Štúdium presného predmetu: prirodzené čísla sú aké čísla, príklady a vlastnosti. Neprirodzené čísla

V matematike existuje niekoľko rôznych množín čísel: reálne, komplexné, celočíselné, racionálne, iracionálne, ... V našom Každodenný život najčastejšie používame prirodzené čísla, tak ako sa s nimi stretávame pri počítaní a pri hľadaní s uvedením počtu predmetov.

V kontakte s

Aké čísla sa nazývajú prirodzené

Z desiatich číslic môžete zapísať absolútne akýkoľvek existujúci súčet tried a hodností. To sú prírodné hodnoty ktoré sa používajú:

• Pri počítaní ľubovoľných položiek (prvá, druhá, tretia, ... piata, ... desiata).
• Pri uvádzaní počtu položiek (jeden, dva, tri ...)

Hodnoty N sú vždy celé a kladné. Neexistuje žiadne najväčšie N, pretože množina celočíselných hodnôt nie je obmedzená.

Pozor! Prirodzené čísla sa získavajú počítaním predmetov alebo určením ich množstva.

Absolútne akékoľvek číslo možno rozložiť a reprezentovať ako bitové pojmy, napríklad: 8 346 809 = 8 miliónov + 346 tisíc + 809 jednotiek.

Set N

Množina N je v množine reálne, celé a kladné. V množinovom diagrame by boli v sebe, keďže množina prírodnín je ich súčasťou.

Množinu prirodzených čísel označujeme písmenom N. Táto množina má začiatok, ale nemá koniec.

Existuje aj rozšírená množina N, kde je zahrnutá nula.

najmenšie prirodzené číslo

Vo väčšine matematických škôl je najmenšia hodnota N počítané ako jednotka, keďže absencia objektov sa považuje za prázdnu.

Ale na zahraničných matematických školách, napríklad vo francúzštine, sa to považuje za prirodzené. Prítomnosť nuly v rade uľahčuje dôkaz niektoré vety.

Množina hodnôt N, ktorá obsahuje nulu, sa nazýva rozšírená a označuje sa symbolom N0 (nulový index).

Rad prirodzených čísel

N riadok je postupnosť všetkých N sád číslic. Táto sekvencia nemá konca.

Zvláštnosťou prirodzeného radu je, že nasledujúce číslo sa bude líšiť o jeden od predchádzajúceho, to znamená, že sa zvýši. Ale tie významy nemôže byť negatívny.

Pozor! Pre pohodlie počítania existujú triedy a kategórie:

• Jednotky (1, 2, 3),
• desiatky (10, 20, 30),
• stovky (100, 200, 300),
• Tisíce (1 000, 2 000, 3 000),
• Desiatky tisíc (30 000),
• Státisíce (800 000),
• Milióny (4000000) atď.

Všetky N

Všetky N sú v množine reálnych, celých, nezáporných hodnôt. Sú ich neoddeliteľnou súčasťou.

Tieto hodnoty idú do nekonečna, môžu patriť do tried miliónov, miliárd, kvintiliónov atď.

Napríklad:

• Päť jabĺk, tri mačiatka,
• Desať rubľov, tridsať ceruziek,
• Sto kilogramov, tristo kníh,
• Milión hviezd, tri milióny ľudí atď.

Sekvencia v N

V rôznych matematických školách možno nájsť dva intervaly, do ktorých patrí postupnosť N:

od nuly do plus nekonečna vrátane koncov a od jednej do plus nekonečna vrátane koncov, teda všetkých kladné celé odpovede.

N množín číslic môže byť párne alebo nepárne. Zvážte koncept zvláštnosti.

Nepárne (akékoľvek nepárne končia číslami 1, 3, 5, 7, 9.) s dvojkou majú zvyšok. Napríklad 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Čo znamená dokonca N?

Akékoľvek párne súčty tried končia číslami: 0, 2, 4, 6, 8. Pri delení párneho N číslom 2 nezostane žiadny zvyšok, to znamená, že výsledkom je celá odpoveď. Napríklad 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Dôležité!Číselný rad N nemôže pozostávať len z párnych alebo nepárnych hodnôt, pretože sa musia striedať: po párnom čísle vždy nasleduje nepárne číslo, potom opäť párne číslo atď.

N vlastnosti

Ako všetky ostatné sady, aj N má svoje špeciálne vlastnosti. Zvážte vlastnosti radu N (nerozšírené).

• Hodnota, ktorá je najmenšia a nenadväzuje na žiadnu inú, je jedna.
• N je postupnosť, teda jedna prirodzená hodnota nasleduje ďalší(okrem jednej - je prvá).
• Keď vykonávame výpočtové operácie na N súčtoch číslic a tried (sčítajte, násobte), odpoveď vždy to vyjde prirodzene význam.
• Vo výpočtoch môžete použiť permutáciu a kombináciu.
• Každá nasledujúca hodnota nemôže byť menšia ako predchádzajúca. Aj v sérii N bude platiť nasledujúci zákon: ak je číslo A menšie ako B, potom v číselnom rade bude vždy C, pre ktoré platí rovnosť: A + C \u003d B.
• Ak vezmeme dva prirodzené výrazy, napríklad A a B, potom pre nich bude platiť jeden z výrazov: A \u003d B, A je väčšie ako B, A je menšie ako B.
• Ak je A menšie ako B a B je menšie ako C, potom z toho vyplýva že A je menšie ako C.
• Ak je A menšie ako B, potom z toho vyplýva, že: ak k nim pridáme rovnaký výraz (C), potom A + C je menšie ako B + C. Je tiež pravda, že ak sa tieto hodnoty vynásobia C, potom je AC menšia ako AB.
• Ak je B väčšie ako A, ale menšie ako C, potom B-A je menšie ako C-A.

Pozor! Všetky vyššie uvedené nerovnosti platia aj v opačnom smere.

Ako sa nazývajú zložky násobenia?

V mnohých jednoduchých a dokonca zložitých úlohách hľadanie odpovede závisí od schopností študentov

Celé čísla pre nás veľmi známe a prirodzené. A to nie je prekvapujúce, pretože zoznámenie s nimi začína od prvých rokov nášho života na intuitívnej úrovni.

Informácie v tomto článku vytvárajú základné pochopenie prirodzených čísel, odhaľujú ich účel, vštepujú zručnosti písania a čítania prirodzených čísel. Pre lepšiu asimiláciu materiálu sú uvedené potrebné príklady a ilustrácie.

Navigácia na stránke.

Prirodzené čísla sú všeobecným vyjadrením.

Nasledujúce stanovisko nie je zbavené zvukovej logiky: objavenie sa problému počítania predmetov (prvý, druhý, tretí predmet atď.) a problém označenia počtu predmetov (jeden, dva, tri predmety atď.) k vytvoreniu nástroja na jeho riešenie bol tento nástroj celé čísla.

Tento návrh ukazuje hlavný účel prirodzených čísel- niesť informáciu o počte akýchkoľvek položiek alebo sériovom čísle danej položky v uvažovanom súbore položiek.

Aby človek mohol používať prirodzené čísla, musia byť nejakým spôsobom prístupné, a to tak na vnímanie, ako aj na reprodukciu. Ak zazniete každé prirodzené číslo, stane sa vnímateľným sluchom a ak zobrazíte prirodzené číslo, môžete ho vidieť. Toto sú najprirodzenejšie spôsoby prenosu a vnímania prirodzených čísel.

Poďme si teda osvojiť zručnosti zobrazovania (písanie) a zručnosti vyjadrovania (čítania) prirodzených čísel a zároveň sa učiť ich význam.

Desatinný zápis prirodzeného čísla.

Najprv by sme sa mali rozhodnúť, na čom budeme pri písaní prirodzených čísel stavať.

Zapamätajme si obrázky nasledujúcich postáv (zobrazujeme ich oddelené čiarkami): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Zobrazené zábery sú záznamom tzv čísla. Dohodnime sa hneď na tom, aby sme čísla pri písaní neprevracali, nenakláňali a inak neskresľovali.

Teraz súhlasíme s tým, že v zápise akéhokoľvek prirodzeného čísla môžu byť prítomné iba uvedené číslice a nemôžu byť prítomné žiadne iné symboly. Súhlasíme aj s tým, že číslice v zápise prirodzeného čísla majú rovnakú výšku, sú usporiadané v riadku za sebou (takmer bez zarážok) a vľavo je číslica odlišná od číslice 0 .

Tu je niekoľko príkladov správneho zápisu prirodzených čísel: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (poznámka: zarážky medzi číslami nie sú vždy rovnaké, viac o tom bude diskutované pri kontrole). Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že prirodzené číslo nemusí nevyhnutne obsahovať všetky číslice 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; niektoré alebo všetky číslice zapojené do zápisu prirodzeného čísla sa môžu opakovať.

Príspevky 014 , 0005 , 0 , 0209 nie sú záznamy prirodzených čísel, pretože vľavo je číslica 0 .

Volá sa záznam prirodzeného čísla, vykonaný s prihliadnutím na všetky požiadavky opísané v tomto odseku desiatkový zápis prirodzeného čísla.

Ďalej nebudeme rozlišovať medzi prirodzenými číslami a ich zápisom. Ujasnime si to: ďalej v texte frázy ako „dané prirodzené číslo 582 “, čo bude znamenať, že je dané prirodzené číslo, ktorého zápis má tvar 582 .

Prirodzené čísla v zmysle počtu objektov.

Je čas zaoberať sa kvantitatívnym významom, ktorý zaznamenané prirodzené číslo nesie. Význam prirodzených čísel z hľadiska číslovania objektov sa zaoberá článkom porovnávanie prirodzených čísel.

Začnime prirodzenými číslami, ktorých zápisy sa zhodujú so zápismi číslic, teda s číslami 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 A 9 .

Predstavte si, že sme otvorili oči a videli nejaký predmet, napríklad takto. V tomto prípade môžeme napísať, čo vidíme 1 položka. Prirodzené číslo 1 sa číta ako „ jeden"(skloňovanie číslovky "jeden", ako aj ostatné číslovky uvedieme v odseku), za číslo 1 prijal iné meno –“ jednotka».

Pojem „jednotka“ je však viachodnotový, okrem prirodzeného čísla 1 , sa nazývajú niečo, čo sa považuje za celok. Napríklad ktorúkoľvek položku z ich sady možno nazvať jednotkou. Napríklad každé jablko z mnohých jabĺk je jedno, každé kŕdeľ vtákov z mnohých kŕdľov vtákov je tiež jedno atď.

Teraz otvoríme oči a uvidíme: To znamená, že vidíme jeden objekt a druhý objekt. V tomto prípade môžeme napísať, čo vidíme 2 predmet. Prirodzené číslo 2 , znie ako " dva».

Podobne, - 3 predmet (čítaj " tri» predmet), - 4 (« štyri"") predmetu, - 5 (« päť»), - 6 (« šesť»), - 7 (« sedem»), - 8 (« osem»), - 9 (« deväť“) položky.

Takže z uvažovanej pozície prirodzené čísla 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiť množstvo položky.

Číslo, ktorého zápis sa zhoduje so zápisom číslice 0 , s názvom " nula". Číslo nula NIE JE prirodzené číslo, ale zvyčajne sa uvažuje spolu s prirodzenými číslami. Pamätajte: nula znamená absenciu niečoho. Napríklad nula položiek nie je jedna položka.

V nasledujúcich odsekoch článku budeme pokračovať v odhaľovaní významu prirodzených čísel z hľadiska udávania množstva.

jednociferné prirodzené čísla.

Je zrejmé, že záznam každého z prirodzených čísel 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 pozostáva z jedného znaku – jednej číslice.

Definícia.

Jednociferné prirodzené čísla sú prirodzené čísla, ktorých záznam pozostáva z jedného znamienka – jednej číslice.

Vymenujme všetky jednociferné prirodzené čísla: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Existuje deväť jednociferných prirodzených čísel.

Dvojciferné a trojciferné prirodzené čísla.

Najprv uvedieme definíciu dvojciferných prirodzených čísel.

Definícia.

Dvojciferné prirodzené čísla- sú to prirodzené čísla, ktorých záznamom sú dva znaky - dve číslice (rôzne alebo rovnaké).

Napríklad prirodzené číslo 45 - dvojciferný, čísla 10 , 77 , 82 aj dvojciferný 5 490 , 832 , 90 037 - nie dvojciferné.

Poďme zistiť, aký význam majú dvojciferné čísla, pričom budeme vychádzať z kvantitatívneho významu nám už známych jednociferných prirodzených čísel.

Najprv predstavme koncept desať.

Predstavte si takúto situáciu – otvorili sme oči a uvideli súbor pozostávajúci z deviatich predmetov a ešte jedného predmetu. V tomto prípade sa hovorí o 1 desať (jeden tucet) položiek. Ak vezmeme do úvahy jednu desiatku a ďalšiu desiatku, potom hovoríme o 2 desiatky (dve desiatky). Ak pridáme ďalších desať až dve desiatky, vzniknú nám tri desiatky. Pokračujúc v tomto procese dostaneme štyri desiatky, päť desiatok, šesť desiatok, sedem desiatok, osem desiatok a nakoniec deväť desiatok.

Teraz môžeme prejsť k podstate dvojciferných prirodzených čísel.

Na to považujte dvojciferné číslo za dve jednociferné čísla – jedno je v zápise dvojciferného čísla vľavo, druhé je vpravo. Číslo vľavo označuje počet desiatok a číslo vpravo počet jednotiek. Navyše, ak je v zázname dvojciferného čísla vpravo číslica 0 , potom to znamená absenciu jednotiek. Toto je celá pointa dvojciferných prirodzených čísel z hľadiska udávania sumy.

Napríklad dvojciferné prirodzené číslo 72 zodpovedá 7 desiatky a 2 jednotky (t.j. 72 jablká je súbor siedmich desiatok jabĺk a dvoch ďalších jabĺk) a číslo 30 odpovede 3 desiatky a 0 neexistujú jednotky, teda jednotky, ktoré nie sú spojené v desiatkach.

Odpovedzme na otázku: „Koľko dvojciferných prirodzených čísel existuje“? Odpoveď: oni 90 .

Obrátime sa na definíciu trojciferných prirodzených čísel.

Definícia.

Prirodzené čísla, ktorých zápis pozostáva z 3 znamenia - 3 nazývajú sa číslice (rôzne alebo opakované). trojciferný.

Príklady prirodzených trojciferných čísel sú 372 , 990 , 717 , 222 . Celé čísla 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nie sú tri číslice.

Aby sme pochopili význam trojciferných prirodzených čísel, potrebujeme tento pojem stovky.

Sada desiatich desiatok je 1 sto (sto). Sto sto je 2 stovky. Dvesto a ďalších sto je tristo. A tak ďalej, máme štyristo, päťsto, šesťsto, sedemsto, osemsto a nakoniec deväťsto.

Teraz sa pozrime na trojciferné prirodzené číslo ako na tri jednociferné prirodzené čísla idúce za sebou sprava doľava v zápise trojciferného prirodzeného čísla. Číslo vpravo označuje počet jednotiek, ďalšie číslo označuje počet desiatok, ďalšie číslo počet stoviek. čísla 0 v zázname trojmiestneho čísla znamená absenciu desiatok a (alebo) jednotiek.

Teda trojciferné prirodzené číslo 812 zodpovedá 8 stovky 1 prvej desiatke a 2 Jednotky; číslo 305 - tristo 0 desiatky, teda desiatky nespájané do stoviek, nie) a 5 Jednotky; číslo 470 - štyristosedem desiatok (neexistujú jednotky, ktoré by neboli spojené do desiatok); číslo 500 - päťsto (desiatky nespájané do stoviek a jednotky nespájané do desiatok, nie).

Podobne možno definovať štvormiestne, päťmiestne, šesťmiestne atď. prirodzené čísla.

Viachodnotové prirodzené čísla.

Prejdime teda k definícii viachodnotových prirodzených čísel.

Definícia.

Viachodnotové prirodzené čísla- sú to prirodzené čísla, ktorých záznam pozostáva z dvoch alebo troch alebo štyroch atď. znamenia. Inými slovami, viacciferné prirodzené čísla sú dvojciferné, trojciferné, štvorciferné atď. čísla.

Povedzme si hneď, že zostava pozostávajúca z desiatich stoviek je tisíc, tisíc tisíc je jeden milión, tisíc miliónov je jedna miliarda, tisíc miliárd je jeden bilión. Tisíc biliónov, tisíc biliónov a tak ďalej môžu dostať svoje vlastné mená, ale nie je to potrebné.

Aký je teda význam za viachodnotovými prirodzenými číslami?

Pozrime sa na viacciferné prirodzené číslo ako na jednociferné prirodzené čísla, ktoré idú za sebou sprava doľava. Číslo vpravo označuje počet jednotiek, ďalšie číslo je počet desiatok, ďalšie je počet stoviek, ďalšie je počet tisícov, ďalšie je počet desiatok tisíc, ďalšie je stoviek tisíc, ďalší je počet miliónov, ďalší je počet desiatok miliónov, ďalší je stoviek miliónov, ďalší - počet miliárd, potom - počet desiatok miliárd, potom - stovky miliárd , potom - bilióny, potom - desiatky biliónov, potom - stovky biliónov atď.

Napríklad viacmiestne prirodzené číslo 7 580 521 zodpovedá 1 jednotka, 2 desiatky, 5 stovky 0 tisícky 8 desiatky tisíc 5 státisíce a 7 miliónov.

Naučili sme sa teda zoskupovať jednotky do desiatok, desiatky do stoviek, stovky do tisícov, tisíce do desaťtisíc atď. a zistili sme, že čísla v zázname viacmiestneho prirodzeného čísla označujú zodpovedajúci počet vyššie uvedené skupiny.

Čítanie prirodzených čísel, tried.

Ako sa čítajú jednociferné prirodzené čísla, sme už spomenuli. Naučme sa obsah nasledujúcich tabuliek naspamäť.

A ako sa čítajú ostatné dvojciferné čísla?

Vysvetlíme si to na príklade. Čítanie prirodzeného čísla 74 . Ako sme zistili vyššie, toto číslo zodpovedá 7 desiatky a 4 jednotky, tj. 70 A 4 . Obrátime sa na práve napísané tabuľky a číslo 74 čítame ako: „Sedemdesiatštyri“ (spojenie „a“ nevyslovujeme). Ak si chcete prečítať číslo 74 vo vete: „Nie 74 jablká" (genitívny prípad), potom to bude znieť takto: "Nie je sedemdesiatštyri jabĺk." Ďalší príklad. číslo 88 - Toto 80 A 8 , preto čítame: "Osemdesiatosem." A tu je príklad vety: "Premýšľa o osemdesiatich ôsmich rubľoch."

Prejdime k čítaniu trojciferných prirodzených čísel.

Aby sme to dosiahli, budeme sa musieť naučiť niekoľko nových slov.

Zostáva ukázať, ako sa čítajú zvyšné trojciferné prirodzené čísla. V tomto prípade využijeme už nadobudnuté zručnosti pri čítaní jednociferných a dvojciferných čísel.

Vezmime si príklad. Prečítajme si číslo 107 . Toto číslo zodpovedá 1 sto a 7 jednotky, tj. 100 A 7 . Obrátiac sa k stolom čítame: "Sto sedem." Teraz povedzme číslo 217 . Toto číslo je 200 A 17 , preto čítame: "Dvestosedemnásť." podobne, 888 - Toto 800 (osemsto) a 88 (osemdesiatosem), čítame: "Osemstoosemdesiatosem."

Obraciame sa na čítanie viacciferných čísel.

Na čítanie sa záznam viacmiestneho prirodzeného čísla delí sprava do skupín po troch čísliciach, pričom v takejto skupine najviac vľavo môže byť buď 1 , alebo 2 , alebo 3 čísla. Tieto skupiny sú tzv triedy. Trieda na pravej strane je tzv jednotková trieda. Volá sa ďalšia trieda (sprava doľava). trieda tisícov, ďalšia trieda je trieda miliónov, Ďalšie - trieda miliárd, potom ide biliónová trieda. Môžete uviesť názvy nasledujúcich tried, ale prirodzené čísla, ktorých záznam pozostáva z 16 , 17 , 18 atď. znaky sa zvyčajne nečítajú, pretože sú sluchom veľmi ťažko vnímateľné.

Pozrite si príklady rozdelenia viacciferných čísel do tried (pre prehľadnosť sú triedy navzájom oddelené malou zarážkou): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zaznamenané prirodzené čísla si dajme do tabuľky, podľa ktorej sa ich dá ľahko naučiť čítať.

Na prečítanie prirodzeného čísla zavoláme zľava doprava čísla, ktoré ho tvoria podľa triedy a pridáme názov triedy. Zároveň nevyslovujeme názov triedy jednotiek a preskočíme aj tie triedy, ktoré tvoria tri číslice 0 . Ak má triedny záznam vľavo číslicu 0 alebo dve číslice 0 , potom tieto čísla ignorujte 0 a prečítajte si číslo získané vyradením týchto číslic 0 . napr. 002 čítaj ako "dva" a 025 - ako "dvadsaťpäť".

Prečítajme si číslo 489 002 podľa daných pravidiel.

Čítame zľava doprava,

• prečítajte si číslo 489 , predstavujúci triedu tisícov, je "štysťstoosemdesiatdeväť";
• pridajte názov triedy, dostaneme „štysťstoosemdesiatdeväťtisíc“;
• ďalej v triede jednotiek, ktoré vidíme 002 , nuly sú vľavo, preto ich ignorujeme 002 čítaj ako "dva";
• názov podielovej triedy netreba pridávať;
• v dôsledku toho máme 489 002 - štyristoosemdesiatdeväťtisícdva.

Začnime čítať číslo 10 000 501 .

• Vľavo v triede miliónov vidíme číslo 10 , čítame „desať“;
• pridajte názov triedy, máme „desať miliónov“;
• ďalej vidíme záznam 000 v tisícovej triede, pretože všetky tri číslice sú číslice 0 , potom túto triedu preskočíme a prejdeme na ďalšiu;
• trieda jednotiek predstavuje číslo 501 , ktorý čítame „päťstojeden“;
• teda 10 000 501 desať miliónov päťsto jedna.

Urobme to bez podrobného vysvetlenia: 1 789 090 221 214 - "jeden bilión sedemsto osemdesiatdeväť miliárd deväťdesiat miliónov dvesto dvadsaťjeden tisíc dvesto štrnásť."

Základom zručnosti čítania viacciferných prirodzených čísel je teda schopnosť rozdeliť viacciferné čísla do tried, znalosť názvov tried a schopnosť čítať trojciferné čísla.

Číslice prirodzeného čísla, hodnota číslice.

Pri písaní prirodzeného čísla závisí hodnota každej číslice od jej polohy. Napríklad prirodzené číslo 539 zodpovedá 5 stovky 3 desiatky a 9 jednotky, teda údaj 5 v zadaní čísla 539 definuje počet stoviek, číslicu 3 je počet desiatok a číslica 9 - počet jednotiek. Hovorí sa, že číslo 9 stojí v číslica jednotiek a číslo 9 je jednotková číselná hodnota, číslo 3 stojí v miesto desiatky a číslo 3 je hodnotu desiatky miest a číslo 5 - V stovky miesta a číslo 5 je hodnotu stoviek miest.

teda vypúšťanie- to je jednak poloha číslice v zápise prirodzeného čísla a jednak hodnota tejto číslice, určená jej polohou.

Hodnosti dostali mená. Ak sa pozriete na čísla v zázname prirodzeného čísla sprava doľava, budú im zodpovedať nasledujúce číslice: jednotky, desiatky, stovky, tisíce, desaťtisíce, státisíce, milióny, desiatky miliónov a tak ďalej.

Názvy kategórií sú vhodné na zapamätanie, keď sú prezentované vo forme tabuľky. Napíšme tabuľku obsahujúcu názvy 15 číslic.

Všimnite si, že počet číslic daného prirodzeného čísla sa rovná počtu znakov zapojených do zápisu tohto čísla. Zaznamenaná tabuľka teda obsahuje názvy číslic všetkých prirodzených čísel, ktorých záznam obsahuje do 15 znakov. Nasledujúce číslice majú tiež svoje vlastné mená, ale používajú sa veľmi zriedka, takže nemá zmysel ich uvádzať.

Pomocou tabuľky číslic je vhodné určiť číslice daného prirodzeného čísla. Aby ste to dosiahli, musíte zapísať toto prirodzené číslo do tejto tabuľky tak, aby každá číslica obsahovala jednu číslicu a číslica úplne vpravo bola číslicou jednotiek.

Vezmime si príklad. Napíšeme prirodzené číslo 67 922 003 942 v tabuľke, pričom číslice a hodnoty týchto číslic budú jasne viditeľné.

V zázname tohto čísla je číslica 2 stojí v jednotkách miesto, číslica 4 - na mieste desiatky, číslica 9 - na mieste stoviek atď. Venujte pozornosť číslam 0 , ktoré sa pohybujú v desiatkach a státisícoch. čísla 0 v týchto čísliciach znamená neprítomnosť jednotiek týchto číslic.

Spomenúť treba aj takzvanú najnižšiu (najnižšiu) a najvyššiu (najvyššiu) kategóriu viachodnotového prirodzeného čísla. Nižšia (juniorská) hodnosť akékoľvek viachodnotové prirodzené číslo je číslica jednotiek. Najvyššia (najvyššia) číslica prirodzeného čísla je číslica zodpovedajúca číslici úplne vpravo v zázname tohto čísla. Napríklad najmenej významná číslica prirodzeného čísla 23004 je číslica jednotiek a najvyššia číslica je číslica desiatok tisíc. Ak sa v zápise prirodzeného čísla pohybujeme po čísliciach zľava doprava, tak každá ďalšia číslica nižší (mladší) ten predchádzajúci. Napríklad tisícka je menšia ako desaťtisícová, najmä tisícka je menšia ako tisícka, milióny, desiatky miliónov atď. Ak sa v zápise prirodzeného čísla pohybujeme po číslicach sprava doľava, tak každá ďalšia číslica vyšší (starší) ten predchádzajúci. Napríklad číslica stoviek je staršia ako číslica desiatok a ešte viac je staršia ako číslica s jednotkami.

V niektorých prípadoch (napríklad pri vykonávaní sčítania alebo odčítania) sa nepoužíva samotné prirodzené číslo, ale súčet bitových členov tohto prirodzeného čísla.

Stručne o desiatkovej číselnej sústave.

Zoznámili sme sa teda s prirodzenými číslami, s ich významom a so spôsobom zápisu prirodzených čísel pomocou desiatich číslic.

Vo všeobecnosti sa nazýva metóda písania čísel pomocou znakov číselný systém. Hodnota číslice v položke čísla môže, ale nemusí závisieť od jej polohy. Nazývajú sa číselné sústavy, v ktorých hodnota číslice v číselnom zázname závisí od jej polohy pozičné.

Prirodzené čísla, ktoré sme uvažovali, a spôsob ich zápisu teda naznačujú, že používame pozičný číselný systém. Treba poznamenať, že špeciálne miesto v tomto číselnom systéme má číslo 10 . Skóre sa skutočne udržiava v desiatkach: desať jednotiek sa spája do desiatky, desať desiatok sa kombinuje do sto, desať stoviek do tisíc atď. číslo 10 volal základ daný číselný systém a samotný číselný systém sa nazýva desiatkový.

Okrem desiatkovej číselnej sústavy existujú aj ďalšie, napríklad v informatike sa používa dvojková pozičná číselná sústava a pri meraní času sa stretávame so šesťdesiatkovou sústavou.

Bibliografia.

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5 tried vzdelávacích inštitúcií.

Celé čísla- čísla, ktoré sa používajú na počítanie predmetov . Akékoľvek prirodzené číslo možno zapísať pomocou desiatky číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takáto evidencia čísel je tzv. desiatkový.

Postupnosť všetkých prirodzených čísel sa nazýva prirodzené vedľa seba .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Väčšina malý prirodzené číslo je jedna (1). V prirodzenom rade je každé ďalšie číslo o 1 väčšie ako predchádzajúce. prirodzené série nekonečné neexistuje najväčšie číslo.

Význam číslice závisí od jej miesta v zápise čísla. Napríklad číslo 4 znamená: 4 jednotky, ak je na poslednom mieste v zadaní čísla (v jednotkách miesto); 4 desať, ak je na poslednom mieste (na mieste desiatky); 4 stovky, ak je na treťom mieste od konca (V stovky miest).

Číslica 0 znamená nedostatok jednotiek tejto kategórie v desiatkovom zápise čísla. Slúži aj na označenie čísla " nula". Toto číslo znamená „žiadny“. Stav 0:3 futbalového zápasu naznačuje, že prvé mužstvo nestrelilo súperovi ani jeden gól.

nula nezahŕňať na prirodzené čísla. A skutočne počítanie položiek nikdy nezačína od nuly.

Ak má prirodzené číslo iba jednu číslicu – jedna číslica, potom sa volá jednoznačné. Tie. jednoznačnéprirodzené číslo- prirodzené číslo, ktorého záznam pozostáva z jedného znamienka – jedna číslica. Napríklad čísla 1, 6, 8 sú jednociferné.

dvojcifernýprirodzené číslo- prirodzené číslo, ktorého záznam tvoria dva znaky - dve číslice.

Napríklad čísla 12, 47, 24, 99 sú dvojciferné.

Podľa počtu znakov v danom čísle sa mená prideľujú aj iným číslam:

čísla 326, 532, 893 - trojciferný;

čísla 1126, 4268, 9999 - štvorciferný atď.

Dve číslice, tri číslice, štyri číslice, päť číslic atď. volajú sa čísla viacciferné čísla .

Na čítanie viacciferných čísel sú rozdelené, začínajúc sprava, do skupín po troch čísliciach (skupina úplne vľavo môže pozostávať z jednej alebo dvoch číslic). Tieto skupiny sú tzv triedy.

miliónov je tisíc tisíc (1000 tisíc), píše sa 1 milión alebo 1 000 000.

miliardy je 1000 miliónov. Zaznamenáva sa o 1 miliarde alebo 1 000 000 000.

Prvé tri číslice vpravo tvoria triedu jednotiek, ďalšie tri - triedu tisícov, potom sú tu triedy miliónov, miliárd atď. (obr. 1).

Ryža. 1. Trieda miliónov, trieda tisícov a trieda jednotiek (zľava doprava)

Do bitovej mriežky je zapísané číslo 15389000286 (obr. 2).

Ryža. 2. Číselná mriežka: číslo 15 miliárd 389 miliónov 286

Toto číslo má 286 jednotiek v triede jedna, nula jednotiek v triede tisícok, 389 jednotiek v triede miliónov a 15 jednotiek v triede miliárd.

Definícia

Prirodzené čísla sa nazývajú čísla určené na počítanie predmetov. Na zaznamenávanie prirodzených čísel sa používa 10 arabských číslic (0–9), ktoré tvoria základ desiatkovej číselnej sústavy všeobecne akceptovanej pre matematické výpočty.

Postupnosť prirodzených čísel

Prirodzené čísla tvoria rad začínajúci od 1 a pokrývajúci množinu všetkých kladných celých čísel. Takáto postupnosť pozostáva z čísel 1,2,3, ... . To znamená, že v prirodzenej sérii:

1. Existuje najmenšie číslo a žiadne najväčšie.
2. Každé ďalšie číslo je o 1 väčšie ako predchádzajúce (výnimkou je samotná jednotka).
3. Ako čísla idú do nekonečna, rastú donekonečna.

Niekedy sa do radu prirodzených čísel zavádza aj 0. To je prípustné a potom sa o tom hovorí predĺžený prirodzené série.

Triedy prirodzených čísel

Každá číslica prirodzeného čísla vyjadruje určitú číslicu. Posledný je vždy počet jednotiek v čísle, pred ním je počet desiatok, tretí od konca je počet stoviek, štvrtý je počet tisícok atď.

• 276: 2 stovky, 7 desiatok, 6 jednotiek
• v počte 1098: 1 tisíc, 9 desiatok, 8 jednotiek; nie je tu žiadne miesto stoviek, pretože je vyjadrené ako nula.

Pre veľké a veľmi veľké čísla môžete vidieť stabilný trend (ak skúmate číslo sprava doľava, to znamená od poslednej číslice po prvú):

• posledné tri číslice v čísle sú jednotky, desiatky a stovky;
• predchádzajúce tri sú jednotky, desiatky a stovky tisíc;
• tri pred nimi (t.j. 7., 8. a 9. číslica čísla, počítajúc od konca) sú jednotky, desiatky a stovky miliónov atď.

To znamená, že zakaždým, keď máme čo do činenia s tromi číslicami, čo znamená jednotky, desiatky a stovky väčší názov. Takéto skupiny tvoria triedy. A ak sa s prvými tromi triedami musíte v bežnom živote zaoberať viac či menej často, potom by mali byť uvedené ďalšie, pretože nie každý si pamätá ich mená naspamäť.

• 4. trieda, ktorá nasleduje po triede miliónov a predstavuje čísla 10-12 číslic, sa nazýva miliarda (alebo miliarda);
• 5. trieda - bilión;
• 6. ročník - kvadrilión;
• 7. ročník - kvintilión;
• 8. ročník - sextilión;
• 9. ročník - septil.

Sčítanie prirodzených čísel

Sčítanie prirodzených čísel je aritmetická operácia, ktorá vám umožňuje získať číslo, ktoré obsahuje toľko jednotiek, koľko je v sčítaných číslach.

Znakom sčítania je znak „+“. Sčítané čísla sa nazývajú členy, výsledok sa nazýva súčet.

Malé čísla sa sčítavajú (sčítavajú) ústne, písomne ​​sa takéto úkony píšu do riadku.

Viacciferné čísla, ktoré sa ťažko sčítavajú v mysli, sa zvyčajne pridávajú do stĺpca. Na tento účel sa čísla zapisujú pod seba, zarovnané s poslednou číslicou, to znamená, že číslicu jednotky zapíšu pod číslicu jednotky, číslicu stovky pod číslicu stoviek atď. Ďalej je potrebné pridať číslice v pároch. Ak k sčítaniu číslic dochádza pri prechode cez desiatku, potom sa táto desiatka zafixuje ako jednotka nad číslicou vľavo (teda za ňou) a sčíta sa spolu s číslicami tejto číslice.

Ak sa do stĺpca nepridajú 2, ale viac čísel, potom pri sčítaní číslic kategórie môže byť nadbytočný nie 1 tucet, ale niekoľko. V tomto prípade sa počet takýchto desiatok prenesie na ďalšiu číslicu.

Odčítanie prirodzených čísel

Odčítanie je aritmetická operácia, opak sčítania, ktorá sa scvrkáva na skutočnosť, že vzhľadom na množstvo a jeden z výrazov musíte nájsť iný - neznámy výraz. Číslo, od ktorého sa odčítava, sa nazýva minuend; číslo, ktoré sa odčítava, je subtrahend. Výsledok odčítania sa nazýva rozdiel. Znamienko, ktoré označuje operáciu odčítania, je "-".

Pri prechode na sčítanie sa subtrahend a rozdiel menia na členy a redukované na súčet. Sčítanie zvyčajne kontroluje správnosť vykonaného odčítania a naopak.

Tu je 74 minuend, 18 je subtrahend, 56 je rozdiel.

Predpokladom pre odčítanie prirodzených čísel je nasledovné: minuend musí byť nevyhnutne väčší ako subtrahend. Iba v tomto prípade bude výsledný rozdiel tiež prirodzeným číslom. Ak sa akcia odčítania vykonáva pre rozšírenú prirodzenú sériu, potom je dovolené, aby sa minuend rovnal subtrahendu. A výsledok odčítania v tomto prípade bude 0.

Poznámka: ak sa čiastkový bod rovná nule, operácia odčítania nezmení hodnotu mínusového bodu.

Odčítanie viacciferných čísel sa zvyčajne vykonáva v stĺpci. Čísla zapíšte rovnakým spôsobom ako pri sčítaní. Odčítanie sa vykonáva pre zodpovedajúce číslice. Ak sa ukáže, že minuend je menší ako subtrahend, potom sa z predchádzajúcej (umiestnenej vľavo) číslice vezme jedna, ktorá sa po prevode prirodzene zmení na 10. Táto desiatka sa spočíta s číslom redukovanej daná číslica a potom odčítaná. Ďalej pri odčítaní ďalšej číslice je potrebné vziať do úvahy, že redukované je o 1 menšie.

Súčin prirodzených čísel

Súčin (alebo násobenie) prirodzených čísel je aritmetická operácia, ktorá hľadá súčet ľubovoľného počtu rovnakých členov. Ak chcete zaznamenať operáciu násobenia, použite znak "·" (niekedy "×" alebo "*"). Napríklad: 3 5=15.

Násobenie je nevyhnutné, keď je potrebné pridať veľké množstvo výrazov. Napríklad, ak potrebujete pridať číslo 4 7-krát, potom je násobenie 4 7 jednoduchšie ako toto sčítanie: 4+4+4+4+4+4+4.

Čísla, ktoré sa násobia, sa nazývajú faktory, výsledkom násobenia je súčin. V súlade s tým môže pojem „práca“ v závislosti od kontextu vyjadrovať tak proces množenia, ako aj jeho výsledok.

Viacmiestne čísla sú vynásobené v stĺpci. Pre toto číslo sa píše rovnakým spôsobom ako pre sčítanie a odčítanie. Odporúča sa napísať ako prvé (nad), ktoré z 2 čísel, ktoré je dlhšie. V tomto prípade bude proces násobenia jednoduchší, a preto racionálnejší.

Pri násobení v stĺpci sa číslice každej z číslic druhého čísla postupne násobia číslicami 1. čísla, počnúc od jeho konca. Keď našli prvé takéto dielo, zapíšu si počet jednotiek a pamätajú na počet desiatok. Pri vynásobení číslice 2. čísla nasledujúcou číslicou 1. čísla sa k produktu pripočíta číslo, na ktoré treba pamätať. A opäť si zapíšu počet jednotiek získaného výsledku a zapamätajú si počet desiatok. Pri vynásobení poslednou číslicou 1. čísla sa takto získané číslo zapíše celé.

Výsledky vynásobenia číslic 2. číslice druhého čísla sa zapíšu do druhého riadku, pričom sa posunie o 1 bunku doprava. A tak ďalej. V dôsledku toho sa získa "rebrík". Všetky výsledné riadky čísel by sa mali sčítať (podľa pravidla sčítania v stĺpci). Prázdne bunky by sa mali považovať za vyplnené nulami. Výsledná suma je konečným produktom.

Poznámka

1. Súčin akéhokoľvek prirodzeného čísla číslom 1 (alebo číslom 1) sa rovná samotnému číslu. Napríklad: 376 1=376; 186=86.
2. Keď sa jeden z faktorov alebo oba faktory rovnajú 0, potom sa súčin rovná 0. Napríklad: 32·0=0; 0 845 = 845; 0 0 = 0.

Delenie prirodzených čísel

Delenie sa nazýva aritmetická operácia, pomocou ktorej možno podľa známeho súčinu a jedného z faktorov nájsť ďalší – neznámy – faktor. Delenie je inverziou násobenia a používa sa na kontrolu, či bolo násobenie vykonané správne (a naopak).

Číslo, ktoré sa delí, sa nazýva deliteľné; číslo, ktorým sa delí, je deliteľ; výsledok delenia sa nazýva kvocient. Deliaci znak je ":" (niekedy, menej často - "÷").

Tu je 48 dividenda, 6 je deliteľ a 8 je kvocient.

Nie všetky prirodzené čísla sa dajú medzi sebou rozdeliť. V tomto prípade sa rozdelenie vykonáva so zvyškom. Spočíva v tom, že pre deliteľa sa vyberie taký faktor, aby jeho súčinom deliteľa bolo číslo, ktoré sa hodnotou čo najviac približuje k dividende, ale je menšie ako on. Deliteľ sa vynásobí týmto faktorom a odpočíta sa od dividendy. Rozdiel bude zvyšok divízie. Súčin deliteľa faktorom sa nazýva neúplný kvocient. Pozor: zvyšok musí byť menší ako zvolený násobiteľ! Ak je zvyšok väčší, znamená to, že násobiteľ je zvolený nesprávne a mal by sa zvýšiť.

Vyberieme faktor pre 7. V tomto prípade je toto číslo 5. Nájdeme neúplný kvocient: 7 5 \u003d 35. Vypočítajte zvyšok: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Viacmiestne čísla sú rozdelené do stĺpca. Na tento účel sa deliteľ a deliteľ napíšu vedľa seba a deliteľ sa oddelí zvislou a vodorovnou čiarou. V deleni sa vyberie prvá číslica alebo prvých pár číslic (vpravo), čo by malo byť číslo, ktoré minimálne stačí na delenie deliteľom (to znamená, že toto číslo musí byť väčšie ako deliteľ). Pre toto číslo sa vyberie neúplný kvocient, ako je opísané v pravidle delenia zvyškom. Číslo násobiteľa použitého na nájdenie čiastočného podielu sa zapíše pod deliteľa. Neúplný podiel sa zapíše pod číslo, ktoré bolo rozdelené, zarovnaný vpravo. Nájdite ich rozdiel. Ďalšia číslica dividendy sa zruší tak, že sa zapíše vedľa tohto rozdielu. Pre výsledné číslo sa opäť nájde neúplný kvocient zapísaním čísla vybraného činiteľa vedľa predchádzajúceho pod deliteľa. A tak ďalej. Takéto akcie sa vykonávajú, kým sa nevyčerpajú čísla dividend. Potom sa rozdelenie považuje za dokončené. Ak sa dividenda a deliteľ delia úplne (bez zvyšku), potom posledný rozdiel bude nula. V opačnom prípade bude zvyšné číslo vrátené.

Umocňovanie

Umocňovanie je matematická operácia, ktorá spočíva vo vynásobení ľubovoľného počtu rovnakých čísel. Napríklad: 2 2 2 2.

Takéto výrazy sa píšu takto: a x,

Kde a je číslo vynásobené samo sebou X je počet takýchto faktorov.

Prvočísla a zložené prirodzené čísla

Akékoľvek prirodzené číslo, okrem 1, môže byť rozdelené aspoň 2 číslami - jedným a sebou samým. Na základe tohto kritéria sa prirodzené čísla delia na prvočísla a zložené.

Prvočísla sú čísla, ktoré sú deliteľné iba 1 a sebou samým. Čísla, ktoré sú deliteľné viac ako týmito 2 číslami, sa nazývajú zložené čísla. Jednotka deliteľná len sama sebou nie je prvočíslo ani zložená.

Čísla sú prvočísla: 2,3,5,7,11,13,17,19 atď. Príklady zložených čísel: 4 (deliteľné 1,2,4), 6 (deliteľné 1,2,3,6), 20 (deliteľné 1,2,4,5,10,20).

Akékoľvek zložené číslo možno rozložiť na prvočísla. Prvočíslo sa v tomto prípade chápe ako jeho deliteľ, ktorým sú prvočísla.

Príklad rozkladu na prvočiniteľa:

Deliče prirodzených čísel

Deliteľ je číslo, ktorým možno dané číslo bezo zvyšku deliť.

V súlade s touto definíciou majú jednoduché prirodzené čísla 2 deliteľov, zložené čísla majú viac ako 2 deliteľov.

Mnohé čísla majú spoločných deliteľov. Spoločný deliteľ je číslo, ktorým sú dané čísla bezo zvyšku deliteľné.

• Čísla 12 a 15 majú spoločného deliteľa 3
• Čísla 20 a 30 majú spoločných deliteľov 2,5,10

Zvlášť dôležitý je najväčší spoločný deliteľ (GCD). Toto číslo je užitočné najmä na to, aby bolo možné nájsť na redukciu zlomkov. Na jeho nájdenie je potrebné rozložiť dané čísla na prvočísla a prezentovať ich ako súčin ich spoločných prvočísel, braných v najmenších mocninách.

Je potrebné nájsť GCD čísel 36 a 48.

Deliteľnosť prirodzených čísel

Zďaleka nie je vždy možné určiť „okom“, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku. V takýchto prípadoch je užitočný zodpovedajúci test deliteľnosti, teda pravidlo, podľa ktorého v priebehu niekoľkých sekúnd určíte, či je možné deliť čísla bezo zvyšku. Znamienko "" sa používa na označenie deliteľnosti.

Najmenší spoločný násobok

Táto hodnota (označená LCM) je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z uvedených. LCM možno nájsť pre ľubovoľnú množinu prirodzených čísel.

LCM, podobne ako GCD, má významný aplikovaný význam. Je to teda LCM, ktorý treba nájsť redukciou obyčajných zlomkov na spoločného menovateľa.

LCM sa určuje rozdelením daných čísel na prvočísla. Na jeho vytvorenie sa použije súčin pozostávajúci z každého z vyskytujúcich sa (aspoň pre 1 číslo) zastúpených v maximálnej miere.

Je potrebné nájsť LCM čísel 14 a 24.

Priemerná

Aritmetický priemer ľubovoľného (ale konečného) počtu prirodzených čísel je súčet všetkých týchto čísel vydelený počtom členov:

Aritmetický priemer je nejaká priemerná hodnota pre množinu čísel.

Uvádzajú sa čísla 2,84,53,176,17,28. Je potrebné nájsť ich aritmetický priemer.