Vzdelávacia inštitúcia „Bieloruský štát

poľnohospodárska akadémia"

Katedra vyššej matematiky

Smernice

naštudovať tému „Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu“ študentmi účtovníckej fakulty korešpondenčného vzdelávania (NISPO)

Gorki, 2013

Lineárne diferenciálne rovnice

druhého rádu s konštantamikoeficienty

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice

Lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi nazývaná rovnica tvaru

tie. rovnica, ktorá obsahuje požadovanú funkciu a jej derivácie len v prvom stupni a neobsahuje ich produkty. V tejto rovnici A
- nejaké čísla a funkcia
podávané v určitom intervale
.

Ak
na intervale
, potom rovnica (1) bude mať tvar

, (2)

a volá sa lineárne homogénne . V opačnom prípade sa nazýva rovnica (1). lineárne nehomogénne .

Zvážte komplexnú funkciu

, (3)

Kde
A
- skutočné funkcie. Ak je funkcia (3) komplexným riešením rovnice (2), potom reálna časť
, a imaginárnu časť
riešenia
oddelene sú riešenia tej istej homogénnej rovnice. Akékoľvek komplexné riešenie rovnice (2) teda generuje dve reálne riešenia tejto rovnice.

Riešenia homogénnej lineárnej rovnice majú tieto vlastnosti:

Ak je riešením rovnice (2), potom funkcia
, Kde S– ľubovoľná konštanta bude tiež riešením rovnice (2);

Ak A existujú riešenia rovnice (2), potom funkcia
bude tiež riešením rovnice (2);

Ak A existujú riešenia rovnice (2), potom ich lineárna kombinácia
bude tiež riešením rovnice (2), kde A
– ľubovoľné konštanty.

Funkcie
A
sa volajú lineárne závislé na intervale
, ak takéto čísla existujú A
, ktorá sa zároveň nerovná nule, že na tomto intervale je rovnosť

Ak rovnosť (4) nastane len vtedy
A
, potom funkcie
A
sa volajú lineárne nezávislé na intervale
.

Príklad 1 . Funkcie
A
sú lineárne závislé, keďže
na celom číselnom rade. V tomto príklade
.

Príklad 2 . Funkcie
A
sú lineárne nezávislé na akomkoľvek intervale, pretože rovnosť
je možné len v prípade, keď
, A
.

Konštrukcia všeobecného riešenia k lineárnemu homogénnemu

rovnice

Aby ste našli všeobecné riešenie rovnice (2), musíte nájsť dve jej lineárne nezávislé riešenia A . Lineárna kombinácia týchto riešení
, Kde A
sú ľubovoľné konštanty a poskytnú všeobecné riešenie lineárnej homogénnej rovnice.

Budeme hľadať lineárne nezávislé riešenia rovnice (2) v tvare

, (5)

Kde - určitý počet. Potom
,
. Dosaďte tieto výrazy do rovnice (2):

alebo
.

Pretože
, To
. Takže funkcia
bude riešením rovnice (2), ak splní rovnicu

. (6)

Rovnica (6) sa nazýva charakteristická rovnica pre rovnicu (2). Táto rovnica je algebraická kvadratická rovnica.

Nechaj A existujú korene tejto rovnice. Môžu byť buď skutočné a odlišné, alebo zložité, alebo skutočné a rovnaké. Zoberme si tieto prípady.

Nechajte korene A charakteristické rovnice sú skutočné a zreteľné. Potom riešenia rovnice (2) budú funkcie
A
. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé, pretože rovnosť
možno vykonať len vtedy
, A
. Preto všeobecné riešenie rovnice (2) má tvar

,

Kde A
- ľubovoľné konštanty.

Príklad 3
.

Riešenie . Charakteristická rovnica pre tento diferenciál bude
. Po vyriešení tejto kvadratickej rovnice nájdeme jej korene
A
. Funkcie
A
sú riešenia diferenciálnej rovnice. Všeobecné riešenie tejto rovnice je
.

Komplexné číslo nazývaný výraz formy
, Kde A sú reálne čísla a
nazývaná pomyselná jednotka. Ak
, potom číslo
sa nazýva čisto imaginárny. Ak
, potom číslo
je identifikovaný skutočným číslom .

číslo sa nazýva reálna časť komplexného čísla a - imaginárna časť. Ak sa dve komplexné čísla navzájom líšia iba znamienkom imaginárnej časti, potom sa nazývajú konjugované:
,
.

Príklad 4 . Vyriešte kvadratickú rovnicu
.

Riešenie . Diskriminačná rovnica
. Potom. podobne,
. Táto kvadratická rovnica má teda konjugované komplexné korene.

Nech sú korene charakteristickej rovnice zložité, t.j.
,
, Kde
. Riešenia rovnice (2) možno zapísať v tvare
,
alebo
,
. Podľa Eulerových vzorcov

,
.

Potom,. Ako je známe, ak je komplexná funkcia riešením lineárnej homogénnej rovnice, potom riešenia tejto rovnice sú reálnou aj imaginárnou časťou tejto funkcie. Riešením rovnice (2) teda budú funkcie
A
. Od rovnosti

možno vykonať iba vtedy, ak
A
, potom sú tieto riešenia lineárne nezávislé. Preto všeobecné riešenie rovnice (2) má tvar

Kde A
- ľubovoľné konštanty.

Príklad 5 . Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
.

Riešenie . Rovnica
je charakteristický pre daný diferenciál. Poďme to vyriešiť a získajme zložité korene
,
. Funkcie
A
sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice. Všeobecné riešenie tejto rovnice je:

Korene charakteristickej rovnice nech sú skutočné a rovné, t.j.
. Potom riešenia rovnice (2) sú funkcie
A
. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé, pretože výraz môže byť zhodne rovný nule iba vtedy, keď
A
. Preto všeobecné riešenie rovnice (2) má tvar
.

Príklad 6 . Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
.

Riešenie . Charakteristická rovnica
má rovnaké korene
. V tomto prípade sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice funkciami
A
. Všeobecné riešenie má formu
.

Nehomogénne lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

a špeciálna pravá strana

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice (1) sa rovná súčtu všeobecného riešenia
zodpovedajúcu homogénnu rovnicu a akékoľvek konkrétne riešenie
nehomogénna rovnica:
.

V niektorých prípadoch možno konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice nájsť celkom jednoducho podľa tvaru pravej strany
rovnica (1). Pozrime sa na prípady, kedy je to možné.

tie. pravá strana nehomogénnej rovnice je polynóm stupňa m. Ak
nie je koreňom charakteristickej rovnice, potom by sa malo hľadať konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice vo forme polynómu stupňa m, t.j.

Odds
sa určujú v procese hľadania konkrétneho riešenia.

Ak
je koreňom charakteristickej rovnice, potom treba hľadať konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice vo forme

Príklad 7 . Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
.

Riešenie . Zodpovedajúca homogénna rovnica pre túto rovnicu je
. Jeho charakteristická rovnica
má korene
A
. Všeobecné riešenie homogénnej rovnice má tvar
.

Pretože
nie je koreňom charakteristickej rovnice, potom budeme hľadať konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice v tvare funkcie
. Poďme nájsť deriváty tejto funkcie
,
a dosaďte ich do tejto rovnice:

alebo . Dajme rovnítko medzi koeficienty pre a bezplatných členov:
Po vyriešení tohto systému sme dostali
,
. Potom má konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice tvar
a všeobecné riešenie danej nehomogénnej rovnice bude súčtom všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia nehomogénnej rovnice:
.

Nech má nehomogénna rovnica tvar

Ak
nie je koreňom charakteristickej rovnice, potom treba hľadať konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice vo forme. Ak
je koreňom charakteristickej multiplicitnej rovnice k (k= 1 alebo k=2), potom v tomto prípade bude mať konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice tvar .

Príklad 8 . Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
.

Riešenie . Charakteristická rovnica pre zodpovedajúcu homogénnu rovnicu má tvar
. Jeho korene
,
. V tomto prípade je všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice zapísané vo forme
.

Keďže číslo 3 nie je koreňom charakteristickej rovnice, malo by sa hľadať konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice v tvare
. Poďme nájsť deriváty prvého a druhého rádu:

Dosadíme do diferenciálnej rovnice:
+ +,
+,.

Dajme rovnítko medzi koeficienty pre a bezplatných členov:

Odtiaľ
,
. Potom má konkrétne riešenie tejto rovnice tvar
a všeobecné riešenie

.

Lagrangeova metóda variácie ľubovoľných konštánt

Metódu zmeny ľubovoľných konštánt možno použiť na akúkoľvek nehomogénnu lineárnu rovnicu s konštantnými koeficientmi, bez ohľadu na typ pravej strany. Táto metóda umožňuje vždy nájsť všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice, ak je známe všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice.

Nechaj
A
sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (2). Potom je všeobecné riešenie tejto rovnice
, Kde A
- ľubovoľné konštanty. Podstatou metódy variácie ľubovoľných konštánt je, že všeobecné riešenie rovnice (1) sa hľadá v tvare

Kde
A
- nové neznáme funkcie, ktoré je potrebné nájsť. Keďže existujú dve neznáme funkcie, na ich nájdenie sú potrebné dve rovnice obsahujúce tieto funkcie. Tieto dve rovnice tvoria systém

čo je lineárny algebraický systém rovníc vzhľadom na
A
. Pri riešení tohto systému nájdeme
A
. Zistíme, že integrovaním oboch strán získaných rovností

A
.

Dosadením týchto výrazov do (9) dostaneme všeobecné riešenie nehomogénnej lineárnej rovnice (1).

Príklad 9 . Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
.

Riešenie. Charakteristická rovnica pre homogénnu rovnicu zodpovedajúcu danej diferenciálnej rovnici je
. Jeho korene sú zložité
,
. Pretože
A
, To
,
, a všeobecné riešenie homogénnej rovnice má tvar. Potom budeme hľadať všeobecné riešenie tejto nehomogénnej rovnice v tvare kde
A
- neznáme funkcie.

Systém rovníc na nájdenie týchto neznámych funkcií má tvar

Po vyriešení tohto systému nájdeme
,
. Potom

,
. Dosaďte výsledné výrazy do vzorca pre všeobecné riešenie:

Toto je všeobecné riešenie tejto diferenciálnej rovnice získané pomocou Lagrangeovej metódy.

Otázky na sebaovládanie vedomostí

Ktorá diferenciálna rovnica sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi?

Ktorá lineárna diferenciálna rovnica sa nazýva homogénna a ktorá nehomogénna?

Aké vlastnosti má lineárna homogénna rovnica?

Ktorá rovnica sa nazýva charakteristická pre lineárnu diferenciálnu rovnicu a ako sa získava?

V akej forme sa zapisuje všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi v prípade rôznych koreňov charakteristickej rovnice?

V akej forme sa zapisuje všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi v prípade rovnakých koreňov charakteristickej rovnice?

V akej forme sa píše všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi v prípade komplexných koreňov charakteristickej rovnice?

Ako sa píše všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice?

V akej forme sa hľadá konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice, ak sú korene charakteristickej rovnice rôzne a nerovnajú sa nule a pravá strana rovnice je polynóm stupňa m?

V akej forme sa hľadá konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice, ak medzi koreňmi charakteristickej rovnice je jedna nula a pravá strana rovnice je polynóm stupňa m?

Čo je podstatou Lagrangeovej metódy?

Diferenciálne rovnice 2. rádu

§1. Metódy redukcie rádu rovnice.

Diferenciálna rovnica 2. rádu má tvar:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( alebo Diferenciálna" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Diferenciálna rovnica 2. rádu). Cauchyho úloha pre diferenciálnu rovnicu 2. rádu (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Nech má diferenciálna rovnica 2. rádu tvar: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Teda rovnica 2. rádu https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Jeho vyriešením získame všeobecný integrál pôvodnej diferenciálnej rovnice v závislosti od dvoch ľubovoľných konštánt: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Riešenie.

Keďže pôvodná rovnica explicitne neobsahuje argument https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

Od na https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Nech má diferenciálna rovnica 2. rádu tvar: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie rovnice: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Poradie mocniny sa zníži, ak je možné ho transformovať do takej podoby, že obe strany rovnice sa stanú úplnými deriváciami podľa https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

kde https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – dané funkcie, spojité na intervale, na ktorom sa hľadá riešenie. Za predpokladu, že a0(x) ≠ 0, vydelíme (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Prijmime bez dôkazu, že (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" výška = "25 src=">, potom sa rovnica (2.2) nazýva homogénna a rovnica (2.2) sa inak nazýva nehomogénna.

Uvažujme o vlastnostiach roztokov 2. rádu.

Definícia. Lineárna kombinácia funkcií https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

potom ich lineárnu kombináciu https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> v (2.3) a ukážte, že výsledkom je identita:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Keďže funkcie https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sú riešením rovnice (2.3), potom každá zo zátvoriek v posledná rovnica je totožná sa rovná nule, čo je potrebné dokázať.

Dôsledok 1. Z osvedčenej vety vyplýva, že na https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - riešenie rovnice (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> sa nazýva lineárne nezávislý na nejakom intervale, ak žiadna z týchto funkcií nemôže byť reprezentovaná ako lineárna kombinácia všetkých ostatných.

V prípade dvoch funkcií https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, t.j.gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Wronského determinant pre dve lineárne nezávislé funkcie teda nemôže byť zhodne rovný nule.

Nechajte https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> vyhovie rovnici (2..gif" width="42" height="25 src = "> – riešenie rovnice (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> sa získa identita.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, v ktorom je determinant pre lineárne nezávislé riešenia rovnice (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> oba faktory na pravej strane vzorca (3.2) sú nenulové.

§4. Štruktúra celkového riešenia lode 2. rádu.

Veta. Ak https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">je riešením rovnice (2.3), vyplýva z vety o vlastnostiach riešení 2. rádu. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Konštanty https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> z tohto systému lineárnych algebraických rovníc sú určené jednoznačne, pretože determinant tento systém je https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Podľa predchádzajúceho odseku sa všeobecné riešenie Lod 2. rádu ľahko určí, ak sú známe dve lineárne nezávislé parciálne riešenia tejto rovnice. Jednoduchá metóda na nájdenie čiastočných riešení rovnice s konštantnými koeficientmi, ktorú navrhol L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, dostaneme algebraickú rovnicu, ktorá sa nazýva charakteristika:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> bude riešením rovnice (5.1) len pre tie hodnoty k to sú korene charakteristickej rovnice (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> a všeobecné riešenie (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Skontrolujte, či táto funkcia spĺňa rovnicu (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Nahradenie týchto výrazov do rovnice (5.1), dostaneme

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, pretože..gif" width="137" height="26 src= ">.

Konkrétne riešenia https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sú lineárne nezávislé, pretože..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Obe zátvorky na ľavej strane tejto rovnosti sú zhodne rovné nule..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> je riešenie rovnice (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> bude vyzerať takto:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

je prezentovaný ako súčet všeobecného riešenia https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

a akékoľvek konkrétne riešenie https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> bude riešením rovnice (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Táto rovnosť je identita, pretože..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Preto.gif" width="85" height="25 src=">.gif" šírka ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sú lineárne nezávislé riešenia tejto rovnice. Takto:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> a takýto determinant, ako sme videli vyššie, je nenulový..gif" width="19" height="25 src="> zo systému rovníc (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> vyrieši rovnicu

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> do rovnice (6.5), dostaneme

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7,1)

kde https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> rovnica (7.1) v prípade, že pravá strana f(x ) má špeciálny tvar. Táto metóda sa nazýva metóda neurčitých koeficientov a spočíva vo výbere konkrétneho riešenia v závislosti od typu pravej strany f(x). Uvažujme pravé strany nasledujúceho tvaru:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, môže byť nula. Uveďme, v akej forme je v tomto prípade potrebné prijať konkrétne riešenie.

a) Ak je číslo https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Riešenie.

Pre rovnicu https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Obe časti zredukujeme na https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> na ľavej a pravej strane rovnosti

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Z výsledného systému rovníc nájdeme: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> a všeobecné riešenie daného rovnica je:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

kde https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Riešenie.

Zodpovedajúca charakteristická rovnica má tvar:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Konečné pre všeobecné riešenie máme nasledujúci výraz:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> výborné od nuly. Označme typ konkrétneho riešenia v tomto prípade.

a) Ak je číslo https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

kde https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> je koreň charakteristickej rovnice pre rovnicu (5..gif" width="229" height="25 src=">,

kde https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Riešenie.

Korene charakteristickej rovnice pre rovnicu https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

Pravá strana rovnice uvedenej v príklade 3 má špeciálny tvar: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Na určenie https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > a dosaďte ho do danej rovnice:

Citujúc podobné výrazy, porovnávanie koeficientov na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Konečné všeobecné riešenie danej rovnice je: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> a jeden z týchto polynómov sa môže rovnať nule. Označme typ konkrétneho riešenia v tomto všeobecnom prípade .

a) Ak je číslo https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

kde https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Ak je číslo https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, konkrétne riešenie lndu bude vyzerať takto:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Vo výraze (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Príklad 4. Označte typ konkrétneho riešenia rovnice

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Všeobecné riešenie Lodu má tvar:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Ďalšie koeficienty https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > existuje konkrétne riešenie pre rovnicu s pravou stranou f1(x) a Variácie" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variácie ľubovoľných konštánt (Lagrangeova metóda).

Priame nájdenie konkrétneho riešenia rovnice, okrem prípadu rovnice s konštantnými koeficientmi a so špeciálnymi voľnými členmi, je veľmi ťažké. Preto sa na nájdenie všeobecného riešenia rovnice zvyčajne používa metóda variácie ľubovoľných konštánt, ktorá vždy umožňuje nájsť všeobecné riešenie rovnice v kvadratúre, ak je známy základný systém riešení zodpovedajúcej homogénnej rovnice. . Táto metóda je nasledovná.

Podľa vyššie uvedeného je všeobecným riešením lineárnej homogénnej rovnice:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nie konštanty, ale niektoré, zatiaľ neznáme funkcie f(x). . treba brať z intervalu. V skutočnosti je v tomto prípade Wronského determinant nenulový vo všetkých bodoch intervalu, t.j. v celom priestore - komplexný koreň charakteristickej rovnice..gif" width="20" height="25 src="> lineárne nezávislé čiastkové riešenia tvaru:

Vo všeobecnom vzorci riešenia tento koreň zodpovedá vyjadreniu tvaru.

V niektorých problémoch fyziky nie je možné stanoviť priamu súvislosť medzi veličinami popisujúcimi proces. Je však možné získať rovnosť obsahujúcu deriváty skúmaných funkcií. Takto vznikajú diferenciálne rovnice a potreba ich riešenia nájsť neznámu funkciu.

Tento článok je určený pre tých, ktorí stoja pred problémom riešenia diferenciálnej rovnice, v ktorej je neznáma funkcia funkciou jednej premennej. Teória je štruktúrovaná tak, že s nulovými znalosťami diferenciálnych rovníc si dokážete poradiť so svojou úlohou.

Každý typ diferenciálnej rovnice je spojený s metódou riešenia s podrobným vysvetlením a riešením typických príkladov a problémov. Jediné, čo musíte urobiť, je určiť typ diferenciálnej rovnice vášho problému, nájsť podobný analyzovaný príklad a vykonať podobné akcie.

Na úspešné riešenie diferenciálnych rovníc budete potrebovať aj schopnosť nájsť množiny primitívnych integrálov (neurčité integrály) rôznych funkcií. V prípade potreby vám odporúčame pozrieť si časť.

Najprv zvážime typy obyčajných diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné vyriešiť vzhľadom na deriváciu, potom prejdeme k ODR druhého rádu, potom sa budeme venovať rovniciam vyššieho rádu a skončíme systémami diferenciálne rovnice.

Pripomeňme si, že ak y je funkciou argumentu x.

Diferenciálne rovnice prvého rádu.

Najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého rádu tvaru.

Poďme si napísať pár príkladov takéhoto diaľkového ovládania .

Diferenciálne rovnice možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu vydelením oboch strán rovnosti f(x) . V tomto prípade dospejeme k rovnici, ktorá bude ekvivalentná tej pôvodnej pre f(x) ≠ 0. Príklady takýchto ODR sú .

Ak existujú hodnoty argumentu x, pri ktorých funkcie f(x) a g(x) súčasne zanikajú, objavia sa ďalšie riešenia. Dodatočné riešenia rovnice dané x sú ľubovoľné funkcie definované pre tieto hodnoty argumentov. Príklady takýchto diferenciálnych rovníc zahŕňajú:

Diferenciálne rovnice druhého rádu.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

LDE s konštantnými koeficientmi je veľmi bežným typom diferenciálnej rovnice. Ich riešenie nie je nijak zvlášť náročné. Najprv sa nájdu korene charakteristickej rovnice . Pre rôzne p a q sú možné tri prípady: korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné a rôzne, skutočné a zhodné alebo komplexné konjugáty. V závislosti od hodnôt koreňov charakteristickej rovnice je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice napísané ako , alebo , resp.

Uvažujme napríklad lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Korene jeho charakteristickej rovnice sú k 1 = -3 a k 2 = 0. Korene sú skutočné a rôzne, preto všeobecné riešenie LODE s konštantnými koeficientmi má tvar


Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi y sa hľadá v tvare súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej LDDE. a konkrétne riešenie pôvodnej nehomogénnej rovnice, teda . Predchádzajúci odsek je venovaný hľadaniu všeobecného riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi. A konkrétne riešenie je určené buď metódou neurčitých koeficientov pre určitý tvar funkcie f(x) na pravej strane pôvodnej rovnice, alebo metódou variácie ľubovoľných konštánt.

Ako príklady LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi uvádzame


Pre pochopenie teórie a zoznámenie sa s podrobnými riešeniami príkladov vám na stránke ponúkame lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice (LODE) a lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice (LNDE) druhého rádu.

Špeciálnym prípadom diferenciálnych rovníc tohto typu sú LODE a LDDE s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LODE na určitom segmente je reprezentované lineárnou kombináciou dvoch lineárne nezávislých čiastočných riešení y 1 a y 2 tejto rovnice, tj. .

Hlavný problém spočíva práve v hľadaní lineárne nezávislých čiastkových riešení diferenciálnej rovnice tohto typu. Typicky sa konkrétne riešenia vyberajú z nasledujúcich systémov lineárne nezávislých funkcií:


Konkrétne riešenia však nie sú vždy prezentované v tejto forme.

Príkladom LOD je .

Všeobecné riešenie LDDE sa hľadá v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúcej LDDE a je partikulárnym riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice. Práve sme hovorili o jej nájdení, ale dá sa určiť pomocou metódy variácie ľubovoľných konštánt.

Môže byť uvedený príklad LNDU .

Diferenciálne rovnice vyšších rádov.

Diferenciálne rovnice, ktoré umožňujú redukciu poriadku.

Poradie diferenciálnej rovnice , ktorá neobsahuje požadovanú funkciu a jej derivácie do k-1 rádu, možno redukovať na n-k nahradením .

V tomto prípade sa pôvodná diferenciálna rovnica zredukuje na . Po nájdení jeho riešenia p(x) zostáva vrátiť sa k náhrade a určiť neznámu funkciu y.

Napríklad diferenciálna rovnica po nahradení sa stane rovnicou s oddeliteľnými premennými a jej poradie sa zníži z tretieho na prvé.