a deliteľa: a^n: a^m = a^(n-m) . Príklad: zjednodušte výraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Násobenie je komutatívna operácia, preto musíte najprv pridať exponenty násobenia: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Ďalej sa musíte vysporiadať s rozdelením negatívnou silou. Od exponentu deliteľa je potrebné odpočítať exponent deliteľa: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ukazuje sa, že operácia delenia stupňa záporným stupňom je totožná s operáciou násobenia podobným kladným exponentom. Takže konečná odpoveď je 8.

Existujú príklady, kde dochádza k nekanonickému násobeniu právomocí. Násobenie síl s rôznymi základmi je často oveľa ťažšie a niekedy dokonca nemožné. Je potrebné uviesť niekoľko príkladov rôznych možných techník. Príklad: zjednodušte výraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Je zrejmé, že dochádza k násobeniu mocnín s rôznymi základmi. Treba však poznamenať, že všetky základy sú rôzne mocniny troch. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Pomocou pravidla (a^n) ^m = a^(n*m) by ste mali výraz prepísať do vhodnejšieho tvaru: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odpoveď: 3^11. V prípadoch, keď existujú rôzne základy, pravidlo a^n * b^n = (a*b) ^n funguje pre rovnaké ukazovatele. Napríklad 3^3 * 7^3 = 21^3. V opačnom prípade, keď sú základy a exponenty odlišné, nie je možné vykonať úplné násobenie. Niekedy môžete čiastočne zjednodušiť alebo sa uchýliť k pomoci výpočtovej techniky.

Vzorce stupňov používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(a m) n = a m n.

Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:

4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.

Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.

Pojem titul z matematiky sa zavádza v 7. ročníku na hodine algebry. A následne počas celého štúdia matematiky sa tento pojem aktívne využíva v rôznych podobách. Stupne sú pomerne náročnou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Aby matematici pracovali s titulmi rýchlejšie a lepšie, prišli s vlastnosťami stupňov. Pomáhajú redukovať veľké výpočty, do určitej miery premieňajú obrovský príklad na jediné číslo. Nie je toľko vlastností a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o základných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.

Vlastnosti stupňa

Pozrieme sa na 12 vlastností stupňov vrátane vlastností stupňov s rovnakými základmi a ku každej vlastnosti uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a tiež vás ušetrí od mnohých výpočtových chýb.

1. nehnuteľnosť.

Mnoho ľudí veľmi často zabúda na túto vlastnosť a robí chyby, pričom číslo s nulovou mocninou predstavuje nula.

2. nehnuteľnosť.

3. nehnuteľnosť.

Treba mať na pamäti, že túto vlastnosť možno použiť len pri násobení čísel, nefunguje so súčtom! A nesmieme zabúdať, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakými základmi.

4. nehnuteľnosť.

Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, potom pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa znamienko pri ďalších výpočtoch správne zmenilo.

Vlastnosť funguje len pri delení, neplatí pri odčítaní!

5. nehnuteľnosť.

6. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť môže byť použitá aj v opačnom smere. Jednotka delená číslom je do určitej miery toto číslo na mínus mocninu.

7. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Zvýšenie súčtu alebo rozdielu na mocninu používa skôr skrátené vzorce násobenia ako mocninné vlastnosti.

8. nehnuteľnosť.

9. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje pre akúkoľvek zlomkovú mocninu s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, iba mocnina odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa mocniny.

Táto vlastnosť sa často používa aj naopak. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako toto číslo k mocnine jednotky delené mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je možné extrahovať koreň čísla.

10. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje nielen s odmocninami a druhými mocninami. Ak sa stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, zhodujú, potom bude odpoveďou radikálny výraz.

11. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť musíte pri riešení vidieť včas, aby ste sa ušetrili od obrovských výpočtov.

12. nehnuteľnosť.

Každá z týchto vlastností sa na vás v úlohách stretne viackrát, môže byť uvedená v čistej forme, alebo si môže vyžadovať určité transformácie a použitie iných vzorcov. Na správne rozhodnutie preto nestačí poznať len vlastnosti, treba si precvičiť a zakomponovať ďalšie matematické poznatky.

Aplikácia stupňov a ich vlastnosti

Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice a rovnice a príklady súvisiace s inými odvetviami matematiky sú často komplikované mocninami. Mocniny pomáhajú vyhnúť sa veľkým a zdĺhavým výpočtom, mocniny sa dajú ľahšie skrátiť a vypočítať. Ale na prácu s veľkými mocninami alebo s mocninami veľkých čísel potrebujete poznať nielen vlastnosti mocniny, ale aj kompetentne pracovať so základňami, vedieť ich rozširovať, aby ste si uľahčili úlohu. Pre pohodlie by ste tiež mali poznať význam čísel umocnených na mocninu. To vám skráti čas pri riešení a eliminuje potrebu zdĺhavých výpočtov.

Osobitnú úlohu v logaritmoch zohráva pojem stupňa. Pretože logaritmus je v podstate mocninou čísla.

Skrátené vzorce násobenia sú ďalším príkladom použitia mocniny. Nemožno v nich použiť vlastnosti stupňov, sú rozšírené podľa špeciálnych pravidiel, ale v každom vzorci skráteného násobenia sú vždy stupne.

Tituly sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky prevody do sústavy SI sa robia pomocou mocnín a v budúcnosti sa pri riešení úloh využívajú vlastnosti mocniny. V informatike sa mocniny dvoch aktívne používajú na uľahčenie počítania a zjednodušenie vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevod merných jednotiek alebo výpočty problémov, podobne ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňov.

Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy uvidíte využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie zápisu rôznych veličín a vzdialeností.

Stupne sa používajú aj v každodennom živote pri výpočte plôch, objemov a vzdialeností.

Stupne sa používajú na zaznamenávanie veľmi veľkých a veľmi malých veličín v akejkoľvek oblasti vedy.

Exponenciálne rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi bežné, ako v školských kurzoch, tak aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma sa vždy nachádza v samotnom stupni, takže poznať všetky vlastnosti, vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť nie je ťažké.

V minulej video lekcii sme sa naučili, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý predstavuje súčin samotného základu, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Predstavme si túto prácu celú:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braného 5-krát. A naozaj, ak to spočítate, potom:

Môžeme teda s istotou konštatovať, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia mocniny vyplýva z pravidla, že význam výrazov sa pri transformáciách v súčine zachováva. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a)x a (a)y rovná a(x + y). Inými slovami, keď sa vytvoria akékoľvek výrazy s rovnakým základom, výsledný jednočlen má celkový stupeň vytvorený sčítaním stupňov prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby mali všetci rovnaké základy. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek spoločné akcie založené na moci s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín v produkte dokonale prenášajú do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Transformujme výraz výraz po výraze do jeho plnej podoby a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už v procese jeho riešenia je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné od stupňa dividendy odpočítať stupeň deliteľa. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. Vo forme abstrakcie máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Z pravidla delenia rovnakých základov stupňami vyplýva definícia pre nultý stupeň. Je zrejmé, že nasledujúci výraz vyzerá takto:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Na druhej strane, ak delenie urobíme viac vizuálnym spôsobom, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Bolo by však absurdné, ak by 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) sa nejakým spôsobom rovná jednej, takže vyjadrenie tvaru (0) 0 (nula na nulovú mocninu) jednoducho nedáva zmysel a vzorec ( a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.

Poďme vyriešiť cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: výraz sa rovná jednej.