Výpočet druhej pozoruhodnej hranice. Online kalkulačka Riešenie limitov

Pojem „pozoruhodný limit“ je široko používaný v učebniciach a učebných pomôckach na označenie dôležitých identít, ktoré výrazne pomáhajú zjednodušiť si prácu o hľadaní hraníc.

Ale môcť priniesť svoju hranicu až po pozoruhodné, treba sa na to dobre pozrieť, pretože sa nenachádzajú v priamej forme, ale často vo forme dôsledkov, vybavené dodatočnými termínmi a faktormi. Najprv však teória, potom príklady a uspejete!

Prvá úžasná limitka

Páčilo sa? Pridať do záložiek

Prvá pozoruhodná hranica je napísaná takto (neistota tvaru $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Dôsledky prvého pozoruhodného limitu

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Príklady riešení: 1 úžasná limita

Príklad 1 Vypočítajte limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Riešenie. Prvý krok je vždy rovnaký - do funkcie dosadíme limitnú hodnotu $x=0$ a dostaneme:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Získali sme neistotu tvaru $\left[\frac(0)(0)\right]$, ktorá by mala byť zverejnená. Ak sa pozriete pozorne, pôvodný limit je veľmi podobný prvému pozoruhodnému, ale nie je rovnaký. Našou úlohou je priviesť to k podobnosti. Transformujme to takto - pozrite sa na výraz pod sínusom, urobte to isté v menovateli (relatívne povedané, vynásobte a vydeľte $3x$), potom zredukujte a zjednodušte:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Vyššie je presne prvý pozoruhodný limit: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( vykonalo podmienené nahradenie ) y=3x. $$ odpoveď: $3/8$.

Príklad 2 Vypočítajte limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Riešenie. Do funkcie dosadíme limitnú hodnotu $x=0$ a dostaneme:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Získali sme neistotu tvaru $\left[\frac(0)(0)\right]$. Poďme transformovať limit pomocou prvého úžasného limitu (trikrát!) pre zjednodušenie:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

odpoveď: $9/16$.

Príklad 3 Nájdite limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Riešenie.Čo ak je pod goniometrickou funkciou zložitý výraz? Nevadí, tu postupujeme rovnako. Najprv skontrolujeme typ neistoty, dosadíme $x=0$ do funkcie a získame:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Získali sme neistotu tvaru $\left[\frac(0)(0)\right]$. Vynásobte a vydeľte $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \vľavo[\frac(0)(0)\vpravo] = $$

Opäť sme dostali neistotu, ale v tomto prípade je to len zlomok. Znížime čitateľa a menovateľa o $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

odpoveď: $3/5$.

Druhá úžasná limitka

Druhá pozoruhodná hranica je napísaná takto (neistota tvaru $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(alebo) \quad \lim\limits_( x\do 0) \vľavo(1+x\vpravo)^(1/x)=e. $$

Dôsledky druhého pozoruhodného limitu

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Príklady riešení: 2 nádherné limity

Príklad 4. Nájdite limit $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Riešenie. Skontrolujeme typ neistoty, dosadíme $x=\infty$ do funkcie a získame:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Získali sme neistotu tvaru $\left$. Limit možno zredukovať na druhú pozoruhodnú vec. Poďme sa transformovať:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\vpravo)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\vľavo(\vľavo(1+\frac(1)((-3x/2))\vpravo)^((-3x/2))\vpravo)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Výraz v zátvorkách je vlastne druhá pozoruhodná hranica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, len $t= - 3x/2 doláre, takže

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

odpoveď:$e^(-2/3)$.

Príklad 5. Nájdite limit $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Riešenie. Do funkcie dosadíme $x=\infty$ a získame neistotu tvaru $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. A potrebujeme $\left$. Začnime teda transformáciou výrazu v zátvorkách:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\vľavo(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\vpravo)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\vpravo)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\vľavo(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\vpravo) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Výraz v zátvorkách je vlastne druhá pozoruhodná hranica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, len $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, preto

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Existuje niekoľko pozoruhodných limitov, ale najznámejšími sú prvý a druhý pozoruhodný limit. Pozoruhodné na týchto limitoch je, že sú široko používané a s ich pomocou možno nájsť ďalšie limity, s ktorými sa stretávame pri mnohých problémoch. To je to, čo urobíme v praktickej časti tejto lekcie. Na vyriešenie problémov ich znížením na prvú alebo druhú pozoruhodnú hranicu nie je potrebné odhaľovať neistoty, ktoré sú v nich obsiahnuté, pretože hodnoty týchto hraníc už dlho odvodili veľkí matematici.

Prvý pozoruhodný limit sa nazýva limita pomeru sínusu nekonečne malého oblúka k rovnakému oblúku, vyjadrená v radiáne:

Prejdime k riešeniu problémov na prvej pozoruhodnej hranici. Poznámka: ak je pod medzným znakom goniometrická funkcia, je to takmer isté znamenie, že tento výraz možno zredukovať na prvú pozoruhodnú medzu.

Príklad 1 Nájdite hranicu.

Riešenie. Namiesto toho náhrada X nula vedie k neistote:

.

Menovateľ je sínus, preto výraz môže byť uvedený na prvú pozoruhodnú hranicu. Začnime s transformáciou:

.

Menovateľ je sínus troch X, ale čitateľ má iba jedno X, čo znamená, že v čitateli musíte dostať tri X. Prečo? Na predstavenie 3 X = a a získajte výraz.

A dostávame sa k variácii prvého pozoruhodného limitu:

pretože nezáleží na tom, ktoré písmeno (premenná) v tomto vzorci stojí namiesto X.

X vynásobíme tromi a hneď rozdelíme:

.

V súlade s prvým zaznamenaným pozoruhodným limitom nahrádzame zlomkový výraz:

Teraz môžeme konečne vyriešiť tento limit:

.

Príklad 2 Nájdite hranicu.

Riešenie. Priama substitúcia opäť vedie k neistote „nula delená nulou“:

.

Na získanie prvej pozoruhodnej limity je potrebné, aby x pod sínusovým znamienkom v čitateli a práve x v menovateli mali rovnaký koeficient. Nech sa tento koeficient rovná 2. Aby sme to dosiahli, predstavme si aktuálny koeficient pre x, ako je uvedené nižšie, vykonávaním operácií so zlomkami získame:

.

Príklad 3 Nájdite hranicu.

Riešenie. Pri dosadzovaní opäť dostaneme neistotu „nula delená nulou“:

.

Asi už chápete, že z pôvodného výrazu môžete získať prvú nádhernú limitku vynásobenú prvou nádhernou limitkou. Aby sme to dosiahli, rozložíme druhé mocniny x v čitateli a sínus v menovateli na identické faktory, a aby sme dostali rovnaké koeficienty pre x a sínus, vydelíme x v čitateli 3 a hneď vynásobíme o 3. Získame:

.

Príklad 4. Nájdite hranicu.

Riešenie. Opäť dostaneme neistotu „nula delená nulou“:

.

Môžeme získať pomer prvých dvoch pozoruhodných limitov. Čitateľ aj menovateľ delíme x. Potom, aby sa koeficienty sínusov a xes zhodovali, vynásobíme horné x 2 a hneď vydelíme 2 a spodné x vynásobíme 3 a hneď vydelíme 3. Dostaneme:

Príklad 5. Nájdite hranicu.

Riešenie. A opäť neistota „nula delená nulou“:

Z trigonometrie si pamätáme, že dotyčnica je pomer sínusu ku kosínusu a kosínus nuly sa rovná jednej. Vykonáme transformácie a získame:

.

Príklad 6. Nájdite hranicu.

Riešenie. Goniometrická funkcia pod znamienkom limity opäť naznačuje použitie prvej pozoruhodnej limity. Predstavujeme to ako pomer sínusu ku kosínusu.

Z vyššie uvedeného článku sa dozviete, aký je limit a s čím sa to jedáva – to je VEĽMI dôležité. prečo? Možno nerozumiete, čo sú determinanty a úspešne ich riešite, možno vôbec nerozumiete, čo je to derivácia a nájdete ich s „A“. Ak však nerozumiete, čo je limit, riešenie praktických úloh bude ťažké. Tiež by bolo dobré oboznámiť sa so vzorovými riešeniami a mojimi návrhovými odporúčaniami. Všetky informácie sú prezentované v jednoduchej a prístupnej forme.

A na účely tejto lekcie budeme potrebovať nasledujúce učebné materiály: Úžasné limity A Goniometrické vzorce. Nájdete ich na stránke. Najlepšie je vytlačiť si návody – je to oveľa pohodlnejšie a okrem toho sa na ne často budete musieť odvolávať offline.

Čo je na pozoruhodných limitoch také zvláštne? Pozoruhodné na týchto limitoch je, že ich dokázali najväčšie mysle slávnych matematikov a vďační potomkovia nemusia trpieť strašnými limitmi s hromadou goniometrických funkcií, logaritmov, mocnín. To znamená, že pri hľadaní hraníc použijeme hotové výsledky, ktoré sú teoreticky dokázané.

Existuje niekoľko úžasných limitov, ale v praxi majú študenti na čiastočný úväzok v 95% prípadov dva úžasné limity: Prvá úžasná limitka, Druhá úžasná limitka. Treba poznamenať, že ide o historicky ustálené mená a keď napríklad hovoria o „prvom pozoruhodnom limite“, majú na mysli veľmi špecifickú vec, a nie nejakú náhodnú hranicu vytiahnutú zo stropu.

Prvá úžasná limitka

Zvážte nasledujúci limit: (namiesto pôvodného písmena „on“ použijem grécke písmeno „alfa“, je to pohodlnejšie z hľadiska prezentácie materiálu).

Podľa nášho pravidla pre hľadanie limitov (pozri článok Limity. Príklady riešení) skúsime do funkcie dosadiť nulu: v čitateli dostaneme nulu (sínus nuly je nula) a v menovateli je samozrejme tiež nula. Čelíme tak neistote formy, ktorú, našťastie, netreba prezrádzať. V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že:

Tento matematický fakt je tzv Prvá úžasná limitka. Nebudem poskytovať analytický dôkaz limitu, ale v lekcii sa pozrieme na jeho geometrický význam nekonečne malé funkcie.

Často v praktických úlohách môžu byť funkcie usporiadané inak, to nič nemení:

- rovnaký prvý nádherný limit.

Ale nemôžete zmeniť usporiadanie čitateľa a menovateľa sami! Ak je limit uvedený vo forme , musí byť vyriešený v rovnakom tvare bez toho, aby sa čokoľvek preskupovalo.

V praxi môže ako parameter pôsobiť nielen premenná, ale aj elementárna funkcia alebo komplexná funkcia. Dôležité je len to, že má tendenciu k nule.

Príklady:
, , ,

Tu , , , , a všetko je v poriadku - platí prvý úžasný limit.

Ale nasledujúci záznam je kacírstvo:

prečo? Pretože polynóm nemá tendenciu k nule, má tendenciu k päťke.

Mimochodom, rýchla otázka: aký je limit? ? Odpoveď nájdete na konci lekcie.

V praxi nie je všetko také hladké, takmer nikdy sa študentovi neponúkne, aby vyriešil bezplatný limit a získal ľahký pas. Hmmm... píšem tieto riadky a napadla ma veľmi dôležitá myšlienka – predsa len je lepšie si „zadarmo“ matematické definície a vzorce zapamätať naspamäť, to môže poskytnúť neoceniteľnú pomoc pri teste, keď sa otázka rozhodnúť sa medzi „dvoma“ a „troma“ a učiteľ sa rozhodne položiť študentovi jednoduchú otázku alebo ponúknuť riešenie jednoduchého príkladu („možno ešte vie čo?“).

Prejdime k praktickým príkladom:

Príklad 1

Nájdite hranicu

Ak si všimneme sínus v limite, malo by nás to okamžite priviesť k zamysleniu sa nad možnosťou uplatnenia prvej pozoruhodnej limity.

Najprv sa pokúsime nahradiť 0 do výrazu pod limitným znakom (robíme to mentálne alebo v koncepte):

Máme teda neistotu formy určite uveďte pri rozhodovaní. Výraz pod medzným znakom je podobný prvej nádhernej limite, ale nie je to presne ono, je to pod sínusom, ale v menovateli.

V takýchto prípadoch musíme prvý pozoruhodný limit zorganizovať sami pomocou umelej techniky. Úvaha by mohla byť nasledovná: „pod sínusom máme , čo znamená, že sa musíme dostať aj do menovateľa.“
A to sa robí veľmi jednoducho:

To znamená, že menovateľ je v tomto prípade umelo vynásobený 7 a delený rovnakými siedmimi. Teraz naša nahrávka nadobudla známu podobu.
Keď je úloha vypracovaná ručne, odporúča sa označiť prvý pozoruhodný limit jednoduchou ceruzkou:

Čo sa stalo? V skutočnosti sa náš zakrúžkovaný výraz zmenil na jednotku a zmizol v práci:

Teraz zostáva len zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Kto zabudol na zjednodušenie viacúrovňových zlomkov, obnovte si materiál v príručke Horúce vzorce pre kurz školskej matematiky .

Pripravený. Konečná odpoveď:

Ak nechcete používať značky ceruzkou, riešenie možno napísať takto:

“

Využime prvú nádhernú limitku

“

Príklad 2

Nájdite hranicu

Opäť vidíme zlomok a sínus v limite. Skúsme nahradiť nulu do čitateľa a menovateľa:

Naozaj máme neistotu, a preto sa musíme pokúsiť zorganizovať prvý úžasný limit. Na lekcii Limity. Príklady riešení uvažovali sme o pravidle, že keď máme neistotu, musíme rozložiť čitateľa a menovateľa. Tu je to to isté, stupne budeme reprezentovať ako súčin (násobiče):

Podobne ako v predchádzajúcom príklade nakreslíme ceruzku okolo pozoruhodných hraníc (tu sú dve z nich) a naznačíme, že majú tendenciu k jednote:

V skutočnosti je odpoveď pripravená:

V nasledujúcich príkladoch nebudem robiť umenie v programe Paint, myslím, že ako správne zostaviť riešenie v notebooku - už rozumiete.

Príklad 3

Nájdite hranicu

Do výrazu pod limitným znakom dosadíme nulu:

Dosiahla sa neistota, ktorú je potrebné zverejniť. Ak je v limite tangens, tak sa takmer vždy prevedie na sínus a kosínus pomocou známeho trigonometrického vzorca (mimochodom, približne to isté robia s kotangensom, pozri metodický materiál Horúce trigonometrické vzorce Na stránke Matematické vzorce, tabuľky a referenčné materiály).

V tomto prípade:

Kosínus nuly sa rovná jednej a je ľahké sa ho zbaviť (nezabudnite označiť, že smeruje k jednotke):

Ak je teda v limite kosínus NÁSOBITEĽ, potom, zhruba povedané, je potrebné ho premeniť na jednotku, ktorá zmizne v produkte.

Tu sa všetko ukázalo jednoduchšie, bez akýchkoľvek násobení a delení. Prvý pozoruhodný limit sa tiež zmení na jeden a zmizne v produkte:

V dôsledku toho sa získa nekonečno a to sa stane.

Príklad 4

Nájdite hranicu

Skúsme nahradiť nulu do čitateľa a menovateľa:

Získa sa neistota (kosínus nuly, ako si pamätáme, sa rovná jednej)

Používame trigonometrický vzorec. Zaznamenať si! Z nejakého dôvodu sú limity pomocou tohto vzorca veľmi bežné.

Presuňme konštantné faktory za ikonu limitu:

Poďme zorganizovať prvý úžasný limit:

Tu máme iba jeden pozoruhodný limit, ktorý sa zmení na jeden a zmizne v produkte:

Zbavme sa trojposchodovej štruktúry:

Limita je skutočne vyriešená, naznačujeme, že zostávajúci sínus má tendenciu k nule:

Príklad 5

Nájdite hranicu

Tento príklad je zložitejší, skúste na to prísť sami:

Niektoré limity sa dajú znížiť na 1. pozoruhodnú hranicu zmenou premennej, o tom si môžete prečítať trochu neskôr v článku Metódy riešenia limitov.

Druhá úžasná limitka

V teórii matematickej analýzy bolo dokázané, že:

Táto skutočnosť je tzv druhá úžasná hranica.

Referencia: je iracionálne číslo.

Parameter môže byť nielen premenná, ale aj komplexná funkcia. Dôležité je len to, že sa usiluje o nekonečno.

Príklad 6

Nájdite hranicu

Keď je výraz pod znakom limitu v stupňoch, je to prvé znamenie, že sa musíte pokúsiť použiť druhý úžasný limit.

Najprv sa však, ako vždy, pokúsime do výrazu dosadiť nekonečne veľké číslo, princíp, ktorým sa to robí, je diskutovaný v lekcii Limity. Príklady riešení.

Je ľahké si všimnúť, že kedy základ stupňa je a exponent je , to znamená, že existuje neurčitosť formy:

Táto neistota je presne odhalená pomocou druhého pozoruhodného limitu. Ale ako sa často stáva, druhá úžasná hranica neleží na striebornom podnose a treba ju umelo zorganizovať. Môžete to zdôvodniť takto: v tomto príklade je parameter , čo znamená, že musíme tiež usporiadať v ukazovateli. Aby sme to dosiahli, zdvihneme základňu na silu a tak, aby sa výraz nezmenil, zdvihneme ju na silu:

Keď je úloha dokončená ručne, označíme ceruzkou:

Takmer všetko je pripravené, hrozný stupeň sa zmenil na pekný list:

V tomto prípade presunieme samotnú ikonu limitu na indikátor:

Príklad 7

Nájdite hranicu

Pozor! Tento typ limitu sa vyskytuje veľmi často, preštudujte si tento príklad veľmi pozorne.

Skúsme do výrazu pod limitným znakom dosadiť nekonečne veľké číslo:

Výsledkom je neistota. Ale druhý pozoruhodný limit platí pre neurčitosť formy. Čo robiť? Potrebujeme previesť základ stupňa. Uvažujeme takto: v menovateli máme , čo znamená, že v čitateli musíme zorganizovať aj .

dôkaz:

Dokážme najprv vetu pre prípad postupnosti

Podľa Newtonovho binomického vzorca:

Za predpokladu, že dostaneme

Z tejto rovnosti (1) vyplýva, že ako n rastie, zvyšuje sa počet kladných členov na pravej strane. Okrem toho, ako n rastie, číslo klesá, takže hodnoty pribúdajú. Preto poradie rastúci a (2)*Ukážeme, že je ohraničený. Nahraďte každú zátvorku na pravej strane rovnosti jednou, pravá strana sa zväčší a dostaneme nerovnosť

Posilnime výslednú nerovnosť, 3,4,5, ..., stojace v menovateľoch zlomkov, nahraďme číslom 2: V zátvorkách nájdeme súčet pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej postupnosti: Preto (3)*

Postupnosť je teda ohraničená zhora a nerovnosti (2) a (3) sú splnené: Preto na základe Weierstrassovej vety (kritérium konvergencie postupnosti) postupnosť monotónne rastie a je limitovaný, čo znamená, že má limit, označený písmenom e. Tie.

S vedomím, že druhý pozoruhodný limit platí pre prirodzené hodnoty x, dokážeme druhý pozoruhodný limit pre skutočné x, to znamená, že dokážeme, že . Zoberme si dva prípady:

1. Nech je každá hodnota x uzavretá medzi dve kladné celé čísla: ,kde je celá časť x. => =>

Ak , tak Preto podľa limitu Máme

Na základe kritéria (okolo limity medzifunkcie) existencie limitov

2. Nechajte . Urobme substitúciu − x = t

Z týchto dvoch prípadov vyplýva, že pre skutočné x.

Dôsledky:

9 .) Porovnanie infinitezimálov. Veta o nahradení infinitezimál ekvivalentnými v limite a teoréma o hlavnej časti infinitezimál.

Nech funkcie a( X) a b( X) – b.m. pri X ® X 0 .

DEFINÍCIE.

1)a( X) volal infinitezimálne vyššieho rádu ako b (X) Ak

Napíšte: a( X) = o(b( X)) .

2)a( X) A b( X)sa volajú infinitezimály rovnakého rádu, Ak

kde CÎℝ a C¹ 0 .

Napíšte: a( X) = O(b( X)) .

3)a( X) A b( X) sa volajú ekvivalent , Ak

Napíšte: a( X) ~ b( X).

4)a( X) nazývaný infinitezimál rádu k relatívny
absolútne nekonečne malé b( X), ak je nekonečne malý a( X)A(b( X)) k mať rovnaké poradie, t.j. Ak

kde CÎℝ a C¹ 0 .

TEOREM 6 (o nahradení infinitezimálov ekvivalentnými).

Nechaj a( X), b( X), 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. pri x ® X 0 . Ak a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

To

Dôkaz: Nechaj ( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Potom

TEOREM 7 (o hlavnej časti nekonečna).

Nechaj a( X)A b( X)– b.m. pri x ® X 0 , a b( X)– b.m. vyššieho rádu ako a( X).

= , a keďže b( X) – vyššieho rádu ako a( X), potom, t.j. od je jasné, že a( X) + b( X) ~ a( X)

10) Spojitosť funkcie v bode (v reči epsilon-delta geometrické limity) Jednostranná spojitosť. Spojitosť na intervale, na segmente. Vlastnosti spojitých funkcií.

1. Základné definície

Nechaj f(X) je definovaný v niektorom okolí bodu X 0 .

DEFINÍCIA 1. Funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 ak je rovnosť pravdivá

Poznámky.

1) Na základe vety 5 §3 môže byť rovnosť (1) napísaná v tvare

Podmienka (2) – definícia spojitosti funkcie v bode v jazyku jednostranných limitov.

2) Rovnosť (1) možno napísať aj takto:

Hovoria: „ak je funkcia spojitá v bode X 0, potom je možné zameniť znamienko limity a funkciu."

DEFINÍCIA 2 (v jazyku e-d).

Funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 Ak"e>0 $d>0." taký, Čo

ak xОU( X 0 , d) (t. j. | X – X 0 | < d),

potom f(X)ÎU( f(X 0), e) (t. j. | f(X) – f(X 0) | < e).

Nechaj X, X 0 Î D(f) (X 0 – pevné, X - svojvoľný)

Označme: D X= x – x 0 – prírastok argumentov

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – prírastok funkcie v bodex 0

DEFINÍCIA 3 (geometrická).

Funkcia f(X) zapnuté volal súvislý v bode X 0 ak v tomto bode nekonečne malý prírastok v argumente zodpovedá nekonečne malému prírastku vo funkcii, t.j.

Nechajte funkciu f(X) je definovaný na intervale [ X 0 ; X 0 + d) (na intervale ( X 0 – d; X 0 ]).

DEFINÍCIA. Funkcia f(X) volal súvislý v bode X 0 napravo (vľavo ), ak je rovnosť pravdivá

To je zrejmé f(X) je v bode súvislý X 0 Û f(X) je v bode súvislý X 0 vpravo a vľavo.

DEFINÍCIA. Funkcia f(X) volal nepretržite počas intervalu e ( a; b) ak je spojitý v každom bode tohto intervalu.

Funkcia f(X) sa nazýva spojitý na segmente [a; b] ak je na intervale spojitá (a; b) a má jednosmernú kontinuitu v hraničných bodoch(t. j. kontinuálne v bode a vpravo, v bode b- vľavo).

11) Body zlomu, ich klasifikácia

DEFINÍCIA. Ak funkcia f(X) definované v nejakom okolí bodu x 0 , ale v tomto bode nie je nepretržitý f(X) nazývaný nespojitý v bode x 0 , a samotná pointa X 0 nazývaný bod zlomu funkcie f(X) .

Poznámky.

1) f(X) možno definovať v neúplnom okolí bodu X 0 .

Potom zvážte zodpovedajúcu jednostrannú spojitosť funkcie.

2) Z definície bodu Þ X 0 je bod zlomu funkcie f(X) v dvoch prípadoch:

a) U( X 0, d) О D(f) , ale pre f(X) neplatí rovnosť

b) U * ( X 0, d) О D(f) .

Pre elementárne funkcie je možný iba prípad b).

Nechaj X 0 – bod zlomu funkcie f(X) .

DEFINÍCIA. Bod x 0 volal bod zlomu ja druh ak funkcia f(X)má v tomto bode vľavo a vpravo konečné limity.

Ak sú tieto limity rovnaké, potom bod x 0 volal odnímateľný bod zlomu , inak - bod skoku .

DEFINÍCIA. Bod x 0 volal bod zlomu II druh ak je aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie f(X)v tomto bode je rovnaký¥ alebo neexistuje.

12) Vlastnosti funkcií spojitých na intervale (Weierstrassova veta (bez dôkazu) a Cauchyho veta

Weierstrassova veta

Nech je funkcia f(x) spojitá na intervale

1)f(x) je obmedzené na

2) f(x) nadobúda svoju najmenšiu a najväčšiu hodnotu na intervale

Definícia: Hodnota funkcie m=f sa nazýva najmenšia, ak m≤f(x) pre ľubovoľné x€ D(f).

Hodnota funkcie m=f sa považuje za najväčšiu, ak m≥f(x) pre ľubovoľné x € D(f).

Funkcia môže nadobudnúť najmenšiu/najväčšiu hodnotu v niekoľkých bodoch segmentu.

f(x3)=f(x4)=max

Cauchyho veta.

Nech je funkcia f(x) spojitá na úsečke a x je číslo medzi f(a) a f(b), potom existuje aspoň jeden bod x 0 € taký, že f(x 0)= g

Vzorec pre druhú pozoruhodnú limitu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Iná forma zápisu vyzerá takto: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Keď hovoríme o druhej pozoruhodnej limite, musíme sa zaoberať neurčitosťou tvaru 1 ∞, t.j. jednotka v nekonečnej miere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Uvažujme o problémoch, v ktorých bude užitočná schopnosť vypočítať druhú pozoruhodnú hranicu.

Príklad 1

Nájdite limit lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Riešenie

Nahradíme požadovaný vzorec a vykonáme výpočty.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Naša odpoveď sa ukázala ako jedna na silu nekonečna. Na určenie spôsobu riešenia používame tabuľku neistoty. Vyberme si druhú pozoruhodnú hranicu a urobme zmenu premenných.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ak x → ∞, potom t → - ∞.

Pozrime sa, čo sme dostali po výmene:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = limit t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

odpoveď: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Príklad 2

Vypočítajte limit lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Riešenie

Dosadíme nekonečno a získame nasledovné.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

V odpovedi sme opäť dostali to isté ako v predchádzajúcej úlohe, preto môžeme opäť použiť druhú pozoruhodnú hranicu. Ďalej musíme vybrať celú časť na základni výkonovej funkcie:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Potom má limit nasledujúcu podobu:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Nahradiť premenné. Predpokladajme, že t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ak x → ∞, potom t → ∞.

Potom si zapíšeme, čo sme dostali v pôvodnom limite:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Na vykonanie tejto transformácie sme použili základné vlastnosti limity a mocniny.

odpoveď: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Príklad 3

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Riešenie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Potom musíme transformovať funkciu tak, aby aplikovala druhý veľký limit. Dostali sme nasledovné:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Keďže teraz máme v čitateli aj menovateli zlomku rovnaké exponenty (rovnajúce sa šiestim), limita zlomku v nekonečne sa bude rovnať pomeru týchto koeficientov pri vyšších mocninách.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = limit x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Dosadením t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dostaneme druhú pozoruhodnú limitu. Znamená čo:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 3 = e - 3

odpoveď: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3.

závery

Neistota 1 ∞, t.j. jednota k nekonečnej mocnine je mocninná neistota, preto ju možno odhaliť pomocou pravidiel hľadania hraníc exponenciálnych mocninných funkcií.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter