Čo je to exponenciálna rovnica a ako ju vyriešiť. Metódy riešenia exponenciálnych rovníc

V štádiu prípravy na záverečné testovanie si stredoškoláci potrebujú zdokonaliť vedomosti na tému „Exponenciálne rovnice“. Skúsenosti z minulých rokov naznačujú, že takéto úlohy spôsobujú školákom určité ťažkosti. Preto stredoškoláci, bez ohľadu na úroveň ich prípravy, musia starostlivo ovládať teóriu, zapamätať si vzorce a pochopiť princíp riešenia takýchto rovníc. Absolventi, ktorí sa naučili zvládať tento typ úloh, budú môcť počítať s vysokým skóre pri zložení skúšky z matematiky.

Pripravte sa na testovanie spolu so Shkolkovo!

Pri opakovaní preberaných látok sa mnohí študenti stretávajú s problémom nájsť vzorce potrebné na riešenie rovníc. Školská učebnica nie je vždy po ruke a výber potrebných informácií k téme na internete trvá dlho.

Vzdelávací portál Shkolkovo pozýva študentov, aby využívali našu vedomostnú základňu. Implementujeme úplne nový spôsob prípravy na záverečný test. Štúdiom na našej stránke budete môcť identifikovať medzery vo vedomostiach a venovať pozornosť presne tým úlohám, ktoré spôsobujú najväčšie ťažkosti.

Učitelia školy "Shkolkovo" zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetok materiál potrebný na úspešné zloženie skúšky v najjednoduchšej a najdostupnejšej forme.

Hlavné definície a vzorce sú uvedené v časti "Teoretický odkaz".

Pre lepšie osvojenie si učiva odporúčame precvičiť si zadania. Pozorne si prečítajte príklady exponenciálnych rovníc s riešeniami uvedenými na tejto stránke, aby ste porozumeli výpočtovému algoritmu. Potom pokračujte v úlohách v časti „Katalógy“. Môžete začať s najjednoduchšími úlohami alebo prejsť priamo k riešeniu zložitých exponenciálnych rovníc s niekoľkými neznámymi alebo . Databáza cvikov na našej stránke je neustále dopĺňaná a aktualizovaná.

Príklady s indikátormi, ktoré vám spôsobili ťažkosti, môžete pridať do „Obľúbené“. Môžete ich teda rýchlo nájsť a prediskutovať riešenie s učiteľom.

Ak chcete úspešne zložiť skúšku, študujte na portáli Shkolkovo každý deň!

Rovnice sa nazývajú exponenciálne, ak je neznáma obsiahnutá v exponente. Najjednoduchšia exponenciálna rovnica má tvar: a x \u003d a b, kde a> 0 a 1, x je neznáma.

Hlavné vlastnosti stupňov, pomocou ktorých sa transformujú exponenciálne rovnice: a>0, b>0.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú aj tieto vlastnosti exponenciálnej funkcie: y = a x , a > 0, a1:

Na vyjadrenie čísla ako mocniny sa používa základná logaritmická identita: b = , a > 0, a1, b > 0.

Úlohy a testy na tému "Exponenciálne rovnice"

• exponenciálne rovnice

  Lekcie: 4 Zadania: 21 Testy: 1

• exponenciálne rovnice - Dôležité témy na opakovanie skúšky z matematiky

  Úlohy: 14

• Systémy exponenciálnych a logaritmických rovníc - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň

  Lekcie: 1 Zadania: 15 Testy: 1

• §2.1. Riešenie exponenciálnych rovníc

  Lekcie: 1 Úlohy: 27

• §7 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice - Časť 5. Exponenciálne a logaritmické funkcie 10. stupeň

  Lekcie: 1 Zadania: 17

Ak chcete úspešne vyriešiť exponenciálne rovnice, musíte poznať základné vlastnosti mocnin, vlastnosti exponenciálnej funkcie a základnú logaritmickú identitu.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy:

1. prechod z rovnice a f(x) = a g(x) na rovnicu f(x) = g(x);
2. zavedenie nových liniek.

Príklady.

1. Redukcia rovníc na najjednoduchšie. Riešia sa privedením oboch strán rovnice k mocnine s rovnakým základom.

3x \u003d 9x – 2.

Riešenie:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x-4;
x=4.

odpoveď: 4.

2. Rovnice riešené zátvorkou spoločného činiteľa.

Riešenie:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

odpoveď: 3.

3. Rovnice riešené zmenou premennej.

Riešenie:

2 2x + 2x - 12 = 0
Označujeme 2 x \u003d y.
y2 + y-12 = 0
yi = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Rovnica nemá riešenia, pretože 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log23; x = log 2 3.

odpoveď: denník 2 3.

4. Rovnice obsahujúce mocniny s dvoma rôznymi (na seba neredukovateľnými) bázami.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 x 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

odpoveď: 2.

5. Rovnice, ktoré sú homogénne vzhľadom na a x a b x .

Všeobecná forma: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Riešenie:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označme (3/2) x = y.
r 2 – 2,5 r + 1 \u003d 0,
yi = 2; y2 = ½.

odpoveď: poleno 3/2 2; - denník 3/2 2.

Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo sa stalo exponenciálna rovnica? Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi ukazovatele niektoré stupne. A len tam! To je dôležité.

Tak tu si príklady exponenciálnych rovníc:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základoch stupňov (nižšie) - iba čísla. IN ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s x. Ak sa zrazu v rovnici objaví x niekde inde ako indikátor, napríklad:

toto bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá riešenia. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Tu sa budeme zaoberať riešenie exponenciálnych rovníc vo svojej najčistejšej forme.

V skutočnosti ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vždy jasne vyriešené. Existujú však určité typy exponenciálnych rovníc, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Toto sú typy, na ktoré sa pozrieme.

Riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc.

Začnime niečím úplne základným. Napríklad:

Aj bez akejkoľvek teórie je jednoduchým výberom jasné, že x = 2. Nič viac, však!? Žiadne ďalšie hodenia s hodnotou x. A teraz sa pozrime na riešenie tejto zložitej exponenciálnej rovnice:

čo sme urobili? My sme vlastne len vyhodili tie isté spodky (trojky). Úplne vyhodený. A čo sa páči, trafiť sa do čierneho!

Skutočne, ak v exponenciálnej rovnici vľavo a vpravo sú rovnakýčísla v akomkoľvek stupni, tieto čísla môžu byť odstránené a majú rovnaké exponenty. Matematika umožňuje. Zostáva vyriešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Je to dobré, však?)

Pripomeňme si však ironicky: základne môžete odstrániť len vtedy, keď sú čísla základne vľavo a vpravo v nádhernej izolácii! Bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Povedzme v rovniciach:

2 x +2 x + 1 = 2 3, alebo

Nemôžete odstrániť dvojníkov!

No to najdôležitejšie sme zvládli. Ako prejsť od zlých exponenciálnych výrazov k jednoduchším rovniciam.

"Tu sú tie časy!" - ty hovoríš. "Kto dá takého primitíva na kontrolu a skúšky!?"

Nútený súhlasiť. Nikto nebude. Teraz však viete, kam sa obrátiť pri riešení mätúcich príkladov. Je potrebné si to pripomenúť, keď rovnaké základné číslo je vľavo - vpravo. Potom bude všetko jednoduchšie. V skutočnosti je to klasika matematiky. Berieme pôvodný príklad a transformujeme ho na požadované nás myseľ. Podľa pravidiel matematiky, samozrejme.

Zvážte príklady, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie, aby ste ich priviedli k najjednoduchším. Zavolajme im jednoduché exponenciálne rovnice.

Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sú hlavné pravidlá akcie s právomocami. Bez znalosti týchto akcií nebude fungovať nič.

K činom s titulmi treba pridať osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké základné čísla? V príklade ich teda hľadáme v explicitnej alebo zašifrovanej podobe.

Pozrime sa, ako sa to robí v praxi?

Uveďme si príklad:

2 2x - 8x+1 = 0

Prvý pohľad na dôvodov. Oni... Sú iní! Dva a osem. Ale je príliš skoro na to, aby sme sa nechali odradiť. Je načase si to pripomenúť

Dva a osem sú príbuzní v stupni.) Je celkom možné zapísať:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Ak si spomenieme na vzorec z akcií s právomocami:

(a n) m = a nm,

vo všeobecnosti to funguje skvele:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Pôvodný príklad vyzerá takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Prenášame 2 3 (x+1) doprava (nikto nezrušil základné matematické úkony!), dostaneme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je prakticky všetko. Odstránenie základov:

Vyriešime toto monštrum a dostaneme

Toto je správna odpoveď.

V tomto príklade nám pomohlo poznať sily dvoch. my identifikované v osmičke, zašifrovaná dvojka. Táto technika (kódovanie spoločných základov pod rôznymi číslami) je veľmi obľúbeným trikom v exponenciálnych rovniciach! Áno, dokonca aj v logaritmoch. Človek musí vedieť rozpoznať mocniny iných čísel v číslach. To je mimoriadne dôležité pre riešenie exponenciálnych rovníc.

Faktom je, že zvýšiť akékoľvek číslo na akúkoľvek moc nie je problém. Vynásobte, hoci aj na papieri, a to je všetko. Napríklad každý môže zvýšiť 3 na piatu mocninu. 243 dopadne, ak poznáte tabuľku násobenia.) Ale v exponenciálnych rovniciach je oveľa častejšie potrebné nezvýšiť na mocninu, ale naopak ... aké číslo v akom rozsahu skrýva sa za číslom 243, alebo povedzme 343... Tu vám nepomôže žiadna kalkulačka.

Musíš poznať mocniny niektorých čísel zrakom, áno... Zacvičíme si?

Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovede (samozrejme v neporiadku!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť zvláštnu skutočnosť. Odpovedí je viac ako otázok! No, stáva sa... Napríklad 2 6 , 4 3 , 8 2 je všetko 64.

Predpokladajme, že ste zobrali na vedomie informáciu o oboznámení sa s číslami.) Pripomínam, že na riešenie exponenciálnych rovníc platí celá zásoba matematických vedomostí. Vrátane z nižšej strednej triedy. Nešiel si rovno na strednú, však?

Napríklad pri riešení exponenciálnych rovníc veľmi často pomáha vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek (ahoj 7. ročník!). Pozrime sa na príklad:

3 2x+4 -119x = 210

A opäť prvý pohľad – na pozemok! Základy stupňov sú rôzne ... Tri a deväť. A chceme, aby boli rovnaké. No, v tomto prípade je túžba celkom uskutočniteľná!) Pretože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Podľa rovnakých pravidiel pre akcie s titulmi:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je skvelé, môžete napísať:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Takže, čo bude ďalej!? Trojky sa nedajú vyhodiť... Slepá ulička?

Vôbec nie. Pamätajte na najuniverzálnejšie a najsilnejšie rozhodovacie pravidlo všetky matematické úlohy:

Ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš!

Vyzeráš, všetko sa tvorí).

Čo je v tejto exponenciálnej rovnici Môcť robiť? Áno, ľavá strana si priamo pýta zátvorky! Spoločný faktor 3 2x tomu jasne napovedá. Skúsme a potom uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Príklad je stále lepší a lepší!

Pripomíname, že na odstránenie báz potrebujeme čistý stupeň, bez akýchkoľvek koeficientov. Trápi nás číslo 70. Takže obe strany rovnice vydelíme 70, dostaneme:

Op-pa! Všetko bolo v poriadku!

Toto je konečná odpoveď.

Stáva sa však, že sa dosiahne vyjazdenie z rovnakých dôvodov, ale nie ich likvidácia. To sa deje v exponenciálnych rovniciach iného typu. Zoberme si tento typ.

Zmena premennej pri riešení exponenciálnych rovníc. Príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprv - ako obvykle. Prejdime k základni. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnicu:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tu budeme visieť. Predchádzajúce triky nebudú fungovať, nech to otočíte akokoľvek. Budeme sa musieť dostať z arzenálu iným mocným a všestranným spôsobom. Volá sa variabilná substitúcia.

Podstata metódy je prekvapivo jednoduchá. Namiesto jednej zložitej ikony (v našom prípade 2 x) napíšeme inú, jednoduchšiu (napríklad t). Takáto zdanlivo nezmyselná výmena vedie k úžasným výsledkom!) Všetko sa stáva jasným a zrozumiteľným!

Tak nech

Potom 2 2 x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

V našej rovnici nahradíme všetky mocniny x za t:

No, svitá?) Ešte ste nezabudli na kvadratické rovnice? Riešime cez diskriminant, dostaneme:

Tu je hlavná vec nezastaviť sa, ako sa to stáva ... Toto ešte nie je odpoveď, potrebujeme x, nie t. Vraciame sa do Xs, t.j. vykonaním náhrady. Najprv pre t 1:

teda

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého, od t 2:

Hm... Vľavo 2 x, Vpravo 1... Zádrhel? Áno, vôbec nie! Stačí si zapamätať (z akcií s titulmi áno ...), že jednota je akýkoľvekčíslo na nulu. Akýkoľvek. Čokoľvek potrebujete, dáme to. Potrebujeme dvojku. znamená:

Teraz je to všetko. Mám 2 korene:

Toto je odpoveď.

O riešenie exponenciálnych rovníc na konci sa niekedy získa nejaký nepríjemný výraz. Typ:

Od sedmičky dvojka cez jednoduchý stupeň nefunguje. Nie sú príbuzní... Ako tu môžem byť? Niekto môže byť zmätený ... Ale osoba, ktorá čítal na tejto stránke tému "Čo je logaritmus?" , len sa striedmo usmejte a pevnou rukou napíšte absolútne správnu odpoveď:

V úlohách „B“ na skúške takáto odpoveď nemôže byť. Vyžaduje sa konkrétne číslo. Ale v úlohách "C" - ľahko.

Táto lekcia poskytuje príklady riešenia najbežnejších exponenciálnych rovníc. Vyzdvihnime to hlavné.

Praktické rady:

1. V prvom rade sa pozrieme na dôvodov stupňa. Pozrime sa, či sa nedajú urobiť rovnaký. Skúsme to urobiť aktívnym používaním akcie s právomocami. Nezabudnite, že čísla bez x sa dajú zmeniť aj na stupne!

2. Snažíme sa dostať exponenciálnu rovnicu do tvaru, v ktorom je ľavá a pravá strana rovnakýčísla v akomkoľvek stupni. Používame akcie s právomocami A faktorizácia.Čo sa dá spočítať na čísla - počítame.

3. Ak druhá rada nezabrala, skúsime použiť premennú substitúciu. Výsledkom môže byť rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Najčastejšie - štvorcový. Alebo zlomkové, ktoré sa tiež zmenší na štvorec.

4. Na úspešné vyriešenie exponenciálnych rovníc potrebujete poznať stupne niektorých čísel „z videnia“.

Ako obvykle, na konci lekcie ste vyzvaní, aby ste niečo vyriešili.) Na vlastnú päsť. Od jednoduchých po zložité.

Riešte exponenciálne rovnice:

Ťažšie:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Nájdite produkt koreňov:

2 3-x + 2 x = 9

Stalo?

No, potom najkomplikovanejší príklad (vyriešený však v mysli...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Čo je zaujímavejšie? Potom je tu pre vás zlý príklad. Dosť ťahá na zvýšenej obtiažnosti. Naznačím, že v tomto príklade šetrí vynaliezavosť a najuniverzálnejšie pravidlo na riešenie všetkých matematických úloh.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Príklad je jednoduchší, pre relaxáciu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na dezert. Nájdite súčet koreňov rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Áno áno! Toto je rovnica zmiešaného typu! Čo sme v tejto lekcii nezohľadnili. A čo ich považovať, treba ich vyriešiť!) Táto lekcia úplne stačí na vyriešenie rovnice. No, vynaliezavosť je potrebná ... A áno, siedma trieda vám pomôže (toto je nápoveda!).

Odpovede (v neporiadku, oddelené bodkočiarkou):

1; 2; 3; 4; neexistujú žiadne riešenia; 2; -2; -5; 4; 0.

Je všetko úspešné? Skvelé.

Je tu problém? Žiaden problém! V špeciálnej časti 555 sú všetky tieto exponenciálne rovnice vyriešené s podrobným vysvetlením. Čo, prečo a prečo. A samozrejme sú tu ďalšie cenné informácie o práci so všetkými druhmi exponenciálnych rovníc. Nielen s týmito.)

Posledná zábavná otázka na zváženie. V tejto lekcii sme pracovali s exponenciálnymi rovnicami. Prečo som tu nepovedal ani slovo o ODZ? V rovniciach je to mimochodom veľmi dôležitá vec ...

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.