Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy. Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávny nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss počas svojho života získal uznanie ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývku „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, peniaze nedostávajú len hlupáci, ale aj géniovia – Gaussov portrét bol na 10-tich nemeckých markách (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA 5. ROČNÍKA. Musíte vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou učitelia často uvažujú o metóde postupného vyraďovania neznámych v školských výberových predmetoch z matematiky. Je to paradox, ale pre študentov je najťažšia Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o metodológii a pokúsim sa hovoriť o algoritme metódy v prístupnej forme.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie.
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbové).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme opäť zaoberať Gaussovou metódou pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), článok je venovaný situáciám bodov č. 2-3. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchšiemu systému z lekcie Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?
a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému:
. Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz :Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená len z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica sústavy: . Rozšírená systémová matica– ide o rovnakú maticu systému plus stĺpec voľných výrazov, v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak v matici existujú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, mali by ste vymazať Všetky tieto riadky sú z matice okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok –3 a druhý vynásobiť 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Pozrime sa na našu maticu z praktického príkladu: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne:

Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Výsledok zapíšem do druhého riadku: »

„Teraz druhý stĺpec. V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc!

Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“ v opačnom smere - tento proces sa nazýva zdola nahor inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zoberme si prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia:

A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo:

Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zapisovanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:


A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, druhý riadok vydelíme –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, pretože čím menšie čísla, tým jednoduchšie riešenie:

V záverečnej fáze elementárnych transformácií tu musíte získať ďalšiu nulu:

Pre to k tretiemu riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:


Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo niekoľkokrát spomenuté, pri akomkoľvek systéme rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad samostatného riešenia, ukážka finálneho návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto:
(1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Spätný ťah, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je to o niečo zložitejšie. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu.
Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad:

Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných:

Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože prvý stĺpec už má jednu nulu a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný konvenčný príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - majú veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, musíte sa v nej dobre zorientovať a vyriešiť aspoň 5-10 systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre každého, kto chce zložitejší príklad, ktorý si vyrieši sám:

Príklad 5

Riešte sústavu štyroch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, rozoberáme v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so všeobecným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.


Vykonané elementárne transformácie:
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, dôrazne odporúčam neodčítať ho - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť!
(2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka, že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď: .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:
(1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“.
(2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje , „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.
(4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému 4. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku vynásobenému –1.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku.
(5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –5.

Obrátené:

Jednou z univerzálnych a efektívnych metód riešenia lineárnych algebraických systémov je Gaussova metóda , spočívajúcej v postupnej eliminácii neznámych.

Pripomeňme, že tieto dva systémy sa nazývajú ekvivalent (ekvivalent), ak sa množiny ich riešení zhodujú. Inými slovami, systémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého a naopak. Ekvivalentné systémy sa získajú, keď elementárne transformácie rovnice sústavy:

vynásobenie oboch strán rovnice číslom iným ako nula;

pridanie do nejakej rovnice zodpovedajúcich častí inej rovnice, vynásobené číslom iným ako nula;

preskupenie dvoch rovníc.

Nech je daný systém rovníc

Proces riešenia tohto systému pomocou Gaussovej metódy pozostáva z dvoch etáp. V prvej fáze (priamy pohyb) sa systém pomocou elementárnych transformácií redukuje na postupne , alebo trojuholníkový forme a v druhom stupni (reverznom) nastáva postupné, začínajúce od posledného premenného čísla, určovanie neznámych z výsledného stupňovitého systému.

Predpokladajme, že koeficient tohto systému
, inak v systéme je možné prehodiť prvý riadok s ktorýmkoľvek iným tak, že koeficient pri bol iný ako nula.

Poďme transformovať systém odstránením neznámeho vo všetkých rovniciach okrem prvej. Ak to chcete urobiť, vynásobte obe strany prvej rovnice a pridajte člen po člene s druhou rovnicou systému. Potom vynásobte obe strany prvej rovnice a pridajte ho do tretej rovnice sústavy. Pokračujúc v tomto procese získame ekvivalentný systém

Tu
– nové hodnoty koeficientov a voľných členov, ktoré sa získajú po prvom kroku.

Podobne, ak vezmeme do úvahy hlavný prvok
, vylúčiť neznáme zo všetkých rovníc sústavy okrem prvej a druhej. Pokračujme v tomto procese tak dlho, ako je to možné, a výsledkom bude postupný systém

,

Kde ,
,…,– hlavné prvky systému
.

Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitý tvar objavia rovnice, t. j. rovnosť tvaru
, sú vyradené, pretože sú splnené ľubovoľnou množinou čísel
. Ak pri
Ak sa objaví rovnica tvaru, ktorá nemá riešenia, znamená to nekompatibilitu systému.

Pri spätnom zdvihu je prvá neznáma vyjadrená z poslednej rovnice transformovaného stupňovitého systému cez všetky ostatné neznáme
ktoré sa nazývajú zadarmo . Potom premenný výraz z poslednej rovnice sústavy sa dosadí do predposlednej rovnice a z nej sa vyjadrí premenná
. Premenné sú definované postupne podobným spôsobom
. Premenné
, vyjadrené prostredníctvom voľných premenných, sa nazývajú základné (závislý). Výsledkom je všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Nájsť súkromné ​​riešenie systémov, voľný neznámy
vo všeobecnom riešení sa priradia ľubovoľné hodnoty a vypočítajú sa hodnoty premenných
.

Technicky je vhodnejšie podrobiť elementárnym transformáciám nie samotné systémové rovnice, ale rozšírenú maticu systému

.

Gaussova metóda je univerzálna metóda, ktorá umožňuje riešiť nielen štvorcové, ale aj pravouhlé sústavy, v ktorých je počet neznámych
nerovná sa počtu rovníc
.

Výhodou tejto metódy je aj to, že v procese riešenia súčasne skúmame kompatibilitu systému, keďže vzhľadom na rozšírenú maticu
do stupňovitej formy je ľahké určiť poradie matice a rozšírená matica
a aplikovať Kronecker-Capelliho veta .

Príklad 2.1 Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy

Riešenie. Počet rovníc
a počet neznámych
.

Vytvorme rozšírenú maticu systému priradením koeficientov napravo od matice stĺpec voľných členov .

Predstavme si maticu na trojuholníkový pohľad; Aby sme to dosiahli, získame „0“ pod prvkami umiestnenými na hlavnej diagonále pomocou elementárnych transformácií.

Ak chcete získať "0" na druhej pozícii prvého stĺpca, vynásobte prvý riadok (-1) a pridajte ho do druhého riadku.

Túto transformáciu zapíšeme ako číslo (-1) oproti prvému riadku a označíme ho šípkou idúcou z prvého riadku do druhého.

Ak chcete získať "0" na tretej pozícii prvého stĺpca, vynásobte prvý riadok (-3) a pridajte k tretiemu riadku; Ukážme túto akciu pomocou šípky idúcej od prvého riadku k tretiemu.

.

Vo výslednej matici, zapísanej ako druhá v reťazci matíc, dostaneme „0“ v druhom stĺpci na tretej pozícii. Aby sme to urobili, vynásobili sme druhý riadok (-4) a pridali ho k tretiemu. Vo výslednej matici vynásobte druhý riadok (-1) a vydeľte tretí (-8). Všetky prvky tejto matice ležiace pod diagonálnymi prvkami sú nuly.

Pretože , systém je kolaboratívny a definovaný.

Systém rovníc zodpovedajúci poslednej matici má trojuholníkový tvar:

Z poslednej (tretej) rovnice
. Dosaďte do druhej rovnice a získajte
.

Poďme nahradiť
A
do prvej rovnice nájdeme


.

Pokračujeme v zvažovaní systémov lineárnych rovníc. Táto lekcia je tretia na túto tému. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je systém lineárnych rovníc vo všeobecnosti, ak sa cítite ako čajník, potom odporúčam začať so základmi na stránke Ďalej, je užitočné si lekciu preštudovať.

Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávny nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss počas svojho života získal uznanie ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývku „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, peniaze nedostávajú len hlupáci, ale aj géniovia – Gaussov portrét bol na 10-tich nemeckých markách (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA 5. ROČNÍKA. Musíte vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou učitelia často uvažujú o metóde postupného vyraďovania neznámych v školských výberových predmetoch z matematiky. Je to paradox, ale pre študentov je najťažšia Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o metodológii a pokúsim sa hovoriť o algoritme metódy v prístupnej forme.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie. 2) Mať nekonečne veľa riešení. 3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbové).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme opäť zaoberať Gaussovou metódou pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), situáciám bodov č. 2-3 je venovaný článok. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchšiemu systému z lekcie Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc? a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému: . Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz : Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená len z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica systému: . Rozšírená systémová matica – toto je rovnaká matica systému plus stĺpec voľných výrazov, v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak v matici existujú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, mali by ste vymazať Všetky tieto riadky sú z matice okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok –3 a druhý vynásobiť 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Pozrime sa na našu maticu z praktického príkladu: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne: Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Výsledok zapíšem do druhého riadku: »

„Teraz druhý stĺpec. V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc! Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“ v opačnom smere - tento proces sa nazýva zdola nahor inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zoberme si prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia: A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo: Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zapisovanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:
A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, druhý riadok vydelíme –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, pretože čím menšie čísla, tým jednoduchšie riešenie:

V záverečnej fáze elementárnych transformácií tu musíte získať ďalšiu nulu:

Pre to k tretiemu riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:
Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc: V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo niekoľkokrát spomenuté, pri akomkoľvek systéme rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad samostatného riešenia, ukážka finálneho návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: (1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Spätný ťah, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je to o niečo zložitejšie. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu. Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad: Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných: Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože prvý stĺpec už má jednu nulu a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný konvenčný príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - majú veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, mali by ste sa „zabiť“ a vyriešiť aspoň 5-10 desať systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre každého, kto chce zložitejší príklad, ktorý si vyrieši sám:

Príklad 5

Riešte sústavu 4 lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, sú diskutované v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so spoločným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.
Vykonané elementárne transformácie: (1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, dôrazne odporúčam neodčítať ho - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť! (2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka , že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie. (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5. (4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď : .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie: (1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“. (2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje , „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. (4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3. Požadovaná položka v druhom kroku bola prijatá. . (5) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 6. (6) Druhý riadok bol vynásobený –1, tretí riadok bol vydelený –83.

Obrátené:

Odpoveď :

Príklad 5: Riešenie : Zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie: (1) Prvý a druhý riadok boli vymenené. (2) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –3. (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému 4. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku vynásobenému –1. (4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku. (5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –5.

Obrátené:

Odpoveď :

Gaussova metóda, nazývaná aj metóda postupnej eliminácie neznámych, je nasledovná. Pomocou elementárnych transformácií sa systém lineárnych rovníc dostane do takej formy, že jeho matica koeficientov sa ukáže ako lichobežníkový (rovnaký ako trojuholníkový alebo stupňovitý) alebo takmer lichobežníkový (priamy ťah Gaussovej metódy, ďalej len priamy ťah). Príklad takéhoto systému a jeho riešenie je na obrázku vyššie.

V takomto systéme posledná rovnica obsahuje len jednu premennú a jej hodnotu možno jednoznačne nájsť. Hodnota tejto premennej sa potom dosadí do predchádzajúcej rovnice ( inverzná ku Gaussovej metóde , potom len naopak), z ktorej sa nájde predchádzajúca premenná atď.

V lichobežníkovom (trojuholníkovom) systéme, ako vidíme, tretia rovnica už neobsahuje premenné r A X a druhá rovnica je premenná X .

Potom, čo matica systému nadobudne lichobežníkový tvar, už nie je ťažké pochopiť problematiku kompatibility systému, určiť počet riešení a nájsť riešenia samotné.

Výhody metódy:

1. pri riešení sústav lineárnych rovníc s viac ako tromi rovnicami a neznámymi nie je Gaussova metóda taká ťažkopádna ako Cramerova metóda, keďže riešenie Gaussovou metódou vyžaduje menej výpočtov;
2. Gaussova metóda dokáže riešiť neurčité sústavy lineárnych rovníc, teda také, ktoré majú všeobecné riešenie (a v tejto lekcii ich rozoberieme) a pomocou Cramerovej metódy môžeme len konštatovať, že sústava je neurčitá;
3. môžete riešiť sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych nerovná počtu rovníc (v tejto lekcii ich tiež rozoberieme);
4. Metóda je založená na elementárnych (školských) metódach - metóde dosadzovania neznámych a metóde sčítania rovníc, ktorých sme sa dotkli v zodpovedajúcom článku.

Aby každý pochopil jednoduchosť, s akou sa riešia lichobežníkové (trojuholníkové, stupňovité) sústavy lineárnych rovníc, uvádzame riešenie takejto sústavy pomocou spätného pohybu. Rýchle riešenie tohto systému bolo znázornené na obrázku na začiatku hodiny.

Príklad 1 Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou inverzných:

Riešenie. V tomto lichobežníkovom systéme premenná z možno jednoznačne nájsť z tretej rovnice. Jej hodnotu dosadíme do druhej rovnice a dostaneme hodnotu premennej r:

Teraz poznáme hodnoty dvoch premenných - z A r. Dosadíme ich do prvej rovnice a dostaneme hodnotu premennej X:

Z predchádzajúcich krokov vypíšeme riešenie sústavy rovníc:

Na získanie takejto lichobežníkovej sústavy lineárnych rovníc, ktorú sme vyriešili veľmi jednoducho, je potrebné použiť dopredný zdvih spojený s elementárnymi transformáciami sústavy lineárnych rovníc. Tiež to nie je veľmi ťažké.

Elementárne transformácie sústavy lineárnych rovníc

Opakovaním školskej metódy algebraického sčítania rovníc sústavy sme zistili, že k jednej z rovníc sústavy môžeme pridať ďalšiu rovnicu sústavy a každú z rovníc možno vynásobiť nejakými číslami. Výsledkom je systém lineárnych rovníc ekvivalentný tomuto systému. V nej už jedna rovnica obsahovala len jednu premennú, ktorej dosadením hodnoty do iných rovníc sa dostávame k riešeniu. Takéto sčítanie je jedným z typov elementárnej transformácie systému. Pri použití Gaussovej metódy môžeme použiť niekoľko typov transformácií.

Animácia vyššie ukazuje, ako sa sústava rovníc postupne mení na lichobežníkový. Teda ten, ktorý ste videli v úplne prvej animácii a presvedčili ste sa, že je ľahké z neho nájsť hodnoty všetkých neznámych. Ako vykonať takúto transformáciu a samozrejme príklady budú ďalej diskutované.

Pri riešení sústav lineárnych rovníc s ľubovoľným počtom rovníc a neznámych v sústave rovníc a v rozšírenej matici sústavy Môcť:

1. preusporiadať riadky (toto bolo spomenuté na samom začiatku tohto článku);
2. ak výsledkom iných transformácií sú rovnaké alebo proporcionálne riadky, možno ich vymazať, s výnimkou jedného;
3. odstrániť „nulové“ riadky, kde sa všetky koeficienty rovnajú nule;
4. vynásobte alebo vydeľte ľubovoľný reťazec určitým číslom;
5. k ľubovoľnému riadku pridajte ďalší riadok, vynásobený určitým číslom.

Výsledkom transformácií je sústava lineárnych rovníc ekvivalentná tejto sústave.

Algoritmus a príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc so štvorcovou maticou sústavy pomocou Gaussovej metódy

Uvažujme najskôr o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych rovná počtu rovníc. Matica takéhoto systému je štvorcová, to znamená, že počet riadkov v nej sa rovná počtu stĺpcov.

Príklad 2 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Pri riešení sústav lineárnych rovníc školskými metódami sme jednu z rovníc člen po člene vynásobili určitým číslom, takže koeficienty prvej premennej v dvoch rovniciach boli opačné čísla. Pri pridávaní rovníc táto premenná odpadá. Gaussova metóda funguje podobne.

Na zjednodušenie vzhľadu riešenia vytvorme rozšírenú maticu systému:

V tejto matici sú koeficienty neznámych umiestnené vľavo pred zvislou čiarou a voľné členy sú umiestnené vpravo za zvislou čiarou.

Pre pohodlie deliacich koeficientov pre premenné (na získanie delenia jednotkou) Vymeňme prvý a druhý riadok matice systému. Získame systém ekvivalentný tomuto systému, pretože v systéme lineárnych rovníc možno rovnice zamieňať:

Pomocou novej prvej rovnice odstrániť premennú X z druhej a všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do druhého riadku matice pridáme prvý riadok vynásobený (v našom prípade ), do tretieho riadku - prvý riadok násobený (v našom prípade ).

Je to možné, pretože

Ak by v našom systéme boli viac ako tri rovnice, potom by sme museli do všetkých nasledujúcich rovníc pridať prvý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov, braný so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že získame maticu ekvivalentnú tomuto systému nového systému rovníc, v ktorom všetky rovnice počnúc od 2. neobsahujú premennú X :

Aby ste zjednodušili druhý riadok výsledného systému, vynásobte ho a znova získajte maticu systému rovníc ekvivalentných tomuto systému:

Teraz, keď ponecháme prvú rovnicu výsledného systému nezmenenú, pomocou druhej rovnice eliminujeme premennú r zo všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do tretieho riadku matice systému pridáme druhý riadok, vynásobený (v našom prípade ).

Ak by v našom systéme existovalo viac ako tri rovnice, museli by sme do všetkých nasledujúcich rovníc pridať druhý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že opäť získame maticu systému ekvivalentného tomuto systému lineárnych rovníc:

Získali sme ekvivalentný lichobežníkový systém lineárnych rovníc:

Ak je počet rovníc a premenných väčší ako v našom príklade, potom proces postupného odstraňovania premenných pokračuje, kým sa matica systému nestane lichobežníkovým, ako v našom demo príklade.

Nájdeme riešenie „od konca“ - spätný pohyb. Pre to z poslednej rovnice určíme z:
.
Nahradením tejto hodnoty do predchádzajúcej rovnice nájdeme r:

Z prvej rovnice nájdeme X:

Odpoveď: riešenie tejto sústavy rovníc je .

: v tomto prípade bude daná rovnaká odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie. Ak má systém nekonečný počet riešení, toto bude odpoveď a toto je predmetom piatej časti tejto lekcie.

Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sami a potom sa pozrite na riešenie

Opäť tu máme príklad konzistentného a určitého systému lineárnych rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych. Rozdiel od nášho ukážkového príkladu z algoritmu je v tom, že už existujú štyri rovnice a štyri neznáme.

Príklad 4. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Vykonajte prípravné práce. Aby to bolo pohodlnejšie s pomerom koeficientov, musíte jeden získať v druhom stĺpci druhého riadku. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tretí od druhého riadku a vynásobte výsledný druhý riadok -1.

Urobme teraz samotnú elimináciu premennej z tretej a štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte druhý riadok vynásobený , do tretieho riadku a druhý, násobený , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho . Získame rozšírenú trapézovú matricu.

Získali sme sústavu rovníc, ktorej je daná sústava ekvivalentná:

Následne sú výsledné a dané systémy kompatibilné a jednoznačné. Konečné riešenie nájdeme „od konca“. Zo štvrtej rovnice môžeme priamo vyjadriť hodnotu premennej „x-štyri“:

Túto hodnotu dosadíme do tretej rovnice sústavy a dostaneme

,

,

Nakoniec, nahradenie hodnoty

Prvá rovnica dáva

,

kde nájdeme „x prvé“:

Odpoveď: tento systém rovníc má jedinečné riešenie .

Riešenie systému si môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

Riešenie aplikovaných úloh pomocou Gaussovej metódy na príklade úlohy o zliatinách

Systémy lineárnych rovníc sa používajú na modelovanie reálnych objektov vo fyzickom svete. Poďme vyriešiť jeden z týchto problémov - zliatiny. Podobnými problémami sú problémy so zmesami, náklady alebo podiel jednotlivých tovarov v skupine tovarov a pod.

Príklad 5. Tri kusy zliatiny majú celkovú hmotnosť 150 kg. Prvá zliatina obsahuje 60% medi, druhá - 30%, tretia - 10%. Okrem toho je v druhej a tretej zliatine spolu o 28,4 kg medi menej ako v prvej zliatine a v tretej zliatine je o 6,2 kg menej medi ako v druhej. Nájdite hmotnosť každého kusu zliatiny.

Riešenie. Zostavíme sústavu lineárnych rovníc:

Vynásobíme druhú a tretiu rovnicu 10, dostaneme ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

Vytvárame rozšírenú maticu systému:

Pozor, priamo vpred. Pričítaním (v našom prípade odčítaním) jedného riadku vynásobeného číslom (aplikujeme ho dvakrát) dochádza s rozšírenou maticou systému k nasledujúcim transformáciám:

Priamy ťah sa skončil. Získali sme expandovanú lichobežníkovú matricu.

Aplikujeme spätný pohyb. Nájdeme riešenie od konca. To vidíme.

Z druhej rovnice zistíme

Z tretej rovnice -

Riešenie systému si môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

O jednoduchosti Gaussovej metódy svedčí fakt, že jej vynájdenie trvalo nemeckému matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi iba 15 minút. Okrem metódy pomenovanej po ňom je z Gaussových diel známy výrok „Nemali by sme si zamieňať to, čo sa nám zdá neuveriteľné a neprirodzené s absolútne nemožným“ – akýsi stručný návod na objavovanie.

V mnohých aplikovaných úlohách nemusí byť tretie obmedzenie, teda tretia rovnica, potom musíte riešiť sústavu dvoch rovníc s tromi neznámymi pomocou Gaussovej metódy, alebo naopak, neznámych je menej ako rovníc. Teraz začneme riešiť takéto sústavy rovníc.

Pomocou Gaussovej metódy môžete určiť, či je niektorý systém kompatibilný alebo nekompatibilný n lineárne rovnice s n premenných.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení

Ďalším príkladom je konzistentný, ale neurčitý systém lineárnych rovníc, ktorý má nekonečný počet riešení.

Po vykonaní transformácií v rozšírenej matici systému (preusporiadanie riadkov, vynásobenie a delenie riadkov určitým číslom, pridanie ďalšieho k jednému riadku) sa mohli objaviť riadky formulára

Ak vo všetkých rovniciach majú tvar

Voľné členy sa rovnajú nule, to znamená, že systém je neurčitý, to znamená, že má nekonečný počet riešení a rovnice tohto typu sú „nadbytočné“ a vylúčime ich zo systému.

Príklad 6.

Riešenie. Vytvorme rozšírenú maticu systému. Potom pomocou prvej rovnice odstránime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte do druhého, tretieho a štvrtého riadku prvý, vynásobený:

Teraz pridajme druhý riadok k tretiemu a štvrtému.

V dôsledku toho sa dostávame do systému

Posledné dve rovnice sa zmenili na rovnice tvaru. Tieto rovnice sú splnené pre akúkoľvek hodnotu neznámych a môžu byť vyradené.

Aby sme splnili druhú rovnicu, môžeme zvoliť ľubovoľné hodnoty pre a , potom bude hodnota pre určená jednoznačne: . Z prvej rovnice je hodnota pre tiež nájdená jednoznačne: .

Daný aj posledný systém sú konzistentné, ale neisté a vzorce

pre ľubovoľné a dajte nám všetky riešenia daného systému.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc bez riešení

Ďalším príkladom je nekonzistentný systém lineárnych rovníc, teda taký, ktorý nemá riešenia. Odpoveď na takéto problémy je formulovaná takto: systém nemá riešenia.

Ako už bolo spomenuté v súvislosti s prvým príkladom, po vykonaní transformácií by sa v rozšírenej matici systému mohli objaviť riadky formulára

zodpovedajúca rovnici tvaru

Ak medzi nimi existuje aspoň jedna rovnica s nenulovým voľným členom (t.j. ), potom je táto sústava rovníc nekonzistentná, to znamená, že nemá riešenia a jej riešenie je úplné.

Príklad 7. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Zostavíme rozšírenú maticu systému. Pomocou prvej rovnice vylúčime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok vynásobený k druhému riadku, prvý riadok vynásobený tretím riadkom a prvý riadok vynásobený štvrtým riadkom.

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Aby sme získali celočíselné pomery koeficientov, prehodíme druhý a tretí riadok rozšírenej matice systému.

Ak chcete vylúčiť tretiu a štvrtú rovnicu, pridajte druhú vynásobenú , do tretieho riadku a druhú násobenú , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho .

Daný systém je teda ekvivalentný nasledovnému:

Výsledný systém je nekonzistentný, pretože jeho posledná rovnica nemôže byť splnená žiadnymi hodnotami neznámych. Preto tento systém nemá žiadne riešenia.

Dva systémy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné, ak sa množina všetkých ich riešení zhoduje.

Elementárne transformácie sústavy rovníc sú:

1. Vymazanie triviálnych rovníc zo systému, t.j. tie, pre ktoré sú všetky koeficienty rovné nule;
2. Násobenie akejkoľvek rovnice číslom iným ako nula;
3. Pridanie ľubovoľnej j-tej rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom do ľubovoľnej i-tej rovnice.

Premenná x i sa nazýva voľná, ak táto premenná nie je povolená, ale je povolený celý systém rovníc.

Veta. Elementárne transformácie transformujú sústavu rovníc na ekvivalentnú.

Zmyslom Gaussovej metódy je transformovať pôvodný systém rovníc a získať ekvivalentný vyriešený alebo ekvivalentný nekonzistentný systém.

Gaussova metóda teda pozostáva z nasledujúcich krokov:

1. Pozrime sa na prvú rovnicu. Vyberieme si prvý nenulový koeficient a vydelíme ním celú rovnicu. Získame rovnicu, do ktorej vstupuje nejaká premenná x i s koeficientom 1;
2. Odčítajme túto rovnicu od všetkých ostatných a vynásobme ju takými číslami, aby koeficienty premennej x i v zostávajúcich rovniciach boli nulové. Získame systém vyriešený vzhľadom na premennú x i a ekvivalentný pôvodnej;
3. Ak vzniknú triviálne rovnice (zriedka, ale stáva sa to; napr. 0 = 0), zo sústavy ich prečiarkneme. Výsledkom je, že existuje o jednu rovnicu menej;
4. Predchádzajúce kroky opakujeme maximálne n-krát, kde n je počet rovníc v sústave. Zakaždým, keď vyberieme novú premennú na „spracovanie“. Ak vzniknú nekonzistentné rovnice (napríklad 0 = 8), systém je nekonzistentný.

Výsledkom je, že po niekoľkých krokoch získame buď vyriešený systém (prípadne s voľnými premennými), alebo nekonzistentný. Povolené systémy spadajú do dvoch prípadov:

1. Počet premenných sa rovná počtu rovníc. To znamená, že systém je definovaný;
2. Počet premenných je väčší ako počet rovníc. Zhromažďujeme všetky voľné premenné napravo - dostaneme vzorce pre povolené premenné. Tieto vzorce sú napísané v odpovedi.

To je všetko! Sústava lineárnych rovníc vyriešená! Ide o pomerne jednoduchý algoritmus a na jeho zvládnutie nemusíte kontaktovať vyššieho učiteľa matematiky. Pozrime sa na príklad:

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Popis krokov:

1. Odpočítajte prvú rovnicu od druhej a tretej – dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Druhú rovnicu vynásobíme (−1), tretiu rovnicu vydelíme (−3) – dostaneme dve rovnice, do ktorých vstupuje premenná x 2 s koeficientom 1;
3. K prvej pripočítame druhú rovnicu a od tretej odpočítame. Dostaneme povolenú premennú x 2 ;
4. Nakoniec od prvej odčítame tretiu rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 3;
5. Dostali sme schválený systém, zapíšte si odpoveď.

Všeobecným riešením simultánneho systému lineárnych rovníc je nový systém, ekvivalentný pôvodnému, v ktorom sú všetky povolené premenné vyjadrené ako voľné.

Kedy môže byť potrebné všeobecné riešenie? Ak musíte urobiť menej krokov ako k (k je počet rovníc). Avšak dôvody, prečo proces končí v niektorom kroku l< k , может быть две:

1. Po 1. kroku sme dostali systém, ktorý neobsahuje rovnicu s číslom (l + 1). V skutočnosti je to dobré, pretože... autorizovaný systém je stále získaný - dokonca o niekoľko krokov skôr.
2. Po 1. kroku sme dostali rovnicu, v ktorej sú všetky koeficienty premenných rovné nule a voľný koeficient je odlišný od nuly. Toto je protichodná rovnica, a preto je systém nekonzistentný.

Je dôležité pochopiť, že vznik nekonzistentnej rovnice pomocou Gaussovej metódy je dostatočným základom pre nekonzistentnosť. Zároveň poznamenávame, že v dôsledku 1. kroku nemôžu zostať žiadne triviálne rovnice - všetky sú prečiarknuté priamo v procese.

Popis krokov:

1. Odpočítajte prvú rovnicu vynásobenú 4 od druhej. Prvú rovnicu pridáme aj do tretej – dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Odpočítajte tretiu rovnicu vynásobenú 2 od druhej - dostaneme protichodnú rovnicu 0 = −5.

Takže systém je nekonzistentný, pretože bola objavená nekonzistentná rovnica.

Úloha. Preskúmajte kompatibilitu a nájdite všeobecné riešenie systému:

Popis krokov:

1. Prvú rovnicu odpočítame od druhej (po vynásobení dvoma) a tretiu - dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Odpočítajte druhú rovnicu od tretej. Keďže všetky koeficienty v týchto rovniciach sú rovnaké, tretia rovnica sa stane triviálnou. Zároveň vynásobte druhú rovnicu číslom (−1);
3. Od prvej rovnice odčítame druhú - dostaneme povolenú premennú x 2. Celý systém rovníc je teraz tiež vyriešený;
4. Keďže premenné x 3 a x 4 sú voľné, presunieme ich doprava, aby sme vyjadrili povolené premenné. Toto je odpoveď.

Systém je teda konzistentný a neurčitý, keďže existujú dve povolené premenné (x 1 a x 2) a dve voľné (x 3 a x 4).