Podmienené extrémy a metóda Lagrangeovho multiplikátora. Lagrangeova multiplikačná metóda

Stručná teória

Metóda Lagrangeovho multiplikátora je klasická metóda na riešenie problémov matematického programovania (najmä konvexných). Žiaľ, praktická aplikácia metódy môže naraziť na značné výpočtové ťažkosti, ktoré zužujú rozsah jej použitia. O Lagrangeovej metóde tu uvažujeme najmä preto, že ide o aparát, ktorý sa aktívne používa na zdôvodnenie rôznych moderných numerických metód, ktoré sú široko používané v praxi. Čo sa týka Lagrangeovej funkcie a Lagrangeových multiplikátorov, zohrávajú samostatnú a mimoriadne dôležitú úlohu v teórii a aplikáciách nielen matematického programovania.

Zvážte klasický problém s optimalizáciou:

Medzi obmedzeniami tohto problému nie sú žiadne nerovnosti, neexistujú podmienky pre nezápornosť premenných, ich diskrétnosť a funkcie sú spojité a majú parciálne derivácie aspoň druhého rádu.

Klasický prístup k riešeniu úlohy poskytuje systém rovníc (nevyhnutné podmienky), ktoré musí spĺňať bod, ktorý poskytuje funkcii lokálny extrém na množine bodov, ktoré spĺňajú obmedzenia (pre konvexný programovací problém nájdený bod bude tiež globálnym extrémnym bodom).

Predpokladajme, že v bode má funkcia (1) lokálny podmienený extrém a poradie matice sa rovná . Potom budú potrebné podmienky napísané vo forme:

existuje Lagrangeova funkcia; – Lagrangeove multiplikátory.

Existujú aj dostatočné podmienky, za ktorých riešenie sústavy rovníc (3) určuje extrémny bod funkcie. Táto otázka je vyriešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Dostatočné podmienky sú však predovšetkým teoretické.

Pomocou metódy Lagrangeovho multiplikátora môžete zadať nasledujúci postup riešenia problému (1), (2):

1) zostavte Lagrangeovu funkciu (4);

2) nájdite parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie vzhľadom na všetky premenné a porovnajte ich

nula. Tak získame sústavu (3) pozostávajúcu z rovníc, vyriešte výslednú sústavu (ak to bude možné!) a nájdite tak všetky stacionárne body Lagrangeovej funkcie;

3) zo stacionárnych bodov bez súradníc vyberte body, v ktorých má funkcia podmienené lokálne extrémy za prítomnosti obmedzení (2). Tento výber sa robí napríklad použitím dostatočných podmienok pre lokálny extrém. Štúdia sa často zjednoduší, ak sa použijú špecifické podmienky problému.

Príklad riešenia problému

Úloha

Spoločnosť vyrába dva druhy tovaru v množstve a . Funkcia užitočných nákladov je určená vzťahom. Ceny týchto tovarov na trhu sú rovnaké a podľa toho.

Určte, pri akých objemoch výstupov sa dosiahne maximálny zisk a aký sa rovná, ak celkové náklady nepresiahnu

Máte problém pochopiť priebeh rozhodnutia? Stránka ponúka službu Riešenie problémov metódami optimálnych riešení na objednávku

Riešenie problému

Ekonomický a matematický model problému

Zisková funkcia:

Obmedzenia nákladov:

Získame nasledujúci ekonomický a matematický model:

Navyše podľa zmyslu úlohy

Lagrangeova multiplikačná metóda

Zostavme Lagrangeovu funkciu:

Nájdeme parciálne derivácie 1. rádu:

Vytvorme a vyriešme sústavu rovníc:

Odvtedy

Maximálny zisk:

Odpoveď

Preto je potrebné uvoľniť jedlo. tovar 1. druhu a jednotky. tovar 2. druhu. V tomto prípade bude zisk maximálny a bude 270.
Uvádza sa príklad riešenia úlohy kvadratického konvexného programovania pomocou grafickej metódy.

Riešenie lineárnej úlohy grafickou metódou
Uvažuje sa o grafickej metóde riešenia úlohy lineárneho programovania (LPP) s dvoma premennými. Na príklade úlohy je uvedený podrobný popis konštrukcie výkresu a nájdenia riešenia.

Wilsonov model riadenia zásob
Na príklade riešenia problému sa uvažuje o základnom modeli riadenia zásob (Wilsonov model). Boli vypočítané také modelové ukazovatele ako optimálna veľkosť dávky objednávky, ročné skladovacie náklady, interval medzi dodávkami a bod zadania objednávky.

Matica priamych nákladov a vstupno-výstupná matica
Na príklade riešenia problému sa uvažuje Leontievov medzisektorový model. Je znázornený výpočet matice koeficientov priamych materiálových nákladov, matice „input-output“, matice koeficientov nepriamych nákladov, vektorov konečnej spotreby a hrubej produkcie.

S Podstatou Lagrangeovej metódy je zredukovať problém podmieneného extrému na riešenie problému nepodmieneného extrému. Zvážte model nelineárneho programovania:

(5.2)

Kde
- známe funkcie,

A
– dané koeficienty.

Všimnite si, že v tejto formulácii problému sú obmedzenia špecifikované rovnosťami a neexistuje žiadna podmienka, aby premenné boli nezáporné. Okrem toho veríme, že funkcie
sú spojité so svojimi prvými parciálnymi deriváciami.

Transformujme podmienky (5.2) tak, aby boli na ľavej alebo pravej strane rovnosti nula:

(5.3)

Zostavme Lagrangeovu funkciu. Zahŕňa účelovú funkciu (5.1) a pravú stranu obmedzení (5.3), v uvedenom poradí s koeficientmi
. Bude toľko Lagrangeových koeficientov, koľko bude obmedzení v probléme.

Extrémne body funkcie (5.4) sú extrémnymi bodmi pôvodného problému a naopak: optimálny plán problému (5.1)-(5.2) je globálny extrémny bod Lagrangeovej funkcie.

Naozaj, nech sa nájde riešenie
problémy (5.1)-(5.2), potom sú splnené podmienky (5.3). Nahradíme plán
do funkcie (5.4) a overte platnosť rovnosti (5.5).

Aby sme teda našli optimálny plán pôvodného problému, je potrebné preskúmať Lagrangeovu funkciu pre extrém. Funkcia má extrémne hodnoty v bodoch, kde sú jej parciálne derivácie rovnaké nula. Takéto body sa nazývajú stacionárne.

Definujme parciálne derivácie funkcie (5.4)

,

.

Po vyrovnaní nula deriváty dostaneme systém m+n rovnice s m+n neznámy

,(5.6)

Vo všeobecnom prípade bude mať systém (5.6)-(5.7) niekoľko riešení, ktoré budú zahŕňať všetky maximá a minimá Lagrangeovej funkcie. Aby sa zvýraznilo globálne maximum alebo minimum, hodnoty cieľovej funkcie sa vypočítajú vo všetkých nájdených bodoch. Najväčšia z týchto hodnôt bude globálne maximum a najmenšia bude globálne minimum. V niektorých prípadoch je možné použiť dostatočné podmienky pre prísny extrém spojité funkcie (pozri problém 5.2 nižšie):

nechať fungovať
je spojitá a dvakrát diferencovateľná v niektorom okolí svojho stacionárneho bodu (tie.
)). potom:

A ) Ak
, (5.8)

To – bod striktného maxima funkcie
;

b) Ak
, (5.9)

To – bod prísneho minima funkcie
;

G ) Ak
,

potom otázka prítomnosti extrému zostáva otvorená.

Okrem toho niektoré roztoky systému (5.6)-(5.7) môžu byť negatívne. Čo je v rozpore s ekonomickým významom premenných. V tomto prípade by ste mali zvážiť nahradenie záporných hodnôt nulovými hodnotami.

Ekonomický význam Lagrangeových multiplikátorov. Optimálna hodnota multiplikátora
ukazuje, ako veľmi sa zmení hodnota kritéria Z keď sa zdroj zvyšuje alebo znižuje j o jednu jednotku, od r

Lagrangeovu metódu možno použiť aj v prípade, keď obmedzeniami sú nerovnosti. Teda nájdenie extrému funkcie
za podmienok

,

vykonávané v niekoľkých etapách:

1. Určte stacionárne body účelovej funkcie, pre ktoré riešia sústavu rovníc

.

2. Zo stacionárnych bodov vyberte tie, ktorých súradnice spĺňajú podmienky

3. Pomocou Lagrangeovej metódy vyriešte problém s obmedzeniami rovnosti (5.1)-(5.2).

4. Body nájdené v druhej a tretej etape sa skúmajú na globálne maximum: porovnávajú sa hodnoty cieľovej funkcie v týchto bodoch - najväčšia hodnota zodpovedá optimálnemu plánu.

Problém 5.1 Vyriešme problém 1.3, uvažovaný v prvej časti, pomocou Lagrangeovej metódy. Optimálne rozdelenie vodných zdrojov popisuje matematický model

.

Zostavme Lagrangeovu funkciu

Poďme nájsť bezpodmienečné maximum tejto funkcie. Na tento účel vypočítame parciálne derivácie a prirovnáme ich k nule

,

Takto sme získali sústavu lineárnych rovníc tvaru

Riešenie sústavy rovníc predstavuje optimálny plán distribúcie vodných zdrojov na zavlažovaných plochách

, .

množstvá
merané v stovkách tisíc metrov kubických.
- výška čistého príjmu na stotisíc metrov kubických závlahovej vody. Preto sa hraničná cena 1 m 3 závlahovej vody rovná
Brloh. Jednotky

Maximálny dodatočný čistý príjem zo zavlažovania bude

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391,02 (den. jednotky)

Problém 5.2 Vyriešte problém nelineárneho programovania

Predstavme si obmedzenie vo forme:

.

Zostavme Lagrangeovu funkciu a určme jej parciálne derivácie

.

Na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie by sa jej parciálne derivácie mali rovnať nule. Výsledkom je systém rovníc

.

Z prvej rovnice to vyplýva

. (5.10)

Výraz dosadíme do druhej rovnice

,

čo znamená dve riešenia pre :

A
. (5.11)

Dosadením týchto riešení do tretej rovnice dostaneme

,
.

Hodnoty Lagrangeovho multiplikátora a neznáma Počítajme pomocou výrazov (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Získali sme teda dva extrémne body:

;
.

Aby sme zistili, či sú tieto body maximálne alebo minimálne, používame dostatočné podmienky pre prísne extrémy (5.8)-(5.9). Predvýraz pre , získanú z obmedzenia matematického modelu, dosadíme do účelovej funkcie

,

. (5.12)

Aby sme skontrolovali podmienky prísneho extrému, mali by sme určiť znamienko druhej derivácie funkcie (5.11) v extrémnych bodoch, ktoré sme našli
A
.

,
;

.

Takže (·)
je minimálny bod pôvodného problému (
), A (·)
- maximálny bod.

Optimálny plán:

,
,
,

.

Dnes sa v lekcii naučíme nájsť podmienené alebo, ako sa im hovorí, relatívne extrémy funkcie viacerých premenných a v prvom rade sa budeme, samozrejme, baviť o podmienených extrémoch funkcie dvoch A tri premenné, ktoré sa nachádzajú v drvivej väčšine tematických problémov.

Čo potrebuješ momentálne vedieť a vedieť? Napriek tomu, že tento článok je „na okraji“ témy, na úspešné zvládnutie materiálu nie je potrebné veľa. V tomto bode by ste si mali uvedomiť základné plochy priestoru, vedieť nájsť parciálne deriváty (aspoň na priemernej úrovni) a ako velí nemilosrdná logika, pochopiť bezpodmienečné extrémy. Ale aj keď máte nízku úroveň prípravy, neponáhľajte sa s odchodom – všetky chýbajúce vedomosti/zručnosti sa dajú naozaj „nazbierať po ceste“ a bez hodín trápenia.

Najprv analyzujme samotný koncept a súčasne vykonajte rýchle zopakovanie najbežnejších povrchy. Čo je teda podmienený extrém? ...Logika tu nie je o nič menej nemilosrdná =) Podmienečný extrém funkcie je extrémom v bežnom zmysle slova, ktorý sa dosiahne pri splnení určitej podmienky (alebo podmienok).

Predstavte si svojvoľný "šikmý" lietadlo V karteziánsky systém. žiadne extrém tu po tom niet ani stopy. Ale to je zatiaľ. Uvažujme eliptický valec, pre jednoduchosť - nekonečná okrúhla „rúrka“ rovnobežná s osou. Je zrejmé, že táto „rúrka“ sa „odreže“ z našej roviny elipsa, v dôsledku čoho bude v jeho hornom bode maximum a v dolnom bode minimum. Inými slovami, funkcia definujúca rovinu dosahuje extrémy vzhľadom na tože ju križoval daný kruhový valec. Presne „poskytnuté“! Ďalší eliptický valec pretínajúci túto rovinu takmer určite vytvorí rôzne minimálne a maximálne hodnoty.

Ak to nie je veľmi jasné, situácia sa dá realisticky simulovať (aj keď v opačnom poradí): vezmite sekeru, choďte von a vyrežte... nie, Greenpeace vám to neskôr neodpustí - odkvapovú rúru je lepšie prerezať brúskou =). Podmienené minimum a podmienené maximum bude závisieť od toho, v akej výške a pod čím (nehorizontálne) rez je vedený pod uhlom.

Nastal čas obliecť výpočty do matematického odevu. Uvažujme eliptický paraboloid, ktorý má absolútne minimum v bode . Teraz nájdime extrém vzhľadom na to. Toto lietadlo rovnobežne s osou, čo znamená, že „vyrezáva“ z paraboloidu parabola. Vrchol tejto paraboly bude podmienené minimum. Navyše rovina neprechádza počiatkom súradníc, preto bod zostane irelevantný. Neposkytli ste obrázok? Poďme okamžite sledovať odkazy! Bude to trvať ešte veľakrát.

Otázka: ako nájsť tento podmienený extrém? Najjednoduchší spôsob riešenia je použiť rovnicu (ktorá sa nazýva - stave alebo rovnica spojenia) vyjadrite napríklad: – a dosaďte ho do funkcie:

Výsledkom je funkcia jednej premennej, ktorá definuje parabolu, ktorej vrchol je „vypočítaný“ so zatvorenými očami. Poďme nájsť kritických bodov:

- kritický bod.

Ďalšia najjednoduchšia vec na použitie je druhá postačujúca podmienka pre extrém:

Konkrétne: to znamená, že funkcia dosiahne minimum v bode . Dá sa to vypočítať priamo: , ale pôjdeme akademickejšou cestou. Poďme nájsť súradnicu „hry“:
,

zapíšte si podmienený minimálny bod, uistite sa, že skutočne leží v rovine (spĺňa väzbovú rovnicu):

a vypočítajte podmienené minimum funkcie:
vzhľadom na to (vyžaduje sa „prísada“!!!).

Uvažovaná metóda sa dá v praxi použiť bez tieňa pochybností, má však množstvo nevýhod. Po prvé, geometria problému nie je vždy jasná a po druhé, často je nerentabilné vyjadrovať „x“ alebo „y“ z rovnice spojenia. (ak je vôbec možné niečo vyjadriť). A teraz zvážime univerzálnu metódu na nájdenie podmienených extrémov, tzv Lagrangeova multiplikačná metóda:

Príklad 1

Nájdite podmienené extrémy funkcie so zadanou rovnicou spojenia s argumentmi.

Spoznávate povrchy? ;-) ...teší ma, že vidím tvoje šťastné tváre =)

Mimochodom, z formulácie tohto problému je jasné, prečo sa stav nazýva rovnica spojenia– argumenty funkcie pripojenýďalšia podmienka, to znamená, že nájdené extrémne body musia nevyhnutne patriť do kruhového valca.

Riešenie: v prvom kroku je potrebné uviesť rovnicu spojenia vo forme a zostaviť Lagrangeova funkcia:
, kde je takzvaný Lagrangeov multiplikátor.

V našom prípade a:

Algoritmus na nájdenie podmienených extrémov je veľmi podobný schéme na nájdenie „obyčajného“ extrémy. Poďme nájsť parciálne deriváty Lagrangeove funkcie, zatiaľ čo „lambda“ by sa mala považovať za konštantu:

Poďme zostaviť a vyriešiť nasledujúci systém:

Spleť je štandardne rozpletená:
z prvej rovnice, ktorú vyjadríme ;
z druhej rovnice vyjadríme .

Nahraďte spojenia do rovnice a vykonajte zjednodušenia:

V dôsledku toho získame dva stacionárne body. Ak potom:

Ak potom:

Je ľahké vidieť, že súradnice oboch bodov vyhovujú rovnici . Svedomití ľudia môžu tiež vykonať úplnú kontrolu: na to musíte nahradiť do prvej a druhej rovnice systému a potom urobte to isté s množinou . Všetko sa musí „spojiť“.

Skontrolujme splnenie dostatočnej extrémnej podmienky pre nájdené stacionárne body. Budem diskutovať o troch prístupoch k riešeniu tohto problému:

1) Prvou metódou je geometrické odôvodnenie.

Vypočítajme hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch:

Ďalej si zapíšeme slovné spojenie s približne týmto obsahom: rez rovinou kruhovým valcom je elipsa, ktorej horný vrchol dosahuje maximum a dolný vrchol minimum. Väčšia hodnota je teda podmienené maximum a menšia hodnota je podmienené minimum.

Ak je to možné, je lepšie použiť túto metódu - je to jednoduché a toto rozhodnutie počítajú učitelia (veľkým plusom je, že ste preukázali pochopenie geometrického významu problému). Ako však už bolo uvedené, nie je vždy jasné, čo sa s čím a kde prelína, a potom prichádza na záchranu analytické overenie:

2) Druhá metóda je založená na použití diferenciálnych znakov druhého rádu. Ak sa ukáže, že v stacionárnom bode, funkcia tam dosiahne maximum, ale ak áno, dosiahne minimum.

Poďme nájsť parciálne deriváty druhého rádu:

a vytvorte tento rozdiel:

Keď to znamená, že funkcia dosiahne svoje maximum v bode;
at , čo znamená, že funkcia dosiahne minimum v bode .

Uvažovaná metóda je veľmi dobrá, má však tú nevýhodu, že v niektorých prípadoch je takmer nemožné určiť znamienko 2. diferenciálu (zvyčajne sa to stane, ak a/alebo ide o rôzne znaky). A potom príde na záchranu „ťažké delostrelectvo“:

3) Rozlišujme rovnicu spojenia pomocou „X“ a „Y“:

a zostavte nasledovné symetrické matice:

Ak je v stacionárnom bode, funkcia tam dosiahne ( pozor!) minimum, ak – tak maximum.

Napíšme maticu pre hodnotu a príslušný bod:

Poďme si to spočítať determinant:
, teda funkcia má maximum v bode .

Podobne pre hodnotu a bod:

Funkcia má teda minimum v bode .

Odpoveď: vzhľadom na to, že:

Po dôkladnej analýze materiálu vám jednoducho nemôžem pomôcť, ale ponúknuť vám niekoľko typických úloh na autotest:

Príklad 2

Nájdite podmienený extrém funkcie, ak sú jej argumenty spojené rovnicou

Príklad 3

Nájdite extrémy funkcie danej podmienkou

A opäť dôrazne odporúčam pochopiť geometrickú podstatu úloh, najmä to platí pre posledný príklad, kde analytické overenie dostatočnej podmienky nie je dar. Zapamätaj si čo Riadok 2. poriadku nastaví rovnicu a čo povrch táto čiara generuje v priestore. Analyzujte, pozdĺž ktorej krivky bude valec pretínať rovinu a kde na tejto krivke bude minimum a kde maximum.

Riešenia a odpovede na konci hodiny.

Uvažovaný problém je široko používaný v rôznych oblastiach, najmä - nepôjdeme ďaleko - v geometrii. Vyriešme všetkým obľúbený problém o pollitrovej fľaši (pozri príklad 7 článkuExtrémne výzvy ) druhý spôsob:

Príklad 4

Aké by mali byť rozmery valcovej plechovky, aby sa na výrobu plechovky spotrebovalo čo najmenej materiálu, ak je objem plechovky rovný

Riešenie: zvážte premenlivý polomer základne, premennú výšku a zostavte funkciu plochy celkového povrchu plechovky:
(plocha dvoch krytov + bočná plocha)

Názov parametra	Význam
Téma článku:	Lagrangeova metóda.
Rubrika (tematická kategória)	Matematika

Nájsť polynóm znamená určiť hodnoty jeho koeficientu . Ak to chcete urobiť, pomocou podmienky interpolácie môžete vytvoriť systém lineárnych algebraických rovníc (SLAE).

Determinant tohto SLAE sa zvyčajne nazýva Vandermondov determinant. Vandermondov determinant sa nerovná nule pre for , to znamená v prípade, že vo vyhľadávacej tabuľke nie sú žiadne zodpovedajúce uzly. Dá sa však tvrdiť, že SLAE má riešenie a toto riešenie je jedinečné. Po vyriešení SLAE a určení neznámych koeficientov môžete zostrojiť interpolačný polynóm.

Polynóm, ktorý spĺňa podmienky interpolácie, je pri interpolácii Lagrangeovou metódou zostrojený vo forme lineárnej kombinácie polynómov n-tého stupňa:

Polynómy sa zvyčajne nazývajú základné polynómy. Za účelom Lagrangeov polynóm spĺňa interpolačné podmienky, je mimoriadne dôležité, aby pre jeho bázové polynómy boli splnené nasledujúce podmienky:

Pre .

Ak sú splnené tieto podmienky, potom pre všetky máme:

Navyše splnenie špecifikovaných podmienok pre bázové polynómy znamená, že sú splnené aj podmienky interpolácie.

Určme typ základných polynómov na základe obmedzení, ktoré sú na ne kladené.

1. podmienka: v .

2. podmienka: .

Nakoniec pre základný polynóm môžeme napísať:

Potom dosadením výsledného výrazu pre základné polynómy do pôvodného polynómu získame konečný tvar Lagrangeovho polynómu:

Konkrétna forma Lagrangeovho polynómu at sa zvyčajne nazýva lineárny interpolačný vzorec:

.

Lagrangeov polynóm sa zvyčajne nazýva kvadratický interpolačný vzorec:

Lagrangeova metóda. - pojem a druhy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Lagrangeova metóda." 2017, 2018.

- Lagrangeova metóda (metóda variácie ľubovoľnej konštanty).

Lineárne diaľkové ovládače. Definícia. Typ DU t.j. lineárna vzhľadom na neznámu funkciu a jej derivácia sa nazýva lineárna. Pre riešenie tohto typu budeme uvažovať dve metódy: Lagrangeovu metódu a Bernoulliho metódu Uvažujme homogénnu diferenciálnu rovnicu Táto rovnica je so separovateľnými premennými Riešenie rovnice je Všeobecné... .

- Lineárne riadiace systémy, homogénne a heterogénne. Koncept všeobecného rozhodnutia. Lagrangeova metóda variácie výrobných konštánt.

Definícia. Riadiaci systém sa nazýva homogénny, ak funkcia môže byť reprezentovaná ako vzťah medzi jej argumentmi. F-tá sa nazýva homogénne f-té meranie, ak Príklady: 1) - 1. rád homogenity. 2) - 2. rád homogenity. 3) - nulový rád homogenity (jednoducho homogénny... .

- Prednáška 8. Aplikácia parciálnych derivácií: extrémna úloha. Lagrangeova metóda.

Extrémne problémy majú v ekonomických výpočtoch veľký význam. Ide napríklad o výpočet maximálneho príjmu, zisku, minimálnych nákladov v závislosti od viacerých premenných: zdroje, výrobné aktíva atď. Teória hľadania extrémov funkcií... .

- T.2.3. DE vyšších rádov. Rovnica v totálnych diferenciáloch. T.2.4. Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Lagrangeova metóda.

3. 2. 1. DE s oddeliteľnými premennými S.R. 3. V prírodných vedách, technike a ekonómii sa často treba zaoberať empirickými vzorcami, t.j. vzorce zostavené na základe spracovania štatistických údajov alebo...

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
(1) .
Existujú tri spôsoby riešenia tejto rovnice:

• metóda variácie konštanty (Lagrangeova).

Uvažujme o riešení lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu pomocou Lagrangeovej metódy.

Metóda variácie konštanty (Lagrangeova)

Pri variačnej metóde konštanty riešime rovnicu v dvoch krokoch. V prvom kroku pôvodnú rovnicu zjednodušíme a vyriešime homogénnu rovnicu. V druhej fáze nahradíme integračnú konštantu získanú v prvej fáze riešenia funkciou. Potom hľadáme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Zvážte rovnicu:
(1)

Krok 1 Riešenie homogénnej rovnice

Hľadáme riešenie homogénnej rovnice:

Toto je oddeliteľná rovnica

Premenné oddelíme - vynásobíme dx, vydelíme y:

Poďme integrovať:

Integrál nad y - tabuľkový:

Potom

Poďme potencovať:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienko modulu, čo vedie k vynásobeniu konštantou ±1, ktorý zahrnieme do C:

Krok 2 Nahraďte konštantu C funkciou

Teraz nahraďme konštantu C funkciou x:
C → u (X)
To znamená, že budeme hľadať riešenie pôvodnej rovnice (1) ako:
(2)
Nájdenie derivátu.

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Podľa pravidla diferenciácie produktov:

.
Dosaďte do pôvodnej rovnice (1) :
(1) ;

.
Dvaja členovia sú znížení:
;
.
Poďme integrovať:
.
Nahradiť v (2) :
.
Výsledkom je všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:
.

Príklad riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu Lagrangeovou metódou

Vyriešte rovnicu

Riešenie

Riešime homogénnu rovnicu:

Oddeľujeme premenné:

Vynásobte:

Poďme integrovať:

tabuľkové integrály:

Poďme potencovať:

Nahraďme konštantu e C za C a odstránime znamienka modulu:

Odtiaľ:

Nahraďme konštantu C funkciou x:
C → u (X)

Nájdenie derivátu:
.
Dosaďte do pôvodnej rovnice:
;
;
alebo:
;
.
Poďme integrovať:
;
Riešenie rovnice:
.